Este documento explica los conceptos básicos del plano cartesiano, incluyendo cómo calcular la distancia entre puntos, el punto medio de un segmento, ecuaciones de circunferencias, parábolas, elipses e hipérbolas. También describe cómo graficar secciones cónicas usando un sistema de coordenadas de dos dimensiones.

1. PLANO NUMERICO
Nombre apellido:
Danny Vásquez 31.842.780
SECCION:
IN0114

2. PLANO NUMERICO
PLANO NUMERICO (Plano cartesiano)
Se conoce como plano cartesiano, coordenadas cartesianas o sistema
cartesiano, a dos rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y
otra vertical, que se cortan en un punto llamado origen o punto cero.
La finalidad del plano cartesiano es describir la posición o ubicación de
un punto en el plano, la cual está representada por el sistema de
coordenadas.
El plano cartesiano también sirve para analizar matemáticamente
figuras geométricas como la parábola, la hipérbole, la línea, la
circunferencia y la elipse, las cuales forman parte de la geometría
analítica.
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN UN PLANO CARTESIANO
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x o en una
recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al
valor absoluto de la diferencia de sus abscisas.
Ejemplo: La distancia entre los puntos (-4,0) y (5,0) es 4 + 5 = 9

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unidades.
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y o en una
recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al
valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas.
Ahora si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de
coordenadas, la distancia queda determinada por la relación:
Para demostrar esta relación se deben ubicar los puntos A(x1,y1) y
B(x2,y2) en el sistema de coordenadas, luego formar un triángulo
rectángulo de hipotenusa AB y emplear el teorema de Pitágoras.
PUNTO MEDIO:
El punto medio de un segmento representa al punto que se ubica
exactamente en la mitad de los dos puntos extremos del segmento. El
punto medio puede ser encontrado al dividir a la suma de las
coordenadas x por 2 y dividir a la suma de las coordenadas y por 2.
A continuación, conoceremos la fórmula que podemos usar para
calcular el punto medio de un segmento. Además, usaremos esa

4. PLANO NUMERICO
fórmula para resolver algunos ejercicios de práctica.
En el siguiente diagrama tenemos los puntos A y B, los cuales están
unidos por un segmento. El punto C es el punto medio, ya que está
exactamente en la mitad del segmento. Para calcular la ubicación del
punto medio, simplemente tenemos que medir la longitud del
segmento y dividir por 2.
Un punto medio puede ser calculado solo cuando tenemos a un
segmento que une a dos puntos, ya que tiene una ubicación definida.
El punto medio no puede ser calculado para una línea o un rayo, ya
que una línea tiene dos extremos que se extienden indefinidamente y
un rayo tiene un extremo que se extiende indefinidamente.
ECUACIONES Y TRAZADOS DE CIRCUNFERENCIA:
Todos conocen las circunferencias, saben que pueden trazarse con un
compás.
Les resultará natural la siguiente definición:
La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que
equidistan de un punto fijo llamado centro.

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Ahora vamos a deducir partiendo de esta definición, cuál es la
expresión de una circunferencia.
Consideremos el siguiente esquema:
Por teorema de Pitágoras sabemos que los puntos P (x,y) deben
cumplirse esta ecuación:

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Que se llama ecuación ordinaria de la circunferencia con centro C (a,B)
y radio r.
Si r = 0 , ¡que objecto geométrico representa la ecuación?
ECUACION CANONICA DE LA CIRCUNFERENCIA:
Hay un caso particular de circunferencia, que tiene su centro en el
origen. La ecuación que la define se llama ecuación canónica de la
circunferencia:
Si la circunferencia no esta centrada en el ( 0 , 0), es posible armar un
nuevo sistema de modo tal que el centro de la circunferencia coincida
con el nuevo origen de coordenadas. Por ejemplo, consideremos:
Si hacemos un cambio de variable

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En las nuevas variables la expresión quedara de forma canónica
Para obtener la ecuación canónica, hicimos una traslación de
ejes, de modo que el centro del nuevo sistema coincidiera con el
centro de la circunferencia:

8. PLANO NUMERICO
PARABOLAS
La gráfica de una función cuadrática es una parábola. Pero el concepto
geométrico de parábola es más amplio, como veremos a continuación.
El siguiente gráfico muestra una «parábola acostada»:
Existen también las parábolas rotadas. Por ejemplo si nosotros
graficáramos en algún programa de computadora el conjunto de
puntos que satisfacen la ecuación
obtendríamos la siguiente gráfica:

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Definición de una parábola:
Dos un punto F (foco) y una recta r (directriz), se denomina parábola al
conjunto de puntos del plano que equidistan del foco y de la directriz.
Simbólicamente:
Observen que estamos definiendo la parábola como un conjunto de
puntos que verifican cierta propiedad geométrica, no como la gráfica
de una función cuadrática (que es como ustedes la conocían hasta
ahora).
ELIPSES
Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias
a dos puntos fijos llamados focos es constante.
La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, tales
que la suma de las distancias a otros dos puntos fijos llamados focos es
constante.
La elipse se define como una línea curva cerrada tal que la suma de las
distancias a dos puntos fijos, F y F' , llamados focos, es constante.

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HIPERBOLA
Es la hipérbola una curva cónica, abierta, plana y de dos ramas definida
como el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de
distancias a otros dos fijos, denominados focos, es constante, e igual a
la magnitud del eje mayor.

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COMO GRAFICAR SECCIONES CONICAS
La vista Graficar le permite graficar y explorar ecuaciones lineales y
cónicas de manera analítica en un sistema de coordenadas de dos
dimensiones. Es posible crear y analizar líneas, elipses, parábolas,
hipérbolas y ecuaciones cónicas generales.
La línea de ingreso facilita la introducción de la ecuación al mostrar una
plantilla para el tipo de ecuación que se elije.
Ejemplo: Cómo crear una elipse cónica
1) En el menú Entrada de gráfico/Editar, seleccione Ecuación > Elipse y
haga un punteo en el tipo de ecuación.
2) Escriba los valores iniciales para los coeficientes en los espacios
suministrados. Use las teclas de flecha para desplazarse por los
coeficientes.

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3) Presione Ingresar para graficar la ecuación.

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