Este documento contiene 6 prácticas de matemática que cubren temas como números reales, funciones, límites, derivadas e integrales. Cada práctica incluye ejercicios resueltos sobre los conceptos matemáticos correspondientes y al final hay evaluaciones para medir el aprendizaje.
1. Las ecuaciones se resuelven obteniendo valores de x e y. En el primer ejemplo, x = 20 y y = 5. En el segundo, x = -2 y y = 1. En el tercero, se deshace el cambio de variables para obtener x = 3 y y = 4.
2. En los problemas siguientes, se aplican propiedades de exponentes y logaritmos para simplificar expresiones y resolver ecuaciones. En el séptimo ejemplo, se igualan bases logarítmicas para obtener la ecuación 41x = 14 cuya solución es x = 14
Este documento presenta un taller sobre funciones cuadráticas que incluye ejercicios para graficar funciones cuadráticas, identificar sus componentes como ceros, vértice y concavidad, y resolver ecuaciones cuadráticas. Los estudiantes deben seguir pasos ordenados para analizar las funciones dadas y determinar valores numéricos relacionados a sus gráficas.
Este documento presenta 8 problemas que involucran el Teorema de Tales para calcular longitudes y relaciones entre segmentos en diferentes figuras geométricas. Los problemas incluyen calcular valores desconocidos, determinar si afirmaciones son verdaderas o falsas sobre relaciones entre segmentos, y calcular la altura de un edificio basado en proporciones de sombras.
Este documento contiene 35 preguntas de opción múltiple sobre conceptos de cálculo como derivadas, límites, puntos críticos y asíntotas. Las preguntas abarcan temas como reglas de derivación, interpretación gráfica de derivadas primeras y segundas, cálculo de límites, identificación de máximos y mínimos locales, y propiedades de funciones.
Taller las propiedades de la radicaciónRamiro Muñoz
El documento describe diferentes propiedades de las raíces. Explica cuatro propiedades fundamentales: 1) la raíz de un producto, 2) la raíz de un cociente, 3) la raíz de una raíz, y 4) la raíz de una potencia. Además, presenta fórmulas para aplicar cada propiedad y ejemplos numéricos para ilustrarlas. Finalmente, propone actividades complementarias para practicar el uso de estas propiedades en diferentes casos.
El documento explica las nociones básicas de función, dominio y recorrido. Define una función como una asignación entre dos conjuntos de números reales donde a cada elemento del conjunto de partida le corresponde uno y solo uno del conjunto de llegada. Explica cómo representar gráficamente una función y define dominio como el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente y recorrido como el conjunto de valores de la variable dependiente.
Este documento presenta una guía de prácticas de álgebra que incluye ejercicios sobre productos notables como el binomio al cuadrado, la diferencia de cuadrados, el trinomio al cuadrado, el binomio al cubo y el trinomio al cubo. Contiene más de 100 ejercicios para resolver que involucran expresiones algebraicas con variables como x, y, a, b y c entre otras. El objetivo es practicar diferentes tipos de productos notables que son fundamentales en álgebra.
El documento presenta información sobre funciones cuadráticas, incluyendo su definición, elementos clave como el vértice y dominio/rango, y aplicaciones. Explica que una función cuadrática toma la forma f(x)=ax2+bx+c, con su gráfica siendo una parábola. Detalla cómo calcular el vértice y raíces de la función, y cómo estas propiedades determinan la forma de la parábola. También cubre el cálculo de áreas bajo curvas cuadráticas y la intersección entre parábolas y rectas
1. Las ecuaciones se resuelven obteniendo valores de x e y. En el primer ejemplo, x = 20 y y = 5. En el segundo, x = -2 y y = 1. En el tercero, se deshace el cambio de variables para obtener x = 3 y y = 4.
2. En los problemas siguientes, se aplican propiedades de exponentes y logaritmos para simplificar expresiones y resolver ecuaciones. En el séptimo ejemplo, se igualan bases logarítmicas para obtener la ecuación 41x = 14 cuya solución es x = 14
Este documento presenta un taller sobre funciones cuadráticas que incluye ejercicios para graficar funciones cuadráticas, identificar sus componentes como ceros, vértice y concavidad, y resolver ecuaciones cuadráticas. Los estudiantes deben seguir pasos ordenados para analizar las funciones dadas y determinar valores numéricos relacionados a sus gráficas.
Este documento presenta 8 problemas que involucran el Teorema de Tales para calcular longitudes y relaciones entre segmentos en diferentes figuras geométricas. Los problemas incluyen calcular valores desconocidos, determinar si afirmaciones son verdaderas o falsas sobre relaciones entre segmentos, y calcular la altura de un edificio basado en proporciones de sombras.
Este documento contiene 35 preguntas de opción múltiple sobre conceptos de cálculo como derivadas, límites, puntos críticos y asíntotas. Las preguntas abarcan temas como reglas de derivación, interpretación gráfica de derivadas primeras y segundas, cálculo de límites, identificación de máximos y mínimos locales, y propiedades de funciones.
Taller las propiedades de la radicaciónRamiro Muñoz
El documento describe diferentes propiedades de las raíces. Explica cuatro propiedades fundamentales: 1) la raíz de un producto, 2) la raíz de un cociente, 3) la raíz de una raíz, y 4) la raíz de una potencia. Además, presenta fórmulas para aplicar cada propiedad y ejemplos numéricos para ilustrarlas. Finalmente, propone actividades complementarias para practicar el uso de estas propiedades en diferentes casos.
El documento explica las nociones básicas de función, dominio y recorrido. Define una función como una asignación entre dos conjuntos de números reales donde a cada elemento del conjunto de partida le corresponde uno y solo uno del conjunto de llegada. Explica cómo representar gráficamente una función y define dominio como el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente y recorrido como el conjunto de valores de la variable dependiente.
Este documento presenta una guía de prácticas de álgebra que incluye ejercicios sobre productos notables como el binomio al cuadrado, la diferencia de cuadrados, el trinomio al cuadrado, el binomio al cubo y el trinomio al cubo. Contiene más de 100 ejercicios para resolver que involucran expresiones algebraicas con variables como x, y, a, b y c entre otras. El objetivo es practicar diferentes tipos de productos notables que son fundamentales en álgebra.
El documento presenta información sobre funciones cuadráticas, incluyendo su definición, elementos clave como el vértice y dominio/rango, y aplicaciones. Explica que una función cuadrática toma la forma f(x)=ax2+bx+c, con su gráfica siendo una parábola. Detalla cómo calcular el vértice y raíces de la función, y cómo estas propiedades determinan la forma de la parábola. También cubre el cálculo de áreas bajo curvas cuadráticas y la intersección entre parábolas y rectas
Este documento contiene 12 preguntas sobre funciones cuadráticas. Las preguntas cubren temas como calcular valores de funciones, determinar intervalos de crecimiento, encontrar vértices de parábolas, identificar gráficas de funciones cuadráticas y simplificar funciones a la forma estándar. El objetivo es evaluar la comprensión del estudiante sobre conceptos clave de funciones cuadráticas.
Este documento presenta un taller de física sobre trabajo, potencia y energía. Contiene 13 problemas que involucran calcular el trabajo realizado al mover un cuerpo aplicando una fuerza a cierta distancia o altura, considerando la masa del cuerpo y los valores numéricos dados. Los resultados deben expresarse en julios y ergios.
El documento presenta varios ejercicios y problemas resueltos sobre límites y continuidad de funciones. El primer ejercicio comprueba que el límite de una función cuando x tiende a 2 es 4. El segundo ejercicio analiza la continuidad de una función dada su gráfica. El tercer ejercicio determina los puntos donde la función no tiene límite.
Este documento presenta una guía sobre logaritmos que incluye ejercicios para calcular valores de expresiones logarítmicas, aplicar propiedades de los logaritmos, resolver ecuaciones logarítmicas y plantear problemas en forma de logaritmo.
1. El documento presenta 10 métodos para factorizar expresiones algebraicas. Estos incluyen factor común, trinomio cuadrado perfecto, diferencia de cuadrados, suma o diferencia de cubos perfectos y suma o diferencia de potencias iguales.
2. Se proporcionan ejemplos y reglas para cada método de factorización. Además, se incluyen 95 ejercicios para que los estudiantes apliquen estos métodos.
3. El objetivo general es enseñar diferentes técnicas para descomponer expresiones algebraicas en fact
Este documento es una evaluación de matemáticas sobre los números reales para un grado escolar. Contiene 8 preguntas con múltiples partes que prueban la comprensión de los estudiantes sobre los diferentes tipos de números reales, operaciones con potencias y raíces, y transformaciones entre potencias y raíces. Los estudiantes deben clasificar números, resolver operaciones, y verificar resultados de raíces.
Este documento proporciona instrucciones para dividir polinomios. Primero, pide al lector que intente dividir varios polinomios ordenados, recordando ordenar los términos. Luego, pide dividir seis expresiones ordenando los términos antes de dividir.
Este documento presenta una prueba de matemáticas de álgebra para 7° básico que evalúa diferentes conceptos como ecuaciones, expresiones algebraicas, términos semejantes, reemplazo de variables y resolución de ecuaciones. La prueba contiene seis secciones con múltiple choice, determinación de expresiones, comprobación de igualdades, reducción de términos, reemplazo de variables y resolución de ecuaciones. El objetivo es evaluar los conocimientos del estudiante en álgebra.
Este documento presenta un taller sobre funciones realizado con el software GeoGebra. Explica conceptos básicos de funciones como dominio, rango y tipos de funciones como constante, lineal, cuadrática y cúbica. Incluye ejemplos paso a paso de cómo graficar funciones usando GeoGebra y determinar sus características. Finaliza con prácticas propuestas para que los estudiantes exploren funciones con el software.
El documento presenta información sobre las pruebas estandarizadas que aplica el Instituto Nacional de Evaluación Educativa en Ecuador. Estas pruebas evalúan los conocimientos y habilidades adquiridos por los estudiantes de tercer año de bachillerato. El autor del documento crea un texto para orientar a los estudiantes sobre este examen de grado y facilitar su comprensión de la asignatura de matemáticas. El texto incluye problemas resueltos y propuestos ordenados por nivel de complejidad.
1) P(x) = 2 + x2003 – 3x2002 es un polinomio de grado 2003.
2) Se calcula la derivada de P(x), que es P'(x) = 2003x2002 – 6006x2001.
3) Se sustituye x = 0 en P'(x) para obtener P'(0) = 0.
Este documento presenta una serie de ejercicios sobre productos notables que involucran binomios, trinomios y expresiones algebraicas. Los ejercicios 1 y 2 piden calcular cuadrados de binomios y productos de binomios. Los ejercicios 3 y 4 piden expresar expresiones en forma de producto y simplificar expresiones algebraicas utilizando productos notables. El ejercicio 5 pide descomponer expresiones en factores y simplificar.
Este documento presenta ejercicios sobre razones y proporciones. Incluye problemas para calcular valores de razones, determinar elementos desconocidos en proporciones, y resolver situaciones reales usando razones y proporciones. Los ejercicios abarcan temas como velocidades, áreas, edades, lados de figuras geométricas y distribución de cantidades entre personas.
Este documento presenta una guía sobre raíces cuadradas que incluye 7 secciones con ejercicios de cálculo de raíces cuadradas, análisis de afirmaciones sobre raíces cuadradas, resolución de problemas y ampliación de conocimientos sobre raíces cuadradas y otros índices. La guía es para el nivel de 7mo básico y fue desarrollada por las profesoras Victoria Ainardi y Bernardita Morales.
Este documento presenta una guía de 30 ejercicios sobre logaritmos y la función logarítmica. Los ejercicios cubren temas como propiedades de los logaritmos, expresiones logarítmicas equivalentes, gráficos de funciones logarítmicas y determinación de valores numéricos de expresiones logarítmicas dados ciertos datos. El objetivo es que los estudiantes practiquen y apliquen sus conocimientos sobre esta importante función matemática.
Dominio y rango de funciones con restriccionesMagiserio
Este documento trata sobre el dominio y rango de funciones con restricciones. Explica que el dominio de una función con restricciones es el conjunto de todos los valores posibles de la variable independiente para los cuales la función es válida o definida, mientras que el rango es el conjunto de todos los valores posibles de la variable dependiente.
El documento presenta una prueba de 15 preguntas de selección múltiple sobre el teorema de Tales. Cada pregunta contiene una figura geométrica y pregunta por algún valor desconocido basado en las relaciones de paralelismo y proporcionalidad entre los segmentos de las figuras.
Este documento trata sobre los fundamentos básicos de los polinomios. Explica qué son las expresiones algebraicas y los diferentes tipos como monomios, binomios, trinomios y polinomios. También describe las partes de un monomio como el coeficiente, la parte literal y el grado. Finalmente, cubre operaciones básicas con polinomios como suma, resta, multiplicación y factorización.
guia de ejercicios de matematica del cbcapuntescbc
Este documento contiene 6 prácticas de matemática que cubren temas como números reales, funciones, límites, derivadas e integrales. Cada práctica incluye ejercicios resueltos sobre los conceptos matemáticos tratados y ejercicios adicionales para la práctica. También incluye evaluaciones parciales y final.
Matemáticas para la Economía: Álgebra (6501108) PEC 2013universo exacto
El documento presenta 10 preguntas de matemáticas sobre álgebra lineal. Las preguntas abarcan temas como subespacios vectoriales, bases, operaciones matriciales, sistemas de ecuaciones lineales y aplicaciones lineales. Se pide determinar bases, calcular determinantes, imágenes de aplicaciones lineales y compatibilidad/soluciones de sistemas.
Este documento contiene 10 preguntas de matemáticas para la economía relacionadas con álgebra, subespacios vectoriales, determinantes, sistemas de ecuaciones y aplicaciones lineales. Se pide determinar dimensiones, bases, valores de parámetros, soluciones de ecuaciones matriciales y precios de acciones a partir de la información dada en cada pregunta.
Este documento contiene 12 preguntas sobre funciones cuadráticas. Las preguntas cubren temas como calcular valores de funciones, determinar intervalos de crecimiento, encontrar vértices de parábolas, identificar gráficas de funciones cuadráticas y simplificar funciones a la forma estándar. El objetivo es evaluar la comprensión del estudiante sobre conceptos clave de funciones cuadráticas.
Este documento presenta un taller de física sobre trabajo, potencia y energía. Contiene 13 problemas que involucran calcular el trabajo realizado al mover un cuerpo aplicando una fuerza a cierta distancia o altura, considerando la masa del cuerpo y los valores numéricos dados. Los resultados deben expresarse en julios y ergios.
El documento presenta varios ejercicios y problemas resueltos sobre límites y continuidad de funciones. El primer ejercicio comprueba que el límite de una función cuando x tiende a 2 es 4. El segundo ejercicio analiza la continuidad de una función dada su gráfica. El tercer ejercicio determina los puntos donde la función no tiene límite.
Este documento presenta una guía sobre logaritmos que incluye ejercicios para calcular valores de expresiones logarítmicas, aplicar propiedades de los logaritmos, resolver ecuaciones logarítmicas y plantear problemas en forma de logaritmo.
1. El documento presenta 10 métodos para factorizar expresiones algebraicas. Estos incluyen factor común, trinomio cuadrado perfecto, diferencia de cuadrados, suma o diferencia de cubos perfectos y suma o diferencia de potencias iguales.
2. Se proporcionan ejemplos y reglas para cada método de factorización. Además, se incluyen 95 ejercicios para que los estudiantes apliquen estos métodos.
3. El objetivo general es enseñar diferentes técnicas para descomponer expresiones algebraicas en fact
Este documento es una evaluación de matemáticas sobre los números reales para un grado escolar. Contiene 8 preguntas con múltiples partes que prueban la comprensión de los estudiantes sobre los diferentes tipos de números reales, operaciones con potencias y raíces, y transformaciones entre potencias y raíces. Los estudiantes deben clasificar números, resolver operaciones, y verificar resultados de raíces.
Este documento proporciona instrucciones para dividir polinomios. Primero, pide al lector que intente dividir varios polinomios ordenados, recordando ordenar los términos. Luego, pide dividir seis expresiones ordenando los términos antes de dividir.
Este documento presenta una prueba de matemáticas de álgebra para 7° básico que evalúa diferentes conceptos como ecuaciones, expresiones algebraicas, términos semejantes, reemplazo de variables y resolución de ecuaciones. La prueba contiene seis secciones con múltiple choice, determinación de expresiones, comprobación de igualdades, reducción de términos, reemplazo de variables y resolución de ecuaciones. El objetivo es evaluar los conocimientos del estudiante en álgebra.
Este documento presenta un taller sobre funciones realizado con el software GeoGebra. Explica conceptos básicos de funciones como dominio, rango y tipos de funciones como constante, lineal, cuadrática y cúbica. Incluye ejemplos paso a paso de cómo graficar funciones usando GeoGebra y determinar sus características. Finaliza con prácticas propuestas para que los estudiantes exploren funciones con el software.
El documento presenta información sobre las pruebas estandarizadas que aplica el Instituto Nacional de Evaluación Educativa en Ecuador. Estas pruebas evalúan los conocimientos y habilidades adquiridos por los estudiantes de tercer año de bachillerato. El autor del documento crea un texto para orientar a los estudiantes sobre este examen de grado y facilitar su comprensión de la asignatura de matemáticas. El texto incluye problemas resueltos y propuestos ordenados por nivel de complejidad.
1) P(x) = 2 + x2003 – 3x2002 es un polinomio de grado 2003.
2) Se calcula la derivada de P(x), que es P'(x) = 2003x2002 – 6006x2001.
3) Se sustituye x = 0 en P'(x) para obtener P'(0) = 0.
Este documento presenta una serie de ejercicios sobre productos notables que involucran binomios, trinomios y expresiones algebraicas. Los ejercicios 1 y 2 piden calcular cuadrados de binomios y productos de binomios. Los ejercicios 3 y 4 piden expresar expresiones en forma de producto y simplificar expresiones algebraicas utilizando productos notables. El ejercicio 5 pide descomponer expresiones en factores y simplificar.
Este documento presenta ejercicios sobre razones y proporciones. Incluye problemas para calcular valores de razones, determinar elementos desconocidos en proporciones, y resolver situaciones reales usando razones y proporciones. Los ejercicios abarcan temas como velocidades, áreas, edades, lados de figuras geométricas y distribución de cantidades entre personas.
Este documento presenta una guía sobre raíces cuadradas que incluye 7 secciones con ejercicios de cálculo de raíces cuadradas, análisis de afirmaciones sobre raíces cuadradas, resolución de problemas y ampliación de conocimientos sobre raíces cuadradas y otros índices. La guía es para el nivel de 7mo básico y fue desarrollada por las profesoras Victoria Ainardi y Bernardita Morales.
Este documento presenta una guía de 30 ejercicios sobre logaritmos y la función logarítmica. Los ejercicios cubren temas como propiedades de los logaritmos, expresiones logarítmicas equivalentes, gráficos de funciones logarítmicas y determinación de valores numéricos de expresiones logarítmicas dados ciertos datos. El objetivo es que los estudiantes practiquen y apliquen sus conocimientos sobre esta importante función matemática.
Dominio y rango de funciones con restriccionesMagiserio
Este documento trata sobre el dominio y rango de funciones con restricciones. Explica que el dominio de una función con restricciones es el conjunto de todos los valores posibles de la variable independiente para los cuales la función es válida o definida, mientras que el rango es el conjunto de todos los valores posibles de la variable dependiente.
El documento presenta una prueba de 15 preguntas de selección múltiple sobre el teorema de Tales. Cada pregunta contiene una figura geométrica y pregunta por algún valor desconocido basado en las relaciones de paralelismo y proporcionalidad entre los segmentos de las figuras.
Este documento trata sobre los fundamentos básicos de los polinomios. Explica qué son las expresiones algebraicas y los diferentes tipos como monomios, binomios, trinomios y polinomios. También describe las partes de un monomio como el coeficiente, la parte literal y el grado. Finalmente, cubre operaciones básicas con polinomios como suma, resta, multiplicación y factorización.
guia de ejercicios de matematica del cbcapuntescbc
Este documento contiene 6 prácticas de matemática que cubren temas como números reales, funciones, límites, derivadas e integrales. Cada práctica incluye ejercicios resueltos sobre los conceptos matemáticos tratados y ejercicios adicionales para la práctica. También incluye evaluaciones parciales y final.
Matemáticas para la Economía: Álgebra (6501108) PEC 2013universo exacto
El documento presenta 10 preguntas de matemáticas sobre álgebra lineal. Las preguntas abarcan temas como subespacios vectoriales, bases, operaciones matriciales, sistemas de ecuaciones lineales y aplicaciones lineales. Se pide determinar bases, calcular determinantes, imágenes de aplicaciones lineales y compatibilidad/soluciones de sistemas.
Este documento contiene 10 preguntas de matemáticas para la economía relacionadas con álgebra, subespacios vectoriales, determinantes, sistemas de ecuaciones y aplicaciones lineales. Se pide determinar dimensiones, bases, valores de parámetros, soluciones de ecuaciones matriciales y precios de acciones a partir de la información dada en cada pregunta.
Matemáticas para la Economía: Álgebra (6501108) PEC_2013. Solucionesuniverso exacto
El documento presenta varios problemas de álgebra lineal y sistemas de ecuaciones, incluyendo el cálculo de bases de subespacios vectoriales, operaciones matriciales, aplicaciones lineales y sistemas de ecuaciones. Se piden determinar la solución o resultado de cada problema.
Este documento contiene cuatro secciones que piden al estudiante: 1) Escribir una oración con pares de palabras dados; 2) Encontrar seis palabras esdrújulas en una sopa de letras; 3) Escribir ejemplos de tres tipos de nombres; 4) Describir los pasos para ir de su casa al colegio de manera ordenada.
The document is a reading comprehension worksheet that contains multiple choice and short answer questions about a passage on honesty. It discusses an experiment where wallets were left in public places to see if people would return them. The key details are that most people, especially women, returned the wallets, though young people were the least likely to do so.
El documento presenta una introducción a las ecuaciones e inecuaciones, definiendo los símbolos utilizados y los conjuntos de números reales, racionales e irracionales. Luego, describe diferentes métodos para factorizar expresiones algebraicas como el método del factor común, de los productos notables, del aspa simple y doble, entre otros.
Este documento describe las funciones exponenciales y logarítmicas. Explica que una función exponencial se define como y = a^x donde a es la base y puede ser cualquier número real positivo distinto de 1. También describe el dominio, rango y gráfica de funciones exponenciales, así como cómo resolver ecuaciones exponenciales y cómo funciona el interés compuesto cuando los intereses se capitalizan periódicamente.
ejercicios resueltos de algebra del cbc guia 5apuntescbc
El documento habla sobre la importancia de la privacidad y la seguridad en línea. Explica que los usuarios deben tomar medidas para proteger su información personal en Internet, como usar contraseñas seguras y actualizadas, y estar atentos al phishing. También enfatiza que las empresas deben implementar medidas de seguridad sólidas para proteger los datos de los clientes.
Este documento presenta un examen final de matemáticas para el CBC que consta de 20 preguntas de opción múltiple. Para aprobar, se requieren al menos 8 respuestas correctas y más respuestas correctas que incorrectas. Cada pregunta trata sobre un tema matemático como funciones lineales y cuadráticas, ecuaciones, derivadas y áreas. Al final se proporcionan enlaces a las soluciones detalladas de cada ejercicio.
1. The document summarizes a reading passage about a TV hoax in 1999 where producers tricked contestants into thinking they had traveled to space.
2. The producers disguised a disused Russian cosmonaut training facility to look like an active space station. Contestants were psychologically screened to choose those most likely to believe the hoax.
3. When the contestants left the fake spacecraft, they discovered they were actually stepping into a TV studio set. Though disappointed to learn they had never been to space, some were still willing to accept the £25,000 prize offered.
Este documento presenta 12 ejercicios de álgebra. Los ejercicios cubren temas como calcular expresiones algebraicas, verificar igualdades, resolver ecuaciones, ordenar números, calcular fracciones, y representar puntos y conjuntos en el plano. El objetivo es que los estudiantes repasen estos conceptos básicos antes de comenzar el curso.
Este documento contiene información sobre 6 prácticas de álgebra lineal y programación lineal. La Práctica 1 cubre rectas y planos en R2 y R3, incluyendo ecuaciones paramétricas e implícitas. Las siguientes prácticas cubren sistemas de ecuaciones lineales, espacios vectoriales, matrices y programación lineal. Al final hay ejercicios de práctica adicionales sobre estos temas.
Este documento describe los conceptos básicos de las ecuaciones lineales y cuadráticas. Explica que una ecuación es una afirmación de igualdad entre dos expresiones algebraicas y que resolver una ecuación implica encontrar los valores de las variables que hacen que la ecuación sea verdadera. Para las ecuaciones lineales, ofrece métodos como eliminación de paréntesis, sumas/restas y divisiones. También cubre sistemas de ecuaciones lineales y sus métodos de resolución: gráfico, sustitución y eliminación. Finalmente, señ
El documento describe el modelo de matriz insumo-producto (matriz de Leontief) para representar la interacción entre industrias en una economía nacional. Cada industria produce un bien que se usa como insumo por otras industrias y para la demanda final. La matriz muestra las compras y ventas entre industrias y permite calcular los cambios en la producción total cuando cambia la demanda final.
El libro "Matemática para el CBC, Parte 1" de la editorial Asimov proporciona una explicación en lenguaje sencillo de los principales temas de matemática que se ven en la primera parte del CBC, incluyendo funciones, ecuaciones, límites y trigonometría, con el objetivo de facilitar la comprensión de los estudiantes.
Este documento presenta un resumen de 6 capítulos sobre materiales de ingeniería. Cubre temas como estructura cristalina, propiedades físicas y mecánicas de los materiales, diagramas de equilibrio, materiales poliméricos y metalografía. Contiene una serie de problemas resueltos relacionados con estos temas para ayudar a los estudiantes a prepararse para la asignatura de Materiales en Ingeniería Industrial.
Este documento contiene 6 prácticas de matemática que cubren temas como números reales, funciones, límites, derivadas e integrales. Cada práctica incluye ejercicios resueltos sobre los diferentes temas y al final hay evaluaciones para medir el aprendizaje de los estudiantes. El documento también lista libros de consulta recomendados para profundizar en los conceptos matemáticos cubiertos.
Este documento presenta una guía de trabajos prácticos para la asignatura Matemática 61 del Ciclo Básico Común de la Facultad de Agronomía de la UBA. La guía introduce los temas a estudiar, que incluyen conceptos de análisis matemático en una variable, resolución de sistemas de ecuaciones lineales y nociones básicas de combinatoria y probabilidad. Además, proporciona una lista de libros de consulta y una serie de ejercicios prácticos para que los estudiantes practiquen y
Este documento presenta información sobre números reales. Explica conceptos como números racionales e irracionales y cómo resolver ecuaciones de segundo grado. También incluye ejercicios para practicar la simplificación de raíces y la racionalización de fracciones.
Este documento presenta información sobre números reales. Explica conceptos como números racionales e irracionales y cómo resolver ecuaciones de segundo grado. También incluye ejercicios para practicar la simplificación de raíces y la racionalización de fracciones.
Este documento presenta información sobre números reales. Explica conceptos como números racionales e irracionales y cómo resolver ecuaciones de segundo grado. También muestra ejemplos de simplificación de raíces y racionalización de fracciones.
Este documento presenta información sobre números reales. Explica conceptos como números racionales e irracionales y cómo resolver ecuaciones de segundo grado. También incluye ejercicios para practicar la simplificación de raíces y la racionalización de fracciones.
Este documento presenta información sobre números reales. Explica conceptos como números racionales e irracionales y cómo resolver ecuaciones de segundo grado. También incluye ejercicios para practicar la simplificación de raíces y la racionalización de fracciones.
Este documento presenta información sobre números reales. Explica que el número Pi tiene infinitos decimales que no siguen ningún patrón y pertenece a los números irracionales. También presenta ejemplos para distinguir entre números racionales e irracionales y realiza operaciones con valores absolutos y potencias.
Este documento presenta varios ejercicios de álgebra:
1. Simplificar expresiones algebraicas agrupando términos semejantes.
2. Calcular el perímetro de figuras geométricas.
3. Realizar operaciones como multiplicación, suma y resta con expresiones algebraicas.
Este documento presenta soluciones a ejercicios y problemas relacionados con funciones lineales, cuadráticas y otras funciones elementales. Contiene 17 ejercicios resueltos que incluyen representaciones gráficas de funciones, hallazgo de vértices de parábolas, dominios de definición y más. El objetivo es practicar conceptos básicos de funciones a través de ejemplos numéricos y gráficos.
Este documento presenta información sobre números enteros. Explica que los números enteros incluyen números naturales, cero y sus opuestos negativos. Describe cómo representar números enteros en la recta numérica y ordenarlos de menor a mayor. También cubre sumas y restas básicas con números enteros, incluyendo el uso de paréntesis. El documento proporciona ejemplos y actividades para practicar estas operaciones.
Este documento presenta un cuaderno de matemáticas para estudiantes de primer año de educación media. Incluye contenidos sobre números naturales, enteros y racionales, operaciones básicas, ecuaciones, geometría, estadística e informática. El autor explica que el objetivo es facilitar el aprendizaje de los estudiantes de forma práctica y sencilla.
Este documento presenta varios ejercicios relacionados con números reales y operaciones con raíces. Primero, se clasifican números en los conjuntos de enteros y racionales. Luego, se resuelven ecuaciones cuadráticas utilizando números reales irracionales. Finalmente, se demuestra que determinados números son irracionales y se simplifican expresiones con raíces.
3. En la biblioteca del señor Valdez, las tres cuartas partes de los libros son de Medicina, la quinta parte del resto son de Biología y completan la colección 20 libros de Historia. ¿Cuántos libros de Medicina y Biología tiene? Patricio Garrochamba
Este documento presenta dos problemas relacionados con el número áureo Φ.
1) Demuestra que la relación entre la diagonal y el lado de un pentágono regular es Φ. Esto se logra mediante la semejanza de triángulos.
2) Muestra que si se quita un cuadrado de un rectángulo, el rectángulo restante es semejante al original, por lo que su razón de lados es Φ.
Este documento presenta ejercicios sobre números enteros para estudiantes de primer año de secundaria. Incluye ejercicios para practicar conceptos como números positivos y negativos, el conjunto de números enteros, sumas y restas de números enteros, y sumas y restas con paréntesis. El documento contiene 28 ejercicios con instrucciones paso a paso y soluciones para que los estudiantes puedan revisar su trabajo.
Este documento presenta ejercicios sobre números enteros para estudiantes de primer año de secundaria. Incluye ejercicios para practicar conceptos como números positivos y negativos, el conjunto de números enteros, sumas y restas de números enteros, y sumas y restas con paréntesis. El documento contiene 28 ejercicios con instrucciones paso a paso y soluciones para que los estudiantes puedan revisar su trabajo.
Este documento presenta una guía de álgebra básica para octavo grado. Introduce conceptos como expresiones y términos algebraicos, evaluación de expresiones, reducción de términos semejantes, uso de paréntesis, polinomios y suma de polinomios. Incluye ejemplos y actividades para practicar estas nociones algebraicas fundamentales.
4) TEORÍA - Conjunto de Números Complejos .pdfSoloMel1
Este documento introduce los números complejos como una extensión de los números reales. Define los números complejos como pares ordenados de la forma a + bi, donde a es la parte real y b es la parte imaginaria. Explica las operaciones básicas con números complejos como suma, resta, multiplicación y división. También cubre temas como números complejos conjugados, potenciación de números complejos y representaciones equivalentes de números complejos.
El documento presenta ejercicios sobre conversiones de unidades de longitud como kilómetros, hectómetros, decámetros, metros, decímetros y milímetros. Incluye completar tablas de conversión, transformar longitudes de una unidad a otra, y relacionar medidas de longitud con los instrumentos adecuados para medirlas como reglas, cintas métricas y calibradores. El último ejercicio pide calcular la longitud total de un carril para bicicletas después de asfaltar más hectómetros.
El documento presenta varios problemas de matemáticas relacionados con medidas de capacidad y masa. Primero, pide completar igualdades de medidas como dal, cl, kl, dl, hl y ml. Luego, solicita expresar en gramos medidas como dag, cg, kg, dg, hg y mg. Finalmente, plantea relacionar elementos de medida con sus instrumentos correspondientes y calcular cuántos platos de 2 decilitros cabrían en una sopera de 1,5 litros.
El documento presenta varios problemas de división de números naturales. En la primera sección se piden resolver divisiones y dar el resto. En la segunda se identifican cuales divisiones son exactas y cuales enteras. La tercera relaciona divisiones que tienen el mismo cociente sin resolverlas. La cuarta iguala divisiones con su aproximación y calcula cocientes. La quinta pregunta cuantos olivos hay en cada fila si un agricultor plantó un total de 6764 olivos en 89 filas.
Tourism in Antarctica has increased in recent years, bringing both opportunities and risks. While tourism may encourage conservation by raising awareness of Antarctica's beauty, it also threatens to damage the environment through activities like oil spills. Most agree that limiting tourist numbers would help minimize environmental impacts. An Antarctic cruise aims to educate visitors about the local ecosystem and wildlife, but bad weather and ship accidents remain dangers. Overall, balancing tourism promotion and environmental protection in Antarctica requires setting appropriate rules and restrictions.
The document contains a reading comprehension passage about extreme weather. It includes multiple choice questions to test reading comprehension, as well as vocabulary questions about words used in the passage. Additionally, it covers grammar topics such as modals and modal perfects, with related exercises. There are also sections on listening, speaking, writing, and using graphs and charts with corresponding tasks.
The document discusses a reading passage about renting dogs for short periods of time. It provides opposing views on the practice from writers in favor of and against renting dogs. It also discusses the experiences of a family who rented a Labrador for a weekend and their desire to give their children the experience of having a dog without the long-term commitment.
This document provides information about famous landmarks from around the world, including descriptions, facts, and vocabulary related to buildings and architecture. It discusses landmarks like the Eiffel Tower, Empire State Building, and Notre Dame Cathedral. It also includes exercises on grammar, listening, speaking, writing and research skills focused on describing landmarks and buildings.
This document contains an English reading comprehension test with multiple sections, including reading passages, vocabulary, grammar and writing exercises. One reading passage is about a person named Max who climbs out of a hotel window thinking there is a balcony below, but there is no balcony and he falls six stories to the ground. The document tests a variety of English skills through different question types such as true/false, matching, gap fill and short answer questions.
Este documento contiene un ejercicio de evaluación de lengua española con 8 preguntas. La primera pregunta pide sustituir verbos en oraciones. La segunda identifica dibujos y completa oraciones. La tercera trabaja con diptongos e hiatos. La cuarta clasifica palabras por tildes. La quinta subraya nombres y los identifica por género y número. La sexta completa tablas de género y número. La séptima define palabras y conceptos gramaticales. La octava pide resumir una película preferida
Este documento contiene cuatro actividades de lengua castellana para un estudiante de 5o curso de primaria. La primera actividad pide sustituir palabras destacadas por sus antónimos en un texto dado. La segunda identifica palabras llanas en un diálogo y explica si llevan tilde o no. La tercera pide rodear los núcleos del sujeto y predicado en unas oraciones y reemplazarlos por otros. La cuarta instruye al estudiante a observar y describir un parque, explicando qué hay en él y la impresión
El documento presenta una serie de ejercicios de lengua castellana para completar y resolver. El primer ejercicio pide encontrar cinco sinónimos de la palabra "gentil" en una sopa de letras y completar oraciones con ellos. El segundo ejercicio consiste en completar oraciones con palabras agudas teniendo en cuenta la tilde. El tercer ejercicio solicita escribir un enunciado de cada tipo (afirmativo, negativo, interrogativo, exclamativo e imperativo). Finalmente, el cuarto ejercicio propone imaginar ser uno de los niños de una
Este documento contiene cuatro ejercicios de lengua. El primero pide encontrar el significado de tres palabras en el diccionario y copiar sus definiciones. El segundo solicita subrayar la sílaba tónica de varias palabras e indicar su número de sílabas y tipo. El tercero pregunta por los idiomas oficiales de cinco comunidades autónomas españolas. Y el cuarto pide describir a unos personajes y explicar su relación.
El documento presenta una serie de ejercicios de lengua castellana para completar y resolver. El primer ejercicio pide encontrar cinco sinónimos de "gentil" en una sopa de letras y completar oraciones con ellos. El segundo ejercicio consiste en completar oraciones con palabras agudas. El tercer ejercicio solicita escribir un enunciado de cada tipo (afirmativo, negativo, interrogativo, exclamativo e imperativo). El cuarto ejercicio pide imaginar ser uno de los niños de una viñeta y escribir una página del di
Este documento contiene cuatro ejercicios de lengua. El primero pide encontrar el significado de tres palabras en el diccionario y copiar sus definiciones. El segundo solicita subrayar la sílaba tónica de varias palabras e indicar su número de sílabas y tipo. El tercero pregunta por los idiomas oficiales de cinco comunidades autónomas españolas. Y el cuarto pide describir a unos personajes y explicar su relación.
Este documento presenta un conjunto de 8 ejercicios de matemáticas sobre fracciones y decimales. Los ejercicios incluyen calcular resultados, clasificar números como decimales exactos o periódicos, resolver problemas que involucran conversiones entre fracciones y decimales, y determinar si ciertas afirmaciones son verdaderas o falsas.
Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinaria). UCLMJuan Martín Martín
Examen de Selectividad de la EvAU de Geografía de junio de 2023 en Castilla La Mancha. UCLM . (Convocatoria ordinaria)
Más información en el Blog de Geografía de Juan Martín Martín
http://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/
Este documento presenta un examen de geografía para el Acceso a la universidad (EVAU). Consta de cuatro secciones. La primera sección ofrece tres ejercicios prácticos sobre paisajes, mapas o hábitats. La segunda sección contiene preguntas teóricas sobre unidades de relieve, transporte o demografía. La tercera sección pide definir conceptos geográficos. La cuarta sección implica identificar elementos geográficos en un mapa. El examen evalúa conocimientos fundamentales de geografía.
ACERTIJO DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARÍS. Por JAVI...JAVIER SOLIS NOYOLA
El Mtro. JAVIER SOLIS NOYOLA crea y desarrolla el “DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARIS”. Esta actividad de aprendizaje propone el reto de descubrir el la secuencia números para abrir un candado, el cual destaca la percepción geométrica y conceptual. La intención de esta actividad de aprendizaje lúdico es, promover los pensamientos lógico (convergente) y creativo (divergente o lateral), mediante modelos mentales de: atención, memoria, imaginación, percepción (Geométrica y conceptual), perspicacia, inferencia y viso-espacialidad. Didácticamente, ésta actividad de aprendizaje es transversal, y que integra áreas del conocimiento: matemático, Lenguaje, artístico y las neurociencias. Acertijo dedicado a los Juegos Olímpicos de París 2024.
3.
PRÁCTICA 4
FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS 32
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 33
EJERCICIOS SURTIDOS 36
PRÁCTICA 5
DERIVADAS 38
EJERCICIOS SURTIDOS 44
PRÁCTICA 6
INTEGRALES 46
EJERCICIOS SURTIDOS 52
EVALUACIONES
PRIMER PARCIAL 54
SEGUNDO PARCIAL 55
EXAMEN FINAL 56
RESPUESTAS DEL EXAMEN FINAL 58
4.
LIBROS DE CONSULTA
ALLENDOERFER, Carl B. y OAKLEY, C.
Matemáticas Universitarias. McGraw – Hill.
de GUZMÁN, Miguel, COLERA J. y SALVADOR, A.
Matemáticas. Bachillerato 1. ANAYA.
de GUZMÁN, Miguel, COLERA J. y SALVADOR, A.
Matemáticas. Bachillerato 2. ANAYA.
de GUZMÁN, Miguel, COLERA J. y SALVADOR, A.
Matemáticas. Bachillerato 3. ANAYA.
de GUZMÁN, Miguel y COLERA J.
Matemática II. C.O.U. ANAYA.
PROFESORES DEL ÁREA MATEMÁTICA DEL CBC
Matemática Teórica. CCC Educando.
PURCELL, Edwin J. y VARBERG. D.
Cálculo Diferencial e Integral. Prentice Hall.
SPIEGEL, Murray R.
Cálculo Superior. McGraw – Hill.
ZILL, Dennis G.
Álgebra y Trigonometría. McGraw – Hill.
5. PRÁCTICA 0
1
PRELIMINARES
Ejercicio 1.- Calcular.
a.
5 2 3 1
6 3 4 6
⎛ ⎞
+ − +⎜ ⎟
⎝ ⎠
b.
2 1 5 5
3 5 2 6
⎛ ⎞
+ +⎜ ⎟
⎝ ⎠
c.
1 2
4 2 5 1
3 9 6 2
−
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
d. ( ) ( )3 2
4 5 9 : 10 70+ − −
e.
1 2 5 1
:
8 5 2 4
⎛ ⎞⎛ ⎞
+⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
f.
2
2
3 (5 1,2) 5,8
1
5 :(3 2,1)
2
+ −
⎛ ⎞
+ +⎜ ⎟
⎝ ⎠
g.
1
2
9 16 2
15 3
⎛ ⎞+
+⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
h.
31
2 4
4 1
9 16
−
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
i. 3
0
1 27
5 8
⎛ ⎞
− + −⎜ ⎟
⎝ ⎠
j.
2
3 4 7
1 1
5 5
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
k.
16 4
2 2
:
5 5
−
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
l. ( )
3
4 2
98
−
Ejercicio 2.- Reducir a una sola fracción.
a.
5
4
x
− b.
3
2
2 1x
−
+
c.
2
2
2
x
x x
x
x
−
d.
3
4 4
x
x x
−
+
− −
e.
25
2 5
1 2
x
x
+ −
−
f. 2
2
3x
x
+
g.
2
5 15 5
: 1
2 6 2
x x
x x
⎛ ⎞+ ⎛ ⎞
+⎜ ⎟ ⎜ ⎟
+ ⎝ ⎠⎝ ⎠
h.
2 2 1
3 12 4
x x
x x
+ −
+
− −
Ejercicio 3.- Resolver.
a. 2 5 9x + = b. 4 11 5 7x x− = − +
c. 3 1
2
x
− = − d.
5
2 3
x
+ = −
e.
2
6 12
2
3 4
x
x
x
−
=
−
f. 3 2x x+ = −
6. PRÁCTICA 0
2
g.
10
5
2x
=
+
h.
4 7
2 2 4 3 6
x
x x x
− =
− − −
i.
3 7
2
6
x
x
−
= −
+
j.
5 3
2 2
x
x
x x
+
+ =
− −
k.
3 2
0
7
x
x
−
= l. 2 2
3 5 2x x x x− = + −
m.
1 1
2 3 2 6
x x x+
+ = + n.
5 5
3
3 3
x
x x
+ = +
− −
Ejercicio 4.-
a. Desarrollar.
i. ( )
2
5x − ii. ( )
2
7x +
iii. ( 3)( 1)x x− + iv. ( )( )x y x y− +
b. Escribir como producto de dos factores.
i. 2
81x − ii. 3
11x x−
iii. 4
16x − iv. 4 3 2
3 5x x x+ +
v. 2
10 25x x− + vi. 2
4 9x −
Ejercicio 5.- Decidir, en cada caso, si las expresiones dadas son iguales.
a. y ( , 0)ab a b a b ≥
b. y ( , 0)a b a b a b+ + ≥
c.
1
y ( 0)
a
a
aa
>
d. ( )
2 2 2
y 2a b a ab b+ + +
e. ( )
2 2 2
ya b a b+ +
f. y 1 ( 0)
a b b
a
a a
+
+ ≠
g. y ( 0)
a b a b
c
c c c
+
+ ≠
h.
1 1 1
y ( 0, 0, 0)a b a b
a b a b
+ ≠ ≠ + ≠
+
i.
5
3 53
ya a
7. PRÁCTICA 0
3
j. 2 2
y ( )( )a b a b a b− − +
k. 1 1
y ( 0)a a
a
−
≠
l. 1
y ( 0)a a a−
− ≠
m.
1
y ( 0, 0)
a b
a b
b a
−
⎛ ⎞
≠ ≠⎜ ⎟
⎝ ⎠
n. : y ( 0, 0, 0)
a c ad
b c d
b d bc
≠ ≠ ≠
Ejercicio 6.- Escribir en lenguaje algebraico las siguientes informaciones relativas a la
base b y a la altura h de un rectángulo.
a. La base excede en 2 unidades a la altura.
b. El perímetro del rectángulo es de 50 cm.
c. La base es el doble de la altura.
d. El área del rectángulo es 200 cm2
.
e. La diagonal del rectángulo mide 5 cm.
f. El rectángulo es un cuadrado.
g. La altura es igual a
2
5
de la base.
Ejercicio 7.- El Gran Mago me dijo:
- Piensa un número.
- Súmale 7.
- Multiplica por 3 el resultado.
- A lo que salga réstale 15.
- Divide por 3.
- Súmale 2.
- Dime el resultado.
Le dije: 53 y el Gran Mago dijo: pensaste en el 49.
¿Por qué pudo responder el Gran Mago?
8. PRÁCTICA 0
4
Ejercicio 8.- Asociar cada enunciado con la expresión algebraica correspondiente.
I. El área de un triángulo es base
por altura dividido por 2
A. 7 3a−
II. 7 menos el triple de un número B.
3
a
b−
III. La diferencia de dos cuadrados C. ( )
2
a b−
IV. El triple de un número menos 7 D.
2
bh
A =
V. El cuadrado de la diferencia de
dos números
E. 3 7a −
VI. La diferencia de dos números
dividida por 3
F. 2 2
a b−
VII. La tercera parte de un número
menos otro
G.
3
a b−
Ejercicio 9.- ¿Cuántos minutos hay en
3
8
de día?
Ejercicio 10.- ¿Cuál de dos amigos come más pizza: el que come las cinco sextas partes
de la mitad de la pizza, o el que come las tres cuartas partes de lo que dejó el primero?
Ejercicio 11.- Un automóvil 0Km cuesta $ 38000. Si cada año pierde el 10% de su
valor, hallar cuánto valdrá dentro de 2 años.
Ejercicio 12.- Una pastilla que pesa 2 gramos, contiene 25% de aspirina, 35% de
vitamina C y el resto es excipiente. ¿Cuántos gramos de cada sustancia contiene?
Ejercicio 13.- Un patio rectangular mide 24 metros de perímetro; si el largo es tres
veces el ancho, ¿cuánto miden ambos?
Ejercicio 14.- María tiene 36 años y Juan, 8; ¿dentro de cuántos años la edad de María
será el triple de la edad de Juan?
9. PRÁCTICA 0
5
ALGUNAS RESPUESTAS
1. a.
7
12
b. 3 c.
8
5
d. 4
e.
21
4
f. 10 g. 1 h.
13
8
i.
1
2
− j.
1
25
k.
25
4
l.
1
4
2. a.
4 5x
x
−
b.
4 1
2 1
x
x
−
+
c.
3
2
x
d.
3
4
x
x
+
−
e.
2
4 8 20
1 2
x x
x
− − −
−
f.
3
2
2 3x
x
+
g.
2
5
2 5
x
x +
h.
5 5
3( 4)
x
x
−
−
3. a. 2x = b. 2x = c. 8x =
d. 1x = − e.
3
2
x = f. ningún x
g. 0x = h.
10
3
x = i. 1x = −
j. 1x = k.
2
3
x = l.
1
4
x =
m. 1x = − n. ningún x
7. La cuenta que hace el Mago es
3( 7) 15
2 4
3
x
x
+ −
+ = + . Es decir, debe restarle 4
al número que le dije.
9. 540 minutos.
10. El primero come
5
12
de la pizza, el segundo
7
16
de la pizza, que resulta ser una
porción mayor que la del primero.
11. $ 30780.
12. 0,5 gramos de aspirina, 0,7 gramos de vitamina C y 0,8 gramos de excipiente.
13. 9 metros de largo y 3 metros de ancho.
14. Dentro de 6 años.
10. PRÁCTICA 1
6
NÚMEROS REALES
Ejercicio 1.- Representar en la recta real.
a. Todos los números reales x tales que ( 1) 0x x − =
b. Todos los números reales x tales que 2
16 0x − =
c. { }/ ( 2)( 5) 0x x x∈ − + =
d. { }2
/ (5 )( 9) 0x x x∈ − − =
e. { }2
/ (3 )( 15) 0x x x∈ − + =
f. { }/ ( 2)( 1)( 5) 0x x x x∈ − + − =
g. { }2
/ (2 3 ) 0x x∈ − =
h. { }2
/ 6 9 0x x x∈ + + =
i. { }3 2
/ 6 9 0x x x x∈ + + =
j. { }3
/ 4 0x x x∈ − =
Ejercicio 2.-
a. Decidir si los números a y b pertenecen al conjunto C.
i. { }/ 3 2 4C x x= ∈ − < 5 0a b= =
ii. { }/ 2 8C x x= ∈ − < ≤ 3 4a b= − =
iii. { }2
/ 25 0C x x= ∈ − > 0 5a b= =
iv. { }3
/ 10C x x x= ∈ − > 5 1a b= = −
v.
1
/ 5 3
2
C x x x
⎧ ⎫
= ∈ − > −⎨ ⎬
⎩ ⎭
2 1a b= − =
vi.
1 1
/ 3
2 4
x x
C x x
− −⎧ ⎫
= ∈ − ≤ −⎨ ⎬
⎩ ⎭
9 4a b= =
b. Dar dos números que pertenezcan al conjunto A y dos que no
pertenezcan.
i. { }/ 2 4A x x= ∈ − < ≤
ii. { }2
/ 5A x x= ∈ >
11. PRÁCTICA 1
7
Ejercicio 3.- Escribir como un intervalo o una unión de intervalos y representar en la
recta real.
a. Todos los números reales menores que 2.
b. Todos los números reales mayores o iguales que 1− .
c. Todos los números reales mayores que 3− y menores o iguales que 7.
d. { }/ 3x x∈ ≥ −
e. { }/ 6x x∈ <
f. { }/ 1 4x x∈ − ≤ <
g. { }/ 1 ó 5x x x∈ < − >
Ejercicio 4.- Escribir como un intervalo o una unión de intervalos y representar en la
recta real.
a. { }/ 2 1 0x x∈ − < b.
1
/ 5 3
2
x x x
⎧ ⎫
∈ − > −⎨ ⎬
⎩ ⎭
c. { }/ 3 2 5x x x∈ + ≤ − − d. { }/ 5 3x x x∈ − < − +
e. { }/ 3 2 3 5x x x∈ − ≤ + f. { }1 1
/ 3
2 4
x x
x x
− −
∈ − < −
g. { }/ 3 2 1 7x x∈ < − ≤ h. { }/ 11 1 3 2x x∈ − ≤ − < −
Ejercicio 5.- Juan salió de su casa con $ 120. Gastó $ 5 en llegar a la Facultad y $ 25 en
el almuerzo. En la librería hay una oferta de cuadernos a $ 15. Si debe reservar $ 5 para
regresar, ¿cuántos cuadernos puede comprar?
Ejercicio 6.- Escribir como un intervalo o una unión de intervalos y representar en la
recta real.
a. { }/ ( 1) 0x x x∈ − > b. { }/ ( 1)( 4) 0x x x∈ − + <
c. { }2
/x x x∈ ≥ d. { }2
/ 4 0x x∈ − ≤
Ejercicio 7.- Escribir como un intervalo o una unión de intervalos y representar en la
recta real.
a. { }2 4
/ 0
5
x
x
x
+
∈ >
−
b. { }3
/ 0
5 4
x
x
x
−
∈ >
−
12. PRÁCTICA 1
8
c. { }/ 0
3 2
x
x
x
∈ <
−
d. { }1
/ 0
5
x
x
x
−
∈ <
+
e.
11
/ 2x
x
⎧ ⎫
∈ <⎨ ⎬
⎩ ⎭
f.
15
/ 3x
x
⎧ ⎫
∈ >⎨ ⎬
⎩ ⎭
g.
25
/ 3 2x
x
⎧ ⎫
∈ + > −⎨ ⎬
⎩ ⎭
h.
4 1
/x
x x
⎧ ⎫
∈ ≤⎨ ⎬
⎩ ⎭
i.
8
/ 4 0
1
x
x
⎧ ⎫
∈ − <⎨ ⎬
−⎩ ⎭
j.
2
/ 1
3
x
x
x
+⎧ ⎫
∈ <⎨ ⎬
−⎩ ⎭
k.
9
/ 3
2
x
x
−⎧ ⎫
∈ >⎨ ⎬
+⎩ ⎭
l.
7 5
/ 3
1
x
x
x
+⎧ ⎫
∈ ≤⎨ ⎬
−⎩ ⎭
Ejercicio 8.- Representar en la recta real.
a. Todos los números reales que están a distancia 3 del 0.
b. Todos los números reales cuya distancia al 0 es menor o igual que 5.
c. Todos los números reales cuya distancia al 3 es menor o igual que 2.
d. { }/ 4x x∈ =
e. { }/ 3x x∈ <
f. { }/ 2x x∈ = −
g. { }/ 5x x∈ ≥
h. { }/ 1x x∈ ≥ −
Ejercicio 9.-
a. Representar en el plano los puntos
(3,1) ; ( 4,2) ; (0,2) ; ( 1,0) ;A B C D= = − = = −
1 3
(5, ) ; ( , 2) ; (0, 5) ; (7,0) ; (3, 2)
2 2
E F G H I= = − − = − = = −
b. Hallar y graficar en el plano los puntos simétricos de A, B, F, G, H e I
respecto de
i. el eje x
ii. el eje y
13. PRÁCTICA 1
9
Ejercicio 10.-
a. Hallar la distancia entre A y B.
i. (3,2) , (7,5)A B= =
ii. ( 1,0) , (3, 2)A B= − = −
iii. (0, 2) , ( 4,1)A B= − = −
b. Hallar el perímetro del triángulo de vértices
( 2,1) , (1, 3) y ( 2, 3)A B C= − = − = − −
c. Dar cinco puntos del plano que estén a distancia 2 del punto (3,1)A = .
Graficar.
d. Hallar todos los puntos del eje x a distancia 5 del punto (1,3)A = . Graficar.
e. Decidir si existe algún punto del eje x a distancia 2 del punto (2, 3)A = − .
f. Hallar todos los puntos de la forma ( , 2) ,A a a= − ∈ , que están a distancia
5 del punto (0,1)B = .
g. Hallar todos los puntos de la forma ( , ) ,A a a a= ∈ , que distan 13 del
punto (5, 12)Q = − .
h. Hallar todos los puntos del plano que equidistan de los puntos (0,0)A = y
(4,0)B = . Graficar.
i. Hallar todos los puntos de la forma ( ,2 1) ,A a a a= − ∈ , que están a
distancia 5 del punto (3,3)B = .
EJERCICIOS SURTIDOS
Ejercicio 1.- Escribir como un intervalo o una unión de intervalos al conjunto A.
a.
1 2
/
x
A x
x x
+⎧ ⎫
= ∈ <⎨ ⎬
⎩ ⎭
b.
1
/ 2
3
x
A x
x
+⎧ ⎫
= ∈ ≤⎨ ⎬
−⎩ ⎭
c. / 1
1
x
A x
x
⎧ ⎫
= ∈ >⎨ ⎬
+⎩ ⎭
d. { }2
/ 2 3A x x x= ∈ ≥
e. { }/ (1 2 )(2 ) 0A x x x= ∈ − − ≥ f.
2
6
/ 3
2 5
x
A x x
x
⎧ ⎫
= ∈ >⎨ ⎬
−⎩ ⎭
14. PRÁCTICA 1
10
Ejercicio 2.- Hallar todos los 0x < que pertenecen al conjunto
4
/ 11 1A x
x
⎧ ⎫
= ∈ + <⎨ ⎬
⎩ ⎭
.
Ejercicio 3.- Dados los puntos ( 2,1)A = − ; ( ,1)B a= ; (1, 1)C = − y ( 3,2)D = − , hallar
los valores de a para que la distancia entre C y D sea igual a la distancia entre A y B .
Ejercicio 4.- Hallar todos los puntos ( ,7)P a= que están a distancia 5 del punto
( 1,4)Q = − .
Ejercicio 5.- Hallar todos los puntos ( ,3 )P a a= que están a distancia 3 del punto
(1,0)Q = .
Ejercicio 6.- Hallar todos los k ∈ para los cuales la distancia entre ( , 1)A k= − y
(4, )B k= − es igual a 3.
Ejercicio 7.- Hallar todos los puntos del eje y que están a distancia 5 del punto
(4, 2)A = − .
15. PRÁCTICA 2
11
FUNCIONES
Ejercicio 1.- Un avión, desde que sale de la terminal de Buenos Aires, hasta que llega a
la terminal de Bahía Blanca tarda 60 minutos. El siguiente gráfico describe la altura del
avión durante el viaje.
Observando el gráfico, responder:
a. ¿Cuál fue la altura máxima que alcanzó el avión? ¿Cuánto tiempo voló a
esa altura?
b. ¿Cuánto tardó en llegar a la altura máxima?
c. ¿A qué altura se encontraba a los 30 minutos de partir?
d. ¿Cuántas veces estuvo a 3000 metros de altura?
e. ¿En qué momentos subió? ¿En qué momentos bajó?
f. ¿Cuántas veces voló a altura constante?
Ejercicio 2.-
a. Sea ( ) 2
4 5f x x x= − + − . Calcular ( )0f , ( )1f , ( )6f y ( )1f − .
b. Sea ( ) ( )
3
4 1f x x x= + . Completar la tabla
( )
2 4 2 3x
f x
− −
Ejercicio 3.- Hallar el dominio de f y decidir si 3 Im f− ∈ .
a.
4
( )
6 2
x
f x
x
−
=
+
b. ( ) 2f x x= +
c. 2
5
( )
4
x
f x
x
=
−
d.
12
( )f x x
x
= +
5000
60
h(m)
4000
3000
2000
1000
16. PRÁCTICA 2
12
FUNCIONES LINEALES
Ejercicio 4.- Graficar la función f.
a. ( ) 2 5f x x= + b. ( ) 4f x x= − +
c. ( )
3
2
2f x x= + d. ( ) 4f x x=
Ejercicio 5.-
a. Encontrar la función lineal f que satisface:
(i) ( )1 0f = , ( )2 5f =
(ii) ( )1 1f − = , ( )3 5f = −
(iii) ( )1 3f = , ( )4 3f =
b. Hallar la función lineal cuyo gráfico es la recta que pasa por los puntos
P y Q .
(i) ( )1,2P = , ( )3,6Q =
(ii) ( )2,2P = − , ( )4,5Q =
(iii) ( )2, 5P = − , ( )4,5Q = −
c. Determinar la pendiente y la ordenada al origen de las rectas del inciso
b).
Ejercicio 6.- Hallar la ecuación de la recta de pendiente m que pasa por el punto P .
a. ( )2,3P = , 4m = b. ( )1,3P = − , 1m = −
c. ( )2,5P = , 0m = d. ( )2,5P = ,
3
2
m = −
e. ( )0,2P = , 3m = f. ( )2,0P = , 3m = −
17. PRÁCTICA 2
13
Ejercicio 7.- Hallar las ecuaciones de las rectas graficadas.
a. b.
c.
Ejercicio 8.- Hallar el punto de intersección de los gráficos de f y g .
a. ( ) 2f x x= + , ( ) 2 8g x x= − + .
b.
1
2
( ) 3f x x= − , ( ) 4g x = .
c. ( ) 2 1f x x= + , g la función lineal cuyo gráfico tiene pendiente 4 y
ordenada al origen 5.
d. ( ) 6f x x= − − , g la función lineal cuyo gráfico pasa por el origen de
coordenadas y tiene pendiente 2 .
Ejercicio 9.-
a. Determinar el conjunto ( ) ( ){ }/A x f x g x= ∈ ≤ .
(i) ( ) 10f x x= + , ( ) 3 2g x x= +
(ii) ( ) 3 2f x x= + , ( ) 4g x = −
(iii) ( ) 1f x x= − + , g la función lineal tal que (1) 2, ( 2) 8g g= − =
18. PRÁCTICA 2
14
b. Representar gráficamente las funciones f y g y el conjunto A .
Ejercicio 10.- Sea ( ) 5f x mx= + . Encontrar el valor de m∈ tal que (2) 3f = − . Para
el valor hallado, determinar los puntos en los que el gráfico de f corta a los ejes
coordenados.
Ejercicio 11.- Encontrar la función lineal f cuyo conjunto de negatividad es ( )7;+∞ y
( )4 9f = . Calcular el valor de ( )10f .
Ejercicio 12.- La boleta mensual de luz tiene un cargo fijo de $25 y $0,02 por cada
KWH consumido.
a. Dar la función lineal que dice cuánto se debe pagar (en $) en función de
los KWH consumidos. Representar gráficamente.
b. Si Pedro consume en un mes 300 KWH, ¿cuánto debe pagar?
c. Si Pedro debe pagar $40 , ¿cuánto consumió?
Ejercicio 13.- Una empresa de celulares tiene dos planes. El plan TUNGO tiene un
abono mensual fijo de $30 y además cobran $1 por cada minuto de llamada (sin minutos
libres). El plan TONGO no tiene abono pero cobran $2 por cada minuto de llamada.
a. ¿Cuánto se debe pagar con cada plan si se realizan en el mes 20 minutos
de llamadas? ¿Y si se realizan 60 minutos?
b. Dos personas, una abonada al plan TUNGO y la otra al plan TONGO
pagaron $ 100 cada una. ¿Cuál de las dos habló más minutos?
c. ¿Cuántos minutos se deben utilizar para que en ambos planes cobren lo
mismo? ¿Cuándo conviene más cada plan?
FUNCIONES CUADRÁTICAS
Ejercicio 14.- Hallar el vértice de la parábola que es el gráfico de la función f. Dar la
imagen y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. Graficar f.
a. ( ) 2
9f x x= − b. ( ) ( )
2
2f x x= +
c. ( ) 2
2f x x= − − d. ( ) 2
3 12 9f x x x= + −
19. PRÁCTICA 2
15
e. ( ) ( )4 1 1f x x x= − + f. ( ) 21
4
3 2f x x x= − −
g. ( ) 2
f x x x= − + h. ( ) 2
2 3f x x x= + −
Ejercicio 15.- Asociar cada función con su imagen.
Función Imagen
I. 2
( ) 3 6 3f x x x= + + A. [ 1; )− +∞
II. 23
4
( ) 3f x x x= − + B. [0; )+∞
III. 2
( ) 1f x x= − − C. ( ;3]−∞
IV. 2
( ) 8 15f x x x= − + D. ( ; 1]−∞ −
Ejercicio 16.- Hallar los ceros, el conjunto de positividad y el conjunto de negatividad
de f.
a. ( ) ( )( )5 1 2f x x x= − + − b. ( ) ( )
2
1 3f x x= − −
c. ( ) 2
5 6f x x x= − + d. ( ) 2
2 5 3f x x x= − + +
e. ( ) 2
2 8f x x= − + f. ( ) 2
3 9f x x x= −
Ejercicio 17.- Asociar cada función con su conjunto de negatividad.
Función C−
I. 2
( ) 3 6f x x x= − A. (1;3)
II. 2
( ) 4 3f x x x= − + B. ( ;0) (2; )−∞ ∪ +∞
III. 2
( ) 3f x x x= − + − C. ( ; 3) ( 1; )−∞ − ∪ − +∞
IV. 2
( ) 2f x x x= − D. (0;2)
V. 2
( ) 2 8 6f x x x= − − − E.
20. PRÁCTICA 2
16
Ejercicio 18.- Hallar los puntos de intersección de los gráficos de f y g.
a. ( ) 2
5 4f x x x= + + y ( ) 3 7g x x= + .
b. ( ) 2
1f x x x= − + + y ( ) 2 4g x x= − + .
c. ( ) ( )( )3 1 7f x x x= + + y ( ) 15g x = − .
d. ( ) 2
3 5 7f x x x= + − y ( ) 2
2 14g x x x= + + .
e. ( ) 2
2 5 7f x x x= + − y ( ) 2
2 5g x x x= − + .
f. f es la función lineal tal que ( )2 5f = y ( )4 9f = y
( ) 2
8 6g x x x= + + .
Ejercicio 19.- Hallar la función cuadrática f.
a. El gráfico de f tiene vértice ( )4,5V = y pasa por el punto ( )3,3 .
b. El conjunto de positividad de f es ( )0;6 e ( ]Im ;4f = −∞ .
c. El intervalo de crecimiento de f es [ )3;+∞ , su imagen es [ )2;− +∞ y
( )4 6f = .
Ejercicio 20.- Sea ( ) 2
3 3 18.f x x x= − − Encontrar la función cuadrática g que tiene
los mismos ceros que f y satisface ( )1 24g = .
Ejercicio 21.- Un artesano confecciona cuadros rectangulares, en los que la base mide
el doble que la altura. La placa de madera de fondo tiene un costo de $0,10 el
centímetro cuadrado, y las varillas que adornan los bordes cuestan $2 el centímetro.
a. ¿Cuál es el costo en materiales de un cuadro cuya altura mide 10
centímetros?
b. ¿Cuáles son las dimensiones de un cuadro cuyo costo en materiales es de
$225?
21. PRÁCTICA 2
17
Ejercicio 22.- Un constructor debe hacer una ventana rectangular. Para el marco
dispone de 3,20 metros de varilla metálica.
a. ¿Cuál es el área de la abertura, si la construye con una base de 0,40
metros? ¿Y si la base es de 0,60 metros? ¿Y si es 0,90 metros?
b. ¿Cuál debe ser la base, para que el área de la abertura sea de 0,55 metros
cuadrados? ¿Cuántas posibilidades hay?
c. ¿Es posible hacer una ventana cuya área sea de 1,20 metros cuadrados?
Ejercicio 23.- El precio en pesos, de una torta circular de x cm de radio viene dado por
21
2
( ) 30p x x= + .
a. ¿Cuál es el precio de una torta de 10cm de radio? ¿Y de una de 20 cm?
b. ¿Cuál es el radio de una torta si su precio es de $192?
FUNCIONES POLINÓMICAS
Ejercicio 24.-
a. Dada ( ) 4 3 2
5 7 28 12f x x x x x= + − − , encontrar todos los puntos donde
el gráfico de f corta al eje x , sabiendo que ( )3 0f − = .
b. Encontrar el conjunto de ceros de ( ) 6 4 5 3
5 3f x x x x x= − − − , sabiendo
que ( )1 0f − = .
Ejercicio 25.- Sea f una función polinómica de grado 3 que corta al eje x en los
puntos ( )1,0− , ( )1,0 , ( )2,0 .
a. Determinar f sabiendo que ( )3 16f = .
b. Determinar f sabiendo que ( )3 8f = − .
Ejercicio 26.- Hallar la función polinómica f de grado 3 tal que su conjunto de ceros
es { }1,1,5− y ( )2 9f = .
22. PRÁCTICA 2
18
Ejercicio 27.- Sea :f → una función continua que corta al eje x en exactamente
3 puntos y de la cual se conoce la siguiente tabla de valores:
( )
3 2 1 0 1 2 3
2 2 3 5 4 1 1
x
f x
− − −
− −
a. Para cada uno de los ceros de f indicar un intervalo de amplitud 1 que
lo contenga.
b. Determinar, si es posible, el signo de f en los intervalos dados:
(i) ( )0;1 (ii) ( )2;3
(iii)( )5;+∞ (iv) ( ); 2−∞ −
(v) ( )0;2 (vi) ( )3; 1− −
c. Hacer el gráfico de una función f que satisfaga las condiciones dadas .
Ejercicio 28.- Hallar los intervalos de positividad y de negatividad de una función
continua f , con Dom( )f = , si
a. los únicos ceros de f son 3− y 2 y ( )5 4f − = − , ( )0 2f = − y
( )3 6f = .
b. los únicos ceros de f son 2− , 0 y 3 y ( )3 1f − = − , ( )1 1f − = ,
( )2 5f = y ( )5 4f = − .
Ejercicio 29.- Hallar los ceros de la función polinómica f y determinar los intervalos
de positividad y de negatividad de f.
a. ( ) ( )( )( )2 3 3 9 4f x x x x= + − −
b. ( ) ( )
22
2 3f x x x= −
c. ( ) ( )( )2
5 1 2f x x x x= + + −
d. ( ) ( )3 2 2 9
4
3 2f x x x x x
⎛ ⎞
= + + −⎜ ⎟
⎝ ⎠
e. ( ) ( )3 2 2 9
4
3 2f x x x x x
⎛ ⎞
= + + +⎜ ⎟
⎝ ⎠
f. ( ) 4
64f x x= −
23. PRÁCTICA 2
19
g. ( ) 3
8f x x= −
h. ( ) ( )( )2 2
3 4 4 3f x x x x x= − − + +
Ejercicio 30.- Sea ( ) 3
7f x x x= + − . Probar que
a. f tiene un cero en el intervalo ( )1;2
b. f tiene un cero en el intervalo ( )1,7;1,8
c. f tiene un cero en el intervalo ( )1,73;1,74
Ejercicio 31.- Aproximar con error menor que 1
32
un cero de f en el intervalo
indicado.
a. ( ) 5
32f x x x= − − en ( )2;3
b. ( ) 3 2
1000f x x x x= + + − en ( )9;10
EJERCICIOS SURTIDOS
Ejercicio 1.- Hallar el punto de intersección de los gráficos de f y g . Representar
gráficamente.
a. ( ) 3 14f x x= + , g es la función lineal tal que ( )2 4g = y ( )4 6g = .
b. ( ) 2 5f x x= − , ( ) 0g x = .
Ejercicio 2.- Sea ( ) 3( )f x x c= − . Encontrar el valor de c∈ para el cual ( )7 6f = .
Para el valor hallado, determinar el conjunto de positividad de f .
Ejercicio 3.- Sea f la función lineal que verifica ( )3 4f − = y ( )1 2f − = . Sea
( ) 3 8g x x= − + . Escribir como un intervalo el conjunto ( ) ( ){ }/A x g x f x= ∈ < .
Ejercicio 4.- Sean ( ) 3 5f x x= − + , A el punto del gráfico de f que tiene ordenada
igual a 1− y ( )1, 6B = − . Calcular la distancia entre A y B .
24. PRÁCTICA 2
20
Ejercicio 5.- Sea ( ) 3 9f x x= + y g la función lineal que verifica ( )0 4g = y
( )7 10g = − . Sean P el punto de intersección de los gráficos de f y de g y ( )3,2Q = .
Calcular la distancia entre P y Q.
Ejercicio 6.- Hallar la función cuadrática f tal que
a. el conjunto de ceros de f es { }1,6− y ( )4 10f = .
b. el conjunto de ceros de f es { }5, 1− − y la [ )Im 12;f = − +∞ .
c. ( ]Im ;7f = −∞ y ( ) ( )2 6 6f f= = .
d. el gráfico de f es una parábola cuyo vértice tiene abscisa 2 ,
[ )Im 5;f = +∞ y ( )4 13f = .
Ejercicio 7.- Sean ( )1,3P = y V el vértice de la parábola de ecuación 2
4 5y x x= − + .
Dar la ecuación de la recta que pasa por P y por V .
Ejercicio 8.- Sean P el punto donde la recta de ecuación 2 6y x= + corta al eje x y V
el vértice de la parábola de ecuación 2
2 4y x x= − + . Calcular la distancia entre P y V .
Ejercicio 9.- Dada ( ) 2
8 2f x ax x= + + , hallar a de modo que el vértice del gráfico de
f tenga abscisa 2x = . Para el valor de a hallado, determinar la imagen de f .
Ejercicio 10.- Sea ( ) 2
f x x bx c= + + . Determinar b y c sabiendo que la abscisa del
vértice del gráfico de f es
3
2
x = − y que la distancia entre los ceros de f es 7 .
Ejercicio 11.- Dadas ( ) 2
6 2f x x kx= + + y ( ) 1g x x= + , hallar k ∈ de modo que
( ) ( )1 1f g= . Para el valor de k hallado, encontrar todos los puntos de intersección de
los gráficos de f y g .
25. PRÁCTICA 2
21
Ejercicio 12.- Se sabe que el gráfico de ( ) 4 3 2
3 8 4f x x x x x= + − + corta al eje x en el
punto ( )2,0− .
a. Encontrar todos los puntos donde el gráfico de f corta al eje x .
b. Determinar los intervalos de positividad y de negatividad de f .
Ejercicio 13.- Sea ( ) 5 4 3 2
2 6 26 30f x x x x x= − − + . Si uno de los ceros de la función f
es 1x = ,
a. encontrar el conjunto de ceros de f ;
b. determinar los intervalos de positividad y de negatividad de f .
Ejercicio 14.- Sea ( )f x la función lineal que satisface que (2) 7f = y ( 2) 1f − = − .
Encontrar los dos puntos del gráfico de f que están a distancia 5 del punto (0,3).
Ejercicio 15.- Sea ( )f x la función lineal que verifica (1) 6f = y ( 1) 2f − = y sea
( ) 3 1g x x= − . Escribir el conjunto
( )
/ 1
( )
f x
A x
g x
⎧ ⎫
= ∈ >⎨ ⎬
⎩ ⎭
como intervalo o unión de
intervalos.
Ejercicio 16.- Sean f la función lineal cuyo gráfico pasa por los puntos ( 3,9)− y
(0,12) y ( ) 7g x x= − + . Escribir como intervalo o como unión de intervalos el conjunto
{ }/ ( ) ( ) 0A x f x g x= ∈ ⋅ ≥ .
26. PRÁCTICA 3
22
LÍMITE DE FUNCIONES Y ASÍNTOTAS
Ejercicio 1.- Analizando el gráfico de f , determinar, si existen, lim ( )
x
f x
→+∞
y lim ( )
x
f x
→−∞
.
a. b.
c. d.
e. f.
Ejercicio 2.- Calcular.
a. 2
lim 4
x
x
→+∞
b. 3
lim 3
x
x
→+∞
c. 5
lim 2
x
x
→+∞
− d. 3
2
lim
x x→+∞
27. PRÁCTICA 3
23
e.
3
lim 5
x x→+∞
⎛ ⎞
− +⎜ ⎟
⎝ ⎠
f. 3 7
lim 2
x
x
x→+∞
⎛ ⎞
− +⎜ ⎟
⎝ ⎠
g.
2
2
5
6
lim
1
9
x
x
x
x
→+∞
⎛ ⎞
−⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
+⎜ ⎟
⎝ ⎠
h. ( )4 2
lim 7 9 100
x
x x
→+∞
− + +
i. ( )5 3
lim 6 2 9
x
x x x
→+∞
− + + j.
5 3
6
2 3
lim
1x
x x
x→+∞
− + −
+
k.
2
2
4
lim
2 1x
x x
x→+∞
+
− +
l.
3
3 2
5 6
lim
6 12x
x
x x x→+∞
+
+ +
m.
4 3
3 2
2 5
lim 5
9 10x
x x x
x x x→+∞
⎛ ⎞− + −
+⎜ ⎟
+ +⎝ ⎠
n.
3 2
8 16
lim
1x
x x
x→+∞
⎛ ⎞−
⎜ ⎟
+⎝ ⎠
o.
3 1
lim 1 6
2x x x→+∞
⎛ ⎞⎛ ⎞
− +⎜ ⎟⎜ ⎟
+⎝ ⎠⎝ ⎠
p.
2
2
9 1 5
lim
3 7 4x
x x
x x x→+∞
⎛ ⎞− + ⎛ ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟
− + −⎝ ⎠⎝ ⎠
Ejercicio 3.- Calcular.
a. 3
lim 4
x
x
→−∞
b.
4
lim
x x→−∞
c. 2
2
lim 9
x
x
x→−∞
⎛ ⎞
−⎜ ⎟
⎝ ⎠
d. ( )4 3
lim 7 20
x
x x
→−∞
− − +
e. 4
3 1
lim
6 7x
x
x→−∞
−
− +
f.
3 1
lim
5x
x
x→−∞
−
+
g.
2
2
lim
2x
x
x→−∞ − +
h.
3
2
lim
1x
x
x x→−∞ + +
i.
2
3
1
lim
x
x x
x→−∞
+ +
j.
5
lim 1
3x x→−∞
⎛ ⎞
+⎜ ⎟
−⎝ ⎠
k.
3 5
5 3
15 6
lim
2 15x
x x
x x→−∞
+
−
l.
7 5
4
8 2
lim
3 1x
x x
x→−∞
+ +
−
Ejercicio 4.- Analizar la existencia de asíntotas horizontales y, cuando existan, dar sus
ecuaciones.
a.
2
( ) 4
9
x
f x
x
= −
+
b.
3 5
( )
2
x
f x
x
+
=
− +
c. 2
8
( )
4 6 1
x
f x
x x
=
+ +
d.
2
2 5
( )
6
x x
f x
x
−
=
+
28. 24
e.
6
( ) 1
1
f x
x
= +
+
f.
6 5 3
3
5 3
( )
2 1
x x x
f x
x x
+ +
=
+ +
g.
2
2
30 25 6
( )
5 6 3
x x
f x
x x
− +
=
+ −
h.
2
4 3
3 2 1
( )
6 1
x x
f x
x x
+ −
=
− +
Ejercicio 5.- Determinar el valor de a∈ para que se verifique:
a.
3 5
lim 6
1x
x
ax→−∞
−
=
+
b.
2
2
2 5 2
lim
6 1 3x
ax x
x→−∞
− +
= −
+
c. La recta de ecuación 2y = − es asíntota horizontal para ( ) 1
3 1
ax
f x
x
= +
−
Ejercicio 6.- Dado el gráfico de f , calcular los límites que se indican. Escribir las
ecuaciones de las asíntotas verticales y horizontales.
a. b.
c. d.
3 3
lim ( ) , lim ( ) , lim ( )
xx x
f x f x f x− + →−∞→ → 0
lim ( ) , lim ( )
xx
f x f x+ →+∞→
00 0
lim ( ) , lim ( ) , lim ( )
lim ( ) , lim ( )
xx x
x x
f x f x f x
f x f x
− + →→ →
→+∞ →−∞
3 3
2 2
lim ( ), lim ( )
lim ( ), lim ( )
x x
x x
f x f x
f x f x
− +
− +
→− →−
→ →
29. 25
0 0
lim ( ) , lim ( )
lim ( ) , lim ( )
x x
x x
f x f x
f x f x
− +
→ →
→+∞ →−∞
e. f.
Ejercicio 7.- Calcular.
a.
3 3
1 1
lim , lim
3 3x xx x− +
→ →− −
b.
2 2
5 1 5 1
lim , lim
2 2x x
x x
x x− +
→− →−
− + − +
+ +
c. 2 2
0 0
3 3
lim 1 , lim 1
x xx x− +
→ →
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
d. 2 2
1 1
4 4 4 4
lim , lim
1 1x x
x x
x x− +
→ →
− −
− −
e. 2 2
2 2
4 4
lim , lim
4 4x x
x x
x x− +
→ →−− −
f. ( )2
3
lim 2 10
x
x x
→
+ −
g.
1
9
lim
1x
x
x→−
+
−
h.
2 2
2 21 4
2 2 2
lim , lim
3 4 3 4x x
x x
x x x x→− →−
−
− − − −
Ejercicio 8.- Analizar la existencia de asíntotas verticales y, cuando existan, dar sus
ecuaciones.
a.
5
( )
2 1
x
f x
x
− +
=
+
b. 3
6
( )
( 2)
x
f x
x
=
−
c. 2
4 3
( )
6
x
f x
x x
−
=
− −
d.
2
2
2 18
( )
2 15
x
f x
x x
−
=
− −
1 1
lim ( ) , lim ( )
lim ( ) , lim ( )
x x
x x
f x f x
f x f x
− +
→− →−
→+∞ →−∞
30. 26
Ejercicio 9.- Dar el dominio y las ecuaciones de las asíntotas verticales y horizontales
de f .
a.
1
( ) 3
2
f x
x
= −
+
b. 3
2
( ) 1f x
x
= +
c.
2
2
2
( )
5 25
x x
f x
x
− +
=
+
d. 2
4
( )
4 3
x
f x
x x
+
=
+ +
e.
6 3
( )
3
x
f x
x
− +
=
+
f.
2
2
2 1
( )
2
x x
f x
x x
− +
=
+ −
g.
2
2
6
( )
2
x x
f x
x x
− + +
=
+ −
h.
2
2
6 24
( )
4 4
x
f x
x x
−
=
− +
Ejercicio 10.-
a. Sea
20 4
( )
10
x
f x
ax
− +
=
+
. Determinar el valor de a∈ para que la recta de
ecuación 2x = sea asíntota vertical para f . Para el valor hallado, dar la
ecuación de la asíntota horizontal de f .
b. Sea
2
2
2
( )
5
ax x
f x
x ax
−
=
+ −
. Determinar a∈ para que la recta de ecuación
1x = − sea asíntota vertical de f . Para el valor hallado, dar las ecuaciones
de todas las asíntotas verticales y horizontales de f.
FUNCIONES HOMOGRÁFICAS
Ejercicio 11.- Hallar el dominio, la imagen, los ceros, los intervalos de positividad y de
negatividad y las ecuaciones de las asíntotas verticales y horizontales de f. Hacer un
gráfico de f .
a.
1
( )
2
f x
x
=
−
b.
2
( )
4
f x
x
−
=
+
c.
3
( ) 1
2
f x
x
= +
+
d.
4
( ) 3
3 1
f x
x
= −
+
e.
1
( )
3
x
f x
x
+
=
−
f.
3 5
( )
1
x
f x
x
+
=
+
31. 27
Ejercicio 12.-
a. Sea
2
( )f x b
x a
= −
+
. Determinar ya b∈ para que las rectas de
ecuaciones 3x = − e
5
3
y = sean asíntotas de f .
b. Sea
3
( )
1
ax
f x
bx
+
=
+
. Determinar ya b∈ para que
3
2
sea cero de f y la
recta 6y = sea asíntota horizontal de f .
Ejercicio 13.- Hallar la expresión de la longitud L de un lado de un rectángulo en
función de la longitud x del otro lado, si el área es 36. Calcular
0
lim ( )
x
L x+
→
y lim ( )
x
L x
→+∞
.
Ejercicio 14.- Hacia un tanque que contiene agua pura, fluye agua salada de modo que
la concentración de sal en un tiempo t está dada por la función
3
( ) , 0
100 4000
t
c t t
t
= >
+
.
Dibujar el gráfico de ( )c t y discutir el comportamiento de la función cuando t → +∞ e
interpretar el significado.
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
Ejercicio 15.- Dadas las funciones f y g , calcular f g y g f .
a. 2
( ) 3 2 , ( ) 3f x x g x x= − = +
b.
1
( ) 1 , ( ) 2
3
f x x g x
x
= − + = +
−
c. 2 2 1
( ) 4 , ( )
3
x
f x x g x
x
+
= − =
−
d.
3 3
( ) , ( ) 2
2
f x g x
x x
= = −
+
e. ( ) 2 , ( ) ( 1)( 3)f x x g x x x x= + = − + −
f. 2
( ) 2 1 , ( ) 2f x x g x x x= − = +
32. 28
Ejercicio 16.-
a. La relación funcional entre grados Celsius y grados Kelvin es lineal.
Sabiendo que 0
0 273C K= y que 0
27 300C K= , encontrar la función f
que da la temperatura en grados Celsius conocida la misma en grados
Kelvin.
b. La función ( ) 1,8 32g x x= + expresa la temperatura en grados
Fahrenheit, conocida la misma en grados Celsius; encontrar la expresión
de la temperatura en grados Fahrenheit en función de la temperatura en
grados Kelvin. ¿Es lineal?
Ejercicio 17.-
a. Sean ( )f x x k= + y
2
( )g x
x
= . Hallar el valor de k ∈ de manera que
( )(1) 4g f = − . Para el valor de k encontrado, calcular ( )(1)f g .
b. Sean ( ) 2f x kx= − y
2 6
( )
4
x
g x
x
+
=
− +
. Hallar el valor de k ∈ de modo
que ( )(1) 5g f = . Para el valor de k hallado, calcular ( )(1)f g .
Ejercicio 18.- Sean ( ) 2 1f x x= − y
1
( ) 2
3
g x
x
= −
+
. Hallar las funciones f g y
g f . Escribir las ecuaciones de las asíntotas verticales y horizontales de dichas
funciones.
FUNCIÓN INVERSA
Ejercicio 19.- Resolver la ecuación ( )f x b= . Representar gráficamente.
a. ( ) 2 1 9 , 1f x x b b= + = = −
b. 2
( ) 3 13 , 4f x x b b= − = = −
c.
2 1 1
( ) ,
3 1 4 3
x
f x b b
x
−
= = − =
+
33. 29
Ejercicio 20.- Calcular 1
f −
y dar su dominio. Graficar 1
yf f −
.
a. : ( ) 2 4f f x x→ = −
b. { }
1
: 2 ( )
2
f f x
x
− → =
−
c. 3
: ( )f f x x→ =
d. { }
2 5
: 1 ( )
1
x
f f x
x
−
− − → =
+
e. 2
:[0, ) ( ) 3 2f f x x+∞ → = +
f.
1
3
2
: ( ) 5
3 1
f f x
x
⎧ ⎫
− → = +⎨ ⎬
−⎩ ⎭
g. :[ 2, ) ( ) 2f f x x− +∞ → = +
Ejercicio 21.- La función ( ) 1,8 32f x x= + expresa la temperatura en grados
Fahrenheit, conocida la misma en grados Celsius. Dar la función que permite, dada una
temperatura cualquiera en grados Fahrenheit, obtener la misma en grados Celsius.
Sabiendo que el papel arde aproximadamente a 451ºF , ¿a cuántos grados Celsius tendrá
que exponer esta práctica para quemarla? (¿recuerda la novela de Ray Bradbury?)
Ejercicio 22.- Dadas f y g , calcular h g f= y 1
h−
. Dar las ecuaciones de las
asíntotas de h y de 1
h−
.
a.
3
( ) 2 1 ( )
4 1
x
f x x g x
x
− +
= − + =
−
b.
2
( ) 4 2 ( ) 1
2 3
x
f x x g x
x
+
= − = +
−
c.
2 1
( ) ( ) 2
3
x
f x g x x
x
−
= = +
+
d.
2
( ) ( ) 2 1
3 5
x
f x g x x
x
−
= = −
+
34. 30
EJERCICIOS SURTIDOS
Ejercicio 1.- Sea g la función polinómica de grado 3 tal que ( 4) (0) (2) 0g g g− = = = y
(1) 10g = . Si ( ) 3f x x= + y h g f= , hallar el conjunto de ceros y el conjunto de
negatividad de h.
Ejercicio 2.- Sea
2
( )
3
ax
f x
x b
−
=
−
. Hallar a y b para que las rectas de ecuación 2y = y
5x = sean asíntotas de f. Para los valores de a y b hallados, dar el conjunto de
positividad de f.
Ejercicio 3.- Sea ( )
5 2
a
f x
x
=
−
. Hallar el valor de a∈ para que se verifique que
(4) 2f = . Para el valor de a hallado, calcular 1
( )f x−
.
Ejercicio 4.- Sean
2 5
( )
3
x
f x
x
+
=
−
, ( ) 2g x ax= − con a∈ y h f g= . Hallar el valor
de a para que el dominio de h sea igual a
5
4
⎧ ⎫
− ⎨ ⎬
⎩ ⎭
. Para el valor de a encontrado
calcular 1
h−
.
Ejercicio 5.- Sea
1
( )
4 2
x
f x
x
−
=
+
. Determinar el dominio y la imagen de f. Hallar el
valor de k para el cual el punto ( ,2)k pertenece al gráfico de f.
Ejercicio 6.- Sea
5
( )
2
kx
f x
x
−
=
−
. Hallar el valor de k ∈ para que { }Im( ) 3f = − .
Para el valor de k hallado, dar las ecuaciones de las asíntotas y representar
gráficamente.
Ejercicio 7.- Sean
1
( )
2
f x
x
=
+
, ( ) 3 1g x x= + y h f g= . Hallar los ceros de 1
( )h x−
.
35. 31
Ejercicio 8.- Dada
2
( )
1
x
f x
x
−
=
+
, dar las ecuaciones de las asíntotas. Hallar los
intervalos de positividad. Representar gráficamente.
Ejercicio 9.- Sea
1
( )
2
ax
f x
bx
+
=
+
. Determinar los valores de a y b de manera que
1
3
x = sea cero de f y la recta de ecuación 3y = sea la asíntota horizontal de f. Para
los valores encontrados, hallar el dominio de f.
Ejercicio 10.- Sea
4
( ) 2
3
f x
x
= +
−
. Hallar la función inversa 1
f −
y dar el conjunto de
positividad de 1
f −
.
Ejercicio 11.- Dadas
2 1
( )
3
x
f x
x
−
=
−
, ( )g x x a= − y h f g= , determinar a∈ de
modo que (4) 5h = . Para el valor hallado, dar 1
( )h x−
.
Ejercicio 12.- Sea
2
2
4
( )
3
x
f x
ax
=
−
. Hallar a∈ de modo que la recta 12y = sea una
asíntota horizontal de f. Para el valor de a encontrado, dar las ecuaciones de todas las
asíntotas de f .
36. PRÁCTICA 4
32
FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS
Ejercicio 1.- Graficar, hallar la imagen y dar la ecuación de la asíntota horizontal de f .
a. ( ) 2x
f x e= + b. 1
( ) x
f x e +
=
c. ( ) 2x
f x e−
= − d. 1
( ) 3x
f x e− +
= +
Ejercicio 2.- Calcular lim ( )
x
f x
→+∞
y lim ( )
x
f x
→−∞
. Dar, si existe, la ecuación de la asíntota
horizontal.
a.
2
( ) x
f x e−
= b. 2
( ) x
f x e−
=
c. 2
( ) 3x
f x e− +
= − d.
2
5
( ) x
f x e− +
=
Ejercicio 3.- Resolver.
a. 2 1
8x
e −
= b. 2
3 1x
e −
=
c. ln(2 3) 0x − = d. ln(5 1) 2x − =
Ejercicio 4.- Hallar el dominio y los ceros de f .
a.
5 8
( ) ln
3
x
f x
x
−⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
b.
1
( ) ln
2
f x
x
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
−⎝ ⎠
Ejercicio 5.- Hallar la función inversa 1
f −
. Dar su dominio y su imagen.
a. 2 1
( ) x
f x e +
= b. ( ) ln(3 )f x x= −
c. 4 5
( ) 2 3x
f x e −
= + d. ( ) 1 ln(2 3)f x x= + +
Ejercicio 6.- Hallar el dominio, las ecuaciones de las asíntotas verticales, los ceros y los
conjuntos de positividad y de negatividad de f .
a. ( ) ln( 3)f x x= − b. 2
( ) ln( 4)f x x= −
c. ( ) 1 ln(2 3)f x x= − − d. 21
2
( ) ln 3 5f x x x
⎛ ⎞
= − +⎜ ⎟
⎝ ⎠
Ejercicio 7.- Hallar la función inversa 1
f −
y dar su dominio.
a.
3
( ) 5
ln( )
f x
x
= + b.
2
( )
1 x
f x
e
=
+
37. PRÁCTICA 4
33
Ejercicio 8.- Sea 4 8
( ) x
f x e b−
= + . Hallar el valor de b para que la imagen de f sea el
intervalo (9; )+∞ . Para el valor de b hallado, calcular la función inversa 1
f −
.
Ejercicio 9.- La población (en millones) de cierta región, t años después del año 2000,
se puede aproximar mediante la función
( ) 300 (1,02)t
f t = ⋅ .
a. ¿Cuántos individuos tenía en 2000?
b. ¿y en 2010?
c. Si no varían las condiciones, ¿cuántos tendrá en 2040?
d. ¿Cuándo la población será el doble de lo que era en el año 2000?
Ejercicio 10.- Un jarro con agua se retira del fuego cuando el agua que contiene está
hirviendo y se coloca en una habitación donde la temperatura ambiente es 20º C.
La temperatura (en ºC) del agua, transcurridos t minutos de haber retirado el jarro del
fuego viene dada por
0,41
( ) 20 80 t
T t e−
= + .
a. Hallar la temperatura del agua a los 5 minutos.
b. ¿Cuánto tiempo deberá pasar para que la temperatura sea de 40º C?
Ejercicio 11.- Hallar la función exponencial ( ) x
f x ka= sabiendo que
a. (0) 5f = y (3) 40f = .
b. (1) 7,5f = y (5) 292,96875f = .
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Ejercicio 12.- Completar la tabla.
a.
x 0 6
π
4
π
3
π
2
π
sen( )x 1
2
cos( )x 2
2
1
2
38. PRÁCTICA 4
34
b.
x
5
6
π 3
π−
5
4
π
7
3
π
3
4
π− 3
π 7
6
π 4
π−
sen( )x
cos( )x
Ejercicio 13.- Encontrar todos los [ ; ]x π π∈ − tales que
a.
1
sen( )
2
x = b.
3
sen( )
2
x = −
c.
2
sen( )
2
x = − d. sen( ) 1x = −
e.
3
cos( )
2
x = f.
1
cos( )
2
x = −
g.
2
cos( )
2
x = h. cos( ) 1x =
Ejercicio 14.- Encontrar todos los [0;2 ]x π∈ tales que
a.
1
sen( )
2
x = − b.
2
sen( )
2
x =
c.
3
cos( )
2
x = − d. cos( ) 1x = −
Ejercicio 15.- Encontrar todos los x∈ tales que
a.
1
sen( )
2
x = − b.
2
sen( )
2
x =
c.
3
cos( )
2
x = − d. cos( ) 1x = −
39. PRÁCTICA 4
35
Ejercicio 16.- Resolver.
a.
3 5
sen( ) en ;
2 2 2
x
π π⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
b. [ ]
1
sen( ) 0 en 2 ;5
2
x π π+ =
c. [ ]
1
cos( ) 0 en ;2
2
x π π− = −
d.
2
cos( ) en ;3
2 2
x
π
π
⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
Ejercicio 17.- Hallar los ceros y los conjuntos de positividad y de negatividad de f .
a. ( ) cos
4
f x x
π⎛ ⎞
= +⎜ ⎟
⎝ ⎠
en [ ;5 ]π π−
b. ( )( ) sen 2 1f x x= + en [ ;5 ]π π−
c. ( ) 2cos 2 1
2
f x x
π⎛ ⎞
= − −⎜ ⎟
⎝ ⎠
en [ ;3 ]π π−
d. ( ) 2sen 1
4
f x x
π⎛ ⎞
= − +⎜ ⎟
⎝ ⎠
en [0;3 ]π
e. 2
( ) 2sen ( ) sen( )f x x x= − en [ ; ]π π−
f.
1
2
( ) sen( ) cos( )f x x x
⎛ ⎞
= +⎜ ⎟
⎝ ⎠
en [ ; ]π π−
Ejercicio 18.- Hallar la imagen de f. Determinar el valor máximo y el valor mínimo de
f e indicar en qué puntos se alcanzan dichos valores.
a. ( )
1
( ) sen
3
f x x= b. ( )( ) 2sen 2f x x π= − +
c. ( )( ) 3cos 2f x x= − + d. ( )( ) 2cos 3 1f x x= −
Ejercicio 19.- Hallar la amplitud y el período de f .
a. ( )( ) cosf x x π= + b. ( )( ) 3sen 2f x x=
c. ( )( ) sen 3f x x π= − − d. ( ) 2cos
2
x
f x π
⎛ ⎞
= +⎜ ⎟
⎝ ⎠
40. PRÁCTICA 4
36
Ejercicio 20.- Sea ( ) 3sen( )f x x kπ= − + + . Determinar el valor de k para que
Im [ 4;2]f = − . Con el valor de k hallado, dar un 0x tal que 0( ) 4f x = − y un 1x tal que
1( ) 2f x = .
Ejercicio 21.- Hallar los ceros, el conjunto de positividad y el de negatividad, los
máximos y mínimos y la imagen de f . Hacer un gráfico aproximado.
a. ( ) 3sen 2
4
f x x
π⎛ ⎞
= +⎜ ⎟
⎝ ⎠
en [0;2 ]π
b. ( )( ) 2cos 3 1f x x π= − − en [ ;2 ]π π
c. ( ) 4cos 2
2
f x x
π⎛ ⎞
= −⎜ ⎟
⎝ ⎠
en [ ; ]π π−
d. ( ) 2sen 3 1
2
f x x
π⎛ ⎞
= − −⎜ ⎟
⎝ ⎠
en [ ; ]π π−
EJERCICIOS SURTIDOS
Ejercicio 1.- Sean 2
( ) 3 3 , ( ) ln( )f x x x g x x= + + = . Hallar el dominio, los ceros y los
conjuntos de positividad y de negatividad de h g f= .
Ejercicio 2.- Sean ( ) 4 ln( )f x x= + , ( ) 5 2g x x= + , h f g= y 1
h−
la función inversa
de h. Calcular 1
h−
y dar el dominio y la imagen de 1
h−
.
Ejercicio 3.- Sean 4 2
( ) 3 x
f x e +
= − y 1
f −
la función inversa de f. Hallar 1
( )f x−
y dar
su dominio.
Ejercicio 4.- Sea 1
( ) x
f x ka −
= . Hallar 0 ya k> ∈ , si ( 1) 0,7f − = y (4) 22,4f = .
Para los valores hallados, calcular (8)f .
Ejercicio 5.- Sea ( ) 5sen(2 ) 2f x x= + . Determinar la imagen de f y hallar los
[ ; ]x π π∈ − para los cuales f alcanza el valor máximo.
41. PRÁCTICA 4
37
Ejercicio 6.- Se sabe que ( ) sen(2 ) 2f x a x= − tiene un cero en
12
x
π
= . Determinar el
valor de a e indicar, para el valor de a encontrado, la imagen de f .
Ejercicio 7.- Indicar los ceros y los conjuntos de positividad y de negatividad de
2
( ) 2cos ( ) cos( )f x x x= + para [0; ]x π∈ .
Ejercicio 8.- Sea
4
( ) 2sen(2 )f x x
π
= + . Hallar los ceros y los valores máximo y mínimo
de f .
Ejercicio 9.- Sea :[0; ]f π → dada por
2
( ) 2cos( )f x x
π
= + . Encontrar todos los
puntos en que el gráfico de f corta a la recta de ecuación 1y = − .
Ejercicio 10.- Sea ( ) 2 sen( )f x x π= + + . Determinar todos los [ 2 ;3 ]x π π∈ − tales que
5
2
( )f x = .
42. PRÁCTICA 5
38
DERIVADAS
Ejercicio 1.- Hallar, utilizando la definición, la pendiente de la recta tangente a la curva
( )y f x= en el punto P. Dar la ecuación de la recta y graficar la curva y la recta.
a. 2
( ) 2 ; (3,7)f x x P= − = b. 2
( ) 2 ; ( 2,2)f x x P= − = −
c.
2
( ) ; (2,1)f x P
x
= = d.
2
( ) ; ( 1, 2)f x P
x
= = − −
Ejercicio 2.- Hallar la derivada de la función f usando las reglas de derivación.
a.
3
2
( )f x x= b. 5
( ) 3f x x=
c.
4
( )f x
x
= − d. 3
( ) 2 4 3f x x x= − +
e. ( ) 3 cos( )f x x x= + f.
3
3 2
( )
x
f x
x
=
g. 2
( ) 5 ln( )f x x x= + h. ( ) sen( )f x x x=
i. ( ) cos( )x
f x e x= j. ( ) (2 3) x
f x x e= +
k. ( )4 3
( ) 3 ln( )f x x x x= − l. ( )( )3 2
( ) 3 5x
f x x x e= − +
m. 2
1
( )
1
x
f x
x
+
=
+
n.
2
4
3
( )
3
x x
f x
x
+
=
+
o.
sen( )
( )
cos( )
x
f x
x
= p.
4
3 1
( )
cos( )
x
f x
x
+
=
q. 2
sen( )
( )
5
x
f x
x
=
+
r.
2
( ) x
x
f x
e
=
Ejercicio 3.- Hallar la ecuación de la recta tangente al gráfico de f en el punto de
abscisa 0x .
a. 3
0
1
( ) ; 2
2
f x x x= = b. 2
0( ) 2 13 15 ; 3f x x x x= − + − =
c. 0( ) cos( ) ; 0x
f x e x x−
= = d. 0
2
( ) ; 4f x x x
x
= − =
43. PRÁCTICA 5
39
Ejercicio 4.- Hallar la derivada de la función f .
a. ( )
4
( ) 2 3f x x= + b. 3 2
( )f x x x= +
c.
10
2
( ) 1f x
x
⎛ ⎞
= +⎜ ⎟
⎝ ⎠
d. ( ) sen(3 )f x x=
e. 2
( ) cos ( )f x x= f. ( )2
( ) ln 3 1f x x= +
g. ( ) 5 sen( )f x x x= + h. ( )
7
( ) 2 3f x x= −
i.
2
( ) x x
f x e +
= j. ( ) cos(sen( ))f x x=
k. sen( )
( ) x x
f x e= l. ( )2
( ) ln x
f x e x−
= +
m.
3 1
( ) ln
2
x
f x
x
+⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
n. 21
( )
3
xx
f x e
x
−+⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
o. ( )2 2
( ) ln 5 1f x x= + p. ( )2 3
( ) senf x x x= +
q.
2 3
( ) lnx
f x e
x
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
r.
1
( ) 7xf x e x= −
Ejercicio 5.- Hallar la ecuación de la recta tangente al gráfico de f en el punto de
abscisa 0x .
a. 0( ) 2 3 ; 6f x x x= − = b. 0( ) 3sen(2 ) ; 0f x x x= =
c. ( )4
0( ) ln 2 2 ; 1f x x x x= + + = d. 0
3
( ) ; 0
2 1
x
e
f x x
x
= =
−
Ejercicio 6.-
a. Hallar los puntos en los que la pendiente de la recta tangente al gráfico de
( )2
( ) ln 9 4f x x= − es igual a 2.
b. Sea 3 2
( ) 2 2f x x x= − + . Hallar el punto P del gráfico de f en el que 2y x= − +
es la ecuación de la recta tangente.
c. Hallar todos los puntos del gráfico de
2
12 2
( )
1
x x
f x
x
+ +
=
+
para los cuales la
recta tangente es paralela a la recta 2 3y x= − . Escribir las ecuaciones de las
rectas en dichos puntos.
44. PRÁCTICA 5
40
Ejercicio 7.- Sea
2
3
( ) 4 x bx
f x ae −
= + . Determinar los valores de a y b para que
3 6y x= − + sea la ecuación de la recta tangente al gráfico de f en 0 0x = .
Ejercicio 8.- Sea ( )2
( ) ln 6f x x x k= − + . Hallar k ∈ de modo que la pendiente de la
recta tangente al gráfico de f en 0 4x = sea igual a 2.
Ejercicio 9.- Sea 2
( )
5
x
f x
x a
=
+
. Hallar a∈ para que la recta tangente al gráfico de f
en 0 1x = − sea horizontal.
Ejercicio 10.- Calcular ´, ´´f f y ´´´f .
a. ( ) cos(3 )f x x= b.
3
( ) 2f x x
x
= +
c. 2
( ) x
f x xe= d. ( ) 3 2f x x= +
Ejercicio 11.-
a. El desplazamiento (en metros) experimentado por un móvil al cabo de t
segundos es 2
( ) 6x t t= . Hallar la velocidad instantánea en 2t = segundos.
b. Un móvil se desplaza en línea recta. La posición x en el instante 0t ≥ es
31
( ) 8
6
x t t t= − . Determinar la aceleración ( ) ´´( )a t x t= en el instante en el cual
la velocidad ( ) ´( )v t x t= se anula.
Ejercicio 12.- Dos móviles A y B se desplazan según las ecuaciones
4 2
: ( ) 3 2 7 ; : ( )A s t t t B e t t at b= − + = + +
a. Calcular a y b para que en el instante 1t = , A y B se encuentren en el mismo
lugar y lleven además la misma velocidad.
b. Hallar la posición, la velocidad y la aceleración de cada móvil en el instante
1t = .
Ejercicio 13.- Sea :f → una función derivable tal que el gráfico de la función
derivada ´f es
45. PRÁCTICA 5
41
a. Hallar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f .
b. Ubicar los máximos y los mínimos locales de f .
Ejercicio 14.- Estudiar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los máximos y
los mínimos relativos y hacer un gráfico aproximado de f .
a. 2
( ) 2f x x x= − b. 2
( ) 8 15f x x x= − + −
c. 4 3
( ) 3 4 12 7f x x x x= + − + d. 3 2
( ) 2 9 12 5f x x x x= − + −
e. 5 3
( ) 3 5 1f x x x= − + f. 3 2
( ) ( 10)f x x x= −
Ejercicio 15.- Hallar el dominio, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los
extremos locales y las asíntotas verticales y horizontales. Hacer un gráfico aproximado
de f .
a.
2
( )
1
x
f x
x
=
−
b. 2
( )
1
x
f x
x
=
+
c.
3
2
( )
( 1)
x
f x
x
=
−
d.
2 1
( )
3
x
f x
x
−
=
−
e.
2
( 4)
( )
3 2
x
f x
x
+
=
−
f.
3
( )
1
x
f x
x
=
−
g. 2
3
( )
4
x
f x
x
−
=
+
h. 2 1
( ) 2( 3)f x x −
= +
i. 2
5
( )
16
x
f x
x
−
=
−
j.
2
2
6
( )
x x
f x
x x
− −
=
−
k. 2
8 3
( )
2
x
f x
x x
−
=
−
l. 2
( )
1
x
f x
x
=
−
46. PRÁCTICA 5
42
Ejercicio 16.- Hallar el dominio, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los
máximos y los mínimos de f .
a. 2( )
x
f x xe= b. 4
( ) x
f x x e−
=
c. 3 3
( ) x
f x x e= d. 2
( ) ln ( )f x x x=
e. ( ) ln(2 )f x x= − f.
ln( )
( )
x
f x
x
=
g.
3
12
( ) xx
f x e +−
= h. ( ) ln( )f x x x=
Ejercicio 17.- Hallar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, y los máximos y
los mínimos relativos de f en el intervalo indicado. Hacer un gráfico aproximado.
a. 2
( ) 2 sen ( )f x x= + en [0,2 ]π
b. 2
( ) sen( ) cos ( )f x x x= + en [ , ]π π−
c.
sen( )
( )
cos( )
x
f x
x
= en ( ),
2 2
π π−
d.
1
( )
sen( )
f x
x
= en (0, ) ( ,2 )π π π∪
Ejercicio 18.- Sea { }: 0f − → definida por
2
(5 )
( )
x k
f x
x
−
= donde k es una
constante.
a. Hallar los valores de k para los cuales f tiene un punto crítico en 1x = .
b. Para cada valor de k hallado en a) determinar todos los extremos locales de f .
Ejercicio 19.- Sea
3
( ) x kx
f x e −
= . Determinar k ∈ para que f tenga un extremo
relativo en 2x = . Para el valor de k hallado determinar los máximos y los mínimos
locales de f .
Ejercicio 20.- Las funciones 1( ) t
C t te−
= y 2
2 ( ) t
C t t e−
= expresan la concentración en
sangre de cada una de dos drogas t horas después de administradas.
a. ¿Cuál de las dos drogas alcanza mayor concentración?
b. ¿Cuál alcanza la concentración máxima en el menor tiempo?
47. PRÁCTICA 5
43
Ejercicio 21.- Hallar las dimensiones que debe tener un rectángulo de área 64 para que
a. su perímetro sea mínimo;
b. su diagonal sea la menor.
Ejercicio 22.- Descomponer el número 16 en dos sumandos positivos tales que su
producto sea máximo.
Ejercicio 23.- Hallar el menor valor que se puede obtener al sumar un número con 25
veces su inverso. ¿Para qué números se alcanza dicho valor mínimo?
Ejercicio 24.- Hallar el punto del gráfico de ( ) 3 5f x x= + que está a menor distancia
de (4,7)P = .
Ejercicio 25.- Hallar dos números tales que su suma sea igual a 12 y la suma de sus
cuadrados sea mínima.
Ejercicio 26.- La concentración de un fármaco en la sangre t horas después de ser
inyectado viene dada por 2
3 2
( )
4 1
t
C t
t
+
=
+
. Hallar cuándo la concentración aumenta,
cuándo disminuye y cuándo es máxima.
Ejercicio 27.- Hallar el punto del gráfico de ( ) 8f x x= que está a menor distancia de
(6,0)P = . Calcular dicha distancia.
Ejercicio 28.- Un terreno rectangular se va a cercar y dividir en tres porciones iguales
mediante dos cercas paralelas a dos de los lados del terreno. Si el alambre total que va a
usarse es de 8000 metros, encontrar las dimensiones del terreno que tendrá mayor área.
Ejercicio 29.- Un constructor debe hacer una ventana rectangular. Para el marco
dispone de 6,40 metros de varilla metálica. Hallar las dimensiones de la ventana de
modo que el área de abertura sea máxima.
48. PRÁCTICA 5
44
Ejercicio 30.- En pacientes con cierta enfermedad, se sabe que la temperatura (en °C)
t horas después de haberles suministrado cierta droga se rige según la ley
2( 3)
21
( ) 37
4
t
T t e
− −
= + . ¿En qué instante se alcanza la temperatura máxima? ¿Cuál es
ésta?
EJERCICIOS SURTIDOS
Ejercicio 1.- Hallar la ecuación de la recta tangente al gráfico de 2
9 3
( )f x
x x
= − en el
punto de abscisa 3x = .
Ejercicio 2.- Sea ( ) 3ln( 1) 2f x ax= − − . Hallar el valor de a para que la pendiente de
la recta tangente al gráfico de f en el punto de abscisa 1x = sea 6. Dar la ecuación de
la recta tangente.
Ejercicio 3.- Sea 3 2
( ) 6 10 1f x x x x= − − + . Hallar el punto del gráfico de f en el que la
recta tangente tiene ecuación 5 9y x= + .
Ejercicio 4.- Hallar la ecuación de la recta tangente al gráfico de
2
ln( 4)
( ) 3
10 24
x
f x
x x
−
= +
− + −
en el punto (5, (5))f .
Ejercicio 5.- Hallar todos los puntos del gráfico de 3 2
( ) 12 17 1f x x x x= − − + en los que
la pendiente de la recta tangente es 10.
Ejercicio 6.- Sea 2
( ) ln( 81)f x x= + . Hallar el punto del gráfico de f en el que la
pendiente de la recta tangente es
1
9
.
49. PRÁCTICA 5
45
Ejercicio 7.- Sea
8
( )f x
x
= . Hallar el punto del gráfico de f en el que la recta tangente
tiene ecuación
1
2
4y x= − − .
Ejercicio 8.- Sea ( )f x tal que 5 4y x= − es la ecuación de la recta tangente al gráfico
de f en (1, (1))f . Si 3
( ) ( 6 ) ( )g x x x f x= − , calcular ´(1)g .
Ejercicio 9.- Hallar el dominio, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los
extremos locales y las asíntotas verticales y horizontales. Hacer un gráfico.
a. 5
( ) ( 7)f x x x= − b.
9
( ) 2 7
2 1
f x x
x
= + +
−
c.
2
2
( )
4
x
f x
x
=
−
d.
2
( )
9
x
f x
x
=
+
e.
3 23
( ) x x
f x e −
= f. ( ) 2 6ln( )f x x x= −
g. 2 3( ) 3
x
f x x e= h. 2
12
( ) 1
4
f x
x x
= +
−
Ejercicio 10.- Sea ( )
k
f x x
x
= − . Determinar k de modo que f tenga un máximo local
para 1x = − . Para el valor de k hallado, determinar los intervalos de crecimiento y de
decrecimiento, todos los extremos locales y hacer un gráfico aproximado.
Ejercicio 11.- Sea 2
16
( )
( 4)
f x
x x
=
−
. Dar el dominio, los intervalos de crecimiento y de
decrecimiento, los extremos locales y las ecuaciones de las asíntotas verticales de f .
Graficar.
50. PRÁCTICA 6
46
INTEGRALES
Ejercicio 1.-
a. Hallar una función g tal que
i. ´( )g x x= ii. ´( ) 3g x =
iii. ´( ) sen( )g x x= iv. ´( ) cos( )g x x=
v. ´( ) x
g x e= vi. 3
´( )g x x=
vii. 5
´( ) 2g x x x= + viii. ´( ) 3 x
g x e= +
b. Hallar una primitiva de f .
i. ( ) 2sen( )f x x= ii. 3 1
( )f x x
x
= +
iii. 2
( ) 3f x x x= + iv. ( ) 4 x
f x e= −
Ejercicio 2.- Hallar la función g tal que
a. ´( ) 8g x x= y (0) 4g =
b. 3
´( )g x x= − y (1) 5g =
c. ´( ) 2cos( )g x x= − y
2
( ) 3g
π
=
Ejercicio 3.- Calcular las integrales.
a. 2
x dx∫ b. 123
x dx∫
c. (2 )x dx+∫ d. 2
(6 sen( ))x x dx+∫
e. 3
( 2)x dx+∫ f. 2
(1 )x x dx+∫
g. 4
1
( )x
e dx
x
+∫ h. (3cos( ) 2sen( ))x x dx−∫
Ejercicio 4.- Calcular aplicando el método de sustitución.
a. 2
1
x
dx
x +∫ b. 4sen(4 )x dx∫
c. cos(4 )x dx∫ d.
1
3
dx
x +∫
e. 2
3x x dx+∫ f. 2
(3 1)
dx
x +∫
51. PRÁCTICA 6
47
g.
ln( )x
dx
x∫ h. 5
cos( )
sen ( )
x
dx
x∫
i. 6x
e dx−
∫ j.
3
ln ( )x
dx
x∫
k. 2 3
cos( )x x dx∫ l.
cos(ln( ))x
dx
x∫
m.
ln( 2 3)
4 6
x
dx
x
− +
− +∫ n.
3 2
4 3
4 6
3 6 9
x x
dx
x x
+
+ −∫
o. 2x x dx+∫ p. 5
(3 1)x x dx+∫
q.
2
5x
xe dx+
∫ r. cos( )
sen( )x
e x dx∫
Ejercicio 5.- Calcular aplicando el método de integración por partes.
a. cos( )x x dx∫ b. x
xe dx∫
c. 2x x dx+∫ d. 9
ln( )x x dx∫
e. 3 1
lnx dx
x
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ f. 2 x
x e dx−
∫
g. 2
sen( )x x dx∫ h. 2 3
( )( 2)x x x dx−
+ −∫
Ejercicio 6.- Calcular.
a. 2
3
2 ( 3)x x dx−∫ b.
sen(ln( ))x
dx
x∫
c. ( )3 2 3
5 (5 1)x x x dx+ + −∫ d.
cos( )
ln(sen( ))
sen( )
x
x dx
x∫
e.
cos( 1)
1
x
x
dx
+
+
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ f. ( )2 2
cos(6 2) x
x x e dx− +∫
Ejercicio 7.- Hallar la función g tal que
a.
3
4 2
4 6 2
´( )
3 2 1
x x
g x
x x x
− +
=
− + +
y (1) 5g =
b. 2
´( ) 3 9g x x x= + y (3) 20g =
c. ´( ) x
g x xe= y (0) 4g =
d. ´( ) ln( 2)g x x= + y ( 1) 3g − =
52. PRÁCTICA 6
48
Ejercicio 8.- La aceleración de un móvil en el instante t está dada por
2
( ) ( 6)km ha t t t= − . El móvil parte, en el instante inicial 0t = , a una velocidad de
40km h . ¿Cuál es la velocidad ( )v t para 0 6t≤ ≤ ? (Recordar que la aceleración a es
la derivada de la velocidad instantánea v , esto es ( ) ´( )a t v t= .)
Ejercicio 9.- Un cohete está en reposo en el instante 0t = . Mediante mediciones en el
interior del cohete se comprueba que experimenta una aceleración
1
2( ) 2a t t= + , para
todo 0t ≥ , donde el tiempo se mide en segundos y la aceleración en 2
m seg . ¿Qué
velocidad tiene en el instante 36t = ? ¿A qué distancia del punto de partida está en ese
instante?
Ejercicio 10.- Usando la regla de Barrow, calcular las siguientes integrales definidas.
a.
2
1
4xdx
−
∫ b.
4
1
xdx∫
c.
2
0
cos( )t dt
π
∫ d.
0
cos( )t dt
π
∫
e.
0
sen( )u du
π
∫ f.
1
1
1
x
e dx− +
−
∫
Ejercicio 11.- Usando la regla de Barrow, calcular las siguientes integrales definidas.
a. 2
1
1
( 1)x
e x dx
−
+∫ b.
1
0 1
e
dt
t
−
+∫
c. 2
3
0
( 2) 1x x dx+ +∫ d. 3
2
(1 cos(2 )) sen(2 )x x dx
π
π
−∫
e.
2
2
4
cos( )
sen ( )
u
du
u
π
π
∫ f.
1
2 2
0
( )x x
e e dx−
−∫
g.
24
1
(ln )x
x dx
x
⎛ ⎞
+⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ h.
2
0
( )cos( )t t dt
π
π−∫
53. PRÁCTICA 6
49
Ejercicio 12.-
a. Sabiendo que
3
1
( ) 5f x dx =∫ , calcular
3
1
( ( ) 2 )f x x dx+∫ .
b. Sabiendo que
1
2
( ( ) 3) 2f t dt
−
− = −∫ , calcular
1
2
( )f t dt
−
∫ .
Ejercicio 13.-
a. Hallar a∈ tal que 2
1
4 16
5
a
dx
x
=∫ .
b. Hallar a∈ tal que
4
0
(3 ) 0x ax dx+ =∫ .
Ejercicio 14.- Expresar, usando integrales definidas, el área de las regiones sombreadas.
a. b.
c. d.
54. PRÁCTICA 6
50
e. f.
h.g.
i. j.
Ejercicio 15.- Calcular el área de la región encerrada entre:
a. el gráfico de 2
( ) 2 3f x x x= + − y el eje x.
b. el gráfico de 3 2
( ) 3 10f x x x x= − − y el eje x.
c. los gráficos de ( ) 4f x x= − + y 2
( ) 2g x x x= + .
d. los gráficos de ( )f x x= , ( ) 6g x x= − + y el eje x.
e. los gráficos de 3
( ) 1f x x= − y ( ) 4 1g x x= − .
f. los gráficos de 2
( ) 2 6 5f x x x= + − y 2
( ) 3 5g x x x= − + .
55. PRÁCTICA 6
51
Ejercicio 16.- Calcular el área de la región comprendida entre los gráficos de
a. ( ) 2f x x= − + y ( ) ( 2)g x x x= − para 0 3x≤ ≤
b. ( ) 2f x x= − + y ( ) ( 2)g x x x= − para 2 4x− ≤ ≤
c. ( ) x
f x e−
= y 2
( ) x
g x e= para 1 1x− ≤ ≤
d. 2
( ) 2f x x x= − − + y el eje x para 3 3x− ≤ ≤
e.
1
2
( ) ( 1)f x x= − y ( ) 1g x x= − para 1 10x≤ ≤
f. 2
( ) 4 2f x x x= + + y 2
( ) 2 7 8g x x x= − + + para 2 6x− ≤ ≤
Ejercicio 17.- Calcular el área de la región limitada por
a. los gráficos de ( ) 5f x x= − , ( ) 5g x x= − y la recta 2y = .
b. los gráficos de ( ) 10f x x= − , ( )g x x= y el eje x.
c. el eje y, la curva y x= y la recta 6y x= − + .
d. las curvas 2
16
y
x
= , 4x = , 2y x= .
e. las curvas 2
16
y
x
= , 2y x= , 16y = .
f. las curvas 2y x= − , 2 10y x= − y el eje x.
Ejercicio 18.- Sabiendo que el área de la región sombreada vale 10, calcular
3
0
( )g x dx∫ .
56. PRÁCTICA 6
52
EJERCICIOS SURTIDOS
Ejercicio 1.- Calcular el área de la región encerrada entre las curvas 9y x= + , 2y =
y el eje y.
Ejercicio 2.- Calcular el área de la región encerrada entre el eje x y los gráficos de
2
( ) ( 1)f x x= + y
1
( )
1
x
g x
x
− +
=
+
.
Ejercicio 3.- Calcular el área de la región limitada por los gráficos de
6
( )f x
x
= ,
( ) 1g x x= + y ( ) 1h x x= − .
Ejercicio 4.- Calcular el área de la región comprendida entre el gráfico de
2
3
( ) ln( 3)f x x= − y el eje x para 5 9x≤ ≤ .
Ejercicio 5.- Calcular el área de la región que encierran el gráfico de ( ) 3f x x= − ; la
recta tangente al mismo en (7, (7))f y el eje x.
Ejercicio 6.- Calcular .
a. 3 ln( )
3
x
x dx
x
⎛ ⎞
+⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ b.
3x
dx
x
+
∫
c. ( )2
2 4 5x x dx+ +∫ d. ( )2
cos( 6) sen( )x x x dx+ +∫
e. cos(3 1)x x dx+∫ f. 2
(3 1) x
x e dx−∫
g.
3cos(ln( 2))
2
x
dx
x
+
+∫ h. 5 cos(3 2) sen(3 2)x x dx+ +∫
i. 2
(3 ln( ))x x x dx+∫ j.
4
5( 5)x x dx+∫
k. 4 4
3sen(5 )x x
e e dx+∫ l.
( )
5
7
( 3) ln(2 6)
dx
x x− −
∫
m. ( )2 1
5 1 x
x e dx−
+ +∫ n. ( )3
2 2x
x e x dx−
+∫
57. PRÁCTICA 6
53
Ejercicio 7.- Para la función 2
( ) 5 sen( )f x x x= , hallar una primitiva ( )F x que verifique
(0) 1F = .
Ejercicio 8.- Hallar la función f sabiendo que
a. 25
´( ) 6
2
f x x
x
= −
−
y (3) 100f = .
b.
1
´( )
3 1
f x
x
=
+
y (1) 2f = .
58. EVALUACIONES
54
PRIMER PARCIAL
En cada ejercicio, escriba los razonamientos que justifican la respuesta.
A
1. Escribir como intervalo o unión de intervalos el conjunto
2 5
/ 0
x
x
x
+⎧ ⎫
Α = ∈ >⎨ ⎬
⎩ ⎭
2. Sea 2
( ) 2= + +f x x bx c . Determinar b y c de modo que el punto
9
2
1,
⎛ ⎞
−⎜ ⎟
⎝ ⎠
sea el
vértice de su gráfico. Para los valores de b y c hallados, dar el conjunto de
positividad de f .
3. Sean ( )f x la función lineal cuyo gráfico pasa por los puntos ( )1,2 y ( )0,4 ;
3
( )
2 1
=
+
g x
x
y ( ) = oh x g f . Dar la ecuación de la asíntota vertical de h .
4. Sea [ ]: ;−π π →f tal que ( )( ) 4sen 2 2= −f x x . Determinar la imagen de f
y hallar los [ ];∈ −π πx para los cuales f alcanza el valor mínimo.
B
1. Sean
1
( )
3
x
f x
x
+
=
−
; P el punto del gráfico de f que tiene abscisa x=2 y Q el
punto del gráfico que tiene ordenada 3. Hallar P , Q y calcular ( , )d P Q .
2. Sea ( )( )2
( ) 1 2 4 16g x x x x= + − − + . Determinar el conjunto de ceros y el
conjunto de negatividad de la función g.
3. Sean
16 1
( )
4 1
x
f x
x
+
=
−
, 2
( )g x x= y h f g= . Dar las ecuaciones de todas las
asíntotas de h.
4. Sea ( )( ) 1 ln 5 1f x x= − − . Dar el dominio de f y hallar la función inversa 1−
f .
59. EVALUACIONES
55
SEGUNDO PARCIAL
En cada ejercicio, escriba los razonamientos que justifican la respuesta.
C
1. Hallar todos los puntos del gráfico de 3
( ) 5 4f x x x= − + para los cuales la recta
tangente tiene pendiente 2m = − . Escribir las ecuaciones de las rectas tangentes
en dichos puntos.
2. Sea 2 16
( )f x x
x
= + . Hallar el dominio, las ecuaciones de las asíntotas, los
extremos relativos y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f .
3. Calcular sen(4 )x x dx∫ .
4. Calcular el área de la región encerrada entre el gráfico de
5
( )f x
x
= y las rectas
25y = ; 5x = .
D
1. Sea ( ) 2
3 ln(2 1)f x x x= + − . Hallar la ecuación de la recta tangente al gráfico de
f en el punto de abscisa 0 1x = .
2. Hallar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los máximos y
mínimos relativos de ( )
3 22 6 3x x
f x e − +
= .
3. Calcular 4
3
2
2
4
x x
dx
x x
+
+∫ .
4. Sea ( ) 3
9f x x x= − . Encontrar el área de la región encerrada entre el gráfico de
f y el eje x .
60. EVALUACIONES
56
EXAMEN FINAL
Para aprobar el examen es necesario tener por lo menos 8 respuestas correctas y más
respuestas correctas que incorrectas. En cada ejercicio marque la única respuesta
correcta_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1. La función cuadrática f tal que su gráfico tiene vértice (2,8)=V y pasa por el (1, 6) es ( )f x =
( )2 4x x − ( )
2
2 2 8− − +x ( )
2
2 2 8− −x ( )
2
2 8− − +x
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
2. Un valor de k para el cual la imagen de ( )( ) sen 3= + π −f x k x es el intervalo [ ]8;2− es
inexistente 2k = 8k = 5=k
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
3. Sea ( ) 4 3 2
5 6f x x x x= − + . El conjunto de positividad de f es:
( ) ( )0;2 3;∪ +∞ ( ) ( );0 3;−∞ ∪ +∞ ( ) ( );0 0;2−∞ ∪ ( ) ( ) ( );0 0;2 3;−∞ ∪ ∪ +∞
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
4. Sean ( ) 2 5f x x= + , ( )
1
4
=
−
g x
x
y =h f g . Las ecuaciones de las asíntotas de h son:
5=x ; 4=y 4x = ; 5y =
1
2
x
−
= ; 0=y
1
2
x
−
= ; 1=y
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
5. Sea ( ) 2 4f x x= + . La distancia entre el punto ( )( )2, 2f− − y el punto ( )1,4 es igual a:
5 17 22 3
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
6. El dominio de la función
1
( )f x
x
= es igual a:
[ )0;+∞ { }0− ( )0;+∞
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
7. La función inversa de ( ) ( )
1
ln 1
2
f x x= + es ( )1
f x−
=
2 1x
e −
( )
2
ln 1x +
2
1x
e −
1
2
x
e −
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
8. Sea ( ) cos=f x x . La cantidad de ceros que tiene f en el intervalo [ ];3−π π es:
3 4 5 6
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
9. Los gráficos de ( ) 2f x x= + y de ( ) 2
2 8g x x x= − − se cortan en los puntos:
( )5,7 y ( )2,0− ( )5,0 y ( )2,0− ( )5,0− y ( )2,0 ( )5,3− y ( )2,4
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
10. Sea ( ) 1
5x
f x e −
= − . Si D = Dominio de f e I=Imagen de f , entonces:
( )e 0,= = +∞D I ( )e 5,= = − +∞D I
( ) ( )1, e 0,= +∞ = +∞D I ( ) ( )1, e 5,= +∞ = − +∞D I
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
61. EVALUACIONES
57
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
11. Sea ( )
3 12 5− +
= x x
f x e . Los extremos locales que alcanza f son:
un mínimo en 2= −x y un máximo en 2=x un máximo en 2= −x y no tiene mínimo
un máximo en 2= −x y un mínimo en 2=x un mínimo en 2=x y no tiene máximo
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
12. Sea ( ) 4
3 1f x x x= − − . La pendiente de la recta tangente al gráfico de f en ( )( )2, 2f es:
29
6
16
3
1
6
5
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
13. Una primitiva de ( ) ( )
43 2
5 6f x x x= + es ( )F x =
( )
53 35 6
2
5 3
x x+
+
( )
53
5 6
4
75
x +
+
( )
53
5 6
1
5
x +
+
( )
53
5 6
7
15
x +
+
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
14. Si ( )
4
1
( ) 5x f x dx+ =∫ entonces
4
1
( )f x dx =∫
11
2
4
14
3
1
3_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
15. Sea f la función tal que su derivada es: ( ) ( )´ 2f x x x= − . Entonces f es creciente en:
( );1−∞ ( )1;+∞ ( ) ( );0 y en 2;−∞ +∞ ( );2−∞
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
16. 6sen(3 1)x dx+ =∫
( )6cos 3 1− + +x C ( )2cos 3 1− + +x C ( )6cos 3 1+ +x C ( )3cos 3 1− + +x C
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
17. Si ( ) 5 lnf x x x= − ; la ecuación de la recta tangente al gráfico de f en el punto de abscisa x=1
es:
4 4= −y x ( )
1
5 1y x
x
⎛ ⎞
= − −⎜ ⎟
⎝ ⎠
4 1= +y x 5 5= −y x
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
18. El área de la región limitada por los gráficos de ( ) 2
f x x= ; ( ) 2
2g x x= − con 0 3x≤ ≤ es:
( ) ( )
1 3
0 1
( ) ( ) ( ) ( )g x f x dx f x g x dx− + −∫ ∫ ( )
3
0
( ) ( )g x f x dx−∫
( ) ( )
1 3
0 1
( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx g x f x dx− + −∫ ∫ ( )
3
0
( ) ( )f x g x dx−∫
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
19. x
xe dx =∫
( )1 x
x e k− +
2
2
xx
e k+ x
e k+ ( )1 x
x e k+ +
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
20. Si ( ) ( ) ( )3
6h x x x f x= − y f es tal que ( )1 5f = y ( )´ 1 9f = , entonces ( )´ 1h es igual a:
60 30 −60 −27
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
62. EVALUACIONES
58
RESPUESTAS DEL
EXAMEN FINAL
1. X ( )
2
2 2 8− − +x
2. X 5=k
3. X ( ) ( ) ( );0 0;2 3;−∞ ∪ ∪ +∞
4. X 4x = ; 5y =
5. X 5
6. X ( )0;+∞
7. X 2
1x
e −
8. X 4
9. X ( )5,7 y ( )2,0−
10. X ( )e 5,= = − +∞D I
11. X un máximo en 2= −x y un mínimo en 2=x
12. X
29
6
13. X
( )
53
5 6
4
75
x +
+
14. X
1
3
15. X ( ) ( );0 y en 2;−∞ +∞
16. X ( )2cos 3 1− + +x C
17. X 4 1= +y x
18. X ( ) ( )
1 3
0 1
( ) ( ) ( ) ( )g x f x dx f x g x dx− + −∫ ∫
19. X ( )1 x
x e k− +
20. X −60