El documento demuestra que la aceleración de un cuerpo en movimiento es proporcional a la distancia entre el cuerpo y el eje x. Se identifica la distancia d, se calcula la aceleración a partir de las ecuaciones de posición y velocidad, y se iguala a kd para mostrar la proporcionalidad. También encuentra la ecuación cartesiana de la trayectoria de un punto dado sus ecuaciones de velocidad y condición inicial.

1. INAMICA
PROF. CARLOS SILVA CASTILLO
ALUMNA: INGRID ROCIO SAAVEDRA CUNYA
UNIVERSIDADNACIONALDEPIURA

2. 5.58. Si las coordenadas de un cuerpoen movimientosonx=at, y=bsen(at),demostrar que el
valor de la aceleraciónes proporcional a la distancia, entre el cuerpo y el eje x. Hacer un
gráfico de la trayectoria.
Solución:
a) Identificamos el valor de la distancia del cuerpo al eje x como “d”
b) Para que la aceleración sea proporcional a la distancia del cuerpo al eje x se debe
cumplir:
𝑎⃗ = 𝑘𝑑, tal que 𝑘 sea un número real
c) Dada laecuaciónde latrayectoriahallamoslasegundaderivadaconrespectoal tiempo,
lo que vendría a ser la aceleración de la partícula
 𝑟⃗ = (𝑎𝑡, 𝑏𝑠𝑒𝑛( 𝑎𝑡))
 𝑣⃗ =
𝑑𝑟⃗
𝑑𝑡
= (𝑎, 𝑎𝑏𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑡))
 𝑎⃗ =
𝑑𝑣⃗⃗
𝑑𝑡
= (0, −𝑎2 𝑏𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑡))
|𝑑⃗| = 𝑏𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑡)

3. d) Para poder comparar la aceleración con la distancia dirigida de la partícula al eje X, lo
haremos con los módulos de ambos vectores.
 |𝑎⃗| = 𝑎2 𝑏𝑠𝑒𝑛( 𝑎𝑡) …Módulo de la aceleración
 |𝑑⃗| = 𝑏𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑡) …Módulode ladistanciadirigidade lapartícula al eje X
 |𝑎⃗| = 𝑘|𝑑⃗| … Igualando los valores anteriores tenemos
 𝑎2 𝑏𝑠𝑒𝑛( 𝑎𝑡) = 𝑘𝑏𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑡) … Despejando K
 𝑘 = 𝑎2 … demostramos que K es un número real, por lo tanto se cumple la
proporcionalidad lineal
e) Grafico

4. 5.59 Unpunto se mueve enel planoXY , de tal manera que 𝒗 𝒙 = 𝟒𝒕 𝟑 + 𝟒𝒕, 𝒗 𝒚 = 𝟒𝒕. Si la
posicióndel punto es (1,2) cuando t=0. Encontrar la ecuación cartesiana de la trayectoria.
a) Tenemoslaecuaciónvectorial de lavelocidad,yunacondicióninicial,laintegramosy
aplicamoslascondicionesparahallarel radioposición.
𝑣⃗ = ( 𝑣𝑥, 𝑣 𝑦)
𝑣⃗ = (4𝑡3 + 4𝑡,4𝑡) , sabemosque 𝑣⃗ =
𝑑𝑟⃗
𝑑𝑡
, despejando 𝑑𝑟⃗ = 𝑣⃗ 𝑑𝑡 ,integrandotenemos:
∫ 𝑑
𝑟⃗
(1,2)
𝑟⃗ = ∫ 𝑣⃗
𝑡
0
𝑑𝑡
∫ 𝑑
𝑟⃗
(1,2)
𝑟⃗ = ∫ 𝑣⃗
𝑡
0
𝑑𝑡
∫ 𝑑
𝑟⃗
(1,2)
𝑟⃗ = ∫ (4𝑡3 + 4𝑡,4𝑡)
𝑡
0
𝑑𝑡
𝑟⃗ − (1,2) = (𝑡4 + 2𝑡2,2𝑡2)
𝒓⃗⃗ = (𝒕 𝟒 + 𝟐𝒕 𝟐 + 𝟏, 𝟐𝒕 𝟐 + 𝟐) … ecuación del vector posición
b) Encontramos laecuacióncartesianade la trayectoria,paraellodespejamoslas
componentesde laposición.
x = t4 + 2t2 + 1
y = 2t2 + 2
 Acomodamoslaexpresiónde x
𝑥 = (𝑡2 + 1)2,𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜 √ 𝑥2
= 𝑡2 + 1
 Acomodamoslaexpresiónde y
y = 2(t2 + 1)
 Reemplazamos
𝒚 = 𝟐√ 𝒙
𝟐