Probabilidades

Material Preparado por Olga S. Filippini y Hugo Delfino
Temas a desarrollar
“Probabilidad. Experimento aleatorio, espacio
muestral, variable aleatoria. Probabilidad condicional.
Sucesos mutuamente excluyentes e independientes.
Variable aleatoria. Esperanza y varianza de una
variable aleatoria. Distribución de probabilidad.”

Las teorías matemáticas, sobre todo las relacionadas
con fenómenos naturales, a los que se trata de
entender para luego poder predecir, se construyen
siempre a partir de conceptos intuitivos,
suficientemente claros para que puedan ser aplicados
en las primeras etapa de la teoría, pero no
suficientemente rigurosos para que queden a salvo
de objeciones cuando la misma alcanza cierto grado
de desarrollo. Se hace necesario, entonces, revisar
los fundamentos, precisar las definiciones y dar, si es
posible, una construcción axiomática.

Sin embargo, para comenzar a estudiar una teoría, no
siempre el camino axiomático es el mas recomendable.
Los axiomas son elaborados por quienes conocen muy
bien la teoría, y su verdadero sentido se comprende con
facilidad cuando se está familiarizado con el tema.
Es mejor empezar por definiciones tal vez no muy
exactas y con ejemplos simples, pero substanciales,
para poder comprender luego el verdadero sentido de
los axiomas, y para que los mismos aparezcan de
manera natural como expresión sintética y firme de
conocimientos ya adquiridos.

• Probabilidad: Es un valor comprendido entre 0 y 1, incluidos
estos dos valores, que describe la posibilidad de ocurrencia
de un evento.
• Experimento: Cualquier proceso que produce un resultado.
· Determinístico: Ante la repetición del mismo se obtiene
siempre el mismo resultado.
· Aleatorio: Repitiendo el experimento en idénticas
condiciones se obtienen distintos resultados.
• Punto muestral ó Resultado: Es un resultado particular de
un experimento.
• Evento: Es una colección de uno o mas resultados de un
experimento.

• Evento o Suceso Aleatorio: Es una colección
de uno o mas resultados de un experimento.
· E1=Sacar un 5 al tirar un dado
· E2=Sacar un número par al tirar un dado.
· E3=Sacar un número menor que 7 al tirar
un dado=EVENTO CIERTO
· E4=Sacar un número mayor que 6 al tirar un
dado=EVENTO IMPOSIBLE

• Sucesos mutuamente excluyentes:
· Dos sucesos A y B son mutuamente excluyentes
cuando la ocurrencia de uno de ellos impide la
ocurrencia del otro.
· P(A∩B)=P(AyB)=P(AB)=0
• Sucesos colectivamente exhaustivos
· Dos sucesos A y B son colectivamente exhaustivos
cuando al menos uno de ellos deba ocurrir siempre
que se realiza el experimento.
· Dicho en otras palabras, deberá cumplirse que la suma
de las probabilidades de todos los sucesos deberá ser
igual a 1.

• Espacio muestral: Es el conjunto de todos los posibles
resultados de un experimento.
• Suele representarse con la letra S. Puede visualizarse a través de
· Listas
– Conjunto de posibles resultados al tirar un dado={1;2;3;4;5;6}
· Diagramas de árbol
– Conjunto de posibles resultados al tirar dos monedas
C
C
S
C
S
S
4-3

· Tablas rejilla
– Conjunto de posibles resultados al tirar un dado rojo
y uno azul
11 21 31 41 51 61
12 22 32 42 52 62
13 23 33 43 53 63
14 24 34 44 54 64
15 25 35 45 55 65
16 26 36 46 56 66
4-3

· Conjuntos ( Diagramas de Venn)
– Se pretende representar a las mujeres, a los
universitarios pero es necesario tener en cuenta que
existen mujeres universitarias.
4-3
A B
mujeres
universitarios
Mujeres universitarias

· Tablas de doble entrada
– Cuando se tienen dos o mas variables con dos o
mas categorías cada una, por ejemplo hombres y
mujeres, Ingenieros Agrónomos y Licenciados en
Economía y Administración Agraria.
15555100
903060H
652540M
Lic.Ec. y Adm.Ing.Agr.
Recordemos cuales son los totales marginales y el gran total.

DEFINICION
CLASICA
PROBABILIDAD
CLASICA
DEFINICION
FRECUENCIAL
PROBABILIDAD
EMPIRICA
PROBABILIDAD
OBJETIVA
DEFINICION
SUBJETIVA
PROBABILIDAD
SUBJETIVA
TIPOS DE PROBABILIDAD
4-4

• Se basa en que todos los resultados son
· igualmente probables o equiprobables.
· Mutuamente excluyentes
· Colectivamente exhaustivos
posiblesresultadosdeNúmero
favorablesresultadosdeNúmero
=eventoundeadProbabilid
Ejemplo: Sea el experimento de tirar dos monedas a la vez
•El espacio muestral será S = {CC, CS, SC, SS}
•Consideremos el evento de que salga una sola cara.
•Probabilidad de una sola cara = {CS, SC}/{CC, CS, SC, SS}=
= 2/4 = ½ = 0,5.

• Cuando los resultados no son equiprobables la probabilidad de
ocurrencia de un evento se determina por observación del número
de veces que eventos similares ocurrieron en el pasado.
(frecuencia relativa)
nesobservaciodeNúmero
pasadoelenocurrióeventoelquevecesdeNúmero
=eventoundeadProbabilid
Ejemplo: Sea el experimento de estudiar una droga que cura
cierta enfermedad en vacunos enfermos. Se aplicó a 1000
vacunos y se curaron 700.
•El espacio muestral será S = {curado; no curado}
•Consideremos el evento de que el vacuno se cure.
•Probabilidad de curado = 700/1000=0,7

• Cuando no se tienen datos para ningún tipo de cálculo,
ni posibilidad de efectuar repetidamente el experimento,
se recurre a un experto, quien de acuerdo a su buen
saber y entender estimará la probabilidad.
Ejemplos:
•Calcular la probabilidad de que un tenista gane un campeonato
•Calcular la probabilidad de que un club de futbol salga campeón
•Calcular la probabilidad de que el precio de las acciones de una
compañía se incremente en dos años.

• Independientemente de que definición de probabilidad
utilicemos, siempre se deberán cumplir los siguientes
tres axiomas.
Axiomas:
•Axioma 1: La probabilidad de un evento existe y es un número
mayor o igual a cero
)(0 AP≤
•Axioma 2: La probabilidad de todo el espacio muestral es 1.
P(S)=1
•Axioma 3: Si dos eventos A y B son mutuamente excluyentes
P(A∪B)=P(A)+P(B)

φ
⊂ ≤
∀ ≤

• Si A y B son dos sucesos no mutuamente
excluyentes, luego la probabilidad de la unión entre
ambos está dada por la siguiente fórmula.
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
A and B
A
B
• Si A y B son dos sucesos mutuamente excluyentes,
se cumple:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

Un experimento genera
un espacio muestral que
contiene ocho sucesos
E1,...,E8 con p(Ei)=1/8,
i=1,...,8. Los sucesos A
y B se definen así:
A= {E1,E4,E6}
B= {E3,E4,E5,E6,E7}
Encuentre:
(a) P(A)
(b) P(Â)
(c) P(A U B)
A B
E1
E4
E6
E7
E3
E5
E8E1
a) P(A)= 3/8
(b) P(Â)= 5/8
(c) P(A U B)= P(A) + P(B) – P(A∩B)
P(A U B)= 3/8 + 5/8 – 2/8= 6/8= 0,75
resultado que es muy fácil verificar
visualmente en el diagrama.

• Dos eventos A y B son independientes cuando se
cumple que la probabilidad conjunta es igual al
producto de las probabilidades marginales.
PROBABILIDAD CONDICIONAL
• Probabilidad Condicional es la probabilidad de
ocurrencia de un evento en particular, dado que
otro evento ha ocurrido. La probabilidad
condicional de el evento A dado que el evento B
ha ocurrido se escribe P(A|B).

• Dados dos eventos A y B la probabilidad conjunta
de que ambos sucedan se calcula según la
siguiente fórmula:
P(A ∩ B) = P(A)*P(B|A) = P(B ∩ A) = P(B)*P(A|B)
• Si los eventos A y B son independientes la
probabilidad conjunta de que ambos sucedan
se calcula según la siguiente fórmula:
P(A ∩ B) = P(B ∩ A) = P(A)*P(B) = P(B)*P(A)

Un experimento genera un
espacio muestral que
contiene ocho sucesos
E1,...,E8 con p(Ei)=1/8,
i=1,...,8. Los sucesos A y B
se definen así:
A= {E1,E4,E6}
B= {E3,E4,E5,E6,E7}
Resolver: (a)
¿Son los sucesos A y B
mutuamente excluyentes?
¿Por qué? (b) ¿Son
los sucesos A y B
independientes? ¿Por qué?
(C) P(A∩B) (d)
P(A/B)
A B
E1
E4
E6
E7
E3
E5
E8E2
(a) No, porque A∩B≠0
(b) No, porque P(A)*P(B) ≠ P(A∩B)
3/8 * 5/8 ≠ 2/8
(c) P(A∩B) = 2/8= 0,25
(d) P(A/B)= P(A∩B) / P(B)= (2/8) / (5/8)= 2/5
Esto puede verse en el diagrama, ya que saber que
B ocurrió, reduce nuestro espacio muestral a los
cinco elementos de B. Y de ellos, sólo dos
pertenecen a A.

Dos candidatos a los consejos de administración A y B, compiten por el control de
una corporación. Las probabilidades de ganar de estos candidatos son 0,7 y 0,3,
respectivamente. Si gana A, la probabilidad de introducir un nuevo producto es 0,8;
si gana B, la correspondiente probabilidad es 0,4. Demuestre que, antes de las
elecciones, la probabilidad de que sea introducido un nuevo producto es 0,68.
A
B
N
Sugerencias: Recordar probabilidad condicional y probabilidad conjunta
Considerar todo el espacio muestral
Datos:
P(A)= 0,7 P(N/A)= 0,8
P(B)= 0,3 P(N/B)= 0,4
Solución:
P(N)= P(N∩A) + P(N∩B)
P(N)= P(N/A)*P(A) + P(N/B)*P(B)
P(N)= 0,8*0,7 + 0,4*0,3= 0,68
P(N∩A)
P(N∩B)

El 34% de los árboles de un bosque tienen más de 15 años. El 54% son de la
variedad A. De los de la variedad A, el 7% tiene más de 15 años. Si se elige un árbol
al azar,
a) ¿Cuál es la probabilidad de que tenga más de 15 años y sea de la variedad A?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que teniendo menos de 15 años, sea de la variedad A?
10,660,34
0,460,15780,3022Â
0,540,50220,0378A
-15+ 15
Datos:
P(+15)= 0,34 P(A)= 0,54
P(+15/A)= 0,07
Considerar tablas de contingencia
Solución:
a) P(+15∩A)= P(+15/A)*P(A)
= 0,07*0,54= 0,0378
b) P(A/-15)= P(A∩-15) / P(-15)
= 0,5022 / 0,66= 0,76

El 70% del ganado es inyectado con una vacuna para combatir una
enfermedad grave. La probabilidad de recuperarse de la enfermedad es 1 en
20 si no ha habido tratamiento y de 1 en 5 si hubo tratamiento. Si un animal
infectada se recupera, ¿cuál es la probabilidad de que haya recibido la vacuna
preventiva?
Datos:
P( I )= 0,7 P( R / I )= 0,2
P( Î )= 0,3 P( R / Î )= 0,05
Incógnita: P( I /R )
Regla del producto.
9,0
3,0*05,07,0*2,0
7,0*2,0
)(*)/()(*)/(
)(*)/(
)()(
)(
)(
)(
)/(
=
+
=
+
=
=
+
==
IPIRPIPIRP
IPIRP
IRPIRP
IRP
RP
RIP
RIP
II
II

Dado un experimento aleatorio y su correspondiente espacio
muestral se denomina variable aleatoria a la función que
asigna a cada elemento del espacio muestral un número real.
xsXRSX =→ )(/:
Ejemplo: Si se define la variable aleatoria X=número de caras obtenidas al
arrojar dos monedas
¿Quá valores puede tomar x?
X(SS)=0
X(CS)=X(SC)=1
X(CC)=2
Se denomina recorrido Rx al conjunto
de valores que puede tomar la variable.
S Rx
SS
CC
SC
CS
0
2
1

Una variable aleatoria es discreta cuando toma un número
contable de valores.Entonces entre dos valores
consecutivos de una variable aleatoria discreta no hay
ningún número que pertenezca al recorrido de la variable
Rx={X1;X2;…,Xn,…} donde cada Xi es un valor de la v.a.
En general , estos valores no serán igualmente probables,
sino que cada X tendrá asignada una probabilidad.
Luego, para caracterizar una variable aleatoria discreta es
necesario conocer su recorrido y la probabilidad de cada
elemento del recorrido

Sigamos con el ejemplo X= Cantidad de caras al
tirar dos monedas
P(X=0)= P(SS)= ¼
P(X=1)= P(SC;CS)= ½
P(X=2)= P(CC)= ¼
Función de distribución de probabilidad
0
0,25
0,5
0 1 2
X
P(X)
Propiedades
1) P(Xi)≥0 ∀Xi
∈
=
RiXi
XiP 1)()2

Una variable es continua en un intervalo cuando puede tomar cualquier
valor perteneciente al intervalo.
En general definiremos variables aleatorias continuas cuando las
experiencias consistan en medir peso, altura, longitud, tiempo,
temperatura, etc.
En este caso se define (en lugar de la función de distribución) una
función de densidad de probabilidad que tiene las siguientes
propiedades
1) f(x)≥0 ∀XεR
=≤≤⇒<
=
+∞
∞−
b
a
dxxfbxaPba
dxxf
)()()3
1)()2

La esperanza es un parámetro de la distribución.
Es una medida de tendencia central.
i
Rx
i xpxXE
xi ∈
==µ
== dxxfxXEµ
Si X es discreta
Si X es continua

La esperanza E(x) no es un resultado que esperararíamos cuando X se observa sólo
una vez.
Pero si observáramos un gran número de observaciones independientes de X el
promedio de esos resultados estará cerca de E(x).
Ejemplo:
En una operación comercial se puede obtener una utilidad de $1000 o sufrir
una pérdida de $500. Si la probabilidad de una utilidad es de 0,6, demuestre
que la utilidad esperada en dicha operación es de $400.
Primero definimos la variable aleatoria
X= utilidad en operación comercial
)()( i
Rx
i xpxXE
xi ∈
==µ E(X)=1000*0,6+(-500)*0,4
E(X)=400

Sean X e Y variables aleatorias y c una constante
perteneciente a los reales:
1) E (c ) = c
2) E (X+c ) = E(X) + c
3) E (cX) = c E(X)
4) E (X+Y) = E(X) + E(Y)
5) E (X-Y) = E(X) - E(Y)
6) Si X e Y son independientes E (XY) = E(X) * E(Y)

La variancia es un parámetro de la distribución. Es
una medida de dispersión de los valores de x
alrededor de E(X)
222

Sean X e Y variables aleatorias y c una constante
perteneciente a los reales:
1) V (c ) = 0
2) V (X+c ) = V(X)
3) V (cX) = c2 V(X)
4) Si X e Y son independientes V (X+Y) = V(X) + V(Y)
5) Si X e Y son independientes V (X-Y) = V(X) + V(Y)

P A B
P A P B A
P A P B A P A P B A
1
1 1
1 1 2 2

• Permutaciones: Algunos arreglos de r objetos
seleccionados de n posibles objetos.
• Nota: El orden de los arreglos es importante
en las permutaciones.
n
n
n r
r =
− !

• Combinaciones: El número de formas de
elegir r objetos de un grupo de n objetos sin
considerar el orden.
n rC
n
r n r
=
−

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