Este documento presenta información sobre transformaciones lineales entre espacios vectoriales. Define una transformación lineal como una función entre espacios vectoriales que transforma un espacio en otro. Explica conceptos clave como núcleo, imagen, nulidad y rango de una transformación lineal. También incluye ejemplos y teoremas sobre propiedades de transformaciones lineales.
El documento presenta varios ejercicios resueltos utilizando el método de Newton-Raphson para estimar raíces de ecuaciones. Se muestran 6 ejercicios donde se aplica el método para encontrar raíces de ecuaciones cuadráticas, cúbicas y cuárticas, empezando con valores iniciales dados y calculando iteraciones sucesivas hasta aproximar las raíces. El último ejercicio aplica el método para mejorar una estimación inicial de la coordenada de un planeta.
Este documento describe el algoritmo lineal congruencial, el cual genera números pseudoaleatorios mediante una ecuación recursiva. Explica que para lograr el máximo periodo de vida N, los parámetros X0, a, c, y m deben cumplir ciertas condiciones como m=2g, a=1+4k, c primo con m, y g entero. Incluye ejemplos para ilustrar cómo funciona el algoritmo y cómo violar una de las condiciones, como usar un a distinto de 1+4k, reduce el periodo de vida a menos de m
Aplicaciones de los espacios vectoriales en la ingenieria industrial ODALYSISABELAZUMBAMO
Este documento trata sobre la aplicación de espacios y subespacios vectoriales en la ingeniería industrial. Explica que un espacio vectorial es un conjunto con operaciones de suma y producto por escalar que cumplen ciertos axiomas. Los subespacios son subconjuntos de un espacio vectorial que también son espacios vectoriales. Luego detalla algunas aplicaciones del álgebra lineal en campos como circuitos eléctricos, mecánica de estructuras y optimización de sistemas. Finalmente concluye la importancia de vincular la
Este documento describe la regla de Simpson 3/8, un método numérico para aproximar el área bajo una curva. Explica que usa un polinomio cúbico para conectar 4 puntos e integrar la función entre esos puntos. Proporciona la fórmula de Simpson 3/8 y un ejemplo completo de cómo calcular la integral de 1/x entre 2 y 7 usando este método.
Regla de simpson un tercio para segmentos multiplesTensor
La regla de Simpson 1/3 para segmentos múltiples se puede generalizar para un número par n de segmentos. La fórmula suma las ordenadas pares con peso 2 y las ordenadas impares con peso 4. El documento presenta un ejemplo numérico para evaluar una integral usando la regla de Simpson con n=4 y n=6 segmentos. El error se reduce a medida que aumenta el número de segmentos.
El documento describe las aplicaciones de la integral en el área tecnológica. Explica que las integrales se pueden usar para calcular área, volumen, longitud y resolver problemas en campos profesionales. También destaca que las integrales son importantes para ingenieros y tecnólogos ya que les proporcionan herramientas matemáticas para resolver situaciones prácticas. Finalmente, enumera algunos usos específicos de las integrales en tecnología, como para calcular superficies terrestres, energía eléctrica, transferencia de calor
LA IMPORTANCIA DEL CÁLCULO INTEGRAL EN LA CARRERA DE INGENIERÍA EN COMPUTACIÓNJorge Iván Alba Hernández
El documento presenta los resultados de una investigación sobre la utilidad del cálculo integral en la ingeniería en computación. La investigación incluyó entrevistas y encuestas a ingenieros y estudiantes que mostraron que el cálculo integral es una herramienta útil en diversas aplicaciones como análisis de circuitos, señales, series de Fourier y modelado 3D. Aunque su uso no es directo, contribuye al desarrollo del pensamiento ingenieril. La mayoría de encuestados reconocen su importancia y lo ven como parte fundamental de su formación.
Este documento presenta información sobre transformaciones lineales entre espacios vectoriales. Define una transformación lineal como una función entre espacios vectoriales que transforma un espacio en otro. Explica conceptos clave como núcleo, imagen, nulidad y rango de una transformación lineal. También incluye ejemplos y teoremas sobre propiedades de transformaciones lineales.
El documento presenta varios ejercicios resueltos utilizando el método de Newton-Raphson para estimar raíces de ecuaciones. Se muestran 6 ejercicios donde se aplica el método para encontrar raíces de ecuaciones cuadráticas, cúbicas y cuárticas, empezando con valores iniciales dados y calculando iteraciones sucesivas hasta aproximar las raíces. El último ejercicio aplica el método para mejorar una estimación inicial de la coordenada de un planeta.
Este documento describe el algoritmo lineal congruencial, el cual genera números pseudoaleatorios mediante una ecuación recursiva. Explica que para lograr el máximo periodo de vida N, los parámetros X0, a, c, y m deben cumplir ciertas condiciones como m=2g, a=1+4k, c primo con m, y g entero. Incluye ejemplos para ilustrar cómo funciona el algoritmo y cómo violar una de las condiciones, como usar un a distinto de 1+4k, reduce el periodo de vida a menos de m
Aplicaciones de los espacios vectoriales en la ingenieria industrial ODALYSISABELAZUMBAMO
Este documento trata sobre la aplicación de espacios y subespacios vectoriales en la ingeniería industrial. Explica que un espacio vectorial es un conjunto con operaciones de suma y producto por escalar que cumplen ciertos axiomas. Los subespacios son subconjuntos de un espacio vectorial que también son espacios vectoriales. Luego detalla algunas aplicaciones del álgebra lineal en campos como circuitos eléctricos, mecánica de estructuras y optimización de sistemas. Finalmente concluye la importancia de vincular la
Este documento describe la regla de Simpson 3/8, un método numérico para aproximar el área bajo una curva. Explica que usa un polinomio cúbico para conectar 4 puntos e integrar la función entre esos puntos. Proporciona la fórmula de Simpson 3/8 y un ejemplo completo de cómo calcular la integral de 1/x entre 2 y 7 usando este método.
Regla de simpson un tercio para segmentos multiplesTensor
La regla de Simpson 1/3 para segmentos múltiples se puede generalizar para un número par n de segmentos. La fórmula suma las ordenadas pares con peso 2 y las ordenadas impares con peso 4. El documento presenta un ejemplo numérico para evaluar una integral usando la regla de Simpson con n=4 y n=6 segmentos. El error se reduce a medida que aumenta el número de segmentos.
El documento describe las aplicaciones de la integral en el área tecnológica. Explica que las integrales se pueden usar para calcular área, volumen, longitud y resolver problemas en campos profesionales. También destaca que las integrales son importantes para ingenieros y tecnólogos ya que les proporcionan herramientas matemáticas para resolver situaciones prácticas. Finalmente, enumera algunos usos específicos de las integrales en tecnología, como para calcular superficies terrestres, energía eléctrica, transferencia de calor
LA IMPORTANCIA DEL CÁLCULO INTEGRAL EN LA CARRERA DE INGENIERÍA EN COMPUTACIÓNJorge Iván Alba Hernández
El documento presenta los resultados de una investigación sobre la utilidad del cálculo integral en la ingeniería en computación. La investigación incluyó entrevistas y encuestas a ingenieros y estudiantes que mostraron que el cálculo integral es una herramienta útil en diversas aplicaciones como análisis de circuitos, señales, series de Fourier y modelado 3D. Aunque su uso no es directo, contribuye al desarrollo del pensamiento ingenieril. La mayoría de encuestados reconocen su importancia y lo ven como parte fundamental de su formación.
Este documento resume los conceptos fundamentales de la integración múltiple. Explica que la integración es una generalización de la suma que agrega infinitos sumandos infinitesimalmente pequeños. También describe cómo la integración se usa para calcular áreas y volúmenes, y cómo fue desarrollada inicialmente por científicos como Arquímedes, Descartes, Newton y Leibniz. Finalmente, explica que las integrales pueden calcularse sobre diferentes regiones más allá de intervalos, y que la integral doble representa el volumen entre una superfic
Integrales definidas en el área tecnológicamanuel macea
La integral definida es un concepto matemático importante en varias ramas de ingeniería. Permite calcular áreas, volúmenes, flujos y otras cantidades físicas. En ingeniería ambiental, se usa para determinar caudales de ríos, balance hidrológico y diseño de plantas de tratamiento. También es útil en ingeniería civil, electrónica, industrial y otros campos para optimizar procesos y estructuras.
Importancia de las integrales en la ingenieriaFeiver Marte
El cálculo integral es fundamental en ciencia y tecnología modernas, ya que permite analizar ecuaciones que describen las leyes naturales mediante funciones, derivadas e integrales. Por esta razón, el cálculo integral se enseña en casi todas las carreras técnicas y científicas. La integral es la operación inversa de la derivada y se utiliza para calcular áreas, volúmenes, centros de gravedad y modelar procesos estocásticos, lo que tiene aplicaciones importantes en ingenierías como civil, mecánica, elé
El documento trata sobre programación lineal. Explica que este método matemático permite asignar recursos limitados de manera óptima para maximizar o minimizar un objetivo. Se utiliza para planear la producción y asignación de recursos como maquinaria, personal y materias primas. También describe los conceptos básicos de la programación lineal como la función objetivo y las restricciones.
1) El documento presenta tres ejemplos de espacios vectoriales: Rn, el espacio de los polinomios de grado ≤ 2 (P2), y el conjunto G de polinomios de grado exactamente 3. Rn y P2 cumplen las propiedades de un espacio vectorial, mientras que G no lo es debido a que la suma de dos elementos puede dar como resultado un polinomio de grado distinto a 3.
Este documento describe los conceptos básicos de los circuitos eléctricos, incluyendo sus componentes (resistencias, fuentes, nodos), clasificaciones (corriente continua, corriente alterna, serie, paralelo), y leyes fundamentales (leyes de Kirchhoff, ley de Ohm, teoremas de Norton y Thévenin). También explica los métodos para diseñar circuitos usando simulaciones por computadora y que los ingenieros de sistemas se involucran en el diseño del software y lógica para microcontroladores usados en circuit
Este documento describe el método de extrapolación de Richardson para la diferenciación numérica. Explica cómo utilizar la fórmula centrada de derivación para obtener una expresión de la derivada en términos de N(h), y luego extrapolar para eliminar los errores de orden superior mediante la suma y resta de ecuaciones. Proporciona un ejemplo numérico para calcular N1(h), N2(h) y N3(h) y comparar el resultado con la solución analítica.
Este documento presenta el concepto de interpolación polinómica. Explica cómo construir un polinomio de interpolación que pasa exactamente por una serie de puntos de datos dados, y cómo evaluar dicho polinomio en otros puntos. También introduce el polinomio de interpolación de Lagrange como una forma eficiente de calcular el polinomio de interpolación sin usar la matriz de Vandermonde.
Este documento describe diferentes métodos numéricos para aproximar la derivada de una función, conocidos como diferencias finitas. Explica que la derivada puede aproximarse como la primera diferencia dividida hacia adelante, hacia atrás o central, con diferentes órdenes de error. También presenta un ejemplo numérico para ilustrar cómo aplicar estos métodos y calcular el error de las aproximaciones usando diferentes tamaños de paso.
Este documento presenta 10 ejercicios de algoritmia con sus respectivas soluciones en pseudocódigo y diagrama de flujo. Los ejercicios abordan temas como determinar el mayor entre dos valores, sumar números, calcular áreas y volúmenes, ordenar números, determinar si un número es primo y más. Además, propone ejercicios adicionales para ampliar y mejorar las soluciones presentadas.
Este documento introduce la teoría de grafos. Explica que un grafo consiste en un conjunto de vértices y aristas que representan la relación entre ellos. Da ejemplos de cómo los grafos pueden modelar sistemas como redes de aeropuertos o carreteras. Describe que los vértices se representan como puntos y las aristas como líneas entre vértices. También cubre conceptos como grafos dirigidos y multigrafos.
Este documento describe las transformaciones lineales en álgebra lineal. Define una transformación como un conjunto de operaciones que convierten un elemento de un espacio vectorial V en un elemento de otro espacio vectorial W. Explica que una transformación lineal preserva las operaciones de suma de vectores y multiplicación por escalares. Proporciona ejemplos de diferentes transformaciones lineales y define sus dominios, codominios, recorridos y núcleos.
Este documento presenta información sobre funciones matemáticas y cómo graficarlas y encontrar sus raíces en MATLAB. Explica conceptos como dominio, codominio e imagen de una función, así como tipos de funciones como suprayectivas, inyectivas y biyectivas. Luego proporciona ejemplos de cómo graficar funciones cuadráticas y encontrar sus raíces numérica y gráficamente en MATLAB usando comandos como plot, ezplot, solve y zooming.
El documento presenta 8 ejercicios que utilizan bucles do while para leer números ingresados por el usuario hasta que se ingresa un cero. Los ejercicios incluyen sumar números leídos, calcular promedios, identificar el número mayor, calcular totales de facturas, sumar números impares, e imprimir múltiplos de 3 y de 3 y 5 entre rangos específicos.
Este documento define variables aleatorias discretas y continuas, y proporciona ejemplos de cada una. También describe la distribución normal, notando que tiene una forma de campana de Gauss y está definida por una media y desviación estándar. El objetivo es comprender y modelar variables que explican comportamientos fenoménicos usando la distribución normal.
Este documento presenta información sobre lógica matemática y demostraciones matemáticas. Explica que la lógica se aplica en matemáticas, filosofía y otras áreas, y que las tablas de verdad son herramientas útiles para determinar la validez de razonamientos. También define conceptos como tautologías, contradicciones y demostraciones matemáticas, describiendo que estas últimas usan pasos lógicos para establecer la veracidad de una conclusión. El objetivo es enseñar a
Este documento describe la aplicación de la integral definida para calcular el excedente de consumidores y productores. Explica que la integral definida puede usarse para calcular el área bajo las curvas de oferta y demanda, lo que representa el excedente de los consumidores y productores. También proporciona ejemplos de cómo modelar matemáticamente las funciones de oferta y demanda usadas en economía.
Este documento describe dos tipos de ecuaciones diferenciales no lineales: la ecuación diferencial de Bernoulli y la ecuación diferencial de Riccatti. Explica cómo transformar estas ecuaciones no lineales en ecuaciones diferenciales lineales mediante cambios de variable, lo que facilita su resolución. También incluye ejemplos resueltos de problemas típicos de estas ecuaciones.
Este documento introduce los conceptos de espacio vectorial y subespacio vectorial. Define un espacio vectorial como un conjunto que cumple con diez propiedades relacionadas con la suma y multiplicación de vectores. Presenta varios ejemplos de conjuntos que son y no son espacios vectoriales. Finalmente, anticipa la discusión de subespacios vectoriales en la próxima sección.
Este documento describe los pasos para resolver problemas de manera efectiva. Primero, se debe definir claramente el problema. Luego, se deben generar varias soluciones potenciales sin juzgarlas. Finalmente, se debe implementar la mejor solución y evaluar los resultados.
Este documento presenta varios ejercicios y problemas de optimización resueltos con los programas Maple y WINQSB. Incluye problemas de optimización no restringida, linealmente restringida, cuadrática, separable, no convexa y fraccionaria. Los resultados óptimos se obtienen evaluando las funciones y restricciones en los puntos de la región factible definida.
Este documento resume los conceptos fundamentales de la integración múltiple. Explica que la integración es una generalización de la suma que agrega infinitos sumandos infinitesimalmente pequeños. También describe cómo la integración se usa para calcular áreas y volúmenes, y cómo fue desarrollada inicialmente por científicos como Arquímedes, Descartes, Newton y Leibniz. Finalmente, explica que las integrales pueden calcularse sobre diferentes regiones más allá de intervalos, y que la integral doble representa el volumen entre una superfic
Integrales definidas en el área tecnológicamanuel macea
La integral definida es un concepto matemático importante en varias ramas de ingeniería. Permite calcular áreas, volúmenes, flujos y otras cantidades físicas. En ingeniería ambiental, se usa para determinar caudales de ríos, balance hidrológico y diseño de plantas de tratamiento. También es útil en ingeniería civil, electrónica, industrial y otros campos para optimizar procesos y estructuras.
Importancia de las integrales en la ingenieriaFeiver Marte
El cálculo integral es fundamental en ciencia y tecnología modernas, ya que permite analizar ecuaciones que describen las leyes naturales mediante funciones, derivadas e integrales. Por esta razón, el cálculo integral se enseña en casi todas las carreras técnicas y científicas. La integral es la operación inversa de la derivada y se utiliza para calcular áreas, volúmenes, centros de gravedad y modelar procesos estocásticos, lo que tiene aplicaciones importantes en ingenierías como civil, mecánica, elé
El documento trata sobre programación lineal. Explica que este método matemático permite asignar recursos limitados de manera óptima para maximizar o minimizar un objetivo. Se utiliza para planear la producción y asignación de recursos como maquinaria, personal y materias primas. También describe los conceptos básicos de la programación lineal como la función objetivo y las restricciones.
1) El documento presenta tres ejemplos de espacios vectoriales: Rn, el espacio de los polinomios de grado ≤ 2 (P2), y el conjunto G de polinomios de grado exactamente 3. Rn y P2 cumplen las propiedades de un espacio vectorial, mientras que G no lo es debido a que la suma de dos elementos puede dar como resultado un polinomio de grado distinto a 3.
Este documento describe los conceptos básicos de los circuitos eléctricos, incluyendo sus componentes (resistencias, fuentes, nodos), clasificaciones (corriente continua, corriente alterna, serie, paralelo), y leyes fundamentales (leyes de Kirchhoff, ley de Ohm, teoremas de Norton y Thévenin). También explica los métodos para diseñar circuitos usando simulaciones por computadora y que los ingenieros de sistemas se involucran en el diseño del software y lógica para microcontroladores usados en circuit
Este documento describe el método de extrapolación de Richardson para la diferenciación numérica. Explica cómo utilizar la fórmula centrada de derivación para obtener una expresión de la derivada en términos de N(h), y luego extrapolar para eliminar los errores de orden superior mediante la suma y resta de ecuaciones. Proporciona un ejemplo numérico para calcular N1(h), N2(h) y N3(h) y comparar el resultado con la solución analítica.
Este documento presenta el concepto de interpolación polinómica. Explica cómo construir un polinomio de interpolación que pasa exactamente por una serie de puntos de datos dados, y cómo evaluar dicho polinomio en otros puntos. También introduce el polinomio de interpolación de Lagrange como una forma eficiente de calcular el polinomio de interpolación sin usar la matriz de Vandermonde.
Este documento describe diferentes métodos numéricos para aproximar la derivada de una función, conocidos como diferencias finitas. Explica que la derivada puede aproximarse como la primera diferencia dividida hacia adelante, hacia atrás o central, con diferentes órdenes de error. También presenta un ejemplo numérico para ilustrar cómo aplicar estos métodos y calcular el error de las aproximaciones usando diferentes tamaños de paso.
Este documento presenta 10 ejercicios de algoritmia con sus respectivas soluciones en pseudocódigo y diagrama de flujo. Los ejercicios abordan temas como determinar el mayor entre dos valores, sumar números, calcular áreas y volúmenes, ordenar números, determinar si un número es primo y más. Además, propone ejercicios adicionales para ampliar y mejorar las soluciones presentadas.
Este documento introduce la teoría de grafos. Explica que un grafo consiste en un conjunto de vértices y aristas que representan la relación entre ellos. Da ejemplos de cómo los grafos pueden modelar sistemas como redes de aeropuertos o carreteras. Describe que los vértices se representan como puntos y las aristas como líneas entre vértices. También cubre conceptos como grafos dirigidos y multigrafos.
Este documento describe las transformaciones lineales en álgebra lineal. Define una transformación como un conjunto de operaciones que convierten un elemento de un espacio vectorial V en un elemento de otro espacio vectorial W. Explica que una transformación lineal preserva las operaciones de suma de vectores y multiplicación por escalares. Proporciona ejemplos de diferentes transformaciones lineales y define sus dominios, codominios, recorridos y núcleos.
Este documento presenta información sobre funciones matemáticas y cómo graficarlas y encontrar sus raíces en MATLAB. Explica conceptos como dominio, codominio e imagen de una función, así como tipos de funciones como suprayectivas, inyectivas y biyectivas. Luego proporciona ejemplos de cómo graficar funciones cuadráticas y encontrar sus raíces numérica y gráficamente en MATLAB usando comandos como plot, ezplot, solve y zooming.
El documento presenta 8 ejercicios que utilizan bucles do while para leer números ingresados por el usuario hasta que se ingresa un cero. Los ejercicios incluyen sumar números leídos, calcular promedios, identificar el número mayor, calcular totales de facturas, sumar números impares, e imprimir múltiplos de 3 y de 3 y 5 entre rangos específicos.
Este documento define variables aleatorias discretas y continuas, y proporciona ejemplos de cada una. También describe la distribución normal, notando que tiene una forma de campana de Gauss y está definida por una media y desviación estándar. El objetivo es comprender y modelar variables que explican comportamientos fenoménicos usando la distribución normal.
Este documento presenta información sobre lógica matemática y demostraciones matemáticas. Explica que la lógica se aplica en matemáticas, filosofía y otras áreas, y que las tablas de verdad son herramientas útiles para determinar la validez de razonamientos. También define conceptos como tautologías, contradicciones y demostraciones matemáticas, describiendo que estas últimas usan pasos lógicos para establecer la veracidad de una conclusión. El objetivo es enseñar a
Este documento describe la aplicación de la integral definida para calcular el excedente de consumidores y productores. Explica que la integral definida puede usarse para calcular el área bajo las curvas de oferta y demanda, lo que representa el excedente de los consumidores y productores. También proporciona ejemplos de cómo modelar matemáticamente las funciones de oferta y demanda usadas en economía.
Este documento describe dos tipos de ecuaciones diferenciales no lineales: la ecuación diferencial de Bernoulli y la ecuación diferencial de Riccatti. Explica cómo transformar estas ecuaciones no lineales en ecuaciones diferenciales lineales mediante cambios de variable, lo que facilita su resolución. También incluye ejemplos resueltos de problemas típicos de estas ecuaciones.
Este documento introduce los conceptos de espacio vectorial y subespacio vectorial. Define un espacio vectorial como un conjunto que cumple con diez propiedades relacionadas con la suma y multiplicación de vectores. Presenta varios ejemplos de conjuntos que son y no son espacios vectoriales. Finalmente, anticipa la discusión de subespacios vectoriales en la próxima sección.
Este documento describe los pasos para resolver problemas de manera efectiva. Primero, se debe definir claramente el problema. Luego, se deben generar varias soluciones potenciales sin juzgarlas. Finalmente, se debe implementar la mejor solución y evaluar los resultados.
Este documento presenta varios ejercicios y problemas de optimización resueltos con los programas Maple y WINQSB. Incluye problemas de optimización no restringida, linealmente restringida, cuadrática, separable, no convexa y fraccionaria. Los resultados óptimos se obtienen evaluando las funciones y restricciones en los puntos de la región factible definida.
Este documento describe los pasos para configurar una nueva red inalámbrica. Explica que primero se debe instalar el hardware como el enrutador y las tarjetas de red inalámbricas. Luego se configura el enrutador con la contraseña de red, el canal y la seguridad. Finalmente, se conectan los dispositivos a la red y se comprueba que todo funciona correctamente.
Este documento presenta las pautas para escribir el título, autor, institución afiliada y notas del autor de un artículo o trabajo de investigación. Se especifica que el primer párrafo debe incluir la información departamental de la institución afiliada, el segundo párrafo detalla cualquier cambio de afiliación, y el tercero reconoce ayudas financieras y colegas asociados. El cuarto párrafo incluye la información de contacto del autor.
Este documento resume diferentes métodos de programación no lineal como optimización no restringida, optimización restringida linealmente, programación cuadrática, programación convexa, programación separable, programación no convexa, programación geométrica y programación fraccional. Explica las condiciones necesarias y suficientes para cada método y cómo se pueden transformar algunos problemas en otros de programación lineal o convexa.
Este documento explica diferentes modelos de programación entera, incluyendo modelos puros, binarios y mixtos. Describe ejemplos de problemas de corte de madera, programación de producción y programación de proyectos para ilustrar estos modelos. También resume problemas típicos de programación entera como el problema del transporte, flujo de costo mínimo en red, asignación, mochila, emparejamiento, recubrimiento, empaquetado, partición, costo fijo y el problema del viajante.
Este documento presenta una revisión de un libro de texto sobre Física 2 escrito por Hugo Medina Guzmán. La revisión elogia el enfoque del libro de comenzar con observaciones experimentales y desarrollar conceptos físicos matemáticamente simples para interpretarlas. También destaca que el contenido se ajusta al programa de estudios de la PUCP y que incluye ejemplos y problemas resueltos. El revisor concluye que el libro representa la obra docente de Hugo Medina y será un valioso aporte para estud
Este documento trata sobre intervalos y desigualdades lineales de una variable. Explica que una inecuación es una desigualdad con una incógnita y que si el grado es uno se considera lineal. Resolver una inecuación es encontrar los valores de la incógnita que cumplen la desigualdad, cuya solución suele ser un intervalo o una unión de intervalos. Además, indica cómo representar gráficamente los extremos de los intervalos en la solución.
Este documento presenta la programación curricular anual para tercero de secundaria del área de matemáticas en la Universidad Nacional de San Antonio Abad del Cusco. Incluye información general sobre la institución educativa, los docentes y estudiantes. Además, presenta los objetivos, valores, contenidos y actividades planificadas para el año, con énfasis en capacidades como la resolución de problemas, razonamiento y comunicación matemática.
Este documento describe varios métodos de programación no lineal, incluyendo algoritmos no lineales restringidos, el método de programación separable, el método de programación cuadrática, el método de programación geométrica y el método de programación estocástica. El documento concluye que la programación no lineal analiza problemas en los que la función objetivo o las restricciones, o ambas, son funciones no lineales.
Este documento presenta conceptos clave de álgebra lineal como hiperplanos, conjuntos convexos, desigualdades lineales, conjuntos convexos poliédricos, semiplanos, combinación convexa y propiedades de los semiplanos. Explica que un hiperplano divide un espacio en dos partes, un conjunto convexo contiene puntos unidos por rectas, y una desigualdad lineal relaciona términos con signos como < o >. También define poliedros, semiplanos, y la combinación convexa como una combinación lineal de p
El documento presenta una serie de ejercicios de cálculo integral correspondientes a un examen de matemáticas de 2o de bachillerato. Incluye 8 ejercicios que van desde encontrar la función primitiva de una función dada hasta calcular el área delimitada por diferentes funciones. El profesor explica brevemente cada ejercicio y proporciona la resolución detallada.
El documento trata sobre cálculo vectorial. Explica conceptos como campos vectoriales, gradiente, divergencia, rotacional, integrales de línea y superficie. Los objetivos son que los estudiantes aprendan a calcular diferentes tipos de integrales vectoriales y aplicar teoremas como el de Green, Stokes y Gauss.
Este documento presenta seis ejemplos que ilustran el cálculo de áreas y volúmenes utilizando la integral definida. En el primer ejemplo, se calcula el área debajo de una parábola y una recta mediante la suma de rectángulos y luego tomando el límite para obtener la integral definida. Los ejemplos subsiguientes calculan áreas de regiones delimitadas por curvas algebraicas de manera similar. Los últimos dos ejemplos calculan volúmenes de sólidos de revolución, generados al girar regiones planas alreded
El documento resume cuatro ejercicios matemáticos que involucran ecuaciones lineales y no lineales. El Ejercicio 28 involucra una ecuación no lineal que se resuelve usando logaritmos para obtener la solución irracional A. El Ejercicio 31 también es no lineal y usa logaritmos para derivar la solución irracional B. El Ejercicio 39 es cuadrático y usa la fórmula cuadrática para encontrar las raíces iguales. El Ejercicio 43 es no cuadrático pero se reduce a
Problemas resueltos integrales dobles y triplesortari2014
Este documento presenta 30 problemas resueltos y 30 problemas propuestos sobre integración múltiple. La primera parte explica métodos y soluciones de problemas tipo sobre este tema, mientras que la segunda parte incluye problemas para que el lector pruebe sus conocimientos y algunas soluciones. El documento está dirigido a estudiantes de cálculo en varias variables pero puede ser útil para cualquier persona interesada en el tema.
Este documento presenta un índice de 28 capítulos sobre álgebra. Los capítulos cubren temas como potenciación, radicación, polinomios, ecuaciones exponenciales, factorización, ecuaciones de segundo grado, números complejos, funciones y logaritmos. Adicionalmente, incluye ejercicios resueltos de cada tema.
Este documento presenta 5 ejemplos resueltos del método de Lagrange para encontrar valores extremos de funciones sujetas a restricciones. El método establece una ecuación vectorial igualando los gradientes de la función objetivo y la restricción, formando un sistema de ecuaciones que incluye la restricción. Los ejemplos maximizan y minimizan áreas, volúmenes y costos de figuras geométricas bajo diferentes condiciones.
Este documento presenta los pasos para resolver diferentes tipos de ecuaciones algebraicas de una variable, incluyendo ecuaciones polinómicas lineales, cuadráticas, cúbicas y de mayor grado, así como ecuaciones con valor absoluto, raíces y racionales. Explica métodos como factorización, uso de fórmulas, división sintética y aislamiento de términos para resolver cada tipo de ecuación.
Este documento resume los pasos para resolver diferentes tipos de ecuaciones en una variable, incluyendo ecuaciones polinómicas lineales, cuadráticas, cúbicas y de mayor grado, así como ecuaciones con valor absoluto, raíces y racionales. Explica métodos como factorización, completar el cuadrado y división sintética para resolver cada tipo de ecuación.
Este documento presenta un resumen de los conceptos clave de límites matemáticos. Define un límite como el número L al que se aproximan los valores de una función f(x) cuando x se acerca a un valor a. Incluye propiedades como que el límite de una suma es la suma de los límites individuales y el límite de un producto es el producto de los límites. También cubre métodos para calcular límites como sustituir el valor límite directamente en la función o usar reglas para límites de funciones racionales, raíz cu
El documento presenta un trabajo de grado sobre la teoría de distribuciones y su aplicación a la resolución de ecuaciones diferenciales parciales. Introduce conceptos como espacios de funciones diferenciables Ck, propiedades de distribuciones como soporte y orden, y operaciones con distribuciones como multiplicación, derivación y convolución. Finalmente, aplica esta teoría para resolver la ecuación de ondas en Rt × R3x.
Este documento presenta un problema de programación lineal resuelto mediante el método gráfico. Se describe un problema de maximización de utilidad sujeto a cuatro restricciones. La solución óptima es de 3 toneladas de pintura para exteriores y 1.5 toneladas de pintura para interiores, con una utilidad máxima de $21,000.
El documento presenta un libro de álgebra dividido en 16 unidades. La primera unidad cubre las leyes de exponentes y radicales, incluyendo definiciones, teoremas y problemas. El documento proporciona herramientas fundamentales para la preparación de ingreso a la universidad.
Este documento presenta conceptos fundamentales sobre expresiones algebraicas. Introduce los conceptos de monomio, polinomio, constante y variable. Explica que un polinomio es una expresión algebraica compuesta por términos algebraicas y que los polinomios de grado 1 y 2 representan ecuaciones de rectas y parábolas respectivamente. También repasa propiedades importantes de las operaciones algebraicas como suma, resta, multiplicación y división.
El documento presenta una guía para resolver problemas de optimización que involucran funciones escalares de variables vectoriales. Explica los pasos a seguir como identificar lo que se pide optimizar, trazar un modelo geométrico, establecer un modelo matemático y resolver el problema para encontrar la solución óptima. Luego, aplica estos pasos para maximizar el volumen de un prisma rectangular y el volumen de un cilindro circular recto sujetos a restricciones de tamaño.
El documento presenta un problema de optimización para hallar las dimensiones de un prisma recto de base cuadrada y cara lateral de perímetro 30 cm que tenga volumen máximo. Se modela el volumen V como función de x e y, y se aplica la condición para encontrar el máximo. El análisis concluye que el lado de la base debe ser 10 cm y la altura 5 cm para lograr el volumen máximo.
El documento presenta 15 problemas resueltos sobre integrales triples. Cada problema contiene la descripción del problema, la solución y una breve explicación del procedimiento de resolución, el cual involucra frecuentemente cambios de variables a coordenadas cilíndricas, esféricas u otras para simplificar la integral. Los problemas cubren diversos temas como calcular volúmenes, integrar funciones sobre diferentes dominios y realizar transformaciones de variables.
Este documento presenta un resumen del Capítulo 1 sobre la integral indefinida. Introduce la definición de antiderivada o integral indefinida y explica cómo encontrar antiderivadas algebraicamente mediante fórmulas estándares, propiedades y diferentes técnicas como la integración directa y la integración por sustitución o cambio de variable. El objetivo es enseñar a calcular antiderivadas de funciones algebraicamente.
1. El documento trata sobre el cálculo integral, que es la inversa de la derivación y sirve para encontrar una función original a partir de su derivada.
2. Se presentan las fórmulas básicas de integración como la integral de funciones exponenciales, trigonométricas, logarítmicas y más.
3. Se explican métodos para resolver integrales más complejas, como la sustitución, integración por partes y descomposición de fracciones racionales.
Este documento presenta 15 problemas de funciones matemáticas con sus respectivas soluciones. Los problemas cubren temas como funciones crecientes, decrecientes, inyectivas, sobreyectivas, composición de funciones, dominio y rango. El documento proporciona una introducción general sobre funciones y una lista de problemas numerados con su video solución correspondiente en YouTube.
Este documento contiene información sobre funciones, operadores, polinomios, el teorema del resto y el método de Horner. Presenta 29 problemas con sus respectivas soluciones en video sobre el análisis y propiedades de funciones.
Problemas tipo admisión UNI, ECUACIONES CUADRÁTICAS, ECUACIONES BICUADRADAS, ECUACIONES RECÍPROCAS, INECUACIONES, ECUACIONES CON RADICALES, ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO, INECUACIONES CON RADICALES, INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO, INECUACIONES CON DOS VARIABLES
Problemas tipo admisión UNI, ECUACIONES CUADRÁTICAS, ECUACIONES BICUADRADAS, ECUACIONES RECÍPROCAS, INECUACIONES, ECUACIONES CON RADICALES, ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO, INECUACIONES CON RADICALES, INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO, INECUACIONES CON DOS VARIABLES
Este documento presenta 23 problemas de lógica resueltos. Los problemas abarcan temas como tablas de verdad, operadores lógicos, equivalencias lógicas y simplificación de fórmulas. Cada problema viene con múltiples opciones de respuesta para que el estudiante elija la correcta.
El documento presenta el currículum vitae de Alvaro Miguel Naupay Gusukuma, profesor de matemáticas. Detalla su formación académica en matemática y docencia, experiencia como docente universitario, investigaciones realizadas, proyectos desarrollados, publicaciones, idiomas y habilidades técnicas. El objetivo profesional de Alvaro es enseñar ciencias, especialmente matemáticas, a través de nuevas técnicas y su relación con otras áreas del conocimiento.
1. El documento presenta un examen final de cálculo diferencial con 4 problemas. Se enfatiza la importancia del orden y claridad en las soluciones. No se permiten consultas y los estudiantes pueden corregir errores en los enunciados.
2. El primer problema analiza las derivadas de una función, sus puntos críticos e intervalos de crecimiento y decrecimiento. Luego determina puntos de inflexión, máximos, mínimos y bosqueja la función.
3. El segundo problema calcula la velocidad con la que se separan un autom
Este examen sustitutorio de cálculo diferencial consta de 4 problemas. El primero pide demostrar una igualdad de límites. El segundo solicita encontrar un punto donde la derivada de una función sea igual a la función. El tercero consiste en hallar funciones que satisfagan un par de ecuaciones diferenciales. Y el cuarto determina el máximo volumen de un recipiente cónico obtenido de un círculo.
Este documento presenta un resumen de los temas centrales de álgebra lineal y funciones, incluyendo lógica, polinomios, funciones, ecuaciones, números complejos, funciones exponenciales y logarítmicas, matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales y no lineales. El documento contiene 10 capítulos y proporciona ejercicios de práctica con soluciones para cada tema.
1. El documento presenta una práctica calificada de cálculo I sobre derivadas de funciones. Instruye a los estudiantes sobre la importancia del orden y la claridad en la resolución de problemas.
2. Propone cuatro problemas de cálculo para que los estudiantes resuelvan, incluyendo derivar una función, minimizar el costo de construcción de una tubería y determinar la derivada de una función en un punto.
3. Los estudiantes tienen 100 minutos para completar los cuatro problemas propuestos.
Este documento presenta la resolución de varios ejercicios de cálculo. Incluye la verificación de puntos de acumulación, demostración de límites, cálculo de límites usando álgebra de límites, y determinación de parámetros para que una función cumpla ciertas condiciones en sus límites.
Este documento presenta un índice de temas relacionados con ecuaciones y conjuntos. Incluye 16 capítulos que cubren lógica, conjuntos, números reales, ecuaciones de primer y segundo grado, funciones y gráficas. Cada capítulo contiene varios problemas resueltos relacionados con el tema correspondiente.
1. El documento presenta diferentes tipos de ecuaciones y desigualdades, incluyendo ecuaciones cuadráticas, bicuadráticas, recíprocas, desigualdades cuadráticas e inecuaciones con raíces y valor absoluto. Incluye ejercicios para resolver cada tipo de ecuación y desigualdad, con soluciones propuestas.
2. Se divide en secciones para cada tipo de ecuación y desigualdad, explicando conceptos y dando ejemplos numéricos.
3. El documento es un resumen de diferentes
Este documento presenta 18 problemas de lógica y conjuntos. Los problemas 1-17 cubren temas como operadores lógicos, tablas de verdad, equivalencias lógicas y propiedades de conjuntos como unión, intersección y diferencia. El problema 18 pregunta sobre las propiedades de verdad de afirmaciones relacionadas con operaciones entre conjuntos.
Este documento contiene un examen final de ingeniería de petróleo y gas natural con 4 problemas. El primer problema involucra resolver una ecuación diferencial que resulta en una ecuación de Bessel. El segundo problema muestra una integral definida igual a la función gamma. El tercer problema usa la transformada de Laplace para resolver una ecuación diferencial. El cuarto problema también usa Laplace para resolver una ecuación diferencial con una función escalón.
Este documento contiene un examen parcial de ingeniería de petróleo y gas natural con 4 problemas. El examen fue administrado por el profesor Alvaro Naupay Gusukuma el 16 de mayo de 2017 y los estudiantes tuvieron 120 minutos para completarlo. Los problemas incluyeron el uso de isoclinas para graficar soluciones, resolver una ecuación diferencial inexacta, determinar la masa de sal en un tanque con entrada y salida de solución salina, y demostrar propiedades de funciones impares.
Este documento describe los pasos para configurar una nueva red inalámbrica. Explica que primero se debe instalar el hardware como el enrutador y las tarjetas de red inalámbricas. Luego se debe configurar el enrutador con la contraseña de red, el canal y la seguridad. Finalmente, se conectan los dispositivos a la red y se comprueba que todo funciona correctamente.
1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIER´IA
FACULTAD DE CIENCIAS
ESCUELA PROFESIONAL DE MATEM´ATICA
PROGRAMACI´ON GEOM´ETRICA
por
Naupay Gusukuma, Alvaro Miguel
Pr´acticas
Pre Profesionales
en MATEM´ATICA
Mg. Echegaray Castillo, William Carlos
Asesor
Uni, 29 de Diciembre de 2014
3. Agradecimientos
Quiero agradecer a m´ıs padres por apoyarme constantemente y a mi asesor por su apoyo
incondicional que d´ıa a d´ıa me guia a ser un mejor profesional.
2
4. Cap´ıtulo 1
Antecedentes hist´oricos
A Clarence Zener, Director de Ciencias en Westinghouse Electric en Pittsburgh,
Pennsylvania, USA, se le acredita como el padre de la Programaci´on Geom´etrica. En 1961,
public´o un art´ıculo en el Proceedings del National Academy of Science sobre “A Mathema-
tical Aid in Optimizing Engineering Designs”, que es considerado como el primer art´ıculo
sobre programaci´on geom´etrica. Clarence Zener es mejor conocido en ingenier´ıa el´ectrica
por el diodo Zener. Que mas tarde se asocio con Richard J. Duffin y Elmor L. Peterson del
Carnegie Institute of Technology (ahora Carnegie-Mellon University, USA) para escribir el
primer libro sobre programaci´on geom´etrica, llamado “Geometric Programming” en 1967.
Un reporte fue publicado en Agosto de 1966 por el profesor Douglas Wilde y el estudiante
de graduaci´on Ury Passey. El profesor Douglas Wilde del Stanford University y el profe-
sor Charles Beightler del University of Texas incluyeron un cap´ıtulo sobre programaci´on
geom´etrica en el libro “Fundations of Optimization”.
Otros primeros libros por estos l´ıderes fueron “Engineering Design By Geometric Pro-
gramming” por Clarence Zener en 1971, “Applied Geometric Programming” por C.S.
Beightler y D.T. Phillips en 1976, y la segunda edici´on del “Foundations of Optimiza-
tion” por C.S. Beightler, D.T. Phillips y D.Wilde en 1979. Muchos de las aplicaciones
iniciales fueron en el ´area del dise˜no de tranformadores cuando Clarence Zener trabajaba
para Westinghouse Electric en el ´area de ingenier´ıa qu´ımica, que fu´e el ´area enfatizada
por Beightler y Wilde. Tambi´en es importante resaltar que muchos estudiantes de gra-
3
5. duaci´on jugaron un papel importante, a saber Elmor Peterson en el Carnegie Institute of
Technology y Ury Passy y Mordecai Avriel en el Stanford University.
4
6. Cap´ıtulo 2
Programaci´on geom´etrica sin
restricciones
El nombre de programaci´on geom´etrica (P.G.) se debe a que se utiliza la generaliza-
ci´on de la desigualdad media aritm´etica geom´etrica para resolver algunos problemas de
optimizaci´on.
2.1. Conocimientos previos.
Teorema 2.1.1. Sea f : C ⊂ Rn
→ R una funci´on convexa donde C es un conjunto
convexo. Si λ1, λ2, . . . , λk son n´umeros no negativos con suma igual a 1 y si x1, x2, . . . , xk
son puntos de C, entonces
f
k
i=1
λixi ≤
k
i=1
λif(xi) . (∗)
Si f es estrictamente convexa sobre C y si todos los λi’s son positivos, entonces la igualdad
en (∗) se cumple si y s´olo si todos los xi’s son iguales.
El nombre de Programaci´on Geom´etrica es debido a que esta t´ecnica utiliza variantes
de la desigualdad media aritm´etica geom´etrica. A continuaci´on presentamos una de ellas.
Teorema 2.1.2. (Desigualdad Media Aritm´etica-Geom´etrica o Desigualdad (A-
G)). Si x1, x2, . . . , xn son n´umeros reales positivos y si δ1, δ2, . . . , δn son n´umeros positivos
5
7. cuya suma es uno, entonces
n
i=1
(xi)δi
≤
n
i=1
δixi , (A-G)
con la igualdad en (A-G) si y s´olo si x1 = x2 = · · · = xn
El producto del lado izquierdo de A-G es llamada media geom´etrica de x1, x2, . . . , xn
con pesos δ1, δ2, . . . , δn mientras que la suma de la derecha de A-G es la media aritm´etica
de x1, x2, . . . , xn con pesos δ1, δ2, . . . , δn.
La desigualdad (A-G) se puede demostrar usando la convexidad en la siguiente manera.
Primero, observe que la funci´on f definida para x > 0 por
f(x) = − ln x
es estrictamente convexa ya que f′′
(x) =
1
x2
> 0. Consecuentemente, si x1, x2, . . . , xn y
δ1, δ2, . . . , δn son n´umeros positivos tales que
δ1 + δ2 + · · · + δn = 1
entonces (2.1.1) implica que
− ln
m
i=1
δixi = f
m
i=1
δixi ≤
n
i=1
δif(xi) = −
n
i=1
δi ln xi
con la igualdad si y s´olo si todos los xi’s son iguales. La anterior desigualdad es equivalente
a
ln
n
i=1
δixi ≥
n
i=1
ln(xδi
i ) = ln
n
i=1
xδi
i .
Consecuentemente, como la funci´on logar´ıtmo y exponencial son estrictamente creciente,
obtenemos
n
i=1
δixi ≥
n
i=1
(xi)δi
con la igualdad en esta desigualdad si y s´olo si todos los xi’s son iguales.
Como veremos, la desigualdad (A-G) es muy adecuada para la soluci´on de una clase
considerable de problemas de optimizaci´on no lineal. Antes de intentar identificar esta clase
de problemas y formalizar el procedimiento de optimizaci´on, daremos algunos ejemplos en
los que se aplica (A-G) para proporcionar la soluci´on algunos problemas est´andares de
m´aximos y m´ınimos del c´alculo.
6
8. 2.2. Primeros ejemplos.
Ejemplo 2.2.1. Encontrar las dimensiones de una caja rectangular sin tapa con una ´area
fija de superficie S0 que tenga volumen m´aximo.
Soluci´on: Veamos la figura
x1
x2
x3
(x1, x2, x3)
Volumen = V = x1x2x3 .
´Area de superficie = S0 = x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3 .
Por consiguiente, nuestro trabajo es resolver el siguiente problema:
Maximizar V (x1, x2, x3) = x1x2x3 ,
sujeto a x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3 = S0 ,
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0 .
En esta forma, al problema se le puede aplicar la desigualdad (A-G) de manera natural.
Observe que:
S0 = x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3 = 3
x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3
3
luego utilizando la desigualdad (A-G) tenemos
S0 = 3
x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3
3
(A-G)
≥ 3((x1x2)1/3
(2x1x3)1/3
(2x2x3)1/3
)
= 3 · 41/3
(x2
1x2
2x2
3)1/3
= 3 · 41/3
V 2/3
Notemos que el valor de V est´a acotado y que esta cota (M´axima) es alcanzada cuando
hay igualdad en la desigualdad (A-G), esto es, supongamos que V es maximizado cuando
7
9. x1 = x∗
1, x2 = x∗
2 y x3 = x∗
3, de esto tendriamos que se debe cumplir y teniendo encuenta
el teorema 2.1.2
x∗
1x∗
2 = 2x∗
1x∗
3 = 2x∗
2x∗
3 =
S0
3
resolviendo esto tenemos que las dimensiones son
x∗
1 = x∗
2 =
S0
3
, x∗
3 =
1
2
S0
3
,
y adem´as el volumen m´aximo de la caja ser´a
V0 = x∗
1x∗
2x∗
3 =
S
3/2
0
2 · 33/2
.
Ejemplo 2.2.2. Encontrar las dimensiones de una caja rectangular sin tapa con volumen
fijo V0 que tiene la minima ´area de superficie.
Soluci´on: Apoy´andonos en la figura del ejemplo anterior vemos que necesitamos resolver
el siguiente problema.
Minimizar S(x1, x2, x3) = x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3 ,
sujeto a x1x2x3 = V0 ,
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0 .
procediendo exactamente como en el ejemplo anterior, obtenemos
S = x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3 = 3
x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3
3
(A-G)
≥ 3 · 41/3
V
2/3
0 .
Por consiguiente, el valor de S es el menor cuando hay igualdad en la desigualdad (A-G),
esto es, S es minimizado cuando x1 = x∗
1, x2 = x∗
2 y x3 = x∗
3 de donde tenemos que (ver
teorema 2.1.2)
x∗
1x∗
2 = 2x∗
1x∗
3 = 2x∗
2x∗
3 =
3 · 41/3
V
2/3
0
3
= 41/3
V
2/3
0 .
Resolviendo esto tenemos que las dimensiones son
x∗
1 = x∗
2 = 41/6
V
1/3
0 , x∗
3 =
41/6
V
1/3
0
2
,
8
10. adem´as el ´area m´ınima de la superficie es
S0 = x∗
1x∗
2 + 2x∗
1x∗
3 + 2x∗
2x∗
3 = 3 · 4/3
V
2/3
0 .
Ejemplo 2.2.3. Maximizar el volumen de una lata cil´ındrica de costo fijo c0 soles si el
costo del material, parte superior e inferior de la lata es c1 soles por metro cuadrado y el
costo del material, la parte lateral de la lata es de c2 soles por metro cuadrado.
Soluci´on: Si r es el radio y h es la altura de la lata en metros cuadrados, entocnes el
volumen de la lata es
r
h V (r, h) = πr2
h
y el costo de la lata es
c0 = 2πr2
c1 + 2πrhc2 .
Entonces vemos que necesitamos resolver el siguiente problema
Maximizar V (r, h) = πr2
h ,
sujeto a 2πr2
c1 + 2πrhc2 = c0 .
Ahora podemos proceder como en el ejemplo 2.2.1 , obtendremos
c0 = 2πr2
c1 + 2πrhc2 = 4
πr2
c1
2
+
πrhc2
2
(A-G)
≥ 4(πr2
c1)1/2
(πrhc2)1/2
= 4πr3/2
h1/2
(c1c2)1/2
.
9
11. Desafortunadamente, a diferencia de la situaci´on en el ejemplo 2.2.1, el t´ermino en el lado
derecho de la desigualdad resultante no se reduce a un m´ultiplo constante de una potencia
del volumen V, por lo que no se puede proceder como en el ejemplo 2.2.1. Lo que tenemos
que hacer es “dividir” c0 en una suma de t´erminos de tal manera que la aplicaci´on de
la desigualdad (A-G) produzca un m´ultiplo constante de una potencia de V en el lado
derecho. Un poco de experimentaci´on mostrar que tal separaci´on puede llevarse a cabo
como sigue:
c0 = 2πr2
c1 + πrhc2 + πrhc2 = 3
2πr2
c1 + πrhc2 + πrhc2
3
(A-G)
≥ 3(2πr2
c1)1/3
(πrhc2)1/3
(πrhc2)1/3
= 3(2π)1/3
(c1c2
2)1/3
V 2/3
.
Ahora podemos ver que V es el mayor cuando hay igualdad en esta (A-G) desigualdad,
esto es, cuando
2πr2
c1 = πrhc2 = πrhc2 =
c0
3
,
resolviendo tenemos que
r =
c0
6πc1
, h =
c0
3πc2
6πc1
c0
,
luego el volumen m´aximo ser´a
Vm´ax =
√
6
18π1/2
×
c
3/2
0
c
1/2
1 c2
.
Sin embargo, queremos se˜nalar un interesante an´alisis de los costos relacionados con nuestra
soluci´on del problema: Independientemente de los valores de c1 y c2, el ´optimo de las
dimensiones de la lata, asignar 1
3
del coste total a la parte superior e inferior y 2
3
del coste
total a la parte lateral.
Ejemplo 2.2.4. Minimizar el costo de una lata cil´ındrica de volumen V0 fijo si el costo de
la parte superior e inferior de la lata es c1 soles por metro cuadrado y el costo de la parte
lateral de la lata es c2 soles por metro cuadrado.
10
12. Soluci´on: Si r y h denotan el radio y la altura de la lata, entonces nuestro problema puede
ser formulado como sigue:
Minimizar c(r, h) = 2πr2
c1 + 2πrhc2 ,
sujeto a πr2
h = V0 .
r ≥ 0, h ≥ 0
La misma “divisi´on” de la funci´on de costo que usamos en el ejemplo anterior, en combi-
naci´on con la desigualdad (A-G), nos da
c(r, h) = 2πr2
c1 + πrhc2 + πrhc2 = 3
2πr2
c1 + πrhc2 + πrhc2
3
A-G
≥ 3(2π)1/3
(c1c2
2)1/3
V
2/3
0 .
Por lo tanto, el costo es el menor cuando hay igualdad en la desigualdad (A-G), esto es,
cuando
2πr2
c1 = πrhc2 = πrhc2 =
3(2π)1/3
(c1c2
2)1/3
V
2/3
0
3
= (2π)1/3
(c1c2
2)1/3
V
2/3
0 .
Vemos de nuevo que la asignaci´on de costo ´optimo es 1
3
del costo de la parte superior e
inferior y 2
3
del costo de los lados, independientemente de los valores de c1 y c2. Luego
resolviendo, las dimensiones del cilindro de costo m´ınimo son
r =
c
1/3
2 V
1/3
0
21/3π1/3c
1/3
1
, h =
22/3
c
2/3
1 V
1/3
0
π1/3c
2/3
2
,
luego el costo ser´a m´ınimo cuando la desigualdad (A-G) sea igualdad, por lo tanto
cm´ın = 3(2π)1/3
(c1c2
2)1/3
V
2/3
0
Los pares de ejemplos (2.2.1), (2.2.2) y (2.2.3), (2.2.4) proporcionan nuestros primeros
pasos de problemas duales. Los ejemplos anteriores tratan esencialmente con las mismas
funciones, excepto que la funci´on objetivo en un problema es la funci´on de restricci´on
en el otro, y un problema es de minimizaci´on mientras que el otro es un problema de
maximizaci´on. El siguiente ejemplo proporciona una mayor ilustraci´on de la dualidad.
11
13. Ejemplo 2.2.5. Considere el siguiente problema:
Maximizar f(x1, x2, x3) = x1x2
2x3 ,
sujeto a x1 + x2 + x3
3 = k ,
donde k > 0 es fijo y x1, x2, x3 son n´umeros reales positivos.
(P)
Soluci´on: En este caso, el problema dual es
Minimizar g(x1, x2, x3) = x1 + x2 + x2
3 ,
sujeto a x1x2
2x3 = c ,
donde c > 0 es fijo y x1, x2, x3 son n´umeros reales positivos.
(D)
Desde luego, (P) es tambi´en el problema dual para (D).
Para resolver ambos problemas, necesitamos desdoblar x1 + x2 + x2
3 de tal manera que
la aplicaci´on de la desigualdad (A-G) produzca un m´ultiplo constante de una potencia
adecuada de (x1x2
2x3) en el extremo inferior de la desigualdad. Esto se puede lograr como
sigue:
k = x1 + x2 + x2
3 =
x1
2
+
x1
2
+
x2
4
+
x2
4
+
x2
4
+
x2
4
+ x2
3
= 7
x1
2
+
x1
2
+
x2
4
+
x2
4
+
x2
4
+
x2
4
+ x2
3
7
(A-G)
≥ 7
1
2
2/7
1
4
4/7
(x1x2
2x3)2/7
.
La igualdad se cumple en esta desigualdad precisamente cuando
x1
2
=
x2
4
= x2
3 =
k
7
.
Para maximizar x1x2
2x3 sujeto a la restricci´on x1 +x2 +x2
3 = k, elegimos los valores ´optimos
x∗
1, x∗
2, x∗
3 que fuerzan a la igualdad en la desigualdad (A-G) con el extremo superior de la
desigualdad igual a k, esto es,
x∗
1 =
2k
7
, x∗
2 =
4k
7
, x∗
3 =
k
7
.
12
14. Para minimizar x1 + x2 + x2
3 sujeto a la restricci´on x1x2
2x3 = c, elegir los valores ´optimos
x∗
1, x∗
2, x∗
3 que fuerzan a la igualdad en la desigualdad (A-G) con en el extremo inferior de
la desigualdad igual a 1
2
2/7 1
4
4/7
c2/7
, esto es,
x∗
1 = 2
1
2
2/7
1
4
4/7
c2/7
, x∗
2 = 2x∗
1 , x∗
3 =
1
2
x∗
1 .
La desigualdad (A-G) puede tambi´en ser usada para resolver algunos problemas de
minimizaci´on sin restricciones. El truco es desdoblar la funci´on objetivo de tal manera que
la aplicaci´on de la desigualdad (A-G) produzca una constante en el extremo inferior de la
desigualdad. Los siguientes ejemplos ilustran el procedimiento.
Ejemplo 2.2.6. Encontrar los valores de x > 0 que minimizan la funci´on
f(x) = c1x3
+
c2
x
,
donde c1, c2 son constantes positivas.
Soluci´on: Para resolver este problema con la desigualdad (A-G), procederemos como si-
gue:
f(x) = c1x3
+
c2
x
= c1x3
+
1
3
c2
x
+
1
3
c2
x
+
1
3
c2
x
= 4
c1x3
+
1
3
c2
x
+
1
3
c2
x
+
1
3
c2
x
4
(A-G)
≥ 4
1
3
3/4
c
1/4
1 c
3/4
2 .
Para minimizar f, forzar la igualdad en (A-G). Esto equivale a la elecci´on de x∗
de modo
que
c1(x∗
)3
=
1
3
c2
x∗
=
1
3
3/4
c
1/4
1 c
3/4
2 .
Esto da lugar a
x∗
=
1
3
1/4
c
−1/4
1 c
1/4
2
como el minimizador.
13
15. En realidad, el ejemplo anterior podr´ıa haber sido f´acilmente resuelto como un problema
de c´alculo. El siguiente ejemplo no es f´acil de hacer con los m´etodos de c´alculo, pero es
bastante f´acil para una aplicaci´on de la desigualdad (A-G).
Ejemplo 2.2.7. Encontrar los minimizadores de
f(x1, x2) = 4x1 +
x1
x2
2
+
4x2
x1
para x1 > 0, x2 > 0.
Soluci´on: Este problema puede resolverse por la desigualdad (A-G) de la siguiente ma-
nera:
f(x1, x2) = 4
4x1 +
x1
x2
2
+
2x2
x1
+
2x2
x1
4
(A-G)
≥ 4(41/4
)(22/4
)
x2
1x2
2
x2
2x2
1
1/4
= 8 .
Si forzamos a la igualdad en la desigualdad anterior, vemos que los valores x∗
1 y x∗
2 que
minimizan f(x1, x2) son dados por
4x∗
1 =
x∗
1
(x∗
2)2
=
2x∗
2
x∗
1
= 2 ,
esto es,
x∗
1 =
1
2
, x∗
2 =
1
2
,
y que el m´ınimo valor es 8.
Note que este ejemplo no es f´acil de atacar con los m´etodos del c´alculo. De hecho, los
puntos cr´ıticos son soluciones del sistema
∂f
∂x1
= 4 +
1
x2
2
−
4x2
x2
1
= 0 ,
∂f
∂x2
= −
2x1
x3
2
+
4
x1
= 0 .
14
16. Resolver este sistema por medios no f´aciles y adem´as examinar el Hessiano
8x2
x3
1
−
2
x3
2
−
4
x2
1
−
2
x3
2
−
4
x2
1
6x1
x4
2
esto es una perspectiva ¡aterradora!.
Los ejemplos discutidos en esta secci´on ciertamente indican que la desigualdad (A-G)
puede ser una herramienta importante para la soluci´on de problemas de optimizaci´on. La
´unica parte de nuestro planteamiento, que no estaba completamente claro era “dividir” o
“desdoblar” la funci´on apropiadamente en el extremo superior de la desigualdad (A-G).
Hicimos esto f´acilmente por inspecci´on en los ejemplos considerados aqu´ı porque las fun-
ciones que consideramos envolvian tres o menos variables. Sin embargo, es aparente que el
proceso de dividir (desdoblar) puede ser dif´ıcil de aplicar para funciones con m´as variables.
El otro punto en nuestro enfoque que es un poco nebuloso por el momento es el alcance del
m´etodo, es decir, todav´ıa tenemos que identificar con precisi´on los tipos de problemas de
optimizaci´on que son tratables v´ıa la desigualdad (A-G). Abordaremos estas dos cuestiones
en la siguiente secci´on. En particular, vamos a desarrollar un marco formal y un procedi-
miento sistem´atico llamado programaci´on geom´etrica aplicando la desigualdad (A-G) a los
problemas de optimizaci´on. En programaci´on geom´etrica, el proceso de dividir (desdoblar)
que fue desarrollado por inspecci´on en los ejemplos de esta secci´on es sustituido por la so-
luci´on de un cierto sistema de ecuaciones lineales determinado por el problema en cuesti´on.
Esta sustituci´on da lugar a un procedimiento sistem´atico y pr´actico que se aplicar´a ruti-
nariamente a una amplia clase de problemas. Sin embargo, la esencia de la programaci´on
geom´etrica se encuentra en las soluciones informales de los ejemplos considerados en esta
secci´on, el resto es s´olo una cuesti´on de hacer el procedimiento sistem´atico y rutinario.
15
17. 2.3. Programaci´on geom´etrica sin restricciones.
Esta secci´on presenta un procedimiento sistem´atico para manipular problemas de pro-
gramaci´on geom´etrica sin restricciones. Como demostramos en la secci´on anterior, es con
frecuencia posible resolver estos problemas directamente de la desigualdad (A-G) y por
inspecci´on. Sin embargo, algunos problemas son muy complicados para hacerlos de esta
manera, y el procedimiento que estamos apunto de discutir entonces viene al rescate.
Tambi´en tenemos otro objetivo en mente para esta secci´on. Se habr´a notado ya, que
nunca probamos que siempre es posible forzar a la igualdad en la desigualdad (A-G) en los
ejemplos de la secci´on anterior. Una vez que hallamos establecido nuestro procedimiento
sistem´atico para problemas de programaci´on geom´etrica sin restricciones, probaremos que
siempre es posible forzar a la igualdad.
Definici´on 2.3.1. Una funci´on g definida para todo
t = (t1, . . . , tm) ∈ Rm
con tj > 0 para todo j = 1, . . . , m es
llamado posinomial si g(t) es de la forma
g(t) =
n
i=1
ci
m
j=1
(tj)αij
,
donde los ci’s son constantes positivas y los αij son exponentes
reales arbitrarios.
As´ı pues, un posinomial es una combinaci´on lineal con coeficientes no negativos de t´erminos
que son productos de potencias reales de variables no negativas t1, . . . , tm. Por ejemplo,
g(t1, t2) = 3t−1
1 t
√
2
2 + t3
1t
1/2
2 +
√
3t
−1/2
1
es un posinomial definido sobre en interior de el primer cuadrante en R2
.
El objetivo de la programaci´on geom´etrica sin restricciones es resolver el siguiente pro-
16
18. grama geom´etrico primal:
Minimizar el posinomial g(t) =
n
i=1
ci
m
j=1
t
αij
j , (GP)
donde t1 > 0, . . . , tm > 0 .
Por una soluci´on del (GP) sencillamente nos referimos a un minimizador global t∗
para g
sobre el conjunto de vectores t en Rm
con componentes positivas.
Comenzaremos nuestro ataque sobre el programa (GP) observando que g puede ser
reescrito como
g(t) =
n
i=1
δi
ci
m
j=1
t
αij
j
δi
,
donde cada δi se supone que es un n´umero positivo (Condici´on de Positividad). Si a esto
a˜nadimos la restricci´on de que
n
i=1
δi = 1 , (Condici´on de Normalidad)
podemos aplicar la desigualdad (A-G) a esta nueva expresi´on de g para obtener
g(t)
(A-G)
≥
n
i=1
ci
m
j=1
t
αij
j
δi
δi
=
n
i=1
ci
δi
δi n
i=1
m
j=1
t
αij δi
j
=
n
i=1
ci
δi
δi m
j=1
t i αij δi
j
Por lo tanto, si se impone la restricci´on adicional de que
n
i=1
αijδj = 0 ; j = 1, . . . , m , (Condici´on de Ortogonalidad)
17
19. entonces la desigualdad anterior nos da el siguiente resultado
g(t) ≥
n
i=1
ci
δi
δi
.
As´ı, si definimos
v(δ) =
n
i=1
ci
δi
δi
entonces los c´alculos anteriores muestran que
g(t) ≥ v(δ) (Desigualdad Primal-Dual)
para cualquier t ∈ Rm
con componentes positivas y cualquier δ ∈ Rn
que satisface las
Condiciones de Positividad, Normalidad y Ortogonalidad.
Estas consideraciones nos lleva a considerar el siguiente programa geom´etrico dual:
Maximizar v(δ) =
n
i=1
ci
δi
δi
, (PGD)
sujeto a δ1 > 0, . . . , δn > 0 , (Condici´on de Positividad)
n
i=1
δi = 1 , (Condici´on de Normalidad)
∀j :
n
i=1
αijδi = 0 , (Condici´on de Ortogonalidad)
Un vector δ ∈ Rn
que satisface las Condiciones de Positividad, Normalidad y Ortogonalidad
es un vector factible para el (PGD). El programa dual es consistente si el conjunto de
vectores factibles para el (PGD) es no vacio. Finalmente, por una soluci´on para el progama
dual (PGD) nos referimos a un vector δ∗
∈ Rn
que es un maximizador global para v(δ)
sobre el conjunto de vectores factibles para el (PGD).
Note que si t∗
es una soluci´on al programa primal (GP) y si δ∗
es una soluci´on al
programa dual (PGD), entonces
g(t∗
) ≥ v(δ∗
)
por la desigualdad Primal-Dual. A continuaci´on se muestra, entre otras cosas, que en
realidad g(t∗
) es igual a v(δ∗
) y que de esta igualdad genera un procedimiento para calcular
las soluciones del programa (GP) y (PGD) cuando estos programas tienen soluciones.
18
20. Teorema 2.3.1. Si t∗
= (t∗
1, . . . , t∗
m) es una soluci´on del programa geom´etrico primal (GP),
entonces el correspondiente programa geom´etrico dual (PGD) es consistente. Adem´as, el
vector δ∗
= (δ∗
1, . . . , δ∗
n) definido por
δ∗
i =
ui(t∗
)
g(t∗)
, i = 1, . . . , n
(donde ui(t) = cit
αij
1 · · · tαim
m es el i’´esimo t´ermino de g) es una soluci´on para el (PGD) y
la igualdad se cumple en la Desigualdad Primal-Dual, esto es,
g(t∗
) = v(δ∗
) .
Demostraci´on: Un t´ermino t´ıpico de g en (GP) es
ui(t) = citαi1
1 · · · tαim
m .
La derivada parcial de ui(t) respecto de tj tiene un efecto muy simple sobre ui(t), simple-
mente se multiplica ui(t) por αij y se reduce el exponente de tj en 1. Esto significa que la
siguiente ecuaci´on se cumple:
tj
∂ui
∂tj
= αijui .
Ya que t∗
= (t∗
1, . . . , t∗
m) es un minimizador para g en (GP), se deduce que
0 =
∂g
∂tj
(t∗
) =
n
i=1
∂ui
∂tj
(t∗
) , j = 1, 2, . . . , m .
Pero entonces de las observaciones anteriores tenemos que
0 =
n
i=1
αijui(t∗
) , j = 1, 2, . . . , m .
Ya que g(t∗
) > 0 (ver (GP)), podemos dividir en ambos lados de la ´ultima ecuaci´on por
g(t∗
) obteniendo
0 =
n
i=1
αij
ui(t∗
)
g(t∗)
, j = 1, 2, . . . , m .
Consecuentemente, si definimos
δ∗
i =
ui(t∗
)
g(t∗)
, i = 1, . . . , n ,
19
21. entonces δ∗
= (δ∗
1, . . . , δ∗
n) satisfacen la Condici´on de Ortogonalidad para el programa dual
(PGD). Por otra parte, δ∗
i > 0 para i = 1, . . . , n por lo que la Condici´on de Positividad es
satisfecha. Finalmente,
n
i=1
δ∗
i =
n
i=1
ui(t∗
)
g(t∗)
=
g(t∗
)
g(t∗)
= 1
por lo que la Condici´on de Normalidad se cumple. Concluimos que el vector δ∗
es factible
para el programa dual, por lo que el programa dual (PGD) es consistente. Adem´as
g(t∗
) = g(t∗
)δ∗
1 +···+δ∗
n = (g(t∗
))δ∗
1 · · ·(g(t∗
))δ∗
n
=
u1(t∗
)
δ∗
1
δ∗
1
· · ·
un(t∗
)
δ∗
n
δ∗
n
=
c1
δ∗
1
δ∗
1
· · ·
cn
δ∗
n
δ∗
n
= v(δ∗
) ,
asi que se cumple la igualdad en la desigualdad Primal-Dual. Esto implica que δ∗
es una
soluci´on del programa dual (PGD). Puesto que
δ∗
i =
ui(t∗
)
g(t∗)
, i = 1, 2, . . . , n ,
la prueba est´a completa.
Con el teorema anterior en manos, podemos formular el siguiente m´etodo para un
programa geom´etrico.
El procedimiento de Programaci´on Geom´etrica. Dado un programa geom´etrico
primal
Minimizar el posinomial g(t) =
n
i=1
ui(t) , (PD)
donde ui(t) = citαi1
1 . . . tαim
m y ti > 0, . . . , tm > 0; ci > 0
procedemos como sigue:
Paso 1. Calcular el conjunto F de vectores facibles para el programa geom´etrico dual
20
22. (PGD), es decir, el conjunto de todos los vectores δ en Rn
tales que
δ1 > 0, . . . , δn > 0 , (Condici´on de Positivadad)
n
i=1
δi = 1 , (Condici´on de Normalidad)
n
i=1
αijδi = 0 ; j = 1, . . . , m (Condici´on de Ortogonalidad)
Paso 2. Si el conjunto F de vectores factibles para el (PGD):
(a) Es vacio, entonces parar. El programa dado (GP) no tiene soluci´on en este
caso;
(b) Consta de un s´olo vector δ∗
, entonces δ∗
es un soluci´on del (PGD). Vaya al
Paso 4;
(c) Consta de m´as de un vector, entonces vaya al Paso 3.
Paso 3. Encuentre un vector δ∗
que es un maximizador global para la funci´on dual
v(δ) =
n
i=1
ci
δi
δi
sobre el conjunto F de vectores factibles para el (PGD). Entonces δ∗
es una
soluci´on del (PGD). Vaya al Paso 4.
Paso 4. Dado una soluci´on δ∗
del (PGD), una soluci´on t∗
del programa primal es obtenido
de resolver las ecuaciones
δ∗
1 =
ui(t∗
)
v(δ∗)
, i = 1, . . . , n ,
para t∗
1, . . . , t∗
m. El valor m´ınimo g(t∗
) de g es igual al valor m´aximo v(δ∗
) para la
funci´on dual v.
Comentarios.
(1) Para encontrar el conjunto F de vectores factibles para el programa dual, primero re-
solver el sistema lineal de ecuaciones que consiste de las Condiciones de Ortogonalidad
y Normalidad, y luego imponer la Condici´on de Positividad en la soluci´on resultante.
21
23. (2) La instrucci´on en el Paso 2(a) de que el (GP) no tiene soluciones si el conjunto F
de vectores factibles de el programa dual es vacio es consecuencia del Teorema 2.3.1.
Porque si (GP) tiene un soluci´on t∗
, entonces el Teorema 2.3.1 afirma que el programa
dual es consistente, es decir, F es no vacio.
(3) La alternativa “dif´ıcil” es el Paso 2(c) , porque estamos obligados a encontrar un
maximizador δ∗
para v en el conjunto F de vectores factibles para (PGD) por alg´un
medio.
(4) La soluci´on del sistema de ecuaciones prescrito en la Paso 4 parece complicado porque
las ecuaciones no son lineales en la variables t∗
1, . . . , t∗
m. Sin embargo, debido
ui(t∗
) = ci(t∗
1)αi1
· · · (t∗
m)αim
,
podemos obtener t∗
1, . . . , t∗
m resolviendo el sistema de ecuaciones lineales
αi1 log t∗
1 + · · · + αim log t∗
m = log δ∗
i − log ci + log v(δ∗
) , i = 1, . . . , n .
Por lo tanto, el procedimiento sistem´atico para la programaci´on geom´etrica que fue
descrito anteriormente es un proceso extremadamente lineal.
(5) La i-´esima componente δ∗
i de la soluci´on δ∗
del programa dual (PGD) especifica el
aporte realtivo del i-´esimo t´ermino ui(t∗
) al valor m´ınimo g(t∗
) del (GP).
2.4. Ejemplos sin restricciones.
Ejemplo 2.4.1. Sea c1, c2, c3, c4 y V constantes positivas. Considere el siguiente programa
geom´etrico:
Minimizar g(t) =
c1V
t1t2t3
+ 2c2t2t3 + 2c3t1t3 + c4t1t2 ,
donde t1 > 0, t2 > 0, t3 > 0 .
22
24. Soluci´on: Aqu´ı el problema dual es
Maximizar V (δ) =
c1V
δ1
δ1
2c2
δ2
δ2
2c3
δ3
δ3
2c4
δ4
δ4
,
sujeto a δ1 + δ2 + δ3 + δ4 = 1 (Condici´on de Normalidad),
δi > 0, 1 = 1, 2, 3, 4 (Condici´on de Positividad),
−δ1 + + δ3 + δ4 = 0
−δ1 + δ2 + δ4 = 0
−δ1 + δ2 + δ3 = 0
Condici´on de
Ortogonalidad
.
Si aplicamos el Paso 1 del precedimiento mostrado en secci´on anterior, encontraremos que
el vector
δ∗
=
2
5
,
1
5
,
1
5
,
1
5
es el ´unico vector factible para el dual, por lo que seguimos la alternativa (b) en el Paso 3.
Por consiguiente, podemos encontrar las soluciones t∗
1, t∗
2, t∗
3 resolviendo el sistema.
c1V
t∗
1t∗
2t∗
3
= δ∗
1v(δ∗
) =
2
5
v(δ∗
) ,
2c2t∗
2t∗
3 = δ∗
2v(δ∗
) =
1
5
v(δ∗
) ,
2c3t∗
1t∗
3 = δ∗
3v(δ∗
) =
1
5
v(δ∗
) ,
c4t∗
1t∗
2 = δ∗
4v(δ∗
) =
1
5
v(δ∗
) .
Omitiremos el resto de los detalles del c´alculo. Note que las contribuciones relativas de los
cuatro t´erminos en g(t∗
) son 2
5
, 1
5
, 1
5
, 1
5
independiente de los valores de c1, c2, c3, c4.
Ejemplo 2.4.2. Considere el programa geom´etrico
Minimizar g(t1, t2) =
2
t1t2
+ t1t2 + t1 ,
donde t1 > 0, t2 > 0 .
23
25. Soluci´on: El programa dual es
Maximizar v(δ) =
2
δ1
δ1
1
δ2
δ2
1
δ3
δ3
,
sujeto a δ1, δ2, δ3 > 0 ,
δ1 + δ2 + δ3 = 1 ,
−δ1 + δ2 + δ3 = 0 ,
−δ1 + δ2 = 0 .
Resolviendoe stas ecuaciones, encontramos que la ´unica soluci´on es δ1 = 1
2
, δ2 = 1
2
, y δ3 = 0.
Estos vector no es factible para el dual (porque δ3 = 0) y por lo tanto no hay vectores
factibles para el dual. Consecuentemente, la alternativa (a) en el Paso 2 nos dice que el
programa dado no tiene soluci´on.
Ejemplo 2.4.3. Considere el programa geom´etrico
Minimizar g(t1, t2) =
1
t1t2
+ t1t2 + t1 + t2 ,
donde t1 > 0, t2 > 0 .
Soluci´on: El programa dual es
Maximizar v(δ) =
1
δ1
δ1
1
δ2
δ2
1
δ3
δ3
1
δ4
δ4
,
sujeto a δ1, δ2, δ3, δ4 > 0 ,
δ1 + δ2 + δ3 + δ4 = 1 ,
−δ1 + δ2 + δ3 = 0 ,
−δ1 + δ2 + δ4 = 0 .
24
26. Un poco de trabajo muestra que este sistema es equivalente al siguiente:
δ1 = δ1 > 0 ,
δ2 = 3δ1 − 1 > 0 ,
δ3 = 1 − 2δ1 > 0 ,
δ4 = 1 − 2δ1 > 0 ,
y estas desigualdades restringen δ1 al rango 1
3
< δ1 < 1
2
. As´ı, la maximizaci´on de v(δ)
equivale a la maximizaci´on de
f(s) =
1
2
s
1
1 − 2s
1−2s
1
1 − 2s
1−2s
1
3s − 1
3s−1
en el intervalo 1
3
< s < 1
2
. Tomando logaritmos, maximizamos
ln f(s) = −s ln 2 − 2(1 − 2s) ln(1 − 2s) − (3s − 1) ln(3s − 1) ,
que es posible resolver por m´etodos iterativos sin ning´un problema.
25
27. Cap´ıtulo 3
Progamaci´on geom´etrica con
restricciones
3.1. Conocimientos previos.
Teorema 3.1.1 (Desigualdad Media Aritm´etica-Geom´etrica Extendida). Suponga que
x1, . . . , xn son n´umeros positivos. Si δ1, . . . , δn son n´umeros que son todos positivos o todos
ceros y si λ = δ1 + · · · + δn, entonces
n
i=1
xi
λ
≥ λλ
n
i=1
xi
δi
δi
bajo la convenci´on 00
= 1 y (xi/0)0
= 1.
La igualdad se cumple en esta desigualdad si y s´olo si δ1 = δ2 = · · · = δn = 0 o
xi =
δi
λ
n
j=1
xj
para i = 1, . . . , n.
Demostraci´on: Suponga primero que todos los δi’s son n´umeros positivos. Note que δi/λ
es positivo para i = 1, 2, . . . , n y que
δ1
λ
+
δ2
λ
+ · · · +
δn
λ
= 1 .
26
28. Consequentemente, si aplicamos la desidgualdad Media Aritm´etica Geom´etrica (A-G) Teo-
rema 1.2.1 a (λxi)/δi y δi/λ para i = 1, 2, . . . , n, obtenemos
n
i=1
xi =
n
i=1
δi
λ
λxi
δi
≥
n
i=1
λxi
δi
δi/λ
,
cumpliendose la igualdad si y s´olo si
λx1
δ1
=
λx2
δ2
= · · · =
λxn
δn
.
Pero luego
n
i=1
xi
λ
≥
n
i=1
λxi
δi
δi
= λλ
n
i=1
xi
δi
δi
.
Por otra parte, si λxi/δi = M para i = 1, 2, . . . , n, entonces
n
i=2
xi =
n
i=1
Mδi
λ
=
M
λ
n
i=1
δi = M ,
luego con λ
xi
δi
= M tenemos que
xi =
Mδi
λ
=
δi
λ
n
i=1
xi ,
por lo tanto la condici´on de igualdad se cumple.
Finalmente, note que si todos los δi’s son iguales a cero, entonces ambos lados de la
desigualdad prescrita son iguales a 1. Esto completa la prueba.
La siguiente definici´on describe el marco de la programaci´on geom´etrica con restriccio-
nes.
27
29. Definici´on 3.1.1. Suponga que g0, g1, . . . , gk son posinomiales
con m-variables reales positivas t = (t1, t2, . . . , tm). Entonces el
programa
(PG)
Minimizar g0(t)
s.a. g1(t) ≤ 1, g2(t) ≤ 1, . . . , gk(t) ≤ 1 ,
donde t1 > 0, t2 > 0, . . . , tm > 0
es llamado un programa geom´etrico con restricciones.
La siguiente definici´on define el marco de la programaci´on convexa.
Definici´on 3.1.2. Suponga que f, g1, . . . , gm son funcioines
real-valuadas definidas sobre un subconjunto C de Rn
.
(PC)
Minimizar f
s.a. g1(x) ≤ 0, g2(x) ≤ 0, . . . , gm(x) ≤ 0 ,
donde x ∈ C ⊂ Rn
.
La funci´on f es llamada la funci´on objetivo de (PC) y las desigualdades de funciones
g1(x) ≤ 0, . . . , gm(x) ≤ 0 son llamadas las restricciones (desigualdades) para (PC). Un
punto x ∈ C que satisface todas las restricciones del programa (PC) es llamado un punto
factible para (PC), y el conjunto F de todos los puntos factibles para (PC) es llamado regi´on
de factibilidad para (PC). Si la regi´on factible para (PC) es no vacia, diremos que (PC)
es consistente. Si hay un punto factible x para (PC) tal que gi(x) < 0 para i = 1, . . . , m,
entonces (PC) es superconsistente y el punto x es llamado un punto de Slater para (PC).
Teorema 3.1.2 (Karush-Kuhn-Tucker(Forma de Gradiente)). Suponga que (PC)
es un programa convexo superconsistente tal que la funci´on objetivo f y las funciones de
restricci´on g1, . . . , gm tienen la primera de derivada continua en el conjunto C para (PC).
28
30. Si x∗
es factible para (PC) y es un punto interior de C, entonces x∗
es una soluci´on de
(PC) si y s´olo si existe un λ∗
∈ Rm
tal que:
(1) λ∗
i ≥ 0 para i = 1, 2, . . . , m;
(2) λ∗
i gi(x∗
) = 0 para i = 1, 2, . . . , m;
(3) ∇f(x∗
) +
m
i=1
λ∗
i ∇gi(x∗
) = 0.
Teorema 3.1.3.
(a) Si f1, . . . , fk son funciones convexas en el conjunto convexo C de Rn
, entonces
f(x) = f1(x) + f2(x) + · · · + fk(x)
es convexa. Adem´as, si al menos uno de los fi es estrictamente convexa en C, entonces
la suma f(x) es estrictamente convexa.
(b) Si f es convexa (estrictamente convexa) en el conjunto convexo C de Rn
y si α es un
n´umero positivo, entonces αf es convexo (estrictamente convexo) en C.
(c) Si f es una funci´on convexa (estrictamente convexa) definida en un conjunto convexo
C de Rn
, y si g es una funci´on convexa creciente (estrictamente creciente) definida en
el rango de f de R, entonces la funci´on composici´on g ◦ f es convexa (estrictamente
convexa) en C.
3.2. Ejemplo.
Ejemplo 3.2.1. Considere el siguiente programa
Minimizar
40
t1t2t3
+ 40t2t3
sujeto a 2t1t3 + t1t2 ≤ 4 ,
donde t1 > 0, t2 > 0, t3 > 0 .
29
31. Soluci´on: Si dividimos la desigualdad de restricci´on por 4, obtenemos un programa
geom´etrico de la forma 3.1.1 con
g0(t1, t2, t3) =
40
t1t2t3
+ 40t2t3 ,
g1(t1, t2, t3) =
t1t3
2
+
t1t2
4
.
Ahora procedemos como sigue: Para cualquier λ > 0, (g1(t))λ
≤ 1 as´ı que para cualesquiera
δ1 > 0, δ2 > 0, tenemos
g0(t) ≥ g0(t)(g1(t))λ
=
40
t1t2t3
+ 40t2t3 (g1(t))λ
= δ1
40
δ1t1t2t3
+ δ2
40t2t3
δ2
(g1(t))λ
.
Si ahora imponemos la restricci´on de que δ1 + δ2 = 1 y aplicamos la Desigualdad Media
Aritm´etica-Geom´etrica Teorema 2.1.2, obtenemos
g0(t) ≥
40
δ1t1t2t3
δ1
40t2t3
δ2
δ2
(g1(t))λ
=
40
δ1
δ1
40
δ2
δ2
(t1)−δ1
(t2)(−δ1+δ2)
(t3)(−δ1+δ2)
(g1(t))λ
.
Luego, nos enfocamos en el factor (g1(t))λ
en la ´ultima expresi´on y aplicamos la Desigualdad
Media Aritm´etica Geom´etrica Extendida Teorema 3.1.1, luego tenemos
g1(t)λ
=
t1t3
2
+
t1t2
4
λ
≥ λλ t1t3
2δ3
δ3
t1t2
4δ4
δ4
= λλ 1
2δ3
δ3
1
4δ4
δ4
t
(δ3+δ4)
1 tδ4
2 tδ3
3 ,
siempre que λ = δ3 + δ4. Si combinamos las conclusiones de los c´alculos anteriores, vemos
que
g0(t) ≥
40
δ1
δ1
40
δ2
δ2
1
2δ3
δ3
1
4δ4
δ4
(δ3 + δ4)δ3+δ4
= v(δ1, δ2, δ3, δ4)
30
32. siempre que
δ1 + δ2 = 1 ,
δ3 + δ4 = λ ,
−δ1 + δ3 + δ4 = 0 ,
−δ1 + δ2 + δ4 = 0 ,
−δ1 + δ2 + δ3 = 0 ,
δ1 > 0, δ2 > 0, δ3 > 0, δ4 > 0 .
(Las tres ´ultimas ecuaciones resultan de igualar los exponentes de t1, t2, t3 a cero.) Este
sistema tiene la soluci´on ´unica
δ∗
1 =
2
3
, δ∗
2 =
1
3
, δ∗
3 =
1
3
, δ∗
4 =
1
3
,
y el correspondiente valor de v(δ1, δ2, δ3, δ4) es
v
2
3
,
1
3
,
1
3
,
1
3
= 60 .
As´ı, 60 es una cota inferior para el valor de g0 sujeto a la restricci´on g1(t) ≤ 1. Encon-
trar el valor m´ınimo de g0 y un minimizador t∗
= (t∗
1, t∗
2, t∗
3) que conduce a este valor
m´ınimo, buscamos esos valores t∗
1, t∗
2, t∗
3 que fuerzan a la igualdad en las Desigualdades
Media-Geom´etrica de 2.1.2 y 3.1.1 y simult´aneamente en la restricci´on g1(t) ≤ 1. Si po-
demos encontrar tales t∗
1, t∗
2, t∗
3, entonces sabremos que el m´ınimo de g0(t) sujeto a esta
restricci´on es actualmente 60 y que t∗
= (t∗
1, t∗
2, t∗
3) es el punto minimizador.
Las condiciones de igualdad para las Desigualdades Media Geom´etrica Aritm´etica 2.1.2
y 3.1.1 implican que
40
2
3
t∗
1t∗
2t∗
3
=
40t∗
2t∗
3
1
3
= 60 ,
t∗
1t∗
3
2
3
=
t∗
1t∗
2
4
3
= K .
(¿Por qu´e los dos t´erminos en la primera ecuaci´on es igual a 60?) Ya que δ∗
3, δ∗
4 son positivos,
la igualdad se debe tener en la restricci´on g1(t) ≤ 1 de modo que
1 = δ3K + δ4K =
2
3
K ,
31
33. y por lo tanto K = 3
2
. Estas consideraciones nos llevan al siguiente sistema de ecuaciones:
t∗
1t∗
2t∗
3 = 1 ,
2t∗
2t∗
3 = 1 ,
t∗
1t∗
3 = 1 ,
t∗
1t∗
2 = 2 .
Podemos convertir este sistema a un sistema de ecuaciones lineales en log t∗
1, log t∗
2, log t∗
3
tomando logaritmos
log t∗
1 + log t∗
2 + log t∗
3 = 0 ,
log t∗
2 + log t∗
3 = − log 2 ,
log t∗
1 + log t∗
3 = 0 ,
log t∗
1 + log t∗
2 = log 2 .
Resolviendo este ´ultimo sistema tenemos que la ´unica soluci´on es t∗
1 = 2, t∗
2 = 1 y t∗
3 = 1
2
,
que son los valores que minimizan el problema inicial.
Comentarios sobre el problema anterior: Resolvimos el programa geom´etrico del
ejemplo anterior aplicando la Desigualdad Media Geom´etrica Aritm´etica 2.1.2 a la funci´on
obgetivo g0(t) y la Desigualdad Media Geom´etrica Aritm´etica Extendida 3.1.1 a la restric-
ci´on g1(t) ≤ 1. ¿Qu´e pasar´ıa si hubi´eramos aplicado 2.1.2 a las dos funciones?. Esto habr´ıa
resultado en el siguiente sistema de ecuaciones de δ1, δ2, δ3, δ4:
δ1 + δ2 = 1 ,
δ3 + δ4 = 1 ,
−δ1 + δ3 + δ4 = 0 ,
−δ1 + δ2 + δ4 = 0 ,
−δ1 + δ2 + δ3 = 0 .
Este es un sistema de ecuaciones inconsistente. En otra palabras, si usamos 2.1.2 en las
funciones objetivo y de restricci´on, y si a continuaci´on a˜nadimos las ecuacionies resultan-
32
34. tes de establecer los exponentes de t1, t2, t3 iguales a cero, se han impuesto demasiadas
restricciones sobre δ1, δ2, δ3, δ4.
Con la ayuda del Teorema de Karush-Kuhn-Tucker, podemos mostrar que la t´ecnica
aplicada al problema anterior funciona realmente, en general.
3.3. Programaci´on geom´etrica con restricciones.
Ahora desarrollaremos la t´ecnica mostradad en la secci´on anterior en el contexto general
de la programaci´on geom´etrica con restricciones (PG) definido en 3.1.1.
Debido a que cada uno de los k + 1 posinomiales en el programa geom´etrico con res-
triccioines est´andar (PG) Definici´on 3.1.1 puede consistir de varios t´erminos, tenemos que
organizar todos los t´erminos de manera que la notaci´on resultante sea simple y descriptiva.
Una forma razonable de hacerlo es empezar por contar los t´erminos de la funci´on objetivo
g0(t) de izquierda a derecha, enumer´andolos desde 1 hasta n0, y luego continuar contando
los t´erminos de la primera restricci´on posinomial g1(t) de izquierda a derecha, enumeran-
dolos desde n0 + 1 hasta n1, y as´ı sucesivamente hasta contar los t´erminos de la ´ultima
restricci´on posinomial gk(t) de izquierda a derecha, enumerandolos desde nk−1 + 1 hasta
nk = p. El t´ermino j’´esimo en este esquema de recuento se indica como sigue:
uj(t) = cjt
αj1
1 t
αj2
2 . . . tαjm
m .
Con este esquema notacional, podemos reescribir el programa geom´etrico con restricciones
33
35. est´andar (GP) como
(GP)
Minimizar g0(t) = u1(t) + · · · + un0 (t)
sujeto a las restricciones
g1(t) = un0+1(t) + · · · + un1 (t) ≤ 1 ,
· · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · · · · ·
· · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · · · · ·
gk(t) = unk−1+1(t) + · · · + unk
(t) ≤ 1 ,
donde t1 > 0, t2 > 0, . . . , tm > 0, y nk = p .
La aplicaci´on de la Desigualdades Media Geom´etrica Aritm´etica 2.1.2 y 3.1.1 s´olo a las
funciones g0(t), g1(t), . . . , gk(t) como en el ejemplo de la secci´on anterior 3.2.1 nos lleva a
considerar el siguiente programa:
(PGD)
Maximizar v(δ) = p
j=1
cj
δj
δj
k
i=1 λi(δ)λi(δ)
sujeto a las restricciones
δ1 + · · · + δn0 = 1 ,
α11δ1 + · · · + αp1δp = 0 ,
...
...
...
...
α1mδ1 + · · · + αpmδp = 0 ,
donde δi > 0 para i = 1, . . . , n0, y para cada k ≥ 1, ya sea
δi > 0 para todo i con nk−1 + 1 ≤ i ≤ nk o δi = 0 para todo i
con nk−1 + 1 ≤ i ≤ nk. Donde, λi(δ) = δni−1+1 + · · · + δni
.
El programa (PGD) es llamado el programa dual del (GP), la funci´on v(δ) es la funci´on
objetivo dual y las restricciones en (PGD) son las restricciones dual. Si δ1, δ2, . . . , δp son
n´umeros que satisfacen las restricciones dual en (PGD), entonces δ = (δ1, . . . , δp) es un
vector fatible para (PGD) y el (PGD) se dice que es consistente. Un vector δ∗
= (δ∗
1, . . . , δ∗
p)
34
36. que maximiza v(δ) en el conjunto de vectores factibles para (PGD) es una soluci´on de
(PGD).
Para el programa geom´etrico con restricciones considerado en el ejemplo de la secci´on
anterior, hay cuatro variables duales δ1, δ2, δ3, δ4 porque la funci´on objetivo y la ´unica
funci´on de restricci´on cada una contienen dos t´erminos. Hay un y s´olo vector δ = 2
3
, 1
3
, 1
3
, 1
3
que es factible para (PGD) por lo que es autom´aticamente una soluci´on de (PGD).
En general, el n´umero de variables dual en (PGD) es igual al n´umero total p(= nk)
de t´erminos en las funciones de restricci´on y objetivo de (GP). Note que las ecuaciones
de restricci´on en (PGD) son lineales, por lo que el problema de identificar los vectores
factibles de (PGD) se reduce a encontrar las soluciones del sistema de ecuaciones lineales
que tiene componentes no negativos. Tambi´en note que λi(δ) es simplimente la suma de
las componentes de δ que corresponden a los t´erminos de la i’´esima funci´on de restricci´on
gi(t) para i = 1, 2, . . . , k.
Antes de proceder al desarrollo de la relaci´on entre las soluciones del programa (GP)
y el correspondiente programa dual (PGD), vamos a resolver el dual de otro programa
geom´etrico concreto.
Ejemplo 3.3.1. Considere el programa geom´etrico.
Minimizar t1t−1
2 t2
3
sujeto a las restricciones
1
2
t3
1t2t−1
3 ≤ 1 ,
1
4
t
−1/2
1 +
1
4
t
−1/2
2 +
1
4
t3 ≤ 1 ,
donde t1 > 0, t2 > 0, t3 > 0 .
Soluci´on: La funci´on objetivo y las dos restricciones contienen un total de 5 t´erminos por
35
37. lo que hay 5 variables duales. las restricciones duales son
δ1 = 1 ,
δ1 + 3δ2 −
1
2
δ3 = 0 ,
−δ1 + δ2 −
1
2
δ4 = 0 ,
2δ1 − δ2 + δ5 = 0 ,
donde
δ1 > 0, δ2 ≥ 0, δ3 ≥ 0, δ4 ≥ 0, δ5 ≥ 0,
y la funci´on objetivo dual es
v(δ) =
1
δ1
δ1
1
2δ2
δ2
1
4δ3
δ3
1
4δ4
δ4
1
4δ5
δ5
(δ2)δ2
(δ3 + δ4 + δ5)δ3+δ4+δ5
El programa dado es consistente; de hecho, es incluso superconsistente porque, por ejemplo,
los valores t1 = 1, t2 = 1, t3 = 1 satisfacen ambas restricciones con desigualdades estrictas.
El programa dual es consistente; de hecho, es materia rutinaria verificar que la soluci´on
general de las cuatro ecuaciones de restricci´on dual son
δ1 = 1, δ2 = −
1
3
+
1
6
r, δ3 = r, δ4 = −
8
3
+
1
3
r, δ5 = −
7
3
+
1
6
r ,
donde r es un n´umero real arbitrario. Los requisito de que δi ≥ 0 para i = 1, 2, 3, 4, 5 a˜nade
la restricci´onadicional de que r ≥ 14 As´ı, el conjunto de puntos factibles para el programa
dual es
F = 1, −
1
3
, r, −
1
8
+
1
3
r , −
7
3
+
1
6
r : r ≥ 14 .
El teorema de Karush-Khun-Tucker no parece ser apliclable a los programas geom´etri-
cos, porque los posinomiales no necesariamente son funciones convexas. Por ejemplo, el
posinomial en un variable
g(t) = t1/2
, t > 0 ,
36
38. no es convexo. Sin embargo, cualquier posinomial g(t) puede ser transformado en una
funci´on convexa h(x) por los cambios de variables
tj = exj
, j = 1, 2, . . . , m . (∗)
M´as precisamente, si el cambio de variables (∗) es aplicado al posinomial
g(t) =
n
i=1
citαi1
1 tαi2
2 . . . tαim
m , ci > 0 ,
la correspondiente funci´on de x = (x1, x2, . . . , xm) es
h(x) =
n
i=1
cie
m
j=1 αij xj
,
y h(x) es convexo en Rn
en virtud del Teorema 3.1.3.
Esta observaci´on nos permite transformar el programa geom´etrico con restricciones
est´andar
(PG)
Minimizar g0
s.a. g1(t) ≤ 1, g2(t) ≤ 1, . . . , gk(t) ≤ 1 ,
donde t1 > 0, t2 > 0, . . . , tm > 0
en un programa convexo asociado
(GP)∗
Minimizar h0(x) sujeto a las restricciones
h1(x) − 1 ≤ 0, h2(x) − 1 ≤, . . . , hk(x) − 1 ≤ 0 ,
donde x ∈ Rm
,
via los cambios de variables ti = exi
para i = 1, 2, . . . , m. Es mas, porque t = ex
es una
funci´on estrictamente convexa. Los programas (GP) y (GP)∗
son equivalentes en el sentido
de que t∗
= (t∗
1, t∗
2, . . . , t∗
m) es una soluci´on para (GP) si y s´olo si x∗
= (x∗
1x∗
2, . . . , x∗
m) es
una soluci´on de (GP)∗
donde t∗
i = ex∗
i para i = 1, 2, . . . , m.
Estamos preparados para enunciar y demostrar el resultado central en la teor´ıa de
programaci´on geom´etrica con restricciones.
Teorema 3.3.1.
37
39. (1) Si t es un vector factible para el programa geom´etrico con restricciones (GP) y si δ es
un vector factible para el programa dual correspondiente (PGD), entonces
g0(t) ≥ v(δ) (la Desigualdad Primal − Dual) .
(2) Supongamos que el programa geom´etrico con restricciones (GP) es superconsistente y
que t∗
es una soluci´on para (GP). Entonces el correspondiente programa dual (PGD)
es consistente y tiene una soluci´on δ∗
que satisface
g0(t∗
) = v(δ∗
) ,
y
δ∗
i =
ui(t∗
)
g0(t∗)
, i = 1, . . . , n0 ,
λj(δ∗
)ui(t∗
) , i = nj−1 + 1, . . . , nj ; j = 1, . . . , k .
Demostraci´on:
(1) La Desigualdad Primal-Dual sigue inmediatamente de la definici´on de el programa dual
(PGD) y las Desigualdades Media Aritm´etica-Geom´etrica 2.1.2 y 3.1.1.
(2) Ya que (GP) es superconsistente, por lo que es el programa convexo asociado de (GP)∗
.
Tambi´en desde que (GP) tiene una soluci´on t∗
= (t∗
1, t∗
2, . . . , t∗
m), el programa convexo
asociado (GP)∗
tiene una soluci´on x∗
= (x∗
1, x∗
2, . . . , x∗
m) dada por
x∗
i = ln t∗
i , i = 1, 2, . . . , m .
De acuerdo al Teorema de Karush-Kuhn-Tucker 3.1.2, existe un vector λ∗
=
(λ∗
1, . . . , λ∗
k) tal que:
(a) λ∗
i ≥ 0 para i = 1, 2, . . . , k;
(b) λ∗
i (hi(x∗
) − 1) = 0 para i = 1, 2, . . . , k;
(c)
∂h0
∂xj
(x∗
) +
k
i=1
λ∗
i
∂hi
∂xj
(x∗
) = 0 para j = 1, . . . , m.
38
40. porque ti = exi
para i = 1, . . . , m, se deduce que para i = 0, 1, . . . , k
∂hi
∂xj
=
∂hi
∂tj
dtj
dxj
=
∂gi
∂tj
exj
,
as´ı la condici´on (c) es equivalente a
∂g0
∂tj
(t∗
) +
k
i=1
λ∗
i
∂gi
∂tj
(t∗
) = 0 , j = 1, 2, . . . , m (c’)
ya que exj
> 0 para j = 1, . . . , m. Pero t∗
j > 0 para j = 1, 2, . . . , m, por lo que (c’) es
equivalente a
t∗
j
∂g0
∂tj
(t∗
) +
k
i=1
λ∗
i t∗
j
∂gi
∂tj
(t∗
) = 0 , j = 1, . . . , m . (c”)
Porque los t´erminos de gi(t) son de la forma
uq(t) = cqt
αq1
1 t
αq2
2 . . . tαqm
m ,
es claro que
t∗
j
∂gi
∂tj
(t∗
) =
ni
q=ni−1+1
αqjuq(t∗
) , j = 1, . . . , m ,
as´ı (c”) implica que
0 =
n0
q=1
αqjuq(t∗
) +
k
r=1
nr
q=nr−1+1
λ∗
rαqjuq(t∗
) .
si dividimos la ´ultima ecuaci´on por
g0(t∗
) =
n0
q=1
uq(t∗
) ,
obtenemos
0 =
n0
q=1
αqj
uq(t∗
)
g0(t∗)
+
k
r=1
nr
q=nr−1+1
αqj
λ∗
ruq(t∗
)
g0(t∗)
.
Definir el vector δ∗
por
δ∗
q =
uq(t∗
)
g0(t∗)
, q = 1, 2, . . . , n0 ,
λ∗
ruq(t∗
)
g0(t∗)
, q = nr−1 + 1, . . . , nr, r = 1, . . . , k .
39
41. Note que δ∗
q > 0 para q = 1, 2, . . . , n0 y que, para cada r ≥ 1, ya sea δ∗
i > 0 para todo
i con nr−1 + 1 ≤ i ≤ nr o δ∗
i = 0 para todo i con nr−1 + 1 ≤ i ≤ nr de acuerdo al
correspondiente multiplicador λ∗
r de Karush-kuhn-Tucker, es positivo o cero. Tambi´en
observe que el vector δ∗
satisface todas las m ecuaciones de restricci´on exponenciales
en (PGD) as´ı como la restricci´on
n0
q=1
δ∗
q =
n0
q=1
uq(t∗
)
g0(t∗)
= 1 .
Por lo tanto, δ∗
= (δ∗
1, . . . , δ∗
p) es un vector factible para (PGD).
Los multiplicadores λ∗
r de Karush-kuhn-Tucker est´an relacionados con las correspon-
dientes λr(δ∗
) en (PGD) com sigue:
λr(δ∗
) =
nr
q=nr−1+1
δ∗
q
nr
q=nr−1+1
λ∗
r
uq(t∗
)
g0(t∗)
= λ∗
r
gr(t∗
)
g0(t∗)
para r = 1, . . . , k. La condici´on (b) de Karush-Kuhn-Tucker nos da
λ∗
r(gr(t∗
) − 1) = 0 , r = 1, . . . , k , (b’)
por lo que λ∗
rgr(t∗
) = λ∗
r para r = 1, . . . , k. Por lo tanto, para r = 1, . . . , k y q =
nr−1 + 1, . . . , nr, vemos que
δ∗
q =
λ∗
ruq(t∗
)
g0(t∗)
=
λ∗
rgr(t∗
)uq(t∗
)
g0(t∗)
= λr(δ∗
)uq(t∗
) . (∗)
El hecho de que δ∗
es factible en (PGD) y que t∗
es factible en (GP) implica que
g0(t∗
) ≥ v(t∗
)
debido a la Desigualdad Prima-Dual (1). Por otra parte, los valores de δ∗
q en q =
1, 2, . . . , p son precisamente los que fuerzan a la igualdad en las Desigualdades Media
Aritm´etica-Geom´etrica 2.1.2 y 3.1.1 que se utiliza para obtener la Desigualdad de
Dualidad. Finalmente, la ecuaci´on (b’) muestra que o bien gr(t∗
) = 1 o λ∗
r = 0 para
r = 1, 2, . . . , k y la ecuaci´on (∗) muestra que λ∗
r = 0 si y s´olo si λr(δ∗
) = 0 para
r = 1, . . . , k. Esto significa que los valores de δ∗
q en ralidad fuerzan a la igualdad en la
Desigualdad Prima-Dual. Esto completa la demostraci´on.
40
42. La segunda afirmaci´on del teorema anterior implica que si (GP) es un programa
geom´etrico superconsistente para el cual el dual (PGD) es no consistente, entonces (GP)
no tiene soluci´on.
41
43. Bibliograf´ıa
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42