Este documento presenta información sobre el análisis y reconocimiento de isometrías en diseños. Explica conceptos como composición de isometrías, figuras simétricas por rotación o reflexión, y diferentes tipos de mosaicos como regulares, cuasirregulares y periódicos. También analiza cómo identificar la información mínima necesaria para reconstruir un mosaico completo a partir de baldosas más pequeñas con el fin de reducir costos de producción.
Este documento explica conceptos geométricos como traslación, rotación, simetría y teselaciones. También describe cómo estas ideas se aplican en el arte, la arquitectura y la naturaleza. El documento incluye actividades para que los estudiantes exploren estas nociones y aprendan a través de la práctica.
El documento describe los conceptos de simetría axial y simetría radial. La simetría axial divide una forma en dos mitades iguales pero invertidas a lo largo de un eje, mientras que la simetría radial toma como referencia un punto central alrededor del cual gira o se traslada la forma. El documento también menciona ejemplos de simetría axial y radial en la naturaleza y el arte.
Este documento describe diferentes tipos de simetría, incluyendo simetría axial y simetría radial. También discute la simetría aparente que se encuentra en la naturaleza y en objetos hechos a mano, y cómo la simetría se usa en el arte para crear orden y equilibrio visual. El documento también cubre técnicas como el estarcido y cómo compensar las masas visuales en una composición pictórica.
Este documento resume los diferentes tipos de teselaciones. Explica que una teselación cubre una superficie plana con figuras que no se superponen ni dejan espacios. Luego clasifica las teselaciones en regulares, semirregulares, demi-regulares e irregulares dependiendo de los polígonos utilizados. Finalmente, menciona ejemplos de teselaciones en la vida cotidiana, la naturaleza y obras del artista M.C. Escher.
Este documento resume conceptos matemáticos como transformaciones geométricas, simetría, traslación, rotación y teselaciones. Explica cómo estos conceptos se usan en arte, arquitectura y la naturaleza. También presenta ejemplos del trabajo del artista M.C. Escher y sugiere actividades para que los estudiantes exploren estas ideas.
Este documento explica qué son las teselaciones y proporciona varios ejemplos. Define una teselación como un recubrimiento del plano mediante piezas geométricas que no se superponen ni dejan espacios vacíos, con ángulos que suman 360° en cada vértice. Explica teselaciones regulares, semirregulares y no regulares, e ilustra teselaciones en la naturaleza, en el arte y en objetos cotidianos como balones de fútbol y suelos.
El documento proporciona instrucciones sobre cómo dibujar paisajes abiertos. Explica que el horizonte debe ser el elemento principal y que otros elementos deben disminuir en tamaño y detalle a medida que se alejan del primer plano. También recomienda usar líneas horizontales paralelas y aplicar perspectiva atmosférica mediante el uso de tonos más claros en la distancia para crear sensación de profundidad. Además, incluye ejemplos de cómo colocar el horizonte en la composición para lograr una distribución esté
Este documento discute la percepción visual en arquitectura. Habla sobre la importancia de la percepción visual para entender los espacios arquitectónicos y apreciar el proceso creativo. También explora conceptos como las leyes de la Gestalt, la relación entre figura y fondo, espacios positivos y negativos, y cómo la luz, líneas, colores y otros elementos afectan la percepción. Finalmente, analiza diferentes tipos de estructuras espaciales como la radiación, concéntrica y centrípeta.
Este documento explica conceptos geométricos como traslación, rotación, simetría y teselaciones. También describe cómo estas ideas se aplican en el arte, la arquitectura y la naturaleza. El documento incluye actividades para que los estudiantes exploren estas nociones y aprendan a través de la práctica.
El documento describe los conceptos de simetría axial y simetría radial. La simetría axial divide una forma en dos mitades iguales pero invertidas a lo largo de un eje, mientras que la simetría radial toma como referencia un punto central alrededor del cual gira o se traslada la forma. El documento también menciona ejemplos de simetría axial y radial en la naturaleza y el arte.
Este documento describe diferentes tipos de simetría, incluyendo simetría axial y simetría radial. También discute la simetría aparente que se encuentra en la naturaleza y en objetos hechos a mano, y cómo la simetría se usa en el arte para crear orden y equilibrio visual. El documento también cubre técnicas como el estarcido y cómo compensar las masas visuales en una composición pictórica.
Este documento resume los diferentes tipos de teselaciones. Explica que una teselación cubre una superficie plana con figuras que no se superponen ni dejan espacios. Luego clasifica las teselaciones en regulares, semirregulares, demi-regulares e irregulares dependiendo de los polígonos utilizados. Finalmente, menciona ejemplos de teselaciones en la vida cotidiana, la naturaleza y obras del artista M.C. Escher.
Este documento resume conceptos matemáticos como transformaciones geométricas, simetría, traslación, rotación y teselaciones. Explica cómo estos conceptos se usan en arte, arquitectura y la naturaleza. También presenta ejemplos del trabajo del artista M.C. Escher y sugiere actividades para que los estudiantes exploren estas ideas.
Este documento explica qué son las teselaciones y proporciona varios ejemplos. Define una teselación como un recubrimiento del plano mediante piezas geométricas que no se superponen ni dejan espacios vacíos, con ángulos que suman 360° en cada vértice. Explica teselaciones regulares, semirregulares y no regulares, e ilustra teselaciones en la naturaleza, en el arte y en objetos cotidianos como balones de fútbol y suelos.
El documento proporciona instrucciones sobre cómo dibujar paisajes abiertos. Explica que el horizonte debe ser el elemento principal y que otros elementos deben disminuir en tamaño y detalle a medida que se alejan del primer plano. También recomienda usar líneas horizontales paralelas y aplicar perspectiva atmosférica mediante el uso de tonos más claros en la distancia para crear sensación de profundidad. Además, incluye ejemplos de cómo colocar el horizonte en la composición para lograr una distribución esté
Este documento discute la percepción visual en arquitectura. Habla sobre la importancia de la percepción visual para entender los espacios arquitectónicos y apreciar el proceso creativo. También explora conceptos como las leyes de la Gestalt, la relación entre figura y fondo, espacios positivos y negativos, y cómo la luz, líneas, colores y otros elementos afectan la percepción. Finalmente, analiza diferentes tipos de estructuras espaciales como la radiación, concéntrica y centrípeta.
Este documento describe diferentes tipos de teselaciones, incluyendo teselaciones regulares, semirregulares y no regulares. Las teselaciones se crean usando transformaciones isométricas como rotación, traslación y reflexión de figuras que cubren una superficie sin dejar espacios. Solo existen tres teselaciones regulares posibles usando triángulos, cuadrados y hexágonos.
Los mosaicos o teselados son diseños geométricos formados por figuras regulares o irregulares que cubren una superficie sin dejar huecos. Se han utilizado desde la antigüedad para decorar pisos, muros y techos. Existen mosaicos regulares formados por un solo polígono y semirregulares formados por la combinación de dos o más polígonos. Los mosaicos nazaríes se caracterizan por transformar figuras regulares en formas abstractas mediante recortes y traslaciones.
Este documento presenta información sobre geometría y matemáticas aplicadas a la educación física. Explica conceptos clave como polígonos, circunferencias, ángulos, triángulos, cuadriláteros y figuras sólidas. También describe propiedades geométricas como las mediatrices de un segmento y teoremas como el de Pitágoras. El objetivo es aplicar estas ideas matemáticas para interpretar información y resolver problemas en situaciones reales relacionadas con la educación física.
El documento habla sobre los exponentes de la simetría en arquitectura. Define el eje como la línea alrededor de la cual se organiza y distribuye de manera equilibrada las formas y espacios arquitectónicos. Explica diferentes tipos de simetría como la bilateral, de rotación, de abatimiento y de traslación.
Esta presentación muestra qué es una tesela, sus características principales y cómo se diseñan o crean mediante una figura geométrica base para posteriormente llevarlas al simulador y tenerlas hechas a través de él.
Este documento presenta una guía para un proyecto sobre teselas para un curso de matemáticas. Explica que el proyecto involucra formar mosaicos usando figuras regulares como triángulos y hexágonos. También describe los antecedentes históricos de los mosaicos, define conceptos clave como teselas y teselaciones regulares e irregulares, y presenta ejemplos detallados de cómo desarrollar teselaciones usando triángulos y polígonos. El documento concluye que el trabajo colaborativo y el uso
Este documento define las curvas cónicas y explica que son las intersecciones entre un cono y un plano. Describe las cuatro curvas cónicas principales (circunferencia, elipse, hipérbola y parábola) y cómo se forman dependiendo del ángulo en que el plano corta al cono. También resume brevemente su historia y aplicaciones importantes en astronomía, aerodinámica e ingeniería.
El documento describe los diferentes tipos de simetría, incluyendo la simetría axial, la simetría radial y la simetría geométrica. La simetría axial ocurre cuando las partes iguales de una figura están a igual distancia de un eje de simetría, mientras que la simetría radial ocurre cuando cada punto de una figura corresponde a otro punto a igual distancia de un centro de simetría. La simetría geométrica se caracteriza por la exactitud del trazado usando herramientas como la escuadra y
Este documento trata sobre la simetría y reflexión de figuras geométricas. Explica que la simetría es un rasgo característico de formas geométricas y objetos que se puede observar en construcciones antiguas y actuales. Define el eje simétrico como una recta que divide una figura en dos partes iguales. Finalmente, describe la simetría axial como la simetría alrededor de un eje, donde al cortar la figura por un semiplano que contiene al eje el resultado es siempre el mismo.
Este documento trata sobre el tema de la simetría, reflexión y traslación de figuras en el área de matemáticas. La autora es Nelly Hurtado Aspé y el documento incluye definiciones, ejemplos y actividades sobre estos conceptos. Se explican los ejes de simetría, simetría axial, propiedades de la simetría y la traslación. También contiene enlaces a animaciones y sitios web sobre este tema.
El documento describe tres tipos de simetría en figuras planas: simetría rotacional donde una figura coincide consigo misma después de girar cierto ángulo alrededor de un centro de rotación; simetría por reflexión donde una mitad de la figura es el reflejo de la otra mitad a través de un eje de simetría; y simetría de traslación donde una figura coincide exactamente con su posición original después de trasladarse una distancia fija en una dirección dada.
El documento explica diferentes tipos de perspectiva que se pueden usar para representar objetos de forma aproximada a como los ve el ojo. Describe las perspectivas caballera, isométrica y cónica, señalando que la cónica es la más realista porque representa mejor la distorsión en el tamaño de objetos lejanos. También proporciona instrucciones para dibujar objetos usando las perspectivas caballera e isométrica con escuadra y cartabón.
Este documento describe las transformaciones isométricas, que son transformaciones que no alteran la forma ni el tamaño de una figura. Explica tres tipos principales: traslación, que es mover una figura manteniendo su forma y tamaño; rotación, que es girar una figura en torno a un punto; y reflexión, que produce el efecto de un espejo al aplicarse a una figura.
Este documento explica qué es recubrir el plano mediante teselaciones utilizando figuras geométricas regulares. Detalla que solo el triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono regular pueden recubrir el plano, requiriendo 6 triángulos, 4 cuadrados o 3 hexágonos para hacerlo. Además, describe otros tipos de recubrimientos y cómo se pueden generar infinidad de teselaciones a partir de polígonos regulares y semirregulares.
Dependiendo de la geometría de la superficie de un volumen, este tendrá unas características particulares que lo definen en términos funcionales, estéticos y semánticos. En esta presentación se explica un sistema organizador de los volúmenes por sus características geométricas.
Breve explicación sobre la aplicación de la simetría en la composición de imágenes, tanto fotográficas como pictóricas. Para estudiantes preuniversitarios y aficionados al arte.
Este documento describe diferentes tipos de simetría como la axial, radial y bilateral. Explica que la simetría se utiliza ampliamente en la naturaleza, el arte, la arquitectura y el diseño. Se usa en mosaicos, frisos, teselados, mandalas y símbolos. La simetría proporciona orden, equilibrio y belleza. Ha sido una herramienta importante en muchas culturas y áreas como el arte, diseño y desarrollo industrial.
Este documento presenta información sobre figuras geométricas movidas a través de traslaciones, rotaciones y reflexiones. Explica que estas transformaciones se aplican en matemáticas para cambiar figuras de una forma útil en la vida diaria. Describe los objetivos de aprendizaje, incluyendo propiedades de las transformaciones y diseño con figuras transformadas. También enumera los materiales necesarios y pasos para completar las actividades propuestas.
El documento describe los conceptos básicos de los teselados, incluyendo su historia, tipos de transformaciones geométricas utilizadas para crearlos (rotación, traslación y simetría), y los 17 grupos de simetría del plano reconocidos. Además, presenta ejemplos prácticos de cómo construir teselados utilizando figuras geométricas básicas como triángulos y aplicando dichas transformaciones.
Este documento describe diferentes tipos de teselaciones, incluyendo teselaciones regulares, semirregulares y no regulares. Las teselaciones se crean usando transformaciones isométricas como rotación, traslación y reflexión de figuras que cubren una superficie sin dejar espacios. Solo existen tres teselaciones regulares posibles usando triángulos, cuadrados y hexágonos.
Los mosaicos o teselados son diseños geométricos formados por figuras regulares o irregulares que cubren una superficie sin dejar huecos. Se han utilizado desde la antigüedad para decorar pisos, muros y techos. Existen mosaicos regulares formados por un solo polígono y semirregulares formados por la combinación de dos o más polígonos. Los mosaicos nazaríes se caracterizan por transformar figuras regulares en formas abstractas mediante recortes y traslaciones.
Este documento presenta información sobre geometría y matemáticas aplicadas a la educación física. Explica conceptos clave como polígonos, circunferencias, ángulos, triángulos, cuadriláteros y figuras sólidas. También describe propiedades geométricas como las mediatrices de un segmento y teoremas como el de Pitágoras. El objetivo es aplicar estas ideas matemáticas para interpretar información y resolver problemas en situaciones reales relacionadas con la educación física.
El documento habla sobre los exponentes de la simetría en arquitectura. Define el eje como la línea alrededor de la cual se organiza y distribuye de manera equilibrada las formas y espacios arquitectónicos. Explica diferentes tipos de simetría como la bilateral, de rotación, de abatimiento y de traslación.
Esta presentación muestra qué es una tesela, sus características principales y cómo se diseñan o crean mediante una figura geométrica base para posteriormente llevarlas al simulador y tenerlas hechas a través de él.
Este documento presenta una guía para un proyecto sobre teselas para un curso de matemáticas. Explica que el proyecto involucra formar mosaicos usando figuras regulares como triángulos y hexágonos. También describe los antecedentes históricos de los mosaicos, define conceptos clave como teselas y teselaciones regulares e irregulares, y presenta ejemplos detallados de cómo desarrollar teselaciones usando triángulos y polígonos. El documento concluye que el trabajo colaborativo y el uso
Este documento define las curvas cónicas y explica que son las intersecciones entre un cono y un plano. Describe las cuatro curvas cónicas principales (circunferencia, elipse, hipérbola y parábola) y cómo se forman dependiendo del ángulo en que el plano corta al cono. También resume brevemente su historia y aplicaciones importantes en astronomía, aerodinámica e ingeniería.
El documento describe los diferentes tipos de simetría, incluyendo la simetría axial, la simetría radial y la simetría geométrica. La simetría axial ocurre cuando las partes iguales de una figura están a igual distancia de un eje de simetría, mientras que la simetría radial ocurre cuando cada punto de una figura corresponde a otro punto a igual distancia de un centro de simetría. La simetría geométrica se caracteriza por la exactitud del trazado usando herramientas como la escuadra y
Este documento trata sobre la simetría y reflexión de figuras geométricas. Explica que la simetría es un rasgo característico de formas geométricas y objetos que se puede observar en construcciones antiguas y actuales. Define el eje simétrico como una recta que divide una figura en dos partes iguales. Finalmente, describe la simetría axial como la simetría alrededor de un eje, donde al cortar la figura por un semiplano que contiene al eje el resultado es siempre el mismo.
Este documento trata sobre el tema de la simetría, reflexión y traslación de figuras en el área de matemáticas. La autora es Nelly Hurtado Aspé y el documento incluye definiciones, ejemplos y actividades sobre estos conceptos. Se explican los ejes de simetría, simetría axial, propiedades de la simetría y la traslación. También contiene enlaces a animaciones y sitios web sobre este tema.
El documento describe tres tipos de simetría en figuras planas: simetría rotacional donde una figura coincide consigo misma después de girar cierto ángulo alrededor de un centro de rotación; simetría por reflexión donde una mitad de la figura es el reflejo de la otra mitad a través de un eje de simetría; y simetría de traslación donde una figura coincide exactamente con su posición original después de trasladarse una distancia fija en una dirección dada.
El documento explica diferentes tipos de perspectiva que se pueden usar para representar objetos de forma aproximada a como los ve el ojo. Describe las perspectivas caballera, isométrica y cónica, señalando que la cónica es la más realista porque representa mejor la distorsión en el tamaño de objetos lejanos. También proporciona instrucciones para dibujar objetos usando las perspectivas caballera e isométrica con escuadra y cartabón.
Este documento describe las transformaciones isométricas, que son transformaciones que no alteran la forma ni el tamaño de una figura. Explica tres tipos principales: traslación, que es mover una figura manteniendo su forma y tamaño; rotación, que es girar una figura en torno a un punto; y reflexión, que produce el efecto de un espejo al aplicarse a una figura.
Este documento explica qué es recubrir el plano mediante teselaciones utilizando figuras geométricas regulares. Detalla que solo el triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono regular pueden recubrir el plano, requiriendo 6 triángulos, 4 cuadrados o 3 hexágonos para hacerlo. Además, describe otros tipos de recubrimientos y cómo se pueden generar infinidad de teselaciones a partir de polígonos regulares y semirregulares.
Dependiendo de la geometría de la superficie de un volumen, este tendrá unas características particulares que lo definen en términos funcionales, estéticos y semánticos. En esta presentación se explica un sistema organizador de los volúmenes por sus características geométricas.
Breve explicación sobre la aplicación de la simetría en la composición de imágenes, tanto fotográficas como pictóricas. Para estudiantes preuniversitarios y aficionados al arte.
Este documento describe diferentes tipos de simetría como la axial, radial y bilateral. Explica que la simetría se utiliza ampliamente en la naturaleza, el arte, la arquitectura y el diseño. Se usa en mosaicos, frisos, teselados, mandalas y símbolos. La simetría proporciona orden, equilibrio y belleza. Ha sido una herramienta importante en muchas culturas y áreas como el arte, diseño y desarrollo industrial.
Este documento presenta información sobre figuras geométricas movidas a través de traslaciones, rotaciones y reflexiones. Explica que estas transformaciones se aplican en matemáticas para cambiar figuras de una forma útil en la vida diaria. Describe los objetivos de aprendizaje, incluyendo propiedades de las transformaciones y diseño con figuras transformadas. También enumera los materiales necesarios y pasos para completar las actividades propuestas.
El documento describe los conceptos básicos de los teselados, incluyendo su historia, tipos de transformaciones geométricas utilizadas para crearlos (rotación, traslación y simetría), y los 17 grupos de simetría del plano reconocidos. Además, presenta ejemplos prácticos de cómo construir teselados utilizando figuras geométricas básicas como triángulos y aplicando dichas transformaciones.
Este documento describe diferentes sistemas de representación para dibujar objetos tridimensionales en dos dimensiones, incluyendo la perspectiva isométrica, la perspectiva caballera y la perspectiva cónica. Explica que estos sistemas utilizan ejes y puntos de fuga para simular la profundidad y dar la ilusión de volumen. También incluye instrucciones para dibujar objetos utilizando estas técnicas de perspectiva.
Este documento explica qué es el Op Art, un movimiento artístico que utiliza ilusiones ópticas para crear la sensación de movimiento en obras estáticas. Describe las características clave del Op Art como líneas, contrastes de color y formas geométricas repetidas. También menciona algunos artistas importantes como Víctor Vasarely y presenta varios modelos de plantillas que los estudiantes pueden usar para crear sus propias obras de Op Art.
El documento describe conceptos básicos sobre vectores y transformaciones geométricas. Explica que un vector es un segmento orientado que tiene dirección, sentido y módulo. Luego, define traslaciones, simetrías, rotaciones y homotecias, indicando cómo aplicar estas transformaciones a figuras geométricas. Por último, introduce la suma y resta de vectores a través de la regla del paralelogramo.
La unidad trata sobre la simetría y contiene secciones sobre el eje de simetría, simetría lineal y rotacional, transformaciones como rotaciones y reflexiones, y cálculo de áreas. Se explican conceptos como figuras simétricas, puntos simétricos y líneas de simetría, y se incluyen actividades prácticas para identificar simetrías y realizar transformaciones. También cubre el trabajo de artistas como Gaudí y el uso de herramientas digitales para explorar la simetría.
El documento presenta información sobre diferentes tipos de perspectivas como la perspectiva lineal, aérea, paralela, caballera e isométrica. También describe detalles constructivos, planos de detalles por oficios, y detalles de la madera en proyectos arquitectónicos.
El documento describe las propiedades fundamentales del punto en geometría. Un punto no tiene longitud, área o volumen y solo representa una posición en el espacio. Junto con la recta y el plano, el punto es uno de los conceptos geométricos básicos que solo pueden describirse en relación con otros elementos. Se representa comúnmente con una cruz, círculo o cuadrado y marca posiciones como los extremos de una línea o la intersección de dos líneas.
Este documento presenta información sobre funciones de varias variables y sistemas de coordenadas. Explica coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas. También describe conceptos geométricos como superficies esféricas, cilíndricas, paraboloides, elipsoides e hiperboloides. Concluye que las funciones de varias variables se representan mediante puntos n-dimensionales relacionados con valores reales de la función.
Este documento trata sobre la simetría, reflexión y traslación de figuras geométricas. Explica que la simetría divide una figura en dos partes iguales a través de un eje de simetría y que la simetría axial conserva longitudes, ángulos, áreas y forma. También describe la traslación como un movimiento paralelo que conserva ángulos, longitudes, áreas y forma de una figura. Incluye actividades para que los estudiantes identifiquen ejes de simetría, figuras imágenes y
Este documento presenta un taller sobre traslaciones, reflexiones y rotaciones de figuras geométricas. Explica que una traslación desliza una figura sin cambiar su tamaño o forma, una reflexión voltea una figura sobre una línea de reflexión, y una rotación gira cada punto de una figura alrededor de un centro de rotación. Incluye ejemplos de cada transformación y recursos en la web para estudiantes. El objetivo es que los estudiantes aprendan a dibujar estas transformaciones en un plano de coordenadas.
Este documento trata sobre las transformaciones geométricas de simetría. Explica diferentes tipos de simetría como la simetría axial, la simetría central y la simetría reflectiva. También describe propiedades como la conservación de ángulos, distancias y colinealidad bajo transformaciones como rotaciones y traslaciones. El documento incluye ejemplos interactivos para practicar y evaluar el conocimiento sobre estas transformaciones.
Este documento describe diferentes tipos de movimientos geométricos como traslaciones, giros, simetrías y sus aplicaciones en frisos y mosaicos. Explica que los frisos se forman mediante la aplicación repetida de traslaciones, giros, simetrías axiales y deslizamientos a figuras base. También describe siete tipos de frisos (L1-L7) y define los mosaicos como conjuntos de figuras que recubren el plano mediante traslaciones sin superposición ni huecos.
Este documento explica los conceptos de igualdad, congruencia y semejanza en geometría. Define la igualdad como cuando dos figuras coinciden en forma y tamaño al superponerse, y la congruencia como cuando coinciden en forma y tamaño pero no necesariamente al superponerse. Explica las tres transformaciones de congruencia (reflexión, traslación y rotación) y la transformación de semejanza conocida como dilatación.
El documento habla sobre diferentes tipos de trazados geométricos como polígonos, espirales y envolventes. Explica que los polígonos pueden ser regulares u irregulares, y da ejemplos de formas poligonales en la naturaleza. También describe métodos para construir polígonos como cuadrados, octógonos, pentágonos y triángulos inscritos en una circunferencia. Finalmente, menciona espirales como la de Arquímedes y cómo se trazan envolventes de segmentos y hexágonos
Este documento describe las transformaciones isométricas, que son movimientos que mantienen la forma y tamaño de una figura. Incluye traslaciones, rotaciones y simetrías. Las traslaciones deslizan una figura manteniendo su diseño, forma y tamaño. Las rotaciones giran una figura alrededor de un punto central manteniendo su forma y tamaño. Las simetrías dividen una figura en partes congruentes que son imágenes especulares una de la otra.
Este material es una adaptación de uno que otro material encontrado en internet.
El proposito de la clase es hacer una conexión del estudiante con el tema en discusión.
Este documento habla sobre la simetría de figuras geométricas. Explica que la simetría se refiere a arreglos equilibrados de partes de una figura en lados opuestos de un punto, línea o plano. Luego describe los tipos principales de simetría, incluida la simetría con respecto a un punto, una línea y rotacional. También analiza ejemplos de simetría en la naturaleza y en figuras geométricas comunes.
Este documento presenta los objetivos y contenidos de una unidad sobre geometría. Los objetivos incluyen describir la localización de objetos en mapas y cuadrículas, reconocer la relación entre figuras 2D y 3D, y describir diferentes cuerpos geométricos. El contenido cubre cuerpos geométricos como cubos, prismas y pirámides, así como figuras como cilindros, conos y esferas. También explica conceptos como polígonos, congruencia, simetría axial y rotacional, y transformaciones como tras
Este documento presenta una guía de aprendizaje sobre movimientos y transformaciones en el plano. Explica conceptos como traslación, rotación y simetría, y provee ejemplos de cada uno. También incluye preguntas y problemas para que los estudiantes pongan en práctica los conceptos, así como lecturas complementarias sobre el tema.
DIA DE LA BANDERA PERUANA EL 7 DE JUNIO DE 182062946377
Diseño del dia de la bandera. El 7 de junio se celebra en todo el Perú el Día de la Bandera, una fecha que conmemora el aniversario de la Batalla de Arica de 1880, un enfrentamiento histórico en el que las tropas peruanas se enfrentaron valientemente a las fuerzas chilenas durante la Guerra del Pacífico.
El crecimiento urbano de las ciudades latinoamericanas ha sido muy rápido en las últimas décadas, debido a factores como el crecimiento demográfico, la migración del campo a la ciudad, y el desarrollo económico. Este crecimiento ha llevado a la expansión de las ciudades hacia las áreas periféricas, creando problemas como la falta de infraestructura adecuada, la congestión del tráfico, la contaminación ambiental, y la segregación social.
En muchas ciudades latinoamericanas, el crecimiento urbano ha sido desorganizado y ha resultado en la formación de asentamientos informales o barrios marginales, donde las condiciones de vida son precarias y la población carece de servicios básicos como agua potable, electricidad y transporte público.
Además, el crecimiento urbano descontrolado ha llevado a la destrucción de áreas verdes, la deforestación y la pérdida de biodiversidad, lo que tiene un impacto negativo en el medio ambiente y en la calidad de vida de los habitantes de las ciudades.
Para hacer frente a estos desafíos, las ciudades latinoamericanas están implementando políticas de planificación urbana sostenible, promoviendo la densificación urbana, la revitalización de áreas degradadas, la preservación de espacios verdes y la mejora de la infraestructura y los servicios públicos. También se están llevando a cabo programas de vivienda social y de regularización de asentamientos informales, con el objetivo de mejorar la calidad de vida de los habitantes de estas áreas.
Del caos surge mi perfección.
Soy valen! Siempre en una búsqueda constante en el equilibrio de ambas, donde encuentro mi verdadera yo, apreciando la belleza de la imperfección mientras acepto los desafíos y errores, y desafiando mi caos para alcanzar mi perfección.
Soy una mente inquieta, siempre buscando nuevas
inspiraciones en cada rincón.Encuentro en las calles y en los detalles cotidianos los colores vibrantes y las formas audaces que alimentan mi creatividad y a través de ellos tejo collages en mi imaginación, donde mi energía juega un papel fundamental en cada textura, cada forma, cada color mostrando mi esencia capturada.
Soy una persona que ama desafiar las convenciones establecidas, por eso tomo la moda y el arte como
referentes hacia mi inspiración, permitiéndome expresarme con libertad mi identidad de una manera única.
Soy la búsqueda de la estética, que es mi guía en cada viaje creativo, así creando una imagen única que genere armonía y impacto visual.Sin embargo, no podría lograr esta
singularidad sin el uso de la ironía como aliada en mi búsqueda de la originalidad.
Soy una diseñadora con un proceso creativo
llamado: rompecabezas donde al principio se encuentran miles de piezas desordenadas sobre la mesa para que luego cada pieza encaje perfectamente para crear una imagen
Trazos poligonales para hallar las medidas de los angulos con las distancias establecidas realizadas con la cinta metrica. Empleando fórmulas como la ley de cosenos y senos, para determinar dichos ángulos.Lo que ayudará para la enseñanza estudiantil en el ámbito de la ingeniería.
Acceso y utilización de los espacios públicos. Comunicación y señalización..pdfJosé María
En las últimas décadas se han venido realizando esfuerzos por ofrecer a las personas con discapacidad espacios colectivos accesibles en sus entornos poniendo a disposición de los responsables de su diseño, planificación y construcción, documentos técnicos con los requerimientos básicos de accesibilidad con
el mínimo común denominador para todo el territorio del Estado.
Catalogo Coleccion Atelier Bathco Distribuidor Oficial Amado Salvador ValenciaAMADO SALVADOR
Explora el catálogo general de la colección Atelier de Bathco, disponible en Amado Salvador, ofrece una exquisita selección de lavabos y sanitarios de alta gama con un enfoque artesanal y exclusivo. Como distribuidor oficial Bathco, Amado Salvador presenta productos Bathco que encarnan la excelencia en calidad y diseño. Este catálogo destaca la colección Atelier, la más exclusiva de Bathco, que combina la artesanía tradicional con la innovación contemporánea.
La colección Atelier de Bathco se distingue por su atención meticulosa a los detalles y la utilización de materiales de primera calidad. Los lavabos y sanitarios de esta colección son verdaderas obras de arte, diseñados para elevar el lujo y la sofisticación en cualquier baño. Cada pieza de la colección Atelier refleja el compromiso de Bathco con la excelencia y la elegancia.
Amado Salvador, distribuidor oficial Bathco en Valencia. Explora este catálogo y sumérgete en el mundo de la colección Atelier de Bathco, donde la artesanía y la elegancia se unen para crear espacios de baño verdaderamente excepcionales.
Catalogo General Durstone Distribuidor Oficial Amado Salvador ValenciaAMADO SALVADOR
Descubre el catálogo general de Durstone, presentado por Amado Salvador, el distribuidor oficial de cerámica Durstone. Este catálogo incluye una amplia variedad de productos de alta calidad de Durstone, conocidos por su resistencia, durabilidad y diseño innovador. Como distribuidor oficial de cerámica Durstone, Amado Salvador ofrece una selección completa de cerámica Durstone que abarca desde baldosas para interiores y exteriores hasta soluciones personalizadas para proyectos arquitectónicos.
Durstone se destaca por su compromiso con la excelencia y la innovación en el diseño de cerámica. Cada pieza es creada para satisfacer los estándares más altos de calidad, asegurando que cada proyecto se beneficie de productos que no solo son estéticos, sino también extremadamente duraderos.
Explora este catálogo y descubre la cerámica Durstone y encuentra la opción perfecta para cualquier espacio, asegurando la mejor calidad y estilo. Amado Salvador, distribuidor oficial Durstone en Valencia.
Porfolio livings creados por Carlotta Designpaulacoux1
La sección de porfolio de livings de Carlotta Design es una muestra de la excelencia y la creatividad en el diseño de interiores. Cada proyecto en el porfolio refleja la visión única y el estilo distintivo de Carlotta Design, mostrando la habilidad del equipo para transformar espacios en ambientes acogedores, elegantes y funcionales. Desde salas de estar modernas y contemporáneas hasta espacios más tradicionales y clásicos, la variedad de estilos y diseños en el porfolio demuestra la versatilidad y la capacidad del equipo para adaptarse a las necesidades y gustos de cada cliente.
Las fotografías de alta calidad en el porfolio capturan la atención al detalle, los materiales de alta calidad y la combinación de texturas y colores que hacen que cada sala de estar sea única y especial. Además, la sección de porfolio de livings de Carlotta Design destaca la integración de muebles y accesorios cuidadosamente seleccionados para crear ambientes armoniosos y sofisticados.
En resumen, la sección de porfolio de livings de Carlotta Design es una ventana a la excelencia en el diseño de interiores, mostrando el talento y la dedicación del equipo para crear espacios extraordinarios que reflejan la personalidad y el estilo de cada cliente.
1. Análisis de Diseños.
Reconocimiento de
Isometrías
Este tema está pensado para que construyas el siguiente conocimiento ma-
temático:
• Revisar los conocimientos anteriores sobre isometrías del plano y del
espacio.
• Composición de isometrías.
• Reconocer isometrías que dejan invariante una figura plana o un cuerpo
tridimensional.
• Analizar rosetones, frisos y mosaicos, detectando las isometrías que con-
tienen.
• Buscar los motivos mínimos que permiten reconstruir un diseño plano.
• Estudiar las isometrías de los poliedros regulares.
D esde la Antigüedad, el deseo de encontrar
orden y regularidad tanto en la Naturaleza
como en nuestras propias creaciones, ha estimulado una gran acti-
vidad que concluyó en descubrimientos notables.
La simetría es un tema importante en esta búsqueda del orden y la
regularidad. Aparece constantemente en la Naturaleza. Por ejem-
plo, en las hojas de las plantas, en la estructura molecular de nume-
rosos cristales, en los diamantes,...
También las personas utilizan la simetría en sus creaciones. El cur-
so pasado aprendiste a construir rosetones, frisos y mosaicos a par-
tir de un diseño básico al que se le aplican determinadas isometrías:
giros, traslaciones o reflexiones.
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2. Comenzamos este tema repasando algunos conceptos
estudiados en cursos anteriores.
Un movimiento, en el plano o en el espacio, es una transformación que cambia de
posición todos los puntos del mismo, si bien, para algunos movimientos hay puntos
que permanecen invariantes y figuras que, aunque todos sus puntos cambien de
lugar, siguen siendo invariantes globamente.
A los movimientos que mantienen la forma y el tamaño de los objetos se les llama
isometrías.
Son isometrías los siguientes movimientos:
• Giro en el plano: Es un movimiento que deja un solo punto fijo, llamado centro
de giro. La región del plano determinada por una semirrecta de extremo el
centro de giro, su transformada, y el centro de giro como vértice, se llama
ángulo de giro.
El centro de giro es el único punto invariante.
Son invariantes globalmente por un giro las circunferencias concéntricas cuyo
centro coincide con el centro de giro.
• Giro en el espacio: es un movimiento alrededor de una recta, llamada eje de
rotación, de tal forma que puntos del plano perpendicular al eje determinan un
giro en dicho plano cuyo centro es el punto del corte del eje con el plano. Los
puntos del eje de rotación son los únicos puntos fijos.
• Traslación, en el plano o el espacio: es un movimiento, en una dirección deter-
minada, que no deja ningún punto fijo.
Las rectas cuya dirección coincida con la de la traslación son globalmente
invariantes.
• Reflexión, en el plano o el espacio: Es un movimiento que mantiene toda una
recta de puntos fijos en el plano -el eje de reflexión-, o todo un plano de puntos
fijos en el espacio -el plano de reflexión-.
Las circunferencias son globalmente invariantes por cualquier reflexión plana
cuyo eje pase por el centro de la misma. Las esferas son globalmente invariantes
por cualquier reflexión cuyo plano de reflexión pase por el centro de la misma.
• Reflexión con deslizamiento: es una reflexión seguida de una traslación en la
misma dirección que el eje de reflexión. No mantiene ningún punto fijo.
• Movimiento helicoidal: es un movimiento de giro, en el espacio, alrededor de
una recta, junto con un desplazamiento en la dirección de la recta. No mantiene
ningún punto fijo.
386
3. Como sabes, a un motivo se le puede aplicar una isometría
y al resultado obtenido se le puede aplicar otra. A esto lo
hemos llamado composición de isometrías.
Traslada el motivo de la figura siguiendo el vector a. A
continuación aplícale al resultado obtenido la traslación
determinada por el vector b. ¿Qué obtienes?
Calca la figura en papel vegetal,
o similar. Haz coincidir la copia
con el original y, haciendo centro
en el punto O (pinchando con el
lápiz), gira el papel vegetal hasta
colocar el punto A sobre el A’. Se
trata de un giro de centro O y 90º de amplitud.
Dibuja en tu cuaderno el movimiento realizado. A la nue-
va figura obtenida aplícale un nuevo giro con el mismo
centro y amplitud 90º. ¿Qué obtienes?, ¿qué amplitud
tiene el nuevo giro?
Al componer dos traslaciones se obtiene otra traslación y al componer dos
giros se obtiene otro giro. ¿Ocurrirá lo mismo al componer dos reflexiones?
Copia en tu cuaderno la huella de la figura. Coloca
un espejo sobre la primera línea de puntos y dibuja
la imagen reflejada. Cambia el espejo a la segunda
línea de puntos, paralela a la anterior, y dibuja la
nueva imagen reflejada. ¿Qué has obtenido al com-
poner estas dos reflexiones de ejes paralelos.
Mide la distancia que hay entre los dos ejes de re-
flexión y compara esta medida con la longitud de la
traslación obtenida.
Haz lo mismo con la figura siguiente. Se trata de la
composición de dos reflexiones de ejes secantes.
¿Qué se obtiene en este caso?
Como ya sabes, al componer una reflexión con una
traslación en la misma dirección se obtiene otra
isometría: una reflexión con deslizamiento.
387
4. Copia en papel vegetal, o similar, el di-
bujo de la figura y dale la vuelta colo-
cándolo sobre el original de modo que
las líneas discontinuas coincidan. Trasla-
da la copia hacia arriba de modo que el
punto A coincida con el B del original,
¿qué ocurre?
De la misma forma, al componer un giro en el plano con una traslación de
dirección perpendicular al plano, se obtiene el movimiento helicoidal.
Recuerda
• La composición de dos traslaciones es una nueva traslación, cuyo vector
se obtiene a partir de los dos iniciales.
• Al componer en el plano dos giros en el mismo centro de rotación se
obtiene un nuevo giro con el mismo centro y amplitud la suma de los
dos primeros.
• Al componer en el espacio dos giros del mismo eje de rotación se ob-
tiene un nuevo giro con el mismo eje y amplitud la suma de los dos
primeros.
• Al componer dos reflexiones en el plano de ejes de reflexión paralelos
se obtiene una traslación cuyo vector de traslación tiene dirección per-
pendicular a los ejes de reflexión y longitud el doble de la distancia
entre ellos.
• Al componer dos reflexiones de ejes secantes se obtiene un giro con
centro de rotación en el punto de corte de los dos ejes de reflexión.
• Al componer dos reflexiones en el espacio de planos de reflexión para-
lelos se obtiene una traslación cuyo vector de traslación tiene dirección
perpendicular a los planos de reflexión y longitud el doble de la distan-
cia entre ellos.
• Al componer dos reflexiones de planos secantes se obtiene un giro con
centro de rotación en la recta de corte de los dos planos de reflexión.
• Al componer una reflexión con una traslación de la misma dirección se
obtiene una reflexión con deslizamiento.
388
5. RECONOCIMIENTO DE
ISOMETRÍAS EN EL PLANO
Algunos objetos, diseños, etc., deben parte de su belleza a la presencia de
simetrías. Observa los rostros que aparecen en los cuadros. ¿En cuáles de
ellos encuentras más armonía? ¿Qué papel juega la simetría?
Detalle del cuadro «El Nacimiento Detalle del cuadro «Las Señoritas
Venus».
de Venus». (Botticelli). (Pablo Picasso).
de Avignon». (Pablo Picasso).
Toma un trozo de una cartulina, calca el dibujo de la
figura de la derecha y recórtalo. ¿De cúantas formas
puedes colocarlo para tapar el hueco dejado?
Haz lo mismo con las figuras siguientes. ¿De cuán-
tas formas distintas puedes colocar cada una de ellas
para tapar el hueco correspondiente?
Observa
Una figura irregular presenta sólo la identidad como isometría que la deja
invariante.
La figura “perfecta” (según Poincaré) es la circunferencia, porque presen-
ta infinitas isometrías que la dejan invariante.
389
6. Hay figuras diferentes y, sin embargo, presentan las mismas isometrías.
Estudia las letras del alfabeto y clasifícalas según las isometrías que presentan.
El curso pasado aprendiste a construir rosetones (revisar libro de 3º, pág.
358). Un rosetón es una figura, plana o tridimensional, que tiene un sólo
punto invariante por la acción de las isometrías que la dejan invariante
globalmente.
La figura muestra un rosetón. Busca su pun-
to invariante. ¿Cuál es el menor ángulo que
podemos girar alrededor de este punto para
que coincida consigo mismo? Si quieres,
puedes ayudarte calcando la figura en papel
vegetal. Hazla coincidir con el original y,
pinchando con el bolígrafo en el punto
invariante, ve girando la copia hasta que co-
incidan de nuevo.
¿Cuál es el orden de rotación de este giro?
Decimos que una figura es simétrica por rotación si al girarla un ángulo
determinado alrededor de un punto permanece invariante globalmente.
Llamamos orden de rotación de la figura al nú-
mero de veces que es necesario girarla para que re-
cupere su posición inicial. El orden de rotación co-
incide con el resultado de dividir 360º entre el án-
gulo de giro.
El rosetón de la izquierda presenta, además de los
giros, una simetría por reflexión. Analízalo y señala
el eje de reflexión. Puedes ayudarte con un espejo.
390
7. Decimos que una figura es simétrica por reflexión si queda globalmente
invariante al aplicarle una determinada reflexión.
Recuerda
Llamamos rosetones cíclicos a los que presentan únicamente isometrías
de giro y rosetones diedrales si ademas, presentan isometrías de reflexión.
La siguiente figura muestra frisos. ¿Existe alguna traslación que los deje
invariantes?
Cálcalos en papel vegetal y hazlos coincidir con el original.
Desplaza la copia hasta que vuelvan a coincidir.
Se trata de una traslación. Indica la dirección y el menor vector que determina
dicha traslación en cada caso.
Una figura presenta isometrías de traslación cuando permanece inva-
riante al trasladarla según una determinada dirección.
391
8. ANÁLISIS
DE MOSAICOS
En los cursos anteriores has aprendido a construir mosaicos de distinto tipo.
Llamamos mosaico regular, plano o tridimensional, al diseño formado utilizando
copias iguales de un solo tipo de polígono o poliedro regular, respectivamente, que
permite cubrir el plano o el espacio, sin dejar huecos ni solapamientos.
Llamamos mosaico cuasirregular plano al formado
por polígonos iguales y de manera que los polígonos en
los puntos medios o en los centros sean regulares.
Llamamos mosaico cuasirregular tridimensional al
formado por prismas rectos cuyas bases coincidan con
un mosaico cuasirregular plano.
Llamamos mosaico semirregular plano a la composición formada por dos o más
tipos de polígonos regulares en la que la distribución de éstos alrededor de cualquier
vértice es siempre la misma.
Llamamos mosaico semirregular tridimensional a la composición formada por
dos o más tipos de poliedros regulares en las que la distribución de éstos alrededor
392
9. de cualquier vértice es siempre la misma, o bien, a la composición formada por un
solo tipo de poliedros semirregulares.
Llamamos mosaico periódico plano al que se obtiene aplicando a un paralelogra-
mo decorado dos traslaciones de vectores con distinta dirección, convenientemente
elegidos.
Llamamos mosaico periódico en 3D al que se obtiene
aplicando a un paralelepípedo tres traslaciones de vec-
tores con distinta dirección, convenientemente elegidos.
En este curso vamos a resolver un problema diferente: Dado un mosaico,
¿cuál será la información mínima a partir de la cual se puede componer el
mosaico completo?
En una visita a la Alhambra vimos el siguiente diseño, que nos encantó por su
sencillez y belleza.
Al volver, nos pareció una buena idea reproducirlo para alicatar la terraza de
nuestra casa. El problema es que el ceramista al que pensamos encargárselo
393
10. sólo estaba dispuesto a fabricar baldosas cuadradas, pues ya tenía el molde y
hacer otro únicamente para este encargo era demasiado costoso. ¿No podría-
mos diseñar baldosas cuadradas que contengan un dibujo y que, colocándolas
convenientemente, den lugar al mosaico? Después ya disimularemos las unio-
nes de los cuadrados.
Para resolver este problema buscamos los ejes de reflexión del mosaico:
¡Han aparecido las baldosas cuadradas! Sólo que hay dos distintas:
y su simétrica
Pero el ceramista vuelve a poner problemas. El cuadrado es demasiado gran-
de, no lo puede construir. No le importaría cambiar algo la forma, siempre que
fuera más pequeña, con menos trazos. Además, hacer baldosas con dos dise-
ños distintos sería muy caro, ¿no podríamos estudiar baldosas con un único
diseño?
Las Matemáticas pueden ayudarnos. Si observas de nuevo la baldosa, verás
que tiene una isometría de giro de orden 4 (es decir, un giro de 90º). Podemos
tomar una cuarta parte del cuadrado (triángulo rectángulo), y obtener las otras
3 girando la primera:
394
11. De esta forma hemos encontrado la baldosa más pequeña que permite repro-
ducir el mosaico completo.
En nuestra visita a la Alhambra, además del anterior, hemos visto otros mo-
saicos que nos gustaría reproducir en casa.
¿Podrán las Matemáticas seguir ayudándonos?
PASO A PASO
Completa la trama del dibujo a partir de las dos traslaciones cuyo vector se
indica:
En el siguiente mosaico se ha coloreado
una baldosa. Busca isometrías que permi-
tan cubrir el plano a partir de ella.
Elige el menor número de isometrías de
las encontradas y completa el mosaico.
395
12. A estas isometrías las llamaremos generadores del mosaico y a la baldosa
más pequeña a partir de la cual se puede cubrir todo el plano, la llamaremos
motivo mínimo del mosaico.
Busca, en el siguiente mosaico, el motivo mínimo y las isometrías que forman
su sistema generador.
Recuerda
• Llamaremos motivo mínimo de un mosaico a la menor porción del mismo que
permite reconstruirlo completamente.
• Llamaremos sistema generador al conjunto mínimo de isometrías que, aplica-
das al motivo mínimo, permiten reconstruirlo completamente.
Completa la trama del dibujo de la izquierda, aplicando las 4 reflexiones
cuyos ejes se indican con líneas discontinuas.
En el siguiente mosaico se ha coloreado la baldosa mínima. Busca
isometrías que permitan llevar el motivo mínimo al resto del mosaico.
Elige el menor número de isometrías de las encontradas y completa el mosaico.
396
13. Busca, en el siguiente mosaico, el motivo mínimo y las isometrías que forman
su sistema generador.
Completa el dibujo utilizando 2 giros de 120º y de centros los puntos A y B.
A
D B
C
En el mosaico siguiente se ha coloreado la baldosa mínima. Busca isometrías
que permitan llevar el motivo mínimo al resto del mosaico.
Elige el menor número de isometrías de entre las encontradas que te permitan
completar el mosaico.
397
14. Completa el siguiente dibujo, utilizando las 2 reflexiones con deslizamiento
cuyos ejes indican las líneas de puntos y de vectores de traslación los
indicados.
A B
D C
En el siguiente mosaico se ha coloreado la baldosa mínima. Busca isometrías
que permitan llevar el motivo mínimo al resto del mosaico.
Elige el menor número de isometrías de las encontradas y completa el mosaico.
Completa el siguiente dibujo, utilizando un giro de 90º con centro C y una
reflexión cuyo eje indica la línea de puntos.
A
BC
En el siguiente mosaico se ha coloreado la baldosa mínima. Busca isometrías
que permitan llevar el motivo mínimo al resto del mosaico.
398
15. Elige el menor número de isometrías de las encontradas y completa el mosaico.
Completa el dibujo de la derecha utilizando 4 giros de centro O, y las
traslaciones que indican los vectores:
O
En el mosaico siguiente, se ha coloreado la baldosa mínima. Busca isometrías
que permitan llevar el motivo mínimo al resto del mosaico.
Elige el menor número de isometrías de las encontradas y completa el mosaico.
Toma como base la baldosa de la figura siguiente. Colócala sobre mallas cua-
dradas y aplícale las siguientes isometrías:
1ª. Traslaciones de vectores BC y BA.
2ª. Reflexiones de ejes CD y AD.
3ª. 3 Giros de 90º y centro D.
399
16. ¿Son iguales los mosaicos que obtienes?
Traslación Simetría Giro
Parte ahora de esta nueva baldosa, aplícale distintas isometrías para construir
mosaicos y compáralos con los obtenidos por otras personas de tu clase.
Traslación Simetría Giro
Observa el mosaico de la figura de la izquierda.
Utilizando lo que ya sabes de simetrías, busca el motivo mínimo
que lo genera.
En el siguiente mosaico aparece señalado el motivo mínimo. Bus-
ca sistemas de generadores del mismo.
¿Te atreves ahora con otros
mosaicos de la Alhambra?
400
17. ISOMETRÍAS EN EL ESPACIO
Saliendo del plano, podemos analizar los poliedros poniendo énfasis en su
simetría, armonía, regularidad y belleza, frente a las descripciones de los ele-
mentos que los componen y otras propiedades. Busquemos las simetrías que
los organizan.
PLANOS DE SIMETRÍA DE LOS
POLIEDROS REGULARES
Como el cubo es el más familiar, empecemos buscando sus planos de sime-
tría. Recuerda que un plano de simetría es un espejo que refleja una parte del
objeto, de forma que lo podemos ver entero.
Utilizando pajitas de refresco unidas mediante hi-
los, construye un cubo. Marca los puntos medios de
4 aristas paralelas y coloca un espejo que pase por
los puntos marcados, ¿qué ocurre? ¿Se puede decir
que el espejo es un plano de simetría del cubo?
¿Cuántos planos de simetría de este tipo tiene el
cubo?
Ahora intenta colocar el espejo de forma que pase por las diagonales de dos
caras opuestas, ¿es otro plano de simetría? ¿Cuántos de estos habrá?
Busca otros planos de simetría; por ejemplo, los que pasen por las aristas del
cubo, ¿cuántos hay? ¿Tiene el cubo algunos otros planos de simetría?
Observa
Si se pasa del plano al espacio podemos encontrar los planos de simetría
del cubo a partir de los ejes de simetría del cuadrado.
Las rectas que pasan por los puntos medios de dos
lados paralelos de un cuadrado son ejes de simetría
de éste. Los planos que pasa por los ejes de simetría
de dos caras paralelas de un cubo son planos de sime-
tría del mismo. Un cubo tiene tres pares de caras pa-
ralelas, luego tendrá tres de estos planos de simetría.
Son planos paralelos a pares de caras.
401
18. Las diagonales de un cuadrado son los otros ejes de simetría del cuadrado.
Los planos que pasan por las diagonales de caras opuestas de un cubo son sus
otros planos de simetría. Como el cubo tiene 3 pares de caras opuestas, y por
cada par de caras hay 2 pares de diagonales, en total habrá 6 planos de sime-
tría de este tipo. Estos planos pasan por pares de aristas opuestas.
Definición
Llamaremos plano de simetría de un poliedro a un plano que pase por algún
eje de simetría de dos caras paralelas.
Una vez resuelto el problema de la búsqueda de todos los planos de simetría
del cubo, aplica un procedimiento análogo para encontrar planos de simetría
de los 4 poliedros regulares restantes y completa la tabla siguiente:
PLANOS DE SIMETRÍA DE LOS POLIEDROS REGULARES
Poliedro que pasan que son que son que pasan que pasan que pasan
por una paralelos perpendi- por pares por puntos por pares
arista y a pares culares al de aristas medios de de aristas
el punto de segmento opuestas pares de opuestas y
medio de caras que une aristas cortan por
otra pares de opuestas el punto
vértices medio a
otro par
de aristas
Tetraedro
Cubo 3 6
Octaedro
Dodecaedro
Icosaedro
Analiza los resultados de la tabla y compara lo que ocurre para las parejas de
poliedros duales.
402
19. Observa
El cubo y el octaedro (poliedros duales) tienen los mismos planos de sime-
tría, y la disposición de éstos en el espacio es exactamente la misma.
El dodecaedro y el icosaedro (poliedros duales) tienen los mismos planos
de simetría y con la misma disposición en el espacio.
EJES DE ROTACIÓN DE LOS
POLIEDROS REGULARES
Construye con cartulina o cartón fino, un cubo y un octaedro utilizando algu-
no de sus desarrollos planos.
Sobre el cubo, marca el centro de dos caras opuestas. Toma una varilla y hazla
pasar a través de los puntos marcados de forma que, apoyando la varilla sobre
la mesa, puedas girar el cubo. Colócalo en una posición cualquiera y fíjate
403
20. bien en él. Gíralo poco a poco, y cuenta el número de veces que aparece con
el mismo aspecto, antes de volver a la posición de partida.
Diremos que la varilla es un eje de rotación del cubo, de orden el número de
veces que se presenta con el mismo aspecto cuando se gira una vuelta comple-
ta alrededor del eje. En este caso se trata de un eje de rotación de orden 4.
Busca otros ejes de rotación del cubo, de orden 4. ¿Dónde están situados?
¿Cuántos hay?
Definición
Llamaremos eje de rotación de un poliedro a una recta tal que si se gira el
poliedro alrededor de ella, antes de dar una vuelta completa, éste aparece con el
mismo aspecto que en la posición inicial.
Llamaremos orden de rotación del eje al número de veces que aparece el polie-
dro con el aspecto inicial antes de completar una vuelta.
Recuerda que, en el plano, llamábamos orden de rotación de una figura al
menor número de veces que tenemos que girar la figura para que, permane-
ciendo invariante globalmente, vuelva a la posición original antes de comple-
tar una vuelta completa.
El centro de un cuadrado es un centro de giro, ¿de qué orden? ¿Encuentras
alguna relación entre el orden de rotación del cubo y el orden de rotación del
centro de sus caras?
Por ser poliedros duales, las caras del cubo se corresponden con los vértices
del octaedro. Toma el octaedro construido antes y haz pasar una varilla por
dos vértices opuestos del octaedro (que se corresponden a las dos caras opues-
tas del cubo). ¿Se trata de un eje de rotación del octaedro? ¿Cuál es su orden?
¿Cuántos de estos ejes encuentras?
¿Qué orden tienen los vértices de un octaedro? ¿Encuentras alguna relación
entre este número y el eje de rotación?
404
21. Hagámoslo ahora al revés. Haz pasar una varilla por dos vértices opuestos del
cubo y otra por el centro de dos caras opuestas del octaedro. ¿Son ejes de
rotación de estos poliedros? ¿De qué orden? ¿Cuántos hay?
El centro de una cara del octaedro es un
centro de rotación del triángulo equilá-
tero, ¿cuál es su orden? ¿Encuentras al-
guna relación entre este orden y el de los
nuevos ejes de rotación del octaedro?
¿Qué orden tienen los vértices del cubo?
¿Tiene alguna relación con el orden de
los nuevos ejes de rotación encontrados
en el cubo?
¿Tendrán más ejes de rotación estos poliedros? Prueba pasando una varilla
por los puntos medios de dos aristas opuestas, en ambos casos. ¿Qué ocurre?
Siguiendo un procedimiento análogo, analiza lo que ocurre con el resto de
poliedros regulares y completa la tabla:
EJES DE ROTACIÓN Y ORDEN DE LOS EJES
Poliedro Ejes de orden 2 Ejes de orden 3 Ejes de orden 4 Ejes de orden 5
Tetraedro
Cubo 6 4 3
Octaedro 6 4 3
Dodecaedro
Icosaedro
405