Este documento describe el método del cruce del arroyo para la asignación óptima de recursos desde varias fuentes a varios destinos minimizando los costos de transporte. El método implica iterativamente asignar pequeñas cantidades de recursos a celdas vacías en una tabla de costos hasta que no se pueda mejorar más la función objetivo. Se aplica el método a un ejemplo numérico para ilustrar los pasos.

1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE
CHIMBORAZO.
FACULTAD DE CIENCIAS POLÍTICAS Y
ADMINISTRATIVAS.
CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA.
INVESTIGACIÓN OPERATIVA II.
NOMBRE: NÉLIDA PILARPONCEGUAMÁN.
SEMESTRE: SEXTO SEMESTRE “A”.
FECHA: 21 DE NOVIEMBREDEL 2014.
MÉTODO DEL CRUCE DEL ARROYO.
El método del cruce del arroyo también llamado algoritmo de Stepping –Stone, es
un método de programación lineal que consiste en calcular cuál sería la variación
del costo del envió de una unidad de cierto producto por cada una de las ruta
posibles, es decir asignar cierta cantidad de artículos desde varios origines
(fabricas) a un conjunto de destinos (clientes) de tal manera que se disminuyan los
costos, hasta optimizar la función objetivo.
Para mostrar el funcionamiento de este método Vamos a determinar la solución
optima del siguiente modelo con el método del cruce del arrollo
DESTINOS
Fuentes 1 2 3 4 Oferta
1 10 0 20 11 15
2 12 7 9 20 25
3 0 14 16 18 5
Demanda 5 15 15 10 45

2. Tenemos 4 destinos y 3 fuentes cada fuente es de donde va a salir el material, y
los destinos serian los clientes.
En la parte inferior de la tabla tenemos la demanda de cada cliente y en la parte
derecha la oferta de cada fuente
Queremos determinar cuánto material enviar de cada fuente a cada destino
minimizando los costos, en la parte superior derecha están el costo de envió cada
celda, por ejemplo por cada artículo que se envié de la fuente dos al cliente dos
tendrá un costo de 7 unidades monetarias.
1. El primer paso es verificar que la oferta y la demanda son iguales, en
cuanto a la oferta15+25+5 serian 45 y la demanda seria 5+15+15+10 igual
a 45, es decir que son iguales
2. Hallar la solución inicial factible ya sea por el método de la esquina
noroeste, costo mínimo o aproximación de vogél, una vez hallada, se
calcula la solución es decir Z y verificamos si la solución es degenerada con
la formula numero de columnas mas numero de filas menos uno debe ser
menor o igual al número de celda vacias ( #C + #F – 1 ≤ # celdas vacias).
 Z= 410
 F+C-1 ≤numero de casillas llenas 4+3-1 ≤6 si se cumple
1. Luego pasamos esta solución a una nueva tabla para hacer la primera
iteración iniciamos colocando el número 10 en la parte derecha de la
primera fila, también puedes ser un cero por ejemplo y dará el mismo
resultado, El numero 10 va a representar toda la primera fila, así que
procedemos a restar el costo de las casillas llenas menos el numero 10.10
menos 10, cero, este número se coloca en la parte arriba, luego 0 menos
10… Menos 10, no continuamos porque las siguientes son vacías, así que
continuamos con el -10 que representa la segunda columna
DESTINOS
Fuentes 1 2 3 4 Oferta
1 10 0 20 11 15
2 12 7 9 20 25
3 0 14 16 18 5
Demanda 5 15 15 10 45

3. 1. Debido a que se necesita hallar una solución optima mejor que la anterior
hay que asignarle una cantidad de material a una de las celdas vacías, así
que comenzamos a sumar los números que hayamos, en cada casilla vacía
se suma el numero de la fila mas el de la columna.
Se marca con un punto las casillas en que la cantidad de material sea mayor al
costo en este caso son 17, 15 y 13, a la casilla que le vamos a asignar el material
es a la que tenga el menor costo de trasporte, en este caso es el 15 , pero si le
asignamos un valor a esta casilla la primera columna y la última fila quedan con
material de sobra, por esto le restamos esta misma cantidad a la fila y la columna,
luego la primera fila queda con menos material, por esto se le suma esta misma
cantidad a la casilla del 10, entonces la segunda columna queda con exceso de
material, así q se le resta esta misma cantidad a la celda siguiente que sería el 5 y
finalmente para equilibrar la segunda fila se suma este valor a la casilla del5 y de
esta manera cerramos el ciclo, y la cantidad de material asignado que se sumara y
restara en las casillas será el menor valor de las casillas con signo negativo, en
este caso sería el 5

4. Luego repetimos una vez más el ciclo desde el paso 3, hallamos la solución Z y si
la solución es degenerada:
Hallamos el costo en esta solución óptima y obtenemos
Z= 15(9)+10(20)= 335
De lo cual podemos observar que el costo mínimo es menor al hallado
anteriormente. Luego procedemos a verificar si la solución es degenerada #F
+ #C-1≤ casillas llenas de lo cual tenemos: 4+3-1 ≤ 4
Debido a que no se cumple al inecuación podemos deducir que esta solución si es
degenerada por lo cual necesitaremos una cantidad muy pequeña llamada
épsilon (E ) su valor tiende a cero , serian dos para cumplir la desigualdad. Al
finalizar obtenemos la siguiente tabla y repetimos el ciclo. Sabremos que hemos
terminado una vez el costo mínimo (Z) deja de disminuir o deja de haber casillas
marcadas con *
Z=7(10)+15(9)+10(11)=315
es decir que el costo disminuyo
Verificamos si la solución es degenerada y obtenemos 4+3-1≤5 no se cumple la
inecuación, por lo cual necesitamos una épsilon, Al finalizar obtenemos la
siguiente solución.

5. Si embargo en este caso no hay ninguna casilla en la que se pueda marcar * por
lo cual la respuesta con un costo de Z=315 es: