Este documento presenta una guía de trabajo sobre sucesiones y series numéricas para el curso de cálculo integral. Explica conceptos teóricos como definiciones de sucesiones, convergencia, límites, y propiedades. Incluye ejemplos y ejercicios propuestos para que los estudiantes practiquen el análisis de la convergencia de sucesiones y cálculo de límites. Finalmente, proporciona referencias bibliográficas para profundizar en el tema.

1. Proyecto de Mejoramiento Académico – Cálculo integral A
VICEDECANATURA DE CIENCIAS
PROYECTO DE MEJORAMIENTO ACADÉMICO
Guía de trabajo
Sucesiones y series
INSTITUTO TECNOLÓGICO
METROPOLITANO Cálculo Integral 2009-II
Institución Universitaria adscrita a la
Alcaldía de Medellín
ESTIMADO ESTUDIANTE: El Proyecto de Mejoramiento Académico busca que usted
comparta un espacio con compañeros y profesores en donde se vivencien
experiencias y métodos de estudio efectivos y el trabajo independiente se convierta
en una disciplina y una actitud interior. En ese sentido, estas guías se constituyen en
un APOYO a dicho trabajo.
COMPETENCIA
Comprender y aplicar el concepto de serie numérica para modelar y dar la solución a
problemas en distintos contextos
INDICADOR DE LOGRO
Analizar la convergencia o divergencia de una sucesión de números reales.
NOTA
Asegúrese de entender todos los conceptos y saber que restricciones existen en las
definiciones para evitar ideas erróneas.
CONCEPTOS TEÓRICOS BÁSICOS
Una sucesión se puede pensar como una lista de números escritos en orden definido:
, donde es el primer término, es el segundo, es el n-ésimo
término.
Notación: La sucesión también se denotará por o
Ejemplo 1. Algunas sucesiones se pueden definir mediante una fórmula para el n-
ésimo término, así se tienen:
a. , donde, y la sucesión es
b. , donde, y la sucesión es
Ejemplo 2. Algunas sucesiones no tienen una ecuación definitoria sencilla. Tal es el
caso de la sucesión de Fibonacci , dada de manera recurrente por:
. Cada término es la suma de los anteriores.
Los primeros términos son:
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2. Proyecto de Mejoramiento Académico – Cálculo integral A
Definición: Una sucesión tiene límite L y se escribe =L o cuando
.
Si para existe un entero correspondiente N tal que siempre que
n>N.
Si el límite existe se dice que la sucesión converge (o que es convergente). Si no es
así, se dice que la sucesión diverge (o que es divergente).
Teorema Si y , donde n es un entero, entonces
Nota: Si , entonces la sucesión es divergente.
Ejemplo 3 La sucesión es divergente ya que .
Propiedades de las sucesiones convergentes
Sean y sucesiones convergentes y c una constante, entonces
1.
2.
3.
4. , si
El teorema del emparedado también se puede adaptar para sucesiones en la siguiente
forma.
Teorema Si , para n y entonces
.
Otro hecho de utilidad respecto a los límites de las sucesiones se establece en el
teorema siguiente.
Teorema Si entonces
Ejemplos
a. Determine
Dividamos el numerador y el denominador por la potencia más alta de n y
utilicemos las leyes de los límites
b. Calcule
Note que el denominador y numerador y denominador se van par infinito
conforme . La regla de L´Hospital no se puede aplicar en forma directa.
Sin embargo podemos aplicarla a la función relacionada y obtener:
Por lo tanto tenemos
c. Determine si la sucesión converge o diverge.
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3. Proyecto de Mejoramiento Académico – Cálculo integral A
Si escribimos los términos de la sucesión tendremos , ya
que los términos de la sucesión oscilan entre -1 y 1 infinidad de veces, no se
aproxima a ningún número; como consecuencia el no existe; es
decir, la sucesión diverge.
d. Evalúe en caso de que exista
Aplicando un teorema visto antes tenemos
Por tanto,
El siguiente teorema establece un criterio para las sucesiones llamadas geométricas
Teorema La sucesión converge si y diverge para los demás valores
de r.
Ejemplo 4
a. La sucesión , diverge ya que >1
b. En cambio converge a cero, ya que
Definición Una sucesión se llama creciente si par todo n>1, en otras
palabras Se llama decreciente si para todo n>1. Una
sucesión es monótona si es creciente o decreciente.
Ejemplo 5 La sucesión es decreciente por que
Definición Una sucesión está acotada por arriba si existe un número M tal que
para todo n>1. Y está acotada por abajo si existe un número m tal que
para todo n>1. Si está acotada por arriba y por abajo se dice que está acotada.
Y se tiene el siguiente teorema.
Teorema toda sucesión acotada y monótona es convergente
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Haga una lista de los 5 primeros términos
a.
b.
c.
2. Determine si la sucesión converge o diverge
a.
b.
c.
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4. Proyecto de Mejoramiento Académico – Cálculo integral A
d.
e.
f.
g.
h.
i.
j.
k.
l.
m.
3. Determine si la sucesión es creciente , decreciente o no
a.
b.
c.
d.
4. Demuestre que la sucesión definida por
Satisface que que es decreciente. Deduzca que la sucesión es
decreciente y determine su límite.
5. Halle el límite de la sucesión
BIBLIOGRAFÍA
DOWLING, Edward T., Cálculo para administración, economía y ciencias
sociales. Primera edición. Bogotá: Mc. Graw Hill, 1992.
HOFFMAN, Laurence D. y BRADLEY, Gerard L. Cálculo para
administración, economía y ciencias sociales. Sexta edición. Bogotá: Mc.
Graw Hill, 1998.
LEITHOLD, Louis. El Cálculo con geometría analítica. 7a edición. México:
Oxford University, 2003.
PURCELL, Edwin J. y DALE, Varberg. Cálculo con geometría analítica.
Sexta edición. México: Prentice Hall Hispanoaméricana, 1992.
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5. Proyecto de Mejoramiento Académico – Cálculo integral A
STEIN, Sherman K. y BARCELLOS, Anthony. Cálculo y geometría analítica.
Quinta edición. Bogotá: Mc. Graw Hill, 1994.
STEWART, James. Cálculo: Conceptos y contextos. Tercera edición.
Bogotá: Thompson editores, 1999
http://www.branchingnature.org/Sucesiones_Series_Dario_Sanchez.pdf
http://apuntes.rincondelvago.com/sucesiones-y-series-numericas.html
http://www.elprisma.com/apuntes/curso.asp?id=8468
http://mathforum.org/library/drmath/sets/high_seq_series.html
http://library.thinkquest.org/C0110248/algebra/apgpintro.htm
http://www.mathsisfun.com/algebra/sequences-series.html
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