La transformada de Laplace es una herramienta de gran alcance formulada para solucionar una variedad amplia de problemas del inicial-valor. La estrategia es transformar las ecuaciones diferenciales difíciles en los problemas simples de la álgebra donde las soluciones pueden ser obtenidas fácilmente. Entonces se aplica La transformada inversa de Laplace para recuperar las soluciones de los problemas originales.

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MATEMATICAS AVANZADAS II
ECUACIONES DIFERENCIALES CON TRANSFORMADA
DE LAPLACE
PRESENTAN:
CAROLINA ZÚÑIGA RIVERA
YESICA ALTAMIRANO MORALES
PROFESOR:
LIC. GERARDO EDGAR MATA ORTIZ
TORREÓN COAH. ENERO 2015

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A continuación resolveremos una ecuación diferencial utilizando la
transformada de Laplace se resolverá con la definición £ = ∫ 𝑒−𝑠𝑡∞
0
para la
resolución de este problema emplearemos las fracciones parciales además
de la anti transformada de Laplace.
£(ed)
 Pasos con definición
 Utilización de algebra
 Anti transformada de Laplace
 Solución de la ecuación diferencial.
TRANSFORMADA DE LAPLACE, ED VALOR INICIAL.
𝑦′
− 3𝑦 = 𝑒2𝑡
Condición 𝑦(0) = 1
ℒ(𝑦′
− 3𝑦) = ℒ(𝑒2𝑡
)
ℒ(𝑦′
− 3𝑦) = ℒ(𝑒2𝑡)
𝑑𝑣 = −𝑡(𝑠 − 2)
𝑣 = 𝑠 − 2 𝑑𝑡
ℒ(𝑒2𝑡) = ∫(𝑒2𝑡) (𝑒−𝑠𝑡)
ℒ(𝑒2𝑡) = ∫ 𝑒−𝑡(𝑠−2)
ℒ(𝑒2𝑡) = −
1
𝑠 − 2
∫ 𝑒−𝑠𝑡
ℒ(𝑒2𝑡) = ∫ 𝑒−𝑡(𝑠−2)
ℒ(𝑒2𝑡) = −
1
𝑠 − 2
𝑒−𝑠𝑡

3. 4
= 0
= 0
Se sustituye con la
condición inicial
𝑦(0) = 1
Resolveremos cuando la integral es definida utilizando límites.
ℒ(𝑒2𝑡) =
1
𝑠 − 2
𝑒−𝑠𝑡
lim
𝑏→∞
[(−
1
𝑠 − 2
𝑒−𝑠𝑡
)] − [(−
1
𝑠 − 2
𝑒−𝑠𝑡
)]
0
𝑏
lim 𝑏→∞ [(−
1
𝑠−2
𝑒−𝑠(𝑏)
)] − [(−
1
𝑠−2
𝑒−𝑠(0)
)]
lim 𝑏→∞ [(−
1
𝑠−2
𝑒−𝑠(𝑏)
)] − [(−
1
𝑠−2
𝑒−𝑠(0)
)]
= −
1
𝑠 − 2
𝑒−𝑠(𝑏)
+
1
𝑠 − 2
= −
1
𝑠−2𝑒 𝑠∞ +
1
𝑠−2
= +
1
𝑠 − 2
ℒ(𝑦′
− 3𝑦) =
1
𝑠 − 2
ℒ(𝑦′) − 3ℒ(𝑦) =
1
𝑠 − 2
𝑠𝑦(𝑠) − 𝑦(0) − 3𝑦(𝑠) =
1
𝑠 − 2
Solución
algebraica
para y’
𝑠𝑦(𝑠) − 1 − 3𝑦(𝑠) =
1
𝑠 − 2
𝑦(𝑠)(𝑠 − 3) − 1 =
1
𝑠 − 2
𝑦(𝑠)(𝑠 − 3) =
1
𝑠 − 2
+ 1
𝑦(𝑠) =
1
(𝑠 − 2)(𝑠 − 3)
+
1
(𝑠 − 3)

4. 5
Se resuelve por fracciones parciales.
−1
(𝑠 − 2)
+
2
(𝑠 − 3)
=
𝑠 − 1
(𝑠 − 2)(𝑠 − 3)
𝑦(𝑠) =
1
(𝑠 − 2)(𝑠 − 3)
+
1
(𝑠 − 3)
𝑦(𝑠) =
1 + 𝑠 − 2
(𝑠 − 2)(𝑠 − 3)
𝑦(𝑠) =
𝑠 − 1
(𝑠 − 2)(𝑠 − 3)
𝐴
(𝑠 − 2)
+
𝐵
(𝑠 − 3)
=
𝑠 − 1
(𝑠 − 2)(𝑠 − 3)
𝐴(𝑠 − 3) + 𝐵(𝑠 − 2)
(𝑠 − 2)(𝑠 − 3)
=
𝑠 − 1
(𝑠 − 2)(𝑠 − 3)
𝑠 = 3 𝐴(3 − 3) + 𝑏(3 − 2) = (3 − 1)
𝑠 = 2 𝐴(2 − 3) + 𝑏(2 − 2) = (2 − 1)
−𝐴 = 1 ∴ 𝐴 = −1
Asignamos valores convenientes.
B=2
Al ser iguales los denominadores
podemos quitarlos.
Al obtener los valores de A Y B podemos sustituir y resolver la anti transformada

5. 6
Anti transformada
𝑦(𝑡) = ℒ−1
𝑠 − 1
(𝑠 − 2)(𝑠 − 3)
𝑦(𝑡) = ℒ−1
{
−1
(𝑠−2)
+
2
(𝑠−3)
}
𝑦(𝑡) = −ℒ−1
(
−1
(𝑠 − 2)
) + 2𝑦−1
1
(𝑠 − 3)
= −𝑒2𝑡
+ 2𝑒3𝑡
𝓛−𝟏
(
𝒌
𝒔
) = 𝒌
𝓛−𝟏
(
𝟏
𝒔 − 𝒂
) = 𝒆 𝒂𝒕
Solución con la condición
dada 𝑦(0) = 1