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Portafolio de algebra

Este documento presenta un módulo sobre álgebra que incluye los siguientes tópicos: conjuntos de números, propiedades de los números reales, exponentes, radicales, expresiones algebraicas, ecuaciones, desigualdades, sistemas de ecuaciones y aplicaciones. El módulo contiene 40 secciones y está dirigido a estudiantes de primer nivel de la carrera de Desarrollo Integral Agropecuario.

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UNIVERSIDAD POLITÉCNICA ESTATAL DEL CARCHI FACULTAD DE INDUSTRIAS AGROPECUARIAS Y CIENCIAS AMBIENTALES Escuela de Desarrollo Integral Agropecuario Módulo “ALGEBRA” PRIMER NIVEL PARALELO: ―A‖ JOSELYN CHILES Ing. Oscar René Lomas Reyes Enero del 2014 MODULO DE ALGEBRA Página 1
Índice. Introducción…………………………………………………………………………….1 Conjunto de los números reales…………………………………………………...2 Conjunto de los números naturales……………………………………………...3 Conjunto de los números enteros…………………………………………………4 Conjuntos de los números racióneles……………………………………………5 Propiedad conmutativa…………………………………………………………...6 Propiedades de los números reales……………………………………………...7 Propiedad transitiva……………………………………………………………......8 Propiedad de la suma y multiplicación……………………………………….9 Propiedad conmutativa de la suma y multiplicación…………………..10 Propiedad asociativa de la suma y multiplicación………………………11 Propiedad de la identidad………………………………………………………..12 Propiedades del inverso……………………………………………………………13 Propiedad distributiva……………………………………………………………14 Exponentes y radicales…………………………………………………………....15 Exponentes…………………………………………………………………………….16 Radicales……………………………………………………………………………….17 Operaciones con expresiones algebraicas……………………………………18 Expresiones algebraicas…………………………………………………………...19 Suma de expresiones algebraicas………………………………………………20 Resta de expresiones algebraicas………………………………………………21 Factorización…………………………………………………………………………22 MODULO DE ALGEBRA Página 2
Factor común…………………………………………………………………………23 Factorización de trinomios……………………………………………………...24 Fracciones……………………………………………………………………………..25 Simplificación de fracciones……………………………………………………..26 Multiplicación y división de fracciones……………………………………..27 Racionalización de denominadores…………………………………………..28 Suma y resta de fracciones………………………………………………………29 Operación combinada de fraccione…………………………………………..30 Ecuaciones lineales…………………………………………………………………31 Ecuaciones lineales…………………………………………………………………31 Terminología para las ecuaciones……………………………………………..32 Ecuaciones equivalentes…………………………………………………………..33 Ecuaciones lineales…………………………………………………………………34 Ecuaciones con literales…………………………………………………………..35 Ecuaciones fraccionarias…………………………………………………………36 Ecuación con radicales……………………………………………………………37 Ecuaciones cuadráticas…………………………………………………………..38 Resolución por factorización……………………………………………………39 Formula………………………………………………………………………………..40 Desigualdades lineales…………………………………………………………….41 Aplicación de las desigualdades………………………………………………..42 Valor absoluto………………………………………………………………………..43 Ecuaciones con valor absoluto………………………………………………….44 MODULO DE ALGEBRA Página 3
Propiedades del valor absoluto…………………………………………………45 Sistemas de ecuaciones lineales………………………………………………...46 Sistemas de ecuaciones con dos variables…………………………………...47 Método de eliminación por adición…………………………………………...48 Método de eliminación por sustitución……………………………………...49 Sistemas de ecuaciones con tres variables………………………………….50 Sistemas no lineales…………………………………………………………………51 Aplicaciones de sistemas de ecuaciones……………………………………...52 Programación lineal……………………………………………………………….53 Sistemas de desigualdades………………………………………………………..54 Método simplex………………………………………………………………………55 Programación lineal en Excel…………………………………………………..56 Solver……………………………………………………………………………………57 Bibliografía…………………………………………………………………………..59 MODULO DE ALGEBRA Página 4
EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES Introducción. . El ente básico de la parte de la matemática conocida como ANÁLISIS, lo constituye el llamado sistema de los números reales. Números tales como: 1,3, y sus correspondientes negativos, son usados en mediciones cuantitativas. Existen dos métodos principales para estudiar el sistema de los números reales. Uno de ellos comienza con un sistema más primitivo – tal como el conjunto de los números naturales o enteros positivos; 1, 2, 3, 4,..., y a partir de él, por medio de una secuencia lógica de definiciones y teoremas, se construye el sistema de los números reales. En el segundo método se hace una descripción formal del sistema de los números reales (asumiendo que existe), por medio de un conjunto fundamental de propiedades (axiomas) de las cuales muchas otras propiedades pueden deducirse. En esta primer parte, se hará una presentación intuitiva del conjunto de los números reales. Se parte de un conjunto primitivo como es el conjunto N de los números naturales y se efectúan las sucesivas ampliaciones del mismo, atendiendo más a la necesidad de resolver ciertas ecuaciones, en las cuales los conjuntos que se van definiendo resultan insuficientes para la solución, que a un desarrollo axiomático del mismo El conjunto de los números reales está constituido por diferentes clases de números. Entre ellas, se pueden mencionar los siguientes 6 conjuntos: Conjunto de los números naturales. El conjunto de los números naturales, que se denota por N o también por Z+, corrientemente se presenta así: N = {1, 2, 3, 4, 5, ...} MODULO DE ALGEBRA Página 5
La notación de conjunto que incluye los puntos suspensivos es de carácter informal. Este conjunto permite fundamentar las sucesivas ampliaciones que se hacen, de los sistemas numéricos, y lleva principalmente a la consideración de los números reales. Conjunto de los números enteros. El conjunto de los números enteros, que se denota por Z , corrientemente se presenta así: Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} En el conjunto de los números enteros, se pueden resolver ecuaciones que no tienen solución en N, como sucede por ejemplo con la ecuación x + 3 = 1, cuya solución es x = -2. Puede notarse que . Conjunto de los números racionales. El conjunto de los números racionales, que se denota por Q , se define de la siguiente manera: Q= / m, n son enteros y n La introducción de los números racionales responde al problema de resolver la ecuación: ax = b, con a, b Ésta sólo tiene solución en Z, en el caso particular en que a es un divisor de b. Note que todo entero n puede escribirse como el número racional n/1 y, en MODULO DE ALGEBRA Página 6
consecuencia, se puede concluir que: Z En lo sucesivo, cuando se haga referencia a los números racionales, a/b, c/d,..., se entenderá que a, b, c, d,..., son números enteros y que los denominadores son diferentes de cero. Conjunto de los números irracionales. En muchos temas de la geometría se plantea en general, problemas para cuya solución el conjunto Q de los números racionales resulta insuficiente. Así, por ejemplo, al considerar el problema de determinar el número x que mide la longitud de la diagonal de un cuadrado cuyo lado sea la unidad, el teorema de Pitágoras permite establecer que x, satisface la ecuación: x2 = 2. Puede demostrarse fácilmente, que no existe X Q que verifique esta última ecuación. En general, una ecuación de la forma xn = a, con a Q y n N, carecerá (excepto casos particulares) de solución. Se hace por lo tanto necesario, describir otro conjunto, en el cual, ecuaciones como las anteriores tenga solución. El conjunto de los números irracionales, que se denota por Q*, está constituido por los números reales que no admiten la representación racional. Ejemplos de esta clase de números son: el número e (base del logaritmo natural), , etc. En este conjunto, se pueden resolver ecuaciones que no tienen solución en Q, como sucede, por ejemplo, con la ecuación x2 – 2 = 0, cuyas soluciones son: x = , que no son números racionales. * Finalmente se define el Conjunto R de los números reales como: . En el conjunto R de los números reales, están definidas dos operaciones: adición (+) y MODULO DE ALGEBRA Página 7
multiplicación (.), las cuales verifican las siguientes propiedades (llamadas también axiomas de campo). LOS NUMEROS REALES Y ARECTA REAL En la geometría analítica el paso importante fue establecer una correspondencia entre los números reales y los puntos de la recta. Existe una condición que cumplen los números reales llamada axioma de completitud que garantiza una correspondencia biunívoca (uno a uno) entre el conjunto de los números reales y el conjunto de puntos en la recta o eje. A cada número real le corresponde un único punto sobre la recta y a cada punto en la recta o eje se le asocia un único número real. Como se observa en el gráfico, se elige un punto de referencia arbitrario sobre la recta al que se denomina origen. Se selecciona además una unidad de longitud para medir distancias. Se elige también un sentido a lo largo de la recta a la que se llama positivo y se considera como negativo al sentido opuesto. A cada número real entonces se le asocia un punto de la recta teniendo en cuenta lo siguiente:  Se asocia al origen el número 0, Se asocia a cada número positivo p un punto que está a una distancia de p unidades del origen en la dirección positiva,  Se asocia a cada número negativo - p el punto que está a p unidades de distancia del origen en la dirección negativa. Los puntos en la recta se identifican con los números que representan. El número real que le corresponde a un punto de la recta se denomina coordenada o abscisa del punto y la recta recibe el nombre de recta real, recta coordenada, recta numérica o recta de los números reales. También se la conoce como eje coordenado o eje real. El conjunto de los reales cubre o completa la recta sin dejar "huecos". MODULO DE ALGEBRA Página 8
Ejemplo. Orden Los números reales están ordenados cumpliendo sólo una de las afirmaciones siguientes: dados dos números reales a y b puede ser que a sea menor que b, a sea mayor que b o a sea igual a b. Puede observarse en la recta que a < b si y sólo si el punto que representa al número a está a la izquierda del punto que representa al número b. Análogamente, a > b sí y sólo sí el punto que representa al número a se halla a la derecha del que representa a b. Si a = b, los puntos se superponen. La relación de orden queda establecida teniendo en cuenta que el punto a preceder al punto b si el número real a es menor que el número real b MODULO DE ALGEBRA Página 9
(a < b).(matemati@fca.unl.edu.ar, s.f.) La propiedad conmutativa Dice que resultado de una operación es el mismo cualquiera que sea el orden de los elementos con los que se opera Propiedad conmutativa de la suma El orden de los sumandos no varía la suma. a+b=b+a 2+5=5+2 7=7 Propiedad conmutativa de la multiplicación El orden de los factores no varía el producto. a·b=b·a 2·5=5·2 10 = 10 PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES Todos los números que usamos en nuestra vida diaria son números reales. Conocer sus propiedades te ayudará a resolver gran cantidad de problemas cuantitativos en cualquier disciplina, ya sea en matemática pura, ciencias experimentales, ciencias sociales, etc. Sean , entonces se verifican las siguientes propiedades: Sean , entonces se verifican las siguientes propiedades: MODULO DE ALGEBRA Página 10
Propiedad Adición Multiplicación Cerradura Conmutativa Asociativa Distributiva Identidad Inverso Propiedad de la cerradura La propiedad de la cerradura dice que puedes sumar o multiplicar dos o más números reales, y el resultado será siempre un número real. Por ejemplo: Importante: La propiedad de la cerradura también aplica para la substracción pero NO para la división, no se puede dividir entre cero. MODULO DE ALGEBRA Página 11
Propiedad conmutativa La propiedad conmutativa para la adición y la multiplicación dice que puedes cambiar el orden de los sumandos o de los factores y el resultado será siempre el mismo. Por ejemplo: Importante: La propiedad conmutativa NO aplica para la substracción o la división, pues el resultado se altera. Propiedad asociativa La propiedad asociativa para la adición y la multiplicación nos permite hacer sumas o multiplicaciones parciales agrupando los sumandos o los factores para después sumar o multiplicar los resultados parciales para facilitar el cálculo de una expresión. Por ejemplo: Importante: La propiedad asociativa NO aplica para la substracción o la división, pues el resultado se altera. MODULO DE ALGEBRA Página 12
Propiedad distributiva La propiedad distributiva tiene que ver con reordenar o reorganizar las operaciones de adición y multiplicación en una expresión, con el fin de facilitar las operaciones aritméticas. Propiedad de identidad (elemento neutro) La propiedad de identidad para la adición dice que existe un número (llamado elemento neutro de la adición) que al ser usado como sumando no cambia el resultado de la suma: , el elemento neutro de la adición es el número CERO. La propiedad de identidad para la multiplicación dice que existe un número (llamado elemento neutro de la multiplicación) que al ser usado como factor no cambia el resultado de la multiplicación: , el elemento neutro de la multiplicación es el número UNO. Propiedad del inverso La propiedad del inverso aditivo, dice que existe un número que al ser usado como sumando hace que el resultado de la suma sea igual a CERO. el inverso aditivo para esta suma es el número La propiedad del inverso multiplicativo, dice que existe un número que al ser usado como factor hace que el resultado de la multiplicación sea igual a UNO. MODULO DE ALGEBRA Página 13
, el inverso multiplicativo para esta multiplicación es EXPONENTES Y RADICALES Exponentes Los exponentes también se llaman potencias o índices El exponente de un número nos dice cuántas veces se usa el número en una multiplicación. En este ejemplo: 82 = 8 × 8 = 64  En palabras: 82 se puede leer "8 a la segunda potencia", "8 a la potencia 2" o simplemente "8 al cuadrado" Más ejemplos: Ejemplo: 53 = 5 × 5 × 5 = 125  En palabras: 53 se puede leer "5 a la tercera potencia", "5 a la potencia 3" o simplemente "5 al cubo" Ejemplo: 24 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16  En palabras: 24 se puede leer "2 a la cuarta potencia" or "2 a la potencia 4" o simplemente "2 a la cuarta" Y los exponentes hacen más fácil escribir muchas multiplicaciones Ejemplo: 96 es más fácil de escribir y leer que 9 × 9 × 9 × 9 × 9 × 9 Puedes multiplicar cualquier número por sí mismo tantas veces como quieras con esta notación. MODULO DE ALGEBRA Página 14
Así que, en general: an te dice que multipliques a por sí mismo, y hay n de esos a's: Exponentes negativos ¿Negativos? ¿Qué es lo contrario de multiplicar? ¡Dividir! Un exponente negativo significa cuántas veces se divide entre el número. Ejemplo: 8-1 = 1 ÷ 8 = 0,125 O varias divisiones: Ejemplo: 5-3 = 1 ÷ 5 ÷ 5 ÷ 5 = 0,008 Pero esto lo podemos hacer más fácilmente: 5-3 también se podría calcular así: 1 ÷ (5 × 5 × 5) = 1/53 = 1/125 = 0,008 Este último ejemplo nos muestra una manera más fácil de manejar exponentes negativos:  Calcula la potencia positiva (an)  Después cacula el recíproco (o sea 1/an) Más ejemplos: Exponente negativo 4-2 Recíproco del exponente positivo = 1 / 42 Respuesta = 1/16 = 0,0625 MODULO DE ALGEBRA Página 15
10-3 = 1 / 103 = 1/1.000 = 0,001 ¿Qué pasa si el exponente es 1 o 0? Si el exponente es 1, entonces tienes el número solo (por ejemplo 91 = 9) Si el exponente es 0, la respuesta es 1 (por ejemplo 90 = 1) Radicales Un radical es una expresión de la forma , en la que n ya ; con tal que cuando a sea negativo, n ha de ser impar. Potencias y radicales Se puede expresar un radical en forma de potencia: MODULO DE ALGEBRA Página 16
Radiales equivalentes Utilizando la notación de exponente fraccionario y la propiedad de las fracciones que dice que si se multiplica numerador y denominador por un mismo número la fracción es equivalente, obtenemos que: Si se multiplican o dividen el índice y el exponente de un radical por un mismo número natural, se obtiene otro radical equivalente. Simplificación de radicales Si existe un número natural que divida al índice y al exponente (o los exponentes) del radicando, se obtiene un radical simplificado. Reducción a índice común 1. Hallamos el mínimo común múltiplo de los índices, que será el común índice 2. Dividimos el común índice por cada uno de los índices y cada resultado obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes. MODULO DE ALGEBRA Página 17
Extracción de factores en un radical Se descompone el radicando en factores. Si: 1. Un exponente es menor que el índice, el factor correspondiente se deja en el radicando. 2. Un exponente es igual al índice, el factor correspondiente sale fuera del radicando. 3. Un exponente es mayor que el índice, se divide dicho exponente por el índice. El cociente obtenido es el exponente del factor fuera del radicando y el resto es el exponente del factor dentro del radicando. OPERACIÓN CON EXPRESIONES ALGÉBRICAS MODULO DE ALGEBRA Página 18
1. Suma 2. Resta 3. Multiplicación 4. División. Suma de expresiones algebraicas Para realizar la suma de expresiones algebraicas se agrupa los términos semejantes. Se puede realizar en forma horizontal o vertical, para llevar a cabo la suma en forma vertical se puede disponer en filas, con los términos semejantes por su grado en la misma columna y a continuación, se suman los términos de cada columna. Ejemplo. Suma horizontal (2x³ + x² -5) + (x² + x +6) = 2x³ + x² -5 + x² + x +6 = 2x³ + (x² + x²) + x + (6 -5) = 2x³ + 2x² + x + 1 Suma vertical (5x³ + 2x² - x + 7) + (3x² - 4x + 7) + (-x³ + 4x² - 8) Resta de expresiones algebraicas Para restar cambie el signo de cada uno de los términos que va a restarse y después sume los términos semejantes resultantes. Se lo realiza en forma horizontal y vertical. MODULO DE ALGEBRA Página 19
Ejemplo. Resta horizontal. Restar x³ + 2x² - x – 4 de 3x³ - 5x² + 3 (3x³ - 5x² + 3) – (x³ + 2x² - x – 4) = 3x³ - 5x² + 3 – x³ - 2x² + x + 4 = (3x³ - x³) + (-5x² - 2x²) + x + (3 + 4) = 2x³ - 7x² + x + 7 Resta vertical (4x4 - 2x³ + 5x² - x + 8) – (3x4 - 2x³ + 3x – 4) Multiplicación de expresiones algebraicas Podemos tener multiplicaciones como las siguientes: 1. Multiplicación de dos o más monomios. Se realiza aplicando las reglas de la potenciación, de los signos y las propiedades asociativa y conmutativa del producto. Ejemplo. Multiplicar -3x²y³z, 2x4y, y -4xy4z² (-3x²y³z)(2x4y)(-4xy4z²) =[(-3)(2)(-4)][(x²)(x4)(x)][(y³)(y)(y4)][(z)(z²)] = 24x7y8z3  para obtener este resultado se debe realizar mentalmente en próximos ejercicios, esto se realizar con la práctica. 2. Multiplicación de un monomio por un polinomio MODULO DE ALGEBRA Página 20
El producto se obtiene por la directa aplicación de la propiedad distributiva. Ejemplo 4x²(3x – 2x³ + 1) = 4x²(3x) – 4x²(2x³) +4x²(1) = 12x³ – 8x5 + 4x² = – 8x5 + 12x³ + 4x² 3. Multiplicación de binomios Utilizando la propiedad distributiva Ejemplo (x + 2)(x – 3) = x(x – 3) + 2(x – 3) = x² - 3x + 2x – 6 = x² - x – 6 Utilizando el método PEIU PEIU significa que se debe realizar los productos de los Primeros términos, los términos Externos, términos Internos y el término Último. Ejemplo (3x + 4)(2x + 1) Multiplicación de polinomios MODULO DE ALGEBRA Página 21
Para multiplicar polinomios que tienen tres o más términos, se puede usar el mismo principio básico que se usa para multiplicar monomios y binomios. Esto es cada término de un polinomio debe multiplicarse por cada término del otro polinomio. Puede hacer la multiplicación en forma horizontal o vertical. Multiplicación horizontal Ejemplo. Multiplicar (4x² - 3x – 1) (2x – 5) = 4x²(2x – 5) -3(2x – 5) -1(2x – 5) = 8x³ - 20x² - 6x² + 15x -2x + 5 = 8x³ - 26x² + 13x + 5 Multiplicación vertical Se alinea términos semejantes en las mismas columnas verticales. Ejemplo Multiplicar (4x² + x – 2) (-x² + 3x + 5) División de expresiones algebraicas 1. División de dos monomios. Se realiza hallando el cociente de los coeficientes y el de los factores literales aplicando las reglas de potenciación. MODULO DE ALGEBRA Página 22
Ejemplo. Dividir: 24x4y²z³ por -3x³y4z División de dos polinomios a. Se ordenan los términos de ambos polinomios según las potencias decrecientes (o crecientes) de una de las letras comunes a los dos polinomios. b. Se divide el primer término del dividendo por el primero del divisor, con lo que resulta el primer término del cociente. c. Se multiplica el primer término del cociente por el divisor y se resta el dividendo, obteniéndose un nuevo dividendo. d. Con el dividendo del literal c., se repite las operaciones del los literales b. y c. hasta que se obtenga un resto igual a cero o de grado menor que el del dividendo. e. El resultado es: Ejemplo Dividir 2x4 - 3x³ + x² + x + 2 por x² - 3x + 2 MODULO DE ALGEBRA Página 23
Por lo tanto, Expresiones algebraicas Trabajar en álgebra consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o más cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman variables, incógnitas o indeterminadas y se representan por letras. Una expresión algebraica es una combinación de letras y números ligadas por los signos de las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación. Las expresiones algebraicas nos permiten, por ejemplo, hallar áreas y volúmenes. Longitud de la circunferencia:, donde r es el radio de la circunferencia. Área del cuadrado: S = l2, donde l es el lado del cuadrado. Volumen del cubo: V = a3, donde a es la arista del cubo. Expresiones algebraicas comunes El doble o duplo de un número: 2x El triple de un número: 3x El cuádruplo de un número: 4x MODULO DE ALGEBRA Página 24
La mitad de un número: x/2 Un tercio de un número: x/3 Un cuarto de un número: x/4 Un número es proporcional a 2, 3, 4...: 2x, 3x, 4x... Un número al cuadrado: x² Un número al cubo: x³ Un número par: 2x Un número impar: 2x + 1 Dos números consecutivos: x y x + 1 Dos números consecutivos pares: 2x y 2x + 2 Dos números consecutivos impares: 2x + 1 y 2x + 3 Descomponer 24 en dos partes: x y 24 − x La suma de dos números es 24: x y 24 − x La diferencia de dos números es 24: x y 24 + x El producto de dos números es 24: x y 24/x El cociente de dos números es 24: x y 24 · x FACTORIZACIÓN Factorizar una expresión algebraica es hallar dos o más factores cuyo producto es igual a la expresión propuesta. MODULO DE ALGEBRA Página 25
La factorización puede considerarse como la operación inversa a la multiplicación, pues el propósito de ésta última es hallar el producto de dos o más factores; mientras que en la factorización, se buscan los factores de un producto dado. Se llaman factores o divisores de una expresión algebraica, a los términos que multiplicados entre sí dan como producto la primera expresión. Factorización Multiplicación Al factorizar una expresión, escribimos la expresión como un producto de sus factores. Supongamos que tenemos dos números 3 y 5 y se pide que los multipliquemos, escribiremos . En el proceso inverso, tenemos el producto 15 y se nos pide que lo factoricemos; entonces tendremos Al factorizar el número 20, tendremos Advierte que y o . no están factorizados por completo. Contienen factores que no son números primos. Los primeros números primos son 2, 3, 5, 7, 11, etc. Puesto que ninguna de esas factorizaciones está completa, notamos que en la primera factorización , de modo que mientras que la MODULO DE ALGEBRA Página 26
segunda factorización , de modo que factorización completa para 20 es , en cualquier caso la . De ahora en adelante cuando digamos factorizar un número, queremos decir factorizarla por completo. Además se supone que los factores numéricos son números primos. De esta manera no Factorizamos 20 como . Con estos preliminares fuera del camino, ahora podemos factorizar algunas expresiones algebraicas. Factor común. Para comenzar, comparemos las multiplicaciones con los factores y veamos si podemos descubrir un patrón. Usan la propiedad distributiva. . Cuando factorizamos Cuando multiplicamos, tenemos que: . Para factorizar un binomio, debemos hallar un factor (en este caso a) que sea común a todos los términos. El primer paso para tener una expresión completamente factorizada es seleccionar el máximo factor común, . Aquí tenemos como hacerlo: Máximo factor común (MFC) MODULO DE ALGEBRA Página 27
El término , es el MFC de un polinomio sí: 1. a es el máximo entero que divide cada uno de los coeficientes del polinomio, y 2. n es el mínimo exponente de x en todos los términos del polinomio. De este modo para factorizar , podríamos escribir Pero no está factorizado por completo por que puede factorizarse aún más. Aquí el mayor entero que divide a 16 y 8 es 6, y el mínimo exponente de x en todos los términos es . De esta manera la factorización completa es . Donde es el MFC. EJEMPLO Factorizar EJEMPLO Factorizar EJEMPLO Factorizar MODULO DE ALGEBRA Página 28
EJEMPLO Factorizar EJEMPLO Factorizar EJEMPLO Factorizar EJEMPLO Factorizar Diferencia de cuadrados. Aquí tenemos un producto notable podemos utilizar esta relación para factorizar una diferencia de cuadrados. MODULO DE ALGEBRA Página 29
EJEMPLO Factorizar EJEMPLO Factorizar EJEMPLO Factorizar Trinomios con término de segundo grado. Del estudio de los productos notables sabemos que el cuadrado de un binomio es un trinomio; tales trinomios se llaman trinomios cuadrados perfectos. Los trinomios , son trinomios cuadrados porque son cuadrados de un binomio. MODULO DE ALGEBRA Página 30
Los siguientes puntos ayudan a identificar un trinomio cuadrado. A. Dos de los términos deben de ser cuadrados B. No debe haber signo de menos en y o en C. Si multiplicamos A y B y duplicamos el resultado, obtenemos el tercer término 2AB o su inverso aditivo -2AB. ¿Es un trinomio cuadrado? La respuesta es no porqué solo hay un término al cuadrado (x2) y (11) no es cuadrado de algún número. Es fácil verificar, mediante la multiplicación del segundo miembro de cada ecuación, las siguientes fórmulas de factorización para la suma y la diferencia de dos cubos. EJEMPLO Factorizar , observemos primero que se puede escribir en otra forma: Así, advertimos que se trata de la diferencia de dos cubos. Si aplicamos la fórmula de factorización y usamos los siguientes valores A=y, y B=3, obtenemos: EJEMPLO Factorizar MODULO DE ALGEBRA Página 31
EJEMPLO Factorizar trinomios cuadrados podemos utilizar las siguientes relaciones: Hay que recordar que se deben de sacar primero los factores comunes, si es posible. Por Agrupación. Podemos utilizar la propiedad distributiva para factorizar algunos polinomios con cuatro términos. Consideremos 1. Sin embargo podemos factorizar a Por lo tanto . No hay ningún factor diferente de y por separado: . Podemos utilizar la propiedad distributiva una vez más y sacamos el factor común: x+1 Este método se llama factorización por grupos (o por agrupación). No todas las expresiones con cuatro términos se pueden factorizar con este método. EJEMPLO MODULO DE ALGEBRA Página 32
EJEMPLO Factorizar EJEMPLO Factorizar FRACCIONES Una fracción es una parte de un total Corta una pizza en trozos, y tendrás fracciones: 1 /2 1 /4 3 /8 MODULO DE ALGEBRA Página 33
(Una mitad) (Un cuarto) (Tres octavos) El número de arriba te dice cuántas porciones tienes y el de abajo te dice en cuántos trozos se ha cortado la pizza. Numerador / Denominador Al número de arriba lo llamamos Numerador, es el número de partes que tienes. Al de abajo lo llamamos Denominador, es el número de partes en que se ha dividido el total. Numerador Denominador ¡Sólo tienes que recordar esos nombres! (Si los confundes, recuerda que denominador es con "D" de dividir) Fracciones equivalentes Algunas fracciones parecen diferentes pero en realidad son la misma, por ejemplo: 4 /8 = 2 /4 = 1 /2 MODULO DE ALGEBRA Página 34
(Cuatro octavos) (Dos cuartos) (Una mitad) Normalmente lo mejor es dar la respuesta usando la fracción más simple ( 1/2 en este caso). Eso se llama Simplificar o Reducir la fracción. Sumar fracciones Puedes sumar fracciones fácilmente si el número de abajo (el denominador) es el mismo: 1 /4 + (Un cuarto) 1 /4 (Un cuarto) = 2 /4 = (Dos cuartos) 1 /2 (Una mitad) Para simplificar una fracción, se dividen el numerador y el denominador por uno o más factores comunes a ambos. Se obtiene así otra fracción equivalente . Por ejemplo: Simplificar Donde hemos dividido numerador y denominador entre 3, , MODULO DE ALGEBRA Página 35
Para poder simplificar una fracción el numerador y el denominador tiene que estar factorizado. Si no lo están la primera operación ha de ser la de factorizarlos. Por ejemplo: Simplificar Como vemos el denominador es un polinomio, o sea una suma, por tanto antes de simplificar hay que factorizarlo. En este caso el método adecuado es sacar factor común así Más ejemplos: Simplificar las siguientes fracciones algebraicas 1. Como ya son productos, tanto el numerador como el denominador, basta dividir numerador y denominador por los factores comunes 2. MODULO DE ALGEBRA Página 36
3. En esta fracción aparece una suma en el numerador y otra en el denominador, por tanto hay que factorizar ambas cosas. Podemos sacar factor común en el numerador e en el denominador , aquí el numerador es una suma pero no se puede factorizar, 4. pero el denominador se puede factorizar ya que es el cuadrado de una suma. 5. , aquí sólo podemos factorizar el denominador, que se trata de una diferencia de cuadrados y que es igual a suma por diferencia MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES Multiplicación de fracciones La multiplicación de dos fracciones es otra fracción que tiene: 1. Por numerador el producto de numeradores. 2. Por denominador el producto de denominadores. MODULO DE ALGEBRA Página 37
Ejemplo: División de fracciones La división de dos fracciones es otra fracción que tiene: 1. Por numerador el producto de los extremos. 2. Por denominador el producto de los medios. Ejemplo: RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES. Recuerda que se llama irracional al número que no puede expresarse con números enteros ni fraccionarios. Son números que su expresión decimal tiene infinitas cifras pero sin formar períodos. Podemos decir que 0,5 es lo mismo que . Es lo mismo que 0,75. MODULO DE ALGEBRA Página 38
Todos estos números son racionales, podemos escribirlos como enteros o fraccionarios. Existen números que no podemos expresarlos de este modo, por ejemplo a estos números los llamamos irracionales porque si queremos escribir el valor de los mismos nunca podremos acabar de ir escribiendo decimales. No hay ningún número que multiplicado por sí mismo te dé 2, ni 3 ni 11, ni 13,…. La raíz cuadrada de estos números nunca acabarás de obtener. Es conveniente que las fracciones cuyo denominador sea irracional lo convirtamos en racional. En otras palabras, al proceso de obtener fracciones que no tengan raíces en el denominador llamamos racionalización de radicales de los denominadores: .El denominador es un número irracional, por mucho que intentes Ejemplo: calcular su valor verás que nunca acabas de hacer operaciones. Sabemos que si multiplicamos o dividimos al numerador y al denominador de una fracción por un mismo número, su valor sigue siendo el mismo. Para hacer racional el denominador por sí mismo: lo más simple es que le multipliquemos . MODULO DE ALGEBRA Página 39
Pero para que no varíe el valor de la fracción hemos de multiplicarle también al numerador por .Podemos decir que: son iguales pero no tiene como denominador un número irracional. Racionaliza: Respuesta . Racionaliza: Respuesta . Solución: Racionaliza: Respuesta . Solución: Las operaciones las tienes desarrolladas paso a paso: MODULO DE ALGEBRA Página 40
Racionaliza: Respuesta: Solución: El proceso de cálculos con letras es el mismo que aplicamos con los números. Tienes desarrollado paso a paso la resolución del ejercicio: Racionaliza: Respuesta: . Solución: Tratamos ahora una raíz cúbica. Si tienes y quieres quitar la raíz tienes que conseguir que el exponente del radicando(que es 1) sea igual al índice de la raíz(que es 3). Para que sean iguales a MODULO DE ALGEBRA Página 41
tendrás que multiplicarle de este modo, en el denominador al multiplicar tendrás que sumar los exponentes dejando la misma base: por . Para que el valor de la fracción no varíe tendrás que multiplicar también al numerador por : Racionaliza: Respuesta: . Solución: Para poder quitar la raíz de ,5 tenía que tener como exponente un 7. Vemos que tendríamos que multiplicarle por de este modo al sumar los exponentes el valor obtenido iguala al índice de la raíz y entonces podemos simplificar. Para que no varíe el valor de la fracción tendremos que multiplicarle al numerador también por : Racionaliza: MODULO DE ALGEBRA Página 42
Respuesta: . Suma y resta de fracciones Utilizando un algoritmo sencillo podemos aprender a sumar fracciones mentalmente. Veamos: Sean a /b y c/d dos fracciones cualesquiera. Si las deseamos sumar podemos seguir la siguiente regla: a + c = b d (se multiplica cruzado y los productos de suman) ad + bc (se multiplican los denominadores) bd Veamos un ejemplo: El jefe de Cheo repartió los trabajos de contabilidad de urgencia entre algunos de los contables. A Cheo le tocó una cuarta parte (1/4) de los trabajos de urgencia más la tercera (1/3) parte del trabajo que le iba a tocar al empleado que faltó. En total, ¿qué parte del trabajo tiene que realizar Cheo? 1 + 1 4 3 = 1(3) + 4(1) = 3 + 4 = 7 (4)(3) 12 12 Solución: Cheo tuvo que realizar 7/12 del trabajo. MODULO DE ALGEBRA Página 43
Notita para darle pensamiento: (para darle "coco") ¿A Cheo le tocó más de la mitad del trabajo o menos de la mitad del trabajo? Solución: Para comparar fracciones utilizamos las siguiente reglas de las proporciones a. Si a = c entonces ad = cb b b. Si d a < c entonces ad < cb b c. Si d a > c entonces ad > cb b d Volviendo a Cheo, ¿7/12 es menor o mayor que 1/2 ? 7 ? 1 12 7(2) > 12(1), por lo tanto 2 7 > 1 12 2 De modo que Cheo realizó más de la mitad del trabajo. Veamos otro ejemplo: A María le tocaba una tercera parte de la herencia de su padre. Su madre le cedió a ella dos quintas partes adicionales que le tocaban a ella. ¿En total qué parte de la herencia la tocó a María? Solución 1 + 2 = 1(5) + 3(2) = 5 + 6 = 11 3 5 15 15 15 MODULO DE ALGEBRA Página 44
A María le tocó 11/ 15 de la herencia de su padre. Suma de Fracciones Para sumar dos fracciones, hay que tener en cuenta de que existen 2 tipos de fracciones: 1. Fracciones homogéneas (1, 3, 5) 4 4 4 2. Fracciones heterogéneas (1, 2, 3) 3 5 7 Las fracciones homogéneas son las fracciones que tienen el mismo denominador; y las fracciones heterogéneas son las fracciones que tienen diferentes denominadores. Ejemplo de suma de fracciones homogéneas: 1 + 3 = 4 <Son fracciones homogéneas ya que 5 5 5 tienen el mismo denominador. Las fracciones homogéneas, en suma, se suman los numeradores y el denominador se queda igual.> 2 +3 =5 7 7 7 Ejemplo de suma de fracciones heterogéneas: 1 +1 4 2 <Aquí es diferente, las fracciones son heterogéneas; los denominadores son diferentes.> Para sumar fracciones heterogéneas: 1. Se multiplican los denominadores. 2. Se multiplica cruzado y se coloca en el numerador. 3. Se suman los productos para obtener el numerador. MODULO DE ALGEBRA Página 45
1 +1 4 2 Paso 1 : 1 + 1 = ___ 4 2 8 <Se multiplicaron los denominadores 4 · 2 = 8> Paso 2 : 1 + 1 = (2 ·1) + (4 · 1) < Se multiplicó cruzado> 4 2 8 Paso 3: 2 + 4 = 6 < Se suman los productos para obtener el numerador.> 8 8 Paso 4: 6 ÷ 2 = 3 < Se simplifica la fracción si es posible.> 8 2 4 Resta de Fracciones En la resta de fracciones, se utilizan las mismas reglas de la suma de fracciones; pero en este caso hay que restar. Ejemplo 1: 5-1 =4 9 9 9 Resta de Fracciones Homogéneas Ejemplo 2: 2 - 1 = ( 2 · 2) - (3 · 1) = 4 - 3 = 1 3 2 6 6 6 MODULO DE ALGEBRA Página 46
Suma y resta con el mismo denominador Se suman o se restan los numeradores y se mantiene el denominador. Ejemplo: Suma y resta con distinto denominador En primer lugar se reducen los denominadores a común denominador, y se suman o se restan los numeradores de las fracciones equivalentes obtenidas. Ejemplo: Operaciones combinadas de fracciones 1. Pasar a fracción los números mixtos y decimales. 2 .Calcular las potencias y raíces. 3 .Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves. 4 .Efectuar los productos y cocientes. 5 .Realizar las sumas y restas. Ejemplo: MODULO DE ALGEBRA Página 47
1. Primero operamos con los productos y números mixtos dentro de los paréntesis. 2 .Operamos en el primer paréntesis, quitamos el segundo, simplificamos en el tercero y operamos en el último. 3 .Realizamos el producto y lo simplificamos. 4 .Realizamos las operaciones del paréntesis. 5 .Hacemos las operaciones del numerador, dividimos y simplificamos el resultado. ECUACIONES LINEALES Una ecuación lineal con n incógnitas x1,..., xn es una ecuación que se puede escribir en la forma a1x1 + a2x2 + a3x3 +... + anxn = b (1), donde las a-es se llaman coeficientes de los x y el número b se llama término constante. Se asume que las a- es y la b son valores conocidos. Ejemplos. MODULO DE ALGEBRA Página 48
a. b. c. a, b y c son ejemplos de ecuaciones lineales en 2, 3 y 4 incógnitas respectivamente. a. b. c. d. Terminología para las ecuaciones Ecuaciones equivalentes Las solución de las ecuaciones x+2=5 y x+7=10 es la misma, 3. Las ecuaciones que tienen la misma solución se denominan ecuaciones equivalentes. Para obtener una ecuación equivalente a una dada se utilizan las siguientes propiedades de las igualdades: a) Si sumamos o restamos un mismo número o una misma expresión algebraica a los dos miembros de una ecuación obtenemos otra ecuación equivalente. MODULO DE ALGEBRA Página 49
b) Si multiplicamos o dividimos los dos miembros de una ecuación por un mismo número diferente de cero obtenemos otra ecuación equivalente. Por ejemplo, para obtener una ecuación equivalente a x+2=5 multiplicamos por 4 los dos miembros: 4(x+2)=4·5 → 4x+8=20 Fíjate en que la ecuación obtenida 4x+8=20 también tiene por solución 3. Dos ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solución. 2x − 3 = 3x + 2 x = −5 x + 3 = −2 x = −5 1. Si a los dos miembros de una ecuación se les suma o se les resta una misma cantidad, la ecuación es equivalente a la dada. x + 3 = −2 x + 3 − 3 = −2 − 3 x = −5 2. Si a los dos miembros de una ecuación se les multiplica o se les divide una misma cantidad, la ecuación es equivalente a la dada. 5x + 10 = 15 (5x + 10) : 5 = 15 : 5 x+2=3 x + 2 −2= 3 −2 x=1 Ecuaciones lineales Ecuación lineal con n incógnita MODULO DE ALGEBRA Página 50
Una ecuación lineal con n incógnitas es cualquier expresión del tipo: a1x1 + a2x2 + a3x3 + ... + anxn = b, donde ai, b . Los valores ai se denominan coeficientes, b es el término independiente. Los valores xi son las incógnitas. Solución de una ecuación lineal Cualquier conjunto de n números reales que verifica la ecuación se denomina solución de la ecuación. Dada la ecuación x + y + z + t = 0, son soluciones de ella: (1,-1,1,-1), (-2,-2,0, 4). Ecuaciones lineales equivalentes Son aquellas que tienen la misma solución. x + y + z + t = 0 2x + 2y + 2z + 2t = 0 Ecuaciones lineales de primer grado Las ecuaciones lineales de primer grado son del tipo ax + b = 0 , con a ≠ 0, ó cualquier otra ecuación en la que al operar, trasponer términos y simplificar adopten esa expresión. Resolución de ecuaciones de primer grado En general para resolver una ecuación de primer grado debemos seguir los siguientes pasos: MODULO DE ALGEBRA Página 51
1º Quitar paréntesis. 2º Quitar denominadores. 3º Agrupar los términos en x en un miembro y los términos independientes en el otro. 4º Reducir los términos semejantes. 5º Despejar la incógnita. Despejamos la incógnita: Agrupamos los términos semejantes y los independientes, y sumamos: Quitamos paréntesis: Agrupamos términos y sumamos: MODULO DE ALGEBRA Página 52
Despejamos la incógnita: Quitamos denominadores, para ello en primer lugar hallamos el mínimo común múltiplo. Quitamos paréntesis, agrupamos y sumamos los términos semejantes: Despejamos la incógnita: Quitamos paréntesis y simplificamos: Quitamos denominadores, agrupamos y sumamos los términos semejantes: MODULO DE ALGEBRA Página 53
Quitamos corchete: Quitamos paréntesis: Quitamos denominadores: Quitamos paréntesis: Agrupamos términos: Sumamos: Dividimos los dos miembros por: −9 Ecuaciones con literales MODULO DE ALGEBRA Página 54
En nuestro diario vivir y en el mundo del trabajo nos enfrentamos a muchas situaciones que se resuelven por medio de las ecuaciones. La industria, el comercio, las ciencias, la ingeniería, y otras áreas necesitan fórmulas en las cuales se aplican los principios establecidos para resolver ecuaciones. A muchas de estas fórmulas se les llaman ecuaciones literales. Una ecuación literal es una ecuación en la cual se usan letras para representar constantes. Ejemplos: 1. P = 2L + 2W es la fórmula que se utiliza para hallar el perímetro de un rectángulo. Si el largo (L) de un rectángulo es 5 pulgadas y el ancho (W) es 3 pulgadas, entonces el perímetro del rectángulo es: P = 2L +2W = 2 (5) + 2(3) = 10 + 6 P = 16 pulgadas Es la fórmula para hallar la velocidad de un objeto conociendo la Distancia (d) y el tiempo (t). Si un objeto se mueve a una distancia de 10 pulgadas en 2 segundos su velocidad es: MODULO DE ALGEBRA Página 55
Otros ejemplos de ecuaciones literales son las siguientes: y – c = d; C = 2πr; d = vt, A = ½ bh. Otros ejemplos: 1. C = 2πr (fórmula para hallar la circunferencia de un círculo) ¿Cuál es la circunferencia de un círculo si su radio mide 3 pulgadas? ] 2. ¿Cuál es el promedio actual de Pedro en la clase de matemáticas si sus notas son 80, 75 y 94? 3. La fórmula que un pescador tiene para estimar el peso de un pez en libras es , donde W representa el peso en libras, L el largo en pulgadas y g el grueso (distancia alrededor del pez en el área central) en pulgadas. Halla el peso de un pez de 96 pulgadas de largo y 47 pulgadas de grueso. Resuelve la fórmula para g2. MODULO DE ALGEBRA Página 56
4. C = mx + b, ecuación de costo total, dado el costo fijo (b), el costo variable (m) y la cantidad (x). El costo diario de alquiler de auto es $30.00 más $0.50 por milla recorrida. Carlos pagó $150 por el alquiler del auto. ¿Cuántas millas viajó? 5. Cambia 1220 Fahrenheit a centígrados. Ecuaciones fraccionarias Ecuación Fraccionaria. Ecuación que contiene fracciones algebraicas, es decir, donde la variable aparece en los denominadores de las fracciones (al menos en uno de ellos). Ejemplos Resolución Para resolver una ecuación fraccionaria de primer grado: 1. Si en los numeradores hay binomios o polinomios, debemos encerrarlos en paréntesis para evitar errores con los signos negativos. El signo menos que aparece antes de una fracción afecta a todo el numerador. 2. Buscamos el mínimo común múltiplo de los denominadores. 3. Multiplicamos cada término de la ecuación por el m.c.m. encontrado. 4. Simplificamos los denominadores de los términos fraccionarios con el m.c.m. 5. Resolvemos los paréntesis efectuando las operaciones indicadas. MODULO DE ALGEBRA Página 57
6. Continuamos resolviendo la ecuación con los números enteros que obtuvimos. En general, las ecuaciones fraccionarias se resuelven transformándolas en ecuaciones enteras, para lo cual es necesario eliminar los denominadores. Para eliminar los denominadores en una ecuación fraccionaria se procede de la siguiente manera: 1. Se halla el mcm de los denominadores. 2. Se multiplican ambos miembros de la ecuación por el m.c.m de los denominadores. Ejemplo 1 el mcm de los denominadores es: (x + 1) (x - 1) Multiplicando ambos miembros de la ecuación por (x + 1) (x - 1) resulta: Es importante tener presente que cuando ambos miembros de una ecuación fraccionaria se multiplican por el mcm de los denominadores, entonces se obtiene una ecuación equivalente a la dada, siempre que la solución obtenida no anule algún denominador. MODULO DE ALGEBRA Página 58
Comprobación: Ejemplo 2: Estas ecuaciones no son equivalentes a la original, porque el conjunto solución es {3} para ambas, pero no para la ecuación original. Sustituyendo tenemos Ecuaciones con radicales Las ecuaciones con radicales o ecuaciones irracionales son aquellas que tienen la incógnita bajo el signo radical. MODULO DE ALGEBRA Página 59
Resolución de ecuaciones con radicales 1º Se aísla un radical en uno de los dos miembros, pasando al otro miembro el resto de los términos, aunque tengan también radicales. 2º Se elevan al cuadrado los dos miembros. 3º Se resuelve la ecuación obtenida. 4º Se comprueba si las soluciones obtenidas verifican la ecuación inicial. Hay que tener en cuenta que al elevar al cuadrado una ecuación se obtiene otra que tiene las mismas soluciones que la dada y, además las de la ecuación que se obtiene cambiando el signo de uno de los miembros de la ecuación. 5º Si la ecuación tiene varios radicales, se repiten las dos primeras fases del proceso hasta eliminarlos todos. 1º Aislamos el radical: 2º Elevamos al cuadrado los dos miembros: 3ºResolvemos la ecuación: 4ºComprobamos: MODULO DE ALGEBRA Página 60
La ecuación tiene por solución x = 2. Ejercicios de ecuaciones con radicales 1 MODULO DE ALGEBRA Página 61
2 3 MODULO DE ALGEBRA Página 62
Ecuaciones cuadráticas La ecuación cuadrática o también conocida como la ecuación de segundo grado es aquella ecuación que obedece a un polinomio de segundo grado de la forma ax2 + bx + c igual a cero. Donde el coeficiente "a" es necesariamente diferente a cero (En el caso que a = 0 se obtiene una ecuación lineal o de primer orden) Método de solución de la ecuación cuadrática Lo primero es dividir la ecuación completa por el primer término ¨a¨ Se procede a completar un trinomio cuadrado perfecto con la expresión Para lo cual se suma y resta MODULO DE ALGEBRA Página 63
, que puede escribirse como Ahora simplemente se resuelve esta ecuación aprovechando que el término puede despejarse El valor de x es lo que se conoce como fórmula general de la ecuación de segundo grado El teorema fundamental del álgebra garantiza que un polinomio de grado dos tiene dos soluciones que son precisamente las que se generan con el signo ¨+¨ y ¨-¨ de la x que se obtuvo De esta manera se tiene MODULO DE ALGEBRA Página 64
Si la ecuación tiene dos raíces reales diferentes entre sí Si las dos raíces son reales e iguales Si las dos raíces son complejas conjugadas Ejemplos numéricos Primer ejemplo, 2x2 – x – 1 = 0 Primero se identifican los coeficientes a = 2, b = -1 y c = -1 Luego se procede a reemplazarlos en la fórmula Ambas soluciones son reales y diferentes entre sí. Note que , en este ejemplo en particular Segundo ejemplo, 9x2 – 6x + 1 = 0 MODULO DE ALGEBRA Página 65
Se identifican los coeficientes a = 9, b = -6 y c = 1 Se reemplazan los coeficientes en la fórmula Ambas soluciones son reales y e iguales entre sí. Note que Tercer ejemplo, x2 + x + 1 = 0 Se identifican los coeficientes a = 1, b = 1 y c = 1 Se reemplazan los coeficientes en la fórmula Ambas soluciones son complejas conjugadas. Note que , para esta ecuación se obtuvo MODULO DE ALGEBRA Página 66
Propiedades básicas de las soluciones de la ecuación cuadrática Demostración Demostración ECUACIONES CUADRÁTICAS – FACTORIZACIÓN Por: Melissa Murrias Revisado por: Dra. Luz M. Rivera MODULO DE ALGEBRA Página 67
Una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax2 + bx + c, donde a, b, y c son números reales. Ejemplo: 9x2 + 6x + 10 a = 9, b = 6, c = 10 3x2 - 9x a = 3, b = -9, c = 0 -6x 2 + 10 a = -6, b = 0, c = 10 Hay tres formas de hallar las raíces ( el o los valores de la variable) de las ecuaciones cuadráticas: 1. Factorización Simple 2. Completando el Cuadrado 3. Fórmula Cuadrática Factorización Simple: La factorización simple consiste en convertir la ecuación cuadrática en un producto de binomios. Luego, se busca el valor de x de cada binomio. Ejemplo: Realizar la factorización simple de la ecuación x2 + 2x – 8 = 0 (x ) (x )=0 a=1 b=2 c=-8 [x ·x = x2] MODULO DE ALGEBRA Página 68
( x + ) (x - ) = 0 (x + 4 ) (x – 2) = 0 4 y –2 4 + -2 = 2 4 · -2 = -8 x+4=0 x–2=0 x+4=0 x=0–4 x = -4 x–2=0 x=0+2 x=2 Estas son las dos soluciones. Completando el Cuadrado: En este método, la ecuación tiene que estar en su forma ax2+bx+c; y siempre la constante de a tiene que ser igual a 1. Por ejemplo, para factorizar la ecuación 4x2 + 12x – 8 = 0, hay que despejar de la siguiente forma: MODULO DE ALGEBRA Página 69
4x2 + 12x – 8 = 0 4 4 4 4 x2 + 3x – 2 = 0 Ahora, a= 1. Ejemplo: x2 + 2x – 8 = 0 [Ya está en su forma donde a = 1.] x2 + 2x = 8 [ Pasar a c al lado opuesto.] x2 + 2x + ___ = 8 + ___ [Colocar los blancos] x2 + 2x + 1 =8+1 x2 + 2x + 1 = 9 ( ) ( ) =9 Hay que factorizar. Nota: Siempre será un cuadrado perfecto. MODULO DE ALGEBRA Página 70
( x + 1) (x + 1) = 9 (x + 1)2 = 9 (x + 1) = ± x+1= ±3 x = -1 ± 3 [Separar las dos soluciones.] x = -1 + 3 x=2 x = -1 – 3 x = -4 Fórmula Cuadrática: Este método es muy simple: hay que sustituir los valores de a, b y c de la ecuación cuadrática a la siguiente fórmula: Ejemplo: X2 + 2x – 8 = 0 a = 1, b = 2, c = -8 MODULO DE ALGEBRA Página 71
x = -2 ± 6 2 X = -2 + 6 2 x=4 2 x=2 x = -2 - 6 2 x = -8 2 x=-4 MODULO DE ALGEBRA Página 72
DESIGUALDADES LINEALES DESIGUALDADES LINEALES EN UNA VARIABLE También conocidas como inecuaciones de primer grado) Se establece rápidamente la definición de una desigualdad lineal, pasando a dar un bosquejo de una estrategia general para resolver este tipo de desigualdad. Se puntualiza el tipo de conjunto solución de este tipo de desigualdad, de manera gráfica, por intervalos y por conjuntos. Se dan una serie de pasos recomendados que conducen siempre al despeje de la variable. Un primer ejemplo es desarrollado con dos procedimientos, el primero siguiendo los pasos recomendados, el segundo es para aclarar que se pueden emplear otras estrategias, siempre y cuando respeten la propiedades algebraicas y de desigualdades. Una desigualdad es un enunciado o ecuación en el que dos expresiones no son iguales, también son parecidas a las ecuaciones solo que en lugar de tener un signo de igual hay unos símbolos que son:<,>,≤,≥. En una definición decimos que: Suponemos que X y Y pertenecen a los reales donde cumplen con las condiciones siguientes:  X es mayor que Y  X es menor que Y Desigualdades. Desigualdades o inecuaciones de primer grado con una incógnita La expresión , Quiere decir que "a" no es igual a "b". Según los valores particulares de "a" y de "b", puede tenerse positiva y , que se lee "a" mayor que "b", cuando la diferencia es , que se lee "a" menor que "b", cuando la diferencia es MODULO DE ALGEBRA Página 73
negativa. Desigualdad "es la expresión de dos cantidades tales que la una es mayor o menor que la otra". Lo mismo que en las igualdades, en toda desigualdad, los términos que están a la izquierda del signo mayor o menor, forman el primer miembro de la desigualdad, y los términos de la derecha, forman el segundo miembro. De la definición de desigualdad, lo mismo que de la escala de los números algebraicos, se deducen algunas consecuencias, a saber: 1º Todo número positivo es mayor que cero Ejemplo: Porque 5 - 0 = 5 2º Todo número negativo es menor que cero Ejemplo: Porque -9 -0 = -9 3º Si dos números son negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto; Ejemplo: Porque -10 - (-30) = -10 +30 = 20 DESIGUALDADES LINEALES Una desigualdad es un enunciado o ecuación en el que dos expresiones no son iguales, también son parecidas a las ecuaciones solo que en lugar de tener un signo de igual hay unos símbolos que son:<,>,≤,≥. En una definición decimos que: Suponemos que X y Y pertenecen a los reales donde cumplen con las condiciones siguientes: MODULO DE ALGEBRA Página 74
 X es mayor que Y  X es menor que Y Desigualdades. Desigualdades o inecuaciones de primer grado con una incógnita La expresión , quiere decir que "a" no es igual a "b". Según los valores particulares de "a" y de "b", puede tenerse cuando la diferencia la diferencia es positiva y , que se lee "a" mayor que "b", , que se lee "a" menor que "b", cuando es negativa. Desigualdad "es la expresión de dos cantidades tales que la una es mayor o menor que la otra". Lo mismo que en las igualdades, en toda desigualdad, los términos que están a la izquierda del signo mayor o menor, forman el primer miembro de la desigualdad, y los términos de la derecha, forman el segundo miembro. De la definición de desigualdad, lo mismo que de la escala de los números algebraicos, se deducen algunas consecuencias, a saber: 1º Todo número positivo es mayor que cero Ejemplo: Porque 5 - 0 = 5 2º Todo número negativo es menor que cero Ejemplo: Porque -9 -0 = -9 3º Si dos números son negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto; Ejemplo: Porque -10 - (-30) = -10 +30 = 20 MODULO DE ALGEBRA Página 75
Para cada par de números reales a y b, es verdadera una, y solamente una, de las proposiciones: Propiedades de las desigualdades Teorema1-Propiedad transitiva: Teorema2-Suma: Ejemplo ilustrativo: Ejemplo ilustrativo: Teorema3-Multiplicación por un número positivo: Teorema4: Ejemplo ilustrativo: Ejemplo ilustrativo: Los Teoremas 1 a 4 también son válidos si se cambia ">" por "<" Teorema5: Teorema6: "Si se cambia el signo de ambos miembros de una desigualdad, se cambia el sentido de la desigualdad". Teorema7: Teorema8: Teorema9: Teorema10: Teorema11: MODULO DE ALGEBRA Página 76
Inecuaciones lineales: Una inecuación es una desigualdad en la que aparece una incógnita. Si el grado de la inecuación es uno, se dice que la inecuación es lineal. Resolver una inecuación es encontrar los valores de la incógnita para los cuales se cumple la desigualdad. La solución de una inecuación es, por lo general, un intervalo o una unión de intervalos de números reales. El método para resolver una inecuación es similar al utilizado para resolver ecuaciones, pero teniendo presente las propiedades de las desigualdades. Es conveniente ilustrar la solución de una inecuación con una gráfica. Si la solución incluye algún extremo del intervalo, en la gráfica representamos dicho extremo con un círculo en negrita; en cambio, si la solución no incluye el extremo, lo representamos mediante un círculo blanco (transparente). Ejemplo ilusrativo1: Inecuaciones lineales que comprenden valores absolutos: Inecuaciones cuadráticas: Las inecuaciones cuadráticas presentan, o se pueden reducir a, las formas: MODULO DE ALGEBRA Página 77
El modo de solucionar estas inecuaciones es similar al utilizado para resolver ecuaciones cuadráticas. Ejemplo ilustrativo2: MODULO DE ALGEBRA Página 78
VALOR ABSOLUTO El álgebra normalmente requiere que seamos cuidadosos no sólo con el tamaño y el valor sino también con el signo. No es lo mismo -10 que 10. 3 + 7 nos da un resultado distinto que 3 + (-7). Pero hay circunstancias en las que el signo no importa, en matemáticas y en la vida cotidiana. ¿Alguna vez has tropezado al bajar de unas escaleras eléctricas? No importa tanto si te estás moviendo más rápido o más lento que el suelo, es la magnitud de la diferencia la que te hace perder el equilibrio. O piensa en una larga caminata por el campo, tus pies se lastimarán sin importar si vas hacia el norte o hacia el sur. La dirección no importa, sólo la distancia. En matemáticas, hay un concepto para tratar con situaciones donde el tamaño importa más que el signo. Se llama valor absoluto. El valor absoluto de un número consiste en su valor, sin importar su signo. Valor Absoluto — Enfoque Numérico El valor absoluto puede ser explorado ya sea numérica o gráficamente. Numéricamente, el valor absoluto se indica encerrando el número, variable o expresión dentro de barras verticales, así: |20| |x| |4n − 9| Cuando tomamos el valor absoluto de un número, éste es siempre positivo o cero. Si el valor original ya es positivo o cero, el valor absoluto es el mismo. Si el valor MODULO DE ALGEBRA Página 79
original es negativo, simplemente nos deshacemos del signo. Por ejemplo, el valor absoluto de 5 es 5. El valor absoluto de -5 es también 5. Ejemplo Valor Valor Absoluto 5 5 -5 5 Recuerda, en situaciones de valor absoluto no estamos cambiando la posición ni la dirección de un número, sólo estamos ignorando esos detalles. Ten cuidado de no confundir las |barras de valor absoluto| con los (paréntesis) o los [corchetes]. No son los mismos símbolos, y las reglas que los evalúan son diferentes. Por ejemplo, -1(-3) = 3. Los signos negativos dentro y fuera de los paréntesis se cancelan cuando son multiplicados. Ejemplo Problema -1(-3) = -1 • -3 = 3 Pero -1|-3| = -3. No puedes multiplicar a través de las barras de valor absoluto, por lo que primero tienes que encontrar el valor absoluto del número contenido entre ellas. Como el valor absoluto de -3 es 3, la operación se convierte en -1(+3). MODULO DE ALGEBRA Página 80
Ejemplo Problema -1|-3| = -1 • 3 = -3 Cuando las barras de valor absoluto contienen una expresión que incluye operaciones, la expresión debe ser evaluada antes de encontrar el valor absoluto. Considera la expresión |6 − 4|. Antes de que podamos obtener el valor absoluto de la expresión, tenemos que efectuar la resta. Cuando hacemos eso, |6 − 4| se convierte |2|. Ahora podemos calcular el valor absoluto de la expresión — es el valor absoluto de 2, el cual es 2. |6 − 4| = |2| = 2 De manera similar, para la expresión |15 − 21|, debemos realizar primero las operaciones dentro de las barras de valor absoluto. |15 − 21| = |-6| = 6 Valor Absoluto — Enfoque Gráfico En la recta numérica, el valor absoluto de un número o una expresión es la distancia entre el valor y cero. Cuando usamos la recta numérica para explorar el valor absoluto, éste siempre estará en cero o a la derecha del cero. Si el valor original es positivo o cero, el valor absoluto estará sobre el original. Si graficamos el valor original y el valor absoluto, ambos quedarán en el mismo lugar. El |3| es 3. En éste caso, el valor original y el valor absoluto se posicionan 3 unidades a la derecha del cero en la recta numérica. MODULO DE ALGEBRA Página 81
Si el valor original es negativo, el valor absoluto quedará a la misma distancia del cero que el valor original, pero en el otro lado del origen. El |-4| es 4. Si graficamos el valor original y el valor absoluto, ambos quedarán a la misma distancia del cero, pero en direcciones opuestas. Cuando utilizamos la recta numérica para mostrar el valor absoluto de una expresión, debemos una vez más asegurarnos que llevamos a cabo todas las operaciones dentro de las barras antes de graficar. El |4 − 6| se coloca en 2, no -2, 4, o 6. Ecuaciones con valor absoluto Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. MODULO DE ALGEBRA Página 82
9. 10. 11. 12. Propiedades del valor absoluto Enunciaremos a continuación algunas propiedades del valor absoluto, las cuales podrán ser utilizadas para facilitar el trabajo en la resolución de ecuaciones o inecuaciones que incluyen valor absoluto. Propiedad 1 Demostración Hay dos posibles casos: Caso 1: Caso 2: Propiedad 2 Si MODULO DE ALGEBRA Página 83
Demostración:(ejercicio para el estudiante) Propiedad 3 Si Demostración Para demostrar esta propiedad conviene recordar que: En particular: Usando esta definición se tiene que: Propiedad 4 Demostración:(ejercicio para el estudiante) Propiedad 5 Si entonces Demostración Aquí también usaremos el hecho de que: Si MODULO DE ALGEBRA Página 84
Propiedad 6 Demostración , se tiene que: Propiedad 7 Sea una variable real y un número real positivo: Interpretación geométrica de esta propiedad Demostración Como MODULO DE ALGEBRA Página 85
Propiedad 8 Sea una variable real y un número real positivo entonces: Demostración Como , se tiene: MODULO DE ALGEBRA Página 86
Resolviendo esta inecuación: De aquí se tiene: Interpretación geométrica de esta propiedad: Propiedad 9 Sea una variable real y un número real positivo entonces: MODULO DE ALGEBRA Página 87
Demostración Esta propiedad se demuestra en forma similar a la propiedad 8, ya demostrada, dejaremos esta demostración como ejercicio para el estudiante. Interpretación geométrica de esta propiedad: Propiedad 10 Sea una variable real y un número real positivo entonces: i. ii. Demostración Un procedimiento usado para demostrar esta propiedad es similar al usado para demostrar la propiedad 8. Dejaremos esta demostración como ejercicio para el estudiante. Interpretación geométrica de esta propiedad: i. ii. MODULO DE ALGEBRA Página 88
Propiedad 11 Demostración Sabemos que CASO 1: (*) Además como entonces Así por (*) y (**) se tiene que: y como entonces: (**) (I) CASO 2: MODULO DE ALGEBRA Página 89
Además como entonces (****) Así por (***) y (****) se tiene que: (II) Por lo tanto de (I) y (II) se concluye que: Propiedad 12 (desigualdad triangular) Si Demostración Antes de demostrar esta propiedad, es necesario conocer el siguiente lema: LEMA: Sean Si Demostración (del lema) Supongamos que , hay que demostrar que i. ii. Por i. y ii. Se tiene que Nota: El lema anterior expresa que si se tienen desigualdades podemos sumar miembro a miembro estas desigualdades de la manera siguiente: MODULO DE ALGEBRA Página 90
Estamos ahora en condiciones de demostrar la desigualdad triangular. Demostración de la desigualdad triangular , se tiene que: Sumando miembro a miembro estas desigualdades se tiene: , por la propiedad (10. i) SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Se denomina ecuación lineal a aquella que tiene la forma de un polinomio de primer grado, es decir, las incógnitas no están elevadas a potencias, ni multiplicadas entre sı´, ni en el denominador. Por ejemplo, 3x +2y +6z = 6 es una ecuación lineal con tres incógnitas. Como es bien sabido, las ecuaciones lineales con 2 incógnitas representan una recta en el plano. Si la ecuación lineal tiene 3 incógnitas, su representación gráfica es un plano en el espacio. MODULO DE ALGEBRA Página 91
Un ejemplo de ambas representaciones puede observarse en la figura: El objetivo del tema es el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales, es decir, un conjunto de varias ecuaciones lineales. Diremos que dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones, o geométricamente representan la misma recta o plano. Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales de la forma: En este caso tenemos m ecuaciones y n incógnitas. Los números reales aij se denominan coeficientes y los xi se denominan incógnitas (o números a determinar) y bj se denominan términos independientes. MODULO DE ALGEBRA Página 92
En el caso de que las incógnitas sean 2 se suelen designar simplemente por x e y en vez de x1 y x2, y en el caso de tres, x, y, z en lugar de x1, x2 y x3 pero esto es indiferente a la hora de resolver el sistema. Resolver el sistema consiste en calcular las incógnitas para que se cumplan TODAS las ecuaciones del sistema simultáneamente. Diremos que dos sistemas son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones. Tipos de sistemas En general, buscaremos las soluciones de los sistemas en los números reales R. Dependiendo del posible número de tales soluciones reales que tenga un sistema, estos se pueden clasificar en: Sistemas con dos incógnitas Los sistemas más sencillos son aquellos en los que solo hay dos incógnitas y 2 ecuaciones, y que ya son conocidos de cursos pasados. Hay varios sistemas para resolverlos, los más habituales: * Reducción * Igualación * Sustitución En los que ya no nos entretendremos. MODULO DE ALGEBRA Página 93
Como cada ecuación lineal con 2 incógnitas se interpreta geométricamente como una recta, el estudio de la solución del sistema se limita a estudiar la posición de 2 rectas en el plano. Veamos algunos ejemplos con los tres casos que se pueden presentar. Resolver e interpretar el sistema: Por reducción De donde y = -1 y sustituyendo x + 2*(-1) = -3, x = -1. Es decir, la solución del sistema es ´única, x = -1, y = -1 lo que significa que el sistema es compatible y determinado, y que las rectas se cortan en un punto, precisamente el (-1,-1): Resolver e interpretar el sistema: Por igualación MODULO DE ALGEBRA Página 94
Lo cual es imposible y por tanto el sistema no tiene solución, es un sistema incompatible y por tanto las rectas son paralelas. Geométricamente: Resolver e interpretar el siguiente sistema: Por sustitución, como x = −2y – 3 resulta 3(−2y − 3) + 6y = −9, es decir −6y − 9+6y = −9, por tanto 0y = 0, 0 = 0. Como 0 = 0 es una igualdad siempre cierta, quiere decir que el sistema tiene infinitas soluciones, es compatible indeterminado, o que las rectas son la misma. MODULO DE ALGEBRA Página 95
Sistemas de 2 incógnitas y 3 ecuaciones Podemos añadir a los clásicos sistemas de 2 ecuaciones y 2 incógnitas cuantas ecuaciones queramos para obtener diferentes tipos de sistemas con 3, 4, 5 o más ecuaciones. En cualquier caso, los tipos de sistemas a los que dan lugar son los mismos reseñados anteriormente. Al aumentar el número de ecuaciones, la resolución del sistema por alguno de los tres métodos clásicos se vuelve más farragosa, por lo que conviene aplicar ya el conocido método de Gauss para determinar el tipo de sistema. Para ello expresaremos el sistema en la forma matricial, analizando la matriz ampliada asociada, que tendrá 2 columnas y tantas filas como ecuaciones tengamos. Analizaremos tan so ´lo aquellos sistemas con 3 ecuaciones y 2 incógnitas. La matriz ampliada genérica es: Aplicar el método de Gauss consiste en realizar transformaciones elementales mediante las filas de la matriz para obtener la matriz escalonada siguiente: Recordemos que las operaciones elementales permitidas en las filas de la matriz (ecuaciones del sistema) eran: MODULO DE ALGEBRA Página 96
T1) Multiplicar o dividir una filas por un número real distinto de cero. T2) Sumar o restar a una fila otra multiplicada por un número real no nulo. T3) Intercambiar el lugar de dos filas entre sí. Utilizando estas transformaciones, los sucesivos sistemas que se obtienen son equivalentes al primero, es decir, tienen las mismas soluciones. Debemos eliminar, en este orden, el elemento a21 utilizando la fila 1, el elemento a31, utilizando también la fila 1, y por ´ultimo el elemento a32 utilizando la fila 2, de modo análogo al método de Gauss-Jordán para la inversa. Además, es conveniente en cada paso indicar la operación realizada con las filas, poniendo en primer lugar aquella que se va a sustituir por otra. Llegados a la matriz ampliada escalonada al final del proceso, pueden darse los casos siguientes 1. a *22 = 0. Entonces hay dos posibilidades: a) b*3 = 0. Sistema incompatible (hay una ecuación del tipo 0=k), sin solución. Geométricamente, puede ocurrir que: a) Dos rectas sean paralelas y la otra las corte. b) Las rectas se corten dos a dos (formen un triángulo). SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones que comparten dos o más incógnitas. Las soluciones de un sistema de ecuaciones son todos los valores que son válidos para todas las ecuaciones, o los puntos donde las gráficas de las ecuaciones se intersectan. MODULO DE ALGEBRA Página 97
Podemos resolver un sistema de ecuaciones lineales graficando, por sustitución y por combinación lineal. Los sistemas de funciones no lineales, como ecuaciones cuadráticas o exponenciales, pueden ser manejados con las mismas técnicas. Para ilustrar cómo resolver estos sistemas, nos vamos a concentrar en sistemas lineales y cuadráticos con sólo dos ecuaciones. Pero ten en cuenta que hay sistemas que pueden ser más grandes y más complejos que estos ejemplos. Sistemas de Ecuaciones Lineales y Cuadráticas Empecemos por hablar sobre dos ecuaciones lineales. La solución de este tipo de sistema es el punto de intersección entre las dos rectas, o el lugar donde las dos ecuaciones tienen los mismos valores de x y de y. Puede haber más de una solución, no solución, o un número infinito de soluciones de un sistema de dos ecuaciones lineales: Una solución Si las gráficas de las ecuaciones se intersectan, entonces existe una solución para ambas ecuaciones. No hay solución Si las gráficas de dos ecuaciones no se intersectan (por ejemplo, si son paralelas), entonces no existen soluciones para ambas ecuaciones. Soluciones infinitas Si las gráficas de las ecuaciones son la misma, entonces hay un número infinito de soluciones para ambas ecuaciones. MODULO DE ALGEBRA Página 98
Para resolver un sistema con una ecuación lineal y una ecuación cuadrática, podemos hacer lo mismo, encontrar el punto — o puntos — de intersección entre ambas gráficas: Una solución Si la parábola y la recta se tocan en un sólo punto, entonces existe una solución para ambas ecuaciones. No hay solución Si las gráficas de las ecuaciones no se intersectan, entonces no existen soluciones para ambas ecuaciones. Dos soluciones Si la recta se intersecta con la parábola en dos lugares, entonces hay dos soluciones para ambas ecuaciones. No tiene sentido considerar el caso cuando las dos ecuaciones representan el mismo conjunto de puntos, porque una línea recta jamás será una parábola, y vice versa. Nota que esto significa que el número posible de soluciones para un sistema de dos ecuaciones lineales es 0 (nunca se tocan), 1 (se cruzan en un lugar), o infinito (las rectas son idénticas). El número de soluciones para un sistema con una ecuación lineal y una ecuación cuadrática es 0 (nunca se tocan), 1 (se tocan en un lugar), o 2 (se cruzan en dos lugares). Vamos a resolver por medio de gráficas un sistema de una ecuación lineal y una ecuación cuadrática. MODULO DE ALGEBRA Página 99
Ejemplos Problema Resolver el sistema graficando las ecuaciones y Graficar cada ecuación y localizar los puntos de intersección Solución Este sistema tiene dos soluciones, No podemos determinar la posición exacta de los puntos de intersección a partir de la gráfica, pero son aproximadamente (-2,0) y (5,22) Nota que a pesar de que podemos saber aproximadamente donde se intersectan las gráficas, es difícil encontrar la posición exacta. Ahora vamos a resolver el mismo sistema usando sustitución. Cuando resolvemos por sustitución, seguimos los siguientes pasos: 1. Seleccionar una ecuación y despejar una variable. (Escoger una ecuación y una variable que sea fácil de despejar). MODULO DE ALGEBRA Página 100
2. Sustituir la expresión resultante por una variable en la otra ecuación, cada vez que esta variable aparezca. 3. Resolver la segunda variable en la segunda ecuación. 4. Sustituir la solución del paso 3 en la expresión del paso 1, para encontrar la otra variable. Ejemplo Problema Resolver el sistema usando el método de sustitución y En este caso, ambas ecuaciones tienen la variable y despejada, por lo que las podemos igualar Restar 3x de ambos lados y restar 7 de ambos lados. Ahora queda una ecuación cuadrática igual a 0 por lo que podemos usar la fórmula cuadrática, , para encontrar la solución a = 1, b = -3, y c = -12 Sustituir los valores de a, b, y c en la fórmula Simplificar Simplificar un poco más, recordando evaluar ambos o y . Evaluar cualquiera de las funciones con cada x para encontrar el valor de y correspondiente MODULO DE ALGEBRA Página 101
Solución (5.27, 22.82) y (-2.27, 0.18) Usando sustitución hemos llegado a una respuesta más precisa que cuando lo hicimos graficando el sistema, sin embargo, si hicieron aproximaciones cuando sacamos la raíz cuadrada de 57. ¡Esta no es la solución exacta! Es siempre buena idea comprobar el resultado en las ecuaciones originales. Aquí hay una prueba con el punto (5.27, 22.82):} Nota que la comprobación no resulta en una igualdad perfecta, pero cercana. MODULO DE ALGEBRA Página 102
Usar una gráfica para encontrar el número de soluciones del sistema de ecuaciones. y = -4x – 4 y y = -0.25x2 – 4 A) una solución B) dos soluciones C) no hay solución D) soluciones infinitas Sistemas de Dos Ecuaciones Cuadráticas Ahora veamos el caso de dos ecuaciones cuadráticas. Imagina por un momento cómo las gráficas de las dos ecuaciones cuadráticas pueden intersectarse (o no). Una solución No hay solución MODULO DE ALGEBRA Página 103
Dos ecuaciones cuadráticas que tienen sólo un punto en común, como un vértice compartido, tienen una solución. Dos ecuaciones cuadráticas que no se superponen (no tienen valores comunes de y) no tienen solución. Dos soluciones Soluciones infinitas Dos ecuaciones cuadráticas que se Si las gráficas de las ecuaciones superponen pero tienen ecuaciones son la misma, entonces hay un diferentes tienen dos soluciones número infinito de soluciones válidas para ambas ecuaciones. Podemos resolver el sistema de ecuaciones cuadráticas graficando: Ejemplo Problema Resolver el sistema graficando las ecuaciones y MODULO DE ALGEBRA Página 104
Graficar ambas ecuaciones y encontrar los puntos de intersección Aproximar las coordenadas de los puntos de intersección Solución (-3, 9) y (3, 9) Una vez más, no podemos estar seguros de que nuestras soluciones gráficas son exactas. Un método algebraico siempre puede garantizar una solución exacta. Por ejemplo, podemos resolver un sistema de ecuaciones cuadráticas por sustitución: Ejemplo Problema Resolver el sistema usando el método de sustitución: y En este caso ambas ecuaciones tienen la variable y despejada, MODULO DE ALGEBRA Página 105
por lo que las podemos igualar Sumar 2x2 y 6 a ambos lados para traer todas las variables a un lado de la ecuación Aplicar la fórmula cuadrática. a = 3, b = 0, y c = 10 Simplificar, notando que la cantidad debajo de la raíz cuadrada es un valor negativo - este es el [discriminante] - lo que significa que no hay solución y las gráficas no se intersectan Solución no hay solución Como no hay solución, no podemos comprobar nuestra solución algebraicamente, pero podemos ver ambas gráficas para verificar que no hay solución: MODULO DE ALGEBRA Página 106
También podemos usar combinación lineal para resolver sistemas de ecuaciones, siguiendo estos pasos: 1. Re arreglar las ecuaciones de forma que los términos se alineen. 2. Multiplicar ninguna, o una, o ambas ecuaciones por una constante para que los coeficientes de una de las variables sean opuestos. 3. Sumar las ecuaciones para eliminar una de las variables. 4. Resolver la ecuación resultante. MODULO DE ALGEBRA Página 107
5. Sustituir la solución del paso 4 en la ecuación original para encontrar la otra variable. Ejemplo Problema Resolver el sistema usando combinación lineal y Alinear las ecuaciones Como ya hay dos variables que son opuestas (x2 y –x2), podemos sumar las dos ecuaciones y=5 Despejar y dividiendo ambos lados de la ecuación entre 2 Sustituir y en una de las ecuaciones para encontrar los valores de x. Solución y Las mismas estrategias de graficar, sustitución, o combinación lineal pueden ser aplicadas para resolver sistemas de ecuaciones de otras funciones no lineales, como círculos, elipses, y otras funciones coordenadas. La solución de sistemas de ecuaciones no lineales puede hacerse usando las técnicas de graficar, sustitución y combinación lineal. De la misma forma que con sistemas de ecuaciones lineales, cuando encontramos soluciones a sistemas de ecuaciones no lineales, estamos buscando la intersección de sus gráficas o los lugares donde las ecuaciones tienen los mismos valores de las variables. MODULO DE ALGEBRA Página 108
PROGRAMACION LINEAL La programación lineal es una técnica matemática relativamente reciente (siglo XX), que consiste en una serie de métodos y procedimientos que permiten resolver problemas de optimización en el ´ámbito, sobre todo, de las Ciencias Sociales. Nos centraremos en este tema en aquellos problemas simples de programación lineal, los que tienen solamente 2 variables, problemas bidimensionales. Para sistemas de más variables, el procedimiento no es tan sencillo y se resuelven por el llamado método Simplex (ideado por G.B. Danzig, matemático estadounidense en 1951). Recientemente (1984) el matemático indio establecido en Estados Unidos, Narenda Karmarkar, ha encontrado un algoritmo, llamado algoritmo de Karmarkar, que es más rápido que el método simplex en ciertos casos. Los problemas de este tipo, en el que intervienen gran número de variables, se implementan en ordenadores. Inecuaciones lineales con 2 variables Una inecuación lineal con 2 variables es una expresión de la forma: ax + by ≤ c (donde el símbolo ≤ puede ser también ≥, < o bien>), donde a, b y c son números reales y x e y las incógnitas. Para resolver estas inecuaciones, se recordará de otros cursos, hay que representar gráficamente en el plano la recta dada por la correspondiente ecuación lineal y marcar una de las dos regiones en que dicha recta divide al plano. Ejemplo: Si queremos resolver la inecuación: 2x +3y ≥−3, representamos en primer lugar la recta 2x +3y = −3: MODULO DE ALGEBRA Página 109
La recta divide al plano en dos regiones, una de las cuales es la solución de la inecuación. Para saber que parte es, hay dos procedimientos: 1. Se despeja la y de la inecuación, poniendo cuidado en que si en una inecuación multiplicamos o dividimos por un número negativo, la desigualdad cambia de sentido. En este caso tendíamos que: Observando el dibujo vemos que la recta divide al eje de ordenadas (y) en dos partes. La solución de la inecuación será aquella parte en la que la y sea mayor que la recta, es decir, la parte superior. MODULO DE ALGEBRA Página 110
2. Se toma un punto cualquiera que no pertenezca a la recta, por ejemplo el (1,2). Para que dicho punto sea solución, se tendrá´ que cumplir la desigualdad, por lo que sustituimos en la inecuación inicial el (1,2): 2 · 1+3· 2 ≥−3, es decir, 8 ≥−3. Como esta ´ultima desigualdad es evidentemente cierta, concluimos que el (1,2) es solución y por tanto el semiplano que contiene al (1,2) es la solución, es decir el semiplano superior, como habíamos obtenido antes. Cualquiera de los procedimientos es válido si se realiza con corrección. Sistemas de inecuaciones lineales con dos variables Un sistema de inecuaciones lineales, por tanto, es un conjunto de inecuaciones del tipo anterior, y resolverlo consistirá en resolver gráficamente cada inecuación (como en el caso anterior), representar la solución en un mismo gráfica y la solución total será la parte común a todas las soluciones. Resolver el sistema de inecuaciones siguiente: Si representamos las rectas MODULO DE ALGEBRA Página 111
El triángulo rayado es la solución del sistema. Además, para los problemas de programación lineal es necesario el cálculo de los vértices de la región solución. Es sencillo su cálculo, pues se reduce a resolver sistemas de ecuaciones lineales son dos incógnitas, que provienen de igualar las ecuaciones de las rectas correspondientes. Por ejemplo, en este caso, si queremos el punto intersección de las rectas r y t tendremos que resolver el sistema formado por: Ejercicios: 1. Calcular los otros dos vértices. 2. Resolver los sistemas de inecuaciones lineales siguientes encontrando los vértices de las regiones que sean solución: MODULO DE ALGEBRA Página 112
Nota: Rectas horizontales y verticales. En ocasiones, en estos sistemas, aparecen inecuaciones del tipo x ≥ k o bien y ≥ k, donde falta alguna de las dos incógnitas. Estas inecuaciones en realidad corresponden a rectas horizontales y verticales, y sus representaciones bien sencillas. Por ejemplo, la inecuación x ≤−2noesma´s que el conjunto de puntos a la izquierda de la recta vertical que pasa por el punto x = −2, gráficamente: Lo mismo ocurre con y ≤ 1, que será en este caso la parte inferior a la recta horizontal y =1, es decir: MODULO DE ALGEBRA Página 113
En el caso particular de que sea x ≥ 0 o y ≥ 0, las rectas coincidirán con los ejes de coordenadas. Forma algebraica Consiste, simplemente, en sustituir cada uno de los vértices de la región en la función objetivo. La solución óptima vendrá dada por aquel que tome el mayor (o menor) valor. Ejemplo: Maximizar la función F(x, y) = 2000x + 5000y sujeta a las restricciones: F (5, 1) = 2000 · 5 + 5000 · 1 = 10000 + 5000 = 15000 F (0, −1) = 2000 · 0 + 5000 · (−1) = 0 − 5000 = −5000 F (3, −3) = 2000 · 3 + 5000 · (−3) = 6000 − 15000 = −9000 Vemos que el valor máximo se alcanza para el vértice (5,1) y que dicho valor es 15. La misma solución que se obtenía antes. MODULO DE ALGEBRA Página 114
Ejercicio: Resolver los problemas de programación lineal: Algunos ejemplos de casos extremos Puede ocurrir que la solución óptima no sea ´única, e incluso que no exista, como en los ejemplos siguientes: Ejemplo 1: Maximizar g(x, y)=3x +4y sujeta a las restricciones: MODULO DE ALGEBRA Página 115
Si representamos la región factible: PROGRAMACIÓN LINEAL EN EXCEL Un modelo de Programación Lineal (PL) considera que las variables de decisión tienen un comportamiento lineal, tanto en la función objetivo como restricciones del problema. En este sentido, la Programación Lineal es una de las herramientas más utilizadas en la Investigación Operativa debido a que por su naturaleza se facilitan los cálculos y en general permite una buena aproximación de la realidad. Los Modelos Matemáticos se dividen básicamente en Modelos Determistas (MD) o Modelos Estocásticos (ME). En el primer caso (MD) se considera que los parámetros asociados al modelo son conocidos con certeza absoluta, a diferencia de los Modelos Estocásticos, donde la totalidad o un subconjunto de los parámetros tienen una distribución de probabilidad asociada. Los cursos introductorios a la Investigación Operativa generalmente se enfocan sólo en Modelos Determistas. MODULO DE ALGEBRA Página 116
Supuestos Básicos de la Programación Lineal: Linealidad, Modelos Deterministas, Variables reales, No Negatividad. APLICACIONES 1. Problema de la Dieta: (Stigler, 1945). Consiste en determinar una dieta de manera eficiente, a partir de un conjunto dado de alimentos, de modo de satisfacer requerimientos nutricionales. La cantidad de alimentos a considerar, sus características nutricionales y los costos de éstos, permiten obtener diferentes variantes de este tipo de modelos. Por ejemplo: Leche Legumbre Naranjas Requerimientos (lt) (1 porción) (unidad) Nutricionales 3,2 Niacina Tiamina 1,12 Vitamina C 32 2 Costo 4,9 1,3 0 0,2 0,8 0,19 93 0,25 13 15 45 Variables de Decisión:  X1: Litros de Leche utilizados en la Dieta MODULO DE ALGEBRA Página 117
 X2: Porciones de Legumbres utilizadas en la Dieta  X3: Unidades de Naranjas utilizadas en la Dieta Función Objetivo: (Minimizar los Costos de la Dieta) Min 2X1 + 0,2X2 + 0,25X3 Restricciones: Satisfacer los requerimientos nutricionales  Niacina: 3,2X1 + 4,9X2 + 0,8X3 >= 13  Tiamina: 1,12X1 + 1,3X2 + 0,19X3 >=15  Vitamina C: 32X1 + 0X2 + 93X3 >= 45  No Negatividad: X1>=0; X2>=0; X3>=0 Compruebe utilizando nuestro Módulo de Resolución que la solución Óptima es X1=0, X2=11,4677, X3=0,483871, con Valor Óptimo V(P)=2,4145. SOLVER Solver forma parte de una serie de comandos a veces denominados herramientas de análisis Y si. Con Solver, puede encontrar un valor óptimo (mínimo o máximo) para una fórmula en una celda, denominada la celda objetivo, sujeta a restricciones o limitaciones en los valores de otras celdas de fórmula en una hoja de cálculo. Solver trabaja con un grupo de celdas llamadas celdas de variables de decisión, o simplemente celdas de variables, que participan en el cómputo de fórmulas en las celdas objetivo y de restricción. Solver ajusta los valores en las celdas de variables de decisión para cumplir con los límites en las celdas de restricción y producir el resultado deseado para la celda objetivo. Para ejemplificar respecto al uso de Solver utilizaremos el siguiente modelo de Programación Lineal: MODULO DE ALGEBRA Página 118
Paso 1: Abrir una planilla de cálculo de Excel y definir las variables de decisión y la función objetivo. En este ejemplo se han marcado con amarillo y verde las variables de decisión y función objetivo respectivamente sólo para facilitar la comprensión. Es importante notar que la función objetivo (celda F4) será siempre una fórmula que depende de los parámetros de la función objetivo (celdas B5, C5, D5) y las variables de decisión (B4, C4, D4) Paso 2: Se definen las restricciones del modelo. La columna en amarillo bajo el titulo "Laso Izq" es una fórmula de los parámetros y las variables de decisión en las respectivas restricciones. Por ejemplo, la fórmula incorporada en E9 es simplemente: 15X + 7,5Y + 5Z. La celda F9 es el lado derecho de dicha restricción y corresponde a una constante (315). MODULO DE ALGEBRA Página 119
Paso 3: Ingresamos a la Opción Solver (Ver Instalacion Solver de Excel). Luego definimos la celda objetivo (función objetivo), el valor que buscamos (máximización o minimización), las celdas que deseamos cambiar (variables de decisión) y las restricciones. Para nuestro ejemplo está será la pantalla que se debe obtener: Paso 4: Accedemos a "Opciones..." y seleccionamos "Adoptar modelo lineal" y "Adoptar no negativos". Finalmente seleccionamos "Aceptar" y luego "Resolver". MODULO DE ALGEBRA Página 120
Paso 5: Si el proceso se ha desarrollado en forma correcta la planilla de cálculo se actualizará y se obtendrán los siguientes resultados. Solución Óptima: X=4, Y=10, Z=36. Valor Óptimo: V(P)=6.620. Se recomienda requerir el informe de sensibilidad tal como se muestra en la imagen de abajo. MODULO DE ALGEBRA Página 121
Paso 6: La imagen a continuación ha sido levemente editada y corresponde al informe de sensibilidad. Por ejemplo, el parametro que actualmente acompaña a X en la función objetivo es 200, sin embargo, si este valor varía entre [120,240] se conservará la actual solución óptima. En cuanto a las restricciones podemos decir, por ejemplo, que si el lado derecho de la segunda restricción (actualmente este lado derecho es igual a 110) aumenta a 120, es nuevo valor óptimo será V(P)=6.620 + 10*10 =6.720, es decir, el valor óptimo aumentará en forma proporcional al precio sombra de dicha restricción. Se recomienda revisar la sección de Análisis de Sensibilidad para reforzar estos conceptos. MODULO DE ALGEBRA Página 122
BIBLIOGRAFIA LINKOGRAFIA http://ponce.inter.edu/cremc/cuadratica.html http://facultad.bayamon.inter.edu/ntoro/gemaecliterales.htm http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/sisnum.html http://www.ditutor.com/numeros_naturales/conmutativa.html ttp://www.vitutor.com/di/re/b_3.html http://matemcorrales.blogspot.com/2012/09/operaciones-fundamentales-con.html http://www.vitutor.com/ab/p/a_1.html http://www.eplc.umich.mx/salvadorgs/matematicas1/contenido/CapIV/4_2_prop.ht m http://www.aaamatematicas.com/fra66hx2.htm http://www.vitutor.com/di/r/a_7.html http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/1esomatematicas/1quincena7/1qu incena7_contenidos_3b.htm MODULO DE ALGEBRA Página 123

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Portafolio de algebra

  • 1.
    UNIVERSIDAD POLITÉCNICA ESTATALDEL CARCHI FACULTAD DE INDUSTRIAS AGROPECUARIAS Y CIENCIAS AMBIENTALES Escuela de Desarrollo Integral Agropecuario Módulo “ALGEBRA” PRIMER NIVEL PARALELO: ―A‖ JOSELYN CHILES Ing. Oscar René Lomas Reyes Enero del 2014 MODULO DE ALGEBRA Página 1
  • 2.
    Índice. Introducción…………………………………………………………………………….1 Conjunto de losnúmeros reales…………………………………………………...2 Conjunto de los números naturales……………………………………………...3 Conjunto de los números enteros…………………………………………………4 Conjuntos de los números racióneles……………………………………………5 Propiedad conmutativa…………………………………………………………...6 Propiedades de los números reales……………………………………………...7 Propiedad transitiva……………………………………………………………......8 Propiedad de la suma y multiplicación……………………………………….9 Propiedad conmutativa de la suma y multiplicación…………………..10 Propiedad asociativa de la suma y multiplicación………………………11 Propiedad de la identidad………………………………………………………..12 Propiedades del inverso……………………………………………………………13 Propiedad distributiva……………………………………………………………14 Exponentes y radicales…………………………………………………………....15 Exponentes…………………………………………………………………………….16 Radicales……………………………………………………………………………….17 Operaciones con expresiones algebraicas……………………………………18 Expresiones algebraicas…………………………………………………………...19 Suma de expresiones algebraicas………………………………………………20 Resta de expresiones algebraicas………………………………………………21 Factorización…………………………………………………………………………22 MODULO DE ALGEBRA Página 2
  • 3.
    Factor común…………………………………………………………………………23 Factorización detrinomios……………………………………………………...24 Fracciones……………………………………………………………………………..25 Simplificación de fracciones……………………………………………………..26 Multiplicación y división de fracciones……………………………………..27 Racionalización de denominadores…………………………………………..28 Suma y resta de fracciones………………………………………………………29 Operación combinada de fraccione…………………………………………..30 Ecuaciones lineales…………………………………………………………………31 Ecuaciones lineales…………………………………………………………………31 Terminología para las ecuaciones……………………………………………..32 Ecuaciones equivalentes…………………………………………………………..33 Ecuaciones lineales…………………………………………………………………34 Ecuaciones con literales…………………………………………………………..35 Ecuaciones fraccionarias…………………………………………………………36 Ecuación con radicales……………………………………………………………37 Ecuaciones cuadráticas…………………………………………………………..38 Resolución por factorización……………………………………………………39 Formula………………………………………………………………………………..40 Desigualdades lineales…………………………………………………………….41 Aplicación de las desigualdades………………………………………………..42 Valor absoluto………………………………………………………………………..43 Ecuaciones con valor absoluto………………………………………………….44 MODULO DE ALGEBRA Página 3
  • 4.
    Propiedades del valorabsoluto…………………………………………………45 Sistemas de ecuaciones lineales………………………………………………...46 Sistemas de ecuaciones con dos variables…………………………………...47 Método de eliminación por adición…………………………………………...48 Método de eliminación por sustitución……………………………………...49 Sistemas de ecuaciones con tres variables………………………………….50 Sistemas no lineales…………………………………………………………………51 Aplicaciones de sistemas de ecuaciones……………………………………...52 Programación lineal……………………………………………………………….53 Sistemas de desigualdades………………………………………………………..54 Método simplex………………………………………………………………………55 Programación lineal en Excel…………………………………………………..56 Solver……………………………………………………………………………………57 Bibliografía…………………………………………………………………………..59 MODULO DE ALGEBRA Página 4
  • 5.
    EL SISTEMA DELOS NÚMEROS REALES Introducción. . El ente básico de la parte de la matemática conocida como ANÁLISIS, lo constituye el llamado sistema de los números reales. Números tales como: 1,3, y sus correspondientes negativos, son usados en mediciones cuantitativas. Existen dos métodos principales para estudiar el sistema de los números reales. Uno de ellos comienza con un sistema más primitivo – tal como el conjunto de los números naturales o enteros positivos; 1, 2, 3, 4,..., y a partir de él, por medio de una secuencia lógica de definiciones y teoremas, se construye el sistema de los números reales. En el segundo método se hace una descripción formal del sistema de los números reales (asumiendo que existe), por medio de un conjunto fundamental de propiedades (axiomas) de las cuales muchas otras propiedades pueden deducirse. En esta primer parte, se hará una presentación intuitiva del conjunto de los números reales. Se parte de un conjunto primitivo como es el conjunto N de los números naturales y se efectúan las sucesivas ampliaciones del mismo, atendiendo más a la necesidad de resolver ciertas ecuaciones, en las cuales los conjuntos que se van definiendo resultan insuficientes para la solución, que a un desarrollo axiomático del mismo El conjunto de los números reales está constituido por diferentes clases de números. Entre ellas, se pueden mencionar los siguientes 6 conjuntos: Conjunto de los números naturales. El conjunto de los números naturales, que se denota por N o también por Z+, corrientemente se presenta así: N = {1, 2, 3, 4, 5, ...} MODULO DE ALGEBRA Página 5
  • 6.
    La notación deconjunto que incluye los puntos suspensivos es de carácter informal. Este conjunto permite fundamentar las sucesivas ampliaciones que se hacen, de los sistemas numéricos, y lleva principalmente a la consideración de los números reales. Conjunto de los números enteros. El conjunto de los números enteros, que se denota por Z , corrientemente se presenta así: Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} En el conjunto de los números enteros, se pueden resolver ecuaciones que no tienen solución en N, como sucede por ejemplo con la ecuación x + 3 = 1, cuya solución es x = -2. Puede notarse que . Conjunto de los números racionales. El conjunto de los números racionales, que se denota por Q , se define de la siguiente manera: Q= / m, n son enteros y n La introducción de los números racionales responde al problema de resolver la ecuación: ax = b, con a, b Ésta sólo tiene solución en Z, en el caso particular en que a es un divisor de b. Note que todo entero n puede escribirse como el número racional n/1 y, en MODULO DE ALGEBRA Página 6
  • 7.
    consecuencia, se puedeconcluir que: Z En lo sucesivo, cuando se haga referencia a los números racionales, a/b, c/d,..., se entenderá que a, b, c, d,..., son números enteros y que los denominadores son diferentes de cero. Conjunto de los números irracionales. En muchos temas de la geometría se plantea en general, problemas para cuya solución el conjunto Q de los números racionales resulta insuficiente. Así, por ejemplo, al considerar el problema de determinar el número x que mide la longitud de la diagonal de un cuadrado cuyo lado sea la unidad, el teorema de Pitágoras permite establecer que x, satisface la ecuación: x2 = 2. Puede demostrarse fácilmente, que no existe X Q que verifique esta última ecuación. En general, una ecuación de la forma xn = a, con a Q y n N, carecerá (excepto casos particulares) de solución. Se hace por lo tanto necesario, describir otro conjunto, en el cual, ecuaciones como las anteriores tenga solución. El conjunto de los números irracionales, que se denota por Q*, está constituido por los números reales que no admiten la representación racional. Ejemplos de esta clase de números son: el número e (base del logaritmo natural), , etc. En este conjunto, se pueden resolver ecuaciones que no tienen solución en Q, como sucede, por ejemplo, con la ecuación x2 – 2 = 0, cuyas soluciones son: x = , que no son números racionales. * Finalmente se define el Conjunto R de los números reales como: . En el conjunto R de los números reales, están definidas dos operaciones: adición (+) y MODULO DE ALGEBRA Página 7
  • 8.
    multiplicación (.), lascuales verifican las siguientes propiedades (llamadas también axiomas de campo). LOS NUMEROS REALES Y ARECTA REAL En la geometría analítica el paso importante fue establecer una correspondencia entre los números reales y los puntos de la recta. Existe una condición que cumplen los números reales llamada axioma de completitud que garantiza una correspondencia biunívoca (uno a uno) entre el conjunto de los números reales y el conjunto de puntos en la recta o eje. A cada número real le corresponde un único punto sobre la recta y a cada punto en la recta o eje se le asocia un único número real. Como se observa en el gráfico, se elige un punto de referencia arbitrario sobre la recta al que se denomina origen. Se selecciona además una unidad de longitud para medir distancias. Se elige también un sentido a lo largo de la recta a la que se llama positivo y se considera como negativo al sentido opuesto. A cada número real entonces se le asocia un punto de la recta teniendo en cuenta lo siguiente:  Se asocia al origen el número 0, Se asocia a cada número positivo p un punto que está a una distancia de p unidades del origen en la dirección positiva,  Se asocia a cada número negativo - p el punto que está a p unidades de distancia del origen en la dirección negativa. Los puntos en la recta se identifican con los números que representan. El número real que le corresponde a un punto de la recta se denomina coordenada o abscisa del punto y la recta recibe el nombre de recta real, recta coordenada, recta numérica o recta de los números reales. También se la conoce como eje coordenado o eje real. El conjunto de los reales cubre o completa la recta sin dejar "huecos". MODULO DE ALGEBRA Página 8
  • 9.
    Ejemplo. Orden Los números realesestán ordenados cumpliendo sólo una de las afirmaciones siguientes: dados dos números reales a y b puede ser que a sea menor que b, a sea mayor que b o a sea igual a b. Puede observarse en la recta que a < b si y sólo si el punto que representa al número a está a la izquierda del punto que representa al número b. Análogamente, a > b sí y sólo sí el punto que representa al número a se halla a la derecha del que representa a b. Si a = b, los puntos se superponen. La relación de orden queda establecida teniendo en cuenta que el punto a preceder al punto b si el número real a es menor que el número real b MODULO DE ALGEBRA Página 9
  • 10.
    (a < b).(matemati@fca.unl.edu.ar,s.f.) La propiedad conmutativa Dice que resultado de una operación es el mismo cualquiera que sea el orden de los elementos con los que se opera Propiedad conmutativa de la suma El orden de los sumandos no varía la suma. a+b=b+a 2+5=5+2 7=7 Propiedad conmutativa de la multiplicación El orden de los factores no varía el producto. a·b=b·a 2·5=5·2 10 = 10 PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES Todos los números que usamos en nuestra vida diaria son números reales. Conocer sus propiedades te ayudará a resolver gran cantidad de problemas cuantitativos en cualquier disciplina, ya sea en matemática pura, ciencias experimentales, ciencias sociales, etc. Sean , entonces se verifican las siguientes propiedades: Sean , entonces se verifican las siguientes propiedades: MODULO DE ALGEBRA Página 10
  • 11.
    Propiedad Adición Multiplicación Cerradura Conmutativa Asociativa Distributiva Identidad Inverso Propiedad de lacerradura La propiedad de la cerradura dice que puedes sumar o multiplicar dos o más números reales, y el resultado será siempre un número real. Por ejemplo: Importante: La propiedad de la cerradura también aplica para la substracción pero NO para la división, no se puede dividir entre cero. MODULO DE ALGEBRA Página 11
  • 12.
    Propiedad conmutativa La propiedadconmutativa para la adición y la multiplicación dice que puedes cambiar el orden de los sumandos o de los factores y el resultado será siempre el mismo. Por ejemplo: Importante: La propiedad conmutativa NO aplica para la substracción o la división, pues el resultado se altera. Propiedad asociativa La propiedad asociativa para la adición y la multiplicación nos permite hacer sumas o multiplicaciones parciales agrupando los sumandos o los factores para después sumar o multiplicar los resultados parciales para facilitar el cálculo de una expresión. Por ejemplo: Importante: La propiedad asociativa NO aplica para la substracción o la división, pues el resultado se altera. MODULO DE ALGEBRA Página 12
  • 13.
    Propiedad distributiva La propiedaddistributiva tiene que ver con reordenar o reorganizar las operaciones de adición y multiplicación en una expresión, con el fin de facilitar las operaciones aritméticas. Propiedad de identidad (elemento neutro) La propiedad de identidad para la adición dice que existe un número (llamado elemento neutro de la adición) que al ser usado como sumando no cambia el resultado de la suma: , el elemento neutro de la adición es el número CERO. La propiedad de identidad para la multiplicación dice que existe un número (llamado elemento neutro de la multiplicación) que al ser usado como factor no cambia el resultado de la multiplicación: , el elemento neutro de la multiplicación es el número UNO. Propiedad del inverso La propiedad del inverso aditivo, dice que existe un número que al ser usado como sumando hace que el resultado de la suma sea igual a CERO. el inverso aditivo para esta suma es el número La propiedad del inverso multiplicativo, dice que existe un número que al ser usado como factor hace que el resultado de la multiplicación sea igual a UNO. MODULO DE ALGEBRA Página 13
  • 14.
    , el inversomultiplicativo para esta multiplicación es EXPONENTES Y RADICALES Exponentes Los exponentes también se llaman potencias o índices El exponente de un número nos dice cuántas veces se usa el número en una multiplicación. En este ejemplo: 82 = 8 × 8 = 64  En palabras: 82 se puede leer "8 a la segunda potencia", "8 a la potencia 2" o simplemente "8 al cuadrado" Más ejemplos: Ejemplo: 53 = 5 × 5 × 5 = 125  En palabras: 53 se puede leer "5 a la tercera potencia", "5 a la potencia 3" o simplemente "5 al cubo" Ejemplo: 24 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16  En palabras: 24 se puede leer "2 a la cuarta potencia" or "2 a la potencia 4" o simplemente "2 a la cuarta" Y los exponentes hacen más fácil escribir muchas multiplicaciones Ejemplo: 96 es más fácil de escribir y leer que 9 × 9 × 9 × 9 × 9 × 9 Puedes multiplicar cualquier número por sí mismo tantas veces como quieras con esta notación. MODULO DE ALGEBRA Página 14
  • 15.
    Así que, engeneral: an te dice que multipliques a por sí mismo, y hay n de esos a's: Exponentes negativos ¿Negativos? ¿Qué es lo contrario de multiplicar? ¡Dividir! Un exponente negativo significa cuántas veces se divide entre el número. Ejemplo: 8-1 = 1 ÷ 8 = 0,125 O varias divisiones: Ejemplo: 5-3 = 1 ÷ 5 ÷ 5 ÷ 5 = 0,008 Pero esto lo podemos hacer más fácilmente: 5-3 también se podría calcular así: 1 ÷ (5 × 5 × 5) = 1/53 = 1/125 = 0,008 Este último ejemplo nos muestra una manera más fácil de manejar exponentes negativos:  Calcula la potencia positiva (an)  Después cacula el recíproco (o sea 1/an) Más ejemplos: Exponente negativo 4-2 Recíproco del exponente positivo = 1 / 42 Respuesta = 1/16 = 0,0625 MODULO DE ALGEBRA Página 15
  • 16.
    10-3 = 1 / 103 = 1/1.000= 0,001 ¿Qué pasa si el exponente es 1 o 0? Si el exponente es 1, entonces tienes el número solo (por ejemplo 91 = 9) Si el exponente es 0, la respuesta es 1 (por ejemplo 90 = 1) Radicales Un radical es una expresión de la forma , en la que n ya ; con tal que cuando a sea negativo, n ha de ser impar. Potencias y radicales Se puede expresar un radical en forma de potencia: MODULO DE ALGEBRA Página 16
  • 17.
    Radiales equivalentes Utilizando lanotación de exponente fraccionario y la propiedad de las fracciones que dice que si se multiplica numerador y denominador por un mismo número la fracción es equivalente, obtenemos que: Si se multiplican o dividen el índice y el exponente de un radical por un mismo número natural, se obtiene otro radical equivalente. Simplificación de radicales Si existe un número natural que divida al índice y al exponente (o los exponentes) del radicando, se obtiene un radical simplificado. Reducción a índice común 1. Hallamos el mínimo común múltiplo de los índices, que será el común índice 2. Dividimos el común índice por cada uno de los índices y cada resultado obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes. MODULO DE ALGEBRA Página 17
  • 18.
    Extracción de factoresen un radical Se descompone el radicando en factores. Si: 1. Un exponente es menor que el índice, el factor correspondiente se deja en el radicando. 2. Un exponente es igual al índice, el factor correspondiente sale fuera del radicando. 3. Un exponente es mayor que el índice, se divide dicho exponente por el índice. El cociente obtenido es el exponente del factor fuera del radicando y el resto es el exponente del factor dentro del radicando. OPERACIÓN CON EXPRESIONES ALGÉBRICAS MODULO DE ALGEBRA Página 18
  • 19.
    1. Suma 2. Resta 3.Multiplicación 4. División. Suma de expresiones algebraicas Para realizar la suma de expresiones algebraicas se agrupa los términos semejantes. Se puede realizar en forma horizontal o vertical, para llevar a cabo la suma en forma vertical se puede disponer en filas, con los términos semejantes por su grado en la misma columna y a continuación, se suman los términos de cada columna. Ejemplo. Suma horizontal (2x³ + x² -5) + (x² + x +6) = 2x³ + x² -5 + x² + x +6 = 2x³ + (x² + x²) + x + (6 -5) = 2x³ + 2x² + x + 1 Suma vertical (5x³ + 2x² - x + 7) + (3x² - 4x + 7) + (-x³ + 4x² - 8) Resta de expresiones algebraicas Para restar cambie el signo de cada uno de los términos que va a restarse y después sume los términos semejantes resultantes. Se lo realiza en forma horizontal y vertical. MODULO DE ALGEBRA Página 19
  • 20.
    Ejemplo. Resta horizontal. Restar x³+ 2x² - x – 4 de 3x³ - 5x² + 3 (3x³ - 5x² + 3) – (x³ + 2x² - x – 4) = 3x³ - 5x² + 3 – x³ - 2x² + x + 4 = (3x³ - x³) + (-5x² - 2x²) + x + (3 + 4) = 2x³ - 7x² + x + 7 Resta vertical (4x4 - 2x³ + 5x² - x + 8) – (3x4 - 2x³ + 3x – 4) Multiplicación de expresiones algebraicas Podemos tener multiplicaciones como las siguientes: 1. Multiplicación de dos o más monomios. Se realiza aplicando las reglas de la potenciación, de los signos y las propiedades asociativa y conmutativa del producto. Ejemplo. Multiplicar -3x²y³z, 2x4y, y -4xy4z² (-3x²y³z)(2x4y)(-4xy4z²) =[(-3)(2)(-4)][(x²)(x4)(x)][(y³)(y)(y4)][(z)(z²)] = 24x7y8z3  para obtener este resultado se debe realizar mentalmente en próximos ejercicios, esto se realizar con la práctica. 2. Multiplicación de un monomio por un polinomio MODULO DE ALGEBRA Página 20
  • 21.
    El producto seobtiene por la directa aplicación de la propiedad distributiva. Ejemplo 4x²(3x – 2x³ + 1) = 4x²(3x) – 4x²(2x³) +4x²(1) = 12x³ – 8x5 + 4x² = – 8x5 + 12x³ + 4x² 3. Multiplicación de binomios Utilizando la propiedad distributiva Ejemplo (x + 2)(x – 3) = x(x – 3) + 2(x – 3) = x² - 3x + 2x – 6 = x² - x – 6 Utilizando el método PEIU PEIU significa que se debe realizar los productos de los Primeros términos, los términos Externos, términos Internos y el término Último. Ejemplo (3x + 4)(2x + 1) Multiplicación de polinomios MODULO DE ALGEBRA Página 21
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    Para multiplicar polinomiosque tienen tres o más términos, se puede usar el mismo principio básico que se usa para multiplicar monomios y binomios. Esto es cada término de un polinomio debe multiplicarse por cada término del otro polinomio. Puede hacer la multiplicación en forma horizontal o vertical. Multiplicación horizontal Ejemplo. Multiplicar (4x² - 3x – 1) (2x – 5) = 4x²(2x – 5) -3(2x – 5) -1(2x – 5) = 8x³ - 20x² - 6x² + 15x -2x + 5 = 8x³ - 26x² + 13x + 5 Multiplicación vertical Se alinea términos semejantes en las mismas columnas verticales. Ejemplo Multiplicar (4x² + x – 2) (-x² + 3x + 5) División de expresiones algebraicas 1. División de dos monomios. Se realiza hallando el cociente de los coeficientes y el de los factores literales aplicando las reglas de potenciación. MODULO DE ALGEBRA Página 22
  • 23.
    Ejemplo. Dividir: 24x4y²z³ por-3x³y4z División de dos polinomios a. Se ordenan los términos de ambos polinomios según las potencias decrecientes (o crecientes) de una de las letras comunes a los dos polinomios. b. Se divide el primer término del dividendo por el primero del divisor, con lo que resulta el primer término del cociente. c. Se multiplica el primer término del cociente por el divisor y se resta el dividendo, obteniéndose un nuevo dividendo. d. Con el dividendo del literal c., se repite las operaciones del los literales b. y c. hasta que se obtenga un resto igual a cero o de grado menor que el del dividendo. e. El resultado es: Ejemplo Dividir 2x4 - 3x³ + x² + x + 2 por x² - 3x + 2 MODULO DE ALGEBRA Página 23
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    Por lo tanto, Expresionesalgebraicas Trabajar en álgebra consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o más cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman variables, incógnitas o indeterminadas y se representan por letras. Una expresión algebraica es una combinación de letras y números ligadas por los signos de las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación. Las expresiones algebraicas nos permiten, por ejemplo, hallar áreas y volúmenes. Longitud de la circunferencia:, donde r es el radio de la circunferencia. Área del cuadrado: S = l2, donde l es el lado del cuadrado. Volumen del cubo: V = a3, donde a es la arista del cubo. Expresiones algebraicas comunes El doble o duplo de un número: 2x El triple de un número: 3x El cuádruplo de un número: 4x MODULO DE ALGEBRA Página 24
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    La mitad deun número: x/2 Un tercio de un número: x/3 Un cuarto de un número: x/4 Un número es proporcional a 2, 3, 4...: 2x, 3x, 4x... Un número al cuadrado: x² Un número al cubo: x³ Un número par: 2x Un número impar: 2x + 1 Dos números consecutivos: x y x + 1 Dos números consecutivos pares: 2x y 2x + 2 Dos números consecutivos impares: 2x + 1 y 2x + 3 Descomponer 24 en dos partes: x y 24 − x La suma de dos números es 24: x y 24 − x La diferencia de dos números es 24: x y 24 + x El producto de dos números es 24: x y 24/x El cociente de dos números es 24: x y 24 · x FACTORIZACIÓN Factorizar una expresión algebraica es hallar dos o más factores cuyo producto es igual a la expresión propuesta. MODULO DE ALGEBRA Página 25
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    La factorización puedeconsiderarse como la operación inversa a la multiplicación, pues el propósito de ésta última es hallar el producto de dos o más factores; mientras que en la factorización, se buscan los factores de un producto dado. Se llaman factores o divisores de una expresión algebraica, a los términos que multiplicados entre sí dan como producto la primera expresión. Factorización Multiplicación Al factorizar una expresión, escribimos la expresión como un producto de sus factores. Supongamos que tenemos dos números 3 y 5 y se pide que los multipliquemos, escribiremos . En el proceso inverso, tenemos el producto 15 y se nos pide que lo factoricemos; entonces tendremos Al factorizar el número 20, tendremos Advierte que y o . no están factorizados por completo. Contienen factores que no son números primos. Los primeros números primos son 2, 3, 5, 7, 11, etc. Puesto que ninguna de esas factorizaciones está completa, notamos que en la primera factorización , de modo que mientras que la MODULO DE ALGEBRA Página 26
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    segunda factorización , demodo que factorización completa para 20 es , en cualquier caso la . De ahora en adelante cuando digamos factorizar un número, queremos decir factorizarla por completo. Además se supone que los factores numéricos son números primos. De esta manera no Factorizamos 20 como . Con estos preliminares fuera del camino, ahora podemos factorizar algunas expresiones algebraicas. Factor común. Para comenzar, comparemos las multiplicaciones con los factores y veamos si podemos descubrir un patrón. Usan la propiedad distributiva. . Cuando factorizamos Cuando multiplicamos, tenemos que: . Para factorizar un binomio, debemos hallar un factor (en este caso a) que sea común a todos los términos. El primer paso para tener una expresión completamente factorizada es seleccionar el máximo factor común, . Aquí tenemos como hacerlo: Máximo factor común (MFC) MODULO DE ALGEBRA Página 27
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    El término , esel MFC de un polinomio sí: 1. a es el máximo entero que divide cada uno de los coeficientes del polinomio, y 2. n es el mínimo exponente de x en todos los términos del polinomio. De este modo para factorizar , podríamos escribir Pero no está factorizado por completo por que puede factorizarse aún más. Aquí el mayor entero que divide a 16 y 8 es 6, y el mínimo exponente de x en todos los términos es . De esta manera la factorización completa es . Donde es el MFC. EJEMPLO Factorizar EJEMPLO Factorizar EJEMPLO Factorizar MODULO DE ALGEBRA Página 28
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    EJEMPLO Factorizar EJEMPLO Factorizar EJEMPLO Factorizar EJEMPLO Factorizar Diferencia de cuadrados. Aquítenemos un producto notable podemos utilizar esta relación para factorizar una diferencia de cuadrados. MODULO DE ALGEBRA Página 29
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    EJEMPLO Factorizar EJEMPLO Factorizar EJEMPLO Factorizar Trinomios con términode segundo grado. Del estudio de los productos notables sabemos que el cuadrado de un binomio es un trinomio; tales trinomios se llaman trinomios cuadrados perfectos. Los trinomios , son trinomios cuadrados porque son cuadrados de un binomio. MODULO DE ALGEBRA Página 30
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    Los siguientes puntosayudan a identificar un trinomio cuadrado. A. Dos de los términos deben de ser cuadrados B. No debe haber signo de menos en y o en C. Si multiplicamos A y B y duplicamos el resultado, obtenemos el tercer término 2AB o su inverso aditivo -2AB. ¿Es un trinomio cuadrado? La respuesta es no porqué solo hay un término al cuadrado (x2) y (11) no es cuadrado de algún número. Es fácil verificar, mediante la multiplicación del segundo miembro de cada ecuación, las siguientes fórmulas de factorización para la suma y la diferencia de dos cubos. EJEMPLO Factorizar , observemos primero que se puede escribir en otra forma: Así, advertimos que se trata de la diferencia de dos cubos. Si aplicamos la fórmula de factorización y usamos los siguientes valores A=y, y B=3, obtenemos: EJEMPLO Factorizar MODULO DE ALGEBRA Página 31
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    EJEMPLO Factorizar trinomios cuadrados podemosutilizar las siguientes relaciones: Hay que recordar que se deben de sacar primero los factores comunes, si es posible. Por Agrupación. Podemos utilizar la propiedad distributiva para factorizar algunos polinomios con cuatro términos. Consideremos 1. Sin embargo podemos factorizar a Por lo tanto . No hay ningún factor diferente de y por separado: . Podemos utilizar la propiedad distributiva una vez más y sacamos el factor común: x+1 Este método se llama factorización por grupos (o por agrupación). No todas las expresiones con cuatro términos se pueden factorizar con este método. EJEMPLO MODULO DE ALGEBRA Página 32
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    EJEMPLO Factorizar EJEMPLO Factorizar FRACCIONES Una fracción esuna parte de un total Corta una pizza en trozos, y tendrás fracciones: 1 /2 1 /4 3 /8 MODULO DE ALGEBRA Página 33
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    (Una mitad) (Un cuarto) (Tresoctavos) El número de arriba te dice cuántas porciones tienes y el de abajo te dice en cuántos trozos se ha cortado la pizza. Numerador / Denominador Al número de arriba lo llamamos Numerador, es el número de partes que tienes. Al de abajo lo llamamos Denominador, es el número de partes en que se ha dividido el total. Numerador Denominador ¡Sólo tienes que recordar esos nombres! (Si los confundes, recuerda que denominador es con "D" de dividir) Fracciones equivalentes Algunas fracciones parecen diferentes pero en realidad son la misma, por ejemplo: 4 /8 = 2 /4 = 1 /2 MODULO DE ALGEBRA Página 34
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    (Cuatro octavos) (Dos cuartos) (Unamitad) Normalmente lo mejor es dar la respuesta usando la fracción más simple ( 1/2 en este caso). Eso se llama Simplificar o Reducir la fracción. Sumar fracciones Puedes sumar fracciones fácilmente si el número de abajo (el denominador) es el mismo: 1 /4 + (Un cuarto) 1 /4 (Un cuarto) = 2 /4 = (Dos cuartos) 1 /2 (Una mitad) Para simplificar una fracción, se dividen el numerador y el denominador por uno o más factores comunes a ambos. Se obtiene así otra fracción equivalente . Por ejemplo: Simplificar Donde hemos dividido numerador y denominador entre 3, , MODULO DE ALGEBRA Página 35
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    Para poder simplificaruna fracción el numerador y el denominador tiene que estar factorizado. Si no lo están la primera operación ha de ser la de factorizarlos. Por ejemplo: Simplificar Como vemos el denominador es un polinomio, o sea una suma, por tanto antes de simplificar hay que factorizarlo. En este caso el método adecuado es sacar factor común así Más ejemplos: Simplificar las siguientes fracciones algebraicas 1. Como ya son productos, tanto el numerador como el denominador, basta dividir numerador y denominador por los factores comunes 2. MODULO DE ALGEBRA Página 36
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    3. En esta fracciónaparece una suma en el numerador y otra en el denominador, por tanto hay que factorizar ambas cosas. Podemos sacar factor común en el numerador e en el denominador , aquí el numerador es una suma pero no se puede factorizar, 4. pero el denominador se puede factorizar ya que es el cuadrado de una suma. 5. , aquí sólo podemos factorizar el denominador, que se trata de una diferencia de cuadrados y que es igual a suma por diferencia MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES Multiplicación de fracciones La multiplicación de dos fracciones es otra fracción que tiene: 1. Por numerador el producto de numeradores. 2. Por denominador el producto de denominadores. MODULO DE ALGEBRA Página 37
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    Ejemplo: División de fracciones Ladivisión de dos fracciones es otra fracción que tiene: 1. Por numerador el producto de los extremos. 2. Por denominador el producto de los medios. Ejemplo: RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES. Recuerda que se llama irracional al número que no puede expresarse con números enteros ni fraccionarios. Son números que su expresión decimal tiene infinitas cifras pero sin formar períodos. Podemos decir que 0,5 es lo mismo que . Es lo mismo que 0,75. MODULO DE ALGEBRA Página 38
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    Todos estos númerosson racionales, podemos escribirlos como enteros o fraccionarios. Existen números que no podemos expresarlos de este modo, por ejemplo a estos números los llamamos irracionales porque si queremos escribir el valor de los mismos nunca podremos acabar de ir escribiendo decimales. No hay ningún número que multiplicado por sí mismo te dé 2, ni 3 ni 11, ni 13,…. La raíz cuadrada de estos números nunca acabarás de obtener. Es conveniente que las fracciones cuyo denominador sea irracional lo convirtamos en racional. En otras palabras, al proceso de obtener fracciones que no tengan raíces en el denominador llamamos racionalización de radicales de los denominadores: .El denominador es un número irracional, por mucho que intentes Ejemplo: calcular su valor verás que nunca acabas de hacer operaciones. Sabemos que si multiplicamos o dividimos al numerador y al denominador de una fracción por un mismo número, su valor sigue siendo el mismo. Para hacer racional el denominador por sí mismo: lo más simple es que le multipliquemos . MODULO DE ALGEBRA Página 39
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    Pero para queno varíe el valor de la fracción hemos de multiplicarle también al numerador por .Podemos decir que: son iguales pero no tiene como denominador un número irracional. Racionaliza: Respuesta . Racionaliza: Respuesta . Solución: Racionaliza: Respuesta . Solución: Las operaciones las tienes desarrolladas paso a paso: MODULO DE ALGEBRA Página 40
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    Racionaliza: Respuesta: Solución: El proceso decálculos con letras es el mismo que aplicamos con los números. Tienes desarrollado paso a paso la resolución del ejercicio: Racionaliza: Respuesta: . Solución: Tratamos ahora una raíz cúbica. Si tienes y quieres quitar la raíz tienes que conseguir que el exponente del radicando(que es 1) sea igual al índice de la raíz(que es 3). Para que sean iguales a MODULO DE ALGEBRA Página 41
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    tendrás que multiplicarle deeste modo, en el denominador al multiplicar tendrás que sumar los exponentes dejando la misma base: por . Para que el valor de la fracción no varíe tendrás que multiplicar también al numerador por : Racionaliza: Respuesta: . Solución: Para poder quitar la raíz de ,5 tenía que tener como exponente un 7. Vemos que tendríamos que multiplicarle por de este modo al sumar los exponentes el valor obtenido iguala al índice de la raíz y entonces podemos simplificar. Para que no varíe el valor de la fracción tendremos que multiplicarle al numerador también por : Racionaliza: MODULO DE ALGEBRA Página 42
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    Respuesta: . Suma y restade fracciones Utilizando un algoritmo sencillo podemos aprender a sumar fracciones mentalmente. Veamos: Sean a /b y c/d dos fracciones cualesquiera. Si las deseamos sumar podemos seguir la siguiente regla: a + c = b d (se multiplica cruzado y los productos de suman) ad + bc (se multiplican los denominadores) bd Veamos un ejemplo: El jefe de Cheo repartió los trabajos de contabilidad de urgencia entre algunos de los contables. A Cheo le tocó una cuarta parte (1/4) de los trabajos de urgencia más la tercera (1/3) parte del trabajo que le iba a tocar al empleado que faltó. En total, ¿qué parte del trabajo tiene que realizar Cheo? 1 + 1 4 3 = 1(3) + 4(1) = 3 + 4 = 7 (4)(3) 12 12 Solución: Cheo tuvo que realizar 7/12 del trabajo. MODULO DE ALGEBRA Página 43
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    Notita para darlepensamiento: (para darle "coco") ¿A Cheo le tocó más de la mitad del trabajo o menos de la mitad del trabajo? Solución: Para comparar fracciones utilizamos las siguiente reglas de las proporciones a. Si a = c entonces ad = cb b b. Si d a < c entonces ad < cb b c. Si d a > c entonces ad > cb b d Volviendo a Cheo, ¿7/12 es menor o mayor que 1/2 ? 7 ? 1 12 7(2) > 12(1), por lo tanto 2 7 > 1 12 2 De modo que Cheo realizó más de la mitad del trabajo. Veamos otro ejemplo: A María le tocaba una tercera parte de la herencia de su padre. Su madre le cedió a ella dos quintas partes adicionales que le tocaban a ella. ¿En total qué parte de la herencia la tocó a María? Solución 1 + 2 = 1(5) + 3(2) = 5 + 6 = 11 3 5 15 15 15 MODULO DE ALGEBRA Página 44
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    A María letocó 11/ 15 de la herencia de su padre. Suma de Fracciones Para sumar dos fracciones, hay que tener en cuenta de que existen 2 tipos de fracciones: 1. Fracciones homogéneas (1, 3, 5) 4 4 4 2. Fracciones heterogéneas (1, 2, 3) 3 5 7 Las fracciones homogéneas son las fracciones que tienen el mismo denominador; y las fracciones heterogéneas son las fracciones que tienen diferentes denominadores. Ejemplo de suma de fracciones homogéneas: 1 + 3 = 4 <Son fracciones homogéneas ya que 5 5 5 tienen el mismo denominador. Las fracciones homogéneas, en suma, se suman los numeradores y el denominador se queda igual.> 2 +3 =5 7 7 7 Ejemplo de suma de fracciones heterogéneas: 1 +1 4 2 <Aquí es diferente, las fracciones son heterogéneas; los denominadores son diferentes.> Para sumar fracciones heterogéneas: 1. Se multiplican los denominadores. 2. Se multiplica cruzado y se coloca en el numerador. 3. Se suman los productos para obtener el numerador. MODULO DE ALGEBRA Página 45
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    1 +1 4 2 Paso1 : 1 + 1 = ___ 4 2 8 <Se multiplicaron los denominadores 4 · 2 = 8> Paso 2 : 1 + 1 = (2 ·1) + (4 · 1) < Se multiplicó cruzado> 4 2 8 Paso 3: 2 + 4 = 6 < Se suman los productos para obtener el numerador.> 8 8 Paso 4: 6 ÷ 2 = 3 < Se simplifica la fracción si es posible.> 8 2 4 Resta de Fracciones En la resta de fracciones, se utilizan las mismas reglas de la suma de fracciones; pero en este caso hay que restar. Ejemplo 1: 5-1 =4 9 9 9 Resta de Fracciones Homogéneas Ejemplo 2: 2 - 1 = ( 2 · 2) - (3 · 1) = 4 - 3 = 1 3 2 6 6 6 MODULO DE ALGEBRA Página 46
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    Suma y restacon el mismo denominador Se suman o se restan los numeradores y se mantiene el denominador. Ejemplo: Suma y resta con distinto denominador En primer lugar se reducen los denominadores a común denominador, y se suman o se restan los numeradores de las fracciones equivalentes obtenidas. Ejemplo: Operaciones combinadas de fracciones 1. Pasar a fracción los números mixtos y decimales. 2 .Calcular las potencias y raíces. 3 .Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves. 4 .Efectuar los productos y cocientes. 5 .Realizar las sumas y restas. Ejemplo: MODULO DE ALGEBRA Página 47
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    1. Primero operamoscon los productos y números mixtos dentro de los paréntesis. 2 .Operamos en el primer paréntesis, quitamos el segundo, simplificamos en el tercero y operamos en el último. 3 .Realizamos el producto y lo simplificamos. 4 .Realizamos las operaciones del paréntesis. 5 .Hacemos las operaciones del numerador, dividimos y simplificamos el resultado. ECUACIONES LINEALES Una ecuación lineal con n incógnitas x1,..., xn es una ecuación que se puede escribir en la forma a1x1 + a2x2 + a3x3 +... + anxn = b (1), donde las a-es se llaman coeficientes de los x y el número b se llama término constante. Se asume que las a- es y la b son valores conocidos. Ejemplos. MODULO DE ALGEBRA Página 48
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    a. b. c. a, b yc son ejemplos de ecuaciones lineales en 2, 3 y 4 incógnitas respectivamente. a. b. c. d. Terminología para las ecuaciones Ecuaciones equivalentes Las solución de las ecuaciones x+2=5 y x+7=10 es la misma, 3. Las ecuaciones que tienen la misma solución se denominan ecuaciones equivalentes. Para obtener una ecuación equivalente a una dada se utilizan las siguientes propiedades de las igualdades: a) Si sumamos o restamos un mismo número o una misma expresión algebraica a los dos miembros de una ecuación obtenemos otra ecuación equivalente. MODULO DE ALGEBRA Página 49
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    b) Si multiplicamoso dividimos los dos miembros de una ecuación por un mismo número diferente de cero obtenemos otra ecuación equivalente. Por ejemplo, para obtener una ecuación equivalente a x+2=5 multiplicamos por 4 los dos miembros: 4(x+2)=4·5 → 4x+8=20 Fíjate en que la ecuación obtenida 4x+8=20 también tiene por solución 3. Dos ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solución. 2x − 3 = 3x + 2 x = −5 x + 3 = −2 x = −5 1. Si a los dos miembros de una ecuación se les suma o se les resta una misma cantidad, la ecuación es equivalente a la dada. x + 3 = −2 x + 3 − 3 = −2 − 3 x = −5 2. Si a los dos miembros de una ecuación se les multiplica o se les divide una misma cantidad, la ecuación es equivalente a la dada. 5x + 10 = 15 (5x + 10) : 5 = 15 : 5 x+2=3 x + 2 −2= 3 −2 x=1 Ecuaciones lineales Ecuación lineal con n incógnita MODULO DE ALGEBRA Página 50
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    Una ecuación linealcon n incógnitas es cualquier expresión del tipo: a1x1 + a2x2 + a3x3 + ... + anxn = b, donde ai, b . Los valores ai se denominan coeficientes, b es el término independiente. Los valores xi son las incógnitas. Solución de una ecuación lineal Cualquier conjunto de n números reales que verifica la ecuación se denomina solución de la ecuación. Dada la ecuación x + y + z + t = 0, son soluciones de ella: (1,-1,1,-1), (-2,-2,0, 4). Ecuaciones lineales equivalentes Son aquellas que tienen la misma solución. x + y + z + t = 0 2x + 2y + 2z + 2t = 0 Ecuaciones lineales de primer grado Las ecuaciones lineales de primer grado son del tipo ax + b = 0 , con a ≠ 0, ó cualquier otra ecuación en la que al operar, trasponer términos y simplificar adopten esa expresión. Resolución de ecuaciones de primer grado En general para resolver una ecuación de primer grado debemos seguir los siguientes pasos: MODULO DE ALGEBRA Página 51
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    1º Quitar paréntesis. 2ºQuitar denominadores. 3º Agrupar los términos en x en un miembro y los términos independientes en el otro. 4º Reducir los términos semejantes. 5º Despejar la incógnita. Despejamos la incógnita: Agrupamos los términos semejantes y los independientes, y sumamos: Quitamos paréntesis: Agrupamos términos y sumamos: MODULO DE ALGEBRA Página 52
  • 53.
    Despejamos la incógnita: Quitamosdenominadores, para ello en primer lugar hallamos el mínimo común múltiplo. Quitamos paréntesis, agrupamos y sumamos los términos semejantes: Despejamos la incógnita: Quitamos paréntesis y simplificamos: Quitamos denominadores, agrupamos y sumamos los términos semejantes: MODULO DE ALGEBRA Página 53
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    Quitamos corchete: Quitamos paréntesis: Quitamosdenominadores: Quitamos paréntesis: Agrupamos términos: Sumamos: Dividimos los dos miembros por: −9 Ecuaciones con literales MODULO DE ALGEBRA Página 54
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    En nuestro diariovivir y en el mundo del trabajo nos enfrentamos a muchas situaciones que se resuelven por medio de las ecuaciones. La industria, el comercio, las ciencias, la ingeniería, y otras áreas necesitan fórmulas en las cuales se aplican los principios establecidos para resolver ecuaciones. A muchas de estas fórmulas se les llaman ecuaciones literales. Una ecuación literal es una ecuación en la cual se usan letras para representar constantes. Ejemplos: 1. P = 2L + 2W es la fórmula que se utiliza para hallar el perímetro de un rectángulo. Si el largo (L) de un rectángulo es 5 pulgadas y el ancho (W) es 3 pulgadas, entonces el perímetro del rectángulo es: P = 2L +2W = 2 (5) + 2(3) = 10 + 6 P = 16 pulgadas Es la fórmula para hallar la velocidad de un objeto conociendo la Distancia (d) y el tiempo (t). Si un objeto se mueve a una distancia de 10 pulgadas en 2 segundos su velocidad es: MODULO DE ALGEBRA Página 55
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    Otros ejemplos de ecuacionesliterales son las siguientes: y – c = d; C = 2πr; d = vt, A = ½ bh. Otros ejemplos: 1. C = 2πr (fórmula para hallar la circunferencia de un círculo) ¿Cuál es la circunferencia de un círculo si su radio mide 3 pulgadas? ] 2. ¿Cuál es el promedio actual de Pedro en la clase de matemáticas si sus notas son 80, 75 y 94? 3. La fórmula que un pescador tiene para estimar el peso de un pez en libras es , donde W representa el peso en libras, L el largo en pulgadas y g el grueso (distancia alrededor del pez en el área central) en pulgadas. Halla el peso de un pez de 96 pulgadas de largo y 47 pulgadas de grueso. Resuelve la fórmula para g2. MODULO DE ALGEBRA Página 56
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    4. C =mx + b, ecuación de costo total, dado el costo fijo (b), el costo variable (m) y la cantidad (x). El costo diario de alquiler de auto es $30.00 más $0.50 por milla recorrida. Carlos pagó $150 por el alquiler del auto. ¿Cuántas millas viajó? 5. Cambia 1220 Fahrenheit a centígrados. Ecuaciones fraccionarias Ecuación Fraccionaria. Ecuación que contiene fracciones algebraicas, es decir, donde la variable aparece en los denominadores de las fracciones (al menos en uno de ellos). Ejemplos Resolución Para resolver una ecuación fraccionaria de primer grado: 1. Si en los numeradores hay binomios o polinomios, debemos encerrarlos en paréntesis para evitar errores con los signos negativos. El signo menos que aparece antes de una fracción afecta a todo el numerador. 2. Buscamos el mínimo común múltiplo de los denominadores. 3. Multiplicamos cada término de la ecuación por el m.c.m. encontrado. 4. Simplificamos los denominadores de los términos fraccionarios con el m.c.m. 5. Resolvemos los paréntesis efectuando las operaciones indicadas. MODULO DE ALGEBRA Página 57
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    6. Continuamos resolviendola ecuación con los números enteros que obtuvimos. En general, las ecuaciones fraccionarias se resuelven transformándolas en ecuaciones enteras, para lo cual es necesario eliminar los denominadores. Para eliminar los denominadores en una ecuación fraccionaria se procede de la siguiente manera: 1. Se halla el mcm de los denominadores. 2. Se multiplican ambos miembros de la ecuación por el m.c.m de los denominadores. Ejemplo 1 el mcm de los denominadores es: (x + 1) (x - 1) Multiplicando ambos miembros de la ecuación por (x + 1) (x - 1) resulta: Es importante tener presente que cuando ambos miembros de una ecuación fraccionaria se multiplican por el mcm de los denominadores, entonces se obtiene una ecuación equivalente a la dada, siempre que la solución obtenida no anule algún denominador. MODULO DE ALGEBRA Página 58
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    Comprobación: Ejemplo 2: Estas ecuaciones noson equivalentes a la original, porque el conjunto solución es {3} para ambas, pero no para la ecuación original. Sustituyendo tenemos Ecuaciones con radicales Las ecuaciones con radicales o ecuaciones irracionales son aquellas que tienen la incógnita bajo el signo radical. MODULO DE ALGEBRA Página 59
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    Resolución de ecuacionescon radicales 1º Se aísla un radical en uno de los dos miembros, pasando al otro miembro el resto de los términos, aunque tengan también radicales. 2º Se elevan al cuadrado los dos miembros. 3º Se resuelve la ecuación obtenida. 4º Se comprueba si las soluciones obtenidas verifican la ecuación inicial. Hay que tener en cuenta que al elevar al cuadrado una ecuación se obtiene otra que tiene las mismas soluciones que la dada y, además las de la ecuación que se obtiene cambiando el signo de uno de los miembros de la ecuación. 5º Si la ecuación tiene varios radicales, se repiten las dos primeras fases del proceso hasta eliminarlos todos. 1º Aislamos el radical: 2º Elevamos al cuadrado los dos miembros: 3ºResolvemos la ecuación: 4ºComprobamos: MODULO DE ALGEBRA Página 60
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    La ecuación tienepor solución x = 2. Ejercicios de ecuaciones con radicales 1 MODULO DE ALGEBRA Página 61
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    Ecuaciones cuadráticas La ecuacióncuadrática o también conocida como la ecuación de segundo grado es aquella ecuación que obedece a un polinomio de segundo grado de la forma ax2 + bx + c igual a cero. Donde el coeficiente "a" es necesariamente diferente a cero (En el caso que a = 0 se obtiene una ecuación lineal o de primer orden) Método de solución de la ecuación cuadrática Lo primero es dividir la ecuación completa por el primer término ¨a¨ Se procede a completar un trinomio cuadrado perfecto con la expresión Para lo cual se suma y resta MODULO DE ALGEBRA Página 63
  • 64.
    , que puedeescribirse como Ahora simplemente se resuelve esta ecuación aprovechando que el término puede despejarse El valor de x es lo que se conoce como fórmula general de la ecuación de segundo grado El teorema fundamental del álgebra garantiza que un polinomio de grado dos tiene dos soluciones que son precisamente las que se generan con el signo ¨+¨ y ¨-¨ de la x que se obtuvo De esta manera se tiene MODULO DE ALGEBRA Página 64
  • 65.
    Si la ecuación tienedos raíces reales diferentes entre sí Si las dos raíces son reales e iguales Si las dos raíces son complejas conjugadas Ejemplos numéricos Primer ejemplo, 2x2 – x – 1 = 0 Primero se identifican los coeficientes a = 2, b = -1 y c = -1 Luego se procede a reemplazarlos en la fórmula Ambas soluciones son reales y diferentes entre sí. Note que , en este ejemplo en particular Segundo ejemplo, 9x2 – 6x + 1 = 0 MODULO DE ALGEBRA Página 65
  • 66.
    Se identifican loscoeficientes a = 9, b = -6 y c = 1 Se reemplazan los coeficientes en la fórmula Ambas soluciones son reales y e iguales entre sí. Note que Tercer ejemplo, x2 + x + 1 = 0 Se identifican los coeficientes a = 1, b = 1 y c = 1 Se reemplazan los coeficientes en la fórmula Ambas soluciones son complejas conjugadas. Note que , para esta ecuación se obtuvo MODULO DE ALGEBRA Página 66
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    Propiedades básicas delas soluciones de la ecuación cuadrática Demostración Demostración ECUACIONES CUADRÁTICAS – FACTORIZACIÓN Por: Melissa Murrias Revisado por: Dra. Luz M. Rivera MODULO DE ALGEBRA Página 67
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    Una ecuación cuadráticaes una ecuación en su forma ax2 + bx + c, donde a, b, y c son números reales. Ejemplo: 9x2 + 6x + 10 a = 9, b = 6, c = 10 3x2 - 9x a = 3, b = -9, c = 0 -6x 2 + 10 a = -6, b = 0, c = 10 Hay tres formas de hallar las raíces ( el o los valores de la variable) de las ecuaciones cuadráticas: 1. Factorización Simple 2. Completando el Cuadrado 3. Fórmula Cuadrática Factorización Simple: La factorización simple consiste en convertir la ecuación cuadrática en un producto de binomios. Luego, se busca el valor de x de cada binomio. Ejemplo: Realizar la factorización simple de la ecuación x2 + 2x – 8 = 0 (x ) (x )=0 a=1 b=2 c=-8 [x ·x = x2] MODULO DE ALGEBRA Página 68
  • 69.
    ( x +) (x - ) = 0 (x + 4 ) (x – 2) = 0 4 y –2 4 + -2 = 2 4 · -2 = -8 x+4=0 x–2=0 x+4=0 x=0–4 x = -4 x–2=0 x=0+2 x=2 Estas son las dos soluciones. Completando el Cuadrado: En este método, la ecuación tiene que estar en su forma ax2+bx+c; y siempre la constante de a tiene que ser igual a 1. Por ejemplo, para factorizar la ecuación 4x2 + 12x – 8 = 0, hay que despejar de la siguiente forma: MODULO DE ALGEBRA Página 69
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    4x2 + 12x– 8 = 0 4 4 4 4 x2 + 3x – 2 = 0 Ahora, a= 1. Ejemplo: x2 + 2x – 8 = 0 [Ya está en su forma donde a = 1.] x2 + 2x = 8 [ Pasar a c al lado opuesto.] x2 + 2x + ___ = 8 + ___ [Colocar los blancos] x2 + 2x + 1 =8+1 x2 + 2x + 1 = 9 ( ) ( ) =9 Hay que factorizar. Nota: Siempre será un cuadrado perfecto. MODULO DE ALGEBRA Página 70
  • 71.
    ( x +1) (x + 1) = 9 (x + 1)2 = 9 (x + 1) = ± x+1= ±3 x = -1 ± 3 [Separar las dos soluciones.] x = -1 + 3 x=2 x = -1 – 3 x = -4 Fórmula Cuadrática: Este método es muy simple: hay que sustituir los valores de a, b y c de la ecuación cuadrática a la siguiente fórmula: Ejemplo: X2 + 2x – 8 = 0 a = 1, b = 2, c = -8 MODULO DE ALGEBRA Página 71
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    x = -2± 6 2 X = -2 + 6 2 x=4 2 x=2 x = -2 - 6 2 x = -8 2 x=-4 MODULO DE ALGEBRA Página 72
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    DESIGUALDADES LINEALES DESIGUALDADES LINEALESEN UNA VARIABLE También conocidas como inecuaciones de primer grado) Se establece rápidamente la definición de una desigualdad lineal, pasando a dar un bosquejo de una estrategia general para resolver este tipo de desigualdad. Se puntualiza el tipo de conjunto solución de este tipo de desigualdad, de manera gráfica, por intervalos y por conjuntos. Se dan una serie de pasos recomendados que conducen siempre al despeje de la variable. Un primer ejemplo es desarrollado con dos procedimientos, el primero siguiendo los pasos recomendados, el segundo es para aclarar que se pueden emplear otras estrategias, siempre y cuando respeten la propiedades algebraicas y de desigualdades. Una desigualdad es un enunciado o ecuación en el que dos expresiones no son iguales, también son parecidas a las ecuaciones solo que en lugar de tener un signo de igual hay unos símbolos que son:<,>,≤,≥. En una definición decimos que: Suponemos que X y Y pertenecen a los reales donde cumplen con las condiciones siguientes:  X es mayor que Y  X es menor que Y Desigualdades. Desigualdades o inecuaciones de primer grado con una incógnita La expresión , Quiere decir que "a" no es igual a "b". Según los valores particulares de "a" y de "b", puede tenerse positiva y , que se lee "a" mayor que "b", cuando la diferencia es , que se lee "a" menor que "b", cuando la diferencia es MODULO DE ALGEBRA Página 73
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    negativa. Desigualdad "esla expresión de dos cantidades tales que la una es mayor o menor que la otra". Lo mismo que en las igualdades, en toda desigualdad, los términos que están a la izquierda del signo mayor o menor, forman el primer miembro de la desigualdad, y los términos de la derecha, forman el segundo miembro. De la definición de desigualdad, lo mismo que de la escala de los números algebraicos, se deducen algunas consecuencias, a saber: 1º Todo número positivo es mayor que cero Ejemplo: Porque 5 - 0 = 5 2º Todo número negativo es menor que cero Ejemplo: Porque -9 -0 = -9 3º Si dos números son negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto; Ejemplo: Porque -10 - (-30) = -10 +30 = 20 DESIGUALDADES LINEALES Una desigualdad es un enunciado o ecuación en el que dos expresiones no son iguales, también son parecidas a las ecuaciones solo que en lugar de tener un signo de igual hay unos símbolos que son:<,>,≤,≥. En una definición decimos que: Suponemos que X y Y pertenecen a los reales donde cumplen con las condiciones siguientes: MODULO DE ALGEBRA Página 74
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     X es mayorque Y  X es menor que Y Desigualdades. Desigualdades o inecuaciones de primer grado con una incógnita La expresión , quiere decir que "a" no es igual a "b". Según los valores particulares de "a" y de "b", puede tenerse cuando la diferencia la diferencia es positiva y , que se lee "a" mayor que "b", , que se lee "a" menor que "b", cuando es negativa. Desigualdad "es la expresión de dos cantidades tales que la una es mayor o menor que la otra". Lo mismo que en las igualdades, en toda desigualdad, los términos que están a la izquierda del signo mayor o menor, forman el primer miembro de la desigualdad, y los términos de la derecha, forman el segundo miembro. De la definición de desigualdad, lo mismo que de la escala de los números algebraicos, se deducen algunas consecuencias, a saber: 1º Todo número positivo es mayor que cero Ejemplo: Porque 5 - 0 = 5 2º Todo número negativo es menor que cero Ejemplo: Porque -9 -0 = -9 3º Si dos números son negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto; Ejemplo: Porque -10 - (-30) = -10 +30 = 20 MODULO DE ALGEBRA Página 75
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    Para cada parde números reales a y b, es verdadera una, y solamente una, de las proposiciones: Propiedades de las desigualdades Teorema1-Propiedad transitiva: Teorema2-Suma: Ejemplo ilustrativo: Ejemplo ilustrativo: Teorema3-Multiplicación por un número positivo: Teorema4: Ejemplo ilustrativo: Ejemplo ilustrativo: Los Teoremas 1 a 4 también son válidos si se cambia ">" por "<" Teorema5: Teorema6: "Si se cambia el signo de ambos miembros de una desigualdad, se cambia el sentido de la desigualdad". Teorema7: Teorema8: Teorema9: Teorema10: Teorema11: MODULO DE ALGEBRA Página 76
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    Inecuaciones lineales: Una inecuaciónes una desigualdad en la que aparece una incógnita. Si el grado de la inecuación es uno, se dice que la inecuación es lineal. Resolver una inecuación es encontrar los valores de la incógnita para los cuales se cumple la desigualdad. La solución de una inecuación es, por lo general, un intervalo o una unión de intervalos de números reales. El método para resolver una inecuación es similar al utilizado para resolver ecuaciones, pero teniendo presente las propiedades de las desigualdades. Es conveniente ilustrar la solución de una inecuación con una gráfica. Si la solución incluye algún extremo del intervalo, en la gráfica representamos dicho extremo con un círculo en negrita; en cambio, si la solución no incluye el extremo, lo representamos mediante un círculo blanco (transparente). Ejemplo ilusrativo1: Inecuaciones lineales que comprenden valores absolutos: Inecuaciones cuadráticas: Las inecuaciones cuadráticas presentan, o se pueden reducir a, las formas: MODULO DE ALGEBRA Página 77
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    El modo desolucionar estas inecuaciones es similar al utilizado para resolver ecuaciones cuadráticas. Ejemplo ilustrativo2: MODULO DE ALGEBRA Página 78
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    VALOR ABSOLUTO El álgebranormalmente requiere que seamos cuidadosos no sólo con el tamaño y el valor sino también con el signo. No es lo mismo -10 que 10. 3 + 7 nos da un resultado distinto que 3 + (-7). Pero hay circunstancias en las que el signo no importa, en matemáticas y en la vida cotidiana. ¿Alguna vez has tropezado al bajar de unas escaleras eléctricas? No importa tanto si te estás moviendo más rápido o más lento que el suelo, es la magnitud de la diferencia la que te hace perder el equilibrio. O piensa en una larga caminata por el campo, tus pies se lastimarán sin importar si vas hacia el norte o hacia el sur. La dirección no importa, sólo la distancia. En matemáticas, hay un concepto para tratar con situaciones donde el tamaño importa más que el signo. Se llama valor absoluto. El valor absoluto de un número consiste en su valor, sin importar su signo. Valor Absoluto — Enfoque Numérico El valor absoluto puede ser explorado ya sea numérica o gráficamente. Numéricamente, el valor absoluto se indica encerrando el número, variable o expresión dentro de barras verticales, así: |20| |x| |4n − 9| Cuando tomamos el valor absoluto de un número, éste es siempre positivo o cero. Si el valor original ya es positivo o cero, el valor absoluto es el mismo. Si el valor MODULO DE ALGEBRA Página 79
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    original es negativo,simplemente nos deshacemos del signo. Por ejemplo, el valor absoluto de 5 es 5. El valor absoluto de -5 es también 5. Ejemplo Valor Valor Absoluto 5 5 -5 5 Recuerda, en situaciones de valor absoluto no estamos cambiando la posición ni la dirección de un número, sólo estamos ignorando esos detalles. Ten cuidado de no confundir las |barras de valor absoluto| con los (paréntesis) o los [corchetes]. No son los mismos símbolos, y las reglas que los evalúan son diferentes. Por ejemplo, -1(-3) = 3. Los signos negativos dentro y fuera de los paréntesis se cancelan cuando son multiplicados. Ejemplo Problema -1(-3) = -1 • -3 = 3 Pero -1|-3| = -3. No puedes multiplicar a través de las barras de valor absoluto, por lo que primero tienes que encontrar el valor absoluto del número contenido entre ellas. Como el valor absoluto de -3 es 3, la operación se convierte en -1(+3). MODULO DE ALGEBRA Página 80
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    Ejemplo Problema -1|-3| = -1 • 3 = -3 Cuandolas barras de valor absoluto contienen una expresión que incluye operaciones, la expresión debe ser evaluada antes de encontrar el valor absoluto. Considera la expresión |6 − 4|. Antes de que podamos obtener el valor absoluto de la expresión, tenemos que efectuar la resta. Cuando hacemos eso, |6 − 4| se convierte |2|. Ahora podemos calcular el valor absoluto de la expresión — es el valor absoluto de 2, el cual es 2. |6 − 4| = |2| = 2 De manera similar, para la expresión |15 − 21|, debemos realizar primero las operaciones dentro de las barras de valor absoluto. |15 − 21| = |-6| = 6 Valor Absoluto — Enfoque Gráfico En la recta numérica, el valor absoluto de un número o una expresión es la distancia entre el valor y cero. Cuando usamos la recta numérica para explorar el valor absoluto, éste siempre estará en cero o a la derecha del cero. Si el valor original es positivo o cero, el valor absoluto estará sobre el original. Si graficamos el valor original y el valor absoluto, ambos quedarán en el mismo lugar. El |3| es 3. En éste caso, el valor original y el valor absoluto se posicionan 3 unidades a la derecha del cero en la recta numérica. MODULO DE ALGEBRA Página 81
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    Si el valororiginal es negativo, el valor absoluto quedará a la misma distancia del cero que el valor original, pero en el otro lado del origen. El |-4| es 4. Si graficamos el valor original y el valor absoluto, ambos quedarán a la misma distancia del cero, pero en direcciones opuestas. Cuando utilizamos la recta numérica para mostrar el valor absoluto de una expresión, debemos una vez más asegurarnos que llevamos a cabo todas las operaciones dentro de las barras antes de graficar. El |4 − 6| se coloca en 2, no -2, 4, o 6. Ecuaciones con valor absoluto Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. MODULO DE ALGEBRA Página 82
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    9. 10. 11. 12. Propiedades del valorabsoluto Enunciaremos a continuación algunas propiedades del valor absoluto, las cuales podrán ser utilizadas para facilitar el trabajo en la resolución de ecuaciones o inecuaciones que incluyen valor absoluto. Propiedad 1 Demostración Hay dos posibles casos: Caso 1: Caso 2: Propiedad 2 Si MODULO DE ALGEBRA Página 83
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    Demostración:(ejercicio para elestudiante) Propiedad 3 Si Demostración Para demostrar esta propiedad conviene recordar que: En particular: Usando esta definición se tiene que: Propiedad 4 Demostración:(ejercicio para el estudiante) Propiedad 5 Si entonces Demostración Aquí también usaremos el hecho de que: Si MODULO DE ALGEBRA Página 84
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    Propiedad 6 Demostración , setiene que: Propiedad 7 Sea una variable real y un número real positivo: Interpretación geométrica de esta propiedad Demostración Como MODULO DE ALGEBRA Página 85
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    Propiedad 8 Sea una variablereal y un número real positivo entonces: Demostración Como , se tiene: MODULO DE ALGEBRA Página 86
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    Resolviendo esta inecuación: Deaquí se tiene: Interpretación geométrica de esta propiedad: Propiedad 9 Sea una variable real y un número real positivo entonces: MODULO DE ALGEBRA Página 87
  • 88.
    Demostración Esta propiedad sedemuestra en forma similar a la propiedad 8, ya demostrada, dejaremos esta demostración como ejercicio para el estudiante. Interpretación geométrica de esta propiedad: Propiedad 10 Sea una variable real y un número real positivo entonces: i. ii. Demostración Un procedimiento usado para demostrar esta propiedad es similar al usado para demostrar la propiedad 8. Dejaremos esta demostración como ejercicio para el estudiante. Interpretación geométrica de esta propiedad: i. ii. MODULO DE ALGEBRA Página 88
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    Propiedad 11 Demostración Sabemos que CASO1: (*) Además como entonces Así por (*) y (**) se tiene que: y como entonces: (**) (I) CASO 2: MODULO DE ALGEBRA Página 89
  • 90.
    Además como entonces (****) Así por(***) y (****) se tiene que: (II) Por lo tanto de (I) y (II) se concluye que: Propiedad 12 (desigualdad triangular) Si Demostración Antes de demostrar esta propiedad, es necesario conocer el siguiente lema: LEMA: Sean Si Demostración (del lema) Supongamos que , hay que demostrar que i. ii. Por i. y ii. Se tiene que Nota: El lema anterior expresa que si se tienen desigualdades podemos sumar miembro a miembro estas desigualdades de la manera siguiente: MODULO DE ALGEBRA Página 90
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    Estamos ahora encondiciones de demostrar la desigualdad triangular. Demostración de la desigualdad triangular , se tiene que: Sumando miembro a miembro estas desigualdades se tiene: , por la propiedad (10. i) SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Se denomina ecuación lineal a aquella que tiene la forma de un polinomio de primer grado, es decir, las incógnitas no están elevadas a potencias, ni multiplicadas entre sı´, ni en el denominador. Por ejemplo, 3x +2y +6z = 6 es una ecuación lineal con tres incógnitas. Como es bien sabido, las ecuaciones lineales con 2 incógnitas representan una recta en el plano. Si la ecuación lineal tiene 3 incógnitas, su representación gráfica es un plano en el espacio. MODULO DE ALGEBRA Página 91
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    Un ejemplo deambas representaciones puede observarse en la figura: El objetivo del tema es el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales, es decir, un conjunto de varias ecuaciones lineales. Diremos que dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones, o geométricamente representan la misma recta o plano. Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales de la forma: En este caso tenemos m ecuaciones y n incógnitas. Los números reales aij se denominan coeficientes y los xi se denominan incógnitas (o números a determinar) y bj se denominan términos independientes. MODULO DE ALGEBRA Página 92
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    En el casode que las incógnitas sean 2 se suelen designar simplemente por x e y en vez de x1 y x2, y en el caso de tres, x, y, z en lugar de x1, x2 y x3 pero esto es indiferente a la hora de resolver el sistema. Resolver el sistema consiste en calcular las incógnitas para que se cumplan TODAS las ecuaciones del sistema simultáneamente. Diremos que dos sistemas son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones. Tipos de sistemas En general, buscaremos las soluciones de los sistemas en los números reales R. Dependiendo del posible número de tales soluciones reales que tenga un sistema, estos se pueden clasificar en: Sistemas con dos incógnitas Los sistemas más sencillos son aquellos en los que solo hay dos incógnitas y 2 ecuaciones, y que ya son conocidos de cursos pasados. Hay varios sistemas para resolverlos, los más habituales: * Reducción * Igualación * Sustitución En los que ya no nos entretendremos. MODULO DE ALGEBRA Página 93
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    Como cada ecuaciónlineal con 2 incógnitas se interpreta geométricamente como una recta, el estudio de la solución del sistema se limita a estudiar la posición de 2 rectas en el plano. Veamos algunos ejemplos con los tres casos que se pueden presentar. Resolver e interpretar el sistema: Por reducción De donde y = -1 y sustituyendo x + 2*(-1) = -3, x = -1. Es decir, la solución del sistema es ´única, x = -1, y = -1 lo que significa que el sistema es compatible y determinado, y que las rectas se cortan en un punto, precisamente el (-1,-1): Resolver e interpretar el sistema: Por igualación MODULO DE ALGEBRA Página 94
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    Lo cual esimposible y por tanto el sistema no tiene solución, es un sistema incompatible y por tanto las rectas son paralelas. Geométricamente: Resolver e interpretar el siguiente sistema: Por sustitución, como x = −2y – 3 resulta 3(−2y − 3) + 6y = −9, es decir −6y − 9+6y = −9, por tanto 0y = 0, 0 = 0. Como 0 = 0 es una igualdad siempre cierta, quiere decir que el sistema tiene infinitas soluciones, es compatible indeterminado, o que las rectas son la misma. MODULO DE ALGEBRA Página 95
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    Sistemas de 2incógnitas y 3 ecuaciones Podemos añadir a los clásicos sistemas de 2 ecuaciones y 2 incógnitas cuantas ecuaciones queramos para obtener diferentes tipos de sistemas con 3, 4, 5 o más ecuaciones. En cualquier caso, los tipos de sistemas a los que dan lugar son los mismos reseñados anteriormente. Al aumentar el número de ecuaciones, la resolución del sistema por alguno de los tres métodos clásicos se vuelve más farragosa, por lo que conviene aplicar ya el conocido método de Gauss para determinar el tipo de sistema. Para ello expresaremos el sistema en la forma matricial, analizando la matriz ampliada asociada, que tendrá 2 columnas y tantas filas como ecuaciones tengamos. Analizaremos tan so ´lo aquellos sistemas con 3 ecuaciones y 2 incógnitas. La matriz ampliada genérica es: Aplicar el método de Gauss consiste en realizar transformaciones elementales mediante las filas de la matriz para obtener la matriz escalonada siguiente: Recordemos que las operaciones elementales permitidas en las filas de la matriz (ecuaciones del sistema) eran: MODULO DE ALGEBRA Página 96
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    T1) Multiplicar odividir una filas por un número real distinto de cero. T2) Sumar o restar a una fila otra multiplicada por un número real no nulo. T3) Intercambiar el lugar de dos filas entre sí. Utilizando estas transformaciones, los sucesivos sistemas que se obtienen son equivalentes al primero, es decir, tienen las mismas soluciones. Debemos eliminar, en este orden, el elemento a21 utilizando la fila 1, el elemento a31, utilizando también la fila 1, y por ´ultimo el elemento a32 utilizando la fila 2, de modo análogo al método de Gauss-Jordán para la inversa. Además, es conveniente en cada paso indicar la operación realizada con las filas, poniendo en primer lugar aquella que se va a sustituir por otra. Llegados a la matriz ampliada escalonada al final del proceso, pueden darse los casos siguientes 1. a *22 = 0. Entonces hay dos posibilidades: a) b*3 = 0. Sistema incompatible (hay una ecuación del tipo 0=k), sin solución. Geométricamente, puede ocurrir que: a) Dos rectas sean paralelas y la otra las corte. b) Las rectas se corten dos a dos (formen un triángulo). SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones que comparten dos o más incógnitas. Las soluciones de un sistema de ecuaciones son todos los valores que son válidos para todas las ecuaciones, o los puntos donde las gráficas de las ecuaciones se intersectan. MODULO DE ALGEBRA Página 97
  • 98.
    Podemos resolver unsistema de ecuaciones lineales graficando, por sustitución y por combinación lineal. Los sistemas de funciones no lineales, como ecuaciones cuadráticas o exponenciales, pueden ser manejados con las mismas técnicas. Para ilustrar cómo resolver estos sistemas, nos vamos a concentrar en sistemas lineales y cuadráticos con sólo dos ecuaciones. Pero ten en cuenta que hay sistemas que pueden ser más grandes y más complejos que estos ejemplos. Sistemas de Ecuaciones Lineales y Cuadráticas Empecemos por hablar sobre dos ecuaciones lineales. La solución de este tipo de sistema es el punto de intersección entre las dos rectas, o el lugar donde las dos ecuaciones tienen los mismos valores de x y de y. Puede haber más de una solución, no solución, o un número infinito de soluciones de un sistema de dos ecuaciones lineales: Una solución Si las gráficas de las ecuaciones se intersectan, entonces existe una solución para ambas ecuaciones. No hay solución Si las gráficas de dos ecuaciones no se intersectan (por ejemplo, si son paralelas), entonces no existen soluciones para ambas ecuaciones. Soluciones infinitas Si las gráficas de las ecuaciones son la misma, entonces hay un número infinito de soluciones para ambas ecuaciones. MODULO DE ALGEBRA Página 98
  • 99.
    Para resolver unsistema con una ecuación lineal y una ecuación cuadrática, podemos hacer lo mismo, encontrar el punto — o puntos — de intersección entre ambas gráficas: Una solución Si la parábola y la recta se tocan en un sólo punto, entonces existe una solución para ambas ecuaciones. No hay solución Si las gráficas de las ecuaciones no se intersectan, entonces no existen soluciones para ambas ecuaciones. Dos soluciones Si la recta se intersecta con la parábola en dos lugares, entonces hay dos soluciones para ambas ecuaciones. No tiene sentido considerar el caso cuando las dos ecuaciones representan el mismo conjunto de puntos, porque una línea recta jamás será una parábola, y vice versa. Nota que esto significa que el número posible de soluciones para un sistema de dos ecuaciones lineales es 0 (nunca se tocan), 1 (se cruzan en un lugar), o infinito (las rectas son idénticas). El número de soluciones para un sistema con una ecuación lineal y una ecuación cuadrática es 0 (nunca se tocan), 1 (se tocan en un lugar), o 2 (se cruzan en dos lugares). Vamos a resolver por medio de gráficas un sistema de una ecuación lineal y una ecuación cuadrática. MODULO DE ALGEBRA Página 99
  • 100.
    Ejemplos Problema Resolver el sistemagraficando las ecuaciones y Graficar cada ecuación y localizar los puntos de intersección Solución Este sistema tiene dos soluciones, No podemos determinar la posición exacta de los puntos de intersección a partir de la gráfica, pero son aproximadamente (-2,0) y (5,22) Nota que a pesar de que podemos saber aproximadamente donde se intersectan las gráficas, es difícil encontrar la posición exacta. Ahora vamos a resolver el mismo sistema usando sustitución. Cuando resolvemos por sustitución, seguimos los siguientes pasos: 1. Seleccionar una ecuación y despejar una variable. (Escoger una ecuación y una variable que sea fácil de despejar). MODULO DE ALGEBRA Página 100
  • 101.
    2. Sustituir laexpresión resultante por una variable en la otra ecuación, cada vez que esta variable aparezca. 3. Resolver la segunda variable en la segunda ecuación. 4. Sustituir la solución del paso 3 en la expresión del paso 1, para encontrar la otra variable. Ejemplo Problema Resolver el sistema usando el método de sustitución y En este caso, ambas ecuaciones tienen la variable y despejada, por lo que las podemos igualar Restar 3x de ambos lados y restar 7 de ambos lados. Ahora queda una ecuación cuadrática igual a 0 por lo que podemos usar la fórmula cuadrática, , para encontrar la solución a = 1, b = -3, y c = -12 Sustituir los valores de a, b, y c en la fórmula Simplificar Simplificar un poco más, recordando evaluar ambos o y . Evaluar cualquiera de las funciones con cada x para encontrar el valor de y correspondiente MODULO DE ALGEBRA Página 101
  • 102.
    Solución (5.27, 22.82) y(-2.27, 0.18) Usando sustitución hemos llegado a una respuesta más precisa que cuando lo hicimos graficando el sistema, sin embargo, si hicieron aproximaciones cuando sacamos la raíz cuadrada de 57. ¡Esta no es la solución exacta! Es siempre buena idea comprobar el resultado en las ecuaciones originales. Aquí hay una prueba con el punto (5.27, 22.82):} Nota que la comprobación no resulta en una igualdad perfecta, pero cercana. MODULO DE ALGEBRA Página 102
  • 103.
    Usar una gráficapara encontrar el número de soluciones del sistema de ecuaciones. y = -4x – 4 y y = -0.25x2 – 4 A) una solución B) dos soluciones C) no hay solución D) soluciones infinitas Sistemas de Dos Ecuaciones Cuadráticas Ahora veamos el caso de dos ecuaciones cuadráticas. Imagina por un momento cómo las gráficas de las dos ecuaciones cuadráticas pueden intersectarse (o no). Una solución No hay solución MODULO DE ALGEBRA Página 103
  • 104.
    Dos ecuaciones cuadráticasque tienen sólo un punto en común, como un vértice compartido, tienen una solución. Dos ecuaciones cuadráticas que no se superponen (no tienen valores comunes de y) no tienen solución. Dos soluciones Soluciones infinitas Dos ecuaciones cuadráticas que se Si las gráficas de las ecuaciones superponen pero tienen ecuaciones son la misma, entonces hay un diferentes tienen dos soluciones número infinito de soluciones válidas para ambas ecuaciones. Podemos resolver el sistema de ecuaciones cuadráticas graficando: Ejemplo Problema Resolver el sistema graficando las ecuaciones y MODULO DE ALGEBRA Página 104
  • 105.
    Graficar ambas ecuaciones y encontrarlos puntos de intersección Aproximar las coordenadas de los puntos de intersección Solución (-3, 9) y (3, 9) Una vez más, no podemos estar seguros de que nuestras soluciones gráficas son exactas. Un método algebraico siempre puede garantizar una solución exacta. Por ejemplo, podemos resolver un sistema de ecuaciones cuadráticas por sustitución: Ejemplo Problema Resolver el sistema usando el método de sustitución: y En este caso ambas ecuaciones tienen la variable y despejada, MODULO DE ALGEBRA Página 105
  • 106.
    por lo quelas podemos igualar Sumar 2x2 y 6 a ambos lados para traer todas las variables a un lado de la ecuación Aplicar la fórmula cuadrática. a = 3, b = 0, y c = 10 Simplificar, notando que la cantidad debajo de la raíz cuadrada es un valor negativo - este es el [discriminante] - lo que significa que no hay solución y las gráficas no se intersectan Solución no hay solución Como no hay solución, no podemos comprobar nuestra solución algebraicamente, pero podemos ver ambas gráficas para verificar que no hay solución: MODULO DE ALGEBRA Página 106
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    También podemos usarcombinación lineal para resolver sistemas de ecuaciones, siguiendo estos pasos: 1. Re arreglar las ecuaciones de forma que los términos se alineen. 2. Multiplicar ninguna, o una, o ambas ecuaciones por una constante para que los coeficientes de una de las variables sean opuestos. 3. Sumar las ecuaciones para eliminar una de las variables. 4. Resolver la ecuación resultante. MODULO DE ALGEBRA Página 107
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    5. Sustituir lasolución del paso 4 en la ecuación original para encontrar la otra variable. Ejemplo Problema Resolver el sistema usando combinación lineal y Alinear las ecuaciones Como ya hay dos variables que son opuestas (x2 y –x2), podemos sumar las dos ecuaciones y=5 Despejar y dividiendo ambos lados de la ecuación entre 2 Sustituir y en una de las ecuaciones para encontrar los valores de x. Solución y Las mismas estrategias de graficar, sustitución, o combinación lineal pueden ser aplicadas para resolver sistemas de ecuaciones de otras funciones no lineales, como círculos, elipses, y otras funciones coordenadas. La solución de sistemas de ecuaciones no lineales puede hacerse usando las técnicas de graficar, sustitución y combinación lineal. De la misma forma que con sistemas de ecuaciones lineales, cuando encontramos soluciones a sistemas de ecuaciones no lineales, estamos buscando la intersección de sus gráficas o los lugares donde las ecuaciones tienen los mismos valores de las variables. MODULO DE ALGEBRA Página 108
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    PROGRAMACION LINEAL La programaciónlineal es una técnica matemática relativamente reciente (siglo XX), que consiste en una serie de métodos y procedimientos que permiten resolver problemas de optimización en el ´ámbito, sobre todo, de las Ciencias Sociales. Nos centraremos en este tema en aquellos problemas simples de programación lineal, los que tienen solamente 2 variables, problemas bidimensionales. Para sistemas de más variables, el procedimiento no es tan sencillo y se resuelven por el llamado método Simplex (ideado por G.B. Danzig, matemático estadounidense en 1951). Recientemente (1984) el matemático indio establecido en Estados Unidos, Narenda Karmarkar, ha encontrado un algoritmo, llamado algoritmo de Karmarkar, que es más rápido que el método simplex en ciertos casos. Los problemas de este tipo, en el que intervienen gran número de variables, se implementan en ordenadores. Inecuaciones lineales con 2 variables Una inecuación lineal con 2 variables es una expresión de la forma: ax + by ≤ c (donde el símbolo ≤ puede ser también ≥, < o bien>), donde a, b y c son números reales y x e y las incógnitas. Para resolver estas inecuaciones, se recordará de otros cursos, hay que representar gráficamente en el plano la recta dada por la correspondiente ecuación lineal y marcar una de las dos regiones en que dicha recta divide al plano. Ejemplo: Si queremos resolver la inecuación: 2x +3y ≥−3, representamos en primer lugar la recta 2x +3y = −3: MODULO DE ALGEBRA Página 109
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    La recta divideal plano en dos regiones, una de las cuales es la solución de la inecuación. Para saber que parte es, hay dos procedimientos: 1. Se despeja la y de la inecuación, poniendo cuidado en que si en una inecuación multiplicamos o dividimos por un número negativo, la desigualdad cambia de sentido. En este caso tendíamos que: Observando el dibujo vemos que la recta divide al eje de ordenadas (y) en dos partes. La solución de la inecuación será aquella parte en la que la y sea mayor que la recta, es decir, la parte superior. MODULO DE ALGEBRA Página 110
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    2. Se tomaun punto cualquiera que no pertenezca a la recta, por ejemplo el (1,2). Para que dicho punto sea solución, se tendrá´ que cumplir la desigualdad, por lo que sustituimos en la inecuación inicial el (1,2): 2 · 1+3· 2 ≥−3, es decir, 8 ≥−3. Como esta ´ultima desigualdad es evidentemente cierta, concluimos que el (1,2) es solución y por tanto el semiplano que contiene al (1,2) es la solución, es decir el semiplano superior, como habíamos obtenido antes. Cualquiera de los procedimientos es válido si se realiza con corrección. Sistemas de inecuaciones lineales con dos variables Un sistema de inecuaciones lineales, por tanto, es un conjunto de inecuaciones del tipo anterior, y resolverlo consistirá en resolver gráficamente cada inecuación (como en el caso anterior), representar la solución en un mismo gráfica y la solución total será la parte común a todas las soluciones. Resolver el sistema de inecuaciones siguiente: Si representamos las rectas MODULO DE ALGEBRA Página 111
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    El triángulo rayadoes la solución del sistema. Además, para los problemas de programación lineal es necesario el cálculo de los vértices de la región solución. Es sencillo su cálculo, pues se reduce a resolver sistemas de ecuaciones lineales son dos incógnitas, que provienen de igualar las ecuaciones de las rectas correspondientes. Por ejemplo, en este caso, si queremos el punto intersección de las rectas r y t tendremos que resolver el sistema formado por: Ejercicios: 1. Calcular los otros dos vértices. 2. Resolver los sistemas de inecuaciones lineales siguientes encontrando los vértices de las regiones que sean solución: MODULO DE ALGEBRA Página 112
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    Nota: Rectas horizontalesy verticales. En ocasiones, en estos sistemas, aparecen inecuaciones del tipo x ≥ k o bien y ≥ k, donde falta alguna de las dos incógnitas. Estas inecuaciones en realidad corresponden a rectas horizontales y verticales, y sus representaciones bien sencillas. Por ejemplo, la inecuación x ≤−2noesma´s que el conjunto de puntos a la izquierda de la recta vertical que pasa por el punto x = −2, gráficamente: Lo mismo ocurre con y ≤ 1, que será en este caso la parte inferior a la recta horizontal y =1, es decir: MODULO DE ALGEBRA Página 113
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    En el casoparticular de que sea x ≥ 0 o y ≥ 0, las rectas coincidirán con los ejes de coordenadas. Forma algebraica Consiste, simplemente, en sustituir cada uno de los vértices de la región en la función objetivo. La solución óptima vendrá dada por aquel que tome el mayor (o menor) valor. Ejemplo: Maximizar la función F(x, y) = 2000x + 5000y sujeta a las restricciones: F (5, 1) = 2000 · 5 + 5000 · 1 = 10000 + 5000 = 15000 F (0, −1) = 2000 · 0 + 5000 · (−1) = 0 − 5000 = −5000 F (3, −3) = 2000 · 3 + 5000 · (−3) = 6000 − 15000 = −9000 Vemos que el valor máximo se alcanza para el vértice (5,1) y que dicho valor es 15. La misma solución que se obtenía antes. MODULO DE ALGEBRA Página 114
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    Ejercicio: Resolver losproblemas de programación lineal: Algunos ejemplos de casos extremos Puede ocurrir que la solución óptima no sea ´única, e incluso que no exista, como en los ejemplos siguientes: Ejemplo 1: Maximizar g(x, y)=3x +4y sujeta a las restricciones: MODULO DE ALGEBRA Página 115
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    Si representamos laregión factible: PROGRAMACIÓN LINEAL EN EXCEL Un modelo de Programación Lineal (PL) considera que las variables de decisión tienen un comportamiento lineal, tanto en la función objetivo como restricciones del problema. En este sentido, la Programación Lineal es una de las herramientas más utilizadas en la Investigación Operativa debido a que por su naturaleza se facilitan los cálculos y en general permite una buena aproximación de la realidad. Los Modelos Matemáticos se dividen básicamente en Modelos Determistas (MD) o Modelos Estocásticos (ME). En el primer caso (MD) se considera que los parámetros asociados al modelo son conocidos con certeza absoluta, a diferencia de los Modelos Estocásticos, donde la totalidad o un subconjunto de los parámetros tienen una distribución de probabilidad asociada. Los cursos introductorios a la Investigación Operativa generalmente se enfocan sólo en Modelos Determistas. MODULO DE ALGEBRA Página 116
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    Supuestos Básicos de la Programación Lineal: Linealidad, Modelos Deterministas, Variables reales,No Negatividad. APLICACIONES 1. Problema de la Dieta: (Stigler, 1945). Consiste en determinar una dieta de manera eficiente, a partir de un conjunto dado de alimentos, de modo de satisfacer requerimientos nutricionales. La cantidad de alimentos a considerar, sus características nutricionales y los costos de éstos, permiten obtener diferentes variantes de este tipo de modelos. Por ejemplo: Leche Legumbre Naranjas Requerimientos (lt) (1 porción) (unidad) Nutricionales 3,2 Niacina Tiamina 1,12 Vitamina C 32 2 Costo 4,9 1,3 0 0,2 0,8 0,19 93 0,25 13 15 45 Variables de Decisión:  X1: Litros de Leche utilizados en la Dieta MODULO DE ALGEBRA Página 117
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     X2: Porciones deLegumbres utilizadas en la Dieta  X3: Unidades de Naranjas utilizadas en la Dieta Función Objetivo: (Minimizar los Costos de la Dieta) Min 2X1 + 0,2X2 + 0,25X3 Restricciones: Satisfacer los requerimientos nutricionales  Niacina: 3,2X1 + 4,9X2 + 0,8X3 >= 13  Tiamina: 1,12X1 + 1,3X2 + 0,19X3 >=15  Vitamina C: 32X1 + 0X2 + 93X3 >= 45  No Negatividad: X1>=0; X2>=0; X3>=0 Compruebe utilizando nuestro Módulo de Resolución que la solución Óptima es X1=0, X2=11,4677, X3=0,483871, con Valor Óptimo V(P)=2,4145. SOLVER Solver forma parte de una serie de comandos a veces denominados herramientas de análisis Y si. Con Solver, puede encontrar un valor óptimo (mínimo o máximo) para una fórmula en una celda, denominada la celda objetivo, sujeta a restricciones o limitaciones en los valores de otras celdas de fórmula en una hoja de cálculo. Solver trabaja con un grupo de celdas llamadas celdas de variables de decisión, o simplemente celdas de variables, que participan en el cómputo de fórmulas en las celdas objetivo y de restricción. Solver ajusta los valores en las celdas de variables de decisión para cumplir con los límites en las celdas de restricción y producir el resultado deseado para la celda objetivo. Para ejemplificar respecto al uso de Solver utilizaremos el siguiente modelo de Programación Lineal: MODULO DE ALGEBRA Página 118
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    Paso 1: Abriruna planilla de cálculo de Excel y definir las variables de decisión y la función objetivo. En este ejemplo se han marcado con amarillo y verde las variables de decisión y función objetivo respectivamente sólo para facilitar la comprensión. Es importante notar que la función objetivo (celda F4) será siempre una fórmula que depende de los parámetros de la función objetivo (celdas B5, C5, D5) y las variables de decisión (B4, C4, D4) Paso 2: Se definen las restricciones del modelo. La columna en amarillo bajo el titulo "Laso Izq" es una fórmula de los parámetros y las variables de decisión en las respectivas restricciones. Por ejemplo, la fórmula incorporada en E9 es simplemente: 15X + 7,5Y + 5Z. La celda F9 es el lado derecho de dicha restricción y corresponde a una constante (315). MODULO DE ALGEBRA Página 119
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    Paso 3: Ingresamosa la Opción Solver (Ver Instalacion Solver de Excel). Luego definimos la celda objetivo (función objetivo), el valor que buscamos (máximización o minimización), las celdas que deseamos cambiar (variables de decisión) y las restricciones. Para nuestro ejemplo está será la pantalla que se debe obtener: Paso 4: Accedemos a "Opciones..." y seleccionamos "Adoptar modelo lineal" y "Adoptar no negativos". Finalmente seleccionamos "Aceptar" y luego "Resolver". MODULO DE ALGEBRA Página 120
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    Paso 5: Siel proceso se ha desarrollado en forma correcta la planilla de cálculo se actualizará y se obtendrán los siguientes resultados. Solución Óptima: X=4, Y=10, Z=36. Valor Óptimo: V(P)=6.620. Se recomienda requerir el informe de sensibilidad tal como se muestra en la imagen de abajo. MODULO DE ALGEBRA Página 121
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    Paso 6: Laimagen a continuación ha sido levemente editada y corresponde al informe de sensibilidad. Por ejemplo, el parametro que actualmente acompaña a X en la función objetivo es 200, sin embargo, si este valor varía entre [120,240] se conservará la actual solución óptima. En cuanto a las restricciones podemos decir, por ejemplo, que si el lado derecho de la segunda restricción (actualmente este lado derecho es igual a 110) aumenta a 120, es nuevo valor óptimo será V(P)=6.620 + 10*10 =6.720, es decir, el valor óptimo aumentará en forma proporcional al precio sombra de dicha restricción. Se recomienda revisar la sección de Análisis de Sensibilidad para reforzar estos conceptos. MODULO DE ALGEBRA Página 122
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