Este documento presenta los conceptos básicos de los polinomios, incluyendo su definición, el valor numérico de un polinomio para un valor dado de la variable, y la propiedad fundamental de la división de polinomios. También introduce la regla de Ruffini, un método para dividir polinomios de forma más eficiente cuando el divisor es de la forma x ± b o ax ± b. El documento proporciona ejemplos detallados de cada uno de estos conceptos.
Este documento presenta conceptos básicos sobre funciones reales de variable real, incluyendo:
1) La definición de función, dominio y rango.
2) Cómo calcular el dominio y rango de una función.
3) Ejemplos de funciones reales como f(x)=x2+1 y g(x)=-x2+2x y el cálculo de sus dominios y rangos.
Este documento describe los conceptos de igualdad, identidad algebraica, ecuación algebraica, identidad trigonométrica y ecuación trigonométrica. Explica que una igualdad puede ser numérica o algebraica, y que una identidad algebraica es siempre verdadera mientras que una ecuación algebraica solo es verdadera para ciertos valores. También define las identidades trigonométricas fundamentales y describe cómo resolver ecuaciones trigonométricas de primer y segundo grado.
El documento presenta las teorías de límites, continuidad y derivadas que se enseñarán en el grado 11 de matemáticas. Incluye los objetivos, contenidos, evaluaciones y didáctica a utilizar. Se explicarán conceptos como límites, funciones continuas, discontinuidad, derivadas y sus aplicaciones, además de proveer fórmulas y ejemplos para derivar diferentes funciones.
El documento presenta información sobre el lenguaje algebraico y las operaciones fundamentales. La unidad 1 cubre expresiones algebraicas, operaciones con polinomios como suma, resta, multiplicación y división. La unidad 2 trata sobre ecuaciones lineales de una y dos incógnitas y métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales.
Este documento trata sobre expresiones algebraicas. Explica qué son monomios, polinomios y expresiones algebraicas, y cómo sumar, restar y multiplicar estos conceptos algebraicos. También incluye ejemplos resueltos de operaciones con monomios y polinomios, y objetivos de aprendizaje relacionados con expresiones algebraicas.
El documento define conceptos básicos de igualdad, identidad y ecuación. Explica que una igualdad puede ser numérica o algebraica dependiendo de si solo contiene números o también letras. Una identidad es una igualdad válida para cualquier valor de las variables, mientras que una ecuación solo es válida para ciertos valores. Luego, describe las partes de una ecuación, métodos para resolver ecuaciones de primer grado y diferentes tipos de ecuaciones.
Este documento clasifica y define las expresiones algebraicas. Las clasifica como enteras, racionales o irracionales dependiendo de los exponentes. También define y clasifica los monomios, polinomios, grados y notación polinómica. Explica cómo clasificar los polinomios como ordenados, completos, homogéneos, idénticos o idénticamente nulos.
Este documento trata sobre expresiones algebraicas. Explica qué son monomios, polinomios y expresiones algebraicas, y cómo realizar operaciones básicas como sumar, restar y multiplicar con ellos. Los objetivos son crear expresiones algebraicas a partir de enunciados, hallar valores numéricos, y clasificar y operar con monomios y polinomios. Incluye ejemplos resueltos de estas operaciones.
Este documento presenta conceptos básicos sobre funciones reales de variable real, incluyendo:
1) La definición de función, dominio y rango.
2) Cómo calcular el dominio y rango de una función.
3) Ejemplos de funciones reales como f(x)=x2+1 y g(x)=-x2+2x y el cálculo de sus dominios y rangos.
Este documento describe los conceptos de igualdad, identidad algebraica, ecuación algebraica, identidad trigonométrica y ecuación trigonométrica. Explica que una igualdad puede ser numérica o algebraica, y que una identidad algebraica es siempre verdadera mientras que una ecuación algebraica solo es verdadera para ciertos valores. También define las identidades trigonométricas fundamentales y describe cómo resolver ecuaciones trigonométricas de primer y segundo grado.
El documento presenta las teorías de límites, continuidad y derivadas que se enseñarán en el grado 11 de matemáticas. Incluye los objetivos, contenidos, evaluaciones y didáctica a utilizar. Se explicarán conceptos como límites, funciones continuas, discontinuidad, derivadas y sus aplicaciones, además de proveer fórmulas y ejemplos para derivar diferentes funciones.
El documento presenta información sobre el lenguaje algebraico y las operaciones fundamentales. La unidad 1 cubre expresiones algebraicas, operaciones con polinomios como suma, resta, multiplicación y división. La unidad 2 trata sobre ecuaciones lineales de una y dos incógnitas y métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales.
Este documento trata sobre expresiones algebraicas. Explica qué son monomios, polinomios y expresiones algebraicas, y cómo sumar, restar y multiplicar estos conceptos algebraicos. También incluye ejemplos resueltos de operaciones con monomios y polinomios, y objetivos de aprendizaje relacionados con expresiones algebraicas.
El documento define conceptos básicos de igualdad, identidad y ecuación. Explica que una igualdad puede ser numérica o algebraica dependiendo de si solo contiene números o también letras. Una identidad es una igualdad válida para cualquier valor de las variables, mientras que una ecuación solo es válida para ciertos valores. Luego, describe las partes de una ecuación, métodos para resolver ecuaciones de primer grado y diferentes tipos de ecuaciones.
Este documento clasifica y define las expresiones algebraicas. Las clasifica como enteras, racionales o irracionales dependiendo de los exponentes. También define y clasifica los monomios, polinomios, grados y notación polinómica. Explica cómo clasificar los polinomios como ordenados, completos, homogéneos, idénticos o idénticamente nulos.
Este documento trata sobre expresiones algebraicas. Explica qué son monomios, polinomios y expresiones algebraicas, y cómo realizar operaciones básicas como sumar, restar y multiplicar con ellos. Los objetivos son crear expresiones algebraicas a partir de enunciados, hallar valores numéricos, y clasificar y operar con monomios y polinomios. Incluye ejemplos resueltos de estas operaciones.
Este documento define conceptos básicos sobre polinomios como monomios, polinomios, grado relativo y absoluto. Explica que un polinomio es una expresión algebraica racional entera compuesta de uno o más monomios. También describe polinomios especiales como ordenados, completos, homogéneos e idénticamente nulos. Finalmente, incluye ejercicios de aplicación sobre estos conceptos.
Este documento presenta una unidad sobre expresiones algebraicas. Introduce conceptos como lenguaje algebraico, monomios, polinomios, operaciones con polinomios como suma, resta y producto. También cubre factores comunes y productos notables. El objetivo es enseñar los fundamentos del álgebra a estudiantes de segundo año de secundaria.
Este documento explica los conceptos básicos de las ecuaciones, incluyendo: 1) la definición de una ecuación y sus componentes como soluciones y conjunto de soluciones; 2) las ecuaciones lineales y cómo se resuelven despejando la variable; y 3) cómo traducir enunciados verbales a expresiones matemáticas para plantear ecuaciones que puedan resolverse.
Este documento presenta los objetivos de una unidad sobre sucesiones aritméticas, técnicas de conteo y funciones exponenciales. Los estudiantes aprenderán a utilizar el término general de sucesiones aritméticas y geométricas para calcular términos específicos, aplicar técnicas de conteo en problemas de la vida cotidiana, y usar funciones exponenciales para resolver situaciones matemáticas y sociales. La unidad también incluye un proyecto sobre intereses compuestos de préstamos que aplica estos conceptos.
Una expresión algebraica es una expresión que relaciona valores indeterminados con constantes y operaciones como suma, resta, producto, división, potencias y raíces. Existen expresiones algebraicas racionales e irracionales, enteras y fraccionarias. Los polinomios son expresiones algebraicas comunes formadas por la suma de términos que son el producto de un coeficiente y una potencia de la variable.
Este documento presenta información sobre ecuaciones lineales y cuadráticas. Explica conceptos como ecuación, solución de ecuaciones, clasificación de ecuaciones según su conjunto solución, y métodos para resolver ecuaciones lineales y cuadráticas como factorización, completando el cuadrado y la fórmula general. También analiza la naturaleza de las raíces de una ecuación cuadrática según el valor de su discriminante.
1) El documento presenta información sobre series numéricas y sucesiones, incluyendo definiciones de sucesiones acotadas, convergentes, finitas, constantes, crecientes, decrecientes y alternadas. También cubre tipos de series como geométricas, armónicas y telescópicas.
2) Explica criterios de convergencia como el criterio de comparación y el criterio de comparación con paso al límite. También presenta propiedades de series de potencias.
3) Finalmente, introduce conceptos de cálculo como el teorema
Este documento define e introduce los conceptos de intervalos y curvas planas. Explica que un intervalo es un conjunto de números reales que no deja huecos entre sus puntos. Define diferentes tipos de intervalos como cerrados, abiertos y semiabiertos, e ilustra cada uno con ejemplos. Luego introduce conceptos como el extremo superior e inferior de un conjunto acotado y explica que todo conjunto acotado tiene estos extremos aunque no necesariamente máximo o mínimo. Finalmente, define una curva plana como el conjunto de puntos que satisfacen una ecuación en
El documento explica conceptos básicos sobre expresiones algebraicas y ecuaciones de primer grado. Introduce las definiciones de expresión algebraica, monomio, igualdad, identidad y ecuación. Explica cómo resolver ecuaciones de primer grado mediante la transposición de términos y las reglas de la suma y el producto. El objetivo final es enseñar a los estudiantes a encontrar el valor de la incógnita que hace cierta una ecuación de primer grado.
Este documento presenta información sobre logaritmos y probabilidades. Introduce los objetivos de aplicar funciones logarítmicas y principios probabilísticos para resolver problemas. También cubre tomar decisiones usando métodos de distribución binomial para estimar probabilidades. Finalmente, describe un proyecto para calcular probabilidades usando una prueba de selección múltiple y la distribución binomial.
El documento describe los polinomios y sus operaciones básicas. Los polinomios están formados por la suma o resta de monomios y se utilizan ampliamente en álgebra, ciencia y tecnología. Para operar con polinomios, se suman o restan los términos semejantes y se multiplican o dividen los monomios y polinomios de acuerdo con reglas algebraicas específicas.
Este documento define y clasifica expresiones y polinomios algebraicas. Define variables, constantes, términos y polinomios algebraicos. Explica cómo calcular el grado absoluto y relativo de monomios y polinomios. También define el valor numérico de una expresión algebraica.
Este documento presenta una unidad sobre series. Explica conceptos como series finitas e infinitas, criterios de convergencia como el de D'Alembert y Cauchy, series de potencias, series de Taylor y su uso para representar funciones y calcular integrales. Incluye ejemplos de series como la exponencial y coseno.
Este documento describe los números reales y sus propiedades. Los números reales incluyen todos los números positivos, negativos y cero, así como números racionales e irracionales. Todos los números reales pueden escribirse como decimales que pueden terminar, repetirse indefinidamente o continuar para siempre. También define conceptos como valor absoluto, desigualdades e intervalos.
Este documento presenta una guía de trabajo sobre sucesiones y series numéricas para el curso de cálculo integral. Explica conceptos teóricos como definiciones de sucesiones, convergencia, límites, y propiedades. Incluye ejemplos y ejercicios propuestos para que los estudiantes practiquen el análisis de la convergencia de sucesiones y cálculo de límites. Finalmente, proporciona referencias bibliográficas para profundizar en el tema.
Este documento presenta una explicación del método de bisección para encontrar raíces de funciones. El método de bisección itera dividiendo el intervalo en el que ocurre un cambio de signo de la función a la mitad, hasta alcanzar la precisión deseada. También se explican métodos de interpolación lineal para aproximar valores desconocidos entre dos puntos dados, y el método de Newton-Raphson para encontrar raíces iterativamente mejorando una aproximación inicial.
El documento proporciona una introducción a los conceptos básicos de los polinomios, incluyendo su definición, interpretación geométrica, operaciones como suma, resta, producto y división, y métodos para calcular el valor numérico, encontrar raíces, factorizar y dividir polinomios. También explica la regla de Ruffini para la división de polinomios y algunos teoremas relacionados con las raíces y factores de polinomios.
Este documento define polinomios y describe sus propiedades fundamentales. Un polinomio es una expresión algebraica que involucra variables y sus potencias con exponentes enteros no negativos. Se define el valor numérico de un polinomio y la división de polinomios, incluyendo el cociente y el resto. También introduce la regla de Ruffini para dividir polinomios de forma más eficiente. Finalmente, proporciona ejercicios para practicar estos conceptos.
1) El documento presenta definiciones y propiedades relacionadas con polinomios como igualdad, suma y producto, división, raíces y multiplicidad. 2) Incluye algoritmos para la división de polinomios y división sintética. 3) Establece el teorema fundamental del álgebra que dice que todo polinomio no constante tiene por lo menos una raíz.
El documento repite la frase "UPeU BECA 18" varias veces. También incluye información sobre expresiones algebraicas, variables, constantes, polinomios, grados de polinomios y otros conceptos matemáticos. No presenta una idea principal clara.
I. La suma de los coeficientes de los términos semejantes es 9.
II. Las proposiciones I, III y IV son falsas, mientras que II es verdadera.
III. La alternativa correcta es VFF.
Este documento define conceptos básicos sobre polinomios como monomios, polinomios, grado relativo y absoluto. Explica que un polinomio es una expresión algebraica racional entera compuesta de uno o más monomios. También describe polinomios especiales como ordenados, completos, homogéneos e idénticamente nulos. Finalmente, incluye ejercicios de aplicación sobre estos conceptos.
Este documento presenta una unidad sobre expresiones algebraicas. Introduce conceptos como lenguaje algebraico, monomios, polinomios, operaciones con polinomios como suma, resta y producto. También cubre factores comunes y productos notables. El objetivo es enseñar los fundamentos del álgebra a estudiantes de segundo año de secundaria.
Este documento explica los conceptos básicos de las ecuaciones, incluyendo: 1) la definición de una ecuación y sus componentes como soluciones y conjunto de soluciones; 2) las ecuaciones lineales y cómo se resuelven despejando la variable; y 3) cómo traducir enunciados verbales a expresiones matemáticas para plantear ecuaciones que puedan resolverse.
Este documento presenta los objetivos de una unidad sobre sucesiones aritméticas, técnicas de conteo y funciones exponenciales. Los estudiantes aprenderán a utilizar el término general de sucesiones aritméticas y geométricas para calcular términos específicos, aplicar técnicas de conteo en problemas de la vida cotidiana, y usar funciones exponenciales para resolver situaciones matemáticas y sociales. La unidad también incluye un proyecto sobre intereses compuestos de préstamos que aplica estos conceptos.
Una expresión algebraica es una expresión que relaciona valores indeterminados con constantes y operaciones como suma, resta, producto, división, potencias y raíces. Existen expresiones algebraicas racionales e irracionales, enteras y fraccionarias. Los polinomios son expresiones algebraicas comunes formadas por la suma de términos que son el producto de un coeficiente y una potencia de la variable.
Este documento presenta información sobre ecuaciones lineales y cuadráticas. Explica conceptos como ecuación, solución de ecuaciones, clasificación de ecuaciones según su conjunto solución, y métodos para resolver ecuaciones lineales y cuadráticas como factorización, completando el cuadrado y la fórmula general. También analiza la naturaleza de las raíces de una ecuación cuadrática según el valor de su discriminante.
1) El documento presenta información sobre series numéricas y sucesiones, incluyendo definiciones de sucesiones acotadas, convergentes, finitas, constantes, crecientes, decrecientes y alternadas. También cubre tipos de series como geométricas, armónicas y telescópicas.
2) Explica criterios de convergencia como el criterio de comparación y el criterio de comparación con paso al límite. También presenta propiedades de series de potencias.
3) Finalmente, introduce conceptos de cálculo como el teorema
Este documento define e introduce los conceptos de intervalos y curvas planas. Explica que un intervalo es un conjunto de números reales que no deja huecos entre sus puntos. Define diferentes tipos de intervalos como cerrados, abiertos y semiabiertos, e ilustra cada uno con ejemplos. Luego introduce conceptos como el extremo superior e inferior de un conjunto acotado y explica que todo conjunto acotado tiene estos extremos aunque no necesariamente máximo o mínimo. Finalmente, define una curva plana como el conjunto de puntos que satisfacen una ecuación en
El documento explica conceptos básicos sobre expresiones algebraicas y ecuaciones de primer grado. Introduce las definiciones de expresión algebraica, monomio, igualdad, identidad y ecuación. Explica cómo resolver ecuaciones de primer grado mediante la transposición de términos y las reglas de la suma y el producto. El objetivo final es enseñar a los estudiantes a encontrar el valor de la incógnita que hace cierta una ecuación de primer grado.
Este documento presenta información sobre logaritmos y probabilidades. Introduce los objetivos de aplicar funciones logarítmicas y principios probabilísticos para resolver problemas. También cubre tomar decisiones usando métodos de distribución binomial para estimar probabilidades. Finalmente, describe un proyecto para calcular probabilidades usando una prueba de selección múltiple y la distribución binomial.
El documento describe los polinomios y sus operaciones básicas. Los polinomios están formados por la suma o resta de monomios y se utilizan ampliamente en álgebra, ciencia y tecnología. Para operar con polinomios, se suman o restan los términos semejantes y se multiplican o dividen los monomios y polinomios de acuerdo con reglas algebraicas específicas.
Este documento define y clasifica expresiones y polinomios algebraicas. Define variables, constantes, términos y polinomios algebraicos. Explica cómo calcular el grado absoluto y relativo de monomios y polinomios. También define el valor numérico de una expresión algebraica.
Este documento presenta una unidad sobre series. Explica conceptos como series finitas e infinitas, criterios de convergencia como el de D'Alembert y Cauchy, series de potencias, series de Taylor y su uso para representar funciones y calcular integrales. Incluye ejemplos de series como la exponencial y coseno.
Este documento describe los números reales y sus propiedades. Los números reales incluyen todos los números positivos, negativos y cero, así como números racionales e irracionales. Todos los números reales pueden escribirse como decimales que pueden terminar, repetirse indefinidamente o continuar para siempre. También define conceptos como valor absoluto, desigualdades e intervalos.
Este documento presenta una guía de trabajo sobre sucesiones y series numéricas para el curso de cálculo integral. Explica conceptos teóricos como definiciones de sucesiones, convergencia, límites, y propiedades. Incluye ejemplos y ejercicios propuestos para que los estudiantes practiquen el análisis de la convergencia de sucesiones y cálculo de límites. Finalmente, proporciona referencias bibliográficas para profundizar en el tema.
Este documento presenta una explicación del método de bisección para encontrar raíces de funciones. El método de bisección itera dividiendo el intervalo en el que ocurre un cambio de signo de la función a la mitad, hasta alcanzar la precisión deseada. También se explican métodos de interpolación lineal para aproximar valores desconocidos entre dos puntos dados, y el método de Newton-Raphson para encontrar raíces iterativamente mejorando una aproximación inicial.
El documento proporciona una introducción a los conceptos básicos de los polinomios, incluyendo su definición, interpretación geométrica, operaciones como suma, resta, producto y división, y métodos para calcular el valor numérico, encontrar raíces, factorizar y dividir polinomios. También explica la regla de Ruffini para la división de polinomios y algunos teoremas relacionados con las raíces y factores de polinomios.
Este documento define polinomios y describe sus propiedades fundamentales. Un polinomio es una expresión algebraica que involucra variables y sus potencias con exponentes enteros no negativos. Se define el valor numérico de un polinomio y la división de polinomios, incluyendo el cociente y el resto. También introduce la regla de Ruffini para dividir polinomios de forma más eficiente. Finalmente, proporciona ejercicios para practicar estos conceptos.
1) El documento presenta definiciones y propiedades relacionadas con polinomios como igualdad, suma y producto, división, raíces y multiplicidad. 2) Incluye algoritmos para la división de polinomios y división sintética. 3) Establece el teorema fundamental del álgebra que dice que todo polinomio no constante tiene por lo menos una raíz.
El documento repite la frase "UPeU BECA 18" varias veces. También incluye información sobre expresiones algebraicas, variables, constantes, polinomios, grados de polinomios y otros conceptos matemáticos. No presenta una idea principal clara.
I. La suma de los coeficientes de los términos semejantes es 9.
II. Las proposiciones I, III y IV son falsas, mientras que II es verdadera.
III. La alternativa correcta es VFF.
El documento presenta diferentes conceptos relacionados con polinomios como polinomios homogéneos, ordenados, completos e idénticos. Incluye ejemplos y propiedades de cada tipo de polinomio, así como problemas para practicar la aplicación de estos conceptos.
El documento presenta información sobre expresiones algebraicas y polinomios especiales. Define expresiones algebraicas racionales y irracionales, y clasifica expresiones según la naturaleza de sus exponentes y el número de términos. Explica conceptos como grado de expresiones y polinomios, y tipos de polinomios especiales como homogéneos, ordenados y completos.
Este documento trata sobre los conceptos de grado relativo y grado absoluto de un polinomio. El grado relativo de un polinomio está representado por el mayor exponente de una variable dada, mientras que el grado absoluto está representado por el monomio de mayor grado general. Se proporcionan ejemplos y ejercicios resueltos para ilustrar estos conceptos.
Este documento describe los conceptos básicos de los polinomios, incluyendo sus aplicaciones, definición, grados y casos especiales como polinomios ordenados, completos, homogéneos e idénticamente nulos. Explica que los polinomios son expresiones algebraicas formadas por la suma o diferencia de monomios y que su grado depende de los exponentes de las variables. Además, presenta ejemplos y ejercicios para ilustrar estas propiedades fundamentales de los polinomios.
Este documento presenta los conceptos y operaciones básicas con polinomios, incluyendo suma, resta, multiplicación y división de monomios y polinomios. Explica cómo realizar cada operación siguiendo reglas algebraicas específicas y provee ejemplos para ilustrar los pasos.
Este documento resume los principales temas de álgebra incluyendo clasificación y operaciones con polinomios como suma, resta y multiplicación usando propiedades algebraicas. También cubre factorización de expresiones usando factores comunes, trinomios perfectos y agrupación de términos. El objetivo es proporcionar una introducción básica a estos conceptos algebraicos fundamentales.
Este documento describe expresiones algebraicas y polinomios. Explica que una expresión algebraica contiene números y letras relacionados por operaciones matemáticas, y que un polinomio está compuesto por la suma o resta de dos o más monomios. También define conceptos clave como coeficiente, parte literal, grado de un monomio y polinomio, y describe cómo realizar operaciones como suma, resta y producto con monomios y polinomios.
Este documento presenta información sobre polinomios. Define un polinomio como una expresión algebraica compuesta de variables, constantes y exponentes. Explica que un polinomio puede tener más de una variable y solo exponentes positivos. Además, describe las partes de un polinomio como términos, variables, coeficientes y exponentes. Finalmente, cubre operaciones básicas con polinomios como suma, resta, multiplicación y división.
Cesar vallejofilemd7313-2024-03-27 09-58-21.pdfLuisCcaico1
Este documento introduce los conceptos básicos de los polinomios. Explica que un polinomio es una expresión matemática compuesta de variables y constantes unidas por operaciones de adición, sustracción, multiplicación y potenciación. Proporciona ejemplos de polinomios de una y más variables, y describe cómo calcular el valor numérico de un polinomio reemplazando las variables por constantes. También define términos como grado, coeficientes y término independiente.
El documento explica los conceptos de grado absoluto y relativo para monomios y polinomios. Define que el grado absoluto de un monomio es la suma de los exponentes de sus letras y el grado relativo es el exponente de una letra en particular. Para polinomios, el grado absoluto es el grado del término con mayor grado absoluto y el grado relativo es el mayor exponente de una letra dada. También describe métodos para dividir polinomios como el método clásico, método de Horner y método de Ruffini.
Este documento trata sobre integrales impropias. Explica que estas integrales generalizan el concepto de integral definida al permitir intervalos infinitos o funciones con discontinuidades infinitas. Describe dos tipos de integrales impropias: de primera especie, con intervalos infinitos pero función acotada, y de segunda especie, con intervalos finitos pero función no acotada. Proporciona fórmulas y ejemplos para calcular valores de diferentes integrales impropias.
Definición y Clasificación de los Números Complejos.pptxAlejoRomero22
El documento describe los números complejos, incluyendo su definición como números con partes reales e imaginarias de la forma a + bi. Explica que el conjunto de todos los números complejos se denota como C. También clasifica los números complejos como reales, puramente imaginarios o nulos, y define conceptos como conjugados y opuestos. Finalmente, proporciona ejemplos para que los estudiantes practiquen reconocer diferentes tipos de números complejos.
Unidad 1. Álgebra, tigonometría y geometría analitica. Fase 2..pptxblogdealgebraunad
Este documento describe conceptos básicos del lenguaje algebraico como expresiones algebraicas, polinomios, factorización y operaciones con polinomios. Explica que el lenguaje algebraico se utiliza para representar cantidades desconocidas y resolver problemas matemáticos. También define términos como monomios, binomios, trinomios y polinomios y métodos para sumar, restar, multiplicar y dividir polinomios.
Polinomios: operaciones: suma resta multiplicación división. Regla de Ruffini. Teorema del resto. Teorema del factor. Factorización de polinomios. Máximo común divisor y mínimo común múltiplo de polinomios. Fracciones algebraicas.
ÁLGEBRA SEM 3 academia cesar vallejo virtualEduardo Suárez
El documento presenta información sobre polinomios de una variable. Explica que los polinomios pueden modelar situaciones reales y da ejemplos como la trayectoria de un cuerpo o la distribución de velocidad en una tubería. Luego define conceptos como variable, constante y polinomio, y describe las propiedades de polinomios lineales, cuadráticos y cúbicos. Finalmente, muestra la forma general de un polinomio y algunas de sus propiedades como la suma de coeficientes y el término independiente.
El documento presenta conceptos básicos sobre expresiones algebraicas, monomios, polinomios y algunos polinomios especiales. Explica que una expresión algebraica está compuesta de variables y constantes unidas por operaciones como suma, resta, multiplicación y división. Define términos algebraicos, términos semejantes, valor numérico y grado de un monomio. Luego introduce los polinomios, indicando que están compuestos de varios términos y definiendo su grado. Finalmente, describe seis polinomios especiales: ordenados
Este documento define ecuaciones y describe cómo resolver ecuaciones de primer y segundo grado. Explica que una ecuación es una igualdad algebraica que solo se cumple para valores específicos de las variables, y que resolver una ecuación implica calcular esos valores. También cubre conceptos como incógnitas, miembros de la ecuación y soluciones.
El documento define los números complejos, incluyendo su parte real e imaginaria. Explica cómo sumar, restar, multiplicar y dividir números complejos, así como expresarlos en forma polar usando el módulo y argumento. También cubre propiedades como el conjugado, opuesto y potencias de i.
Este documento presenta una introducción a la teoría de polinomios. Define conceptos clave como expresión algebraica, polinomio, grado de un polinomio, valor numérico y polinomios especiales como polinomios homogéneos y ordenados. Incluye ejemplos para ilustrar cada concepto.
EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y POLINOMIOS: Términos algebraicos, Elementos en los términos algebraicos, Monomios, Características de un monomio, Grado Absoluto de un monomio, Grado Relativo de un monomio con respecto a una variable, Valor numérico de un monomio, Expresiones algebraicas y polinomios, Clasificación de las Expresiones algebraicas.
TEORIA DE POLINOMIOS: Polinomios Homogéneo, Polinomios en un variable, Valor Numérico de un polinomio, Operaciones con Polinomios, Suma, resta, producto y división de polinomios. PRODUCTOS NOTABLES: Cuadrado de un binomio, Cuadrado de un Trinomio, Producto de la suma por diferencia, Producto de dos binomios con un término común, Cubo de un Binomios
COCIENTES NOTABLES
Este documento describe las expresiones algebraicas y los polinomios. Define un monomio como una expresión algebraica con un solo término y sin operaciones de suma o resta. Un polinomio se define como la suma algebraica de monomios. Explica cómo clasificar polinomios según su grado, ordenarlos, y realizar operaciones como suma, multiplicación y división con ellos.
El documento define y explica las propiedades básicas de los polinomios, incluyendo: (1) Un polinomio es una suma de términos que consisten en un coeficiente multiplicado por una potencia de una variable; (2) El grado de un polinomio es el exponente más alto de sus términos con coeficiente no nulo; (3) Dos polinomios son iguales si tienen el mismo grado y coeficientes iguales para cada término. También describe cómo se pueden sumar, multiplicar y multiplicar polinomios por escalares de
El documento explica el método de Ruffini para factorizar polinomios. El método implica ordenar los coeficientes del polinomio y probar cada divisor del término independiente, multiplicando y sumando en cada paso. Si el resultado final es cero, ese divisor es un factor del polinomio. Repitiendo el proceso, se pueden encontrar todos los factores y reescribir el polinomio como un producto de polinomios de menor grado.
1. POLINOMIOS
I. Definición de Polinomios:
Guía de trabajo Se llama polinomio a la siguiente expresión por
Nº 5 ejemplo:
𝟏 𝟒
𝑷 𝒙 = 𝟑 + 𝒙 + 𝒙 𝟐 − 𝟓𝒙 𝟑 + 𝒙 − 𝟏𝟎𝒙 𝟓
OBJETIVO Nº 3: 𝟐
Donde cada número que acompaña a las 𝒙 se llama
coeficiente, cada expresión que está entre los signos
General: más o menos se llama término, los pequeños números que
están sobre las variables se llaman exponentes de cada
Estudiar las término y el número que no está acompañado de la
determinantes
variable se llama término independiente.
Los polinomios se pueden representar con cualquier
Específicos:
letra mayúscula o variable por ejemplo: 𝑃 𝑥 , 𝑄 𝑦 , 𝑅 𝑧 …
Finalmente para que una expresión sea polinómica la
Definir
determinantes variable siempre debe tener todos sus exponentes
Calcular el valor de positivos.
determinantes
Conocer las
propiedades de los II. Valor numérico de un Polinomio:
determinantes
Sea 𝑃 𝑥 un polinomio y 𝑎, un número real, se
llama valor numérico del polinomio 𝑃 𝑥 para 𝑥 = 𝑎, al
valor que se obtiene al sustituir 𝑥 por 𝑎 en el
polinomio. Ejemplo:
Dado el polinomio 𝑷 𝒙 = 𝒙 𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟓, halar su valor para
1
𝑥=2
𝑷 𝒙 = 𝒙 𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟓
𝟏 𝟏 𝟐 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟕
𝑷 𝟐
= 𝟐
− 𝟒 𝟐
+ 𝟓 𝑷 𝟐
= 𝟒− 𝟐+ 𝟓 𝑷 𝟐
= 𝟒+ 𝟑= 𝟒
III. Propiedad fundamental de la división:
Dado dos polinomios 𝐷 𝑥 y 𝑑 𝑥 , con grado
𝐷 𝑥 ≥ 𝑑 𝑥 , al efectuar la división de 𝐷 𝑥 entre 𝑑 𝑥 ,
se hallan dos polinomios 𝑐 𝑥 y 𝑅 𝑥 , se obtiene que
𝑅 𝑥 < 𝑐 𝑥 y se obtiene la propiedad fundamental de la
división que es:
𝐷 𝑥 = 𝑑 𝑥 ∙ 𝑐 𝑥 + 𝑅(𝑥)
Donde 𝐷 𝑥 es el dividiendo, d 𝑥 es el divisor, 𝑐 𝑥 es
el cociente y 𝑅 𝑥 es el resto o residuo del polinomio.
1
2. I.- Ejercicios Propuestos
1. Hallar el valor numérico de 𝑷 𝒙 = 𝒙 𝟑 + 𝟔𝒙 𝟐 + 𝒙 − 𝟏 para los valores
𝟏
𝒙 = 𝟏, −𝟐, 𝟑
2. Hallar el valor numérico de 𝑷 𝒙 = 𝟒𝒙 𝟑 − 𝟓𝒙 𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟏𝟏 para los valores
𝟏
𝒙 = 𝟎, −
𝟒
3. Considere el polinomio 𝑷 𝒙 = 𝟑𝒙 𝟒 − 𝟐𝒙 𝟑 − 𝟔𝒙 𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟏 y calcule su valor
𝟏
numérico para 𝒙 = 𝟒, −𝟐, − 𝟏𝟐
, 𝟐, 𝟗
4. Considere el polinomio 𝑷 𝒙 = 𝟐𝒙 𝟓 − 𝒙 𝟑 + 𝟐𝒙 + 𝟐 y calcule su valor
𝟐
numérico para 𝒙 = −𝟓, −𝟏, 𝟎,
𝟐
5. Calcular el valor numérico del polinomio 𝑷 𝒙 = −𝒙 𝟓 + 𝟓𝒙 𝟒 − 𝟕𝒙 𝟑 − 𝒙 𝟐 + 𝟖𝒙 − 𝟒
𝟏
cuando 𝒙 = −𝟑, − , − 𝟑
𝟐
6. Calcular el valor numérico del polinomio 𝑷 𝒙 = 𝟐𝒙 𝟓 + 𝟑 𝟑𝒙 𝟒 + 𝟕𝒙 𝟑 + 𝟐 𝟑𝒙 𝟐 −
𝟑𝒙 + 𝟑 𝟑 cuando 𝒙 = − 𝟑
7. Dados los polinomios 𝐷 𝑥 = 𝟔𝒙 𝟓 − 𝟑𝒙 𝟑 + 𝟖𝒙 𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟔 y 𝑑 𝑥 = 𝒙 𝟐 + 𝒙 + 𝟑,
obtener el cociente y el resto de la división
8. Para los polinomios 𝐷 𝑥 = 𝟔𝒙 𝟓 − 𝟑𝒙 𝟑 + 𝟖𝒙 𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟔 y 𝑑 𝑥 = 𝒙𝟐+ 𝒙+
𝟑,comprobar la propiedad fundamental de de la división
9. Dados los polinomios 𝐷 𝑥 = 𝟐𝒙 𝟑 + 𝟔𝒙 − 𝟒 y 𝑑 𝑥 = 𝒙 + 𝟒, obtener el cociente
y el resto de la división
10. Para los polinomios 𝐷 𝑥 = 𝟐𝒙 𝟑 + 𝟔𝒙 − 𝟒 y 𝑑 𝑥 = 𝒙 + 𝟒, comprobar la
propiedad fundamental de de la división
11. Dados los polinomios 𝐷 𝑥 = 𝟐𝒙 𝟑 − 𝟕𝒙 𝟐 + 𝟖𝒙 − 𝟑 y 𝑑 𝑥 = 𝑥 2 − 𝟐𝒙 + 𝟏, obtener
el cociente y el resto de la división
12. Para los polinomios 𝐷 𝑥 = 𝟐𝒙 𝟑 − 𝟕𝒙 𝟐 + 𝟖𝒙 − 𝟑 y 𝑑 𝑥 = 𝒙 𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟏,
comprobar la propiedad fundamental de de la división
13. Dados los polinomios 𝐷 𝑥 = 𝟐𝒙 𝟑 − 𝟒𝒙 𝟐 + 𝒙 − 𝟏 y 𝑑 𝑥 = 𝒙 + 𝟑, obtener el
cociente y el resto de la división
14. Para los polinomios 𝐷 𝑥 = 𝟐𝒙 𝟑 − 𝟒𝒙 𝟐 + 𝒙 − 𝟏 y 𝑑 𝑥 = 𝒙 + 𝟑, comprobar la
propiedad fundamental de de la división
2
3. IV. Regla de Ruffini:
Es un método que permite aplicar un conjunto de normas prácticas que
sirven para abreviar un poco el proceso de efectuar una división por el
método usual, siempre y cuando el divisor sea un binomio de la forma 𝑥 ± 𝑏
o 𝑎𝑥 ± 𝑏. El término que dividirá a cada coeficiente del dividiendo será
el opuesto del término independiente del divisor. Cabe destacar que antes
de proceder a dividir el polinomio por este método, hay que verificar que
el polinomio este completo y en caso de que no lo este, se debe
completar, como ya se ha visto en clase.
Por otra pare si el divisor es de la forma 𝑎𝑥 ± 𝑏, se debe proceder a
dividir el dividiendo y el divisor por el coeficiente de la variable que
es 𝑎 del divisor 𝑎𝑥 ± 𝑏. Si el polinomio posee fracciones y estas se
pueden simplificar hay que hacerlo ya que facilita la resolución de las
operaciones
Ejemplo:
CASO I: forma 𝑥 ± 𝑏
Dados los polinomios 𝑃 𝑥 = 𝑥 4 + 3𝑥 3 − 2𝑥 2 + 3 y 𝑄 𝑥 = 𝑥 + 2, hallar el cociente
y el resto aplicando la regla de Ruffini
1 3 −2 0 3
−2 −2 −2 8 −16
1 1 −4 8 −13
𝐶 𝑥 = 𝑥 3 + 𝑥 2 − 4𝑥 + 8 y el 𝑅 𝑥 = −13
CASO II: forma 𝑎𝑥 ± 𝑏
1
Dados los polinomios 𝑃 𝑥 = 10𝑥 2 − 7𝑥 + 5 y 𝑄 𝑥 = 2𝑥 + , hallar el cociente y
3
el resto aplicando la regla de Ruffini (El coeficiente 𝑎 es 2)
10𝑥 2 7𝑥 5 7𝑥 5
𝑃 𝑥 = 10𝑥 2 − 7𝑥 + 5 = − + = 5𝑥 2 − +
2 2 2 2 2
1
1 2𝑥 3 1
𝑄 𝑥 = 2𝑥 + = + = 𝑥+
3 2 2 6
7 5
5 −
−1 2 2
5 13
6 -
6 18
13 29
5 −
3 9
13 29
𝐶 𝑥 = 5𝑥 − 3
y el 𝑅 𝑥 = 9
CASO III: cuando el divisor es de grado mayor que 1
3
4. Dados los polinomios 𝑃 𝑥 = 3𝑥 12 − 10𝑥 6 + 7𝑥 3 + 6 y 𝑄 𝑥 = 𝑥 3 + 2 hallar el
cociente y el resto aplicando la regla de Ruffini (se divide el primer
termino del divisor entre cada término del dividendo excepto el término
independiente y el primer termino del divisor entre el mismo. Y al
obtener el cociente los exponentes se multiplican por el exponente del
primer término del divisor)
3
12
3𝑥 12 10𝑥 6 7𝑥
𝑃 𝑥 = 3𝑥 − 10𝑥 + 7𝑥 = 3 − 3 + 3 = 3𝑥 4 − 10𝑥 2 + 7𝑥
6 3
𝑥 𝑥 𝑥
3 0 -10 7 6
−2 -6 12 -4 -6
3 -6 2 3 0
𝐶 𝑥 = 3𝑥 3 − 6𝑥 2 + 2𝑥 + 3 → 𝐶 𝑥 = 3𝑥 9 − 6𝑥 6 + 2𝑥 3 + 3 y el 𝑅 𝑥 = 0
II.- Ejercicios Propuestos
1. Aplicar la Regla de Ruffini para hallar el cociente y el resto de
las siguientes divisiones:
a) 𝑃 𝑥 = 𝑥 5 − 𝑥 2 + 3𝑥 + 2 ÷ 𝑄 𝑥 = 𝑥 − 2
2 1 5
b) 𝑃 𝑥 = −𝑥 3 + 3 𝑥 2 − 3 𝑥 − 4 ÷ 𝑄 𝑥 = 𝑥 − 2
1
c) 𝑃 𝑥 = 𝑥 3 − 3𝑥 2 + 2𝑥 ÷ 𝑄 𝑥 = 2𝑥 − 2
d) 𝑃 𝑥 = 2𝑥 3 − 5𝑥 2 + 3 ÷ 𝑄 𝑥 = 2𝑥 + 3
e) 𝑃 𝑥 = 𝑥 4 − 3𝑥 2 + 2𝑥 ÷ 𝑄 𝑥 = 3𝑥 + 2
f) 𝑃 𝑥 = 3𝑥 3 − 𝑥 2 + 1 ÷ 𝑄 𝑥 = 3𝑥 − 2
g) 𝑃 𝑥 = 3𝑥 4 + 3𝑥 3 − 6𝑥 2 + 2𝑥 − 8 ÷ 𝑄 𝑥 = 𝑥 + 3
𝑥3 2 1
h) 𝑃 𝑥 = 2
+ 𝑥2 + 3 ÷ 𝑄 𝑥 = 𝑥 + 2
i) 𝑃 𝑥 = 5𝑥 8 − 𝑥 6 + 𝑥 4 − 𝑥 2 + 1 ÷ 𝑄 𝑥 = 𝑥 2 − 1
j) 𝑃 𝑥 = 𝑥 6 − 7𝑥 4 − 4𝑥 2 + 1 ÷ 𝑄 𝑥 = 𝑥 2 − 1
k) 𝑃 𝑥 = 3𝑥 18 − 𝑥 6 + 2 ÷ 𝑄 𝑥 = 𝑥 6 − 2
𝑥3 1 1
l) 𝑃 𝑥 = 2
+ 𝑥2 + 2 ÷ 𝑄 𝑥 = 𝑥 − 2
4