Problemas con ángulos horizontales

1. Adalberto Paternina A
Ciencia, Viertud y amor

2. ANGULOS EN POSICION NORMAL
Un Angulo esta en posición normal si
su vértice esta en el punto de corte de
los ejes coordenados de un plano
cartesiano y su lado inicial coincide
con el eje de las X y su lado terminal
esta en cualquiera de los 4 cuadrantes
ANGULOS POSITIVOS Y NEGATIVOS
Un ángulo se dice que es positivo si gira en
sentido contrario a las manecillas
del reloj y es positivo cuando gira
en el mismo sentido de las
manecillas del reloj
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3. MEDIDAS DE ANGULOS
• Los ángulos se pueden medir
• En: Grados y en radianes
UN GRADO: Es la trescientos
sesentava parte de la circunferencia
• UN RADIAN: Corresponde al
• Angulo que se forma cuando
• hacemos una abertura de un
• arco con la misma medida del
• radio de la circunferencia
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4. • para convertir grados a radianes: se multiplica la
cantidad en grado por el constante y luego
se hacen las simplificaciones del caso ejemplo:
• Convertir 30º a radianes
• Solución 30º = 30º. =
=
Solución # 2: 270º = 270º .
=
=
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5. TEOREMA DE PITÁGORAS
A
B C
CATETO
CATETO
HIPOTENUSA
2 2
(CATETO) (CATETO)+ =
2
(HIPOTENUSA)
3
4
5 5
12
13
20
21 29
La hipotenusa de un triangulo rectángulo es igual a la
suma al
cuadrado de los catetos
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6. RAZONES
TRIGONOMETRICAS
• En todo triangulo rectángulo se distinguen
3 partes
• CATETO hipotenusa
• opuesto
CATETO adyacente
• Una razón trigonométricas: Es el
cociente indicados entre 2 de los de los
lados de un triangulo rectángulo estos son
θ
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7. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE
ANGULOS AGUDOS
q
=q
CatetoOpuestoa
sen
Hipotenusa
θ
θ =
CatetoAdyacentea
cos
Hipotenusa
θ =
θ
Hipotenusa
sec
CatetoAdyacentea
θ =
θ
Hipotenusa
csc
CatetoOpuestoa
θ
θ =
θ
CatetoAdyacentea
cot
CatetoOpuestoa
θ
θ =
θ
CatetoOpuestoa
tan
CatetoAdyacentea
CATETO
OPUESTO
A
θCATETO ADYACENTE A
θ
HIPOTENUSA
θ
SENO COSENO
TANGENTE COTANGENTE
SECANTE COSECANTE
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8. 12
35
H
2 2 2
H 12 35= +
TEOREMA DE PITÁGORAS
H 1369= = 37
senθ =
cosθ =
tanθ =
12
37
35
37
12
35
cot θ =
sec θ =
csc θ =
35
12
37
35
37
12
EJEMPLO :
EJEMPLO :
Sabiendo que θ es un ángulo agudo tal que senθ=2/3.....
23
θ
θ
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9. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS
PROPIEDADES DE LAS RAZONES
TRIGOMOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS
1
sen
csc
θ =
θ
1
cos
sec
θ =
θ
1
tan
cot
θ =
θ
EJEMPLOS
o
1
A)
sen36
o
csc 36= o
1
B)
cos17
o
sec17=
sen csc 1θ θ = cos sec 1θ θ = tan cot 1θ θ =
D)sen2 csc2θ θ 1=o o
C)tan49 cot 49 1=
o
E)cos63 sec θ 1= o
63θ =
F)tan2 cot 1φ θ = 2φ = θ
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10. PROPIEDADES DE LAS RAZONES
TRIGOMOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
A LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS SENO Y COSENO
TANGENTE Y COTANGENTE ;SECANTE Y COSECANTE
SE LES DENOMINA :CO-RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
PROPIEDAD :
“LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE TODO ÁNGULO AGUDO
SON RESPECTIVAMENTE IGUALES A LAS CO-RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS DE SU ÁNGULO COMPLEMENTARIO”
θ
φ senθ = cos φ
cos θ =
tanθ =
senφ
cotφ
a
b c
cot θ =
secθ =
cscθ =
tanφ
cscφ
sec φ
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11. EJEMPLOS
o
A)sen25 =
o
B)tan43 =
o
C)sec60 =
o
cos65
o
cot 47
o
csc30
...............
...............
...............
o o O
25 65 90+ =
o o O
43 47 90+ =
o o O
60 30 90+ =
o
D)sen cos20θ =
o O
20 90θ + = o
70θ =
E)tan5 cotα = α
o
5 90α + α =
o
15α =
F)sen
5
π  = ÷
 
cos θ
5 2
π π
θ + =
2 5
π π
θ = −
3
rad
10
π
θ =
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12. TRIÁNGULOS NOTABLES
1 2
3
o
30 (
)
O
60
1
1
2
o
45
o
45
(
)
3
4
5
o
37
o
53
(
)
o
sen30 =
1
2
o
tan60 = 3
o
sec 45 = 2
o
cot 37 =
4
3
o
tan30 =
1
3
3
x
3
3
3
=
o
sen45 =
1
2
2
x
2
2
2
=Ciencia, Viertud y amor

13. )
)
(
(o
30
o
37 o
45
θ
4 3
4
3 3
3 3
CALCULAR : cotθ
8
3 3
cot
4
θ =
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14. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
θ
θ
H
Hsenθ
Hcos θ
L sec θ
L tanθ
L
5
o
62
o
5sen62
o
5cos62
8
β
8 tanβ
8secβ
CASO 1 : DATOS , HIPOTENUSA y ÁNGULO AGUDO θ
CASO 2 : DATOS ; CATETO ADYACENTE Y ÁNGULO AGUDOθ
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15. L
θ
L cot θ
L csc θ
k
o
24
o
k csc 24
o
k cot 24
EJEMPLO
α
θ)
)
m
Calcular L en términos
de m α y θ;
L
CASO 3 : DATOS; CATETO OPUESTO y ÁNGULO AGUDOθ
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16. SOLUCIÓN
α
θ
m
m tanαL
L m tan
m
+ α
= cot θ L m tan+ α = mcot θ
L mcot m tan= θ − α L = m(cot tan )θ − α
NOTA : DESCOMPOSICIÓN DE UN VECTOR
α
F
yF
xF X
Y
xF Fcos= α
yF Fsen= αCiencia, Viertud y amor

17. ÁREA DEL TRIÁNGULO
A B
C
a
b
c
ab
S senC
2
=
bc
S senA
2
=
ac
S senB
2
=
EJEMPLO
5m
8m
O
60
o(5)(8)
S sen60
2
=
(5)(8) 3
S ( )
2 2
= 2
10 3m=
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18. ÁNGULOS VERTICALES
Los ángulos verticales son ángulos agudos contenidos en
un plano vertical y formados por dos líneas imaginarias
llamadas horizontal y visual
α
θ
ÁNGULO DE
ELEVACIÓN
ÁNGULO DE DEPRESIÓN
HORIZONTAL
VISUAL
VISUAL
)
)
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19. Una persona observa en un mismo plano vertical dos ovnis
volando a una misma altura con ángulos de elevación de
530
y 370
si la distancia entre los ovnis es de 70m ¿A qué
altura están los ovnis?
EJEMPLO :
SOLUCIÓN
) ) o
37
O
53
70
12k 12k
)
O
53
9k
) o
37
16k
+
9k +70 = 16k k = 10 H = 120
=H
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20. ÁNGULOS HORIZONTALES
Los ángulos horizontales son ángulos agudos contenidos en
un plano horizontal, se determinan tomando como
referencia los puntos cardinales norte(N) , sur(S) , este(E) y
oeste(O).
DIRECCIÓN
La dirección de B respecto de A
es E30N o
N60E o
La dirección de C respecto de A
es o
S56 O S34O o
o
o
RUMBO
El rumbo de Q respecto de P
o
47
El rumbo de M respecto de P
o
27 al este del sur
al oeste del norte
N
S
EO
O
30
O
56
A
B
C
EO
S
N
P
Q
o
47
o
27
M
)
(
(
)
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