Este documento presenta una introducción a la transformada de Laplace. Explica la definición y propiedades básicas de la transformada de Laplace, y proporciona ejemplos de funciones especiales comunes y sus transformadas correspondientes, incluidas funciones escalón, impulso, exponenciales, seno y coseno. Finalmente, presenta algunos ejercicios para practicar el cálculo de transformadas de Laplace.

1. Análisis de redes eléctricas
Transformada de Laplace

2. Contenido – semana 1:
1. Transformada de Laplace
Propiedades de la transformada de Laplace.
2. Funciones especiales
Ejemplos.
3. Actividad en clase

3. 1. Transformada de Laplace
Definición: Es una herramienta matemática que sirve para convertir sistemas
dinámicos en sistemas algebraicos.
𝑠𝑒𝑎 𝑓 (𝑡) 𝑢𝑛𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑜n𝑐𝑒𝑠 𝑠𝑢 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑜𝑟𝑚𝑎𝑑𝑎

4. 1. Transformada de Laplace
Tabla de la Transformada de Laplace

5. 1. Transformada de Laplace
Propiedades de la Transformada de Laplace

6. 1. Transformada de Laplace
Propiedades de la Transformada de Laplace

7. 2. Funciones especiales
𝑓(𝑡) = 𝜇(𝑡) ↔ 𝐹(s) =
1
𝑆
𝑓 𝑡 = µ(𝑡)=ቊ
1∀𝑡 ≥ 0
0∀𝑡 < 0
𝑓 𝑡 = 𝜇(𝑡)
𝑡
1
Función escalón unitario 𝜇(𝑡)

8. 𝑓 𝑡 = 𝑘µ(𝑡) = ቊ
𝑘 ∀ 𝑡 ≥ 0
0 ∀ 𝑡 < 0
𝑓 𝑡 = 𝑘𝜇(𝑡)
𝑡
k
𝑓 𝑡 = 𝑘µ(𝑡) ↔ F(s) =
𝑘
𝑠
𝑓1 𝑡 = 3µ(𝑡) ↔ F(s) =
3
𝑠
𝑓2 𝑡 = −6µ(𝑡) ↔ F(s) =
−6
𝑠
= -
6
𝑠
2. Funciones especiales
Función escalón k𝜇(𝑡)

9. 𝑓 𝑡 = 𝛿(𝑡)
𝑡
∞
𝑓 𝑡 = 𝛿(𝑡) ↔ F(s) =1
𝑓 𝑡 = 𝛿(𝑡) = ቊ
∞ ∀ 𝑡 = 0
0 ∀ 𝑡 ≠ 0
2. Funciones especiales
Función impulso unitario δ(𝑡)

10. 𝑓 𝑡 = 𝑘𝛿(𝑡) = ቊ
𝑘 ∞ ∀ 𝑡 = 0
0 ∀ 𝑡 ≠ 0
𝑓 𝑡 = 𝑘𝛿(𝑡) ↔ F(s) = k
𝑓1 𝑡 = 7𝛿(𝑡) ↔ F(s) = 7
𝑓2 𝑡 = −10𝛿(𝑡) ↔ F(s) = -10
Función impulso 𝑘𝛿 𝑡 𝑑𝑒𝑙𝑡𝑎 𝐷𝑖𝑟𝑎𝑐
𝑡
𝑘∞
f 𝑡 = 𝑘𝛿(𝑡)
2. Funciones especiales

11. 𝑓 𝑡 = 𝑒−𝑎𝑡 𝜇(𝑡)
𝑡
1
𝑓 𝑡 = 𝑒−𝑎𝑡 𝜇(𝑡) = ቊ𝑒−𝑎𝑡 ∀ 𝑡 ≥ 0
0 ∀ 𝑡 < 0
𝑓2 𝑡 = 𝑒−7𝑡
𝜇(𝑡) ↔ F(s) =
1
𝑠+7
𝑓1 𝑡 = 𝑒−𝑡 𝜇(𝑡) ↔ F(s) =
1
𝑠+1
𝑓 𝑡 = 𝑒−𝑎𝑡 𝜇(𝑡) ↔ F(s) =
1
𝑠+𝑎
Función e𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒n𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒−𝑎𝑡𝜇(𝑡)
2. Funciones especiales

12. 𝑓 𝑡 = 𝑡𝜇(𝑡)
𝑡
𝑚 = 1
𝑓 𝑡 = 𝑡𝜇(𝑡) = ቊ
𝑡 ∀ 𝑡 ≥ 0
0 ∀ 𝑡 < 0
𝑓 𝑡 = 𝑡 𝜇 (𝑡) ↔ F(s) =
1
𝑠2
Función rampa unitaria 𝑡𝜇(𝑡)
2. Funciones especiales

13. 𝑓 𝑡 = 𝑘𝑡𝜇(𝑡)
𝑡
𝑚 = 𝑘
𝑓 𝑡 = 𝑘𝑡𝜇 (𝑡) ↔ F(s) =
𝑘
𝑠2
𝑓1 𝑡 = 5𝑡𝜇 (𝑡) ↔ F(s) =
5
𝑠2
𝑓 𝑡 = 𝑘𝑡𝜇(𝑡) = ቊ
𝑘 𝑡 ∀ 𝑡 ≥ 0
0 ∀ 𝑡 < 0
𝑓2 𝑡 = −
1
5
𝑡𝜇 (𝑡) ↔ F(s) =
−
1
5
𝑠2 = −
1
5𝑠2
Función rampa 𝑘𝑡𝜇(𝑡)
2. Funciones especiales

14. 𝑓 𝑡 = Sin(𝜔0 𝑡) 𝜇(𝑡) ↔ F(s) =
𝜔0
𝑠2+𝜔0
2
𝑓1 𝑡 = Sin(10t) 𝜇(𝑡) ↔ F(s) =
10
𝑠2+102
𝑓2 𝑡 = Sin(377t) 𝜇(𝑡) ↔ F(s) =
377
𝑠2+3772
Función seno Sin(ω0 t) μ(t)
𝑡
1
−1
𝑓 𝑡 = Sin(𝜔0 𝑡) 𝜇(𝑡)
2. Funciones especiales

15. 𝑓 𝑡 = 𝑘Sin(𝜔0 𝑡) 𝜇(𝑡) ↔ F(s) = k
𝜔0
𝑠2+𝜔0
2 =
𝑘𝜔0
𝑠2+𝜔0
2
𝑓1 𝑡 = 5Sin(10t) 𝜇(𝑡) ↔ F(s) = 5
10
𝑠2+102 =
50
𝑠2+102
𝑓2 𝑡 = 2Sin(377t) 𝜇(𝑡) ↔ F(s) = 2
377
𝑠2+3772 =
754
𝑠2+3772
𝑓 𝑡 = kSin(𝜔0 𝑡) 𝜇(𝑡) = ቊ
𝑘 Sin(𝜔0 𝑡) ∀ 𝑡 ≥ 0
0 ∀ 𝑡 < 0
Función seno k Sin(ω0 t) μ(t)
𝑡
𝑘
−𝑘
𝑓 𝑡 = kSin(𝜔0 𝑡) 𝜇(𝑡)
2. Funciones especiales

16. 𝑓 𝑡 = 𝐶𝑜𝑠(𝜔0 𝑡) 𝜇(𝑡) ↔ F(s) =
𝑠
𝑠2+𝜔0
2
𝑓1 𝑡 = 𝐶𝑜𝑠(20t) 𝜇(𝑡) ↔ F(s) =
𝑠
𝑠2+202
𝑓2 𝑡 = Cos(2π60t) 𝜇 𝑡 = 𝐶𝑜𝑠 120𝜋𝑡 𝑢(𝑡) ↔ F(s) =
𝑠
𝑠2+(120𝜋)2
𝑓 𝑡 = Cos(𝜔0 𝑡) 𝜇(𝑡) = ቊ
𝐶𝑜𝑠 (𝜔0 𝑡) ∀ 𝑡 ≥ 0
0 ∀ 𝑡 < 0
Función coseno Cos(ω0 t) μ(t)
𝑡
−1
1
𝑓 𝑡 = Cos(𝜔0 𝑡) 𝜇(𝑡)
2. Funciones especiales

17. 𝐹𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑛𝑜 𝑘𝐶𝑜𝑠 (𝜔0 𝑡) 𝜇(𝑡)
𝑡
−𝑘
𝑘
𝑓 𝑡 = kCos(𝜔0 𝑡) 𝜇(𝑡)
𝑓 𝑡 = 𝑘𝐶𝑜𝑠(𝜔0 𝑡) 𝜇(𝑡) ↔ F(s) = k
𝑠
𝑠2+𝜔0
2 =
𝑘𝑠
𝑠2+𝜔0
2
𝑓1 𝑡 = 5𝐶𝑜𝑠(20t) 𝜇(𝑡) ↔ F(s) =
5𝑠
𝑠2+202
𝑓2 𝑡 = 7Cos(2π60t) 𝜇 𝑡 = 7Cos 120𝜋𝑡 𝑢(𝑡) ↔ F(s) =
7 𝑠
𝑠2+(120𝜋)2
𝑓 𝑡 = kCos(𝜔0 𝑡) 𝜇(𝑡) = ቊ
𝑘𝐶𝑜𝑠 (𝜔0 𝑡) ∀ 𝑡 ≥ 0
0 ∀ 𝑡 < 0
2. Funciones especiales

18. Tabla de Transformadas
1 𝑓(𝑡) 𝐹(𝑠)
2 𝑘𝜇(𝑡)
𝑘
𝑠
3 𝑘𝑡𝜇(𝑡)
𝑘
s2
4 𝑘𝛿(𝑡) 𝑘
5 𝑘𝑒−𝑎𝑡
𝜇(𝑡)
𝑘
𝑠 + a
6 𝑘𝑆𝑖𝑛(𝜔0 𝑡) 𝜇(𝑡)
𝑘𝜔0
𝑆2 + (𝜔0)2
7 𝑘𝐶𝑜𝑠(𝜔0 𝑡) 𝜇(𝑡)
𝑘𝑠
𝑆2 + (𝜔0)2

19. Calcular la transformada de Laplace de las siguientes funciones:
2𝜇 𝑡 + 𝑒−3𝑡 𝜇(𝑡)
sin( 8𝑡)𝜇 𝑡) + 𝑆𝑖𝑛(3𝑡 𝜇(𝑡)
4
3
𝑡𝜇 𝑡 +
2
5
𝐶𝑜𝑠 (6𝑡) 𝜇(𝑡)
5
3
𝑒−
3
8
𝑡𝜇 𝑡 +
1
4
𝑆𝑖𝑛 (7𝑡) 𝜇(𝑡)
−
7
5
𝑆𝑖𝑛 (9𝑡) 𝜇(𝑡)
3. Actividad en clase:

20. ¿ PREGUNTAS ?

21. GRACIAS POR SU ATENCIÓN