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Subido porAlvaro Miguel Naupay Gusukuma
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Este documento presenta la resolución de varios ejercicios de cálculo. Incluye la verificación de puntos de acumulación, demostración de límites, cálculo de límites usando álgebra de límites, y determinación de parámetros para que una función cumpla ciertas condiciones en sus límites.
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- 1. P-UNI IP-UNI FIP-UNI FIP-UNI FIP-UNI FIP-UNI FIP-UNI FIP-UNI FIP-UNI FIP-UNI FIP-UN FIP-U Universidad Nacionalde Ingenier´ıa Facultad de Ingenier´ıa de Petr´oleo, Gas Natural y Petroqu´ımica Ciclo 2015-II Pr´actica Calificada №3 de C´alculo I (PM-111) Profesor : Alvaro Naupay Gusukuma. Fecha : 13 de Octubre de 2015 1. Responder los siguiente y justificar: (4pts.) a) Sea A “ r0, 1y Y x1.1, 3s, ¿es 1 punto de acumulaci´on de A?. SOLUCI´ON : S´ı, 1 es un punto de acumulaci´on de A porque @ε ą 0 se cumple que A X I1 p1, εq ‰ H donde I1 p1, εq “ x1 ´ ε, 1 ` εyzt1u. b) Sea A “ x0, 1y y a P R fijo. Si a es un punto de acumulaci´on de A y Ac a la vez entonces a “ 0 ´o a “ 1 SOLUCI´ON : a) Si a P R con 0 ă a ă 1, tenemos que para ε “ 1 4 m´ınta, 1´au se tiene que AXI1 pa, εq “ H y Ac X I1 pa, εq “ H, entonces ning´un a P x0, 1y es punto de acumulaci´on de A y Ac . b) An´alogamente, si a P R con a ă 0 o 1 ă a, no puede ser punto de acumulaci´on de A y Ac . c) Por otra parte, si a “ 1 o a “ 0, estos si son puntos de acumulaci´on de A y Ac , ya que @ε ą 0, A X I1 pa, εq ‰ H y @ε ą 0, Ac X I1 pa, εq ‰ H Por lo tanto si a es punto de acumulaci´on de A y Ac a la vez entonces por lo hecho en (a), (b) y (c) las ´unicas opciones son que a “ 0 ´o a “ 1. 2. Demostrar los siguientes l´ımites: (4pts.) a) l´ım xÑ2 p3x2 ´ x ´ 2q “ 8 SOLUCI´ON : Tenemos que demostrar que @ε ą 0, Dδ ą 0, tal que 0 ă |x ´ 2| ă δ entonces |3x2 ´ x ´ 2 ´ 8| ă ε . Sea ε ą 0 fijo (porque es positivo) pero arbitrario ( porque puede ser cualquier positivo). En busca de un delta adecuado para este ε. Primero busquemos una relaci´on entre |x ´ 2| y |3x2 ´ x ´ 2 ´ 8|, transformando este ´ultimo valor absoluto |3x2 ´ x ´ 2 ´ 8| “ 3 ˇ ˇ ˇ ˇx2 ´ x 3 ´ 10 3 ˇ ˇ ˇ ˇ “ 3 ˇ ˇ ˇ ˇx2 ´ 4x ` 4 ` 4x ´ x 3 ´ 4 ´ 10 3 ˇ ˇ ˇ ˇ
- 2. P-UNI IP-UNI FIP-UNI FIP-UNI FIP-UNI FIP-UNI FIP-UNI FIP-UNI FIP-UNI FIP-UNI FIP-UN FIP-U “ 3 ˇ ˇ ˇ ˇpx´ 2q2 ` 11 3 px ´ 2q ˇ ˇ ˇ ˇ “ |3px ´ 2qpx ´ 2q ` 11px ´ 2q| aplicando la desigualdad triangular tenemos que |3x2 ´ x ´ 2 ´ 8| ď 3|x ´ 2||x ´ 2| ` 11|x ´ 2| . (a) Por otra parte. i) Si 0 ă |x ´ 2| ă δ ď δ1 para alg´un δ1 ą 0, entonces |x ´ 2| ă δ1, reemplazando esto en (a) tenemos que |3x2 ´ x ´ 2 ´ 8| ă 3δ1|x ´ 2| ` 11δ1 (b) ii) (En busca de un δ1 adecuado). Ahora la idea es acotar num´ericamente |x ´ 2|, entonces. Si tambi´en se cumpliera que 0 ă |x ´ 2| ă δ ď 1, entonces |x ´ 2| ă 1, reemplazando esto en (b) tenemos que |3x2 ´ x ´ 2 ´ 8| ă 3δ1|x ´ 2| ` 11δ1 ă 3δ1 ` 11δ1 “ 14δ1 . (c) Luego haciendo 14δ1 “ ε tenemos que el δ1 adecuado en funci´on de ε es δ1 “ ε 14 . Reemplazando este δ1 en (c) tenemos que |3x2 ´ x ´ 2 ´ 8| ă ε Finalmente nuestro delta adecuado es δ “ m´ın ! ε 14 , 1 ) , ya que con esto podemos decir que δ ď δ1 “ ε 14 entonce se cumple (i) ^ δ ď 1 entonces tambi´en se cumple (ii) por lo que podemos concluir que |3x2 ´ x ´ 2 ´ 8| ă ε b) l´ım xÑ0 3x ´ 1 x ´ 2 “ 1 2 SOLUCI´ON : Tenemos que demostrar que @ε ą 0, Dδ ą 0, tal que 0 ă |x| ă δ entonces ˇ ˇ ˇ ˇ 3x ´ 1 x ´ 2 ´ 1 2 ˇ ˇ ˇ ˇ ă ε . Sea ε ą 0 fijo (porque es positivo) pero arbitrario ( porque puede ser cualquier positivo). En busca de un delta adecuado para este ε. Primero busquemos una relaci´on entre |x| y ˇ ˇ ˇ ˇ 3x ´ 2 x ´ 1 ´ 1 2 ˇ ˇ ˇ ˇ, transformando este ´ultimo valor absoluto ˇ ˇ ˇ ˇ 3x ´ 1 x ´ 2 ´ 1 2 ˇ ˇ ˇ ˇ “ ˇ ˇ ˇ ˇ 5x 2px ´ 2q ˇ ˇ ˇ ˇ “ 5 |x| 2 |x ´ 2| (a) Por otra parte
- 3. P-UNI IP-UNI FIP-UNI FIP-UNI FIP-UNI FIP-UNI FIP-UNI FIP-UNI FIP-UNI FIP-UNI FIP-UN FIP-Ui) Si 0ă |x| ă δ ď δ1 para alg´un δ1 ą 0, entonces |x| ă δ1, reemplazando esto en (a) tenemos que ˇ ˇ ˇ ˇ 3x ´ 1 x ´ 2 ´ 1 2 ˇ ˇ ˇ ˇ ă 5δ1 2|x ´ 2| (b) ii) (En busca de un δ1 adecuado). Ahora la idea es acotar num´ericamente |x ´ 2|, entonces. Si tambi´en se cumpliera que 0 ă |x| ă δ ď 1, entonces |x| ă 1 es decir ´1 ă x ă 1, ´3 ă x ´ 2 ă ´1, ´1 ă 1 x ´ 2 ă ´ 1 3 , de lo cual 1 |x ´ 2| ă 1, reemplazando esto ´ultimo en (b) tenemos que ˇ ˇ ˇ ˇ 3x ´ 1 x ´ 2 ´ 1 2 ˇ ˇ ˇ ˇ ă 5δ1 2 (c) Luego haciendo 5δ1 2 “ ε tenemos que el δ1 adecuado en funci´on de ε es δ1 “ 2 5 ε. Reemplazando este δ1 en (c) tenemos que ˇ ˇ ˇ ˇ 3x ´ 1 x ´ 2 ´ 1 2 ˇ ˇ ˇ ˇ ă ε Finalmente nuestro delta adecuado es δ “ m´ın " 2 5 ε, 1 * , ya que con esto podemos decir que δ ď δ1 “ 2 5 ε entonce se cumple (i) ^ δ ď 1 entonces tambi´en se cumple (ii) por lo que podemos concluir que ˇ ˇ ˇ ˇ 3x ´ 1 x ´ 2 ´ 1 2 ˇ ˇ ˇ ˇ ă ε 3. Usando ´algebra de l´ımites calcular (4pts.) a) l´ım xÑ64 ? x ´ 8 3 ? x ´ 4 SOLUCI´ON : Haciendo y6 “ x, tenemos que cuando x Ñ 64 entonces y Ñ 2, luego reemplazando esto en el l´ımite tenemos l´ım xÑ64 ? x ´ 8 3 ? x ´ 4 “ l´ım yÑ2 y3 ´ 8 y2 ´ 4 “ l´ım yÑ2 py ´ 2qpy2 ` 2y ` 4q py ´ 2qpy ` 2q “ l´ım yÑ2 y2 ` 2y ` 4 y ` 2 “ 4 ` 4 ` 4 2 ` 2 “ 3 b) l´ım xÑ´2 3 ? 3x ` 5 ` x ` 3 3 ? x ` 1 ` 1
- 4. P-UNI IP-UNI FIP-UNI FIP-UNI FIP-UNI FIP-UNI FIP-UNI FIP-UNI FIP-UNI FIP-UNI FIP-UN FIP-USOLUCI´ON : l´ım xÑ´2 3 ? 3x `5 ` x ` 3 3 ? x ` 1 ` 1 “ l´ım xÑ´2 p 3 ? 3x ` 5 ` 1q ` px ` 2q 3 ? x ` 1 ` 1 “ l´ım xÑ´2 3 ? 3x ` 5 ` 1 x ` 2 ` x ` 2 x ` 2 3 ? x ` 1 ` 1 x ` 2 “ l´ım xÑ´2 3 p 3 ? 3x ` 5q2 ´ 3 ? 3x ` 5 ` 1 ` 1 1 p 3 ? x ` 1q2 ´ 3 ? x ` 1 ` 1 “ 3 1 ` 1 ` 1 ` 1 1 1 ` 1 ` 1 “ 2 1 3 “ 6 4. Sea la siguiente funci´on (4pts.) fpxq “ " bx2 ` ab si x ě 0 2px2 ` bq1{2 ´ b si x ă 0 hallar a y b para que l´ım xÑ0 fpxq “ fp0q y fp1q “ 1. SOLUCI´ON : Como queremos que se cumpla l´ım xÑ0 fpxq “ fp0q, entonces los l´ımites laterales tienen que ser iguales, es decir l´ım xÑ0` fpxq “ fp0q “ l´ım xÑ0´ fpxq de este tenemos que ab “ 2b1{2 ´ b (1) por otra parte como tambi´en queremos que fp1q “ 1, entonces se debe cumplir que b ` ab “ 1 (2) reemplazando (1) en (2) tenemos que b “ 1 4 , adem´as reemplazando esto en (2) tenemos que a “ 3. 5. Decir si existe o no el siguiente l´ımite (4pts.) l´ım xÑ7{3 a |x| ` v3xw SOLUCI´ON : Sea 2 ď x ă 7 3 , entonces 6 ď 3x ă 7, por lo tanto v3xw “ 6, hallando el l´ımite por la izquierda tenemos que l´ım xÑ7{3´ a |x| ` v3xw “ l´ım xÑ7{3´ ? x ` 6 “ 5 ? 3 3 Por otra parte, sea 7 3 ď x ă 8 3 , entonces 7 ď 3x ă 8, por lo tanto v3xw “ 7, hallando el l´ımite
- 5. P-UNI IP-UNI FIP-UNI FIP-UNI FIP-UNI FIP-UNI FIP-UNI FIP-UNI FIP-UNI FIP-UNI FIP-UN FIP-Upor la derechatenemos que l´ım xÑ7{3` a |x| ` v3xw “ l´ım xÑ7{3` ? x ` 7 “ c 28 3 Como los l´ımites laterales son diferentes por lo tanto el l´ımite no existe.