Los vectores propios de una transformación lineal son vectores que no cambian su dirección cuando son transformados, sino que son multiplicados por un escalar llamado valor propio. Un espacio propio está formado por todos los vectores propios de un mismo valor propio. La ecuación del valor propio expresa matemáticamente que un vector es propio si al aplicarle una transformación lineal el resultado es ese mismo vector multiplicado por su valor propio.

1. TEMA 5
VECTORES Y VALORES
PROPIOS

2. VECTORES Y VALORES PROPIOS
En álgebra lineal, los vectores propios, autovectores o eigenvectores de un
operador lineal son los vectores no nulos que, cuando son transformados
por el operador, dan lugar a un múltiplo escalar de sí mismos, con lo que no
cambian su dirección. Este escalar λ recibe el nombre valor propio,
autovalor, valor característico o eigenvalor. A menudo, una transformación
queda completamente determinada por sus vectores propios y valores
propios. Un espacio propio, autoespacio, eigenespacio o subespacio
fundamental asociado al valor propio λ es el conjunto de vectores propios
con un valor propio común.

3. Las transformaciones lineales del espacio —como la rotación, la reflexión, el ensanchamiento, o cualquier
combinación de las anteriores; en esta lista podrían incluirse otras transformaciones— pueden
interpretarse mediante el efecto que producen en los vectores. Los vectores pueden visualizarse como
flechas de una cierta longitud apuntando en una dirección y sentido determinados.
● Los vectores propios de las transformaciones lineales son vectores que, o no son afectados por la
transformación o sólo resultan multiplicados por un escalar; y, por tanto, no varían su dirección.1
​
● El valor propio de un vector propio es el factor de escala por el que ha sido multiplicado.
● Un espacio propio es un espacio formado por todos los vectores propios del mismo valor propio,
además del vector nulo, que no es un vector propio.
● La multiplicidad geométrica de un valor propio es la dimensión del espacio propio asociado.
● El espectro de una transformación en espacios vectoriales finitos es el conjunto de todos sus
valores propios.

4. Definición de matriz diagonalizable
Sea A∈Rn×n
, se dice que A es diagonalizable ⇔ A es semejante a una
matriz diagonal ⇔ ∃P∈Rn×n inversible tal que P–1AP=D
diagonal.
Es un caso especial de semejanza. Una matriz es
diagonalizable cuando es semejante a una matriz diagonal

5. Ecuación del valor propio
Matemáticamente, vλ
es un vector propio y λ el valor propio correspondiente de una transformación T si
verifica la ecuación:
T ( v λ ) = λ v λ {displaystyle T(mathbf {v} _{lambda })=lambda ,mathbf {v} _{lambda }}
donde T(vλ
) es el vector obtenido al aplicar la transformación T a vλ
.
Supóngase que T es una transformación lineal (lo que significa que T ( a v + b w ) = a T ( v ) + b T ( w )
{displaystyle T(amathbf {v} +bmathbf {w} )=aT(mathbf {v} )+bT(mathbf {w} )} para todos los escalares
a, b, y los vectores v, w). Considérese una base en ese espacio vectorial. Entonces, T y vλ
pueden
representarse en relación a esa base mediante una matriz AT
y un vector columna vλ
—un vector vertical
unidimensional. La ecuación de valor propio en esta representación matricial se representa de la
siguiente forma:
A T v λ = λ v λ {displaystyle mathbf {A} _{T},mathbf {v} _{lambda }=lambda ,mathbf {v}
_{lambda }}