Parte 4 Máquinas De Turing

1
Parte 4-Máquinas de Turing
v. 2.0
Dr. Ricardo Quintero
Teoría de la Computación

2
Definiciones básicas
Existen lenguajes bastante sencillos que no
son independientes de contexto.
Por ejemplo: {an
bn
cn
|n≥0} no puede ser
reconocido por un ADPND, ya que aunque
la pila puede recordar el número de a’s
(apilando) para el número de b’s
(desapilando), este valor n se pierde cuando
se desean contar las c’s.

3
El problema es que en la pila los datos
solamente pueden ser consultados en el top
y no debajo del mismo.
El problema no es la memoria adicional, sino
la forma en la que la estamos accesando (su
organización).
Aunque podríamos considerar múltiples
organizaciones de memoria, vamos a discutir
la que introduce la Máquina de Turing, que
es bastante sencilla pero poderosa.

4
La memoria en una Máquina de Turing tiene las
siguientes características:
 Es una colección de celdas que se extiende
infinitamente en ambas direcciones, es una cinta
infinita.
 Cada celda es capaz de almacenar un único
símbolo.
 No existe una celda primera, ni una última y por lo
tanto tiene capacidad de almacenamiento infinito.
 Los contenidos de las celdas pueden ser accedidos en
cualquier orden.
 Existe una cabeza de lectura/escritura que puede
moverse sobre la cinta y en cada movimiento leerá o
escribirá un símbolo.

5
Máquina de Turing (TM)
Una máquina de Turing es una 7-tupla
M=(Q,Σ,Γ,s,b,F,δ), donde:
 Q es un conjunto finito de estados.
 Σ es un alfabeto de entrada.
 Γ es un alfabeto llamado alfabeto de la cinta.
 s∈Q es el estado inicial.
 b∈Γ es el símbolo blanco (y no está en Σ).
 F⊆Q es el conjunto de estados finales o de
aceptación.
 δ:QxΓ→QXΓx{L,R} es una función parcial (esto es,
su dominio no es todo QxΓ) que se llama función de
transición.

6
Máquina de Turing
En esta definición el valor inicial de todas las
celdas de la cinta es el símbolo b.
Generalmente se permite que Σ ⊆ Γ - {b}. b∉Σ.
Esto es, el alfabeto de entrada es un
subconjunto del alfabeto de la cinta, sin incluir el
blanco.
δ transforma pares (q,σ) formados por el estado
actual y símbolos de la cinta en ternas (p,t,X),
donde p es el estado siguiente, t es el símbolo
escrito en la cinta y X es un movimiento de
lectura o escritura, que puede ser L o R según
que el movimiento sea hacia la izquierda o la
derecha.

7
Un movimiento en la
Máquina de Turing
En un movimiento de la TM se considerará el
símbolo actual sobre la cabeza de
lectura/escritura y el estado actual de la misma
y la dinámica será la siguiente:
1. Cambia de estado.
2. Escribe un símbolo sobre la cinta, reemplazando el
que existía previamente.
3. Mueve la cabeza de lectura/escritura una celda a la
izquierda o la derecha.

8
Ejemplo de movimiento en
la Máquina de Turing
La transición δ(q1,a)=(q5,b,R) provoca que la
TM pase de una configuración:
a b b
Cabeza
r/w
Estado
interno
q1
A la configuración:
b b b
Cabeza
r/w
Estado
interno
q5

9
Sobre la cadena de entrada
y su relación con la cinta
Como las transiciones dependen
únicamente del estado actual y del
contenido de la celda sobre la que se
encuentra la cabeza de lectura/escritura
entonces:
Cualquier cadena de entrada se
debe presentar a la TM sobre la
cinta.

10
La TM en JFlap
JFlap nos permite trabajar también con
TM. En particular estamos considerando
un modelo en el que solamente existe
una cinta.
La opción será 1-Tape Turing
Machine.

11
Ejemplo de TM en JFlap
Ej.- Considere la TM siguiente:
 Q={q1,q2}
 Σ={a,b}
 Γ={a,b,b}
 F={q2}
 s=q1
 δ(q1,a)=(q1,a,R)
 δ(q1,b)=(q1,a,R)
 δ(q1,b)=(q2,b,L)
Estudie el archivo Ej0411.TM para su correspondiente TM
en JFlap. Introduzca la cadena de entrada abba.

12
Ejemplo de TM en JFlap
Ej.- TM en JFlap:

13
Descripciones Instantáneas
de la TM
Existen dos formas comunes de representar la
Descripción Instantánea (DI) de una TM.
La primera tiene la forma (qi,w1σw2) donde:
 qi es el estado actual.
 w1 es la cadena de la cinta que precede a la
cabeza r/w.
 σ el el símbolo de la cinta sobre el que se
encuentra la cabeza r/w.
 w2 es la cadena de la cinta que sucede a la
cabeza r/w.

14
de la TM
Para el ejemplo anterior, las DI serían:
 (q1,babba)
 (q1,abba)
 (q1,aaba)
 (q1,aaaa)
 (q1,aaaab)
 (q2,aaaa)

15
de la TM
La segunda está dada por la cadena:
a1a2...ak-1qiak...an
Que representa a la configuración
(qi,waku)
Por tanto, las dos primeras DI
anteriores serían: q1abba y aq1bba.

16
Paso de una DI a otra
En cualquiera de los dos casos el paso de
una configuración a otra se denota por .
Por tanto, para el ejemplo anterior se
tendrían en los dos tipos de DI vistos:
 (q1,babba)  (q1,abba)  (q1,aaba) 
(q1,aaaa)  (q1,aaaab) (q2,aaaa)
O bien
 q1abba aq1bba aaq1ba aaaq1a aaaaq1b
aaaq2a

17
Paso de una DI a otra
Las notaciones * y +
 tienen el
signficado usual de “cero o más” o
“uno o más” respectivamente.

18
Ejemplo de TM
 Q={q1,q2, q3}
 Σ={a,b}
 Γ={a,b,b}
 F={q3}
 s=q1
 δ(q1,a)=(q1,a,L)
 δ(q1,b)=(q1,b,L)
 δ(q1,b)=(q2,b,R)
 δ(q2,a)=(q3,a,L)
 δ(q2,b)=(q3,b,L)
 δ(q2,b)=(q3,b,R)
Esta TM examina la cinta de izquierda hasta que encuentre la
primer celda en blanco. Se parará y se colocará sobre el
blanco

19
Ejemplo de TM
Ej.- Para aababb se tendría:
 (q1,aababb)  (q1,aababb)  (q1,aababb) 
(q1,aababb)  (q1, baababb) (q2,aababb)
(q3, baababb)
o bien
 aabq1abb aaq1babb aq1ababb q1aababb
q1baababb q2aaababb q3baababb

20
Parada de la TM
Cuando δ(q,a) está indefinido y la
configuración de la TM es (q,w1aw2), es
imposible pasar a otra configuración. Se dice
que la TM está parada.
Puede ser que q∈F, siendo F el conjunto de
estados finales o no.
Es importante dar significado a la parada en
un estado F.
Para simplificar se supondrá que no se define
ninguna transición para cualquier estado
final.

21
Computación
La secuencia de todos los movimientos
que conducen a una TM a una
configuración de parada (en un estado
de aceptación F o no) se llama
computación.

22
Ejemplo de TM
 Q={q1,q2}
 Σ={a,b}
 Γ={a,b,b}
 F=∅
 s=q1
 δ(q1,a)=(q2,a,R)
 δ(q1,b)=(q2,b,R)
 δ(q1,b)=(q2,b,R)
 δ(q2,a)=(q1,a,L)
 δ(q2,b)=(q1,b,L)
 δ(q2,b)=(q1,b,L)

23
Ejemplo de TM
Ej.- Si esta TM comienza con la cabeza
r/w sobre la a de una cadena de la forma
abw, se tiene la siguiente secuencia de
movimientos:
 q1abw aq2bw q1abw aq2bw  ...
Esta TM ha caído en un “ciclo inifinito”,
nunca parará.
Esta es una situación fundamental en la
teoría de las TM.

24
TM que nunca para
Una TM que nunca para es aquella
que se describe de la siguiente manera:
(q,w1σw2)*∞
O bien
w1qσw2*∞

25
Tarea
Resolver los siguientes ejercicios del
libro de texto:
 4.1.1, 4.1.3

26
TM como aceptadores de
lenguajes
Así como un AF o un ADPND, un TM puede
comportarse como un aceptador de un
lenguaje.
Se coloca la cadena w en la cinta, se sitúa la
cabeza de r/w sobre el símbolo del extremo
izquierdo de la cadena w y ponemos en
marcha la máquina a partir de su estado
inicial.
Si después de una secuencia de movimientos
la TM llega a un estado final y para, entonces
w es aceptada.

27
Definición de TM como
aceptador de lenguajes
Def.- Sea M=(Q,Σ,Γ,s=q1,b,F,δ) una
TM. Entonces el lenguaje aceptado
por M es:
L(M)={w∈Σ*|q1w*w1pw2 para p∈F y
wi∈Γ*}

28
TM que acepta el lenguaje
a*
Ej.- La siguiente TM acepta el lenguaje
regular a*:
 Q={q1,q2}
 Σ={a,b}
 Γ={a,b,b}
 F={q2}
 s=q1
 δ(q1,a)=(q1,a,R)
 δ(q1,b)=(q2,b,R)

29
TM que acepta el lenguaje
a* en JFlap
Ej.- La TM que acepta a* en JFlap:

30
Rechazando una cadena
que no pertenece a un
lenguaje
Para rechazar una cadena que no es
aceptable, hay que evitar que se llegue
a un estado final.
Otra alternativa para rechazar una
cadena es que la TM entre en un “ciclo
infinito”.

31
Ejemplo de Rechazo de una
cadena mediante un “ciclo infinito”
Ej.- El archivo Ej0421-2.TM contiene una TM que
rechaza las cadenas que no pertenecen a a*
mediante “ciclos infinitos”.

32
Ejemplo de lenguaje no
independiente del contexto que
acepta una TM
Ej.- El archivo Ej0422.TM contiene una TM que acepta las
cadenas que pertenecen al lenguaje {an
bn
|n≥1} ¿Cuál es la
“lógica” de la TM para reconocer este lenguaje?

33
Lenguajes recursivamente
enumerables
Los lenguajes aceptados por una TM
se les conoce como Lenguajes
Recursivamente Enumerables
(RE).
El término “Enumerable” proviene de
que una TM puede listar (enumerar) las
cadenas del lenguaje.
Los RE es un conjunto de lenguajes
bastante grande, que incluye los LIC.

34
Lenguajes recursivamente
enumerables
Una TM que acepta un lenguaje no necesita
parar para todas sus cadenas de entrada. La
única condición es que se pare en un estado
de aceptación para aquellas cadenas que
pertenezcan al lenguaje.
De hecho existen TM que no se paran ante
todas las cadenas de ciertos LRE.
El subconjunto de lenguajes recursivamente
enumerables cuya totalidad de cadenas es
aceptada por una TM que para
se les llama

35
La TM como un modelo
abstracto de computadora
Puesto que la TM puede leer y escribir sobre
su cinta pueden convertir la entrada en
salida. Este es el propósito de las
computadoras digitales, de tal manera que
una TM es considerado como un modelo
abstracto de computadora.
La entrada para la TM se forma por todos
los símbolos de la cinta que no son blancos.
La salida está formada por cualquiera de los
símbolos que queden en la cinta cuando la
computación termina.

36
Ejemplo de TM como
modelo abstracto de
computadora
Ej.- El archivo Ej0422-2.TM es una TM que complementa las
cadenas sobre el alfabeto S. Su definición es la siguiente:
 Q={q1,q2, q3}
 Σ={a,b}
 Γ={a,b,b}
 F={q3}
 s=q1
 δ(q1,a)=(q1,b,R)
 δ(q1,b)=(q1,a,R)
 δ(q1,b)=(q2,b,L)
 δ(q2,a)=(q2,a,L)
 δ(q2,b)=(q2,b,L)
 δ(q2,b)=(q3,b,R)

37
La TM como una función de
cadena
La TM puede ser considerada como la
implementación de una función de cadena
f(w)=u cuando se cumple qsw*qfu, donde
qs es el estado inicial y qf es un estado final.
Por conveniencia y claridad, la cabeza de r/w
empezará y terminará sobre el símbolo de las
cadenas de entrada y salida que está situado
más a la izquierda.

38
Funciones Turing
computables
Def.- Una función de cadena f es
Turing computable si existe una TM
M=(Q,Σ,Γ, q1,b,F,δ) para la cual
q1w*qfu para algún qf∈F, cuando
f(w)=u.

39
La TM como computadora
de funciones de enteros
La TM puede ser extender fácilmente para
computar funciones de enteros. El
siguiente ejemplo ilustra esto.
Ej.- Suponga un Σ={a,b} y se representan
los enteros como cadenas de a’s. Esto es, el
entero positivo n se representa mediante an
.
La función suma f(n,m)=n+m podría ser
implementada mediante la transformación de
la entrada an
bam
(es decir, se introducen a la
TM los dos números enteros, m y n,
separados por una b) en la salida an+m
b.
(Cont...)

40
La TM como computadora
de funciones de enteros
Ej.- (Cont...) La siguiente TM implementa la
suma de enteros (Ej0423.TM en JFlap) :
 Q={q1,q2, q3 , q4 , q5}
 Σ={a,b}
 Γ={a,b,b}
 F={q5}
 s=q1
 δ(q1,a)=(q1,a,R)
 δ(q1,b)=(q2,a,R)
 δ(q2,a)=(q2,a,R)
 δ(q2,b)=(q3,b,L)
 δ(q3,a)=(q4,b,L)
 δ(q4,a)=(q4,a,L)
 δ(q4,b)=(q5,b,R)

41
Construcción de TM
Es posible construir una TM más compleja a
partir de TM sencillas.
Podemos combinar dos TM permitiendo que
compartan la misma cinta y, que cuando una
termine su ejecución, la otra empiece.
El contenido de la cinta al inicio de la
ejecución de la segunda TM está formado
por todo lo que dejó la primer TM, y la
cabeza de r/w de la segunda se situará, al
comienzo de la ejecución, sobre la celda de
la cinta sobre la que terminó la primera.

42
Ejemplo 1 de TM
Ej.- Sea la TM M1 dada por:
 Q={q1,q2, q3 , q4}
 Σ={a}
 Γ={a,b}
 F1={q4}
 s1=q1
 δ(q1,a)=(q2,a,R)
 δ(q1,b)=(q2,b,R)
 δ(q2,a)=(q2,a,R)
 δ(q2,b)=(q3,b,L)
 δ(q3,b)=(q4,b,L)
 δ(q3,a)=(q4,a,R)
Esta máquina busca el primer blanco que haya a la derecha de
donde ha comenzado y para.

43
Ejemplo 2 de TM
Ej.- Sea la TM M2 dada por:
 Q={p1,p2}
 Σ={a}
 Γ={a,b}
 F2={p2}
 s2=p1
 δ(p1,a)=(p2,a,R)
 δ(p1,b)=(p2,a,R)
Esta máquina escribe una a y para. La a se escribe
independiente del contenido actual de la celda.

44
Combinando Ejemplo 1 y
Ejemplo 2 de TM
Al combinar M1 y M2 de tal forma que una
computación de M1 vaya seguida de una
computación de M2, obtenemos un dispositivo
que primero busca hacia la derecha el primer
blanco y después escribe una a en la celda.
Representaremos la combinación de estas
dos TM mediante M1M2 para indicar que la
computación de M1 va seguida por la
computación de M2.

45
Combinación o composición
de TM
Def.- Sean M1 y M2 dos TM sobre el mismo
alfabeto de entrada Σ y el mismo alfabeto de
cinta Γ, donde:
 M1=(Q1, Σ, Γ, s1, b, F1,δ1)
 M2=(Q2, Σ, Γ, s2, b, F2,δ2)
Se supone que Q1∩Q2=∅. La composición
de las TM M1 y M2 es la
TM=(Q,Σ,Γ,s,b,F,δ), que se denota M1M2,
donde: (Cont ...)

46
Combinación o composición
de TM
Q=Q1∪Q2
s=s1
F=F2
δ1(q,σ), si q∈Q1 y δ1(q,σ)≠(p,τ,x) ∀p∈F1
δ2(q,σ), si q∈Q2
(s2,τ,X), si q∈Q1 y δ1(q,σ)=(p,τ,x)
∀p∈F1
δ(q,σ)=

47
Transiciones combinando
Ejemplo 1 y 2 de TM
Ej.- Combinando las TM M1 y M2 tendríamos:
 δ(q1,a)=(q2,a,R)
 δ(q1,b)=(q2,b,R)
 δ(q2,a)=(q2,a,R)
 δ(q2,b)=(q3,b,L)
 δ(q3,b)=(p1,b,L)
 δ(q3,a)=(p1,a,R)
 δ(p1,a)=(p2,a,R)
 δ(p1,b)=(p2,a,R)
Transiciones de M1 que
no cambian
cambian y conectan a
M2
no cambian
Con s=q1 y F={p2}

48
La TM Rb
A la TM del Ejemplo 1 le llamaremos
Rb: “Busca el primer blanco que haya
a la derecha de la posición actual de la
cabeza r/w”:
Obviamente la máquina RbRb Rb :
“Buscaría el tercer blanco que haya a
la derecha de la posición actual de la
cabeza de r/w”

49
Tabla para Rb
δ(q,σ) σ≠b σ=b
q1 (q2,σ,R) (q2,b,R)
q2 (q2,σ,R) (q3,b,L)
q3 (q4,σ,R) (q4,b,R)

50
La TM Lb’
La TM Lb’ será aquella que: “Busca el
primer símbolo que no sea blanco que
haya a la izquierda de la posición actual
de la cabeza r/w”:

51
Tabla para Lb’
δ(q,σ) σ=b σ≠b
q1 (q2, b, L) (q2, σ, L)
q2 (q2, b, L) (q3, σ, R)
q3 (q4, b, L) (q4, σ, L)
Con F={q4} y s=q1

52
Combinando Rb y Lb’
Combinando Rb y Lb’ se tiene RbLb’,
donde la cabeza de r/w se sitúa sobre
el símbolo de la cinta que precede b
que hay a la derecha de la posición
actual.

53
La TM ‘a’
La TM a será aquella que: “Escriba en
la salida un único símbolo a y que
permanezca sobre dicha celda”.

54
Tabla para ‘a’
δ(q,σ) σ∈Γ
q1 (q2, a, R)
q2 (q3, σ, L)
Con F={q3} y s=q1

55
La TM R
La TM R será aquella que: “Mueve la
cabeza de r/w a la derecha. No hace
cambios en los símbolos de la cinta”.

56
Tabla para R, con dos
estados finales diferentes
Con F={p2 y p3} y s=p1
δ(p,σ) σ=b σ≠b
p1 (p2, b, R) (p3, σ, R)

57
Combinando Lb’ y R con
bifurcación
Combinando Lb’ y R se tiene Lb’R.
Suponga que se desea que esta
máquina sea seguida por otra que
escriba una a si la celda es un blanco o
una b si la celda contiene una a. Una
bifurcación.
Esto se podría se representar mediante
el siguiente diagrama.

58
Combinando Lb’ y R con
bifurcación
Lb’ R a
b
σ=b
σ=a

59
TM que cambia ‘a’ en ‘b’ y
visceversa
R b
a
σ=a
σ=b

60
TM con múltiples transiciones y
movimientos simples de la cabeza de
r/w
R R
a,b,b
R R

61
TM con bifurcación
R b
σ=a
σ≠a
Busca hacia la derecha la primer celda que
contenga un símbolo que no sea a y escribe una
b en ese lugar.

62
Desplazando una cadena sobre
la cinta una celda a la derecha
Supongamos que se requiere que la
cadena a desplazar sea precedida y
seguida por blancos.
Por tanto, se desea transformar:
bwb
En
bbw

63
Desplazando una cadena sobre
la cinta una celda a la derecha
L2 bRa
bRb
σ=a
σ=b
R
σ=b
RbR

64
La misma máquina anterior:
La TM SR
L2 bRσ
σ≠b
R
σ=b
RbR
El símbolo σ en bRσ signifia que la
máquina compuesta “recuerda” el
símbolo que ha sido sobreescrito
con el b.
Esta máquina de desplazamiento
hacia la derecha se denotará SR.

65
Reconociendo {wwI
|w∈Σ} con estados de
aceptación y no aceptación
bRbL Lb
b
σ=τ
b
σ=b
R b
σ≠b τ≠b
σ≠τ
τ=b
Para en un estado
de aceptación Para en un estado
de no aceptación
Se empieza con bub y se espera descubrir que u=wwI
. La cadena se
acepta cuando todos los símbolos de u son eliminados

66
Reconociendo {wwI
|w∈Σ} solamente con
estados de aceptación
bRbL Lb
b
σ=τ
b
σ=b
R b
σ≠b τ≠b
σ≠τ
τ=b
Para en un estado
de aceptación
Se empieza con bub y se espera descubrir que u=wwI
. La cadena se
acepta cuando todos los símbolos de u son eliminados. Sólo se tienen
estados de aceptación
σ

67
Tarea
Resolver del libro de texto: 4.3.2,
4.3.3, 4.3.5, 4.3.6, 4.3.8

68
Modificaciones a la TM
Es posible efectuar modificaciones al
diseño original de la TM.
Muchas de estas modificaciones dan
mayor flexibilidad a la TM original para
resolver ciertos problemas en
particular.
Todos estos diseños alternativos tienen
la misma potencia computacional que
la TM original.

69
TM sin movimiento de
cabeza de r/w
Es posible que la función de transición
original:
δ:QxΓ→QxΓx{R,L}
se transforme a:
δ:QxΓ→QxΓx{R,L,S}
Donde S significa “permanecer”, es decir, no
mover la cabeza de r/w; para obtener una
diseño de TM útil para ciertos problemas.

70
Equivalencia con la TM
original
Una transición δ(q,σ)=(p,σ’,S) se
puede simular con la TM original de la
siguiente manera:
δ(q,σ)=(p’,σ’,R) y δ(p’,τ)=(p,τ,L)
y/o
δ(q,σ)=(p’,σ’,L) y δ(p’,τ)=(p,τ,R)
∀τ∈Γ.

71
Ejemplo de TM equivalentes
con/sin estado de
“permanecer”
M1 se define con estado de “permanecer”:
q1 (q2, σ, L) (q2, σ, L)
q2 (q2, σ, L) (q3, σ, S)
Con F={q3} y s=q1

72
Ejemplo de TM equivalentes
con/sin estado de
“permanecer”
M1 se define sin estado de “permanecer”. Es
equivalente:
q1 (q2, σ, L) (q2, σ, L)
q2 (q2, σ, L) (q4, σ, L)
q3 (q3, σ, R) (q3, b, R)
Con F={q3} y s=q1

73
TM con múltiples pistas
Considere el siguiente tipo de cinta:
b b b
a a b
a a b
. . .
. . .

74
TM con múltiples pistas
Tiene cada celda dividida en tres
subceldas. Cada celda de la cinta
puede considerarse un n-tupla
ordenada.
En el ejemplo anterior las n-tuplas son:
(b,a,a), (b,a,a) y (b,b,b).
Por tanto, los movimientos de la
máquina dependen del estado y la n-
tupla actual.

75
Equivalencia con la TM
original
Si Γ es un alfabeto de cinta, una TM
que tiene una cinta de k pistas, cada
una con alguno de los símbolos de Γ,
puede interpretarse como una TM cuyo
alfabeto de cinta estuviera formado por
todas las k-tuplas sobre Γ.
Por ejemplo, si la TM tiene 2 pistas,
entonces el alfabeto de cinta es ΓxΓ.

76
TM con múltiples pistas que
suma dos números
La siguiente TM suma dos números
binarios:
b 1 0 1 b
b 0 1 0 b
b b b b b
. . .
. . .
Suma 101 y 010, deja el resultado en la tercer
subcelda

77
Función de transición de TM con
múltiples pistas que suma dos
números
(q1, σ , R), si σ ≠ (b, b,
b)
(q2, σ , L), si σ = (b, b,
b)
δ(q1,σ)=

78
Función de transición de TM con
múltiples pistas que suma dos
números
δ(q2(0,0,b))=(q2,(0,0,0),L)
δ(q2(0,1,b))=(q2,(0,1,1),L)
δ(q2(1,0,b))=(q2,(1,0,1),L)
δ(q2(1,1,b))=(q3,(1,1,0),L)
δ(q2(b, b,b))=(q4,(b, b,0),S)
δ(q3(0,0,b))=(q2,(0,0,1),L)
δ(q3(0,1,b))=(q2,(0,1,0),L)
δ(q3(1,0,b))=(q2,(1,0,0),L)
δ(q3(1,1,b))=(q2,(1,1,1),L)
δ(q2(b, b,b))=(q4,(b, b,1),S)

79
TM con múltiples pistas que
suma dos números
La TM sumará los números binarios:
b b 1 0 1 b
b b 0 1 0 b
b 0 1 1 1 b
. . .
. . .
Suma 101 y 010, deja el resultado en la tercer
subcelda
Operando 1
Operando 2
Resultado

80
Otras modificaciones
Algunas otras modificaciones que se pueden
tener incluyen:
 TM con una cinta infinita en una sola dirección.
 TM multicinta.
 TM multidimensional.
Cualquier computación que se pueda realizar
por medio de las nuevas máquinas cae
dentro de las categorías de “computable por
una TM” y por tanto son mecánicamente
computables.

81
TM Universal
Def.- Es una TM que, a partir de una
descripción adecuada de una TM M y
una cadena de entrada w, simula el
comportamiento de M sobre la cadena
w.

82
Descripción de la TM M
Su descripción será a partir del alfabeto
finito {0,1}.
La TM M deberá de tener un único
estado de aceptación, por lo que de no
ser así deberá de ser transformada
para que desde todos los estados de
aceptación que tenga exista una
transición a este estado.

83
Descripción de la TM M
Se supondrá que el conjunto de estados
será Q={q1,q2,...,qn} donde q1 será el
estado inicial y q2 el único estado final.
Se supondrá que el alfabeto de la pila será
Γ={σ1,σ2,...,σm} donde σ1 será el blanco.
Partiendo de estas suposiciones M estará
definida a partir de su función de
transición δ.

84
Función de transición de la
TM M
Para codificar la función de transición δ:
 Se representará q1 con un 1, q2 con 11 y así
sucesivamente.
 Igualmente se representará σ1 con un 1, σi
con i unos y así sucesivamente.
 El movimiento de la cabeza se representará
así: L con 1 y R con 11.
Usaremos los 0’s como separadores.

85
Función de transición de la
TM M
Una transición tal como:
δ(q3,σ1)=(q4,σ3,L)
Se presentaría mediante la cadena:
011101011110111010
Así, M tendrá una codificación
representada por una cadena finita de 0’s
y 1’s. Aún más, dada una codificación, es
posible también su decodificación.

86
Implementación de la TM Mu
La TM Mu se puede implementar como una
TM de tres cintas cuyo alfabeto de entrada
contenga 0’s y 1’s.
La primer cinta contiene la codificación de M
con su cabeza situada sobre el 0 inicial de la
cadena de 0’s y 1’s.
La segunda cinta contiene la codificación del
contenido de la cinta de M con su cabeza
sobre el 1 que pertenece a la codificación
del símbolo actual.

87
Implementación de la TM Mu
La tercer cinta se usa para guardar el estado
actual de M, conteniendo la versión
codificada del estado inicial q1 de M rodeado
por blancos. La cabeza de r/w se sitúa sobre
el primer 1 de la cadena codificada.

88
Funcionamiento de la MU
Mu analiza las cintas segunda y tercera con el
de la primer cinta hasta encontrar una
transición o hasta agotar todas las
posibilidades.
Si no se encuentra una transición, Mu para
como también lo haría M. En otro caso, Mu se
comporta como lo haría M.
Si M para con la cadena w, entonces Mu
parará cuando tenga la codificación de M y w
también.

89
Funcionamiento de la MU
También la cadena final que quede en la
segunda cinta de Mu será también la
codificación que hubiera quedado en M.
Al parar M, Mu puede moverse al único
estado de aceptación o no.

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