Procedimiento para encontrar la ecuación general de una circunferencia que pasa por tres puntos dados.

1. Determinarlaecuacióngeneral de lacircunferencia que pasa por el punto 𝐴(−1;1), 𝐵(3; 5) y
𝐶(5;−3).
Primero escribimos la expresión que
representa la ecuación general de una
circunferencia:
𝑥2 + 𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0
Si una circunferenciapasaporun puntodado,
se tiene que ese punto pertenece a la
circunferencia, por lo tanto satisface su
ecuación, esto es que podemos reemplazar
las coordenadas del punto en lugar de la 𝑥 y
la 𝑦 de la ecuación:
𝐴(−1;1)
𝑥 = −1
𝑦 = 1
(−1)2 + (1)2 − 𝐷 + 𝐸 + 𝐹 = 0
1 + 1 − 𝐷 + 𝐸 + 𝐹 = 0
2 − 𝐷 + 𝐸 + 𝐹 = 0
−𝐷 + 𝐸 + 𝐹 = −2
Realizamos el mismo procedimiento para el
punto 𝐵: 𝐵(3;5)
𝑥 = 3
𝑦 = 5
(3)2 + (5)2 + 3𝐷 + 5𝐸 + 𝐹 = 0
9 + 25 + 3𝐷 + 5𝐸 + 𝐹 = 0
34 + 3𝐷 + 5𝐸 + 𝐹 = 0
3𝐷 + 5𝐸 + 𝐹 = −34
Exactamente lo mismo con el punto 𝐶:
𝐶(5;−3)
𝑥 = 5
𝑦 = −3
(5)2 + (−3)2 + 5𝐷 − 3𝐸 + 𝐹 = 0
25 + 9 + 5𝐷 − 3𝐸 + 𝐹 = 0
34 + 5𝐷 − 3𝐸 + 𝐹 = 0
5𝐷 − 3𝐸 + 𝐹 = −34

2. Se formaron tres ecuaciones con tres
incógnitas, las cuales pueden resolverse por
cualquier método conocido.
(1) − 𝐷 + 𝐸 + 𝐹 = −2
(2) 3𝐷 + 5𝐸 + 𝐹 = −34
(3) 5𝐷 − 3𝐸 + 𝐹 = −34
Despuésde resolverel sistemade ecuaciones
tenemos los siguientes resultados:
𝐷 = −
32
5
𝐸 = −
8
5
𝐹 = −
34
5
Con los valores obtenidos armamos la
ecuación de la circunferencia: 𝑥2 + 𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0
𝑥2 + 𝑦2 −
32
5
𝑥 −
8
5
𝑦 −
34
5
= 0