Este documento presenta una introducción a los conjuntos numéricos, incluyendo números naturales, enteros y racionales. Explica que los números naturales son los números {1, 2, 3, ...} y tienen propiedades como tener un antecesor excepto 1 y tener un sucesor. Luego introduce los números enteros como los naturales, sus opuestos y 0, resolviendo problemas con la resta. Finalmente, define los números racionales como cocientes de enteros para resolver divisiones que dan decimales.
Este documento presenta una guía sobre el cálculo de integrales definidas. Explica cómo interpretar geométricamente el concepto de integral definida, calcular el área entre dos curvas usando integrales definidas, y deducir propiedades de las integrales definidas. Además, proporciona la definición formal de integral definida, los pasos para calcularlas, y dos ejemplos numéricos.
Después de que un deportista ha recorrido los dos tercios de su ruta en bicic...Jaime Restrepo Cardona
Este documento presenta un problema de razonamiento lógico sobre un deportista que recorre los 2/3 de su ruta en bicicleta y luego el resto caminando. Explica que el tiempo que le toma caminar la distancia restante es el doble del tiempo en bicicleta. Luego procede a resolver el problema mediante suposiciones y cálculos para determinar que la razón entre la velocidad en bicicleta y caminando es de 2.
Este documento presenta 12 preguntas de opción múltiple sobre conceptos de física como fuerzas, peso, equilibrio y sistemas de fuerzas. Las preguntas involucran conceptos como componentes de fuerza, fuerzas en planos inclinados, equilibrio estático, fuerzas de rozamiento y sistemas de fuerzas simples. El documento proporciona información contextual y diagramas para cada pregunta.
El documento presenta información sobre una prueba de matemáticas compuesta por 20 preguntas con opciones de respuesta. Seguidamente presenta 5 preguntas (106-110) sobre una secuencia de figuras y sus características. Finalmente presenta información sobre dos medicamentos y sus efectos en el organismo para responder las preguntas 111-115.
Este documento explica la regla de tres compuesta, que se aplica cuando hay más de dos magnitudes en un problema. Presenta ejemplos de regla de tres compuesta directa, inversa y mixta, resolviendo cada uno. También incluye ejercicios resueltos que aplican la regla de tres compuesta.
Este documento presenta una recopilación de ejercicios de matemáticas resueltos, con el objetivo de ayudar a los estudiantes a comprender mejor los contenidos. El autor explica las soluciones de los ejercicios de una manera didáctica para facilitar su aprendizaje. Los ejercicios están organizados en secciones como relaciones de semejanza, teoremas de Euclides y teorema de Pitágoras. El documento pretende ser útil tanto para estudiantes como para profesores.
Este documento describe diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales 2x2, incluyendo igualación, sustitución, eliminación, gráfico y determinantes. Explica cada método con ejemplos y ejercicios resueltos. El objetivo es entender y aplicar estos métodos para resolver problemas que involucren sistemas de ecuaciones lineales 2x2.
Este documento presenta un resumen de un tema sobre productos notables impartido en la asignatura de Álgebra del grado 8° en el Instituto Universitario de Caldas. El tema incluye ejercicios para determinar áreas de cuadrados, completar términos faltantes en potencias y relacionar productos notables con su desarrollo. También explica errores comunes en el desarrollo de productos notables y determinar si expresiones son verdaderas o falsas. Finalmente, identifica el nombre del caso de productos notables que se aplica
Este documento presenta una guía sobre el cálculo de integrales definidas. Explica cómo interpretar geométricamente el concepto de integral definida, calcular el área entre dos curvas usando integrales definidas, y deducir propiedades de las integrales definidas. Además, proporciona la definición formal de integral definida, los pasos para calcularlas, y dos ejemplos numéricos.
Después de que un deportista ha recorrido los dos tercios de su ruta en bicic...Jaime Restrepo Cardona
Este documento presenta un problema de razonamiento lógico sobre un deportista que recorre los 2/3 de su ruta en bicicleta y luego el resto caminando. Explica que el tiempo que le toma caminar la distancia restante es el doble del tiempo en bicicleta. Luego procede a resolver el problema mediante suposiciones y cálculos para determinar que la razón entre la velocidad en bicicleta y caminando es de 2.
Este documento presenta 12 preguntas de opción múltiple sobre conceptos de física como fuerzas, peso, equilibrio y sistemas de fuerzas. Las preguntas involucran conceptos como componentes de fuerza, fuerzas en planos inclinados, equilibrio estático, fuerzas de rozamiento y sistemas de fuerzas simples. El documento proporciona información contextual y diagramas para cada pregunta.
El documento presenta información sobre una prueba de matemáticas compuesta por 20 preguntas con opciones de respuesta. Seguidamente presenta 5 preguntas (106-110) sobre una secuencia de figuras y sus características. Finalmente presenta información sobre dos medicamentos y sus efectos en el organismo para responder las preguntas 111-115.
Este documento explica la regla de tres compuesta, que se aplica cuando hay más de dos magnitudes en un problema. Presenta ejemplos de regla de tres compuesta directa, inversa y mixta, resolviendo cada uno. También incluye ejercicios resueltos que aplican la regla de tres compuesta.
Este documento presenta una recopilación de ejercicios de matemáticas resueltos, con el objetivo de ayudar a los estudiantes a comprender mejor los contenidos. El autor explica las soluciones de los ejercicios de una manera didáctica para facilitar su aprendizaje. Los ejercicios están organizados en secciones como relaciones de semejanza, teoremas de Euclides y teorema de Pitágoras. El documento pretende ser útil tanto para estudiantes como para profesores.
Este documento describe diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales 2x2, incluyendo igualación, sustitución, eliminación, gráfico y determinantes. Explica cada método con ejemplos y ejercicios resueltos. El objetivo es entender y aplicar estos métodos para resolver problemas que involucren sistemas de ecuaciones lineales 2x2.
Este documento presenta un resumen de un tema sobre productos notables impartido en la asignatura de Álgebra del grado 8° en el Instituto Universitario de Caldas. El tema incluye ejercicios para determinar áreas de cuadrados, completar términos faltantes en potencias y relacionar productos notables con su desarrollo. También explica errores comunes en el desarrollo de productos notables y determinar si expresiones son verdaderas o falsas. Finalmente, identifica el nombre del caso de productos notables que se aplica
Este documento presenta un taller de física sobre la relación entre magnitudes para estudiantes de 10° grado. Explica conceptos como magnitudes directa e inversamente proporcionales y cómo hallar las constantes de proporcionalidad. Incluye ejercicios para que los estudiantes identifiquen diferentes tipos de proporcionalidad y respondan preguntas sobre gráficas de magnitudes. El objetivo es reforzar los conceptos de proporcionalidad directa e inversa a través de la resolución de problemas y el análisis de datos experimentales.
Este documento explica las ecuaciones cuadráticas, incluyendo su definición, partes, historia, ejemplos y clasificación. Una ecuación cuadrática es una ecuación polinómica donde el mayor exponente es 2. Se pueden clasificar como completas, incompletas puras o incompletas mixtas dependiendo de los coeficientes. Se proporcionan ejemplos y una práctica de clasificación.
Tema 1. Interaccion Gravitatoria Problemasguest7b006f7f
1. La ley de gravitación universal establece que la fuerza gravitatoria entre dos cuerpos es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa.
2. El documento presenta varios ejercicios sobre la aplicación de esta ley y las leyes de Kepler a sistemas como el sistema solar, satélites artificiales y la Luna, calculando magnitudes como el campo gravitatorio, la energía potencial y cinética y las órbitas.
3. También compara las interacciones gravit
Este documento presenta dos ejemplos de cómo resolver inecuaciones irracionales. Para resolver este tipo de inecuaciones, se recomienda refrescar los conocimientos sobre la resolución de ecuaciones irracionales debido a que los procedimientos son similares. En el primer ejemplo, se resuelve la inecuación 7 3x elevando al cuadrado ambos lados y obteniendo el conjunto de soluciones {x | x > 16}. En el segundo ejemplo, se resuelve la inecuación 2
2 24 4x x
Una función cuadrática se representa como f(x) = ax2 + bx + c, donde a, b y c son números reales y a no es cero. Gráficamente, una función cuadrática se representa como una parábola, la cual tiene características como su orientación (concavidad), puntos de corte con los ejes x e y, eje de simetría y vértice. El eje de simetría divide la parábola en dos partes simétricas y pasa por el vértice, que son las coordenadas del punto máximo o mín
Este documento presenta una serie de ejercicios sobre triángulos y congruencia de triángulos. Incluye 12 ejemplos resueltos que demuestran la congruencia de triángulos utilizando los criterios de ángulo-lado-ángulo, lado-ángulo-lado y ángulo-ángulo-lado. Los ejemplos utilizan conceptos como bisectrices, perpendicularidad y propiedades de triángulos isósceles para establecer la congruencia entre triángulos.
Este documento presenta el Teorema de Menelao y su recíproco. El Teorema de Menelao establece que para cualquier transversal que corta los tres lados de un triángulo, la razón del producto de tres segmentos sin extremos comunes sobre el producto de los otros tres segmentos es igual a la unidad. El Teorema Recíproco establece que si tres puntos determinan seis segmentos en los lados de un triángulo y cumplen la igualdad del Teorema de Menelao, entonces los tres puntos son colineales. El document
Este documento presenta una serie de ejercicios sobre funciones cuadráticas. Instruye al estudiante a encontrar el vértice y eje de simetría de parábolas dadas, indicar el número de puntos de corte con el eje x, representar gráficamente funciones cuadráticas, y calcular expresiones analíticas de funciones cuadráticas bajo ciertas condiciones. El documento contiene 12 ejercicios para practicar conceptos y procedimientos relacionados con funciones cuadráticas.
El documento presenta varios problemas matemáticos con sus respectivas soluciones. El primer problema consiste en construir un número de seis cifras distintas cuyos números de tres cifras sean múltiplos de 4, 5, 3 y 11. La solución es 324561. El segundo problema trata sobre la probabilidad de acertar al menos dos preguntas de opción múltiple con tres respuestas cada una al azar, obteniendo 0,259. El tercer problema resuelve la longitud AP de un triángulo rectángulo dado, hallando 17,5 unidades.
Este documento introduce el concepto de límite matemático y cómo surgió para resolver problemas en el cálculo del siglo XVII. Explica el concepto de límite a través de sucesiones y ejemplos de funciones, y analiza propiedades como el límite de una constante por una función, la suma y el producto de funciones, y límites indeterminados.
1. Se describe un problema de física sobre un paquete que se desliza por un plano inclinado a 20° con una velocidad inicial de 8 m/s. El paquete se detiene a una altura 7 m más arriba. Se debe determinar el coeficiente de fricción entre el paquete y el plano.
2. Se analiza el movimiento de dos cuerpos colgados de extremos opuestos de una cuerda que pasa por una polea. Se determina que la aceleración que adquieren ambos cuerpos es de 4.9 m/s
Este documento presenta una prueba de matemáticas para el grado séptimo del Colegio Dario Echandía. La prueba contiene 15 preguntas sobre operaciones con racionales, ecuaciones con racionales y paréntesis, y valor numérico de expresiones algebraicas. También incluye 3 preguntas sobre matrices asociadas a gráficos dirigidos. Los estudiantes deben entregar las hojas de respuestas y procedimiento, y se quedan con la hoja del examen para trabajar en clases.
El documento explica cómo racionalizar monomios y binomios con raíces en el denominador. Primero, cubre los métodos para racionalizar radicales de índice 2, como multiplicar el numerador y denominador por la raíz del denominador elevada a la diferencia entre el índice y el exponente. Luego, explica cómo racionalizar binomios de índice 2 usando productos notables, y monomios con índices mayores que 2 multiplicando por cantidades exponenciales. Finalmente, concluye que este tema ayudó a comprender y resolver ej
El documento presenta los conceptos básicos de las matrices, incluyendo su definición, dimensión, clases (cuadradas, triangulares, diagonales, identidad), igualdad, y operaciones (suma, multiplicación por escalares, multiplicación entre matrices). El objetivo es que los estudiantes aprendan a definir, identificar, aplicar operaciones y determinar la inversa de las matrices.
El documento describe diferentes métodos de demostración matemática como demostraciones directas, indirectas, por inducción completa y por contraejemplo. Explica que una demostración matemática es una cadena de proposiciones verdaderas obtenidas mediante reglas lógicas de inferencia que van de las premisas conocidas hasta llegar a la conclusión del teorema a demostrar. También define conceptos como axiomas, postulados, teoremas y la geometría euclidiana.
Este documento trata sobre ecuaciones lineales. Explica que una ecuación es una igualdad con al menos un número desconocido llamado incógnita. Se definen las ecuaciones lineales como igualdades algebraicas con incógnitas cuyo exponente es 1. Luego, describe los pasos para resolver ecuaciones lineales, que incluyen reducir términos semejantes, trasponer términos, y despejar la incógnita. Finalmente, presenta un ejemplo resuelto.
Este documento trata sobre conceptos básicos de trabajo, fuerza y potencia. Define trabajo como el producto de la fuerza por la distancia recorrida, y explica que depende del coseno del ángulo entre la fuerza y el desplazamiento. Incluye ejemplos numéricos de cálculo de trabajo y potencia.
Uso de GeoGebra para la construcción de diagramas de cuerpo libre y editor de...Marco Vinicio López Gamboa
Este documento describe el uso del software gratuito GeoGebra para la construcción de diagramas de cuerpo libre y la edición de imágenes en la enseñanza de la física. GeoGebra permite crear diagramas de cuerpo libre, superficies gaussianas y líneas de campo eléctrico para explicar conceptos físicos y resolver ejercicios. El software ofrece herramientas como vectores, circunferencias y líneas que son útiles para la física. GeoGebra es una herramienta práctica y accesible para docentes y
Este documento presenta 9 preguntas de selección múltiple relacionadas con conceptos de mecánica como movimiento circular uniforme, fuerza centrípeta, velocidad angular, periodo y aceleración. Las preguntas se refieren a situaciones como un motociclista dando vueltas en una jaula de la muerte, 4 carros moviéndose a velocidad constante en una pista circular, la órbita de un satélite alrededor de la Tierra y el movimiento de una esfera y una piedra atada a una cuer
Este documento describe diferentes conjuntos numéricos y tipos de intervalos. Explica que los números naturales (N) son los números para contar y los enteros (Z) incluyen los naturales, cero y sus opuestos. Los racionales (Q) son cualquier número que pueda escribirse como fracción de enteros, mientras que los irracionales (I) tienen decimales infinitas no periódicas. Finalmente, los reales (R) son la unión de racionales e irracionales. También define intervalos abiertos, cerrados, semiabiertos y infinit
El documento presenta información sobre los conjuntos numéricos, incluyendo números naturales, sus características, operaciones y propiedades. Explica conceptos como mínimo común múltiplo, máximo común divisor, descomposición en factores primos y cómo calcularlos. Incluye ejemplos para ilustrar los diferentes temas.
Este documento presenta un taller de física sobre la relación entre magnitudes para estudiantes de 10° grado. Explica conceptos como magnitudes directa e inversamente proporcionales y cómo hallar las constantes de proporcionalidad. Incluye ejercicios para que los estudiantes identifiquen diferentes tipos de proporcionalidad y respondan preguntas sobre gráficas de magnitudes. El objetivo es reforzar los conceptos de proporcionalidad directa e inversa a través de la resolución de problemas y el análisis de datos experimentales.
Este documento explica las ecuaciones cuadráticas, incluyendo su definición, partes, historia, ejemplos y clasificación. Una ecuación cuadrática es una ecuación polinómica donde el mayor exponente es 2. Se pueden clasificar como completas, incompletas puras o incompletas mixtas dependiendo de los coeficientes. Se proporcionan ejemplos y una práctica de clasificación.
Tema 1. Interaccion Gravitatoria Problemasguest7b006f7f
1. La ley de gravitación universal establece que la fuerza gravitatoria entre dos cuerpos es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa.
2. El documento presenta varios ejercicios sobre la aplicación de esta ley y las leyes de Kepler a sistemas como el sistema solar, satélites artificiales y la Luna, calculando magnitudes como el campo gravitatorio, la energía potencial y cinética y las órbitas.
3. También compara las interacciones gravit
Este documento presenta dos ejemplos de cómo resolver inecuaciones irracionales. Para resolver este tipo de inecuaciones, se recomienda refrescar los conocimientos sobre la resolución de ecuaciones irracionales debido a que los procedimientos son similares. En el primer ejemplo, se resuelve la inecuación 7 3x elevando al cuadrado ambos lados y obteniendo el conjunto de soluciones {x | x > 16}. En el segundo ejemplo, se resuelve la inecuación 2
2 24 4x x
Una función cuadrática se representa como f(x) = ax2 + bx + c, donde a, b y c son números reales y a no es cero. Gráficamente, una función cuadrática se representa como una parábola, la cual tiene características como su orientación (concavidad), puntos de corte con los ejes x e y, eje de simetría y vértice. El eje de simetría divide la parábola en dos partes simétricas y pasa por el vértice, que son las coordenadas del punto máximo o mín
Este documento presenta una serie de ejercicios sobre triángulos y congruencia de triángulos. Incluye 12 ejemplos resueltos que demuestran la congruencia de triángulos utilizando los criterios de ángulo-lado-ángulo, lado-ángulo-lado y ángulo-ángulo-lado. Los ejemplos utilizan conceptos como bisectrices, perpendicularidad y propiedades de triángulos isósceles para establecer la congruencia entre triángulos.
Este documento presenta el Teorema de Menelao y su recíproco. El Teorema de Menelao establece que para cualquier transversal que corta los tres lados de un triángulo, la razón del producto de tres segmentos sin extremos comunes sobre el producto de los otros tres segmentos es igual a la unidad. El Teorema Recíproco establece que si tres puntos determinan seis segmentos en los lados de un triángulo y cumplen la igualdad del Teorema de Menelao, entonces los tres puntos son colineales. El document
Este documento presenta una serie de ejercicios sobre funciones cuadráticas. Instruye al estudiante a encontrar el vértice y eje de simetría de parábolas dadas, indicar el número de puntos de corte con el eje x, representar gráficamente funciones cuadráticas, y calcular expresiones analíticas de funciones cuadráticas bajo ciertas condiciones. El documento contiene 12 ejercicios para practicar conceptos y procedimientos relacionados con funciones cuadráticas.
El documento presenta varios problemas matemáticos con sus respectivas soluciones. El primer problema consiste en construir un número de seis cifras distintas cuyos números de tres cifras sean múltiplos de 4, 5, 3 y 11. La solución es 324561. El segundo problema trata sobre la probabilidad de acertar al menos dos preguntas de opción múltiple con tres respuestas cada una al azar, obteniendo 0,259. El tercer problema resuelve la longitud AP de un triángulo rectángulo dado, hallando 17,5 unidades.
Este documento introduce el concepto de límite matemático y cómo surgió para resolver problemas en el cálculo del siglo XVII. Explica el concepto de límite a través de sucesiones y ejemplos de funciones, y analiza propiedades como el límite de una constante por una función, la suma y el producto de funciones, y límites indeterminados.
1. Se describe un problema de física sobre un paquete que se desliza por un plano inclinado a 20° con una velocidad inicial de 8 m/s. El paquete se detiene a una altura 7 m más arriba. Se debe determinar el coeficiente de fricción entre el paquete y el plano.
2. Se analiza el movimiento de dos cuerpos colgados de extremos opuestos de una cuerda que pasa por una polea. Se determina que la aceleración que adquieren ambos cuerpos es de 4.9 m/s
Este documento presenta una prueba de matemáticas para el grado séptimo del Colegio Dario Echandía. La prueba contiene 15 preguntas sobre operaciones con racionales, ecuaciones con racionales y paréntesis, y valor numérico de expresiones algebraicas. También incluye 3 preguntas sobre matrices asociadas a gráficos dirigidos. Los estudiantes deben entregar las hojas de respuestas y procedimiento, y se quedan con la hoja del examen para trabajar en clases.
El documento explica cómo racionalizar monomios y binomios con raíces en el denominador. Primero, cubre los métodos para racionalizar radicales de índice 2, como multiplicar el numerador y denominador por la raíz del denominador elevada a la diferencia entre el índice y el exponente. Luego, explica cómo racionalizar binomios de índice 2 usando productos notables, y monomios con índices mayores que 2 multiplicando por cantidades exponenciales. Finalmente, concluye que este tema ayudó a comprender y resolver ej
El documento presenta los conceptos básicos de las matrices, incluyendo su definición, dimensión, clases (cuadradas, triangulares, diagonales, identidad), igualdad, y operaciones (suma, multiplicación por escalares, multiplicación entre matrices). El objetivo es que los estudiantes aprendan a definir, identificar, aplicar operaciones y determinar la inversa de las matrices.
El documento describe diferentes métodos de demostración matemática como demostraciones directas, indirectas, por inducción completa y por contraejemplo. Explica que una demostración matemática es una cadena de proposiciones verdaderas obtenidas mediante reglas lógicas de inferencia que van de las premisas conocidas hasta llegar a la conclusión del teorema a demostrar. También define conceptos como axiomas, postulados, teoremas y la geometría euclidiana.
Este documento trata sobre ecuaciones lineales. Explica que una ecuación es una igualdad con al menos un número desconocido llamado incógnita. Se definen las ecuaciones lineales como igualdades algebraicas con incógnitas cuyo exponente es 1. Luego, describe los pasos para resolver ecuaciones lineales, que incluyen reducir términos semejantes, trasponer términos, y despejar la incógnita. Finalmente, presenta un ejemplo resuelto.
Este documento trata sobre conceptos básicos de trabajo, fuerza y potencia. Define trabajo como el producto de la fuerza por la distancia recorrida, y explica que depende del coseno del ángulo entre la fuerza y el desplazamiento. Incluye ejemplos numéricos de cálculo de trabajo y potencia.
Uso de GeoGebra para la construcción de diagramas de cuerpo libre y editor de...Marco Vinicio López Gamboa
Este documento describe el uso del software gratuito GeoGebra para la construcción de diagramas de cuerpo libre y la edición de imágenes en la enseñanza de la física. GeoGebra permite crear diagramas de cuerpo libre, superficies gaussianas y líneas de campo eléctrico para explicar conceptos físicos y resolver ejercicios. El software ofrece herramientas como vectores, circunferencias y líneas que son útiles para la física. GeoGebra es una herramienta práctica y accesible para docentes y
Este documento presenta 9 preguntas de selección múltiple relacionadas con conceptos de mecánica como movimiento circular uniforme, fuerza centrípeta, velocidad angular, periodo y aceleración. Las preguntas se refieren a situaciones como un motociclista dando vueltas en una jaula de la muerte, 4 carros moviéndose a velocidad constante en una pista circular, la órbita de un satélite alrededor de la Tierra y el movimiento de una esfera y una piedra atada a una cuer
Este documento describe diferentes conjuntos numéricos y tipos de intervalos. Explica que los números naturales (N) son los números para contar y los enteros (Z) incluyen los naturales, cero y sus opuestos. Los racionales (Q) son cualquier número que pueda escribirse como fracción de enteros, mientras que los irracionales (I) tienen decimales infinitas no periódicas. Finalmente, los reales (R) son la unión de racionales e irracionales. También define intervalos abiertos, cerrados, semiabiertos y infinit
El documento presenta información sobre los conjuntos numéricos, incluyendo números naturales, sus características, operaciones y propiedades. Explica conceptos como mínimo común múltiplo, máximo común divisor, descomposición en factores primos y cómo calcularlos. Incluye ejemplos para ilustrar los diferentes temas.
1) Los conjuntos numéricos son agrupaciones de números que comparten características comunes como admitir operaciones y relaciones. 2) Los conjuntos numéricos más comunes son los naturales, enteros, racionales, irracionales y reales. 3) Cada conjunto numérico se construye sobre la base del anterior y añadiendo nuevas propiedades.
Este documento presenta una serie de ejercicios introductorios sobre álgebra, números y operaciones con polinomios. Incluye problemas sobre clasificación de números, expresiones decimales periódicas, operaciones con números complejos, diagramas de Venn, factorización de polinomios y propiedades de los sistemas numéricos. El documento proporciona una guía para repasar conceptos básicos antes de abordar temas más avanzados.
El documento describe las operaciones básicas de suma, resta, multiplicación y división en los conjuntos de números naturales, enteros y reales. Explica las propiedades de clausura, conmutativa y asociativa de estas operaciones, así como la propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la suma. También define conceptos como el elemento neutro aditivo y describe cómo se extienden estas operaciones a conjuntos numéricos más amplios como los números racionales e irracionales.
Este documento presenta varios conceptos y propiedades de la teoría de conjuntos, incluyendo: 1) definiciones de conjuntos como el conjunto de números naturales pares y el conjunto de números primos, 2) propiedades de uniones y intersecciones de conjuntos, 3) relaciones entre conjuntos como inclusión, 4) diferencias simétricas de conjuntos, y 5) filtros y ultrafiltros sobre conjuntos. Se plantean numerosos ejercicios para probar estas propiedades y relaciones.
Guia N°1: Conjuntos Numericos [Introduccion al Algebra]Nico Hirasawa
Este documento presenta una guía de ejercicios sobre conjuntos numéricos y propiedades de números. Incluye 31 ejercicios para practicar conceptos como divisores, factores, números primos, operaciones con números enteros, racionales y reales. También incluye 4 preguntas de pruebas y controles anteriores relacionadas con expresiones numéricas, demostraciones algebraicas y divisores primos.
Este documento introduce los conceptos de intervalos limitados e ilimitados en la recta numérica. Explica que un intervalo es un subconjunto de los números reales cuyos elementos x están comprendidos entre los extremos a y b, los cuales también son números reales. Define tres tipos de intervalos limitados basados en si incluyen o no a los extremos: cerrado, abierto y semiabierto. Además, presenta ejemplos y problemas resueltos para ilustrar estas nociones.
Este documento define los conjuntos numéricos y explica cómo transformar diferentes tipos de números decimales a fracciones. Introduce los conjuntos de números naturales, enteros y racionales, y muestra un diagrama de Venn para ilustrar sus relaciones. Luego explica cómo convertir decimales finitos, periódicos y semiperiódicos a fracciones usando diferentes métodos como poner el valor después de la coma en el numerador y agregar ceros al denominador.
Este documento presenta una breve historia de los números reales. Explica que los primeros sistemas de numeración usaban objetos como piedras o marcas, y que los primeros números escritos aparecieron en Mesopotamia hace unos 4,000 años a.C. También resume las propiedades y operaciones básicas de los números reales como la suma, resta, multiplicación y división.
El documento describe diferentes tipos de números, incluyendo números naturales, cardinales, enteros, racionales, irracionales y reales. Explica sus propiedades y cómo se relacionan entre sí, formando conjuntos de números cada vez más grandes. También cubre las propiedades básicas de las operaciones aritméticas como la conmutativa, asociativa, elemento identidad y inverso aditivo.
Este documento trata sobre la teoría de conjuntos. Introduce conceptos básicos como elementos, pertenencia a conjuntos, notación de conjuntos, determinación de conjuntos, diagramas de Venn, operaciones entre conjuntos como unión, intersección y diferencia. También define conjuntos numéricos y especiales como el conjunto vacío y conjunto potencia. Finalmente, presenta algunos problemas para practicar con estos conceptos.
Este documento explica las operaciones básicas con conjuntos como unión, intersección, diferencia y complemento. Define cada operación y proporciona ejemplos numéricos para ilustrarlas. Explica cómo se representan los conjuntos y las operaciones en diagramas de Venn.
Este documento presenta información sobre operaciones con intervalos. Define los intervalos A, B, C y D y realiza las siguientes operaciones: a) la unión de A y D, b) la diferencia de D menos B, c) la intersección de A y C, d) la unión de B y C, y e) la intersección de A con la unión de B y C. Luego define otros conjuntos E, F y G y pide realizar operaciones entre ellos. Finalmente, solicita reforzar los conceptos resolviendo ejercicios de un libro y realizando un organizador
Este documento presenta varios problemas de matemáticas relacionados con números reales, enteros, racionales e irracionales. Se resuelven preguntas sobre operaciones con números negativos y fracciones, desigualdades numéricas, conjuntos de números y representaciones gráficas. Se determina cuál de varias opciones es la respuesta correcta a cada problema.
Aquí están las respuestas a la actividad "Sin pasarse":
Número al que se
aproximará
Cifras permitidas
Número menor que
más se aproxima
500 000 791 683 497 691
1 146 003 615 132 916
426 679 034 121975080
10 000 009 97898989
89 099 90176
459 549 459 549
GTC3_RELACION DE ORDEN EN LOS NUMEROS REALESEDER JOSÉ
Este documento describe las relaciones de orden en los números reales y las propiedades de las desigualdades. Explica que los números reales pueden representarse como puntos en una recta llamada recta real, y que una relación de orden entre dos números reales a y b se expresa como a < b si el punto correspondiente a a está a la izquierda del punto correspondiente a b. Además, presenta las propiedades de tricotomía, no negatividad, transitividad, aditividad y multiplicatividad que cumplen las desigualdades, y describe los diferentes
Este documento trata sobre la teoría de conjuntos. Explica conceptos básicos como elementos, pertenencia a conjuntos, notación de conjuntos, cardinalidad y tipos de conjuntos como vacío, unitario, finito e infinito. También define operaciones entre conjuntos como unión, intersección, diferencia y diferencia simétrica, así como propiedades de estas operaciones y de relaciones como inclusión. Finalmente, presenta ejemplos numéricos de conjuntos.
El documento explica las partes de una fracción. Una fracción representa una parte de un entero dividido en partes iguales. La parte de abajo de una fracción es el denominador y representa el número total de partes en que se divide el entero. La parte de arriba es el numerador y representa el número de partes seleccionadas. Una fracción puede tener cualquier número de partes iguales como denominador.
Este documento presenta un resumen de la teoría de conjuntos y principios de lógica. En particular, explica los diagramas de Venn para tres conjuntos A, B y C, mostrando las 8 regiones posibles formadas por la intersección de estos conjuntos y sus complementarios. Finaliza indicando que esta ha sido la presentación sobre teoría de conjuntos.
Este documento presenta una guía para un curso de nivelación de matemáticas en el Instituto Universitario Politécnico "Santiago Mariño". La guía introduce conceptos matemáticos básicos como números naturales, enteros y racionales, y cubre propiedades y operaciones con estos números. También incluye ejercicios de práctica para reforzar los conocimientos.
Este documento presenta un curso de nivelación en matemática para el ingreso a carreras universitarias. Incluye temas sobre conjuntos numéricos, polinomios, expresiones algebraicas racionales, ecuaciones e inecuaciones, funciones y trigonometría. El objetivo es consolidar conocimientos matemáticos previos y fortalecer habilidades para resolver problemas de forma rápida.
Este documento presenta un resumen de la unidad V de Matemáticas II. Incluye cuatro módulos que tratan sobre los números reales: postulados de orden, números racionales, representación geométrica de los números reales y resolución de inecuaciones. Explica conceptos como campo ordenado, números racionales e irracionales, y representa números en la recta real.
1) El documento presenta los conjuntos numéricos de los naturales, enteros y racionales, incluyendo sus elementos y operaciones básicas. 2) Explica las características de los números naturales, enteros, pares e impares, primos y sus propiedades. 3) Proporciona ejemplos y criterios para determinar la divisibilidad de un número.
Este documento presenta los objetivos y contenidos de una unidad sobre álgebra básica. Los objetivos incluyen explicar las propiedades de las potencias, raíces, funciones exponenciales y logarítmicas, y resolver operaciones algebraicas con polinomios. Los contenidos cubren temas como potenciación, radicación, operaciones con polinomios, fracciones algebraicas y números complejos. También presenta los conjuntos numéricos naturales, enteros y racionales, con sus propiedades y operaciones básicas.
Este documento presenta una introducción a los diferentes tipos de números, comenzando con los números naturales y enteros, y luego ampliando el conjunto a los números racionales e irracionales. Explica que los números naturales surgieron para contar objetos y que los enteros se expandieron añadiendo ceros y números negativos. Luego, los racionales permiten divisiones al incluir fracciones, aunque algunos problemas no pueden resolverse aquí, dando lugar a los irracionales con decimales no periódicos.
Este documento presenta una introducción a los números reales. Define los números reales como cualquier número que se encuentre en la recta numérica real, la cual incluye números racionales e irracionales. Explica las principales características de los números reales como su orden, integralidad y capacidad de ser expresados como decimales infinitos. Además, describe los conjuntos de números naturales, enteros, racionales e irracionales y cómo estos se incluyen dentro del conjunto de los números reales.
El documento explica los conceptos básicos de los números naturales, enteros, racionales y reales. Define las operaciones de suma, resta, multiplicación y división en los números naturales y describe sus propiedades como la conmutatividad, asociatividad y elemento neutro. También presenta ejemplos y actividades para practicar operaciones aritméticas con diferentes números.
Este documento contiene información sobre múltiplos y divisores. Explica que un número es múltiplo de otro cuando se puede escribir como un producto de ese número. También explica que un número es divisor de otro cuando la división entre ellos es exacta. Además, presenta algunos criterios de divisibilidad como que un número es divisible por 2 si su última cifra es par, o divisible por 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3.
Este documento explica los conceptos matemáticos de múltiplos y divisores. Un múltiplo es un número que resulta de una multiplicación, mientras que un divisor es un número que puede dividir a otro de forma exacta sin resto. Se proporcionan ejemplos y reglas para identificar si un número es múltiplo o divisor de otro.
LENGUAJE ALGEBRAICO Y PENSAMIENTO FUNCIONAL.pptxNatalyAyala9
1) El documento habla sobre expresiones algebraicas, incluyendo términos, monomios, polinomios, racionales e irracionales.
2) Explica operaciones algebraicas como suma, resta, multiplicación y división de expresiones.
3) Describe diferentes métodos para factorizar expresiones algebraicas, incluyendo factor común, trinomio cuadrado perfecto, y diferencia de cuadrados.
Los números naturales son los números que se usan para contar cantidades. Surgen hace miles de años como formas de representar cantidades de manera gráfica. Incluyen los números 0, 1, 2, 3, etc. hasta el infinito. Las operaciones de suma, multiplicación y división entera cumplen propiedades como la conmutatividad y la asociatividad, pero la resta y división no son siempre operaciones internas en los naturales.
Este documento clasifica los diferentes tipos de números reales. Incluye números naturales, enteros, fracciones, decimales, racionales e irracionales. También explica cómo convertir fracciones a decimales y la notación científica para expresar números muy grandes o pequeños.
Este documento clasifica y define los diferentes tipos de números reales. Incluye números naturales, enteros, fracciones, decimales, racionales e irracionales. También explica cómo convertir fracciones a decimales y la notación científica. Por último, cubre conceptos como suma, resta, multiplicación, división, exponentes y raíces cuadradas.
Este documento presenta información sobre la clase de Matemática Aplicada a la Administración y Gestión Comercial. Explica los objetivos de la clase, la importancia de las matemáticas para los negocios, y ofrece definiciones básicas como la recta numérica y los diferentes tipos de números.
El documento presenta información sobre diferentes conceptos matemáticos como números naturales, enteros, primos, valor absoluto, valor relativo, sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, raíces, máximo común divisor, mínimo común múltiplo, fracciones propias e impropias. Explica las definiciones de estos conceptos y proporciona ejemplos para ilustrarlos.
Este documento resume los conceptos básicos de los números reales, incluyendo su definición, clasificación, operaciones y desigualdades. Define los números naturales, enteros, racionales e irracionales y explica cómo se representan en la recta real. También cubre el valor absoluto y cómo se usan las desigualdades con valor absoluto.
Este documento presenta una introducción a los conjuntos numéricos y espacios vectoriales. Explica los conjuntos de números naturales, enteros, racionales e irracionales, y cómo su unión forma el conjunto de los números reales. También define conceptos como vector, operaciones con vectores, norma de un vector, y demuestra que Rn define un espacio vectorial.
Resolución de Ecuaciones usando Propiedades de los números racionalespablo ramirez
El documento explica cómo resolver ecuaciones utilizando propiedades de los números enteros y racionales. Describe los pasos para realizar cálculos numéricos y las propiedades de la suma, multiplicación, resta y división que permiten transformar ecuaciones de manera equivalente hasta dejar la incógnita sola de un lado. Incluye un ejemplo completo de cómo resolver una ecuación aplicando estas propiedades y transformaciones.
Resolución de Ecuaciones usando Propiedades de los números racionales
2 conjuntos numericos
1. Conjuntos Numéricos
CONJUNTOS NUMÉRICOS
La noción de número es tan antigua como el hombre mismo ya que son necesarios para resolver
situaciones de la vida diaria. Por ejemplo, usamos números para contar una determinada cantidad
de elementos (existen siete notas musicales, 9 planetas, etc.), para establecer un orden entre ciertas
cosas (el tercer mes del año, el cuarto hijo, etc.), para establecer medidas (3,2 metros, 5,7 kg, –4ºC,
etc.), etc.
Números naturales
Al conjunto de los números que sirven para contar {1, 2, 3, 4, ...} los llamaremos números
naturales y lo notaremos con la letra N.
Estos números están ordenados, lo que nos permite representarlos sobre una recta del siguiente
modo:
1 2 3 4 5 6
Como podemos observar en la recta numérica, el conjunto N tiene primer elemento, el 1; y
¿cuál es su último elemento? .................................................................................................................
Actividad:
• ¿Puedes afirmar que todo número natural tiene un antecesor? ¿Por qué? Ejemplifica.
..........................................................................................................................................................
• ¿Puedes afirmar que todo número natural tiene un sucesor? ¿Por qué? Ejemplifica.
..........................................................................................................................................................
Como ya sabemos, sobre este conjunto de números se pueden definir ciertas operaciones como
suma, resta, multiplicación y división. Observa lo siguiente:
2+5=7 La suma de dos números naturales da siempre como
5+2=7 resultado un número natural
3 + 20 = 23
2 . 7 = 14 La multiplicación de dos números naturales da siempre
5 . 8 = 40
como resultado un número natural.
10 . 3 = 30
8–3=5
20 – 7 = 13 La resta de dos números naturales no siempre da un
7 – 20 = ? número natural.
5–5=?
2. Conjuntos Numéricos
Números Enteros
Para solucionar el problema de la resta, se crean los números negativos –1, –2, –3, etc. como
opuestos de los números naturales. Además se incorpora el cero para dar solución a la resta de un
número consigo mismo. El conjunto de los números naturales, sus opuestos negativos y el cero
constituyen el conjunto de los números enteros, que se indica con la letra Z. Notemos que N ⊆ Z.
Su representación sobre la recta numérica es la siguiente:
–2 –1 0 1 2 3
…es opuesto de…
Veamos algunos ejemplos:
El opuesto de 2 es –2.
El opuesto de 5 es –5, es decir –(–5) = 5.
El opuesto de 0 es ...............
De esta manera, podemos redefinir la resta de dos números naturales como la suma de dos enteros.
Ejemplo: Calcular
1) 23 + (–12) = ?
Solución: sumar –12 es lo mismo que restar su opuesto, o sea 12, es decir:
23 + (–12) = 23 – 12 = 11.
2) 9 – (–20) = ?
Solución: restar –20 es lo mismo que sumar su opuesto, o sea 20, por lo tanto:
9 – (–20) = 9 + 20 = 29.
Actividad:
Completar:
• La suma de dos enteros da siempre un número ...............................
Dar dos ejemplos.
• La multiplicación de dos números enteros da siempre un número ...............................
Dar ejemplos.
Veamos qué ocurre con la división. Observemos lo siguiente:
4 : 2 = 2 ya que 2 . 2 = 4
6 : 3 = 2 ya que 2 . 3 = 6
En general a : b = c, b ≠ 0 si se verifica que b . c = a.
¿Cuál será el resultado de 4 : 3 ? Debemos pensar en un número entero tal que al multiplicarlo
por 3 dé como resultado 4. ¿Qué número entero cumple con esta condición? ......................................
3. Conjuntos Numéricos
Números Racionales
Para resolver esta situación habrá que introducir otro conjunto numérico, el conjunto de los
números racionales al que denotaremos con la letra Q. Un número racional es el cociente de dos
m
números enteros m y n, siendo n ≠ 0 . Por lo tanto: Q = { , m, n ∈ Z, n ≠ 0}, donde m es el
n
numerador y n el denominador. Notemos que Z ⊆ Q. ¿Por qué?
- ¿Por qué en la definición se excluye al 0 en el denominador?
.........................................................................................................................................................
Representemos en la recta numérica algunos números racionales:
−1
3 0 2
3 1 4
3
Veamos algunos ejemplos de números racionales:
5 es racional pues 7 es entero y 5 es entero.
7
− 4 es racional pues –4 es entero y 3 es entero.
3
4 es racional pues 4
1 = 4 y 4 y 1 son enteros.
0,3 es la expresión decimal de un número racional porque 0,3 = 10 y 3 y 10 son enteros.
3
) ) 5
0,5 es la expresión decimal de un número racional porque 0,5 = 9 y 5 y 9 son enteros.
) )
0,15 es la expresión decimal de un número racional porque 0,15 = 15−1 = 14 y 14 y 90 son
90 90
enteros.
En definitiva todo número racional puede escribirse como una expresión decimal
cuya parte decimal puede ser periódica, pura o mixta, con un número finito de cifras, o
puede tener un número finito de cifras.
Así, por ejemplo:
37
33 = 1,121212 K = 1,12 es una expresión decimal periódica pura.
)
32
90 = 0,355K = 0,35 es una expresión decimal periódica mixta.
9
20 = 0,45 es una expresión decimal finita.
Definimos el inverso de un número a ≠ 0 como el número racional que multiplicado por a nos
1
dé 1, es decir: a ⋅ = 1 .
a
4. Conjuntos Numéricos
Ejemplos:
El inverso de a = 2
5 es 1
a = 5
2 pues 2
5 ⋅ 5 = 1.
2
El inverso de a = − 27 es
2
1
a = − 27 pues − 27 ⋅ (− 27 ) = 1 .
2
2
2
De esta manera, redefinimos la división de dos enteros como la multiplicación de dos
racionales. Además, podemos extender esta idea a la división de dos racionales, definiéndola como
la multiplicación del primero por el inverso del segundo.
Ejemplos:
2 : 5 = 2 . 1 = 5 es decir a “2 dividido 5” lo pensamos como la multiplicación de los números
5
2
racionales 2 y 1 .
5
3: 1
2 = 3 . 2 = 6 es decir a “3 dividido 1
2 ” lo pensamos como la multiplicación entre 3 y el
inverso de 1
2 , que es 2.
Actividad:
Decir si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justificar.
1) 5 = 3 ⋅ 1 = 1 + 1 + 1
3
5 5 5 5
2) −2 = −2 ⋅ 1
−3 3
3) La quinta parte de 1
7 es 1
5 ⋅1 =
7
1
35 .
4) − 8 = −83 = −38
3
• Como vimos anteriormente, el sucesor inmediato de un número natural n es n + 1, por ejemplo
el sucesor inmediato de 5 es 5 + 1 = 6. Si consideramos el conjunto de los racionales, ¿podrías
decir cuál es el sucesor inmediato de 1 ?
2
..........................................................................................................................................................
• ¿Podrías determinar cuántos números racionales hay entre 1
5 y 2?
..........................................................................................................................................................
Observemos que entre dos números racionales, a y b, a < b, existe el racional (a + b) / 2 que
verifica:
a < (a + b) / 2 < b
Conclusión: si existe un racional entre los racionales a y b, existen infinitos.
Esta propiedad se expresa diciendo que el conjunto Q es un conjunto denso, en
contraposición a los naturales N y los enteros Z, que son conjuntos discretos.
5. Conjuntos Numéricos
Números Reales
NÚMEROS IRRACIONALES
¿Puedes representar a todos los números que conoces mediante una expresión decimal
periódica o limitada?
Para contestar a esta pregunta, pensá en un número muy conocido, el número π . ¿Cuál es el
valor de π ? Si te fijás en una calculadora con 8 dígitos el valor de π que te dará es el siguiente:
3,141593; si te fijás en una calculadora con 10 dígitos el valor de π que te dará es 3,14159264. En
algún libro de matemática se puede encontrar, por ejemplo: π = 3,14159265358979323846. ¿Será
π un número racional? ¿Por qué?
................................................................................................................................................................
A los números reales cuya expresión decimal no es periódica ni limitada los llamaremos
números irracionales, conjunto que denotaremos con I. Algunos ejemplos: π , 2, − 5,
e = 2,7182....
Observemos que la suma de dos números irracionales no siempre da un número irracional y
que el producto de dos números irracionales no siempre da un número irracional. Buscar ejemplos
en donde se verifiquen dichas afirmaciones.
................................................................................................................................................................
Observar que si n ∈ Z, entonces n. 2 y n + 2 son también irracionales. Se puede
generalizar para r ∈ Q y t ∈ I, r + t y r . t son números irracionales. Obviamente I también es
un conjunto infinito de números.
El conjunto formado por los racionales y los irracionales se llama conjunto de números reales,
y se designa por R. Notemos que por esta definición Q ⊂ R. Los números reales llenan por
completo la recta numérica, por eso se la llama recta real. Dado un origen y una unidad, a cada
punto de la recta le corresponde un número real y, a cada número real, le corresponde un punto de
la recta.
Resumiendo
Naturales
{0} Enteros
Opuestos de los naturales Racionales
Fraccionarios Reales
Irracionales
6. Conjuntos Numéricos
Propiedades de las operaciones en R
SUMA Y PRODUCTO
Las operaciones de suma y producto definidas en R cumplen ciertas propiedades. Veamos
algunas de ellas:
Sean a, b y c números reales cualesquiera.
PROPIEDADES SUMA PRODUCTO
Ley de cierre a+b∈R a.b∈R
Asociativa a + (b + c) = (a + b) + c * a . (b . c) = (a . b) . c *
Conmutativa a+b=b+a a.b=b.a
Es el 0: Es el 1:
Existencia de elemento neutro
a+0=0+a=a a.1=1.a=a
Es el opuesto aditivo: Es el inverso multiplicativo:
Existencia de inverso a ⋅ 1 = 1 ⋅ a = 1 si a ≠ 0
a + (–a) = (–a) + a = 0 a a
Distributiva del producto con
(a + b) . c = a . c + b . c
respecto a la suma
* Observación: La propiedad asociativa nos permite prescindir del uso del paréntesis y escribir
simplemente a + b + c ó a . b . c.
Actividad:
1) Compruebe con ejemplos las propiedades anteriormente mencionadas.
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
2) Decir si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. En caso de ser verdaderas,
mencionar las propiedades utilizadas.
a) 1 ⋅ (5 + 4) = 4 + 5
3 3 3
b) − 2 ⋅ ( 8 − 5) = (−2) ⋅ 8 − 5
9 9
c) 2+c=c+ 2
d) 2 + [8 . (–9)] = (2 + 8) . [2 + (–9)]
e) 1
a ⋅ a = 1 para todo a real.
5
f) Existe un número real x para el cual + x = 0.
π
7. Conjuntos Numéricos
POTENCIACIÓN
Si a es un número real y n es un número natural, entonces decimos que an se obtiene
multiplicando n veces el factor a, es decir:
an = a . a . a … a
n veces
Ejemplo: a6 = a . a . a . a . a . a
Decimos entonces que an es una potencia que tiene a como base y n como exponente.
Extendemos la definición para exponentes enteros definiendo, para a ≠ 0:
a0 = 1
a–n = (a–1)n con n ∈ N
Actividad:
Decir si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos:
a) 28 = 22 . 26 = 25 . 23 g) -32 = (-3)2
b) (8 + 3)2 = 82 + 32 h) 54 = 45
c) (8 . 3)2 = 82 . 32
−2
5 5 −2
3 2
d) (2 ) = 2 5
i) 1
=
2 ( 1 )−2
2
e) (23)2 = 26
f) 5–2 = –10
La actividad anterior ejemplifica algunas de las siguientes propiedades de la potencia:
Sean a, b números reales, m, n números enteros, excluyendo los casos 00.
PROPIEDAD POTENCIA
Distributiva con respecto al producto (a . b)m = am . bm
m
a am
Distributiva con respecto a la división = m
b b
Producto de potencias de igual base an . am = an + m
an
División de potencias de igual base m
= a n−m
a
Potencia de potencia (a )
n m
= a n⋅m
Observación: Como se vio en el ejercicio anterior la potencia no es distributiva con respecto a la
suma ni a la resta.
• ¿Qué sucede si a un número negativo lo elevamos a una potencia par? ¿Cuál es el signo del
resultado?
..........................................................................................................................................................
8. Conjuntos Numéricos
• ¿Existe alguna potencia de 5 que dé como resultado un número negativo? ¿Por qué?
..........................................................................................................................................................
RADICACIÓN
La radicación es una operación inversa de la potenciación. Se llama raíz enésima de un número
a, al número b tal que la potencia enésima de b es igual a a. En símbolos:
n
a = b ⇔ b n = a , con n ∈ N..
n es el índice de la raíz y a es el radicando.
Ejemplos:
4
16 = 2 ya que 24 = 16.
3
− 8 = −2 ya que (–2)3 = –8.
− 16 = ?
Se presenta el problema ante una raíz de índice par de un número negativo, pues ningún
número real elevado a una potencia par da como resultado un número negativo.
Debemos advertir que las raíces de índice par, cuando tienen solución, tiene dos soluciones y se
trata de dos números opuestos. Por ejemplo 64 = ± 8 pues 82 = (–8)2 = 64. En lo sucesivo, salvo
aclaración expresa, se indicará solamente la solución positiva, llamada solución aritmética.
Veamos ahora las propiedades de la radicación, las cuales son análogas a las de la potenciación.
Sean a, b números reales positivos y n, m números naturales:
PROPIEDADES RADICACIÓN
Distributiva con respecto al producto n
a.b = n a .n b
n
a a
Distributiva con respecto a la división n =
b n
b
Raíz de raíz n m
a = n.m a
Observaciones:
• Al igual que con la potenciación, la radicación no es distributiva con respecto a la suma ni a la
resta. Proponga contraejemplos que muestren que esta afirmación es verdadera.
..........................................................................................................................................................
• ¿Qué sucede si aplicamos la propiedad distributiva al siguiente radical: (−4).(−16) ?
..........................................................................................................................................................
9. Conjuntos Numéricos
SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES
Efectúa las siguientes operaciones:
• 4
28 y 2 4 y 22: ............................................................................................................................
• 10
3 20 y 3 4 y 32: ...........................................................................................................................
• (−2) 6 y (–2)3: ...............................................................................................................................
Observemos que se puede dividir el índice de la raíz y el exponente del radicando por un
mismo número sin alterar el resultado. A esta propiedad la llamaremos simplificación de
radicales.
• ¿Es posible simplificar radicales en cualquier caso?
.........................................................................................................................................................
Si el índice de la raíz es impar se puede simplificar siempre sin tener en cuenta el signo de la
base del radicando. Por ejemplo:
5
(−2) 5 = −2 (dividimos índice y exponente por 5)
21 3
2 2
7 = (dividimos índice y exponente por 3)
3 3
Si el índice de la raíz es par, sólo se puede simplificar si la base es positiva, ya que si la base
fuera negativa podría presentarse el siguiente caso:
4
(−2) 4 = 4 16 = 2
4
(−2) 4 = −2 (si dividiéramos índice y exponente en 4)
Observamos que los resultados no coinciden. Por lo tanto:
Cuando el índice es par y el radicando es negativo no se puede simplificar...
Notemos que la única diferencia en el resultado es el signo y que las raíces de índice par dan
como resultado siempre un número positivo. Podemos entonces escribir: 4
( − 2) 4 = − 2 = 2 ,
donde el valor absoluto a de un número a se define de la siguiente manera:
a si a ≥ 0
a =
− a si a < 0
CONCLUSIÓN:
Si n es impar, n
an = a .
Si n es par, n
an = a .
10. Conjuntos Numéricos
Actividad:
1) Descubra los dos errores cometidos en el siguiente desarrollo:
−2
1 3
4
28 ⋅ + − 2 ⋅ − 8 + − =
8
(−2) 8 5
2
1 5
=2 ⋅ 2
+ (−2)(−8) + − =
−2 3
4 25 25 43
= + 16 + = −2 + 4 + =
−2 9 9 9
2) ¿Podría decir en qué casos vale la igualdad: a2 = ( a )2 ?
..........................................................................................................................................................
Racionalización de denominadores
Sabemos efectuar divisiones cuando el divisor es un número racional, pero ¿qué sucede si
3
quisiéramos calcular ? ¿Cómo efectuaríamos dicha operación?
2
Podríamos solucionar este inconveniente si encontráramos una fracción equivalente a la
anterior cuyo denominador fuera un número racional. Al procedimiento que nos permite hallar tal
fracción equivalente se lo denomina racionalización de denominadores.
Veamos algunos ejemplos:
17 17 21 17 ⋅ 21 357
♦ = ⋅ = =
21 21 21 212 21
5 5 7
36 ⋅ 5 4 5 ⋅ 7 36 ⋅ 5 4 5 ⋅ 7 36 ⋅ 5 4 5 ⋅ 7 36 ⋅ 5 4 7 36 ⋅ 5 4
♦ = ⋅ = = = =
7
3 ⋅ 53 7
3 ⋅ 53 7
36 ⋅ 5 4 7
3 ⋅ 53 ⋅ 36 ⋅ 5 4 7
37 ⋅ 5 7 3⋅5 3
a
En ambos casos, para racionalizar una expresión del tipo con m < n y b ∈ R+, lo que se
n m
b
n n−m
hizo fue multiplicar y dividir dicha expresión por b . De esto resulta una expresión cuyo
n−m
denominador es b ⋅ b n m
= b , y así podemos simplificar índice y exponente para eliminar la
n n
raíz del denominador.
Actividad:
¿Cómo racionalizaría los denominadores de las siguientes expresiones?
−8
• =
2 ⋅5 1
3
7
• =
53 ⋅ 34
11. Conjuntos Numéricos
Potencias de exponente fraccionario
Observemos las siguientes analogías:
6
♦ a 3 = a2 y 3
a6 = a2
15
♦ a 5 = a3 y 5
a 15 = a 3
Estos ejemplos nos inducen a adoptar la siguiente definición para el caso de potencias de
exponente fraccionario:
n
a m = m a n , donde a ∈ R+, n ∈ Z y m ∈ N
• ¿Cuándo será posible calcular una potencia de exponente fraccionario de base negativa?
..........................................................................................................................................................
Actividad:
Llevar a exponente fraccionario y resolver.
−2
1
a) 13 ⋅ =
8
13
1
7 −2 ⋅
7
b) =
3
7 −5
a⋅ a
c) 3
=
a
16 0.25 ⋅ 3 2
d) =
−4
LOGARITMACIÓN
Dada la siguiente potencia x3 = 8, ya hemos visto la operación de radicación que nos permite
calcular x como 3 8 . Ahora nos interesa resolver la ecuación 2x = 8, es decir a qué exponente debo
elevar el número 2 para obtener 8 como resultado. Para esto definimos otra operación inversa de la
potenciación, la logaritmación, de la siguiente manera:
log b a = c si y sólo si bc = a, donde a, b ∈ R+, b ≠ 1..
De esta forma, en el ejemplo anterior, x = log 2 8 = 3.
12. Conjuntos Numéricos
Ejemplos:
log 1
3
1
9 = 2 pues (1 )2 = 1
3 9
log 5 125 = −3 pues 5 −3 = 125
1 1
1
log10 10 = 1
2 pues 10 2 = 10
log 6 1 = 0 pues 6 0 = 1
Actividad:
• ¿Existe log 4 − 2 ? ¿Por qué?
..........................................................................................................................................................
• ¿Por qué en la definición se aclara que la base b sea distinta de 1?
..........................................................................................................................................................
Observación: En la práctica hay dos bases de interés especial: 10 y e = 2,7182... El logaritmo en
base 10 de un número a se denota log a, es decir log10 a = log a, mientras que el logaritmo en base
e de a, llamado logaritmo natural o neperiano, se denota ln a, es decir log e a = ln a.
El logaritmo cumple con las siguientes propiedades, compruébelo con ejemplos:
Para valores b, c, x, y, n que tengan sentido:
log b ( x ⋅ y ) = log b x + log b y
x
log b = log b x − log b y
y
log b x n = n ⋅ log b x
log c x
log b x =
log c b
Actividad:
Resolver:
1) log 4 5 + log 4
4
4
5
2) log (10 . 100)2
3) ln 1 − 2 ln e .
e
4) Sabiendo que log x = 5
8 y log b x = 2 , calcule log b.
3
13. Conjuntos Numéricos
Relación de orden en R
Hasta ahora hemos definido ciertas operaciones en los números reales y analizado sus
propiedades. En esta sección lo que haremos es establecer un orden entre dos números reales
cualesquiera.
Dados dos números reales a y b, se tiene sólo uno de los siguientes casos:
♦ a < b (se lee “a es menor que b”, o “b es mayor que a”)
♦ b < a (se lee “b es menor que a”, o “a es mayor que b”)
♦ a = b (se lee “a es igual a b” o “b es igual a”)
Ejemplo: –8 < 1; 1
5 > 0, 2 < 3.
Observaciones:
♦ a < b y b > a son expresiones equivalentes.
♦ a ≤ b (se lee “a es menor o igual que b”) significa que a < b o bien a = b. Por ejemplo: 7 ≤ 9 y
también 7 ≤ 7.
Responder: ¿Es a < a? ¿Es a ≤ a? ¿Por qué?
..........................................................................................................................................................
¿Cómo ubicamos a los números reales en la recta numérica?
Para ello debemos tener en cuenta que dados dos números reales el menor siempre deberá estar
ubicado a la izquierda del mayor. De esta manera:
− 8 –1 0 3
2
Una vez establecido un orden entre los números reales, podemos preguntarnos:
• ¿Cuántos números naturales hay entre –5 y 7?
..........................................................................................................................................................
• ¿Cuántos números enteros hay entre –5 y 7?
..........................................................................................................................................................
• ¿Cuántos números racionales hay entre –5 y 7? ¿Y cuántos números reales?
..........................................................................................................................................................
Como, dados 2 números naturales (enteros), existe una cantidad finita de números naturales
(enteros) entre ellos, decimos que el conjunto de los números naturales (enteros) es DISCRETO.
Por otra parte, la propiedad que tienen los números racionales y reales de que entre dos de ellos
existan infinitos más se explica debido a que tanto Q como R son conjuntos DENSOS.
14. Conjuntos Numéricos
Intervalos de números reales
DEFINICIÓN: A un subconjunto de la recta real le llamamos intervalo si contiene por lo menos
dos números y también todos los números reales entre dos de sus elementos.
Ejemplo: A = {x ∈ R: 6 < x < 8} es un intervalo.
Clasificación de intervalos:
Se llama intervalo abierto de extremos a y b al conjunto de los x que están entre a y b, sin
considerar los extremos a y b. Escribiremos (a, b) = {x ∈ R: a < x < b}. Gráficamente:
( )
a b
Se llama intervalo cerrado de extremos a y b al conjunto de los x que están entre a y b,
incluyendo los extremos a y b. Escribiremos [a, b] = {x ∈ R: a ≤ x ≤ b}. Gráficamente:
[ ]
a b
Se llama intervalo abierto a la izquierda al conjunto de los x tales que a < x ≤ b. Escribiremos
(a, b] = {x ∈ R: a < x ≤ b}. Gráficamente:
( ]
a b
Se llama intervalo abierto a la derecha al conjunto de los x tales que a ≤ x < b. Escribiremos
[a, b) = {x ∈ R: a ≤ x < b}. Gráficamente:
[ )
a b
Llamaremos intervalos infinitos a los siguientes conjuntos de puntos:
- {x ∈ R: x > a} = (a, +∞) (
a
- {x ∈ R: x ≥ a} = [a, +∞) [
a
- {x ∈ R: x < a} = (–∞, a) )
a
- {x ∈ R: x ≤ a} = (–∞, a] ]
a
- R = (–∞, +∞)
Observación: A +∞ y –∞ no se los debe considerar como números; son solamente símbolos
convencionales que indican todos los números reales hacia la derecha o izquierda de un número a
fijo.
15. Conjuntos Numéricos
Ejemplo:
1) El conjunto A = {x ∈ R: x ≠ 0} es la unión de dos intervalos, o sea, A = (–∞, 0) ∩ (0, +∞).
2) Consideremos los siguientes conjuntos:
A = {x ∈ R: –2 < x ≤ 5} = (–2, 5] y B = {x ∈ R: 0 ≤ x} = [0, +∞)
Gráficamente:
( ]
-2 5
[
0
Podemos ver que A ∩ B = {x ∈ R: –2 < x ≤ 5 o 0 ≤ x} = {x ∈ R: –2 < x} = (–2, +∞).
También podemos observar que A ∪ B = {x ∈ R: –2 < x ≤ 5 y 0 ≤ x} = {x ∈ R: 0 ≤ x ≤ 5} = [0, 5].
Actividad:
Consideremos los siguientes intervalos: A = (–5, 0] y B = (2, 4).
Expresarlos utilizando desigualdades, representarlos en la recta numérica y hallar:
i) A ∩ B ii) A ∪ B iii) A’ iv) B ∩ ∅ v) A ∪ ∅
16. Conjuntos Numéricos
TRABAJO PRÁCTICO – NÚMEROS REALES
1) Completar con los símbolos ∈, ∉, ⊂ o ⊄ según corresponda.
4 ........ N 2 ........ Q
1
2 ........ I R ........ R
)
N ........ R 0.3 ........ I
{–2, π , 0}........ Z N ........Z ........Q........R
2) Dado el conjunto S = {12, 5 , 7 , − 38, 571, π , 0.6} , encontrar:
3
a) S ∪ N c) S ∪ I
b) S ∪ Q d) S ∪ Z
Representar el conjunto S en la recta numérica.
3) Decir si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:
a) La suma de dos números naturales es siempre un número natural.
b) La diferencia de dos números naturales es siempre un número natural.
c) El cuadrado de un número racional negativo es un racional positivo.
d) Existen infinitos números racionales comprendidos entre 0 y ½.
e) El conjunto de los números naturales carece de primer elemento.
4) Responde:
a) Si m = 14, ¿cómo pueden representarse los números 13, 15 y 16 en términos de m?
b) Sea n un número par cualquiera, ¿cuál es el siguiente entero par? ¿Cuál el anterior?
c) Si x representa cualquier entero impar, ¿cuál es el siguiente entero impar? ¿Cuál el anterior?
d) Si x es cualquier entero par, ¿x + 1 es un entero par o impar? ¿Y x – 1?
e) Si x es cualquier entero, ¿2x es par o impar? ¿Y 2x – 1? ¿Y 2x + 1?
5) Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justificar la respuesta proponiendo
un contraejemplo, en caso de ser falsa, o enunciando las propiedades aplicadas, en caso de ser
verdadera.
a) si a = –2 y b = 0, entonces a : b = 0 h) a – (b + c) = a – b + c
b) (–a) . (–b) = –(a . b) i) (b + c) : a = b : a + c, con a ≠ 0
c) el cociente entre un número y su j) para todo a ∈ R, a : a −1 = 1
opuesto es igual a –1 k) para todo a ∈ R, (a −1 ) −1 = a
d) a + (–b + c) = a – b + c
l) a . (–b) = a . b
e) el inverso de 2 es − 1 .
2 m) a . (b – c) = a . b – a . c
f) a : (b + c) = a : b + a : c, siendo b + c n) la ecuación 2x = 1 tiene solución en Z
≠ 0, b ≠ 0 y c ≠ 0 o) –(–a) = a
g) b – [–c . (2 – 1) – 1] = b
6) Calcular:
a) (5 + 3)2 = .......... 52 + 32 = ..........
4 4
2 2
b) − 1 = .......... − 1 = ..........
4
3 3
3 –2
c) (–2) = .......... 3 = ..........
d)
2
(−2) 3 = .......... [(−2) ] 3 2
= ..........
17. Conjuntos Numéricos
7) Completar con = o ≠ y mencionar qué propiedades se cumplen o no se cumplen:
a) (a + b)n .......... an + bn d) ( p ⋅ q ) a .......... p a ⋅ q a
b a
b) a .......... b
c
c) a b .......... (a b ) c
8) Resolver aplicando propiedades de la potenciación:
2 5
1 2 2 ⋅ (3b −2 d )(bd 3 )
a) + = d) =
2 3 12b 3 d −1
b)
(3 2
⋅ 23 )
3
= e) 0.2
−
5
2
3
−1 4
: (5 ) =
66
2 5
− −
−1
c) a 3
⋅a ⋅a⋅a 6
=
9) En los siguientes cálculos se han cometido errores al aplicar las propiedades. Se propone indicar
cuáles son y corregirlos.
a) (2 ⋅ 2 ⋅ 2 ) = (2 ) = 2
2 −3 5 2 4 2 16
b) (5 ) : (5 ) = 5 : 5 = 5 = 1
2 4 −3 2 6 −6 0
7 ⋅ (7 )
4 2 6
7 ⋅7 4 12
= (− 7 ) = 49
2
c) =
(7 ) 9 2
7 18
d) (7 ⋅ 2 − 14)0 + 5 0 = 2
10) Aplicando las propiedades de potenciación demostrar que:
a) (a + 2) − (a − 2 ) − 4 ⋅ (2a + 1) = −4
2 2
b) (3 ⋅ 3 + 3 ) : (3 ) = 8
n +1 n+2 3 n+ 2 3
c) (10 ⋅ 2 ) : (2 ) = 1000
n +1 3 n +1 3
d) 2 ⋅ (2 ⋅ 2 + 2 ) = 32
2−n n +1 n+2
11) Determinar si han sido resueltos en forma correcta los siguientes ejercicios y justificar:
a) 4⋅9 = 4 ⋅ 9 = 2⋅3 = 6 e) 9 + 16 = 25 = 5
b) − 4 ⋅ − 9 = (−4) ⋅ (−9) = 36 = 6 − 64 3
f) 3 − 64 : 3 − 8 = 3 = 8=2
c) (−2) ⋅ (−8) = 16 = 4 −8
d) 9 + 16 = 3 + 4 = 7
12) Indicar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:
a) Si x es un número real, entonces x 2 = x. c) Si x es un número real, entonces 3
x 3 = x.
b) Si x es un número real, entonces x2 = x. d) Si x es un número real, entonces 3
x3 = x .
13) Unir con flechas las expresiones iguales, siendo a, b ∈ R+ :
• 3
64a 5 ⋅ 216b 9 3 ab
400
• 4
25
18. Conjuntos Numéricos
• 4
a 9b 7c8 24ab 3 3
a2
5 b 2 1 16 2 2
• 5 ab − a 4 2 − 4 a b a 2 bc 2 4
ab 3
3 a 2 81
14) Calcular:
a) 16 0.25 = 1
⋅ ⋅( −1)
11 −2
2 3
32 3
b) 16 −0.25 = 5 ⋅ 53 f) =
5
d) −1 =
1
2⋅2 3
c) = 5
1 2
2 6 1 −
1
e) 3 2 − 3 2 =
15) Expresar como potencia de exponente fraccionario y calcular:
a) 3 ⋅ 4 27 = 5⋅3 3
c) =
b)
(
2⋅ 2
4
=
) 125 ⋅ 27
5
8 a⋅ a
d) 3 =
a
1 1
a−b
16) Demostrar que: 1 1
= a +b .
2 2
a −b
2 2
17) Calcular:
a) log 1000 = e) log 5 1000 − log 5 40 = log 2 128 − 3 log 2 32
1 g) =
b) log11 = log 6 216 6 + log 5 625 3
121 1 1
c) log 1 = 3 ⋅ log 1 − 4 ⋅ (log 3 27 ) 2
8
d) log 3 10 = f) 2
=
log 2 3 4 + log 81 9
18) Resuelva las siguientes ecuaciones:
a) log 2 x + log 2 5 = 6
b) 5 3 x ⋅ 2 x = 250
19) Exprese el subconjunto de los números reales que satisfacen las condiciones siguientes como un
intervalo o unión de intervalos:
a) x ≥ 4 y x < 5 d) x ≠ –1
b) x < 2 y x ≥ –3 e) x > –2
c) x > –5 o x < –6 f) x < 2 o x ≥ 4
20) a) Determine el conjunto de los números naturales que satisfacen –3 ≤ x < 7.
b) Determine el conjunto de los números enteros que satisfacen - π ≤ x ≤ e.