Vibración de un grado de libertad

Sistemas de 01 GDL
La vibración es un movimiento oscilatorio de un cuerpo o sistema de cuerpos
conectados, desplazados desde su posición de equilibrio, Pueden darse 2 tipos:
-Vibración libe: Ocurre cuando el movimiento se mantiene por fuerzas gravitacionales
o por fuerzas restauradoras elásticas, tales como el movimiento oscilatorio de un
péndulo o la vibración de una barra elástica.
-Vibración forzada: Es causada por una fuerza exterior con una variación en el tiempo
en su aplicación al sistema, todo sistema que posea masa y rigidez es capaz de vibrar.
La diferencia en una fuerza estática con una fuerza dinámica va depender de su
periodo fundamental de vibración, si la fuerza se aplica de una manera lenta y el
tiempo de aplicación es mayor al periodo de la estructura entonces seria una fuerza
estática, caso contrario es una fuerza dinámica

Sistemas de 01 GDL
Vibración libre de un grado de libertad:
Se dice que una estructura experimenta vibración libre cuando es perturbada de su posición de equilibrio
estático y después se deja vibrar sin ninguna excitación dinámica externa. Aunque el amortiguamiento en las
estructuras reales se debe a varios mecanismos de disipación de la energía que actúan de manera simultanea,
un enfoque matemáticamente practico consiste en idealizarlos mediante el amortiguamiento viscoso
equivalente.
Se conoce como 01 grado de libertad cuando la posición del sistema puede ser definida por una sola
coordenada.
ecuación de equilibrio:
= masa x aceleración
= amortiguamiento x velocidad
= rigidez x desplazamiento
Reservorio de tanque elevado

Sistemas de 01 GDL
Vibración libre sin amortiguamiento:
Para los sistemas sin amortiguamiento (c=0):
Definiendo la frecuencia natural, el periodo
Y la frecuencia como:
Partiendo el sistema inicial con t=0:

Sistemas de 01 GDL
Vibración libre sin amortiguamiento:

Sistemas de 01 GDL
Vibración libre con amortiguamiento:
Para los sistemas con amortiguamiento se especifica como:
Definiendo el amortiguamiento critico y la fracción de amortiguamiento critico como:
Partiendo el sistema inicial de t=0:

Sistemas de 01 GDL
Vibración libre con amortiguamiento:

Sistemas de 01 GDL
Ejercicio 01:
Un sistema de 01GDL tiene las propiedades siguientes: m=0.2533 kip-s2/pulg, k=10kips/pulg. Determine las
respuestas en vibración libre sin amortiguamiento debido a una velocidad inicial de 40 cm/s.
Datos:
Aplicando las formulas anteriores de vibración libre sin amortiguamiento en ecuación diferencial:
Desplazamiento
Velocidad
Aceleración

Sistemas de 01 GDL
Ejercicio 01:
Datos:
T=2𝜋/wn T=2𝜋 ∗ 𝑚/𝑘 Wn=2𝜋/T
T= 2𝜋 ∗
0.2533
10
= 1.00 s Wn= 2𝜋/1.00 = 6.2832 rad/s

Sistemas de 01 GDL
Ejercicio 01:
Datos: Aplicando la formula de desplazamiento para t=0s hasta t=5s
Para t=0 s tenemos:
u=
u= 0 cm
Para t=0.02 s tenemos:
u=
u= 0.79789 cm

Sistemas de 01 GDL
-8.00
-6.00
-4.00
-2.00
0.00
2.00
4.00
6.00
8.00
0
0.12
0.24
0.36
0.48
0.6
0.72
0.84
0.96
1.08
1.2
1.32
1.44
1.56
1.68
1.8
1.92
2.04
2.16
2.28
2.4
2.52
2.64
2.76
2.88
3
3.12
3.24
3.36
3.48
3.6
3.72
3.84
3.96
4.08
4.2
4.32
4.44
4.56
4.68
4.8
4.92
Desplazamiento Elastico en el Tiempo
Series1

Sistemas de 01 GDL
Ejercicio 01:
Datos: Aplicando la formula de velocidad para t=0s hasta t=5s
Para t=0 s tenemos:
Ù=
Ù= 40 cm/s
Ù =
Ù = 39.684 cm/s

Sistemas de 01 GDL
-50.00
-40.00
-30.00
-20.00
-10.00
0.00
10.00
20.00
30.00
40.00
50.00
0
0.14
0.28
0.42
0.56
0.7
0.84
0.98
1.12
1.26
1.4
1.54
1.68
1.82
1.96
2.1
2.24
2.38
2.52
2.66
2.8
2.94
3.08
3.22
3.36
3.5
3.64
3.78
3.92
4.06
4.2
4.34
4.48
4.62
4.76
4.9
Velocidad Elastica en el Tiempo
Series1

Sistemas de 01 GDL
Ejercicio 01:
Datos: Aplicando la formula de aceleración para t=0s hasta t=5s
Para t=0 s tenemos:
ü=
ü= 0 cm/s2
ü =
ü = -31.50 cm/s2

Sistemas de 01 GDL
-300.00
-200.00
-100.00
0.00
100.00
200.00
300.00
0
0.16
0.32
0.48
0.64
0.8
0.96
1.12
1.28
1.44
1.6
1.76
1.92
2.08
2.24
2.4
2.56
2.72
2.88
3.04
3.2
3.36
3.52
3.68
3.84
4
4.16
4.32
4.48
4.64
4.8
4.96
Aceleracion Elastica en el Tiempo
Series1

Sistemas de 01 GDL
Ejercicio 02:
respuestas en vibración libre con amortiguamiento debido a una velocidad inicial de 40 cm/s.
Datos:
aplicamos la formula para un t=0 hasta t=5 sucesivamente
Para t=0 s tenemos:
u=
u= 0 cm

Sistemas de 01 GDL
Ejercicio 02:
Datos:
u=
u= 0.792904 cm

Sistemas de 01 GDL
Ejercicio 02:
-6.00
-4.00
-2.00
0.00
2.00
4.00
6.00
8.00
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
3
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
4
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
5
Desplazamiento Elastico en el Tiempo E=0.05
Series2

Sistemas de 01 GDL
Ejercicio 02:
Datos:
formula críticamente amortiguado
esta formula aplicaremos cuando
Para t=0 s tenemos: Para t=0.02 s tenemos:
u= u=
u= 0 cm u= 0.70557 cm

Sistemas de 01 GDL
Ejercicio 02:
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
0
0.12
0.24
0.36
0.48
0.6
0.72
0.84
0.96
1.08
1.2
1.32
1.44
1.56
1.68
1.8
1.92
2.04
2.16
2.28
2.4
2.52
2.64
2.76
2.88
3
3.12
3.24
3.36
3.48
3.6
3.72
3.84
3.96
4.08
4.2
4.32
4.44
4.56
4.68
4.8
4.92
Desplazamiento Elástico en el Tiempo E=1.0
Series2

Sistemas de 01 GDL
Ejercicio 03:
El sistema mostrado tiene una constante k=40lb/in y m=38.6 lb peso. Si el sistema esta en reposo cuando la
fuerza P(t)=10 cos 10t actúa, determine la ecuación que describe el movimiento.
A Y
k P(t)=10cos10t
Sol:
Movimiento = Y(t)=C1∗sen(wt)+C2∗cos(wt)+
𝑌𝑠𝑡
1−𝑟2*cos(ŵ)*t
gravedad = 386.22047244094 in/s 2
w=
𝑘
𝑚
=
40 𝑙𝑏
38.6 𝑙𝑏
∗ 386.22𝑖𝑛/𝑠2= 20 rad/s r=
ŵ
𝑤
=
10
20
= 0.50
Yst=
𝑃𝑜
𝑘
=
10 𝑙𝑏
40 𝑙𝑏/𝑖𝑛
= 0.25 𝑖𝑛
𝑌𝑠𝑡
1−𝑟2 =
0.25
1−𝑟2=0.33 in
m

Sistemas de 01 GDL
Ejercicio 03:
El sistema mostrado tiene una constante k=40lb/in y m=38.6 lb peso. Si el sistema esta en reposo cuando la fuerza
P(t)=10 cos 10t actúa, determine la ecuación que describe el movimiento.
A Y
k P(t)=10cos10t
Condiciones iniciales: Y(t)=0 Ỳ(t)=0 t=0
O=C1sen(20*0)+C2cos(20*0)+0.33cos(10*0) Ỳ(t)=wC1cos(wt)-wC2sen(wt)-ŵ
𝑌𝑠𝑡
1−𝑟2sen(ŵt)
O=0+C2(1)+0.33(1) O=wC1cos(20*0)-wC2sen(20*0)-ŵ
𝑌𝑠𝑡
1−𝑟2sen(10 ∗ 0)
C2= -0.33in O=20C1(1)-0-0 C1=0
Respuesta: Y(t)=-0.33cos(20t)+0.33cos(10t)
m

Sistemas de 01 GDL
Ejercicio 04:
Un sistema de 01 GDL tiene una Wn=5 rad/s y un factor de amortiguación 20%. Si las condiciones iniciales son
X(0)=0, X(0)=20 in/s, determine la frecuencia amortiguada y la expresión del movimiento t>0.
k
Sol:
Frecuencia amortiguada (fd) =
𝑊𝑑
2𝞹
𝑊𝑑=Wn* 1 − 𝞷2
Wd=5 1 − 0.202 = 4.90
𝑟𝑎𝑑
𝑠
Fd=
4.90
2𝞹
= 0.78 𝐻𝑧. frecuencia amortiguada
m

Sistemas de 01 GDL
Ejercicio 04:
Un sistema de 01 GDL tiene una Wn=5 rad/s y un factor de amortiguación 20%. Si las condiciones iniciales son
X(0)=0, X(0)=20 in/s, determine la frecuencia amortiguada y la expresión del movimiento t>0.
k
Sol:
X(t)= 𝑒−5𝑊𝑛∗𝑡
(c1cos(Wd*t)+C2sen(Wd*t)
Cuando: t=0, x(0)=0 O=𝑒0
(c1cos(0)+C2sen(0)
C1=0
X(t)=𝑒−5𝑊𝑛∗𝑡
(-Wd*C1sen(Wd*t)+ Wd*C2cos(Wd*t) - 5𝑊𝑛 ∗ 𝑒−5𝑊𝑛∗𝑡
(C1cos (Wd*t)+ C2sen(Wd*t)
O=𝑒0
(0+Wd*C2*1 - 5𝑊𝑛 ∗ 𝑒0
(0*1+C2*0)
C2=
20
4.49
=4.08 in X(t)= 𝑒−𝑡
∗ (4.08𝑠𝑒𝑛( )
4.9𝑡 )
expresión del movimiento t>0
m

Ejercicios de 1 GDL
A.-Un sistema vibratorio que consta de un peso de W = 10 lb y un resorte con rigidez
k = 20 Ib/in está viscosamente amortiguado de modo que la relación de dos
amplitudes consecutivas es 1,00 a 0,85. Determinar:
1.La frecuencia natural del sistema no amortiguado.
2. El decremento logarítmico.
3. La relación de amortiguamiento.
4. El coeficiente de amortiguamiento.
5. La frecuencia natural amortiguada.
1. La frecuencia natural no amortiguada del sistema en radianes por
segundo es
o en ciclos por segundo
Solución:

2. El decremento logarítmico viene dado por:
3. La relación de amortiguamiento es aproximadamente igual a:
4. El coeficiente de amortiguamiento es:

5. La frecuencia natural del sistema amortiguado es:

Solución:
B.- Una plataforma de peso W = 4000 Ib está sostenida por cuatro columnas
iguales que están sujetas tanto a la cimentación como a la plataforma.
Experimentalmente se ha determinado que una fuerza estática de F = 1000 Ib
aplicada horizontalmente a la plataforma produce un desplazamiento de ∆ = 0.10 in.
Se estima que el amortiguamiento en las estructuras es del orden del 5% del
amortiguamiento crítico. Determinar para esta estructura lo siguiente:
1.- Frecuencia natural no amortiguada.
2. Coeficiente de amortiguamiento absoluto
3. Decremento logarítmico.
4. El número de ciclos y el tiempo requerido para que la amplitud de movimiento se
reduzca de un valor inicial de 0,1 a 0,01 pulg.
1. El coeficiente de rigidez (fuerza por unidad de desplazamiento) se
calcula como y la frecuencia natural no
amortiguada

2. El amortiguamiento crítico
es
y la amortiguación absoluta
3. Aproximadamente, el decremento logarítmico
es

y la relación de dos amplitudes
consecutivas
4. La relación entre la primera amplitud Uo y la amplitud Uk
después de k ciclos se pueden expresar como
Luego tomando el logaritmo natural, obtenemos

La frecuencia amortiguada ωD viene dada
por
y el periodo amortiguado TD , está dado por:
Entonces el tiempo para ocho ciclos
es

C.- Una máquina que pesa 1000 Ib está montada sobre resortes que tienen una rigidez
total k = 2000 Ib/in a una viga apoyada simple como se muestra en la figura (a).
Determine usando el modelo analítico que se muestra en la figura (b) la masa
equivalente mE, el resorte equivalente constante kE y el coeficiente de amortiguamiento
equivalente CE para el sistema que se supone tienen el 10% del amortiguamiento
crítico. Desprecie la masa de la viga.
(a) Sistema para el ejemplo
ilustrativo (b) Modelo analítico.

Solución:
La constante de resorte kb para una viga uniforme simple apoyada
se obtiene de la deflexión d resultante de una fuerza P aplicada en el
centro de la viga:
Por eso:

Luego se calcula la constante de resorte equivalente usando la
ecuación, para dos resortes en un serie:
La masa equivalente es:
El amortiguamiento crítico se calcula a partir de la ecuación
:

A continuación, se calcula el coeficiente de
amortiguamiento CE a partir de la ecuación:

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