Este documento presenta la resolución de una ecuación en diferencias mediante el cálculo de su polinomio característico y la determinación de sus raíces. Se calculan las raíces del polinomio característico, que resultan ser números complejos. Esto permite encontrar la solución homogénea de la ecuación en diferencias original, la cual depende de constantes arbitrarias y funciones trigonométricas de las raíces complejas.

1. Problema UNAC – 2017, Matemática para Economistas II
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Ejercicio1
Resolver la siguiente ecuación en diferencias:
+ = 0 (1.1)
El polinomio característico asociado a (1.1) es:
( ) = ( + ) = [ ( + 1)] = 0 (1.2)
Como ≠ 0, tenemos que el polinomio característico se reduce a:
( ) = ( + 1) = 0 (1.3)
Siendo = = 0, dos raíces de la ecuación (1.3), las otras raíces están determi-
nadas por la siguiente ecuación:
( ) = + 1 = 0 (1.4)
La ecuación (1.4) no es factorizable en ℚ, esto es, no tiene ceros racionales2. Ésta
ecuación es denominada binómica, y puede ser expresada del siguiente manera
= ± , por lo que encontrar sus raíces, equivale a encontrar las raíces del nú-
mero complejo ± , esto es:
( ) = + 1 = 0 ⇔ = ±√ (1.5)
Podemos expresar (1.5) de la siguiente forma:
= (0 ± ) ⁄ (1.6)
Para el primer caso, expresándolo en forma general, tenemos que:
= 0 + = cos
2
+ sin
2
= cos
2
+ 2 + sin
2
+ 2 (1.7)
1 Examen Sustitutorio 2017-B.
2 Por un conocido teorema del álgebra, se establece la existencia de ceros racionales. Del poli-
nomio de grado n, ( ) = + + ⋯ + + . Si ⁄ es un cero racional, enton-
ces debe ser divisor de y divisor de . Para su demostración, véase Kurosh (1968).

2. Problema UNAC – 2017, Matemática para Economistas II
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El argumento de , = arg = arctan(Im Re⁄ ), siendo este = /2 y | | = 1.
Recordemos que, por el teorema de Moivre3, se tiene:
= | | (cos + sin ) = | | (cos + sin ) (1.8)
Entonces:
⁄
= cos
4
+ + sin
4
+ (1.9)
cuando toma los valores 0 y 1, tenemos primeras dos raíces de (1.3), siendo:
= 0 ⇒ ,
⁄
= cos
4
+ sin
4
=
√2
2
+
√2
2
(1.10)
= 1 ⇒ ,
⁄
= cos
5
4
+ sin
5
4
= −
√2
2
−
√2
2
(1.11)
Para el segundo caso, expresándolo nuevamente en forma general, tenemos que:
= 0 − = cos
3
2
+ sin
3
2
= cos
3
2
+ 2 + sin
3
2
+ 2 (1.12)
siendo ahora = 3 /2 y | | = 1. Por el teorema de Moivre:
⁄
= cos
3
4
+ + sin
3
4
+ (1.13)
Como en el caso anterior, cuando toma los valores de 0 y 1, obtenemos las otras
dos raíces de (1.3), siendo éstas:
= 0 ⇒ ,
⁄
= cos
3
4
+ sin
3
4
= −
√2
2
+
√2
2
(1.14)
= 1 ⇒ ,
⁄
= cos
7
4
+ sin
7
4
=
√2
2
−
√2
2
(1.15)
Con éstos resultados, las raíces de (1.3) son:
3 Espinoza (2000).

3. Problema UNAC – 2017, Matemática para Economistas II
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= 0 =
√2
2
+
√2
2
= −
√2
2
−
√2
2
(1.16)
= 0 =
√2
2
−
√2
2
= −
√2
2
+
√2
2
Con las raíces características halladas, podemos encontrar la solución homogé-
nea4 de (1.1), siendo esta solución, la siguiente:
= + + cos
2
+ sin
2
+ cos
3
2
+ sin
3
2
(1.17)
donde son constantes arbitrarias.
4 Véase Elaydi (2005) y Cull et al. (2005) para la solución homogénea cuando las raíces carac-
terísticas son complejas.

4. Problema UNAC – 2017, Matemática para Economistas II
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Referencias
Cull, P., Flahive, M. and Robson, R. (2005). Difference Equations, From Rabbits to
Chaos. Springer Science+Business Media, Inc. Springer, New York.
Elaydi, S. (2005). An Introduction to Difference Equations (3th ed.). Springer-Ver-
lag New York.
Espinoza R., E. (2000). Números Complejos y Ecuaciones Polinómicas. Servicios
Gráficos JJ, Lima, Perú.
Kurosh, A. G. (1968). Curso de Algebra Superior. Editorial MIR, Moscú.