Prácticas de matemáticas para maestros

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Prácticas de matemáticas para maestros : cuadernos de prácticas de
matemáticas y su didáctica : primer curso diplomatura maestros de educación
primaria
Book · August 2004
Source: OAI
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Pablo Flores
University of Granada
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Isidoro Segovia
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Juan D. Godino
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José M Cardeñoso
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Facultad de Ciencias de la Educación
Universidad de Granada

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FLORES, P., SEGOVIA, I. (Eds.) (2004). Prácticas de matemáticas para maestros.
GRANADA: Departamento de Didáctica de la Matemática (Universidad de Granada)
Editores:
Pablo Flores Martínez
Isidoro Segovia Alex
Autores:
Pablo Flores Martínez
Isidoro Segovia Alex
Juan Díaz Godino
José María Cardeñoso Domingo
Francisco Ruiz López
Francisco Fernández García
José Luis Lupiañez Gómez
Rafael Roa Guzmán
Encarnación Castro Martínez
María Jesús Cañizares Castellanos
Juan Luis Pareja Pérez
Composición
María Peñas Troyano
Edita:
DEPARTAMENTO DE DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA
UNIVERSIDAD DE GRANADA
ISBN: 933517-0-9
Patrocina:
VICERRECTORADO DE PLANIFICACIÓN,
CALIDAD Y EVALUACIÓN DOCENTE

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Facultad de Ciencias de la Educación
Universidad de Granada

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ÍNDICE
DESCRIPCIÓN DE LA EXPERIENCIA Página
1. Introducción 7
2. Objetivos de los proyectos de innovación 9
3. Descripción de la experiencia 10
4. Material y métodos 17
5. Resultados obtenidos 18
6. Utilidad de la experiencia 19
7. Observaciones y comentarios 20
8. Autoevaluación de la experiencia 20
9. Bibliografía 22
CUADERNO DE PRÁCTICAS Página
Aritmética: 25
Manipulativos individual 27
Manipulativos equipos 43
Informática individual 49
Informática equipos 61
Taller individual 67
Taller equipos 85
Geometría: 93
Taller equipos 151
Medida y Estadística y probabilidad: 159
Taller equipos 213

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DESCRIPCIÓN DE LA EXPERICENCIA: PRÁCTICAS DE MATEMÁTICAS PARA
MAESTROS
1. Introducción
La formación inicial de profesores de Educación Primaria e Infantil son de las pocas
formaciones profesionales que asume la Universidad. Para lograr capacitar profesionalmente a
los estudiantes de estos estudios, las asignaturas tienen que desarrollar no solo enseñanzas
teóricas, sino promover experiencias de formación que incidan en la actuación práctica de los
futuros profesionales. La Diplomatura de Formación Inicial de Maestros de Educación
Primaria recoge a unos estudiantes que provienen de una formación preuniversitaria, para ir
convirtiéndolos en maestros del futuro. Su evolución formativa va pareja a una evolución en
sus concepciones y creencias sobre la tarea profesional que deberán desempeñar, y que está
anclada en la forma en que han vivido su experiencia discente. Si bien hay circunstancias
contextuales que hacen que muchos estudiantes se matriculen y cursen la Diplomatura con la
mera intención de tener una titulación universitaria de grado medio, con la que acceder a
oposiciones y concursos de la administración, la tarea que nos compete a los formadores de
profesores nos obliga a plantearnos las competencias profesionales deseables del maestro, y
tratar de que las alcancen nuestros estudiantes. Para ello tenemos que ser conscientes de que
el proceso de formar maestros debe ser una ayuda en el desarrollo profesional de los
candidatos, tratando que realmente encaren esta formación para la profesión.
Pensando en las competencias profesionales que hay que desarrollar en el maestro en
formación, los profesores del Departamento de Didáctica de la Matemática de la Universidad
de Granada llevamos realizando proyectos de innovación docente en los que nos planteamos
el primer curso de la formación de maestros como un inicio en su desarrollo profesional,
tratando de que la Diplomatura se conciba como un proceso gradual, en el que el estudiante
pase de prestar atención a aspectos relacionados con sus asuntos discentes, a preocuparse por
aspectos profesionales del maestro. Como tal, en nuestra acción se ha propuesto que los
primeros cursos traten de que los estudiantes afiancen sus conocimientos matemáticos,
especialmente aquellos que constituyen los contenidos de la Educación Primaria,
profundizando en ellos. Ello nos ha hecho definir el curso de formación inicial como un curso
de lo que hemos llamado “Matemáticas para maestros”. Asignaturas posteriores se ocuparán
de analizar y encarar estrategias de enseñanza y educación matemática, que debe aposentarse
sobre las competencias matemáticas profesionales que se adquieran en el primer curso.
El trabajo que presentamos es el resultado de un proyecto de innovación docente, que se sitúa
en el primer curso de la Diplomatura de Maestro de Educación Primaria, llevado a cabo
durante los cursos 2002-2003 y 2003-2004, y que se continúa poniendo en práctica el curso
2004-2005. En él hemos querido realzar la importancia de la componente práctica de la
formación matemática del maestro, tratando de que los estudiantes generen de manera
personal una visión de la matemática de Educación Primaria.
La práctica se entiende de diversas formas, tanto en los procesos formativos en general, como
en la formación de maestros. En primer lugar aparece la consideración de la profesión docente
como una profesión práctica en el sentido aristotélico del término, en la que se destaca que la
tarea educadora debe tomar en consideración tanto el proceso educativo como los fines que
pretende, alejándola por tanto de una profesión tecnológica centrada exclusivamente en
resultados. La formación práctica también es entendida como la formación mediante el

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ejercicio de la profesión, que en nuestra Diplomatura se asume por medio del Practicum. En
un tercer lugar aparece la diferenciación entre los créditos teóricos y prácticos en las
asignatura, que pueden corresponder a la distancia que existe entre las tareas que se realizan
en clase y la aplicabilidad de las mismas a algún aspecto ajeno a ellas, a la diferenciación
entre las competencias teóricas de las procedimentales, a la diferencia entre los conocimientos
contextualizados en la formación universitaria, respecto a su aplicación a problemas no
escolares, pero también, al grado de protagonismo que adquiere el estudiante en la realización
de tareas. Nos hemos situado en esta tercera perspectiva, sin perder de vista la declaración de
principio que se realiza en la primera.
Nuestro proyecto de innovación docente se ha realizado durante dos cursos académicos. En el
curso 2002-2003 comenzamos por planificar un modelo de atención a los créditos prácticos,
potenciando las dos dimensiones anteriormente señaladas: protagonismo del estudiante en su
formación, y proximidad entre las tareas planteadas y el mundo cotidiano (las matemáticas del
entorno). Para ello organizamos la enseñanza de la asignatura de “Matemáticas y su
Didáctica”, del primer curso de la carrera de Maestro de Educación Primaria, haciendo énfasis
en las actividades que están más relacionadas con la formación práctica del estudiante, es
decir, aquellas que promueven las discusiones entre los propios estudiantes, que parten de
situaciones cotidianas, y que promueven la puesta en juego de estrategias personales de
actuación, tales como la resolución de problemas y la realización de trabajos de investigación.
Y todo ello con una metodología que pretende tomar en consideración e incidir sobre las
concepciones que los estudiantes tienen de la enseñanza, tratando de que experimenten en su
propia formación modelos de enseñanza activos, basados en la resolución de problemas, y en
el trabajo en equipo.
Aun a pesar de los esfuerzos de cambio en ese sentido, la inercia de una enseñanza
enciclopédica y excesivamente teórica, hace que primen otros indicadores de actuación que se
pretenden poner en cuestión; en muchas ocasiones es el miedo al cambio con el razonable y
buen argumento de que nuestros estudiantes dejarán de aprender conocimientos vitales para
su formación. El ejercicio de un modelo de enseñanza práctica centrada en el estudiante
pretende favorecer la reflexión sobre la parcialidad de estas concepciones, mostrando que esta
forma de trabajo en el aula genera mejores actitudes de los estudiantes hacia las matemáticas,
además de ejercitarlos en una metodología de trabajo en el aula que en el futuro podrán poner
en práctica.
En el caso particular de la formación de profesores de primaria, las matemáticas que el
alumno necesita conocer las aprendió en su etapa de estudios primarios y las ha puesto en
práctica a lo largo de su labor como estudiante en los siguientes niveles de enseñanza y en su
vida cotidiana: números naturales en diversos contextos, fracciones, conocimientos de
geometría de formas y transformaciones, magnitudes, nociones de estadística y probabilidad,
etc. Son conocimientos matemáticos que el futuro profesor domina desde el punto de vista
procedimental, necesita por tanto ‘reaprender’ o ‘reconstruir’ los conceptos y procedimientos
de esos niveles con la idea puesta en la manera que debe presentar o trabajar esos
conocimientos con sus alumnos; sus actitudes hacia la matemática constituyen también un
elemento de gran trascendencia pensando en ese objetivo. El papel que puede jugar el trabajo
práctico del alumno, las discusiones y la resolución de problemas e investigación, son de
enorme relevancia; reconstruir, por ejemplo, el algoritmo usual de la división, con base al
empleo de los ‘bloques de Dienes’ o el ábaco, es una actividad que permite dar significado a
una rutina aritmética, que en muchos casos, hasta ha sido olvidada; pero este tipo de actividad

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adquiere interés para el alumno si puede descubrirla él mismo o con ayuda de sus compañeros
de grupo. La labor del profesor debe estar en dirigir y orientar lo imprescindible.
Por otro lado la autonomía en la construcción del conocimiento hace que el estudiante deba
ser capaz de discernir lo importante de lo accesorio, de reflexionar sobre lo que ha hecho,
porqué se ha hecho así y no de otra forma, de comprender la relevancia que tiene una
observación realizada por otro y de comunicar toda esa información; el desarrollo de estas
capacidades debe formar parte de la instrucción y no darlo por hecho.
Para llevar a cabo estas propuestas, en los proyecto de innovación para la asignatura de
Matemáticas y su Didáctica para maestros de la especialidad de Educación Primaria que
consta de 9 créditos, 4,5 teóricos y 4,5 prácticos, hemos propuesto una organización que
diferencie claramente la atención que le prestamos a 4,5 créditos prácticos. Para ello hemos
tenido que elaborar unas actividades prácticas, que se concretan en los Cuadernos de Prácticas
que aquí presentamos.
Como consecuencia de esta organización, hemos debido hacer ligeras modificaciones en el
desarrollo de los créditos de carácter teórico, promoviendo un aumento del trabajo autónomo
del alumno, para lo cual dispondrá necesariamente de una documentación con la que trabajar
y que serviría de guía para el trabajo del profesor en clase. La existencia de un libro editado
por parte del profesorado del Departamento, y de otro documento exhaustivo dirigido por
otros profesores del Departamento, y accesible desde internet o en fotocopias, ha hecho
posible focalizar nuestra atención sobre los créditos prácticos, sin descuidar la formación en
los créditos teóricos.
2. Objetivos de los proyectos de innovación:
En las dos fases en que se ha afrontado el proyecto de innovación, se han propuesto los
siguientes objetivos:
1) Poner en marcha de manera experimental un programa de formación práctica en la
asignatura Matemáticas y su Didáctica, que lleve a que los estudiantes de la misma:
. Mejoren el manejo del conocimiento matemático de los bloques de Matemáticas del
Currículo de Educación Primaria.
. Lleven a cabo procesos cooperativos de resolución de verdaderos problemas matemáticos
elementales que les obligue a poner en juego dicho conocimiento.
. Elaboren mapas conceptuales y redacten informes de investigación matemática.
. Realicen análisis de la fenomenología de los contenidos matemáticos fundamentales.
. Analicen el significado de los conocimientos matemáticos subyacentes a los bloques de
contenidos fundamentales en Educación Primaria (características del sistema de numeración,
para la aritmética; naturaleza de los conceptos geométricos, para la geometría; diferencia entre
medida y magnitud; aleatoriedad y aspectos no deterministas).
. Se ejerciten en el manejo procedimental de materiales didácticos adecuados para la
resolución de problemas de estos núcleos de contenido.
. Se inicien en el análisis didáctico de secuencias de enseñanza y materiales didácticos.
. Se relacionen de manera significativa con el conocimiento didáctico de los contenidos de los
bloques de contenido (errores y dificultades de los alumnos, materiales y recursos para su
enseñanza, situaciones de aprendizaje, etc.).
. Realicen trabajos autónomos y se ejerciten en procesos de aprender a aprender.

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2) Elaborar módulos en los que se lleve a cabo la formación práctica del futuro maestro, en el
área de Didáctica de la Matemática.
3) Elaborar cuadernos que permitan guiar estas prácticas, de manera que se favorezca el
trabajo autónomo y se ejercite la metáfora del “laboratorio de matemáticas”.
Durante el segundo curso nos planteamos como finalidad revisar el trabajo realizado el curso
anterior, utilizando las informaciones derivadas del análisis realizado al finalizar el mismo
para adecuarlo a las condiciones de realización. Decidimos precisar cómo se va a llevar a
cabo la evaluación de los estudiantes en sus créditos prácticos. Estas finalidades se
concretaron en los siguientes objetivos:
1) Continuar la experimentación del programa de prácticas de Matemáticas y su Didáctica,
que lleve a que los estudiantes de la misma alcancen las competencias establecidas el curso
anterior.
2) Revisar los módulos formativos elaborados durante el curso 2002-2003, para la formación
práctica del futuro maestro, en el área de Didáctica de la Matemática
3) Revisar los cuadernos de prácticas elaborados el curso anterior, adaptándolos a las
circunstancias de espacio y tiempo que permitan llevar a cabo todas las fases del proceso
formativo previsto (resolución, reflexión en grupos, puesta en común, redacción de
respuestas).
4) Promover seminarios de reflexión profesional de los formadores de profesores, en los que
se utilicen como criterios de discusión sobre las prácticas, una profundización entre cómo se
entiende la práctica en la formación inicial de maestros, tratando de analizarlo a la luz de las
competencias profesionales que se pretenden desarrollar con la asignatura.
5) Poner en común los criterios de evaluación empleados el curso anterior, y tratar de
formular de manera precisa y operativa criterios de evaluación de los créditos de prácticas.
3. Descripción de la experiencia
Durante el curso 2002-2003 distinguimos tres fases:
Fase 1: Preparación de las prácticas
Se llevaron a cabo reuniones periódicas entre profesores del proyecto. La organización de la
actividad asociada a este proyecto ha supuesto que todos los miembros del grupo así como
aquellos profesores que tienen relación con la asignatura de Matemáticas y su Didáctica en la
Educación Primaria constituyan un grupo de trabajo con una calendario establecido de
reuniones, unas de preparación, elaboración y discusión de las actividades prácticas y otras
de valoración y reflexión del proceso en marcha; han sido del orden de diez las reuniones que
se han celebrado a lo largo de todo el proceso.
Estas reuniones examinaron lo que se entendía por prácticas. Para diferenciar lo que se
considera teórico con lo práctico entendemos que el tipo de trabajo práctico que puede y debe
realizarse con los estudiantes para profesores de primaria en la asignatura de Matemáticas y
su Didáctica puede ser, entre otras:

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a) Realización de ejercicios de matemáticas.
b) Resolución de problemas de matemáticas.
c) Análisis didáctico de tareas de aula.
d) Elaboración de tareas de aula.
e) Trabajo con materiales manipulativos: estudio, resolución de tareas y propuesta de
tareas para el aula.
e) Realización práctica de actividades en donde estén implicadas las matemáticas
f) Análisis y obtención de conclusiones, desde una perspectiva critica, sobre la
matemática de la vida cotidiana como por ejemplo la que aparece en los medios de
comunicación, comercio, etc.
g) Manejo de software educativo (incluido materiales de la red): conocimiento, análisis y
aplicación.
La diferenciación entre créditos teóricos y prácticos se estableció en función de la necesidad
de que el estudiante realizara de manera personal las actividades previstas, bajo la tutela del
profesor. Esto nos hizo diferenciar las prácticas que exigían dividir los grupos de estudiantes
para poder atenderlos de manera adecuada. Ello nos llevó a proponer una separación entre la
atención a todo el grupo, y la atención a partes del grupo que no corresponde con el 50 %, tal
como está recogida en su carga de créditos, sino a una proporción diferente.
La realización y el buen desarrollo de algunas de las actividades prácticas, requiere de un
número de alumnos no excesivamente grande; en este sentido se propone la división de los
grupos naturales (de unos 100 alumnos cada uno) en tres que lleva a subgrupos de unos 35
alumnos.
Otras actividades prácticas de las citadas están habitualmente integradas en el desarrollo de la
asignatura. Por ello hemos dejado para ellas un tiempo que permita que se lleven a efecto
durante el desarrollo teórico, aumentando su atención con aproximadamente 1,8 créditos. Por
tanto, cada grupo de la asignatura desarrollará en su aula base, 4,5 créditos teóricos y 1,8
créditos prácticos.
Las prácticas que exigen la división de los grupos de estudiantes en subgrupos van a
diferenciarse en tres tipos, en relación a los medios y ubicaciones especiales que requieren
para su puesta en marcha. En este sentido se acordó:
1º) Realizar tres prácticas correspondientes con los bloques de Aritmética, Geometría
y Medida, Estadística y Probabilidad.
2º) Estas prácticas se programarían para llevarse a cabo al concluir el desarrollo de los
citados bloques temáticos; una práctica al concluir Aritmética, otra al concluir
Geometría y otra al concluir los temas de Medida, Estadística y Probabilidad.
4º) Las prácticas se realizarían simultáneamente en el seminario del Departamento
(ludoteca), en el aula de informática y en el aula base en módulos de dos y una horas
lo que significaría tres semanas de clase por bloque.
5º) Las ubicaciones anteriores definen tres tipos de prácticas diferenciadas para cada
uno de los bloques temáticos:
a) Prácticas en el aula Base o Taller de matemáticas; en este caso, a su vez se
establecieron, para cada bloque, tres tipos de actividades: Resolución de
Problemas, Matemáticas y Prensa y Actividades Varias (uso de la calculadora en el
bloque de Aritmética, papiroflexia en el caso de Geometría y Estimación en
Medida, Estadística y probabilidad).

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b) Prácticas en el Seminario de Didáctica de la Matemática (ludoteca): Laboratorio de
Matemáticas; en este caso las actividades prácticas tienen que ver con el empleo de
materiales ya elaborados; hay que indicar, que en el último bloque una de las horas
de esta práctica se realizó en el exterior de la Facultad de Ciencias donde los
alumnos realizaron medidas de distancias y alturas inaccesibles mediante
instrumentos específicos de medida y apoyados en cálculos matemáticos.
c) Prácticas de Informática en el aula específica: en este caso las actividades se
centraron fundamentalmente en la realización de actividades matemáticas
mediante el empleo de software informático que se encontraba en la red o con el
uso de algún programa específico como Cabri Gemetre.
De acuerdo con lo anterior, cada alumno de Primaria realizaría un total de 2,7 créditos de
prácticas de este tipo.
Al establecerse tres tipos de prácticas diferenciadas se constituyeron tres grupos de
profesores: tres profesores se encargaban de elaborar las prácticas de Taller de Matemáticas,
tres del Laboratorio de Matemáticas y tres las del Aula de Informática; a su vez, éstos eran los
profesores que en su mayoría llevaban a cabo la experiencia.
Para llevar a cabo su tarea, cada grupo de profesores elaboraba la práctica que a su vez se
subdividía en tres partes cada una de las cuales la elaboraba uno de los profesores; el
subgrupo ‘especializado’ en ese tipo de prácticas revisaba y acordaba el contenido de su parte
de prácticas, que se reflejaba en el borrador de un cuadernillo.
Finalmente, el grupo total de profesores, habiendo recibido previamente los borradores de las
distintas prácticas, acordaba la inclusión de las misma en el desarrollo de la actividad, con
base a diferentes criterios como, duración estimada de cada actividad, conexión con aspectos
teóricos de la asignatura (por ejemplo la fenomenología de los conceptos, sistemas de
representación), no reiteración en el trabajo de los alumnos, promover debates y relacionar
conceptos
La relación, entre los profesores, que con motivo de las actividades anteriores se organiza
constituye un elemento de enorme interés profesional que difícilmente se hubiese producido
de otra forma; en primer lugar se establece la necesidad de la unificación de los programas al
estar éstos condicionados a unas actividades comunes; se establece también una
temporización común por la misma razón; se establecen unas formas de trabajo, también, con
base en criterios previamente acordados (empleo de textos, mayor autonomía del alumno,
etc.); en definitiva se establece y propicia un debate enriquecedor en relación a cómo cada
uno entiende la formación de maestros llegando a adoptar elementos comunes de actuación
tanto en los créditos de carácter práctico como en los de carácter teórico.
Fase 2: Realización de las prácticas
Los 2.7 créditos de prácticas en donde se centró la actuación de este proyecto se dividieron,
como se ha dicho, en tres módulos, asociados a tres bloques temáticos; cada unos de ellos con
un total de 0.9 créditos prácticos lo que significa tres semanas de clase (cada semana 3 horas
dividida en módulos de 1 y 2 horas) después del desarrollo teórico de cada uno de esos
bloques lo que viene a producirse de la siguiente manera:
Bloque de Aritmética: de 7 a 28 de enero de 2003
Bloque de Geometría: de 24 de marzo a 11 de abril de 2003

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Bloque de Medida, Estadística y Probabilidad: de 19 de mayo a 5 de junio de 2003.
Ya se ha referido que los grupos de alumnos, para la realización de estas actividades, se
subdividían en tres subgrupos, cada uno de los cuales en la práctica no han llegado a superar
la treintena. Esta división se hacía por orden alfabético y de acuerdo a los listados de los que
dispone cada profesor; el hecho de que hubiese el mismo tipo de práctica para los diferentes
grupos ha permitido que algunos alumnos, que por circunstancias especiales, por ejemplo
coincidencia de horario por ser alumno repetidor, no pudiesen hacer las prácticas en un
determinado momento, las hiciesen en horario compatible con otras actividades académicas.
Durante las sesiones de prácticas, el papel del profesor se ha limitado a ser el de un orientador
en aquellas actividades en las cuales esto se consideraba imprescindible; el diseño de las
actividades y la información que se proporcionaba ha propiciado un gran nivel de autonomía
del trabajo de los alumnos que, en la mayor parte de las veces, han trabajo en grupos de 2, 3, 4
ó 5 dependiendo de las distintas actividades; en muy pocas se ha solicitado una actuación
individualizada de los alumnos.
Fase 3: Evaluación del trabajo de los alumnos
La asistencia a las prácticas ha sido obligada entendiéndose con esto que estas actividades no
podrían realizarse de otra manera que no fuese la de participar en las mismas en los momentos
establecidos para ello.
La participación de los estudiantes en las prácticas constituye un elemento de mejora que
tiene una relación estrecha con la evaluación. El grupo de profesores que forman parte del
proyecto consideran que un elemento sobre el que puede incidirse de cara a mejorar el
desarrollo de estas actividades es la valoración del papel del estudiante; en la medida en que
éste se sienta más integrado en el grupo de trabajo con su aportación, mayor o menor,
mejorará el rendimiento que esperamos de este proyecto de innovación que obviamente no
concluye con esta memoria; se han observado estudiantes muy integrados en esta manera de
desarrollar la asignatura pero también se han observado actitudes menos positivas que deben
modificarse.
Los estudiantes, siguiendo un cuaderno que se les entregaba al comienzo de cada módulo de
prácticas, realizaban la actividad y debían cumplimentar unos apartados del mismo; en
algunos casos, se ha observado que los estudiantes identificaban la práctica con
cumplimentar, de la mejor manera posible el cuadernillo, cuando en realidad el mayor interés
estaba en la realización práctica de la actividad y la reflexión que de ella se pudiera derivar y
que quedaba reflejada en dicho cuaderno.
Para la calificación de las prácticas se han tenido en cuenta la asistencia a las mismas y la
elaboración de los cuadernillos; tal como se indica en el programa de la asignatura en donde
se integran las prácticas, la calificación de las prácticas constituye el 30 % de la calificación
total de la asignatura.
En la experiencia realizada a lo largo del curso 2003-2004 se han distinguido las siguientes
fases:
Fase 1: Conclusiones del Proyecto de Innovación realizado el curso 2002-2003 y definición
de las intenciones específicas del proyecto 2003-2004.

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Fase 2: Revisión de los cuadernos de prácticas realizados el curso anterior y elaboración de
los nuevos cuadernos.
Fase 3: Elaboración de criterios de evaluación de los créditos prácticos.
Fase 1: Conclusiones del Proyecto de Innovación realizado el curso 2002-2003 y
definición de las intenciones específicas del proyecto 2003-2004.
Desde el final del curso 2002-2003 hemos mantenido reuniones periódicas entre profesores
participantes en el proyecto anterior y los que se proponían para el actual, en las que se han
puesto en común las actividades realizadas el curso pasado, con especial atención a la forma
de evaluar los créditos prácticos.
En estas reuniones se analizaron las fechas de realización de la primera práctica. Se acordó
elaborar cuadernos de prácticas separados por especialidad y por bloques de contenidos, que
se entregarán el primer día de clase de prácticas, dejando en la Fotocopiadora, para que lo
compren aquellos que no asistan ese día, o que lo hayan extraviado. También se decidió
colgarlos de la página web del departamento.
Para favorecer el trabajo en equipo, distinguimos dos tipos de cuadernos: individuales y de
grupo. Los individuales servirán para que cada alumno disponga del propio, y elabore sus
reflexiones sobre él. Finalmente, cada grupo tendrá que elaborar el cuaderno del grupo, que
será el que entregará para su revisión y valoración. Se entregarán los individuales al comienzo
de las prácticas, con objeto de que realicen las actividades encomendadas. Hacia el último
cuarto de la clase se entregarán los cuadernos de equipo. Se dedicará una parte de las sesiones
de clases prácticas (aproximadamente un cuarto de cada hora de clase) para que los alumnos
comiencen a realizar la parte de los cuadernos de equipo. Cada profesor les dirá sus horas de
tutoría, en las cuales se les podrá ayudar a cumplimentar el trabajo en equipos.
Para elaborar los cuadernos de este primer trimestre partimos de los elaborados el curso
pasado, reduciendo actividades por eliminar cuestiones redundantes y aquellas que no han
funcionado. Agrupamos las cuestiones didácticas al final del cuaderno. Se decide adaptar los
cuadernos con objeto de que las actividades que se proponen sean las que se pueden
desarrollar durante tres horas de trabajo de los alumnos, para lo cual se divide las tareas en
tres bloques.
Para reforzar el trabajo en equipos, durante las clases se van a organizar a los estudiantes en
equipos de 4. Dichos equipos deberán formarse el primer día, permaneciendo los mismos
durante todo el curso. Para que los estudiantes puedan hacer un trabajo de equipo hay que
dejar tiempo y animarles a que debatan entre ellos las respuestas y tareas realizadas.
Los cuadernos se recogen la primera sesión de la semana siguiente a la realización de las
prácticas correspondientes. Los de la tercera semana se recogen el primer día de clase después
de las vacaciones, para los dos primeros trimestres, o la semana siguiente a la realización,
para los de la parte final del curso.
La evaluación de las prácticas tomará en cuenta la asistencia, la calidad de los trabajos de
grupo realizados y la actitud de los alumnos durante las clases. Para ello pasaremos lista en

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cada hora de clase, anotaremos en la ficha del equipo una valoración general de la actitud de
los alumnos durante el trabajo, y revisaremos los trabajos de cada equipo, otorgándoles una
valoración que anotaremos en su ficha.
Se ha elaborado unas hojas de control de la actuación de los estudiantes en el aula, que hay
que hacer que rellenen con sus datos y fotos, y que nos servirán para anotar todas las
valoraciones, tanto de las actitudes de los alumnos, como de las del equipo (actitud, interés,
participación en las puestas en común, etc.).
Tipo (Taller, Materiales, Informática)
Curso:
Equipo:
Alumno 1:
Foto
Alumno 2:
Foto
Alumno 3
Foto
Alumno 4
Foto
Observaciones
del equipo
Aritmética
Geometría
Medida y
estadística
Observaciones
Equipo y
evaluación de
prácticas
Otros elementos que se han propuesto para la evaluación de los créditos prácticos han sido:
- Que todos los alumnos realicen un examen sobre las cuestiones tratadas durante las
prácticas
- Que los alumnos hagan algún trabajo sobre lo realizado durante las prácticas (por
ejemplo elaborar un material didáctico)
- Hacer que los alumnos presenten su trabajo ante el profesor, o realizar una entrevista
con cada grupo de alumnos
- Incluir en el examen cuestiones relacionadas con las prácticas, pudiendo adoptar la
forma de:
o Una reflexión sobre su utilidad didáctica o su significado
o Una cuestión teórica que exija utilizar los elementos vistos en prácticas
o Pedir que diseñen una actividad a partir de lo visto en prácticas
Durante esta fase se estudiaron los cuadernos de aritmética del curso pasado, haciéndose
nuevas propuestas basadas en ellos, con vistas a elaborar los cuadernos individuales y los de
grupos. Para hacer estas adaptaciones se concretan reuniones por las tres especialidades de
prácticas que se establecieron el curso anterior, y que aparecen descritas en la Memoria del
Proyecto de Innovación, es decir:
- Materiales Manipulativos
- Taller
- Informática
Una de las dificultades que encontramos el curso anterior fue el convencer a los estudiantes de
la utilidad de las prácticas para reforzar el aprendizaje de los contenidos tratados en los

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créditos teóricos. Decidimos potenciar esta dimensión, tratando de explicitar las cuestiones
matemáticas, cuya compresión se facilite con la realización de las prácticas.
De nuevo hemos de señalar el alto interés que ha tenido la relación profesional entre
profesores con motivo de las actividades anteriores.
Fase 2: Revisión de los cuadernos de prácticas realizados el curso anterior y elaboración
de los nuevos cuadernos.
Las reuniones anteriores nos permitieron elaborar los cuadernos de Aritmética, primer bloque
de contenidos del programa, en las tres modalidades. Se llegaron a elaborar 5 cuadernos, es
decir, tres individuales y dos de equipos, pues la modalidad de informática utilizó el cuaderno
individual como de equipos. La realización de la primera práctica con la dinámica establecida
nos permitió hacer una evaluación del proceso.
Para llevar a cabo la evaluación de las prácticas acordamos tener en cuenta la asistencia de los
alumnos a las prácticas (0 horas,1 hora, 2 horas ó 3 horas, que son las distintas posibilidades)
y el contenido de los cuadernillos que, teniendo en cuenta la posibilidad de copia, no
deberíamos entrar en muchos detalles; recordamos que la calificación en prácticas constituiría
el 30 % de la calificación total y por tanto esta primera práctica sería del 10 por ciento, o sea,
un punto sobre diez.
De manera global se valoró la experiencia como muy positiva aunque algunas prácticas
resultasen excesivas en relación al tiempo. De ello dedujimos la pertinencia de elaborar una
encuesta a los alumnos para que ellos también hagan su propia valoración.
Aceptando la pertinencia de los criterios establecidos, se procedió a la revisión de los
cuadernos de Geometría por los profesores de cada modalidad, tratando de ajustarlos al
tiempo disponible, dividiendo las actividades en tres bloques para cada modalidad y
diferenciando los cuadernos individuales y de equipo para todas las modalidades. Se propuso
tener los cuadernos terminados al menos una semana antes de la realización de la práctica
correspondiente.
La revisión de los contenidos de las prácticas nos permitió hacer peticiones de material, tanto
de recursos didácticos manipulativos, como de material administrativo, como archivadores.
Fase 3: Elaboración de criterios de evaluación de los créditos prácticos.
En la Memoria del Proyecto de Innovación del curso anterior determinamos algunos criterios
de evaluación, que fueron revisados, de acuerdo con las reflexiones que fuímos realizando a
lo largo del curso actual.
La puesta en común de los criterios permitió elaborar los siguientes criterios:
Calificación De Los Créditos Prácticos De Primaria
• La calificación de las prácticas será de 0 a 3 (para sumar a la que se le asigne de
teoría)
• Se considera que un alumno ha aprobado las prácticas si su calificación es igual o
superior a la mitad de la calificación máxima, es decir, 1,5

17
• El profesor de teoría asignará la calificación final de la asignatura, para lo que se
recomienda que haga compensaciones razonables, pero que obligue a los alumnos a
hacer examen de prácticas si su calificación de los créditos prácticos es inferior a 1
• La calificación de prácticas será la media de las calificaciones obtenidas en las tres
modalidades de prácticas: Aula-Taller, Manipulativos e Informática.
• El profesor encargado de cada una de estas modalidades calificará de 0 a 3, empleando
como criterios:
o la asistencia,
o entrega de los cuadernos
o apreciaciones sobre el contenido de los mismos y sobre la actuación del
alumno durante los seminarios de prácticas
Para aplicar estos criterios tuvimos que ver las listas del curso anterior, ya que acordamos
mantener la superación de los créditos prácticos a aquellos alumnos que habían realizado el
curso anterior la asignatura y superado estos créditos. Las reuniones entre los profesores de
teoría y práctica de cada grupo permitieron decidir qué alumnos tenían que realizar examen de
prácticas y el tipo de cuestiones que se iban a incluir en el examen referente a las prácticas
Finalmente se elaboró el examen de prácticas de junio y septiembre.
Las reuniones finales determinaron la calificación de los estudiantes en los créditos teóricos y
prácticos, y su calificación final.
4. Material y métodos
El proyecto de innovación realizado nos ha obligado a los profesores a desarrollar un trabajo
colaborativo, basado en reuniones frecuentes, tanto de la totalidad de los profesores
integrantes del proyecto, como de los que se encargaban de cada modalidad y de cada curso.
Se llegaron a elaborar actas de las reuniones del equipo de profesores del proyecto, ya que en
estas reuniones eran en las que se daba oficialidad a las propuestas realizadas en las otras.
Estas reuniones han dado la oportunidad de debatir sobre la percepción que tiene cada uno de
la formación de maestros en el área de matemáticas, sobre el desarrollo de los créditos
prácticos, la fundamentación de las actividades prácticas, lo que también ha repercutido sobre
la forma de concebir el trabajo en los créditos teóricos.
La coincidencia durante el curso 2003-2004, del segundo proyecto con el estudio en la
Facultad de Ciencias de la Educación, del Proyecto Experimental para implantar los créditos
europeos ECTS en la especialidad de Primaria, para el próximo curso, ha enriquecido la
visión que sobre los mismos tenemos en el Departamento, pues se entiende que en nuestro
proyecto estamos poniendo en juego y concretando muchas de las propuestas que se hacen
para el citado Proyecto Experimental.
Por otra parte, en el trabajo con los estudiantes en los créditos prácticos, las concreciones
logradas este año han favorecido de manera más operativa tanto la actuación de los
estudiantes como su trabajo en equipos, dando ocasión de cuidar que se den todas las etapas
que ello comporta, especialmente la puesta en común de los trabajos de los diferentes equipos.
Para propiciar la autonomía de los estudiantes en la realización de las actividades se ha
concretado el diseño de los cuadernos, cuidando las instrucciones que indicaban lo que debían
de hacer. Para ello adoptamos el criterio de incluir enunciados imperativos en primera persona
de singular para el cuaderno individual y en plural para el de equipo. También la redacción de

18
las cuestiones se adaptó a las modalidades previstas, logrando una gran unidad en el estilo de
escritura.
La existencia de los cuadernos, que comienzan a consolidarse entre los estudiantes, nos ha
hecho proponer que se mantengan en la fotocopiadora, con objeto de que los estudiantes que
tienen que hacer el examen de prácticas puedan consultarlos, si es posible resolverlos, y de
esta manera tener una idea más precisa sobre el tipo de tareas que se le van a demandar en los
exámenes de prácticas.
El material utilizado ha consistido en la nueva colección de cuadernos de prácticas que se
adjuntan a esta memoria. Estos cuadernillos se corresponden con cada uno de los elementos
de la siguiente tabla.
Tipos de cuadernillos de prácticas
Aritmética Geometría Medida-Estadística
Indivi. Equipo Individual Equipo Individual Individual
Taller X X X X X X
Manipulativos X X X X X X
Informática X X X X X
5. Resultados obtenidos y disponibilidad de uso
El principal resultado ha sido la colección de cuadernos de prácticas que figura a continuación
en esta publicación. Estos cuadernos se han entregado de manera gratuita a los estudiantes
que asistieron a las prácticas, dejando en la fotocopiadora para la adquisición por aquellos
estudiantes que no acudieron a las sesiones. Igualmente se han colgado en la página web, lo
que facilita el acceso de los alumnos al material. Pero queremos destacar otros resultados.
En los dos años de experimentación hemos logrado que los estudiantes perciban la
importancia de su actuación práctica en las clases, lo que ha llevado a que vayan aceptando
este protagonismo y autonomía durante al menos nueve semanas del curso.
También es digno de mención el cambio de actitud hacia las matemáticas; por lo general los
estudiantes de esta especialidad se reconocen poco aptos para las matemáticas; según sus
afirmaciones siempre se les ‘han dado mal’; la impresión de los profesores es que se han
sentido más integrados en esta manera de trabajar en matemáticas, en donde su participación
adquiere un papel más protagonista al ser el alumno el que desarrolla y construye su propio
conocimiento matemático, haciendo matemáticas, empleando herramientas matemáticas en
situaciones reales, usando software informático, resolviendo problemas, analizando la
información matemática de los medios de comunicación, debatiendo con sus compañeros, etc.
El Proyecto de Innovación del segundo año ha continuado los debates sobre la forma de
evaluar los créditos teóricos y prácticos, llegando a concretarse criterios de evaluación que
hemos aplicado, y que deberán constituir puntos de partida para posteriores debates sobre la
forma de evaluar en los nuevos planes de estudios, que contemplen los créditos europeos
ECTS.

19
Durante el segundo año del proyecto de innovación se ha iniciado en la Facultad de
Educación el estudio del proyecto experimental de implantación de los créditos ECTS en la
Diplomatura de Formación de Maestros de Primaria en Andalucía. Varios profesores
implicados en nuestro proyecto de innovación han participado en el estudio citado, lo que ha
promovido una orientación del mismo acorde con las directrices que se estaban discutiendo en
la Facultad. De esta manera se ha anticipado un modo de actuar adecuado para la
experimentación, lo que ha acrecentado la calidad e importancia del producto producido, es
decir, un proyecto de actuación para el curso 2004-2005, empleando las directrices emanadas
de estos dos proyectos de innovación docentes que hemos desarrollado en cursos precedentes.
Un resultado tangible de los proyectos de innovación realizados ha sido la amplia
participación de los profesores del Departamento en las distintas comisiones de adaptación de
planes de estudio a las directrices europeas.
Si bien se ha iniciado un modelo de colaboración entre los profesores que permite abordar
otros retos, como el más inmediato de la convergencia con Europa, se ha detectado la
dificultad de poner en común las concepciones sobre la formación de profesores en el área de
Didáctica de la Matemática, y el concretar éstas en actuaciones docentes. Esta razón es la que
ha provocado que los criterios de evaluación sean escasos, y que deban concretarse más y de
esta manera puedan compartirse con los estudiantes desde el comienzo del curso.
Igualmente debemos profundizar sobre la relación entre teoría y práctica, lo que nos va a
llevar a revisar la forma en que entendemos las competencias profesionales del profesor. La
ampliación de la gama de actividades así como la temporalización de las ya elaboradas
constituyen elementos de adaptación y mejora.
6. Utilidad de la experiencia.
Hay que reconocer la enorme utilidad de la experiencia en vista a la implantación de los
créditos europeos ECTS, y a la proximidad de la experimentación de los mismos en el curso
2004-2005. De esta manera el Departamento de Didáctica de la Matemática se ha convertido
en un anticipador de la filosofía que parece va a imponerse en años venideros.
Por otra parte hemos de reconocer los siguientes aspectos que consideramos muy valiosos,
tanto en el desarrollo profesional de los formadores que hemos estado implicados, como en el
desarrollo del área de conocimiento en una Facultad de Educación y en la Universidad de
Granada. Esta experiencia:
- Ha promovido el debate entre los profesores en relación a la formación de maestros
en el área de matemáticas.
- Ha afianzado los cambios experimentados el curso pasado en la manera de percibir la
enseñanza y ponerlo en práctica.
- Ha generado un material para el aula, consensuado por el grupo de profesores y
experimentado en la misma.
- Ha producido cambios importantes en la actitud de los alumnos con relación a la
asignatura Matemáticas y su Didáctica, y con las matemáticas escolares.
Por tanto podemos seguir afirmando que la experiencia es útil para:
- La formación de profesores de matemáticas para los niveles de Primaria incluyendo
las matemáticas de las distintas especialidades de la carrera de maestro.
- La enseñanza de las matemáticas en todos los niveles.

20
- La adaptación de las enseñanzas a las nuevas directrices europeas en materia de
educación superior.
7. Observaciones y comentarios
Del desarrollo del proceso se han derivado interrogantes que se han ido resolviendo sobre la
marcha y otros han quedado pendientes. Si bien se ha consolidado la caracterización de esta
asignatura Matemáticas y su Didáctica como una Matemática para maestros, está por definir
las componentes, contenido y metodología de la asignatura que aborde la formación didáctica
en matemáticas de estos futuros maestros (Currículo de Matemáticas de educación Primaria),
lo que pretendemos constituirlo en objeto de un nuevo proyecto de innovación docente.
La forma de compartir con los estudiantes sus obligaciones discentes en un modelo de
enseñanza en que adquieran mas protagonismo sigue exigiendo nuevas reflexiones y
concreciones que lo hagan evidente.
8. Autoevaluación de la experiencia
La metodología de la evaluación de la experiencia se ha basado en los elementos siguientes:
- Reuniones periódicas: debate sobre el trabajo de los alumnos, valoración de las
pruebas particulares, revisión de las mismas y propuestas de mejora.
- Cuestionario de evaluación de las prácticas a los alumnos, así como el análisis de
los resultados.
- Valoración de los profesores de los créditos teóricos, que ha sido buena en general,
así como la repercusión en la actuación de los mismos, más encaminada a dirigir el
trabajo de los alumnos que a suministrar información.
De estos instrumentos extrajimos las siguientes apreciaciones generales y particulares
referentes al primer curso de innovación:
- Necesidad de una revisión de los criterios de evaluación de alumnos,
- Necesidad de replantear el modo de actuación de los alumnos en algunos
momentos de las prácticas.
- Necesidad de una mayor clarificación de los objetivos de las prácticas – mejorar la
comprensión de los conceptos matemáticos y familiarizarse con materiales
didácticos existentes para la enseñanza de los conceptos.
- Valoración muy positiva del interés de las reuniones de debate sobre nuestra
actuación en clase
Durante el segundo curso se realizaron entrevistas a algunos estudiantes, con intención de
disponer de sus impresiones. Las reuniones de los profesores integrantes del proyecto nos
han permitido poner en común las observaciones de cada uno, así como las impresiones que
hemos obtenido por medio de los estudiantes. Esta metodología ha permitido analizar los
logros de la experiencia, tanto en sus objetivos formativos, como en su aspecto organizativo
y de relación entre profesores. En resumen hemos llegado a determinar los siguientes puntos
fuertes, puntos débiles y propuestas de mejora:
Como puntos fuertes destacamos los productos de la experiencia, es decir:
- Los cuadernos de prácticas
- El desarrollo de una metodología de trabajo práctico de los estudiantes
- El esfuerzo de colaboración entre los profesores

21
- El debate sobre la forma en que entendemos la formación de maestros de primaria en
Didáctica de la Matemática
- El debate sobre criterios de evaluación y la concreción en unos criterios para los
créditos prácticos
Como puntos débiles destacaríamos:
- La dificultad manifiesta de concretar los criterios de evaluación en procesos más
precisos que puedan compartirse con los estudiantes.
- El excesivo trabajo que puede acarrear la revisión de las respuestas de los
estudiantes a los cuadernos, de manera que permita un análisis adecuado del
rendimiento de los estudiantes.
- El tiempo de dedicación que exige, que ha dado lugar a no darle la difusión
externa pertinente a la experiencia
- Dificultad de poner en común y articular la formación de maestros en el área
didáctica de la Matemática
Como consecuencia proponemos las siguientes propuestas de mejora:
- Plantear un nuevo proyecto de innovación centrado en analizar la formación de
maestros en el área de Didáctica de la Matemática
- Potenciar el seminario docente del Departamento para facilitar el intercambio de
experiencias, y proponer en el mismo la profundización en el tema de la
evaluación.
- Buscar apoyos, por medio de becarios de colaboración, actuación en prácticas,
etc., que posibiliten la revisión de trabajos de los estudiantes, con objeto de
diversificar los elementos que se emplean para realizar la evaluación de su
actuación práctica.
- Utilizar los foros del área de Didáctica de la Matemática y la Revista de
Educación de la Facultad, para transmitir la experiencia en ámbitos que permitan
su rápida publicación.

22
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Thio de Pol, S. (1976). Primos o algunos dislates sobre números. Madrid: Alhambra.

25
MATEMÁTICAS Y SU DIDÁCTICA
CUADERNO DE PRÁCTICAS
ARITMÉTICA

27
ARITMÉTICA
INDIVIDUAL
MANIPULATIVOS

28
Práctica 1: Trabajando con el ábaco
1. Presentación
El ábaco es un instrumento que se usa desde hace siglos para realizar cálculos. Hasta el siglo
XV las operaciones con números se realizaban con el ábaco, e incluso actualmente se sigue
usando este instrumento en algunos países como si fuera una calculadora de bolsillo. La
difusión del sistema de numeración posicional, que hacía uso del cero, junto con la invención
del papel, fueron decisivos a la hora de cambiar el uso del ábaco por los algoritmos de lápiz y
papel que hoy utilizamos.
En esta práctica se proponen ejercicios de cálculo para realizar con el ábaco que permitan
descubrir las reglas que rigen la utilización de este instrumento. Con ello se pretende
consolidar el conocimiento de las propiedades del sistema de numeración y de los algoritmos
de cálculo.
2. Objetivos
a) Conocer distintos tipos de ábacos y su uso.
b) Reconocer las propiedades del sistema de numeración posicional a partir del uso de
ábaco: reconocimiento del principio de agrupamiento; noción de valor de posición de
las cifras; descomposición de un número en potencias de 10.
c) Comprender el mecanismo de los algoritmos a través de la manipulación de cálculos
en el ábaco
d) Trasladar la representación manipulativa por medio del ábaco a la representación
escrita usada en los algoritmos de lápiz y papel y viceversa.
e) Explorar representaciones con el ábaco de diferentes relaciones y propiedades de los
números naturales
3. Bibliografía y recursos
Gómez, B. (1988). Numeración y cálculo. Madrid: Síntesis
Grupo MATEMA (1986). Las matemáticas en el ábaco. Valencia: NAU Llibres

29
ÁBACO ROMANO
Representación del número 2518
4. Actividades
En diferentes pueblos se han usado diferentes tipos de ábaco, como el ábaco chino o suan
pan, cuyas varillas están separadas en dos partes que contienen 5 y dos bolitas,
respectivamente. El ábaco ruso consta de 10 varillas dispuestas horizontalmente, con 10 bolas
en cada varilla. Otro tipo de ábaco es el japonés, llamado soroban. Consta de 20 varillas
verticales divididas en dos partes que contienen cuatro y una bolita respectivamente. Para
trabajar con los niños en el aula se suele usar una versión simplificada de ábaco que consta de
una fila de varillas verticales en las que se insertan bolitas que pueden ser de colores
diferentes para cada varilla.
Tipos de Ábacos
Ábaco Romano:
Sobre una tablilla con surcos se colocaban guijarros.
El número se representa colocando guijarros sobre
los surcos. Cada guijarro tiene un valor diferente
según el surco en que se encuentre. Los guijarros en
los surcos pequeños valen cinco veces lo que un
guijarro en el surco grande correspondiente.
Ábaco Chino:
Consta de varillas de bambú con cuentas insertadas. Una barra horizontal separa las varillas,
que tienen dos cuentas por encima de la barra y cinco
por debajo. El número se representa acercando
cuentas a la barra horizontal. Cada cuenta tiene un
valor diferente según la varilla en que se encuentre.
Encima de la barra horizontal, las cuentas valen cinco
veces el valor de cada cuenta por debajo de la barra.
Ábaco Japonés o Soroban:
Consta de
varillas verticales con cuentas insertadas. Está
dividido en dos partes por una barra horizontal.
En cada varilla hay una cuenta por encima de la
barra y cuatro por debajo. El número se representa
desplazando cuentas hacia la barra horizontal.
Cada cuenta tiene un valor diferente según la
varilla en que se encuentre. Encima de la barra
horizontal (cielo), las cuentas valen cinco veces el valor de cada cuenta por debajo de la barra
(tierra).
Ábaco Ruso o S’Choty:
Formado por varillas horizontales que contienen 10 cuentas. El
número se representa deslizando cuentas hacia la izquierda. Cada
vez que desplazamos todas las cuentas de una varilla tenemos una
decena.
ÁBACO CHINO O SUAN PAN
ABACO JAPONÉS O SOROBAN

30
Ábaco Horizontal:
Formado por 10 varillas horizontales que contienen 10 cuentas.
El número se representa deslizando cuentas hacia la izquierda.
Cada vez que desplazamos todas las cuentas de una varilla
tenemos una decena.
Ábaco Vertical (Infantil):
Consta de varillas verticales con cuentas insertadas.
El número se representa insertando cuentas en las
varillas. Cada cuenta tiene un valor diferente según la
varilla en que se encuentre y para hacerlo notar son de
color diferente.
1. Usa el ábaco horizontal para representar los números 7, 35, 108, 5000, 3553.
Represéntalos también usando el ábaco vertical, como un ábaco infantil.
5 0 3 6
ÁBACO VERTICAL
7 35 108
5000 3553

31
2. Usa el ábaco horizontal para realizar las sumas:
65 + 28 =
81 + 46 =
387 + 575 =
3572 + 5849 =
Representar los pasos para la suma: 387 + 575=
1er Paso 2º Paso 3er Paso 4º Paso
3. Representa en un cuadro como el que
te presentamos las transformaciones que
vas realizando para cada operación de
la actividad anterior. Para ello anota los
cambios efectuados al primer
sumando hasta obtener el resultado.
Realiza las operaciones y
anotaciones más de una vez,
empezando por distinto orden de
unidades. Ejemplo: 264 + 186
4. Usa el ábaco horizontal para realizar las restas: 85 – 63; 72 – 59; 436 – 287.
Representa los pasos dado en la resta 72-59
Primer sumando: 2 6 4
Segundo sumando: 1 8 6
Transform.1ª: 3 6 4
Transform. 2ª:
...
Solución:
Añado las
centenas
Añado
las
decenas

32
5. Usa el ábaco horizontal para realizar las multiplicaciones: 5x8; 24x7; 326x4. Indica
en el cuadro siguiente en qué consiste la multiplicación:
6. Usa el ábaco horizontal para realizar las divisiones: 48:4; 63:5; 367:6. Escribe en el
cuadro siguiente en qué consiste la división:
7. Utiliza los ganchitos para separar dos cuentas en cada varilla y suprime dos varillas. Así
tienes un ábaco con 8 varillas y 8 cuentas en cada varilla, lo que te permitirá trabajar en
base ocho. Realiza, en base ocho, las siguientes operaciones: 65+74; 52–46; 4x6; 3x5;
62:5. Representa la operación 52-26 en base ocho
1º Paso 2º Paso 3º Paso 4º Paso

33
8. Representa en el ábaco horizontal el número 45(seis. Haz las transformaciones necesarias
en el ábaco para buscar la expresión de dicho número en base diez. Represéntalo ahora en
base cinco.
Base seis Base diez Base cinco

Práctica 2. El Material multibase
1. Presentación
No siempre se ha usado el sistema de numeración actual para representar números. Aunque
han existido diversos sistemas de numeración, ya sabes que antes de nuestro sistema los
números se representaban en el sistema romano. Pero el sistema de numeración romano no
resultaba muy práctico para el cálculo, por lo que se hacía necesario el uso de ábacos para
manejar grandes cifras. A partir del siglo XIII comenzó a utilizarse el sistema de numeración
posicional que usamos en la actualidad. Aunque de procedencia hindú, los árabes jugaron un
importante papel en su difusión, de ahí el nombre de sistema indoarábigo.
El material de trabajo que vamos a utilizar está diseñado específicamente para trabajar y
comprender el sistema de numeración y sus características.
Como verás, puedes trabajar con bloques multibase en base decimal o en otra base. Las
características del material cambiarán según el caso, pero hay propiedades de los sistemas que
son siempre las mismas independientemente de la base que emplees. Un material como éste,
diseñado de modo que al usarlo se trabaja con un concepto matemático, recibe el nombre de
material estructurado.
2. Objetivos
a) Reconocer las propiedades de los sistemas de numeración multiplicativos y
posicionales en situaciones concretas.
b) Establecer la distinción entre el concepto de número natural y sus representaciones por
medio de materiales manipulativos o por medio de sistemas de numeración escritos.
c) Comprender el mecanismo de los algoritmos de las operaciones aritméticas básicas
por medio de la manipulación del material multibase.
d) Conocer y utilizar el material didáctico de los bloques multibase como modelo para
comprender el sistema de numeración y los algoritmos.
Dienes, Z. P. (1978). Cómo utilizar los bloques multibase. Barcelona: Teide
Gómez Alfonso, B. (1988). Numeración y cálculo. Madrid: Síntesis

36
4.Actividades
1. Considera el siguiente conjunto de objetos:
a) Cuenta en base cuatro esta colección de objetos de
dos formas:
i. Por los agrupamientos necesarios en el
dibujo
ii. Usando la secuencia numérica en base
cuatro
b) Cuenta la colección en base diez de las dos formas
anteriormente indicadas.
c) Representa la cantidad anterior con el material multibase en la base cuatro con el
menor número de objetos.
d) Representa y anota en el cuadro adjunto el resultado obtenido. Usa los Símbolos
( , , ▐ , ) para la representación gráfica y escribe los Numerales
correspondientes en la fila de abajo.
Unid. de 3er
orden Unid. de 2º orden Unid. de 1er
orden ▐ Unid.
simples
S
N
2. Toma ahora el material multibase de base cuatro y representa con él el mismo conjunto de
objetos. Prueba luego con otras bases diferentes y amplia el cuadro anterior:
Base Unid. de 3er
orden Unid. De 2º orden Unid. De 1er
orden
▐
Unid. Simples
S
diez
N
S
cinco
N
S
dos
N
3. Representa con los bloques de base seis la cantidad que en dicha base de escribe 4251(seis
¿Qué pasos tienes que dar para encontrar su expresión en base diez? Hazlo usando los
materiales y luego explica cómo hacerlo si no tienes los materiales.
4. Con los bloques de base diez representa la cantidad que en dicha base se escribe 258.
¿Qué pasos tienes que dar para encontrar su expresión en base cinco? Hazlo usando los
materiales y luego explica el proceso si no tienes los materiales.

37
5. Representa con los bloques de base diez los números 267 y 582. Manipulando el material,
realiza la suma de 267 + 582 y explica qué ocurre con las unidades de primer orden (o
decenas)
6. Representa con los bloques de base diez los números 335 y 152. Manipulando el material,
realiza la diferencia 335 - 152 y explica cómo has operado con las unidades de primer
orden (o decenas). ¿Hay otra forma de hacerlo?
7. Realiza una división y una multiplicación en base cinco: 24x3 y 142:4 en base cinco.

Práctica 3: Sistemas de Representación de las Fracciones
1. Presentación
Con esta actividad se atiende a las situaciones en que se hace un fraccionamiento de la unidad.
Las fracciones amplían la estructura conceptual de los números enteros. Para representarlas se
han establecido al menos dos lenguajes matemáticos.
- los “cachos” o fracciones de las “cosa” u objetos y sus significados, relaciones y
trasformaciones que se generan entre estos nuevos objetos, las fracciones de la unidad
- y la expresión decimal de la cantidad, como sistema de base de agrupamiento (diez).
El libro móvil de fracciones es un material didáctico que puede ser útil para trabajar
igualdades y desigualdades de la cantidad fraccionaria, representada por la unidad,
descomposiciones numéricas de esta unidad y sus equivalencias, a través de las expresiones
simbólicas correspondientes.
La tabla de fracciones es una material que nos va a permitir establecer relaciones entre
fracciones (equivalencias, orden, composición y descomposición, etc.), con respecto a una
unidad en forma rectangular.
Los juegos de dominós de fracciones nos van a permitir establecer diversas equivalencias en
los diversas representaciones.
El Círculo de fracciones cambia el contexto de la unidad de referencia, ahora se trata de un
círculo o, expresado en ángulos 360 grados o una vuelta, en términos de amplitud de ángulos.
2. Objetivos
Con esta práctica se pretende que los estudiantes conozcan algunos materiales didácticos para
la enseñanza de las fracciones y los utilicen para reforzar los conceptos de relación a la unidad
y de equivalencia de fracciones.
Con la manipulación escolar de los materiales presentados se pretende facilitar:
• La elaboración de criterios de igualdad –desigualdad- de números fraccionarios,
• Las descomposiciones fraccionarias de la unidad
• La transformación aditiva de la cantidad fraccionaria.
• Las representaciones de las fracciones y sus equivalencias.
3. Referencias
Kamii, C. (1985). El niño reinventa la aritmética. Barcelona: Aprendizaje-Visor (Nota:
existe el volumen II y III de esta autora en editoriales y fechas diversas)
Miller, Ch D y Heeren, V E (1979) Introducción al pensamiento matemático, México: Ed
Trillas

40
4. Actividades
Libro de Fracciones, Tabla de Fracciones, Círculo de Fracciones
El Libro de Fracciones consiste en una colección de hojas enlazadas mediante una espiral.
Comienza con una hoja en la que establece la unidad, representada por la ausencia de
fraccionamiento. Las siguientes hojas contienen una descomposición de la unidad.
1. Obtener fracciones equivalentes empleando el Libro de Fracciones. Indica en el siguiente
recuadro como lo haces.
2. Utilizando el Libro de Fracciones descomponer en varios sumandos las fracciones: 1/2, 2/3
y 5/6.
1/2 =
2/3=
5/6=
3. La Tabla de Fracciones consiste en varias tiras de plástico, en las que aparecen señaladas
diferentes porciones. Vamos a emplearla para las siguientes actividades.
a) Expresa con este material, 3 unidades y un tercio.
b) Compara las siguientes fracciones, indica cuál es el mayor, y, si es posible, en qué cantidad
se diferencian: 2/5 y 4/10; 3/8 y 1/4; 4/5 y 9/10.
4. Completa las siguientes frases, empleando el Libro o la Tabla de Fracciones:
- ½ contiene ___ veces a 1/8
- ____ está contenido 4 veces en 1/3
- 8/12 es equivalente a ________________

41
- La suma de ½ + ¼ equivale a _______
- Si a ½ le quito 1/8 quedan ______
- __________ es equivalente a 10/12
- Si hago la mitad de 1/4 obtengo ______
- La cuarta parte de 1/2 es ________
5. Toma el Dominó y poneros a jugar los cuatro. En las fichas está la cantidad fraccionaria
representada en diversos lenguajes. Se ha de comparar si son equivalentes los resultantes
representados por cada ficha, se puede poner ficha si tenemos en alguna de las nuestras, la
cantidad que representa alguno de los dos extremos de la serie de dominós ya puesta en la
mesa. Decidid vosotros la regla para comenzar.
Identifica las fichas que forman el Dominó, indicando a continuación cuales son los números
que las forman, cuántas fichas hay de cada número y cómo se combinan entre sí.
6. Indica qué formas de representación de las fracciones se emplean en el Dominó.
7. El Círculo de Fracciones está formado por dos círculos encajados que permiten girar uno
con respecto a otro siendo visibles regiones, en forma de sector circular, que representan
fracciones. En uno de ellos se han escrito las fracciones que pueden observarse.
a) Identifica las fracciones que se han colocado en el círculo de fracciones, e indica a qué
fracciones corresponden las divisiones que aparecen sin número

42
c) Jugando por parejas, uno de los dos representa una fracción con el Círculo de Fracciones y
se la muestra a su compañero por el lado en que no aparecen los números. El otro tiene que
averiguar de qué fracción se trata.
d) Estimación de fracciones. Un jugador dice una fracción, el compañero tiene que
representarla utilizando el círculo por el lado en que no aparecen las fracciones. El otro
comprueba el resultado.

43
ARITMÉTICA
EQUIPOS
Equipo:
Integrantes:
MANIPULATIVOS

44
Práctica 1: Trabajando con el ábaco
1.- Al representar 35 en el ábaco horizontal, ¿cuánto vale cada bolita? ¿valen todas lo
mismo?. ¿Y en la representación en el ábaco vertical?
2.- Explicar las reglas generales para efectuar la suma, la resta, la multiplicación y la división,
empleando el ábaco horizontal.
Para sumar hay que
Para restar hay que
Para multiplicar hay que
Para dividir hay que
3.- Si utilizamos el ábaco al realizar una operación, ¿puedes revisarla para ver donde está el
error?

45
4.- Describe cómo se manifiesta en el ábaco el principio posicional de nuestro actual sistema
de numeración.
5.- ¿Cuál será el procedimiento a seguir con el ábaco para cambiar la expresión de un número
de una base a otra?
6.- En la actualidad, las culturas occidentales han sustituido el uso del ábaco por los
algoritmos de lápiz y papel. Compara ambas prácticas y encuentra ventajas e inconvenientes
en cada una de ellas. ¿Piensas que los algoritmos de lápiz y papel pueden ser sustituidos a su
vez por otras prácticas en el futuro?

46
Práctica 2.- Material multibase
1.- Haz una descripción del material en base diez y en base cuatro.
2.- Compara este material con el ábaco. Señala algunas diferencias en su uso.
3.- Como has podido comprobar, la misma cantidad de objetos se expresa de forma diferente
según la base del sistema elegido. Establece una distinción entre el número y su expresión por
medio del sistema de numeración.
4.- Explica cómo se manifiesta en el uso del material multibase el principio de agrupamiento y
el principio posicional.
5.- El sistema monetario tiene ciertas similitudes con el material multibase. Establece
similitudes y diferencias entre ellos. Determina las condiciones que debería cumplir un sistema
monetario para trabajar en base diez.

Práctica 3: Sistemas de Representación de las Fracciones
1.- Indicar cómo funcionan los siguientes materiales para la enseñanza de las fracciones:
a. Libro de Fracciones
b. Tabla de Fracciones
c. Círculo de Fracciones
d. Dominós de Fracciones
2.- Indicar qué significa la fracción y cómo se representa en cada uno de los siguientes
materiales:
e. Libro de Fracciones
f. Tabla de Fracciones
g. Círculo de Fracciones
h. Dominós de Fracciones
3.- Indica cómo se expresa la equivalencia de fracciones en los siguientes materiales:
i. Libro de Fracciones
j. Tabla de Fracciones
k. Círculo de Fracciones
l. Dominós de Fracciones

48
4.- Analiza la utilidad de cada uno de los materiales, indicando sus parecidos y sus
diferencias.
5.- En la biblioteca o en Internet, busca información sobre el ábaco, sistemas de numeración
no decimales, y materiales didácticos para la enseñanza de las fracciones.

49
INDIVIDUAL
INFORMÁTICAARITMÉTICA

50
Práctica 1: El Juego de los Divisores
1. Introducción
En esta práctica vas a trabajar con números naturales y con las principales operaciones
aritméticas. Concretamente, estudiaremos los divisores propios de un número, que son todos
los divisores de ese número salvo él mismo.
El estudio de los problemas de divisibilidad tiene una gran importancia ya que constituyen la
solución de un amplio número de problemas de la vida cotidiana, como calcular las
dimensiones de un trozo de tela rectangular para hacer una cortina, distribuir los alumnos de
una clase en hileras, o repartir los premios de un concurso según la posición en la que hayan
quedado los participantes.
2. Objetivos
El objetivo central de esta práctica es que a través de un programa informático interactivo
trabajes con las siguientes nociones:
• Divisibilidad
• Divisores de un número
• Descomposición en factores propios
• Números primos y números compuestos
Con la realización de las diferentes actividades que te proponemos conocerás las principales
propiedades de divisibilidad entre números naturales, podrás expresar un número como
producto de factores, y nos acercaremos al estudio de los números primos. También
trabajaremos con las nociones de números perfectos y veremos cómo algunas de estas
nociones se han estudiado en algún momento histórico de la Antigüedad.
3. Bibliografía y Recursos
Alguna bibliografía en la que podrás profundizar en estos temas es:
Castro, E. (Ed.) (2001) . Didáctica de la Matemática en la Educación Primaria. Madrid:
Síntesis.
Cid, E., Godino, J. D. y Batanero, C. (2003). Sistemas numéricos y su didáctica para
maestros. Departamento Didáctica de la Matemática. Universidad de Granada. En Internet:
http://ddm.ugr.es/personal/jdgodino
Sierra, M., González, T., García, A. y González, M. (1989). Divisibilidad. Madrid: Síntesis.
Thio de Pol, S. (1976). Primos o algunos dislates sobre números. Madrid: Alhambra.
Puig, L., Cerdán, F. (1988). Problemas aritméticos escolares. Madrid: Síntesis.
Y en internet:: http://illuminations.nctm.org

51
4. Actividades
Descripción de la Práctica
En esta actividad se introduce un juego interactivo para dos personas en el que puedes
enfrentarte al ordenador o a un compañero. En esta ficha encontrarás diferentes cuestiones
que se agrupan en cuatro bloques. Para contestar al primero de ellos, es necesario que
arranques el programa. Aquellas cuestiones que no de tiempo a realizar en la sesión de
prácticas has de acabarlas en casa y entregarnos por escrito tus resultados.
Las instrucciones del juego son las siguientes:
1. El jugador A elige un número en el tablero haciendo click con el ratón sobre ese
número para colorearlo.
2. Usando otro color, el jugador B colorea los divisores propios de el número
seleccionado por A (Los divisores propios de un número son todos los divisores del número
salvo él mismo). Por ejemplo, los divisores propios de 12 son 1, 2, 3, 4 y 6. Una vez que hay
marcado todos los divisores, presiona OK.
3. Después, los jugadores cambian el turno: ahora el jugador B elige un número, y el
jugador A marca los divisores propios correspondientes, y así sucesivamente.
4. Si un jugador escoge un número que no tiene divisores sin marcar, el jugador pierde su
turno pues no le da opción de juego a su contrincante. El jugador infractor no suma ningún
punto.
5. El juego acaba cuando no quedan números con divisores sin colorear.
6. Cada jugador suma los puntos correspondientes a los números que colorea. El jugador
que sume más puntuación al final de la partida es el vencedor del juego.
Para acceder al juego arranca el Navegador Escape, y escoge una de estas dos opciones:
Desde http://ddm.ugr.es entra en la sección Docencia y desde ahí a Prácticas de
Matemáticas y su Didáctica. En esa página está en enlace Divisores que te lleva al
juego.
Desde http://illuminations.nctm.org/imath/6-8/FactorGame/factor1.html
Inicia el Juego de los Divisores, y ¡¡comienza las actividades!!

52
1.- Juega dos partidas con un compañero, y alterad en cada una la persona que inicia el juego.
Anotad las ideas o estrategias que seguís en cada caso.
2.- ¿Es mejor empezar la partida o ser segundo? ¿Por qué?
3.- ¿Cuál es la mejor selección para empezar la partida? ¿Y la peor? ¿Por qué?
4.- ¿Puedes saber cuándo acaba la partida sin necesidad de que el ordenador lo avise? Explica
tu respuesta.
5.- Habrás observado que algunos números son mejores que otros para empezar una partida.
Haz una tabla con las posibles selecciones iniciales que se pueden hacer (jugando con los
primeros 30 números naturales), indicando los divisores propios de cada uno de esos
números, y registra también los puntos que obtendrías con esa selección y los sumaría tu
oponente al señalar los divisores propios correspondientes:

53
1er MOVIMIENTO
DIVISORES
PROPIOS TU PUNTUACIÓN
PUNTUACIÓN DE
TU OPONENTE
1 No tiene Pierdes el turno 0
2 1 2 1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
6.- ¿Cuál crees ahora que es el mejor movimiento inicial? ¿Y el peor? ¿Por qué? ¿Coincide
con lo que afirmaste en la pregunta 3?

54
7.- Estudia la tabla anterior, e indica todos los primeros movimientos que hacen que tu
contrincante sume un solo punto. ¿Cuáles son? ¿Sabes cómo se llaman esos números?
8.- ¿Son esos números que has elegido una buena elección para empezar la partida? Explica tu
respuesta.
9.- Aquellos números que eliges para empezar que hacen que tu contrincante sume más de un
punto también tiene un nombre especial ¿Sabes cuál? ¿Son esas buenas opciones para
empezar el juego?
10.- ¿Qué movimientos iniciales te hacen perder tu primer turno? ¿Por qué?

55
Práctica 2: La Balanza Numérica
1. Presentación
La balanza numérica es un recurso didáctico útil para trabajar igualdades y desigualdades de
números, descomposiciones numéricas y expresiones algebraicas. Se presentan tres tipos de
balanza:
La balanza con formas, donde se colocan en los platillos figuras de diferente color y forma,
que llevan asociado un valor o “peso” distinto. Con ella damos los primeros pasos para
establecer equivalencias.
La balanza con números, en donde se comparan valores numéricos, se realizan
descomposiciones y se comprueban propiedades de las operaciones aritméticas básicas.
La balanza con expresiones algebraicas, con la que, por una parte, se introduce el concepto
de variable (x) al que el usuario puede dar valores y comprobar cuáles de ellos una cierta
expresión es correcta ó no. Otra aplicación es la de realizar representaciones gráficas.
2. Objetivos
Con este programa se pretende facilitar:
a) La adquisición del concepto de igualdad y desigualdad de números
b) Las descomposiciones numéricas
c) Expresiones de la multiplicación mediante sumandos iguales, y de la división
mediante restas sucesivas constantes
d) La comprobación de las propiedades aritméticas básicas (conmutativa, asociativa,
elemento neutro, elemento simétrico, distributiva del producto respecto de la suma y
respecto de la diferencia)
e) La adquisición del concepto de variable
f) La comprobación de propiedades algebraicas
Castro, E. (Ed.) (2001). Didáctica de la Matemática en la Educación Primaria. Madrid:
Síntesis.
Godino, J. D. y Font, V. (2003). Razonamiento algebraico y su didáctica para maestros.
Departamento de Didáctica de la Matemática. Universidad de Granada. Recuperable en URL:
http://ddm.ugr.es/personal/jdgodino/
Grupo Azarquiel (1991). Ideas para enseñar Álgebra. Madrid: Síntesis.
Socas, M., Camacho, M., Palarea, M., Hernández, J. (1989). Iniciación al Álgebra. Madrid:
Síntesis.
Y en Internet:
http://illuminations.nctm.org
El software que se necesita esta práctica lo puedes encontrar en dos direcciones de Internet.
Arranca el navegador Netscape de tu ordenador y accede a ese programa siguiendo una de
estas dos opciones:

56
Desde http://ddm.ugr.es entra en la sección Docencia y desde ahí a Prácticas de
Matemáticas y su Didáctica. En esa página está el enlace Balanza que te lleva al
juego.
Desde la página:
http://illuminations.nctm.org/imath/across/balance/index.html
Inicia la Balanza Numérica y ¡¡comienza las actividades!!
4. Actividades
a) Con la balanza con figuras
1. Coloca un cuadrado amarillo en el platillo izquierdo de la balanza y trata de equilibrar la
balanza con otras figuras.
1.1 ¿Cuál es el menor número de figuras que equilibran el cuadrado amarillo?
1.2 ¿Y el número mayor de ellas que la equilibran? ¿Por qué?
2. Repite la acción con dos figuras rojas. ¿Qué propiedad se pone de manifiesto en este
ejercicio junto con el anterior?
3. ¿Has considerado la solución "amarillo equivalente a amarillo"?
4. ¿Sería la misma solución "azul añadido a fucsia equivalente a fucsia añadido a azul"?
¿Qué propiedades pueden los alumnos afianzar con estos ejercicios?

57
6. Coloca en un platillo una figura amarilla y equilibra la balanza con otras figuras. Añade una
figura roja al platillo izquierdo. ¿Cómo puedes reequilibrar la balanza de nuevo? ¿Qué
propiedad está implícita en este ejercicio?
b) Con la balanza con números
7. Escribe un 4 en el platillo izquierdo, y luego un 9 en el derecho.
7.1 ¿Qué ocurre?
7.2 ¿Por qué?
8. Escribe un 12 en el platillo derecho, y escribe una suma en el platillo izquierdo de forma
que equilibre la balanza.
9. Escribe otra suma que equilibre a 12.
9.1 ¿Cuántas sumas puedes encontrar? ¿De tres sumandos? ¿De cuatro sumandos?
9.2 ¿Cuál es el mayor número de sumandos que equilibran la balanza con el 12?
10. Utiliza la balanza para comprobar la expresión numérica 3x(5-2) = 15 – 6.
10.1 ¿Qué propiedad es la que acabas de comprobar?

58
11. Inventa un ejercicio para probar alguna propiedad aritmética.
c) Con la balanza con expresiones algebraicas
12. Introduce las expresiones x y x+x en cada platillo, y cambia el valor de x usando el botón
deslizante ¿Qué ocurre cuando se cambia el valor de x?
13. ¿Qué ocurre cuando se colocan en los platillos las expresiones 7 – x y x – 7?
13.1 ¿Hay algún valor de x que haga que dichas expresiones sean iguales?
14. ¿Puedes encontrar dos expresiones de manera que mientras x aumenta, la balanza
14.1 Permanece siempre desequilibrada?
14.2 Se equilibra?

59
Práctica 3: Búsqueda de recursos en Internet
1. Realiza una búsqueda en Internet para localizar tres páginas web en las que se presenten
actividades para trabajar algún tema de aritmética, indicando las direcciones encontradas, la
descripción de las mismas, la propuesta de actividad, y los temas aritméticos que se presentan.

ARITMÉTICA
EQUIPOS
Equipo:
Integrantes:
Fecha entrega Calificación
INFORMÁTICA

62
Práctica 1: El Juego de los Divisores
1.- El juego de los divisores también se puede hacer en un tablero con los primeros 49
números naturales.
a) Explica qué nuevos números primos encuentras.
b) ¿Cuál es ahora el mejor movimiento inicial?
2.- Si tomas un número y sumas todos sus divisores propios puede ser que el resultado de esa
suma sea menor que el número, igual, o mayor. Si es igual, el número se llama perfecto.
a) ¿Puedes clasificar los 30 primeros números naturales según esta propiedad?
b) ¿A qué grupo pertenece 36? ¿Y 55?
c) ¿Conoces alguna propiedad de los números perfectos? ¿Crees que existen
pocos o muchos? ¿Cuántos crees que conocemos en la actualidad?

63
3.- Una pincelada histórica: LA CRIBA DE ERATÓSTENES
Eratóstenes fue un pensador griego que nació en Cirene, hoy Libia, en
el 276 a.C. Después de estudiar en Alejandría se hizo director de la
famosa biblioteca de esta ciudad, y centró su trabajo en Astronomía y
Matemáticas. En esta disciplina destacan sus aportaciones a la
Geometría, aunque se le recuerda sobre todo por un método que ideó
para encontrar números primos. Este método se conoce como la Criba de
Eratóstenes, y a continuación lo describiremos. Eratóstenes se quedó
ciego en su vejez y decidió suicidarse dejándose morir de hambre. Murió
en Alejandría en el 197 a.C.
La Criba de Eratóstenes
Imagina que queremos encontrar los
números primos menores que 100. Para ellos,
construimos una tabla que contiene los primeros
cien números naturales.
Comenzamos tachando los múltiplos de 2,
menos el 2; es decir tachamos todos los números
pares salvo el 2.
Tacha ahora tú los múltiplos de 3 a partir de 6, y
también los de 5 desde 25 en adelante. Después
tacha los múltiplos de 7 a partir de 49.
A) ¿Son primos los números que quedan sin tachar?
B) ¿Te parece un buen método el de Eratóstenes?
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Práctica 2: La Balanza Numérica
1. Discutir en grupo las ventajas e inconvenientes que tiene el uso del programa de la Balanza
Numérica en el aula para introducir nociones relacionadas con igualdades numéricas y
algebraicas. Haced un resumen de vuestras conclusiones.

66
Práctica 3: Búsqueda de recursos en Internet
1. A partir de la búsqueda que habéis hecho individualmente, seleccionad y describid en
detalle los cuatro recursos que consideréis más adecuados e interesantes para la enseñanza de
la aritmética en Primaria.

67
ARITMÉTICA
INDIVIDUAL
TALLER

68
Práctica 1. Resolución de Problemas
1. Presentación
Desde el punto de vista de la Didáctica de la Matemática, la inclusión de la resolución de
problemas en el aula de clase, a todos los niveles, justifica en gran medida el aprendizaje y la
enseñanza de la propia matemática.
Esto lo podemos comprobar en la propia normativa en que se enmarca la enseñanza de las
matemáticas:
“Los conocimientos matemáticos constituyen pues, un campo idóneo donde ejercitar
el pensamiento y la acción, contribuyendo a un desarrollo intelectual y a su
implicación social. Las propias estructuras de estas nociones, que se potencian
cuando se formulan problemas, se piensan estrategias de solución, se valoran y
revisan resultados, etc. dotando al aprendizaje matemático de carácter investigados,
descubridor y critico que genera y, a la vez utiliza esquemas inteligentes” (Decreto de
la Junta de Andalucía 148/2002, pp.143).
Todo problema verbal contiene una historia, generalmente irrelevante para su resolución, unos
datos y una pregunta sobre otro dato desconocido. La cercanía al entorno escolar en la
elección de los contextos donde se desarrollan las historias, puede ser favorable para que los
estudiantes identifiquen la situación descrita en los problemas y, con ello, las relaciones entre
los datos y las incógnitas.
Igualmente, el texto del problema no debe de crear dificultades añadidas de legibilidad para
los escolares a los que va dirigido.
2. Objetivos
El objetivo general es realizar una práctica sobre los conocimientos adquiridos en el bloque de
Aritmética desarrollado a lo largo del primer trimestre del curso.
Como objetivos específicos, se trata de:
a) Resolver problemas no estándar utilizando estrategias de tipo numérico, a través de
sistemas de representación como el ensayo-error, parte-todo o gráfico. En algunos
casos es importante resolver el problema también de forma manipulativa, utilizando
materiales cercanos, como palillos o trozos de papel.
b) Analizar la estructura de cada uno de los problemas, las operaciones y conceptos
aritméticos implicados, así como las posibilidades para buscar variantes u otros textos
alternativos. También se debe de estudiar la incidencia en los resultados cuando se
utilizan otros datos iniciales.
Abrantes, P. y otros. (2002). La resolución de problemas en matemáticas. Barcelona, Graó.
Balbuena, L. y De la Coba, M.D. (1992). La matemática recreativa vista por los alumnos.
Granada, Proyecto Sur.
Segarra, LL. (2001). Problemotes: Colección de problemas matemáticos para todas las
edades. Barcelona, Grao.

69
4. Actividades
4.1. El juego del montón
Junto con un compañero/a juega según las reglas siguientes y responde a las cuestiones que se
proponen en el análisis de esta actividad
Dos jugadores, Andrés y Blanca, juegan al juego del montón de la siguiente forma: Andrés
coloca sobre la mesa un número de palillos, entre 20 y 50, los que él quiera. Blanca quita de
ese montón entre 1 y 10 palillos. Luego, Andrés quita entre 1 y 10 palillos de los que queden,
y así sucesivamente. Gana quien se lleve el último palillo y deje la mesa vacía.
Razona si existe alguna estrategia que permita ganar siempre, y, si es así, indica que jugador
prefieres ser, Andrés o Blanca

70
4.2. El cumpleaños
Carmen cumplirá el día 31 de Diciembre de 2002 tantos años como la suma de los dígitos del
año en que nació. ¿Cuántos años va a cumplir Carmen?
Responde justificadamente a estas dos cuestiones:
¿Qué ocurrirá si se cambia el dato inicial del año?
¿Afecta a la resolución del problema el cambio de milenio?

71
4.3. La pirámide de bloques
Queremos construir estas pirámides numéricas. Encuentra la relación entre los bloques y
completa los números que faltan.
Resolver individualmente, con lápiz y papel, este problema sin utilizar una representación
algebraica.
15
25 13
60
7 10 2 1
17 12
29

Práctica 2: La Calculadora GALAXY 9 en el aula
1. Presentación
La Galaxy 9 es una calculadora didáctica ya que a las funciones que tiene una calculadora de
las llamadas básicas se le añaden otras muy específicas relativas a la comprensión de los
sistemas numéricos y al planteamiento y resolución de problemas sencillos;
fundamentalmente está dirigida a alumnos de Educación Primaria desde una doble
perspectiva, manejo de una calculadora y refuerzo y comprensión de conceptos numéricos. El
manejo de esta calculadora por los alumnos de Primaria requiere de la orientación del maestro
en cualquiera de las dos opciones de uso.
2. Objetivos
Esta práctica está dirigida, en una primera parte, al conocimiento y dominio de la calculadora
y en una segunda a la exploración de sus posibilidades didácticas en base al análisis de fichas
de actividades propuesta para alumnos de enseñanza primaria o secundaria.
Such, S. (1993) La calculatrice à l’école avec la Galaxy 9. Activités practiques à l’école.
Hachette Education. Paris

74
4. Actividades.
4.1. El uso de la calculadora como herramienta didáctica.
Utilizando la calculadora Galaxy completa las fichas siguientes.
FICHA 1: DIVISIÓN EUCLIDEA Y ACOTACIÓN
1. Utilizando la tecla de la división euclidea de la Galaxy 9, calcula el cociente entero y
el resto de la división entre los números a y b.
Ejemplo: Para calcular el cociente entero de 564 y 45, pulsar: 5, 6, 7, ├─ , 4, 5, =
Dividendo a Divisor b Cociente Resto
1) 2456 39
2) 6485 175
3) 78945 356
2. Para cada uno de los ejemplos anteriores, escribe la acotación del dividendo entre dos
múltiplos sucesivos del divisor, y la igualdad que se deduce del cociente y el resto de la
división.
Acotación Igualdad
1) 39 x 62 < 2456 < 39x 63 2456 = (39 x 62) + 38
2)
3)
FICHA 2: LAS TECLAS “DIVISIÓN”
1. ¿Qué se obtiene al utilizar las teclas├─ , ÷, y / ? Señala el resultado de aplicar esas
teclas a los números 56 (dividendo) y 8 (divisor).

75
2. Efectúa los mismos cálculos para cada número a y b de la tabla siguiente. Compara
los resultados obtenidos. ¿Todas las teclas de división tienen la misma función? ¿Cuál de ellas
es la de la escritura fracción del cociente de dos números enteros?
a b a ÷b = a ├─ b = a / b = a / b = F>D
385 55
265 100
18 10
836 49
237 100
94.6 22
3. ¿Bajo qué condiciones se obtiene el mismo tipo de resultado con las operaciones de
las teclas ÷, ├─ y / en las diferentes columnas?
FICHA 3: FRACCIONES EQUIVALENTES
1. Utilizando la tecla =, encuentra 5 fracciones equivalentes a cada una de las fracciones
siguientes, y anota los resultados que obtienes:
5/9
10/18
¿Qué operación realiza la calculadora cada vez que se pulsa esa tecla después de escribir una
fracción?
¿Son equivalentes las fracciones 5/9 y 10/18? Para saberlo teclea 5 / 9 = F►D, y después 10 /
18 = F►D. Compara los resultados obtenidos. También puedes calcular 5 ÷9 y 10÷18,
tecleando 10 / 18 =SIMP. ¿Qué indica la calculadora? ¿Qué papel tiene la tecla SIMP?

76
2. Utilizando la tecla =, obtén 3 fracciones equivalentes a cada una de estas fracciones
siguiendo ese procedimiento con la Galaxy 9:
6/10
3/5
¿Existe una fracción común en ambas filas? ¿Las fracciones 6/10 y 3/5 son equivalentes? ¿Por
qué?
3. ¿Qué otros procedimientos pueden seguirse con la calculadora para comprobar si esas
fracciones son ó no equivalentes?
4. ¿Qué utilidad tiene la tecla SIMP de la calculadora?
FICHA 4: FRACCIONES DECIMALES
1. Utilización de las teclas D►F, F►D, SIMP y /. Completa la tabla.
Yo tecleo Yo veo Yo tecleo Yo veo
6 / 15 SIMP 42 / 21 SIMP
F►D F►D
D►F D►F
Yo tecleo Yo veo Yo tecleo Yo veo
8 / 10 32 / 20
F►D F►D
D►F D►F
¿Cuándo tu simplificas un número, obtienes los mismos resultados usando las teclas F►D y
D►F?

77
2. En la siguiente tabla, para cada una de las fracciones, busca la fracción decimal
equivalente más simple. Si ésta no existe, pon una cruz en la casilla. Una fracción decimal es
una fracción donde el denominador es una potencia de 10 (1; 10; 100; 1000;…)
15/24 9/5 16/21 3 / 4 6/15 8/152 5/8
FICHA 5: COMPARACIÓN DE FRACCIONES
1. Utilizando el modo situaciones-problemas (tecla ), compara las fracciones siguientes.
Ejemplo: Compara 2/3 y 4/5, después 3 / 4 y 1/6
2 / 3 < 4 /5 ENTER
Respuesta YES 2 / 3 < 4 / 5
3 / 4 < 1 / 6 ENTER
Respuesta NO
3 / 4 <,> 1/ 6 ENTER
Respuesta YES 3/4 > 1/6
Compara las siguientes fracciones y completa la tabla siguiente, escribiendo los signos de <, >
y =:
4/3 2/5 3/4 7/8 1/2 1/3
4/3
2/5
¾
7/8
½
1/3
2. Completa las siguientes igualdades:
.../ 3 = 8/6 2/ 6 = 1 / …
…/10 = 3/5 58 / 17 = …/170
…/10 = 8/40 …/ 7 = 8 / 14
3. Completa las desigualdades con el entero más cercano posible:
24/7>… 34/5>… 57/4>…
29/8>… 18/4>… 31/5>…
4. Acota cada una de las fracciones por 2 enteros consecutivos:
…<8/3<… …<9/2<… …<35/6<…
…<38/9<… …<23/4<… …<27/4<…

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