Resolución de una ecuación trigonométrica, paso a paso.

1. HKV TEX
Victor Solano Mora 1
Tema: Ecuaciones trigonométricas
Obtener el conjunto solución de
2 sen x cos x − cos2 x + sen2 x = 0
Solución:
Primero se factoriza un −1 en los términos que están al cuadrado y se agrupan con paréntesis de la
siguiente manera:
(2 sen x cos x) − (cos2 x − sen2 x) = 0
Ahora se aplican las identidades de ángulo doble para el seno y el coseno, las cuales corresponden a
sen(2x) = 2 sen x cos x y cos(2x) = cos2 x − sen2 x, entonces obtenemos:
sen(2x) − cos(2x) = 0
Lo anterior es equivalente a tener:
sen(2x) = cos(2x)
Esta última ecuación se puede dividir por cos(2x) y obtenemos:
tan(2x) = 1
En este punto, se resuelve la ecuación en el intervalo [0, 2[, de donde se obtiene que:
2x = 4
- 2x =
5
4
Las cuales son equivalentes a tener:
x = 8
- x =
5
8
Finalmente, ampliamos el conjunto solución a todos los reales añdiendo el periodo de tan(2x) que es 2
,
de esta forma el conjunto solución queda:
S = ›x R~x = 8
+ k
2 , con k Z