Este documento presenta 3 problemas matemáticos. El primero resume el dominio de convergencia de una serie. El segundo calcula derivadas parciales y determina si una función es diferenciable y continua. El tercero calcula derivadas direccionales y encuentra la dirección de máxima derivada.

1. Prueba 1 MAT 237
Problema 1. (20 puntos) Encuentre el dominio de convergencia de la serie
1
2
1
( 1) ( 6)
5
n n
n
n
x
n


 
 .
Problema 2. (20 puntos) Sea f : 2
 la función definida para todo (x, y) 2
como
f(x, y) =
4
2 2
( , ) (0,0)
0 ( , ) (0,0)
x
si x y
x y
si x y



 
.
(2.1) Calcule (0,0)
f
x


y (0,0)
f
y


.
(2.2) Determine si f es diferenciable en (0, 0). Justifique.
(2.3) ¿Es f continua en (0, 0)? Justifique.
(2.4) ¿Es f diferenciable en (1, 0)? Si lo es, calcule f ´(1,0).
Problema 3.(20 puntos) Sea f :  una función diferenciable tal que f(3/2) = 1/2,
f ´(3/2) = 1 y
1
( , )
y
u x y f
x x
 
  
 
.
(3.1) Encuentre la derivada direccional de u en el punto (2, 3) en la dirección del
vector  = (-1, 1).
(3.2) ¿En qué dirección la derivada direccional de u en (2, 3) es máxima?. ¿Cuál es
el valor máximo de la derivada direccional de u en (2, 3)?.
Tiempo: 90 minutos
Fecha : 7 de abril de 2017
Instituto de Matemática

2. Solución Prueba 1.
Problema 1.
Se tiene que
21 2
2 1 2
6 6( 6) 5
lim lim 1
( 1) 5 ( 6) 5( 1) 5
n n
n nn n
n x xx n
n x n

 
 
   
  
si y sólo si
6 5x   . (5 puntos)
Por lo tanto, la serie
1
2
1
( 1) ( 6)
5
n n
n
n
x
n


 
 converge absolutamente en ]1, 11[ y diverge
en ], 1[ y también en ]11, [. (5 puntos)
Si x = 1 entonces
1
2 2
1 1
( 1) ( 5) 1
5
n n
n
n nn n
 
 
 
   , la cual converge pues p = 2 > 1.
(4 puntos)
Si x = 11 entonces
1 1
2 2
1 1
( 1) 5 ( 1)
5
n n n
n
n nn n
  
 
 
  converge. En efecto, la sucesión de
términos positivos 2
1
;n
n
 
 
 
es decreciente y 2
1
lim 0
n n
 . Luego, por el criterio
de Leibnitz, la serie
1
2
1
( 1)n
n n



 converge. (4 puntos)
En consecuencia, el dominio de convergencia de la serie
1
2
1
( 1) ( 6)
5
n n
n
n
x
n


 
 es
[1, 11]. (2 puntos)
Problema 2.
(2.1) Las derivadas parciales de f en (0, 0) son
2
0 0 0
( , 0) (0, 0) 0
(0, 0) lim lim lim 0
h h h
f h ff h
h
x h h  
 
   

(3 puntos)
y

3. 0 0
(0, ) (0, 0) 0 0
(0, 0) lim lim 0
k k
f k ff
y k k 
 
  

. (2 puntos)
(2.2) Se tiene que
 
4
42 2
32 2( , ) (0,0) ( , ) (0,0) ( , ) (0,0) 2 2
( , ) (0,0) (0 0)
lim lim lim 0
( , )h k h k h k
h
hf h k f
k hh k
h k h k h k
  
 
   
    
 
.
(2 puntos)
En efecto, para todo (h, k) 2
 {(0, 0)} se cumple que
   
4 4
3 3
2 2 2
0
h h
h
h k h
  

y
( , ) (0,0)
lim 0
h k
h

 . (2 puntos)
Por lo tanto, f es diferenciable en (0, 0). (1 punto)
(2.3) Como f es diferenciable en (0, 0) entonces f es continua en (0, 0).
(5 puntos)
(2.4) Como las derivadas parciales existen y son continuas en una bola centrada
en (1, 0) entonces f es diferenciable en (1, 0) y por lo tanto f ‘ (1, 0) existe.
(1 punto)
Además, para todo (x, y) 2
 {(0, 0)} se cumple que
3 2 2 5 5 3 2
2 2 2 2 2 2
4 ( ) 2 2 4
(x, )
( ) ( )
f x x y x x x y
y
x x y x y
   
 
  
y
4
2 2 2
2
(x, )
( )
f yx
y
y x y

 
 
. (2 puntos)
Luego,
(1, 0) 2
f
x



y (1, 0) 0
f
y



(1 punto)
y así, f ‘ (1, 0) = (2 0). (1 punto)

4. Problema 3.
(3.1) Derivando con respecto a x:
2 2
1 1
(x, )
u y y y
y f f
x x x x x x
    
         
; (2 puntos)
de donde
1 3 1 3 3
(2, 3)
4 2 2 2 4
u
f f
x
    
          
=
1
2
 . (1 punto)
Análogamente, derivando con respecto a y:
1 1
(x, )
u y
y f
y x x x
  
    
; (2 puntos)
de donde
1 3 1
(2, 3)
2 2 2
u
f
y
  
    
=
1
4
. (1 punto)
En consecuencia, como u es diferenciable en (2, 3) entonces la derivada direccional
de u en la dirección del vector  en el punto (2, 3) es
1 1 1 3 2
(2, 3) (2,3) , ( 1,1)
2 4 82
u
u

 
  
        
  
. (4 puntos)
(3.2) La derivada direccional de u en (2, 3) es máxima en la dirección del vector
1 1
(2,3) ,
2 4
u
 
   
 
. (5 puntos)
y el valor máximo de la derivada direccional de f en (2, 3) es ((2, 3)u =
5
4
.
(5 puntos)