Este documento presenta una introducción a las funciones exponenciales. Explica que son una de las familias de funciones más importantes en matemáticas debido a sus múltiples aplicaciones. Define formalmente una función exponencial y provee ejemplos. Muestra gráficas de funciones exponenciales comunes y resume sus propiedades clave como tener un dominio de números reales y un rango de números reales positivos. Finalmente, discute cómo se pueden transformar funciones exponenciales a través de traslaciones, reflexiones, estiramientos y contracciones.
Este documento introduce las funciones exponenciales, definidas como f(x) = bx donde b es una constante positiva distinta de 1. Explica que estas funciones tienen dominio en los números reales y rango en los números reales positivos. Muestra ejemplos de gráficas de funciones exponenciales y cómo se pueden transformar mediante traslaciones, reflexiones y estiramientos/contracciones. Finalmente, explica cómo resolver ecuaciones exponenciales igualando las bases.
Este documento describe las funciones y sus conceptos fundamentales. Explica que una función es una relación entre dos conjuntos donde a cada elemento del primer conjunto se le asigna un único elemento del segundo conjunto. Luego define conceptos como dominio, recorrido, funciones crecientes, decrecientes y constantes. También describe funciones continuas, discontinuas y periódicas. Finalmente, explica los tipos de funciones lineales y cuadráticas.
El documento contiene 10 ejercicios de álgebra que involucran resolver ecuaciones y desigualdades cuadráticas y encontrar intervalos de solución. Los ejercicios cubren temas como encontrar intervalos de solución, resolver sistemas de ecuaciones, y determinar el número de soluciones reales de una ecuación cuadrática.
Este documento presenta varios ejercicios de logaritmos. El Ejercicio 1 consiste en calcular el valor de x en expresiones logarítmicas. El Ejercicio 2 implica calcular el valor de expresiones logarítmicas. El Ejercicio 3 pide hallar logaritmos decimales conocidos los valores de log 2 y log 3. El Ejercicio 4 trata de calcular valores de expresiones logarítmicas dados log 2 y log 3. El Ejercicio 5 consiste en resolver ecuaciones logarítmicas. Finalmente, el Ejercicio
Este documento presenta 12 problemas de álgebra que involucran la factorización de polinomios utilizando diferentes casos como factores comunes, diferencia de cuadrados, suma y resta de cubos y más. Se pide resolver cada problema indicando qué caso de factorización se aplicó.
Este documento presenta las funciones exponenciales y logaríticas. Explica que la función exponencial con base a se define para todos los números reales x y que las funciones exponenciales más comunes son las de base 2, 3, 10 y e. También define la función logarítmica y explica que el logaritmo en base a de un número x es el número y tal que a elevado a y es igual a x. Además, resume algunas aplicaciones como el crecimiento poblacional, la desintegración radiactiva y el pH.
Este documento presenta un taller sobre operaciones con vectores. Contiene 7 secciones con ejercicios para determinar la magnitud y dirección de vectores individuales y resultado de operaciones entre vectores, incluyendo suma, resta, multiplicación por escalares, producto escalar y uso del paralelogramo. El objetivo es practicar diferentes cálculos matemáticos con vectores.
Taller de ejercicios sobre tabulación, graficación, hallar el vértice y los puntos de corte de una función cuadrática haciendo uso de algunos casos de factorización y la formula cuadrática.
Este documento introduce las funciones exponenciales, definidas como f(x) = bx donde b es una constante positiva distinta de 1. Explica que estas funciones tienen dominio en los números reales y rango en los números reales positivos. Muestra ejemplos de gráficas de funciones exponenciales y cómo se pueden transformar mediante traslaciones, reflexiones y estiramientos/contracciones. Finalmente, explica cómo resolver ecuaciones exponenciales igualando las bases.
Este documento describe las funciones y sus conceptos fundamentales. Explica que una función es una relación entre dos conjuntos donde a cada elemento del primer conjunto se le asigna un único elemento del segundo conjunto. Luego define conceptos como dominio, recorrido, funciones crecientes, decrecientes y constantes. También describe funciones continuas, discontinuas y periódicas. Finalmente, explica los tipos de funciones lineales y cuadráticas.
El documento contiene 10 ejercicios de álgebra que involucran resolver ecuaciones y desigualdades cuadráticas y encontrar intervalos de solución. Los ejercicios cubren temas como encontrar intervalos de solución, resolver sistemas de ecuaciones, y determinar el número de soluciones reales de una ecuación cuadrática.
Este documento presenta varios ejercicios de logaritmos. El Ejercicio 1 consiste en calcular el valor de x en expresiones logarítmicas. El Ejercicio 2 implica calcular el valor de expresiones logarítmicas. El Ejercicio 3 pide hallar logaritmos decimales conocidos los valores de log 2 y log 3. El Ejercicio 4 trata de calcular valores de expresiones logarítmicas dados log 2 y log 3. El Ejercicio 5 consiste en resolver ecuaciones logarítmicas. Finalmente, el Ejercicio
Este documento presenta 12 problemas de álgebra que involucran la factorización de polinomios utilizando diferentes casos como factores comunes, diferencia de cuadrados, suma y resta de cubos y más. Se pide resolver cada problema indicando qué caso de factorización se aplicó.
Este documento presenta las funciones exponenciales y logaríticas. Explica que la función exponencial con base a se define para todos los números reales x y que las funciones exponenciales más comunes son las de base 2, 3, 10 y e. También define la función logarítmica y explica que el logaritmo en base a de un número x es el número y tal que a elevado a y es igual a x. Además, resume algunas aplicaciones como el crecimiento poblacional, la desintegración radiactiva y el pH.
Este documento presenta un taller sobre operaciones con vectores. Contiene 7 secciones con ejercicios para determinar la magnitud y dirección de vectores individuales y resultado de operaciones entre vectores, incluyendo suma, resta, multiplicación por escalares, producto escalar y uso del paralelogramo. El objetivo es practicar diferentes cálculos matemáticos con vectores.
Taller de ejercicios sobre tabulación, graficación, hallar el vértice y los puntos de corte de una función cuadrática haciendo uso de algunos casos de factorización y la formula cuadrática.
Ejercicios resueltos ecuacion de la rectaMagiserio
Este documento contiene varios ejercicios resueltos sobre ecuaciones de rectas. Incluye problemas sobre hallar la ecuación de una recta a partir de dos puntos, clasificar triángulos, estudiar la posición relativa de rectas, encontrar vértices faltantes de figuras geométricas conocidos otros datos, y calcular ecuaciones y longitudes de diagonales de paralelogramos.
El documento presenta varios problemas resueltos sobre factorización de polinomios cuando todos los términos tienen un factor común. Se explica cómo identificar el factor común y escribir el polinomio factorizado colocando el factor común como coeficiente de un paréntesis dentro del cual se escriben los cocientes de dividir cada término entre el factor común. Se resuelven 21 problemas como ejemplos de esta técnica de factorización.
Ejercicios resueltos de tablas de verdadpaquitogiron
Este documento presenta ejercicios resueltos relacionados con lógica proposicional. Incluye tablas de verdad, simplificación de expresiones lógicas usando leyes como distribución, doble negación y absorción, demostración de equivalencias lógicas, refutación de proposiciones, traducción de oraciones a lenguaje simbólico y demostración de validez/consistencia. Los ejercicios abarcan temas como tablas de verdad, simplificación, equivalencias y refutación de propos
El documento presenta varios ejercicios sobre conjuntos. En el ejercicio 1, se piden determinar conjuntos dados ciertas condiciones. En el ejercicio 2, se piden determinar conjuntos dados por comprensión. En el ejercicio 3, se piden representar relaciones entre conjuntos en diagramas de Venn. Finalmente, los ejercicios 4 al 9 continúan trabajando con conjuntos bajo diferentes condiciones.
Este documento presenta un taller de física sobre trabajo, potencia y energía. Contiene 13 problemas que involucran calcular el trabajo realizado al mover un cuerpo aplicando una fuerza a cierta distancia o altura, considerando la masa del cuerpo y los valores numéricos dados. Los resultados deben expresarse en julios y ergios.
Este documento presenta una guía de prácticas de álgebra que incluye ejercicios para resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos y tres incógnitas utilizando diferentes métodos como sustitución, igualación, reducción y Cramer. También incluye ejercicios para plantear ecuaciones a partir de descripciones verbales de problemas.
Este documento presenta varios problemas de notación científica y operaciones matemáticas. Se piden expresar números en notación científica, realizar operaciones como sumas y multiplicaciones en esta notación, y resolver problemas que involucran conceptos como la velocidad de la luz, distancias astronómicas, y conversiones de unidades. Las soluciones se proveen al final en notación científica.
Este documento presenta 10 preguntas de selección múltiple sobre conceptos de física como movimiento rectilíneo uniformemente variado, caída libre vertical, aceleración y velocidad. Las preguntas involucran cálculos para determinar distancias, tiempos, velocidades y aceleraciones en diferentes escenarios de movimiento como autos frenando, objetos lanzados verticalmente y móviles acelerando.
Solución de ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto.AbyDialy0804
1. El documento presenta teoremas y ejemplos para resolver ecuaciones y desigualdades con valor absoluto. Incluye temas como conjuntos de soluciones vacíos y el conjunto de todos los números reales.
2. Se explican cinco teoremas para resolver ecuaciones y desigualdades con valor absoluto en función de si la expresión es igual a un número positivo, negativo o cero.
3. Se incluyen 30 ejercicios resueltos como ejemplos para aplicar los teoremas.
El documento describe diferentes operaciones matemáticas con funciones, incluyendo suma, resta, producto, cociente y composición. Explica que la suma de funciones f(x) y g(x) es f(x)+g(x), la resta es f(x)-g(x), y el producto es f(x)×g(x). También define la composición de funciones f(g(x)) como aplicar primero g(x) y luego f(x) al resultado. Proporciona ejemplos para ilustrar cada operación.
Este documento presenta ejercicios sobre funciones lineales y afines. Se pide determinar si funciones dadas son lineales o afines, calcular pendientes, obtener ecuaciones de rectas a partir de puntos dados, y representar gráficamente funciones. También se piden detalles sobre posiciones relativas y puntos de corte de rectas.
Ejercicios y soluciones de funciones linealescepa_los_llanos
El documento contiene 25 ejercicios de funciones lineales. Los ejercicios involucran representar gráficamente rectas dadas por sus ecuaciones, determinar la pendiente de rectas, y obtener la ecuación de rectas dados ciertos puntos o condiciones. También incluye ejercicios de conversión entre grados Celsius y Fahrenheit usando una función lineal.
Este documento presenta una serie de ejercicios sobre productos notables que involucran binomios, trinomios y expresiones algebraicas. Los ejercicios 1 y 2 piden calcular cuadrados de binomios y productos de binomios. Los ejercicios 3 y 4 piden expresar expresiones en forma de producto y simplificar expresiones algebraicas utilizando productos notables. El ejercicio 5 pide descomponer expresiones en factores y simplificar.
Este documento presenta diferentes identidades trigonométricas fundamentales y auxiliares, así como fórmulas para la suma y diferencia de ángulos. Incluye identidades pitagóricas, de cociente, reciprocas y adicionales. También cubre fórmulas para Sen(x ± y), Cos(x ± y), Tg(x ± y) y Ctg(x ± y), así como fórmulas auxiliares para la suma y diferencia de ángulos. Por último, ofrece consideraciones para resolver problemas con identidades trigonométricas.
Este documento describe las funciones potencia entera negativa n-1 y n-2. Explica que estas funciones tienen la forma f(x)=xn donde n es un número entero negativo. Las funciones n-1 y n-2 son las más relevantes. El objetivo es que los estudiantes aprendan a identificar y diferenciar estas funciones, entiendan sus conceptos básicos y sean capaces de resolver problemas aplicados a este tema. También establece las diferencias entre las gráficas de estas funciones y la función raíz cuadrada.
Los ejercicios son buenos para la salud física y mental. Realizar actividad regularmente ayuda a mantener un peso saludable y reduce el riesgo de enfermedades. Caminar, nadar, correr y montar en bicicleta son opciones de ejercicio que cualquier persona puede incorporar a su rutina diaria.
Tema 15 Funciones Exponenciales Y Logaritmicaspitipoint
Este documento describe las características y propiedades de las funciones exponenciales y logarítmicas. Explica que las funciones exponenciales tienen dominio en los reales y recorrido en los reales positivos, mientras que las funciones logarítmicas tienen dominio en los reales positivos y recorrido en los reales. También analiza cómo varían las gráficas de estas funciones dependiendo de si la base es mayor o menor que 1.
Este documento presenta varios ejercicios sobre cálculo de límites indeterminados. En la actividad 1, se pide identificar cuáles expresiones tienen límites indeterminados de la forma 0/0 y racionalizarlas y factorizarlas para poder calcular el límite. En la actividad 2, se pide calcular varios límites eliminando las indeterminaciones y hallar límites de funciones. Finalmente, se piden resolver más límites incluyendo algunos con funciones.
El documento presenta una introducción a las funciones exponenciales. Define una función exponencial como una función de la forma f(x)=b^x donde b es una constante real positiva distinta de 1. Explica que el dominio es el conjunto de los números reales y el rango son los números reales positivos. A continuación, muestra ejemplos de funciones exponenciales con diferentes bases y sus correspondientes gráficas.
Este documento presenta 17 ejercicios de álgebra y cálculo para ser completados y entregados el próximo martes. Los ejercicios incluyen tareas como graficar funciones, encontrar ecuaciones de rectas, determinar dominios y rangos de funciones, evaluar funciones compuestas, y operaciones básicas con funciones.
Ejercicios resueltos ecuacion de la rectaMagiserio
Este documento contiene varios ejercicios resueltos sobre ecuaciones de rectas. Incluye problemas sobre hallar la ecuación de una recta a partir de dos puntos, clasificar triángulos, estudiar la posición relativa de rectas, encontrar vértices faltantes de figuras geométricas conocidos otros datos, y calcular ecuaciones y longitudes de diagonales de paralelogramos.
El documento presenta varios problemas resueltos sobre factorización de polinomios cuando todos los términos tienen un factor común. Se explica cómo identificar el factor común y escribir el polinomio factorizado colocando el factor común como coeficiente de un paréntesis dentro del cual se escriben los cocientes de dividir cada término entre el factor común. Se resuelven 21 problemas como ejemplos de esta técnica de factorización.
Ejercicios resueltos de tablas de verdadpaquitogiron
Este documento presenta ejercicios resueltos relacionados con lógica proposicional. Incluye tablas de verdad, simplificación de expresiones lógicas usando leyes como distribución, doble negación y absorción, demostración de equivalencias lógicas, refutación de proposiciones, traducción de oraciones a lenguaje simbólico y demostración de validez/consistencia. Los ejercicios abarcan temas como tablas de verdad, simplificación, equivalencias y refutación de propos
El documento presenta varios ejercicios sobre conjuntos. En el ejercicio 1, se piden determinar conjuntos dados ciertas condiciones. En el ejercicio 2, se piden determinar conjuntos dados por comprensión. En el ejercicio 3, se piden representar relaciones entre conjuntos en diagramas de Venn. Finalmente, los ejercicios 4 al 9 continúan trabajando con conjuntos bajo diferentes condiciones.
Este documento presenta un taller de física sobre trabajo, potencia y energía. Contiene 13 problemas que involucran calcular el trabajo realizado al mover un cuerpo aplicando una fuerza a cierta distancia o altura, considerando la masa del cuerpo y los valores numéricos dados. Los resultados deben expresarse en julios y ergios.
Este documento presenta una guía de prácticas de álgebra que incluye ejercicios para resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos y tres incógnitas utilizando diferentes métodos como sustitución, igualación, reducción y Cramer. También incluye ejercicios para plantear ecuaciones a partir de descripciones verbales de problemas.
Este documento presenta varios problemas de notación científica y operaciones matemáticas. Se piden expresar números en notación científica, realizar operaciones como sumas y multiplicaciones en esta notación, y resolver problemas que involucran conceptos como la velocidad de la luz, distancias astronómicas, y conversiones de unidades. Las soluciones se proveen al final en notación científica.
Este documento presenta 10 preguntas de selección múltiple sobre conceptos de física como movimiento rectilíneo uniformemente variado, caída libre vertical, aceleración y velocidad. Las preguntas involucran cálculos para determinar distancias, tiempos, velocidades y aceleraciones en diferentes escenarios de movimiento como autos frenando, objetos lanzados verticalmente y móviles acelerando.
Solución de ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto.AbyDialy0804
1. El documento presenta teoremas y ejemplos para resolver ecuaciones y desigualdades con valor absoluto. Incluye temas como conjuntos de soluciones vacíos y el conjunto de todos los números reales.
2. Se explican cinco teoremas para resolver ecuaciones y desigualdades con valor absoluto en función de si la expresión es igual a un número positivo, negativo o cero.
3. Se incluyen 30 ejercicios resueltos como ejemplos para aplicar los teoremas.
El documento describe diferentes operaciones matemáticas con funciones, incluyendo suma, resta, producto, cociente y composición. Explica que la suma de funciones f(x) y g(x) es f(x)+g(x), la resta es f(x)-g(x), y el producto es f(x)×g(x). También define la composición de funciones f(g(x)) como aplicar primero g(x) y luego f(x) al resultado. Proporciona ejemplos para ilustrar cada operación.
Este documento presenta ejercicios sobre funciones lineales y afines. Se pide determinar si funciones dadas son lineales o afines, calcular pendientes, obtener ecuaciones de rectas a partir de puntos dados, y representar gráficamente funciones. También se piden detalles sobre posiciones relativas y puntos de corte de rectas.
Ejercicios y soluciones de funciones linealescepa_los_llanos
El documento contiene 25 ejercicios de funciones lineales. Los ejercicios involucran representar gráficamente rectas dadas por sus ecuaciones, determinar la pendiente de rectas, y obtener la ecuación de rectas dados ciertos puntos o condiciones. También incluye ejercicios de conversión entre grados Celsius y Fahrenheit usando una función lineal.
Este documento presenta una serie de ejercicios sobre productos notables que involucran binomios, trinomios y expresiones algebraicas. Los ejercicios 1 y 2 piden calcular cuadrados de binomios y productos de binomios. Los ejercicios 3 y 4 piden expresar expresiones en forma de producto y simplificar expresiones algebraicas utilizando productos notables. El ejercicio 5 pide descomponer expresiones en factores y simplificar.
Este documento presenta diferentes identidades trigonométricas fundamentales y auxiliares, así como fórmulas para la suma y diferencia de ángulos. Incluye identidades pitagóricas, de cociente, reciprocas y adicionales. También cubre fórmulas para Sen(x ± y), Cos(x ± y), Tg(x ± y) y Ctg(x ± y), así como fórmulas auxiliares para la suma y diferencia de ángulos. Por último, ofrece consideraciones para resolver problemas con identidades trigonométricas.
Este documento describe las funciones potencia entera negativa n-1 y n-2. Explica que estas funciones tienen la forma f(x)=xn donde n es un número entero negativo. Las funciones n-1 y n-2 son las más relevantes. El objetivo es que los estudiantes aprendan a identificar y diferenciar estas funciones, entiendan sus conceptos básicos y sean capaces de resolver problemas aplicados a este tema. También establece las diferencias entre las gráficas de estas funciones y la función raíz cuadrada.
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Tema 15 Funciones Exponenciales Y Logaritmicaspitipoint
Este documento describe las características y propiedades de las funciones exponenciales y logarítmicas. Explica que las funciones exponenciales tienen dominio en los reales y recorrido en los reales positivos, mientras que las funciones logarítmicas tienen dominio en los reales positivos y recorrido en los reales. También analiza cómo varían las gráficas de estas funciones dependiendo de si la base es mayor o menor que 1.
Este documento presenta varios ejercicios sobre cálculo de límites indeterminados. En la actividad 1, se pide identificar cuáles expresiones tienen límites indeterminados de la forma 0/0 y racionalizarlas y factorizarlas para poder calcular el límite. En la actividad 2, se pide calcular varios límites eliminando las indeterminaciones y hallar límites de funciones. Finalmente, se piden resolver más límites incluyendo algunos con funciones.
El documento presenta una introducción a las funciones exponenciales. Define una función exponencial como una función de la forma f(x)=b^x donde b es una constante real positiva distinta de 1. Explica que el dominio es el conjunto de los números reales y el rango son los números reales positivos. A continuación, muestra ejemplos de funciones exponenciales con diferentes bases y sus correspondientes gráficas.
Este documento presenta 17 ejercicios de álgebra y cálculo para ser completados y entregados el próximo martes. Los ejercicios incluyen tareas como graficar funciones, encontrar ecuaciones de rectas, determinar dominios y rangos de funciones, evaluar funciones compuestas, y operaciones básicas con funciones.
Este documento presenta ejemplos y ejercicios sobre límites de funciones y continuidad. En la primera sección, se calculan límites de funciones racionales cuando el denominador se hace cero. Luego, se analiza la continuidad de cuatro funciones mediante su representación gráfica. Más adelante, se comprueba que una función se aproxima a una recta cuando x tiende a infinito. Finalmente, se calculan varios límites de funciones racionales, polinómicas y trigonométricas en diferentes puntos.
Este examen de secciones cónicas consta de 6 secciones con un total de 125 puntos. Se pide graficar e identificar ecuaciones de secciones cónicas dadas, escribir ecuaciones de secciones cónicas dados puntos y elementos geométricos, y graficar y marcar elementos de elipses, hipérbolas y parábolas. Se deben seguir instrucciones específicas para la presentación y el uso de graficador.
Este documento presenta información sobre funciones exponenciales. Introduce las funciones exponenciales y sus aplicaciones en matemáticas, administración de empresas y ciencias naturales. Luego, define las funciones exponenciales, sus dominios y rangos, y proporciona ejemplos de trazar gráficas de funciones exponenciales y resumir sus propiedades. Finalmente, discute las transformaciones de funciones exponenciales a través de traslaciones, reflexiones, estiramientos y contracciones.
Este documento describe las funciones cuadráticas y sus aplicaciones. Las funciones cuadráticas permiten describir fenómenos en diversas ciencias como la biología, física, economía y astronomía. Históricamente, las ecuaciones cuadráticas se usaban para estudiar la trayectoria parabólica de proyectiles. El documento explica cómo construir gráficamente una función cuadrática identificando sus raíces, eje de simetría y vértice.
El documento describe las funciones exponenciales, incluyendo su definición, ejemplos de funciones exponenciales comunes y sus gráficas, y cómo se pueden transformar mediante traslaciones, reflexiones y estiramientos. También incluye ejercicios para trazar gráficas de funciones exponenciales y resolver ecuaciones exponenciales.
El documento describe las funciones exponenciales, incluyendo su definición, ejemplos de funciones exponenciales comunes y sus gráficas, y cómo se pueden transformar mediante traslaciones, reflexiones y estiramientos. También incluye ejercicios para trazar gráficas de funciones exponenciales y resolver ecuaciones exponenciales.
Este documento describe la función de dominio partido para el cargo mensual de servicio de Internet. La función consta de tres ecuaciones que determinan el cargo según el número de horas de consumo: hasta 50 horas es gratis, de 50 a 100 horas cuesta $0.25 por hora, y a partir de 100 horas cuesta $1 por hora. Al consumir 135 horas en un mes, el cargo sería $65.50.
Este documento presenta la resolución de dos ejercicios que involucran encontrar la ecuación de una línea recta. En el primer ejercicio, se encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto A(2,5) y tiene una pendiente m=2, resultando en la ecuación y=2x+1. En el segundo ejercicio, se grafican los puntos C(1,6) y D(-1,6) y se calcula la pendiente m=0, determinando que la ecuación de la recta es simplemente y=6.
1) Las funciones exponenciales f(x)=ax son siempre positivas cuando a>0. Si a>1 son crecientes y si 0<a<1 son decrecientes.
2) Las funciones exponenciales y logarítmicas con la misma base a son inversas, por lo que f(-1)=g(x) y g(-x)=f(x).
3) Para resolver una ecuación exponencial de la forma ax=b se aplica el logaritmo en la misma base a ambos lados, obteniendo x=logab.
Este documento describe los tipos básicos de funciones y cómo graficarlas. Explica que las funciones se pueden clasificar como polinómicas, racionales, trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. Luego se enfoca en graficar funciones polinómicas y racionales, describiendo sus características como máximos, mínimos y puntos de inflexión. Finalmente, indica que las funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas se explicarán con más detalle posteriormente.
Este documento describe la función cuadrática f(x)=ax^2+bx+c. Explica que la función cuadrática general se representa como una parábola y que el caso particular de f(x)=x^2 solo ocurre cuando a=1, b=c=0. También describe las características comunes de todas las funciones cuadráticas como ser simétricas con respecto a un eje vertical y tener un vértice que representa el valor máximo o mínimo. Finalmente, muestra cómo graficar una función cuadrática y hallar sus soluciones, vértice
El documento explica las funciones polinomiales, definidas como funciones cuya expresión contiene términos de potencias de la variable x. Se indica que una función polinomial de grado n contiene términos hasta xn. Se proveen ejemplos de funciones lineales, cuadráticas y cúbicas, así como funciones racionales y trascendentes. Además, se resuelven dos ejemplos completos que incluyen graficar funciones polinomiales dadas y determinar sus dominios e intersecciones con los ejes.
Este documento presenta un examen de matemáticas para el segundo grado que contiene 7 preguntas sobre sucesiones, geometría, álgebra y gráficas. Las preguntas incluyen calcular el valor de x en un problema geométrico, escribir una expresión algebraica para calcular el costo de llamadas adicionales basado en un plan de telefonía celular y seleccionar la familia de rectas representada en gráficas.
Este documento presenta una guía de estudio sobre ecuaciones lineales y cuadráticas. Incluye cinco actividades con ejercicios para resolver ecuaciones de primer y segundo grado, así como problemas relacionados. También contiene una sección de evaluación con más ejercicios y preguntas sobre conceptos básicos de ecuaciones.
Este documento presenta varios ejercicios sobre cálculo de límites. En el primer ejercicio, se pide calcular límites a partir de gráficas de funciones. En el segundo, se calculan límites inmediatos de funciones. En el tercero, se calculan límites e interpretan geométricamente los resultados. Finalmente, en el cuarto ejercicio, se pide calcular límites adicionales de funciones.
El documento describe las funciones exponenciales y logarítmicas. Explica que una función exponencial toma la forma f(x)=bx, donde b es la base y x es la variable independiente. Muestra ejemplos de funciones exponenciales como f(x)=2x y cómo se grafican. También introduce conceptos como crecimiento y decaimiento exponencial.
The document contains solutions to two logarithmic equations:
1) log3(2x - 1) = 2, which is solved to find x = 5
2) log(x + 6) = 1 + log(x - 3), which uses logarithmic properties and algebraic manipulations to solve for x = 4
It then continues working through additional steps involving natural logarithms to solve a related problem.
Este documento presenta una evaluación de trigonometría analítica con 10 secciones. La primera sección pide determinar valores de funciones trigonométricas dados ciertos parámetros. La segunda sección encuentra valores faltantes de funciones trigonométricas. Las secciones 3 a 6 contienen problemas de simplificación, expresión y demostración de identidades trigonométricas. Las secciones 7 a 9 piden determinar valores de funciones trigonométricas compuestas. La décima sección resuelve ecuaciones trigonométricas.
El documento presenta un mapa conceptual sobre las identidades trigonométricas y su relación con la trigonometría analítica. Se definen identidades para la suma y diferencia de ángulos, así como relaciones pitagóricas, recíprocas y por cociente. Además, se indica que las identidades trigonométricas se pueden usar para resolver ecuaciones trigonométricas y representar números complejos en forma trigonométrica.
Este documento contiene ejercicios sobre funciones exponenciales y logarítmicas. Incluye problemas para completar tablas, expresar ecuaciones en diferentes formas y graficar funciones. También contiene ejercicios sobre aplicaciones como la temperatura, la escala Richter de terremotos y la presión atmosférica. El documento prepara al estudiante para una evaluación sobre funciones exponenciales y logarítmicas.
Este documento presenta una evaluación de matemáticas que incluye 11 preguntas sobre funciones exponenciales y logarítmicas. Las preguntas cubren temas como gráficas de funciones, tablas de valores, resolución de ecuaciones y aplicaciones como el crecimiento exponencial de bacterias.
Este documento presenta información sobre tsunamis, incluyendo su definición, causas, velocidad de propagación, altura y longitud de onda. También incluye ecuaciones que modelan la velocidad y altura de un tsunami en función de la profundidad y el tiempo. Finalmente, contiene preguntas sobre estos conceptos para evaluar competencias matemáticas.
El documento describe dos pruebas de atletismo: el salto de altura y el salto de longitud. Explica cómo se realizan ambas pruebas y proporciona récords históricos. Además, modela las trayectorias de los saltos como parábolas descritas por ecuaciones. Finalmente, plantea varias preguntas sobre las características y propiedades matemáticas de dichas parábolas.
Este documento describe el deporte del skateboarding y la rampa half pipe utilizada. Explica que el skateboarding se practica con una patineta sobre rampas diseñadas, y que una rampa half pipe tiene forma cilíndrica con secciones curvas de 120 cm de radio y una plancha central de 300 cm de largo y 200 cm de ancho.
Este documento describe el portafolio personal de desempeño, el cual es un instrumento adoptado por la Fundación Universitaria Luis Amigó para dar seguimiento al aprendizaje de los estudiantes de una manera integral. El portafolio permite a los estudiantes registrar su progreso, identificar áreas de mejora, y asumir responsabilidad sobre su propio aprendizaje a través de la autoevaluación, en línea con el enfoque pedagógico de la universidad que busca el desarrollo de la autonomía del estudiante.
Las medidas de distribución nos permiten identificar cómo se separan o agrupan los valores y su representación gráfica. Un ejemplo es cómo calcular medidas de distribución en Excel para analizar datos.
Este documento presenta conceptos básicos de estadística descriptiva e inferencial. Explica que la estadística descriptiva incluye la tabulación y representación gráfica de datos, mientras que la inferencial permite estimar características de una población a partir de una muestra. También define términos como media, mediana, moda, cuartiles y distribuciones normales; e introduce formas de presentar datos cuantitativos y cualitativos como gráficos y tablas.
3. Funciones Exponenciales
Pre-prueba
A. Traza la gráfica las B. Resuelve las siguientes
siguientes de funciones de ecuaciones exponenciales
exponenciales
1. f ( x ) 2 x
1. 23 x 6
2x 3
x
2. f ( x) 5
1
x 2. 34 x 2
3 x 4
3. f ( x )
3
3. 9x 3x 1
4. f ( x) 3x 1
5. f ( x ) e x
4. Funciones Exponenciales
Definición de una función exponencial
•Sea b 0 y b 1 un número real. A una
función de la forma f ( x) b x
b.
•La x puede asumir cualquier valor real por lo que
el dominio de las funciones exponenciales es el
conjunto de los números reales, R , .
•Como la b 0 y b 1 los resultados al evaluar
las funciones exponenciales son números positivos
por lo tanto el alcance será, A 0, .
•Si b 1 la función será f ( x) 1 una función
constante, que no es exponencial.
5. Funciones Exponenciales
“Estas funciones se conocen como funciones
exponenciales porque el exponente es variable.”
Ejemplos de funciones exponenciales
1. f ( x) 3x
2. f ( x) 4 x
x
2
3. f ( x)
3
4. f ( x) 5 x
x
5. f ( x) 10
6. Funciones Exponenciales
Gráficas de funciones exponenciales
Ejemplos:
Traza la gráfica de las siguientes funciones
exponenciales.
1. f ( x) 3x Solución
2. f ( x) 2 x Solución
x
1
3. f ( x) Solución
2
x
2
4. f ( x) Solución
3
5. f ( x) 10 x Solución
7. Funciones Exponenciales
1. f ( x) 3x 9
y
8
7
6
x f(x) 5
4
3
0 1 2
1
1 3 x
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
-1
2 9 -2
-3
1 -4
1 3
-5
-6
1
2 9
-7
-8
-9
-10
Observe el dominio y el alcance en la gráfica. Observe también que si los
valores de x tienden a menos infinito, x , los valores de la función
tienden a 0. Ejercicios
12. Funciones Exponenciales
Resumen de las propiedades de las funciones
exponenciales
1. Las funciones exponenciales pasan por el punto
(0,1).
2. Si b > 0 la función es creciente.
3. Si b < 0 la función es decreciente.
4. El eje de x es una asíntota horizontal.
5. El dominio es el conjunto de los números reales.
6. El alcance es el conjunto de números reales
positivos.
7. Las funciones exponenciales son uno a uno.
13. Funciones Exponenciales
Transformaciones de las funciones exponenciales
Al igual que las funciones estudiadas anteriormente
podemos transformar las funciones exponenciales
variando sus parámetros (números) para producir
traslaciones, reflexiones, estiramientos y
contracciones. Las funciones que resultan de estas
transformaciones se conocen como funciones de
forma exponencial. Veremos algunos ejemplos a
continuación.
14. Funciones Exponenciales
Transformaciones de las funciones exponenciales
Traza la gráfica de las siguientes funciones.
1. f ( x) 3x 2 Solución
x 1
2. f ( x) 2 Solución
x
1
3. f ( x) 2 Solución
2
x
2
4. f ( x) .5 Solución
3
x 1
5. f ( x) 2 2 Solución
6. f ( x) 2 x 2 Solución
20. Funciones Exponenciales
x 2
6. f ( x) 2
2 2 4 1 1
a. f ( 2) 2 2 x y
24 16 -2 1/16
1 2 3 1 1
b. f ( 1) 2 2 3 -1 1/8
2 8
0 1/4
2 1 1
c. f (0) 20 2
2 1 1/2
22 4
1 1 2 1
1 2 1
d . f (1) 2 2 1 3 2
2 2
2 2 0
e. f (2) 2 2 1
3 2
f . f (3) 2 21 2
Ejercicios
21. x 2
f ( x) 2 4
x y 3
-2 1/16 2
-1 1/8 1
0 1/4
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
1 1/2
-1
2 1
-2
3 2
-3
4 3
-4
Ejercicios
22. Funciones Exponenciales
RESOLVER ECUACIONES EXPONENCIALES IGUALANDO LAS BASES.
LAS FUNCIONES EXPONENCIALES SON FUNCIONES UNO A UNO, POR
x y
LO TANTO a a SI Y SOLO SI X = Y .
ESTA PROPIEDAD NOS PERMITE RESOLVER ECUACIONES
EXPONENCIALES IGUALANDO LAS BASES. O SEA SI LAS BASES SON
IGUALES ENTONCES LOS EXPONENTES SON IGUALES.
Ejemplos:
Resuelve las siguientes ecuaciones.
3x 8 x 2 Solución
1. 2 2
4x 6 x
2. 3 3 Solución
x x 1
3. 27 3 Solución
23. Funciones Exponenciales
4x 2
1
4. 2x 2 Solución
2
x
x 2 2
5. 16 Solución
64
6 x 10 x 1
2 3
6. Solución
3 2
x 2
4x 2 1 Solución
7. e
e
x2 2 x x2 5 Solución
8. 4 2
24. Funciones Exponenciales
3x 8 x 2
1. 2 2 Verificación
33 8 3 2
3x 8 x 2 2 2
9 8 1
3x x 2 8
2 2
2x 6 2 2
x 3
C.S 3
Ejercicios
26. Funciones Exponenciales
x x 1
3. 27 3 Verificación
1 1
3 x x 1 1
3 3 27 2
3 2
1 3
3x x 1 3 2 2
3 3
2x 1 3 3
2 2
1 3 3
x
2
1
C.S
2
Ejercicios
27. Funciones Exponenciales
4x 2
1 x 2
4. 2
2
1 4x 2 x 2
2 2
4x 2 x 2
2 2
4x 2 x 2
5x 4
4
4 C.S
x 5
5
Ejercicios
28. Funciones Exponenciales
x
x2 2
5. 16
64
4 x2 5 x
2 2
5
2
C.S. = 0,
4x 5x 4
4 x2 5x 0
x 4x 5 0
x 0 4x 5 0
5
x
4 Ejercicios
29. Funciones Exponenciales
6 x 10 x 1
2 3
6. 7x 11
3 2
x 1 11
6 x 10 1 x
2 2 7
3 3
11
C.S.=
6x 10 x 1 7
6x x 1 10
Ejercicios
30. Funciones Exponenciales
x 2
4x 2 1
7. e
e
4x 2 x 2
4x 2 x 2
4x 2 x 2
4x 2 x 2
4x x 2 2
4x x 2 2
3x 0
5x 4
x 0 4
x
4 5
C.S.= 0,
5
Ejercicios
31. Funciones Exponenciales
x2 2 x x2 5
8. 4 2
2 x2 2 x x2 5
2 2
2 2
2x 4x x 5
2 2
2x x 4x 5 0
2
x 4x 5 0
x 5 x 1 0
x 5 0 x 1 0 C.S. 5, 1
x 5 x 1
Ejercicios
32. Funciones ExponencialesLAS FUNCIONES EXPONENCIALES
APLICACIONES DE
LAS FUNCIONES EXPONENCIALES TIENEN MUCHAS
APLICACIONES EN CIENCIAS, MATEMÁTICAS, COMERCIO Y
EN OTRAS DISCIPLINAS. VEREMOS AQUÍ ALGUNAS DE
ESAS APLICACIONES.
1. Fórmula de interés compuesto
r nt
A P 1
m
A es la cantidad acumulada o valor futuro
P es el principal de la inversión
r es la tasa de interés anual
n es el número de periódos de tiempo por año
t es el número años
33. Funciones Exponenciales
2. Fórmula de interés continuo
A Pe it
A es la cantidad acumulada o valor futuro
P es el principal de la inversión
i es el interés anual
t es el número de años de la inversión
3. Fórmula de crecimiento y decaimiento exponencial
A t A0e kt
A es la cantidad acumulada luego de un tiempo t
A0 es la cantidad inicial
k es la constante de crecimiento o decaimiento,
t es el tiempo
Si k 0 hay crecimiento o aumento en el valor de A,
si k 0 elvalor de A decae o decrece.
34. Funciones Exponenciales
4. Fórmula de enfriamiento de Newton
u t T u0 T e kt , k 0
u es la temperatura del objeto en un tiempo t
T es la temperatura del medioambiente
u0 es la temperatura inicial del objeto
t es el tiempo
k es una constante negativa
5. Fórmula de crecimiento logístico
c
P t
1 ae bt
P es la población en un tiempo t
a , b, c son constantes, c 0, b 0
t es el tiempo en años
c es la capacidad de crecimiento pues lim P t c
t
35. Funciones Exponenciales
Resuelve el ejercicio.
1) Una muestra de 700 gramos de plomo 210 decae a polonio 210 de acuerdo a la
siguiente función, A(t) = 700e-0.032t, donde t es el tiempo en años. Encuentra la
cantidad de plomo 210 en la muestra luego de 60 años. (redondea a gramos)
A) 103g B) 64g C) 4775g D) 75g
2) Una muestra de 900 gramos de plomo 210 decae a polonio 210 de acuerdo a la
siguiente función, A(t) = 900e-0.032t, donde t es el tiempo en años. Encuentra la
cantidad de plomo 210 en la muestra luego de 100 años. (redondea a gramos)
A) 37g B) 56g C) 22,079 g D) 27g
3) Desde 1950, el crecimiento de la población mundial en millones de personas puede
ser aproximada por la función exponencial A(t) = 2600e0.018t, donde t es el número de
años desde 1950. Estima la población en el año 2003 al millón más cercano.
A) 6,629 millones B) 6,872 millones
C) 6,750 millones D) 36,152,864 millones
4) Desde 1950, el crecimiento de la población mundial en millones de personas puede
ser aproximada por la función exponencial A(t) = 2600e0.018t, donde t es el número de
años desde 1950. Estima la población en el año 2015 al millón más cercano.
A) 8,228 millones B) 8,529 millones C) 8,377 millones D) 313,486,458 millones
36. Funciones Exponenciales
Encuentra el valor futuro de un principal P invertido durante m años a una tasa
de interés nominal anual r y compuesto como se indica. Redondea a dos lugares
decimales.
5) P = $1,000, m = 10, r = 7% compuesto anual
A) $1,967.15 B) $1,838.46 C) $2,104.85 D) $967.15
6) P = $1,000, m = 4, r = 9% compuesto semianual
A) $422.1 B) $1,411.58 C) $1,360.86 D) $1,422.10
7) P = $480, m = 2, r = 17% compuesto trimestralmente
A) $189.65 B) $642.35 C) $669.65 D) $657.07
8) P = $12,000, m = 8, r = 8% compuesto trimestralmente
A) $22,171.07 B) $22,211.16 C) $10,614.49 D) $22,614.49
Encuentra el valor presente de una cantidad A compuesto a una tasa de interés r por t
años. Redondea a centavos.
9) A = $5,600, t = 3, r = 8% compuesto anual
A) $7,938.32 B) $1,154.54 C) $4,445.46 D) $4,801.10
10) A = $10,500, t = 3, r = 4% compuesto semianual
A) $8,889.96 B) $9,707.84 C) $1,165.54 D) $9,334.46
37. 11) A = $6,500, t = 8, r = 13% compuesto trimestral
A) $2,445.04 B) $2,411.69 C) $2,335.78 D) $4,164.22
12) A = $10,000, t = 4, r = 18% compuesto mensual
A) $4,893.62 B) $2,500.00 C) $8,363.87 D) $11,956.18
Resuelve el ejercicio.
13) La media vida del silicón-32 es 710 años. Si tenemos una muestra de 30 gramos. ¿Qué
cantidad habrá luego 300 años?
A) 22.383 B) 0 C) 29.134 D) 1.604
14) La media vida del silicón-32 es 710 años. Si tenemos una muestra de 40 gramos. ¿ Qué
cantidad habrá luego 300 años?
A) 29.845 B)0 C) 38.845 D)2.138
15) Un tronco fosilizado contiene un 28% de la cantidad normal de
carbono-14. ¿ Qué edad en años tiene el fósil? Use 5600 años como la media vida del
carbono 14.
A) 26,873 B)2649 C) 34,489 D) 10,266
16) Un tronco fosilizado contiene un 30% de la cantidad normal de
carbono- 14. ¿ Qué edad en años tiene el fósil? Use 5600 años como la media vida del
carbono-14.
A) 27,429 B)2876 C) 34,262 D)9709
38. 17) Un tronco fosilizado contiene un 13% de la cantidad normal de
carbono-14. ¿ Qué edad en años tiene el fósil? Use 5600 años como la media vida del
carbono 14.
A) 20,685 B) 1123 C) 36,015 D) 16,453
18) Un termómetro con una lectura de 11 C se ubica en un salón con una temperatura
constante de 20 C. Si el termómetro tiene una lectura de 17 C luego de 6 minutos,
encuentra la lectura del termómetro luego de estar en el salón durante 10 minutos.
A) 7.91 C B) 18.56 C C) 21.44 C D) 20 C
19) Un termómetro con una lectura de 13 C se ubica en un salón con una temperatura
constante de 20 C. Si el termómetro tiene una lectura de 18 C luego de 6 minutos,
encuentra la lectura del termómetro luego de estar en el salón durante 9 minutos.
A) 11.350C B) 18.93 C C) 21.07 C D) 20 C
20) Un carnicero guarda una carne cuya temperatura es de 98 F colocándola en una
nevera con una temperatura constante de 35 F. Si la temperatura de la carne bajó a 91 F
en 5 minutos, ¿ Cuánto tiempo le tomará a la carne alcanzar una temperatura de 52 F?
Ley de enfriamiento de Newton:
U = T + (U0 – T)ekt : T = Ta + (T0 - Ta)ekt.
A) 18 minutos B) 56 minutos C) 3 minutos D) 16 minutos
39. 930
21) La ecuación de crecimiento logístico P(t) =
1 30e 0.348t
modela la población de cierto tipo de bacterias en un plato de cultivo luego de t horas.
¿Cuánto tardará en que el número de bacterias sea de 620?
A) 2.86 horas B) 11.77 horas C) 8.61 horas D) 6.02 horas
240
22) La ecuación de crecimiento logístico P(t) =
1 59e 0.189t
representa la población de una especie introducida en un nuevo territorio luego de t
años. Encuentra la población luego de 20 años de introducida la especie.
A) 178 B) 102 C) 240 D) 113
40. Resuelve el ejercicio. Redondea a tres lugares.
23) Encuentra la tasa de interés anual que se requiere para duplicar una
inversión en 4 años.
A) 18.921% B) 17.329% C)9.46% D)31.607%
24) Encuentra el tiempo que se requiere para duplicar una inversión si la tasa de
interés es de 5.25% compuesto continuo.
A) 14.114 años B) 20.926 años C) 6.601 años D) 13.203 años
25) Encuentra el tiempo que se requiere para triplicar una inversión si la tasa de
interés es de 7.25% compuesto continuo.
A) 16.362 años B) 9.561 años C)7.577años D) 15.153 años
41. Funciones Exponenciales
Post-prueba
B. Resuelve las siguientes
A. Traza la gráfica las
de ecuaciones exponenciales
siguientes de funciones
exponenciales 1. 23 x 6
2x 3
1. f ( x ) 2 x 4x 2 x 4
2. f ( x) 5 x 2. 3 3
x
1 x x 1
3. f ( x ) 3. 9 3
3
x 1
4. f ( x) 3
5. f ( x ) e x
42. Funciones Exponenciales
Respuestas de la pre y post- prueba
x
A 1. f ( x) 2 y
9
x f(x) 8
7
6
0 1 5
4
1 2 3
2
1
2 4 x
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
-1
3 8 -2
-3
1
1 -4
-5
2 -6
2 1 -7
4 -8
-9
49. DEFINICIÓN
La función f definida por:
f x bx , b 0 y b 1
Se llama función exponencial con base b.
50. GRÁFICA
x
f x 2 f(x)
x 2x 8
7
-2 ¼ 6
-1 ½ 5
4
0 1 3
1 2 2
1
2 4 x
-2 -1 1 2 3
3 8
51. GRÁFICA
x
1 f(x)
f x
2
8
x (½)x 7
6
-3 8 5
-2 4 4
-1 2 3
2
0 1 1
1 ½ -3 -2 -1 1 2 3
x
2 ¼
52. EN GENERAL:
Si b > 1 Si 0 < b < 1
f(x) f(x)
f x bx
x x
x1 x2
Si x1 x2 b b Si x1 x2 b x1 b x2
Dom f R
Ran f 0,
53. FUNCIÓN EXPONENCIAL NATURAL:
Es la función exponencial cuya base es igual a
“e”, donde e = 2.71828… f(x)
8
x ex 7
-2 0.14 6
5
-1 0.37 4
0 1 3
2
1 2.72 1
2 7.39 -2 -1 1 2 3
x
3 20.01
54. Función Logarítmica: Introducción
PREGUNTA DE REFLEXIÓN
¿A qué exponente debe elevarse 10 para
producir los números:
a. 1000 ?
b. 0,001 ?
c. -1000 ?
d. 50 ?
55. LOGARITMO COMÚN (EN BASE 10)
y = log x significa 10y = x
Ejemplos:
log 1= 0, Porque 100=1
log 0,01 = -2, Porque 10-2=0,01
log 10 = ½ , Porque 101/2 = 10
56. LOGARITMO NATURAL COMÚN (BASE E)
y = ln x significa ey = x
Ejemplos:
ln 1= 0, Porque e0=1
ln 10 = 2,3025… Porque e2,3025…=10
ln ek = k , Porque ek = k
57. LOGARITMO EN BASE “A”
y = loga x significa ay = x
donde a: base
y: exponente
59. FUNCIÓN LOGARITMO
La función logaritmo de base a, donde a>0y
a 1, se define como:
f(x) = logax
Observación:
1. Si x1 x2 , entonces loga x1 loga x2
2. Si loga x1= loga x2, entonces x1= x2
60. GRÁFICAS DE Y = 2X, Y = LOG2 X
x y y = 2x
1/4 -2
1/2 -1
2
1 . . y = log 2x
1 0 1/2
.
2
4
1
2
-1 .
0 1/2 1 2 4
-2
62. GRÁFICA DE Y = LOG1/2 X
x y
1/4 2
y = (1/2)x 2
1/2 1
1 . y = log1/2x
1
2
0
-1
1/2
.
4 -2
0 1/2 1
-1 . .
2 4
-2
63. GRÁFICA DE Y = LOGAX PARA A >1
y = bx De la gráfica:
loga1 = 0
b
logaa = 1
1 y = log bx
loga0 no definido
1 b logax < 0 si x<1
logax > 0 si x>1
Es creciente
64. FUNCIÓN EXPONENCIAL
1. Graficar: y = e-x
2. Graficar: y = ex+2
3. Graficar: y = ex + 3
4. La población proyectada P de una ciudad
0.05t
está dada por: P 100,000e
Donde t es el número de años después
de 1990. Pronosticar la población para el
año 2010.
65. FUNCIÓN LOGARÍTMICA
Graficar las siguientes funciones, indicando su
dominio y rango:
1. y = ln(x-3)
2. y = ln(-x)
3. y = ln(x+1) – 2
4. y = -ln(x+3) + 1