Esta presentación muestra qué es una tesela, sus características principales y cómo se diseñan o crean mediante una figura geométrica base para posteriormente llevarlas al simulador y tenerlas hechas a través de él.

2. Colegio de Bachilleres Plantel 13 “Xochimilco –Tepepan” Guía para el Proyecto: “Jugando con Simuladores” Tema: TESELAS Materia: Matemáticas ΙV Profesores: Lilia Elena López Ramos y Eduardo López Pérez Cuarto semestre

4. Introducción: El proyecto se desarrollará de acuerdo al tema de teselas, esto es un método que se utiliza para poder formar mosaicos a partir de figuras regulares y estas en algunas ocasiones se van modificando como es el caso de la teselación que pretendemos hacer, en este ejemplo se utilizarán como base el triangulo, así como el hexágono, también se realizarán algunos cortes, y éstos se unirán para lograr formar una teselación de mariposas.

5. Problemática. Juan quería remodelar su recamara, ya que pensaba que se veía un poco mal de acuerdo a sus gustos, y para esto se le ocurrió que podría llamarle a un diseñador de interiores para que le diera opciones de cómo decorar su recamara. El día que llego el diseñador, comenzó a observar la habitación. Después de haber analizado le dio algunas opciones. A Juan le pareció mucho una idea, en la que mencionaba que la pared que se encontraba frente a su cama podía colocar un mosaico, sin embargo Juan tenía que contratar a un artesano que le hiciera el mosaico.

6. Días después Juan le marco y este le dijo que tenía que darle las medidas del tamaño que deseaba tener su mosaico en la pared. Juan le dijo que quería que tuviera las siguientes medidas: 1mtr. x 80 cm, también quería que fue un poco colorido, el señor le dijo que dentro de un mes y medio su cuadro iba a estar listo. Juan quedo conforme con la buena atención que le había dado, esperaba que su cuadro quedara como él quería y que se lo entregara en la fecha que habían acordado.

7. ANTECEDENTES. El arte del mosaico es tan antiguo como la más remota de las civilizaciones. Los ejemplos de este arte son mucho mas numerosos y abarcan una gran diversidad de culturas y periodos. En el mundo griego desde muy temprano (desde fines del siglo V a. C.) el pavimento estaba compuesto por guijas de río de tamaños y de colores distintos. Con estas guijas se hacían dibujos sencillos de temas geométricos. A finales del siglo III a. C., las teselas vinieron a sustituir estos guijarros policromos.

8. Nuestro país, y en general, las culturas mesoamericanas, poseen una enorme riqueza en sus artesanías; en ellas, además de su belleza, podemos observar una enorme cantidad de formas interesantes. Este tipo de diseños no es exclusivo de las culturas mesoamericanas, y podemos encontrar diversos patrones geométricos desde las primeras civilizaciones

9. TESELAS Los matemáticos denominan a esta actividad “teselar el plano”, o bien, embaldosar, o tapizar el plano. Estas son cada una de las piezas de cualquier material que forman un mosaico, estas puedes ser piezas de forma cúbica, hechas de rocas calcáreas o materiales de vidrio o cerámicas. Para clasificar las teselaciones por medio de sus teselas, primeramente necesitamos saber que significa tener distintos tipos de teselas.

10. Dos teselas son congruentes si tienen el mismo tamaño y forma.

11. Es posible que dos teselas no sean congruentes porque tienen distinta forma o bien porque tienen tamaños diferentes como vemos en las siguientes figuras:

12. Teselaciones regulares Una teselación regular es aquella que esta realizada con un solo tipo de polígonos. Teniendo en cuenta que la suma de los ángulos que concurren en cada vértice ha de ser 360º

13. La malla de triángulosequiláteros El reticulado cuadrado como el del tablero de ajedrez La configuración hexagonal, como la de los paneles.

14. POLIGOS REGULARES. Un polígono regular es un figura en la que todos los lados tienen la misma longitud y todos los ángulos interiores son de la misma medida. Una característica de los polígonos regulares, es que se pueden trazar inscritos en una circunferencia que tocará cada uno de los vértices del polígono.

15. TRIANGULO El triángulo es un polígonoformado por tres lados y tres ángulos. Para calcular el área se emplea la siguiente fórmula: Área del triángulo = (base  altura) / 2 A B h La suma de los ángulos de un triángulo vale 180º A + B + C = 180° Los lados se escriben en minúscula, con las mismas letras de los vértices opuestos. Los ángulos se escriben igual que los vértices.

16. HEXAGONO El hexágono regular es un polígono de seis lados y seis ángulos iguales. Los triángulos formados al unir el centro con todos los vértices, son equiláteros.

17. Teselaciones semi-regulares. Son aquellas que contienen 2 o más polígonos regulares en su formación. Una teselación semirregular tiene las siguientes propiedades: 1) Está formada sólo por polígonos regulares. 2) El arreglo de polígonos es idéntico en cada vértice.

18. TESELACIONES IRREGULARES. Los teselados irregulares están construidos a partir de polígonos regulares e irregulares que al igual que todas las teselaciones cubren toda la superficie sin sobreponerse y sin dejar espacios vacíos. La distribución de los polígonos en los distintos vértices es cíclica, pueden darse 3, 4, 5 y más distribuciones que . harán que la periodicidad sea más espaciada requiriendo dibujar una . gran porción de la tesela para poder . ver un ciclo completo

20. Las isometrías Las isometrías ("iso", igual; "metría", medida) son simetrías que conservan la forma y el tamaño. La homotecia es una simetría en el sentido que produce una copia que conserva el aspecto de la imagen original, pero no es una isometría porque no conserva el tamaño.

21. Traslación. Consiste en desplazar todo el mosaico cierta distancia en determinada dirección. Todos los mosaicos periódicos tienen dos traslaciones independientes

22. Rotación. Consiste en girar el motivo cierto ángulo respecto a un punto (centro de rotación). Llamamos orden de rotación al divisor de 360º que nos da el ángulo. Si el orden es 1 no hay giro (360º/1 es equivalente a 0º), si el orden es 2 el giro es de 180º, si es 3 de 120º, etc.

23. Reflexión o simetría axial. Consiste en darle la vuelta al motivo (giro espacial de 180º alrededor de una recta), o, equivalentemente, reflejarlo en un espejo (eje de reflexión).

24. Reflexión desplazada. Consiste en reflejar el motivo y después trasladar la copia medio azulejo en la dirección del eje de reflexión

25. Desarrollo de la teselación (Ejemplo 1.) se forma un triangulo ABC de 7 cm cada lado, con la ayuda de un compas y una regla. B A Con un compas se marca la mediatriz del segmento BC y AC partiendo del punto C; el punto que corta el segmento BC será el punto M, este se unirá con el vértice A B A

26. La línea AM se dividirá en dos partes iguales a partir de ahí cada mitad se dividirá en 4 partes iguales, (entre estos habrá una distancia de 0.7 cm), el punto medio se une con el punto medio de la mediatriz del segmento AC. C Al igual que la línea producida por los segmentos AB y AM se dividirá en 2, este será de una distancia de 0.9 cm. los puntos marcados se ubicaran sobre la curva con el compas antes marcada y después se unirá. B A

27. se hace una línea del punto C hasta el segundo punto marcado sobre el línea AM, se divide en 2 (1.8 cm), después se aumentara 0.5 cm hacia arriba, esta nueva línea se dividirá en 3 cada mitad (0.6 cm) para ir marcando los demás puntos con una curva. C B A a partir de la figura hecha en el triangulo se forma un hexágono con triángulos equiláteros. El punto A se encontrara en el centro del polígono.

28. Dentro del hexágono se formara otro a la mitad del original. Después de esto todo el proceso se vuelve a repetir hasta lograr llegar a la teselación deseada.

29. Un ejemplo 2: Aquí se pretende trabajar la siguiente figura:

30. Paso 1.

31. Paso 2.

32. Paso 3.

33. Paso 4.

34. Paso 5.

35. Pasos de nuestra tesela ahora en el simulador:

40. Diseño final

41. Conclusiones: El trabajo colaborativo permitirá que el trabajo sea terminado en tiempo y forma. Que los alumnos aplicaran los temas que han sudo vistos en clase Diseñaran una tesela aplicando su propio conocimiento, habilidad y destreza. Reforzarán lo que no conocíamos con investigaciones. Trabajaran con un simulador de teselas. Al finalizar el trabajo será claro y precisó. Crearán una problemática situada a resolver, que tendrá que tener una solución posible. Para demostrar que la hipótesis propuesta por los estudiantes es verdadera porque tendrá que ser trabajada en un simulador el cual es preciso. Los pasos a seguir serán de mucha utilidad para poder llegar al resultado final.