Los números racionales- Material didáctico

UNIDAD IV
Bienvenidos a la Unidad IV de Números Racionales
Nuestro Tema Transversal es Identidad Cultural
AUTOR: EUGENIO MARLON EVARISTO BORJA

DIVERSIFICACIÓN
Aprendizajes esperados
Razonamiento y demostración
•Compara, ordena y representa números racionales
•Estima el resultado de operaciones con números racionales.
•Realiza y verifica operaciones utilizando la calculadora, para reflexionar sobre conceptos y para descubrir propiedades de las operaciones con los números racionales.
•Transforma fracciones en decimales y viceversa.
Comunicación Matemática
•Interpreta el significado de números naturales, enteros y racionales en diversas situaciones y contextos.
•Matematiza situaciones de contexto real, utilizando los números naturales, enteros o racionales y sus propiedades.
Resolución de Problemas
•Resuelve problemas que implican cálculos en expresiones numéricas con números naturales, enteros o racionales y Ecuaciones lineales con una incógnita.
•Calcula el valor numérico de expresiones algebraicas.
Contenidos
Sistemas numéricos
•Representación, orden y operaciones con números racionales. Operaciones con fracciones y decimales.
Álgebra
•Ecuaciones lineales con una incógnita.
•Valor numérico de expresiones algebraicas.

NÚMEROS RACIONALES ℚ
En la vida nos encontramos con situaciones en las que
no es posible emplear números naturales o enteros.
Por ejemplo, decimos:
•El partido de futbol es a las ocho y
media.
•Estamos en el medio tiempo del
partido.
•El precio de las lentejas es de S/. 1.40.
Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.
Los números racionales ℚ es la unión de los
números enteros ℤ con las fracciones.
ℚ
Fracciones
ℤ
…,-5, -4, -2, -1
ℕ
0, 1, 2, 3, …
-3 -2 -1 0 1 2 3 5
7

2
5

3
1

2
1
3
5
5
8 … …
…

¿Qué son las
fracciones?
El numerador indica las partes que se toman
de la unidad. El denominador indica el número
de partes iguales en que se divide la unidad.
El todo que dividimos en partes iguales
constituye la igualdad.
FRACCIONES
Cada pedazo es un cuarto de círculo: 4
1
El todo consta de cuatro cuartos: 1
4
4

La parte coloreada de la unidad consta: 4
3
4
numerador 3
raya fracción
denominador
Fracción
1.1. Las fracciones como
partes de un todo.

¿Cómo calculamos la
fracción de una cantidad
numérica?
Para calcular la fracción de una unidad
numérica:
•La unidad se divide entre el
denominador y el resultado se multiplica
por el numerador.
FRACCIONES 1.2. Fracción de una
cantidad numérica
El campo de juego mide 100m de largo
y el entrendor me ha ordenado correr
2/5 de largo ¿cuanto tengo que correr?
100m
20m 20m 20m 20m 20m
5
1
5
1
5
1
5
1
5
1
40m
1. Divido el campo en 5 partes iguales.
2. Tomo las dos partes del todo.
3. El tramo que tengo que correr es de 40m.
De 100m; 10 5 0m÷5 = 20m x 2 = 40m
2
5
2
100m
Fracción
Cantidad
÷
=20m
x
=40m

¿Cuándo se dice que
dos fracciones son
equivalentes?
Una fracción es irreductible si el
numerador y el denominador son
primos entre sí.
1.3. FRACCIONES EQUIVALENTES. Simplificación.
Dos o más fracciones son
equivalentes si representa la
misma porción de la unidad.
4
1
8
2
16
4
Se tiene que las tres fracciones
representan la misma porción
del cuadrado, esto es:
16
4
8
2
4
1
 
Simplificar una fracción es hallar
su fracción equivalente
irreductible.
1 y 4 son primos entre si
16
4
8
2
4
1
 
2
1
4
2
8
4
16
8
  
÷2
÷2
÷2 ÷2
÷2 ÷2

¿Qué son los
números Mixtos?
1.4. Números Mixtos.
Un número mixto tiene una
parte entera y una parte
fraccionaria
4
4
4
1
FRACCIONES
+ = 4
5
1
4
1
+ = 4
1
1
4
1
Parte entera 1 Parte fraccionaria
Cuando una fracción es impropia
se convierte en un número mixto
y a la inversa.
4
5 5 4
4 1
1 4
1
1
Fracción propia
Fracción impropia
6
7
5
4
Numerador
menor que el
denominador.
Denominador
menor que el
numerador.

¿Se puede reducir
fracciones a común
denominador?
1.5. Reducir fracciones a
común denominador.
Sí, para reducir fracciones a común
denominador:
Primero: Halla el mínimo común
múltiplo de los denominadores de las
fracciones dadas.
FRACCIONES
Segundo: Forma las fracciones equivalentes cuyo
denominador es el mínimo común múltiplo encontrado.
Fano reduce las fracciones 2/3 y 3/5 a
común denominador.
1. Halla el m.c.m. de (3;5)=15
15
6
15
2 5
3
2
 
x
2. Forma las fracciones equivalentes a
2/3 y 3/5 con denominador 15:
15
9
15
3 3
5
3
 
x
Alberto Rodríguez reduce las fracciones 2/3, 1/5 y
3/6 a común denominador.
1. Halla el m.c.m. de (3;5;6): 2x3x5=30
3-5-6
3-5-3
1-5-1
1-1-1
2
3
5
2. Forma las fracciones equivalentes a 2/3,
1/5 y 3/6 con denominador 30:
30
20
30
2 10
3
2
 
x
30
6
30
1 6
5
1
 
x
30
15
30
3 5
6
3
 
x

¿Se puede hacer
comparación entre dos
fracciones?
1.6. Comparación de
fracciones.
Sí, para comparar dos fracciones:
Primero: Se reducen las
fracciones a común
denominador.
FRACCIONES
Segundo: De las fracciones equivalentes
obtenidas es mayor la que tiene mayor
numerador.
Claudio compara las fracciones 5/8 y
7/8.
1. No se reduce a común denominador,
por que son iguales:
2. Compara los numeradores:
William Chiroke compara las fracciones 3/5 y 4/7.
1. Reduce las fracciones a común denominador
2. Compara los numeradores:
8
3
8
5 8
5
8
3
 35
21
5 7
3 7
5
3
 
x
x
35
20
7 5
4 5
7
4
 
x
x
35
20
35
21

Por lo tanto:
7
4
5
3


OPERACIONES CON NUMEROS
RACIONALES ℚ
¿Se puede sumar y
restar dos fracciones?
1. Adición y Sustracción
de fracciones.
Sí, para sumar o restar fracciones
que tienen el mismo denominador:
Primero: se escribe el denominador
común en la nueva fracción.
FRACCIONES
Segundo: Se suman o se restan los
numeradores, y si es posible se simplifica el
resultado.
Claudio quiere sumar las fracciones 3/8
y 4/8.
1. Se escribe el denominador común:
8
3
2. Suma los numeradores:
8
4
William Chiroke desea restar 4/5 menos 3/5.
1. Se escribe el denominador común.
2. Resta los numeradores:
8 8
4
8
3
 
8
7
8
4
8
3
 
5
4
5
3 5 5
3
5
4
 
5
1
5
3
5
4
 
A las fracciones que tienen igual
denominador se les llama fracciones
homogéneas.

RACIONALES ℚ
¿Y que sucede si los
denominadores son
diferentes?
1. Adición y Sustracción de
fracciones.
Para sumar o restar fracciones que
tienen diferente denominador:
Primero: Se reducen las fracciones a
común denominador.
FRACCIONES
Segundo: Se suman o se restan las fracciones
equivalentes y si es posible se simplifica el
resultado.
Libman corre 2/5 de la cancha de
futbol luego corre ¼ ¿Cuánto corrió?
1. Se reducen las fracciones a común
denominador:
• m.c.m.(5;4)=20
• Obtenemos las fracciones equivalen
2. Sumamos las fracciones:
Butron tiene un recipiente de agua con ¾ l. se toma 2/6
l, ¿cuánto agua queda?
1. Se reducen las fracciones a común denominador.
• m.c.m. (4;6)=12
• Obtenemos las fracciones equivalentes.
2. Resta los numeradores:
20
8
20
2 4
5
2
 
x
20
13
20
5
20
8
4
1
5
2
   
20
5
20
1 5
4
1
 
x
12
9
12
3 3
4
3
 
x
12
4
12
2 2
6
2
 
x
12
5
12
4
12
9
6
2
4
3
   
A las fracciones que tienen distinto
denominador se les llama fracciones
heterogéneas.

Butrón desea multiplicar 7/5
por 2/3.
RACIONALES ℚ
¿Cómo puedo multiplicar
dos fracciones?
2. Multiplicación de
fracciones.
El producto de dos fracciones es una
fracción:
•Cuyo numerador es igual al producto de
los numeradores, y cuyo denominador es
igual al producto de los denominadores.
FRACCIONES
La multiplicación de los
racionales cumple con las
siguientes propiedades.
Libman desea multiplicar 2/5 por
3/7.
35
6
5 7
2 3
7
3
5
2
 
x
x
x
5
2
15
6
5 3
3 2
3
2
5
3
  
x
x
x
Propiedad Expresión Ejemplo
Conmutativa ∀a y b Є ℚ(a.b) =(b.a)
Asociativa ∀a, b y c Є ℚ(a.b).c=a.(b.c)
Elemento
Neutro
∀a Є ℚ a.1=a ó 1.a=a
Distributiva
(adición)
∀a, b y c Є ℚ
a(b+c) = a.b + a.c
Existencia del
inverso
∀a ,b Є ℚ a.1/a=1 ó
(a/b).(b/a)=1
5
2
7
3
7
3
5
2
x  x
















 















10
3
7
4
5
2
10
3
7
4
5
2
7
3
7
3
1x 
1
3
7
7
3
x 




 



 




7
4
3
2
5
3
3
2
7
4
5
3
3
2

¿Podemos multiplicar un
número por una fracción?
2.1. Multiplicación de un
número por una fracción.
Sí, para multiplicar un número por una
fracción:
Primero: Él número se multiplica por el
numerador y el resultado es el nuevo
numerador.
FRACCIONES
Segundo: Se escribe el mismo
denominador de la fracción.
Raúl Fernández patea una pelota al
aire y rebota el doble de 2/5; la
segunda vez, el triple de 2/5, la
tercera, el cuádruple de 2/5. ¿En
cuanto reboto cada vez?
Doble se multiplica por 2:
Triple se multiplica por 3:
Cuádruple se multiplica por 4:
5
4
5
2 2
5
2
2  
x
x
5
6
5
3 2
5
2
3  
x
x
5
8
5
4 2
5
2
4  
x
x
En todas las
operaciones se tiene
presente la ley de los
signos.

RACIONALES ℚ
¿Cómo puedo dividir
dos fracciones?
3. División de fracciones.
Para dividir dos fracciones:
•Primero: Se multiplica la fracción
dividendo por el inverso de la
fracción divisor.
FRACCIONES
El aguatero de la selección tiene
40l de agua y desea llenar botellas
de 2l , 1l, ½l, ¼l .
¿Cuántas botellas de cada tipo se
pueden llenar?
40l 2l  20
40l 1l  40
80
2
1
40l  l 
160
4
1
40l  l 
Farfán divide 5/7 entre 2/9.
1. Se multiplica la fracción dividendo por el inverso de la
fracción divisor.
14
3
3
14
45
2
9
7
5
9
2
7
5
  x  
Para calcular el inverso de una fracción se pone
el numerador en el denominador y el
denominador en el numerador.




 



3
7
7
3
inv 



 



5
14
14
5
inv Segundo: Se simplifica el
resultado de ser posible.

RACIONALES ℚ
¿Cómo puedo
potenciar fracciones?
4. Potenciación de
fracciones.
Para potenciar fracciones :
•Primero: Se procede igual que los
enteros, teniendo en cuenta la ley de
los signos.
FRACCIONES
Ejemplo:
9
4
3 3
2 2
3
2
2
  



x
x
Si el signo es negativo.
Si el signo es negativo y el exponente es par:
64
27
4 4 4
3 3 3
4
3
3
  



x x
x x
25
16
5 5
4 4
5
4
2
  



x
x
25
16
(5)(5)
( 4)( 4)
5
4
2

 
 


 
125
64
5x5x5
( 4)( 4)( 4)
5
4
3


  
 


 
n
n n
a
b
b
a
 




1
0
 



b
a   n
n
a
a
1
  En la potenciación de ℚ se aplica
las mismas propiedades que en los
ℤ.
Si el signo es negativo y el exponente es impar:

RACIONALES ℚ
¿Cómo puedo calcular
la radicación de
fracciones?
5. Radicación de
fracciones.
Para calcular la radicación de
fracciones :
Se calcula la raíz del numerador y
del denominador.
FRACCIONES
Ejemplo:
2
1
4
1
4
1
 
Si el signo es negativo.
Si el signo es negativo y el exponente es impar:
4
3
64
27
64
27
3
3
3  
3
2
27
8
27
8
3
3
3





Si el signo es negativo y el exponente es par:
NE
NE
 

81 81
9
En la radicación de ℚ se aplica las
mismas propiedades que en los
ℤ.

Fracciones
Decimales 0,1 cm 0,3 cm 0,7 cm
¿Qué son las
fracciones decimales?
Las fracciones con denominador 10; 100; 1000… se
llaman fracciones decimales y pueden escribirse
como números decimales.
2. NÚMEROS DECIMALES
cm
10
1
2.1. Fracciones
decimales y números
decimales
El entrenador, después de unas
mediciones ha obtenido las siguientes
fracciones:
cm
10
3
cm
10
7
Fracciones
Decimales 0,35 m 0,76 m 0,91 m
m
100
35
m
100
76
m
100
91
2.2. Amplificación y simplificación de
números decimales
Amplificar
0,5 = 0,50 = 0,500 = 0,5000
10000
5000
1000
500
100
50
10
5
  
Simplificar
0,5000 = 0,500 = 0,50 = 0,5
10
5
100
50
1000
500
10000
5000
  

<
5,
6
7
8
5,
6
7
9
Para comparar números decimales se compara, cifra a cifra, de izquierda a derecha.
8 m < 9m
7 c = 7c
6 d = 6d
5U = 5U
2. NÚMEROS DECIMALES
2.3. Comparación de números decimales
¿Cómo se comparan los números decimales?
2.4. Redondear números decimales
Redondear 65, 7892 a la centésima
6
5,
7
8
9
2
D
U
d
c
m
dm
65, 79
Redondear 5, 17832 a la milésima
5,
1
7
8
3
2
U
d
c
m
dm
cm
5,178
Para redondear números decimales:
•Se fija la cifra a la que se desea redondear.
•Se observa la cifra que está a la derecha de la cifra fijada, si es: 5, 6, 7, 8, ó 9 se redondea aumentando 1, si es: 0,1,2,3 ó 4 se redondea manteniendo la cifra.

Una fracción se puede encontrar de
tres maneras.
2. NÚMEROS DECIMALES 2.5. Expresiones
decimales periódicas y
números racionales
¿Cómo convierto un
número decimal en una
fracción?
• En un número decimal
0,3
10
3

• Ilimitados periódicos puros
0,333...
3
1

• Decimales ilimitados periódicos mixtos
0,1666...
6
1

Se obtiene colocando la potencia de 10 en el denominador
0,3
1 cifra decimal
10
3
10
3
1 
Se colocan tantos nueves según el número de cifras tenga
la parte periódica
0,3
1 cifras decimales 3
1
9
3

Se colocan tantos nueves según la parte periódica
y tantos ceros según la parte no periódica
0,16
2 cifras decimales 6
1
90
15
90
16 1
 


Una cantidad de cada 100 se llama
tanto por ciento o porcentaje.
2. NÚMEROS DECIMALES 2.6. Tanto por ciento o
porcentaje
¿Cómo se calcula el
porcentaje?
Una varilla roja y otra verde se han dividido cada una en 100 partes iguales.
Libman ha tomado 25 pedazos de la varilla roja:
Butrón ha tomado 40 pedazos de la varilla verde:
100
25
100
40
Se dice que ha tomado 25%
Se dice que ha tomado 40%
2.7. Cálculo de porcentajes, fracciones y
números decimales
Para calcular el porcentaje de una cantidad:
•Se multiplica la cantidad por la fracción
equivalente al porcentaje, o.
•Se multiplica la cantidad por el número
decimal equivalente al porcentaje.
Chiroke calcula el 15% de 250,
15% de 250: 37,50
100
15 250
250
100
15
 
x
x
Otra manera de calcular el 15% de
250,
15% de 250: 0,15x250  37,50
Puesto que: 0,15
100
15
15%  

OPERACIONES CON NUMEROS RACIONALES ℚ
¿Se puede sumar y restar dos números decimales?
1. Adición y Sustracción de decimales.
2. NUMEROS DECIMALES
Para sumar o restar números decimales:
•Se escriben uno debajo de otro, teniendo cuidado de que la coma decimal esté en la misma vertical.
•Se escriben los enteros bajo los enteros, las décimas debajo de las décimas, las centésimas debajo de las centésimas, las milésimas debajo de las milésimas, etc.
•Se suman o se restan como números naturales; es decir, se suman o se restan entre sí las cifras del mismo orden.
Vargas ha corrido el campo. El lunes corrió 5456,34m y el martes 4567,76.m
5456,34m +4567,76m 10024,10m
Paolo tiene S/.2556,34 y gastó 1512,15.
S/.2556,34 -S/. 1512,15 S/. 1044,19
Claudio suma 4,58; 0,753 y 0,678
4,580 +0,753 +0,678 6,011
Observación:
Para que los números decimales tengan la misma cantidad de cifras decimales se completa con ceros donde falta.

¿Cómo puedo multiplicar números decimales?
2. Multiplicación de números decimales.
Para multiplicar un número decimal por 10, 100, 1000, … se corre hacia la derecha la coma decimal 1, 2, 3, … espacios respectivamente.
Chiroke multiplica 7,83 por 10, 100 y 1000.
39,35 x17
27545
3935
668,95
Para multiplicar dos números decimales:
•Se multiplica sin considerar las comas decimales.
•El resultado se separa con la coma, empezando por la derecha, un número de cifras decimales igual a la suma de las que tienen los dos factores.
8,235 x3,14
32940
8235
24705
25,85790
Para multiplicar un número decimal por un número natural:
•Se multiplican los dos números sin tener en cuenta la coma decimal.
•En el resultado, se separan con la coma decimal, de derecha a izquierda, tantas cifras como tenga el número decimal.
7,83 x 10
78,3
7,83 x 100
783
7,83 x 1000
7830

¿Cómo puedo dividir números decimales?
3. División de números decimales.
Para dividir un número decimal entre 10, 100, 1000, … se corre hacia la izquierda la coma decimal 1, 2, 3, … espacios respectivamente.
17,3 ÷ 10
1,73
17,3 ÷ 100
0,173
17,3 ÷ 1000
0,0173
Advincula divide 13,92 ÷ 2,4
13,92 x 100 y 2,4 x 100
1392 ÷ 240
1392
240
5,8
1200
1920
1920
0000
13,92 ÷ 2,4 = 5,8
Para dividir dos números decimales:
•Se multiplican el dividendo y el divisor por 10 ó por 100 ó 1000, … de modo que se transforma en números no decimales.
•Luego, se dividen los números obtenidos después de la multiplicación.

RACIONALES ℚ
¿Cómo puedo hallar la
fracción correspondiente a
un número decimal?
4. Generatriz de los
números decimales.
Para hallar la fracción
generatriz de un número
decimal, se procede de
diferentes formas de acuerdo al
caso.
Si el decimal es infinito:
La fracción generatriz se obtiene escribiendo
como numerador la parte decimal y como
denominador la unidad seguida de tantos
ceros como cifras decimales haya.
Si el decimal periódico mixto:
La fracción generatriz se obtiene escribiendo
como numerador la parte no periódica
seguida de un período menos la parte no
periódica y como denominador tantos nueves
como cifras tiene el período seguido de tantos
ceros como cifras tenga la parte no periódica.
Si el decimal es periódico puro:
La generatriz se obtiene escribiendo como
numerador un periodo y como denominador
tantos nueves como cifras tiene el periodo.
4
3
100
75
0,75  
11
2
99
18
0,181818...  
6
1
90
15
90
16 1
0,166666...  



ECUACIONES E INECUACIONES LINEALES DE UNA INCOGNITA
¿Qué es una ecuación?
3.1. Ecuaciones.
Una ecuación es una igualdad en la que hay un término desconocido, que recibe el nombre de incógnita o variable, que representa a un número.
¿Cómo se resuelve una ecuación?
a)X+9=16
b)35+z=18
c)40 – x = 54
d)Z + 12 = 20
Ejemplo:
•La solución de una ecuación es el valor que toma la incógnita para que la igualdad sea verdadera.
•Resolver una ecuación es encontrar su solución
a)X+9=16
X+9-9=16-9
X=7
b)35+z=16
35-35+z=16-35
z=-19

ECUACIONES E INECUACIONES LINEALES DE UNA INCOGNITA
¿Qué es una inecuación?
3.2. Inecuaciones.
Las desigualdades que tienen incógnitas se llaman inecuaciones
¿Cómo se resuelve una inecuación?
a)3X<10
b)3x+5>20
c)5-2x ≤12
d)1,2x+10≥ 20
Ejemplo:
a)3X<10
3X÷3<10÷3
X<3,3
b)1,2x+10≤20
1,2x+10-10≤20-10
1,2x÷1,2 ≤ 10÷1,2
C.S.={3,2;3,1; 3,0; ….}
x ≤ 8,333..
C.S.={8,333; 8,3; 8,2….}
•Consiste en hallar un conjunto solución, es decir, encontrar aquel intervalo donde están los valores que pueda tomar la incógnita para que verifique la inecuación.

Fin de los números racionales
¡Viva el Perú!
¡Viva Huánuco!
A los deportistas, cuyas imágenes son utilizadas en este material se les pide su comprensión por el uso de su imagen, toda vez que se hizo uso de ellas, para captar la atención de los estudiantes y poder alcanzar los aprendizajes esperados, es necesario recalcar que este material es difundido gratuitamente y sin fines de lucro. Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.

Los números racionales- Material didáctico

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Destacado

Destacado (14)

Similar a Los números racionales- Material didáctico

Similar a Los números racionales- Material didáctico (20)

Más de Eugenio Marlon Evaristo Borja

Más de Eugenio Marlon Evaristo Borja (20)

Último

Último (20)

Los números racionales- Material didáctico