PROBLEMAS_RESUELTOS_DE_TRANSFERENCIA_DE.pdf

100
Universidad Técnica de Oruro
Facultad Nacional de Ingeniería
Ingeniería Mecánica-Electromecánica
POR:
Univ. ERWIN A. CHOQUE CONDE
PROBLEMAS RESUELTOS
DE TRANSFERENCIA DE
CALOR
Octubre-2007
ORURO BOLIVIA

 














 T
k
g
q
T
q
q
q
i
i
1
1
Q.
r 

( )
Q.
d
d
d


Q.r
r
Q.r
d
d
dr


Q.z
z
Q.z
d
d
dz




Univ. Erwin Choque Conde Página 1
INDICE
PROBLEMAS RESUELTOS
Transferencia de calor en régimen permanente………………………………….…….…….…….2
Sistemas con generación interna……………………………………………………….….…………14
Espesor técnico económico……………………………………………………………………………31
Aletas…………………………………………………………………………………………….…………40
Flujo bidimensional…………………………………………………………………….……….………..52
Conducción en régimen transitorio………………………………………………………….………..55
Convección………………………………………………………………………………………..……….62
Intercambiadores………………………………………………………………………………..….…….70
Radiación…………………………………………………………………………….………………..……86
ANEXOS
Anexo A. FORMULARIO………………………………………………………….…103
Anexo B. TABLAS Y GRAFICAS
B.-1 TABLA 1. ……………………….……………….………………. 106
B.-2 GRAFICA 1. PARA PLACAS…………………….………….….107
B.-3 GRAFICA 2. PARA CILINDROS………………….…………….108
B.-4 GRAFICA 3. PARA ESFERAS…………………………………..109
Anexo C. PROPIEDADES DE LOS MATERIALES……………………...………..110
Anexo D. UNIDADES Y TABLAS DE CONVERSIÓN Y EQUIVALENCIA……..138
Anexo E. BIBLIOGRAFÍA:……………………………………………………………156

PROBLEMAS DE TRANSFERENCIA DE CALOR
Transferencia de calor en régimen permanente
1. Se determina que el flujo de calor a través de una tabla de madera de 50[ mm ] de espesor es de 40[
2
/ m
W ] cuyas temperaturas sobre la superficie interna y externa son 40 y 20ºC respectivamente ¿Cuál
es la conductividad térmica de la madera?
DATOS:
2. Compare las velocidades de transferencia de calor a través de una muestra de madera de pino blanco
cuando la transferencia es transversal a la fibra y cuando es paralela a la fibra. La conductividad
térmica para el primer caso es 0.15 
C
m
W º
/ y para el segundo caso 0.35 
C
m
W º
/ .
SOLUCIÓN Para:
Pino transversal
Pino paralelo
Existe mayor transferencia de calor con el pino de fibra en paralelo
3. Un chip cuadrado isotérmico tiene un ancho w=5[ mm ] de lado y esta montado en un sustrato de
modo que sus superficie lateral e inferior están bien aisladas, mientras que la superficie frontal se
expone a la corriente de un fluido refrigerante a 15ºC. A partir de consideraciones de confiabilidad,
la temperatura del chip no debe exceder de 85ºC. Si el fluido refrigerante es aire y el coeficiente de
convección correspondiente es h=200  
C
m
W º
/ 2
a) ¿Cuál es la potencia máxima admisible del
chip? b) Calcule y elabore una gráfica de la potencia admisible como función de h para el rango
200<h<2000 
C
m
W º
/ 2
.
DATOS:
SOLUCIÓN a) El área de transferencia
La potencia máxima admisible
b)
Q
T1
T2
L
T2 40C
 Qa 40
W
m
2

T1 20C
 L1 50mm

km
Qa L1

T2 T1

 km 0.1
W
m C



T 1C

kt 0.15
W
m C

 Qt kt T

 Qt 0.15
J
m s



kp 0.35
W
m C

 Qp kp T

 Qp 0.35
J
m s



h
w
circuitos

T
w
T1
w 5mm

T1 85C

T 15C

h 200
W
m
2
C


Aw w w

 Aw 2.5 10
5

 m
2

Qadm Aw h
 T1 T

 

 Qadm 0.35 W

Qad h
( ) Aw h
 T1 T

 


h 200
W
m
2
C

300
W
m
2
C

 2000
W
m
2
C



0 1 10
3
 2 10
3

0
1
2
3
4
W/m2
ºC
W
Qad h
( )
h

4. Un fluido refrigerante de una unidad de refrigeración construida de acero (k=40 
C
m
W º
/ ) con
diámetro externo de 1.5 
m espesor de ¼¨ y 2 
m de altura, debe ser mantenido a una temperatura
constante de -16ºC El tanque esta localizado en un ambiente de aire acondicionado a 22ºC y esta
aislado con 2´´ de poliestireno (k=0.026 
C
m
W º
/ ) cuya temperatura externa debe ser mantenida
constante e igual a 21ºC. El operador a notado que hubo un aumento de temperatura en el ambiente,
debido a un defecto del termostato del aire acondicionado, ocasionando una variación de 10ºC en la
temperatura de la superficie externa del aislamiento térmico Calcule: a) La razón de variación de T.C.
a través del tanque b) El espesor del aislante para las nuevas condiciones ambientales.
DATOS:
El diámetro interno del tubo
Se desprecia el espesor del tubo
El área media logarítmica del aislante
El calor para las nuevas condiciones
b) El espesor del aislante requerido
De
et
Lt
Ti
Tw1
Tw2
eais
Ti 16
 C

k 40
W
m C


Tw1 21C

De 1.5m

eais 2in

et
1
4
in


kais 0.026
W
m C


Lt 2m

Tw2 31C

Di De 2 et


 Di 1.4873 m

Am1
2 
 Lt eais

ln 1
2 eais

De









 Am1 9.74048 m
2

Q1ais
Am1 kais

eais
Tw1 Ti

 

 Q1ais 184.4555 W

Q2ais
Am1 kais

eais
Tw2 Ti

 

 Q2ais 234.30834 W

Q%
Q2ais Q1ais

Q1ais
 Q% 27.02703 %


Q1ais
Am kais

en
Tw2 Ti

 


2 
 Lt
 kais

ln 1
2 en

De









Tw2 Ti

 

 Am
2 
 Lt
 en

ln 1
2 en

De










en
De
2
e
2 
 Lt
 kais
 Tw2 Ti

 

Q1ais
1










 en 6.51109 cm



5. Se conecta un resistor eléctrico a una batería, como se muestra en el esquema. Después de una
breve fluctuación transitoria, la resistencia toma una temperatura de estado estable casi uniforme
de 95 ºC, mientras que la batería y los alambres de conexión permanecen a la temperatura
ambiente de 25ºC No tome en cuenta la resistencia térmica eléctrica de los alambres de conexión.
a) Si se disipa energía eléctrica de manera uniforme dentro del resistor, que es un cilindro de
diámetro D=60 
mm y longitud Lr=25 
mm . a) Cuál es la velocidad de generación de calor
volumétrica g 
3
/ m
W b) Sin tener en cuenta la radiación del resistor. ¿Cuál es el coeficiente de
convección que debería tener para evacuar todo el calor?
DATOS:
La velocidad de transferencia de calor
El volumen de la resistencia El área de T.C. por convección
La generación volumétrica
El coeficiente de convección
6. Se requiere calcular la pérdida de calor de un hombre en un ambiente donde la temperatura de la pared
es 27ºC y del ambiente es de 20ºC si el ser humano tiene una temperatura superficial de 32ºC y un
coeficiente de transferencia de calor por convección entre el hombre y el ambiente y emisividad de 3
 
C
m
W º
/ 2
y =0.9 respectivamente, se sabe que un ser humano normal tiene una superficie corporal de
1.5m2, despreciar la resistencia térmica de la ropa. Calcular también la energía perdida en 24hr.
+
-
V=24V
I=6A

T
h
aire
resistor
V1 24V
 Lr 25mm

I1 6A

Dr 60mm

Tw 95C

T 25C

Qtr V1 I1

 Qtr 144 W

Vcil

4
Dr
2
 Lr

 Vcil 7.06858 10
5

 m
3

 Atr  Dr
 Lr


2
Dr
2


 Atr 0.01037 m
2

gvol
Qtr
Vcil
 gvol 2.03718 10
6

W
m
3


htr
Qtr
Atr Tw T

 

 htr 198.42694
W
m
2
C



Tw 27 273

( )K

hh 3
W
m
2
K

 td 24hr

T 20 273

( )K

 0.9
  5.67 10
8


W
m
2
K
4



Th 32 273

( )K

Ah 1.5m
2

Qh Ah hh
 Th T

 

 Qh 54 W

Qr  Ah
 
 Th
4
Tw
4






 Qr 42.37919 W

Qtot Qh Qr

 Qtot 96.37919 W

E Qtot td

 E 1.98891 10
6
 cal



7. Una sonda interplanetaria esférica de 0.5 
m de diámetro contiene dispositivos electrónicos que
disipan 150W la superficie de la sonda tiene una emisividad de 0.2 y la sonda no recibe radiación
de otras superficies como por ejemplo del Sol. a) ¿Cuál es la temperatura de la sonda si la del
ambiente es de 25ºC? b) Si en la superficie exterior de la sonda varia la emisividad en el rango de
9
.
0
2
.
0 
  graficar la temperatura de la sonda en función de la emisividad.
DATOS:
El área de la sonda
La variación de la temperatura
8. Se quiere diseñar un calentador de 10[ KW ] usando alambre de Ni - Cr (Nicrom). La temperatura
máxima de la superficie del Nicrom será 1650 ºK y la temperatura mínima del aire circundante es
370K. La resistividad del Nicrom es 110  
cm
*

 y la energía para el calentador está disponible a
12 voltios. a) ¿Qué diámetro de alambre se requiere si el calentador usa un solo trozo de 0.6 m de
longitud? b) ¿Qué longitud de alambre debería tener para un calibre de 14 (BWG 14. d = 0.083
 
lg
p ) c) Qué coeficiente de convección debería tener el ambiente para evacuar todo el calor en
ambos casos.
DATOS:
Dso 0.5m
  5.67 10
8


W
m
2
K
4


 1 0.2

T 273 25

( )K
 Qsonda 150W


As 4 

Dso
2






2

 As 0.7854 m
2


Qsonda 1 As
 
 Tw
4
T
4






 Tw
Qsonda
1 As
 

T
4









1
4
 Tw 396.54913 K

Tw 
( )
Qsonda
 As
 

T
4









1
4
  0.2 0.22
 0.9


0.2 0.4 0.6 0.8 1
320
340
360
380
400
Tw 
( )

T
h
aire
NICROM
V=12V
D
L O
1650K
Ncal 10 10
3
W


Tn 1650K

To 370K

 110 10
6

 
 cm


Vn 12V


La potencia
a)
b)
c)
9. Dos ambientes A y B de grandes dimensiones están separadas por una pared de ladrillo k=1.2
 
C
m
W º
/ de 12 
cm de espesor y de emisividad superficial de 0.78 la temperatura externa del
ladrillo en el ambiente B es de 120ºC y la temperatura del aire y sus alrededores del mismo
ambiente es de 30ºC la transferencia de calor por convección libre del ambiente B es de 20
 
C
m
W º
/ 2
encontrar la temperatura de la superficie interna del ladrillo en el ambiente A.
DATOS:
SOLUCIÓN:
Por balance de energía
Calor por Conducción =Calor por Convección + Calor por Radiación
Ncal Vn I


Vn
2
Rn

Vn
2
At

 L


Vn
2

 d
2

4 
 L


La 0.6m
 da
Ncal 4
 
 La

Vn
2


 da 0.76392 cm


db 0.083in
 Lb
Vn
2

 db
2

4 
 Ncal

 Lb 4.56965 cm


ha
Ncal
 La
 da
 Tn To

 

 ha 542.5542
W
m
2
K



hb
Ncal
 Lb
 db
 Tn To

 

 hb 25813.38996
W
m
2
K



B
T
A
T
B
A

hB

T
L
Q
L 0.12m

k 1.2
W
m K


TB 273 120

( )K

 0.78

TB 273 30

( )K

hB 20
W
m
2
K


 5.67 10
8


W
m
2
K
4



k
A
L
 TA TB

 
 A hB
 TB TB

 
 A 
 
 TB
4
TB
4








k
L
TA TB

 
 hB TB TB

 
  
 TB
4
TB
4








TA
hB TB TB

 
  
 TB
4
TB
4










 L

k
TB










TA 641.22126 K
 TA 368C


10. Una casa tiene una pared compuesta de madera (Lm=10 
mm , k=0.109 
C
m
W º
/ ), aislante de
fibra de vidrio (Lf=100 
mm , k=0.035 
C
m
W º
/ ) y tablero de yeso (Ly=20 
mm , k=0.814 
C
m
W º
/
), como se indica en el esquema. En un día frió de invierno los coeficientes de transferencia de
calor por convección son hi=60 
C
m
W º
/ 2
y he=30  
C
m
W º
/ 2
el área total de la superficie es de
350 
2
m si el aire interior se mantiene a 20ºC a) Determine una expresión simbólica para la
resistencia térmica total de la pared, incluyendo los efectos de convección interior y exterior para
las condiciones establecidas. b) Determine la expresión para la perdida de calor a través de la
pared. c) Grafique la potencia disipada en función del tiempo. d) Calcule la energía calorífica
transmitida del interior al exterior para un día. Si las condiciones mas realistas en las que el aire
exterior se caracteriza por una temperatura que varia con el día (tiempo), de la forma:
h
t
t
sen
K
T e 12
0
)
24
*
2
(
*
5
255
)
( 





Si t 
hr y T 
K
h
t
t
sen
K
T e 24
12
)
24
*
2
(
*
11
273
)
( 





Si t 
hr y T 
K
DATOS:
Madera
Fibra de vidrio
Yeso
a)
b) La transferencia de calor
10mm 100mm 20mm
i
T
e
T
madera
fibra de vidrio
yeso
ho hi
hi 60
W
m
2
K


Atrf 350m
2

Ti 273 20

( )K

he 30
W
m
2
K


km 0.109
W
m K

 Lm 10mm

kf 0.035
W
m K

 Lf 100mm

ky 0.814
W
m K

 Ly 20mm

R
1
hi Atrf

Lm
km Atrf


Lf
kf Atrf


Ly
ky Atrf


1
he Atrf










 R 0.00864
K
W


Tma
ñ
t1
( ) 273K 5 sin
2 

24 hr

t1







 K


 t1 0hr 0.1hr
 12hr


Ttar t2
( ) 273K 11 sin
2 

24 hr

t2







 K


 t2 12hr 13hr
 24hr


Qma
ñ
t1
( )
Ti Tma
ñ
t1
( )

1
hi Atrf

Lm
km Atrf


Lf
kf Atrf


Ly
ky Atrf


1
he Atrf



Qtar t2
( )
Ti Ttar t2
( )

1
hi Atrf

Lm
km Atrf


Lf
kf Atrf


Ly
ky Atrf


1
he Atrf




c)
d) Energía diaria que pierde
11. Por un tubo de material (AISI 304) de 2” de diámetro interior y ½” de espesor, circula vapor a 5 
Bar
y esta expuesto al medio ambiente de 30ºC con un coeficiente de convección de 10 
C
m
W º
/ 2
,
calcular el flujo de color por la tubería por metro de longitud.
DATOS:
Del material (AISI 304)
Área interna del tubo
Área externa del tubo
El área media logarítmica del tubo
El calor transmitido
0 4 10
4
 8 10
4

260
265
270
275
280
Tma
ñ
t1
( )
Ttar t2
( )
t1 t2

0 4 10
4
 8 10
4

1.5 10
3

2 10
3

2.5 10
3

3 10
3

3.5 10
3

4 10
3

Qma
ñ
t1
( )
Qtar t2
( )
t1 t2

Q
t
E
d
d
 E1
0hr
12hr
t1
Qma
ñ
t1
( )



d
 E1 8.40996 10
7
 J


E2
12hr
24hr
t2
Ti Tma
ñ
t2
( )

 
R




d
 E2 1.15936 10
8
 J


ET E1 E2

 ET 2.00036 10
8
 J

di
de
L
Tsat
h

T
di 2in

k 16.6
W
m C


et 0.5in

h 10
W
m
2
C


de di 2 et



Tsat

T
R cond R conv
Q T 30C
 de 0.0762 m

Tsat 151.86 C
 L 1m

Q
Tsat T

Rcond Rconv


Tsat T

et
Am k

1
Ae h



Ai  di
 L

 Ai 0.15959 m
2

Ae  de
 L

 Ae 0.23939 m
2

Am
Ae Ai

ln
Ae
Ai








 Am 0.1968 m
2

Q
Tsat T

et
Am k

1
Ae h



Q 289.03011 W


12. Una mezcla química se almacena en un contenedor esférico (k=50 
C
m
W º
/ ) cuyo radio exterior
es de 208 
mm y un espesor de 20 
mm . En la pared interna de la esfera la temperatura se
mantiene constante a 150ºC. Calcular la transferencia de calor si este esta expuesto al medio
ambiente de 15ºC y un h=12.25 
C
m
W º
/ 2
. Se propone cubrir con una capa de aislante “lana de
vidrio” de espesor 10 
mm para reducir las perdidas de calor; en que porcentaje disminuye la T.C.
con el aislante. DATOS:
El área interna de la esfera
El área externa de la esfera
ó interna del aislante
El área externa del aislante
El área media cuadrática de la esfera
El área media cuadrática del aislante
a) Esfera sin aislante
b) Esfera con aislante
Tsat
re
h

T
h
et
eais
Tsat 150C

k 50
W
m C


T 15C

re 0.208m

kais 0.04
W
m C


et 20mm

ri re et

 ri 0.188 m

Riais re

h 12.25
W
m
2
C


eais 10mm

Reais Riais eais

 Reais 0.218 m

Ai 4 
 ri
2

 Ai 0.44415 m
2

Ae 4 
 re
2

 Ae 0.54367 m
2

Aeais 4 
 Reais
2

 Aeais 0.5972 m
2

Am 4 
 ri
 re

 Am 0.4914 m
2

Amais 4 
 re
 Reais

 Amais 0.56981 m
2


T
R cond R conv
Q
Q1
Tsat T

et
Am k

1
Ae h


 Q1 894.2487 W

Tsat

T
R cond
R conv
Q
R cond aisl
Q2
Tsat T

et
Am k

eais
Amais kais


1
Aeais h



Q2 234.27394 W

%Q
Q1 Q2

Q1
 %Q 73.80215 %



13. Dos varillas de cobre largas de diámetro D=10 
mm , L=70 
mm cada una, se sueldan juntas
extremo con extremo; la soldadura tiene un punto de fusión de 650°
C. Las varillas están en aire a
25°
C con un coeficiente de convección de10 
C
m
W º
/ 2
. ¿Cuál es la potencia mínima de entrada
necesaria para efectuar la soldadura?
DATOS:
14. Las temperaturas de la superficie interior y exterior de una pared plana de 0.60 
m de espesor se
mantienen constantes a 773 K y 323 K, respectivamente. El material de la pared tiene
conductividad calorífica que varía linealmente con la temperatura, de acuerdo con la expresión k =
0.116[0.454 + 0.002T]  
C
m
W º
/ . Determinar: a) La transferencia de calor b) Demuestre que a la
transferencia de calor será el mismo cuando la conductividad térmica es calculada a la temperatura
media aritmética de la pared. c) Grafique la distribución de temperatura y la conductividad térmica
en función de la distancia.
DATOS:
a)
b)
D
L
h

T
L
Tf
dv 10mm
 Lv 70mm

Tf 650C

ha 10
W
m
2
C


Ta 25C

Qh 2 dv
 Lv
 ha
 Tf Ta

 


Qh 27.48894 W

T1=773K
T2=323K
K=o*(p+q*T)
At
Qtra
X[m]
T[K]
etr 0.6m
 At 1m
2

T1 773K
 T2 323K

k1 0.116 0.454 0.002 T


( )

W
m K



o 0.116
W
m K

 p 0.454

q 0.002
1
K


k1 T
( ) o p q T


( )


Qtra k
 A

x
T
d
d








0
etr
x
Qtra
At





d
T1
T2
T
o p q T


( )




d


Qtra
At
etr
 o p T1 T2

( )

q
2
T1
2
T2
2

 











Qtra
o At

etr
p T1 T2

( )

q
2
T1
2
T2
2

 









 Qtra 134.85 W


Tm
T1 T2

2
 Tm 548 K

k1m o p q Tm


 

 k1m 0.1798
W
m K



Qtra1
k1m At

etr
T1 T2

( )

 Qtra1 134.85 W



c) La distribución de temperatura y la conductividad
15. Algunas secciones de una tubería que transporta combustóleo están soportadas por barras de
acero (k=61 
C
m
W º
/ ) de 0.005 
2
m de sección transversal. En general la distribución de
temperatura a lo largo de las barras es de la forma: 2
*
10
150
100
)
( x
x
x
T 

 donde T esta en
grados Celsius y “x” en metros. Calcule el calor que pierde de la tubería a través de cada barra.
Para el flujo máximo
16. Un cono truncado solidó tiene una sección transversal circular, y su diámetro esta relacionado con
la coordenada axial mediante una expresión de la forma de 2
/
3
* x
a
D  donde  
2
/
1
.
1 
 m
a la
superficie lateral esta bien aislada, mientras que la base pequeña se encuentra en x1=0.0075 
m y
tiene una temperatura de 100ºC y la base mayor se encuentra a x2=0.225 
m y una temperatura
de 20ºC. a) Hallar el flujo de calor b) Derive una expresión para la distribución de temperatura T(x)
c) graficar la distribución de temperatura, si el cono es de aluminio (k=240  
C
m
W º
/ ).
DATOS:
Incógnitas
a) T (x)
b) Q
x T
( )
At o

Qtra
p T1 T

( )

q
2
T1
2
T
2

 









 T 773K 323K
 323K


300 400 500 600 700 800
0
0.2
0.4
0.6
x T
( )
k1 T
( )
T
k 61
W
m C

 Ai 0.005m
2

Tx 100 150 x

 10 x
2



x
Tx
d
d
150
 20 x


( )
C
m

Q k
 Ai

x
Tx
d
d







 k
 Ai
 150
 20 x


( )

 x 0

Q k
 Ai
 150
 20 x


( )
C
m













 Q 45.75 W


2
/
3
*x
a
D 
X
D/2
T2
T1
Q
x1
x2
x1 0.0075 m

a 1 m
1
2



T1 100C

x2 0.225m

k 240
W
m C


T2 20C


La ecuación de conducción
a)
...1 )
... 2)
b) De la ecuación 2
c)
17. Hallar la distribución de temperatura, el flujo de calor y el área media de una esfera hueca de radio interno
R1 y externo R2, cuyas temperaturas interna y externa son T1 y T2 respectivamente.
T
k
x
A
Q
x



 
 *
*
)
(
x
T
A
k
Q x



 *
* )
( 
T
k
x
x
a
Q













 *
*
*
*
*
4
2
2
3

T
k
x
D
Q



 
 *
*
*
*
4
2


  T
k
x
x
a
Q



 
 *
*
*
*
*
4
3
2

 
2
1
2
1
2
2
)
(
*
*
*
)
2
(
*
4 T
T
x
x T
k
x
a
Q




)
1
(
*
)
1
1
(
*
*
2
2
2
1
2
2
2
T
T
k
x
x
a
Q





)
1
1
(
*
2
)
1
(
*
*
*
2
1
2
2
2
2
x
x
T
T
k
a
Q




 
Q

2
a
2
 k

T2 T1

1
x2
2
1
x1
2


 Q 1.69835 W

  T
k
x
x
a
Q



 
 *
*
*
*
*
4
3
2
  
T
T
x
x T
k
x
a
Q
1
1
2
2
)
(
*
*
*
)
2
(
*
4





)
1
(
*
)
1
1
(
*
*
2
2
1
2
2
T
T
k
x
x
a
Q




T x
( ) T1
2 Q

 k
 a
2

1
x
2
1
x1
2











 x 0.0075 m 0.01m
 0.225m


0 0.1 0.2 0.3
0
20
40
60
80
100
T x
( )
x

 














 T
k
g
q
T
q
q
q
i
i
1
1
0
1 2
2











x
T
x
x
x 
 









 x
x
T
r *
0
2


La distribución de temperatura es:
El calor transferido es:
El área media es:
18. En el cubo interior de10 
cm de lado de plastoform con un espesor de 10 
cm se introduce trozos
de hielo con una masa total de 1 
kg , después de 45 
min , se pudo observar que una parte del
hielo se fusiona y se extrae un volumen de agua de 30ml.¿Calcular la conductividad térmica del
aislante (plastoform) y el coeficiente de T.C. por convección externo del cubo, considerando que la
temperatura en la superficie exterior se mantiene a una temperatura de 13ºC.
DATOS:
La masa del hielo convertido en agua
El calor transmitido por el aislante al hielo
El área variable respecto a la coordenada "x"
x
r
C
x
T










 
 2
1
2
1
)
( C
r
C
T r 


1
2
1
1
1
)
( T
C
R
C
T R
r
r 




)
2
1
(
2
*
1
*
)
2
1
(
1
R
R
R
R
T
T
C




2
2
2
1
2
)
( T
C
R
C
T R
r
r 




)
2
1
(
2
*
)
2
1
(
1
2
R
R
R
T
T
T
C





1
)
2
1
(
2
*
)
2
1
(
)
1
2
(
*
2
*
1
*
)
2
1
(
)
( T
R
R
R
T
T
R
R
r
R
R
T
T
T r 






2
2
2
2 )
)
1
2
(
*
2
*
1
*
)
2
1
(
(
*
*
*
4
*
*
)
(
* R
r
R
r
R
R
r
R
R
T
T
r
k
r
T
r
A
k
Q 







 
 
W
R
R
T
T
R
R
k
Q
)
1
2
(
)
2
1
(
*
2
*
1
*
*
*
4


 
Am
R2 R1

r
1
A r
( )





d

R2 R1

R1
R2
r
1
4 
 r
2






d

R1 R2

1

4 

1
R2
1
R1








 4 
 R1
 R2


w
w
w
Two 13 273.15

( )K

wo 10cm

Toi 273.15 K

eo 10cm

Lo wo 2 eo


 Lo 0.3 m
 h2o 1000
kg
m
3

mh 1kg

tf 45min
 Lfo 80000
cal
kg

Lo
Wo
Two
Toi
X
L
Tx
Ax
eo
Vh2o 30 10
6

 m
3

 T 15 273.15

( )K

mo h2o Vh2o

 mo 0.03 kg

Qo
mo Lfo

tf
 Qo 3.7216 W

Ax wo
Lo wo

eo
x










2


Para el área media se tiene la siguiente formula
El área total de transferencia
El calor por conducción
La conductividad del aislante
El coeficiente de convección
Am
eo
x
1
Ax





d


Am Lo wo

 Lo


x
1
Ax





d
eo
Lo wo

 Lo


Am 0.06 m
2


AmT 6 Am

 AmT 0.36 m
2

Q ko Am

Tw To

 
eo


ko
Qo eo

AmT Two Toi

 



ko 0.07952
W
m K



hc
Qo
6 Lo
 Lo
 T Two

 

 hc 3.44593
W
m
2
K




Q.
r 

( )
Q.
d
d



Q.r
r
Q.r
d
d
dr


Q.z
z
Q.z
d
d
dz



Eentra Egenerado
 Esale
 Ealmacenado

Eentra Qr Q
 Qz


Esale Qr
r
Qr
d
d
dr








Q
r 

( )
Q
d
d
d








 Qz
z
Qz
d
d
dz










Eentra Esale

r
Qr
d
d
dr

r 

( )
Q
d
d
d


z
Qz
d
d
dz










Q k
 A

dT
dx


Qr kr
 dz d r 

( )

( )

dT
dr

 kr
 r
 dz
 d

dT
dr


r
Qr
d
d r
kr r
 dz
 d

dT
dr







d
d


Q k
 dr dz

( )

dT
d

 k
 dz
 dr

dT
d


r 

( )
Q
d
d r 

( )
k dz
 dr

dT
d







d
d


Qz kz
 dr d r 

( )

( )

dT
dr

 kz
 r
 dr
 d

dT
dz


z
Qz
d
d z
kz r
 dr
 d

dT
dz







d
d



Reemplazamos estas ecuaciones en la ecuación b)
.... c)
.... d)
.... e)
Las ecuaciones c),d) y e) reemplazamos en la ecuación a) y dividiendo entre ( )
Entonces la ecuación general de la conducción para flujo cilíndrico es:
La ecuación de difusión de Fourier:
La ecuación de Poissón:
La ecuación de La place:
20. Una pared plana de 10 
cm de espesor (K=19 
C
m
W º
/ ) genera calor en su interior a la rapidez de
0.41 
3
/m
MW . La superficie interna de la pared esta perfectamente aislado y la superficie externa
se expone a un ambiente a 89ºC. El coeficiente de convección entre la pared y el ambiente es de
570 
C
m
W º
/ 2
calcule la distribución de temperatura, y la temperatura máxima.
DATOS
Incógnita
T (x)
Condiciones
- régimen permanente
- coordenadas rectangulares i=0 , q=x
- con generación de energía
Eentra Esale

r
kr r

dT
dr







d
d
 dz d

( )
 dr


k
dT
d







d
d
dz
 dr
 d


z
kz
dT
dz







d
d
dr
 d
 dz



Egenerado V
g



d
 g dr
 d r 

( )

 g r
 dr
 d
 dz


Ealmacenado m Cp
 T

  V
 Cp
 T

  r dr
 d
 dz

( )
 Cp

dT
d


r k
 dr
 d
 dz

k kr
 kz
 k

1
r r
r
dT
dr







d
d

1
r
2 
dT
d






d
d


z
dT
dz






d
d

g
k
  Cp

dT
d


1
r r
r
dT
dr







d
d

1
r
2 2

T
d
d
2


2
z
T
d
d
2

g
k
  Cp

dT
d


g 0

1
r r
r
dT
dr







d
d

1
r
2 2

T
d
d
2


2
z
T
d
d
2
  Cp

dT
d


dT
d
0

1
r r
r
dT
dr







d
d

1
r
2 2

T
d
d
2


2
z
T
d
d
2

g
k
 0

g 0

dT
d
0

1
r r
r
dT
dr







d
d

1
r
2 2

T
d
d
2


2
z
T
d
d
2
 0

h

T
L
Q=0
g
k
L 10cm
 g 0.41 10
6

W
m
3

k 19
W
m C

 T 89C

h 570
W
m
2
C



SOLUCIÓN:
........ 1)
Por la condición de frontera de segunda clase
Por la condición de frontera de tercera clase
Calor generado = Calor por convección
Se reemplaza en la ecuación 1
La temperatura máxima es cuando x=0

 














 T
k
g
q
T
q
q
q
i
i
1
1
0
1 0
0












k
g
x
T
x
x
x
0












k
g
x
T
x

x
k
g
x
T











 
 










 x
k
g
x
T
1
C
x
k
g
x
T











 
x
C
x
k
g
T 









 1 
 









 x
C
x
k
g
T 1

2
*
1
*
2
2
)
( C
x
C
x
k
g
T X 



0
1
0
1
)
(
)
0
( 







 C
x
k
g
f
x
x
T
x  C1 0

h
g Q
Q 
)
T
)
(
(
*
*
* 
 
 L
X
x
T
A
h
V
g )
2
*
2
(
*
*
*
* 2




 T
C
L
k
g
A
h
L
A
g




 T
k
L
g
h
L
g
C
*
2
*
* 2
2





 T
k
L
g
h
L
g
x
k
g
T X
*
2
*
*
*
2
2
2
)
(
  



 T
h
L
g
x
L
k
g
T X
*
*
*
2
2
2
)
(

  
 


 T
h
L
g
L
k
g
T X
X
*
0
*
*
2
2
2
0
)
(
Tx0
g
2 k

L
2

g L

h
 T

 Tx0 268.82456 C


21. Una varilla larga de acero inoxidable de 20 
mm *20 
mm de sección transversal cuadrado, esta
aislado en tres de sus lados y se mantiene a una temperatura de 400ºC en el lado restante.
Determínese la temperatura máxima en la varilla cuando esta conduciendo una corriente de 1000
Amperios. La conductividad térmica y eléctrica del acero inoxidable se puede suponer que es de
46 
C
m
W º
/ y 1.5E4  1


 cm y se puede despreciar el flujo de calor en la varilla.
DATOS:
Condiciones
Incógnita:
SOLUCIÓN:
El área transversal
La resistencia
El calor generado
El calor generado por unidad de volumen
De la Ecuación general de la conducción
........ 1)
Por condición de frontera de primera clase
En la ecuación 1)
La temperatura máxima es cuando x=0 :
I
a
a
L
W
T
a 20mm
 I 1000 A

ke 1.5 10
4

1
 cm



kt 46
W
m C


Tw 400C

L 1m

Tmax º
C
( )
At a a

 At 0.0004 m
2

R
1
ke
L
At

 R 0.00167 


G I
2
R

 G 1666.66667 W

g
G
V
 g
G
At L

 g 4.16667 10
6

W
m
3



 














 T
k
g
q
T
q
q
q
i
i
1
1
0












ke
g
x
T
x
2
*
1
*
2
2
)
( C
x
C
x
kt
g
T X 




0
1
0
1
)
(
)
0
( 







 C
x
kt
g
f
x
x
T
x  C1 0

2
*
2
2
)
( C
a
kt
g
T
T w
a
X
X 



 w
T
a
kt
g
C 
 2
*
2
2

T x
( )
g
2 kt

a
2
x
2

 
 Tw

 x 0m 0.001m
 0.02m


0 0.01 0.02
400
405
410
415
420
T x
( )
x
Tmax
g
2 kt

a
2
 Tw

 Tmax 418.11594 C


22. Una pared plana de dos materiales, A y B, la pared del material A tiene una generación de calor
uniforme g=2.1E6  
3
/ m
W kA=65 
C
m
W º
/ y un espesor LA=50 
mm . El material B de la pared
no tiene generación y su kB=150 
C
m
W º
/ y el espesor LB=20 
mm . La superficie interior del
material A esta bien aislada mientras que la superficie exterior del material B se enfría con un flujo
de agua con C
T º
30

 y h=5000. 
C
m
W º
/ 2
. a) Dibuje la distribución de temperatura que existe
en el compuesto bajo condiciones de estado estable, b) Determinar la temperatura To de la
superficie aislada c) Calcule la temperatura T2 de la superficie enfriada.
DATOS:
Incógnitas:
a) T(x)
b) To
c) T2
Condiciones
SOLUCION:
De la Ecuación general de la conducción en la pared plana se tiene
El volumen de la placa generada
Balance de energía
h
LA
g
k
LB
KA KB
2
T
Q=0 
T
1
T
g 2.1 10
6

W
m
3

 A 1m
2

LB 20mm

KA 65
W
m C


T 30C

LA 50mm

KB 150
W
m C

 h 5000
W
m
2
C


2
*
1
*
2
2
)
( C
x
C
x
K
g
T
A
X 



0
1
0
1
)
(
)
0
( 







 C
x
K
g
f
x
x
T
A
x  C1 0

2
*
2
2
1
)
( C
L
K
g
T
T A
A
a
X
X 



 1
2
*
2
2 T
L
K
g
C A
A


Vvol LA A

 Vvol 0.05 m
3


Qg Qk
 Qh

g Vvol
 A h
 T2 T

 

 T2
g LA

h
T

 T2 51 C

g Vvol

KB A

LB
T2 T1

 

 T1
g LA
 LB

KB
T2

 T1 65 C


La temperatura máxima
23. Graficar la distribución de temperaturas donde en una placa formada de un material de
conductividad 30 
C
m
W º
/ de 20 
mm de espesor, en el que se genera calor a una rapidez de
5*E7 
3
/ m
W . La placa esta refrigerada por ambos lados con agua en un lado a 60ºC y en el otro a
90ºC con un coeficiente de traspaso de calor de 8500 
C
m
W º
/ 2
y 7900 
C
m
W º
/ 2
en uno y otro
lado respectivamente. Calcule también la temperatura máxima y su posición.
DATOS:
La solución general es:
TA x1
( )
g
2 KA

LA
2
x1
2





 T1

 x1 0mm 0.1mm
 50mm


TB x2
( ) T1
g LA

KB
x2 LA

 


 x2 50mm 55mm
 70mm


0 0.02 0.04 0.06
50
100
150
TA x1
( )
TB x2
( )
x1 x2

x1 0
 TA x1
( ) 105.38462 C


T
T2
T1
2

T 1
h1
h2
L
x
p
kp 30
W
m C


T2 90C

Lp 20mm

h1 8500
W
m
2
C


gp 5 10
7

W
m
3

h2 7900
W
m
2
C


T1 60C

2
x
T
d
d
2 gp
kp
 0

x
T
d
d
gp

kp
x
 C1



T
gp

2 kp

x
2
 C1 x

 C2



Por condiciones de frontera de primera clase:
x 0


kp

x
T
d
d






 h1 T1 T x
( )

 

 kp
 C1
 
 h1 T1 C2

 


x Lp


kp

x
T
d
d






 h1 T x
( ) T2

 

 kp

gp
 Lp

2 kp

C1







 h1
g
 Lp
2

2 kp

C1 Lp

 C2
 T2











C1
T1 T2

gp Lp
2

2 kp


gp Lp

h2

kp

h1
kp
h2
 Lp



C1 17927.97457
C
m


C2
kp C1

h1
T1



C2 123.2752 C

T x
( )
gp
 x
2

2 kp

C1 x

 C2

 x 0mm 1mm
 20mm


0 0.01 0.02
120
140
160
180
200
220
T x
( )
x
x
T
d
d
g

k
x
 C1

 0
 x
C1 kp

gp
 x 0.01076 m

T x
( ) 219.69889 C


24. Un alambre de cobre de 1 
mm de diámetro esta uniformemente aislado con un material plástico
de forma que el diámetro externo del conductor aislado es de 3 
mm el conductor esta expuesto a
un ambiente de 38ºC. El coeficiente de transmisión de calor desde la superficie exterior del plástico
a los alrededores es de 8.5 
C
m
W º
/ 2
a) Cuál es la máxima corriente que en régimen estacionario
puede conducir este alambre sin que sobrepase en ninguna parte del plástico el limiten de
operación que es de 93ºC? las conductividades caloríficas y eléctricas se suponen constantes para
el cobre y son 377 
C
m
W º
/ y 5.7E5 1


 cm respectivamente, para el plástico kp=0.35 
C
m
W º
/
b) Cual es el flujo de calor c) Grafique la distribución de temperatura.
DATOS:
Condiciones
- coordenadas cilíndricas i=1 , q=r
El área de transferencia de calor por convección
El área media logarítmica del aislante
De la ecuación general de la conducción
Para nuestras condiciones
Q
h
d=1mm
D=3mm
Tw1
kais
Kcu

T
T2
d 1mm

Lcu 1m

D 3mm

T 38C
 eais
D d

2

h 8.5
W
m
2
C

 eais 0.001 m

Tw1 93C
 kais 0.35
W
m C


kcu 377
W
m C



cu 5.7 10
5

1
 cm



Atcu

4
d
2

 Atcu 7.85398 10
7

 m
2

Ae  D
 Lcu

 Ae 0.00942 m
2


Amais
 Lcu
 D d

( )

ln
D
d






 Amais 0.00572 m
2


 














 T
k
g
q
T
q
q
q
i
i
1
1
0
1 1
1












k
g
r
T
r
r
r
Tr
g
 r
2

4 k

C1 ln r
( )

 C2



Por las condiciones de frontera
Balance energético
De la siguiente relación
La distribución de temperatura
La generación interna es:
a) Calor transferido
b) La distribución de temperatura
El área media variable
0
1
*
2
0
*
0
)
(
)
0
(
C
k
g
r
r
T
r 





 C1 0

Qgeneracio Qconduccion
 Qconveccion

2
*
4
)
2
/
(
*
2
)
(
2
)
2
/
( C
k
d
g
T
r
T d
r 




C2
g d
2

8 k

T2


Tr
g

4 kcu

d
2






2
r
2







 T2

 0 r

d
2

Qconduccion Qconveccion

kais Amais

eais
Tw1 T2

 
 Ae h
 T2 T

 


T2
kais Amais
 Tw1
 h Ae
 T
 eais


h Ae
 eais
 kais Amais


 T2 90.88355 C

Qgeneracion Qconduccion

g Vvol
 I
2
R

 h Ae
 T2 Tw1

 


I
h Ae
 cu
 Atcu
 T2 T

 

Lcu
 I 13.772 A

g
I
2
cu Atcu
2

 g 5.39412 10
6

W
m
3


Qk
kais Amais

eais
Tw1 T2

 

 Qk 4.23653 W

Qh Ae h
 T2 T

 

 Qh 4.23653 W

Qg g Atcu
 Lcu

 Qg 4.23653 W

T1 r1
( )
g
4 kcu

d
2






2
r1
2







 Tw1

 r1 0mm 0.1mm
 0.5mm


Am
2 
 Lcu

ln
2 r

d






r
d
2










25. Considere un tubo solidó largo, aislado en radio externo r2 y enfriado en el radio interior r1 con
generación uniforme de calor g  
3
/ m
W dentro del solidó de k 
C
m
W º
/ . a) Encontrar la distribución
de temperatura b) T máximo c) La rapidez de transferencia de calor por unidad de longitud del tubo.
Si por el interior circula agua a 
T y “h”.
DATOS
Incógnitas
a) T (x)
b) T max=T2
c)
d)
Condiciones
- coordenadas cilíndricas i=1 , q=r
De la Ecuación general de la conducción para pared cilíndrica
.......1 )
T2 r2
( ) Tw1
g Atcu

2 
 kais

ln
2 r2

d








 r2 0.5mm 0.6mm
 1.5mm


0 5 10
4

 1 10
3

 1.5 10
3


90
91
92
93
94
T1 r1
( )
T2 r2
( )
r1 r2

h

T
R
ro
T2
T1
a
i
s
l
a
n
t
e
Q
R m
( )
g
W
m
3






r m
( ) k
W
m C







T1
Q

 














 T
k
g
q
T
q
q
q
i
i
1
1
0
1 1
1












k
g
r
T
r
r
r
1
2
* 2
C
k
r
g
r
T
r 





Tr
g
 r
2

4 k

C1 ln r
( )

 C2


0
1
2
*
1
)
(
)
( 













R
C
k
R
g
f
r
r
T
R
r  C1
g R
2

2 k



Por la condición de frontera de tercera clase
Calor generado = calor por convección
En ecuación 1
a)
b)
c)
d)
26. Un recipiente a presión de un reactor nuclear se puede trazar en forma aproximada como una gran
placa de espesor L, la superficie interior de la placa en x=0 esta aislada, la superficie exterior en
x=L se mantiene a una temperatura uniforme T2; el calentamiento de la placa por rayos gama se
puede representar por un termino de generación de la forma de x
J
e
g
x
g *
0 *
)
( 
 donde 0
g y J son
constantes y “x” se mide desde la superficie aislada interior. Encontrar: a) Distribución de la
temperatura T(x), b) temperatura de la superficie aislada c) Determinar el flujo de calor en x=L.
DATOS:
T2 L
Incógnitas
a) T (x)
b) T 1
c)
Condiciones
h
g Q
Q 
)
T
)
(
(
*
*
* 
 
 ro
r
r
T
A
h
V
g
)
2
)
ln(
*
2
*
4
(
*
*
2
*
*
)
(
* 0
2
2
0
0
2
0
2






 T
C
r
k
gR
r
k
g
L
r
h
L
r
R
g 






 T
r
k
gR
r
k
g
r
h
r
R
g
C )
ln(
*
2
*
4
*
*
2
)
(
2 0
2
2
0
0
2
0
2








 T
r
k
gR
r
k
g
r
h
r
R
g
r
k
gR
k
gr
r
T )
ln(
*
2
*
4
*
*
2
)
(
)
ln(
*
2
4
)
( 0
2
2
0
0
2
0
2
2
2






 T
r
r
k
g
r
h
r
R
g
r
r
k
gR
r
T )
(
*
4
*
*
2
)
(
)
ln(
*
2
)
( 2
2
0
0
2
0
2
0
2

 





 T
R
r
k
g
r
h
r
R
g
r
R
k
gR
T
T R
r )
(
*
4
*
*
2
)
(
)
ln(
*
2
max
2 2
2
0
0
2
0
2
0
2


 







 T
r
h
r
R
g
T
r
r
k
g
r
h
r
R
g
r
r
k
gR
T r
r
0
2
0
2
2
0
2
0
0
2
0
2
0
0
2
*
*
2
)
(
)
(
*
4
*
*
2
)
(
)
ln(
*
2
1 0
)
1
(
*
*
*
*
2
*
)
1
(
* 0
1 
 


 T
T
L
r
h
T
T
hA
Qh 
)
( 2
0
2
r
R
g
L
Qh

  )
( 2
0
2
r
R
g
L
Qg

  )
( 2
0
2
r
R
g
L
Qk

 
o
´
o
´
x
J
e
g
x
g *
0 *
)
( 

X
L
Q=0
T2
T1
0
g J
Q

... 1)
Para calcular C1 y C2 aplicamos condiciones de frontera
En la ecuación 1
b) Temperatura máxima
c) El flujo de calor

 














 T
k
g
q
T
q
q
q
i
i
1
1
0












k
g
x
T
x

x
ke
e
g
x
T x
J











 

 *
0 *
1
*
* *
0
C
J
k
e
g
x
T x
J









 

x
C
J
k
e
g
T
x
J



 


)
1
*
*
(
*
0
2
*
1
*
*
2
*
0
)
( C
x
C
J
k
e
g
T
x
J
x 





0
1
*
*
0
1
)
( 0
*
0
)
0
( 





 
 C
J
k
e
g
f
x
x
T J
x
J
k
g
C
*
1 0



2
*
1
*
*
2
*
0
2
)
( C
L
C
J
k
e
g
T
T
L
J
L
X
X 





 L
J
k
g
J
k
e
g
T
C
L
J
*
*
*
*
2 0
2
*
0
2 




L
J
k
g
J
k
e
g
T
x
J
k
g
J
k
e
g
T
L
J
x
J
x *
*
*
*
*
*
*
* 0
2
*
0
2
0
2
*
0
)
( 







  2
0
)
*(
2
*
0
)
( 1
*
*
1
*
*
T
L
x
J
k
L
g
e
J
k
e
g
T x
L
J
L
J
x 










 

    2
0
*
2
0
2
0
)
0
*(
2
*
0
)
(
*
*
1
*
0
1
*
*
1
*
*
T
J
k
L
g
e
J
k
g
T
L
J
k
L
g
e
J
k
e
g
T L
J
L
J
L
J
o
x
x 














 
























 



k
J
g
e
k
J
g
A
k
k
J
g
e
k
J
g
A
k
x
T
A
k
Q L
J
L
x
x
J
L
x
*
*
(
*
*
*
*
(
*
*
*
* 0
*
0
0
*
0
 
L
J
e
J
g
A
Q *
0
1 



27. Se genera calor en el interior de una partícula esférica de catalizador debido a una reacción
química. La partícula, de 8 
mm de diámetro, tiene conductividad térmica igual a 0.003
 
K
s
cm
cal *
*
/ , y tiene temperatura superficial de 300 °
C. La generación de calor decrece
linealmente hacia el centro de la partícula debido al decrecimiento en la cantidad de material que
reacciona (mayor camino de difusión). La generación está dada por 





 3
*
5
.
67
cm
cal
R
r
g Suponga
que la generación de calor se balancea exactamente con las pérdidas convectivas en la superficie.
Determine la distribución de temperaturas y la temperatura máxima. El catalizador tiende a perder
actividad por encima de los 700 °
C; ¿Excede esta temperatura?
DATOS:
Incógnitas
T (x)
Condiciones
- coordenadas esféricas i=2, q=r
Por condiciones de frontera
La temperatura máxima está en el centro de
la esfera
T2
g=67.5R/r[cal/m3]
R
kpr 0.003
cal
cm s
 C


dpr 8mm
 R
dpr
2
 R 0.004 m

Twe 300C

M 67.5
cal
cm
3
s




 














 T
k
g
q
T
q
q
q
i
i
1
1
2
1
*
*
12
* 3
)
( C
r
C
k
R
r
M
T
pr
x 



0
)
(
)
0
( 



r
x
x
T  C1 0

we
R
r
X T
T 

)
(
 C2
M R
3

12 R
 kpr

Twe


T r
( )
M
12 R
 kpr

R
3
r
3

 
 Twe

 r 0mm 0.6mm
 4mm


0 2 10
3

 4 10
3


300
400
500
600
T r
( )
r
Tmax
M R
3

12 R
 kpr

Twe


Tmax 600 C

Tmax 700C


28. Encontrar la distribución de temperatura y el flujo de calor en estado estable de una esfera hueca
de radio interior “a” y de radio exterior “b” cuya conductividad térmica es constante “k” y en la que
se genera calor a una tasa de
2
*r
c
g   
3
/ m
W a la superficie limite en r=a se mantiene a una
temperatura uniforme Ta. La superficie en r=b disipa calor por convección (cuyo coeficiente es h)
,hacia el medio de temperatura 
T .
DATOS:
C a b Ta h
Incógnitas
a) T (x)
b)
Condiciones
- coordenadas esféricas i=2, q=r
.......... 1)
...... 2)
Realizamos balance térmico en r=b
....3 )
De ecuaciones 1 y 2
....4 )
La distribución de temperatura será:

T
h
a
b
x
J
e
g
x
g *
0 *
)
( 

Ta
Q
T
Q

 














 T
k
g
q
T
q
q
q
i
i
1
1
r
k
r
C
r
T
r 










 

4
2 *
k
r
C
r
T
r
r
r
2
2
2
*
1













2
3
1
*
5
*
r
C
k
r
C
r
T





1
*
5
* 5
2
C
k
r
C
r
T
r 



 
r
r
C
k
r
C
T 









 
 2
3
1
*
5
*
2
1
*
2
*
20
* 4
C
r
C
k
r
C
Tr 




1
4
1
*
2
20
*
2 T
a
C
k
a
C
C 


2
1
*
2
20
* 4
1
)
( C
a
C
k
a
C
T
a
r
T r 






b
r
conveccion
por
sale
Q
b
r
conduccion
por
Q



.
. )
T
(
*
)
(
* 







b
r
T
h
b
r
x
T
k r


k

C
 b
3

5 k

C1
b
2









 h
C
 b
4

20 k

2
C1
b

 C2
 T








 C2
k

h
C
 b
3

5 K

C1
b
2










C b
4

20 k

 2
C1
b

 T


C1
b
3
C

5 h

C
20 k

b
4
a
4

 

 T1
 T

2
a
2
b

k
h b
2



2
1
*
2
*
20
* 4
C
r
C
k
r
C
Tr 




29. Determinar el radio critico de aislamiento de una esfera hueca (conductividad k) de radio exterior r=b
y interior r=a si el coeficiente de convección exterior es de h y la temperatura en r=b es T1y la del
medio ambiente es de 
T
El área externa
Por el teorema de Máximos y Mínimos
30. Se desea aislar térmicamente un tubo por el que circula vapor de agua saturado, con el objeto de
evitar en lo posible pérdidas de calor y condensaciones. El material aislante tiene conductividad
calorífica k=0.41 
C
m
hr
kJ º
*
/ . y la temperatura de los alrededores permanece constante e igual
a 293  
K . Si el coeficiente de transmisión de calor externo para todo el tubo aislado puede
suponerse independiente del diámetro externo del mismo. a) Es posible que en algún momento el
incremento de espesor del aislante aumente las pérdidas de calor b) Grafique el flujo de calor en
función del espesor del aislante c) Calcule el radio critico de aislamiento d) El caudal de calor
máximo perdido con el espesor crítico. Haga un gráfico de espesor contra flujo de calor. Datos:
Tvap H2O = 393 K. Diámetro externo del tubo 0.01 
m coeficiente externo h=41.87
 
C
m
hr
kJ º
*
/ 2
Desprecie la resistencia de la pared del tubo.
a) El espesor del aislante define el flujo de calor como también su conductividad y el coeficiente
de T.C. por convección
El área media logarítmica de aislamiento (para un cilindro)
DATOS
T2
ri
re=Rcrit
h

T Amais Ae Ai

 4 
 ri
 re


Ae 4 
 re
2


Q
T2 T

Rt 0 Rais
 Rh



Q
T
r
kais Amais

1
Ae h



T
re ri

kais 4
 
 ri
 re

1
4 re
2
 
 h



4 kais
 
 T

re ri

ri re

kais
h re
2



re
Q
d
d
4 kais
 
 T

re ri

ri re

kais
h re
2



re ri
 re ri

 ri


re
2
ri
2

2
kais
h re
3












 0

1 2
kais
h re


 0
 rcrit re
 2
kais
h


de 0.001m
 Lw 1m

h 41.87 10
3

J
hr m
2
 C



T1 20C

re
de
2

Tsat 120C

kas 0.41 10
3

J
hr m
 C



re 0.0005 m

Amais
2 
 L
 rais re

 

ln
rais
re








El área externa para la transferencia de calor por convección
El flujo de calor
b)
c) El radio crítico de aislamiento
d) El calor máximo
Ae 2 
 L
 rais


Q
T
r
kas Amais

1
Ae h



Q rais
 
Tsat T1

  2 
 Lw
 kas
 h
 rais

 

h rais
 ln
rais
re






 kas

 rais 0m 0.001m
 0.04m


0 0.01 0.02 0.03 0.04
5
10
15
20
Q rais
 
rais
rcrit
kas
h
 rcrit 0.00979 m

Qmax
Tsat T1

  2 
 L
 kas
 h
 rcrit

 

h rcrit
 ln
rcrit
re






 kas

 Qmax 18.00334 W



31. Para demostrar la conveniencia de aislar las conducciones de vapor, se hizo circular vapor por un
tubo desnudo de 1´´ y 1 metro de longitud, y posteriormente por el mismo recubierto de una capa
de aislante de 20 
mm de espesor, obteniéndose los datos siguientes:
Tubo desnudo Tubo aislado
Peso del condensado 160 
hr
g / 43.8 
hr
g /
Presión de vapor (Sobre presión) 63.5 
mmHg 63.5 
mmHg
Temperatura de la superficie del tubo 102ºC 102ºC
Temperatura de la superficie del aislante --- 39ºC
Temperatura del aire 37.5ºC 30.5ºC
Calor latente de condensación 2251.7 
kg
kJ / 2251.7 
kg
kJ /
Titulo del vapor 99% 99%
Determínese:
a) El porcentaje de ahorro de calor obtenido con el aislante.
b) El coeficiente de convección del tubo desnudo
c) El coeficiente de convección para el tuvo aislado
La conductividad térmica del aislante.
a)
Para el tubo desnudo
Para el tubo aislado
b)
c)
d)
ESPESOR ÓPTIMO TÉCNICO ECONÓMICO DE AISLAMIENTO
md 0.160
kg
hr
 ma 0.0438
kg
hr
 d 1in

Tw 102C
 Tw1 39C
 Lt 1m

Td 37.5C
 Ta 30.5C
 eais 20mm

Xv 0.99
 hfg 2251.7 10
3

J
kg

Qdes md hfg
 Xv

 Qdes 99.0748 W


Qais ma hfg
 Xv

 Qais 27.1217 W


Q%
Qdes Qais

Qdes
 Q% 72.625 %


Qdes hdes Ades
 T

 hdes
Qdes
 d
 Lt
 Tw Td

 

 hdes 19.2495
W
m
2
C



Qais hdes Ades
 T

 hais
Qais
 d 2 eais


 
 Lt
 Tw1 Ta

 

 hais 15.53
W
m
2
C



Qais k Am

T
aais

 Am
2 
 eais
 Lt

ln 1 2
eais
d








 Am 0.1329 m
2

kais
Qais eais

Am Tw Tw1

 

 kais 0.0648
W
m C




32. Para efectuar un determinado aislamiento térmico pueden emplearse dos tipos de aislante ambos
disponibles en planchas de 2 
cm de espesor. El aislante A cuesta 26 
2
/m
Sus y su conductividad
térmica es de 0.04 
C
m
W º
/ , el aislamiento B cuesta 40 
2
/ m
Bs y su conductividad térmica es
k=0.03 
C
m
W º
/ se supone que la temperatura en ambas caras será de 500ºC y 40ºC y los dos
materiales son capaces de resistir estas temperaturas. Bajo esta hipótesis determinar a) El
espesor optimo técnico económico del aislante a) A b) B c) El aislante mas conveniente. Se
supone en todos los casos un año laboral de 340 días al año de 24 horas día, el combustible
cuesta 3.9Bs el millón de kilojulios. El aislante se cambiara cada 15 años para ambos casos.
DATOS:
Incógnitas:
a)
b)
Aislante más económico
c)
a) SOLUCION:
Para el aislante A)
Costo fijo
Costo variable
El costo total será:
b) Para el aislante B)
Costo fijo
Costo variable
eais 0.02m

A 1m
2

T1 500C
 T2 50C

etecA
etecB
Q kais Aais

T
n eais



CfA
n Cua
 A

a

n 26
 1

15
 1.733 n


Bs
a
ño
CvA Q E

 kA AA

T
n eA


 0.04
J
m s
 C

 1
 m
2

500C 40C

n 0.02
 m

3.9Bs
10
6
kJ








3600 s
1h







24h
dia







340dia
a
ño








CvA
105.401
nB

Bs
a
ño
CTA CfA CvA

 CTA 1.733 nA

105.401
nA


Bs
a
ño
n
CTA
d
d
0

105.401

nA
2
1.7333

 0
 nA 7.798

etecA nA eais

 8 0.02

 0.16 m

nA 8

CfB
n Cub
 A

a

n 40
 1

15
 2.666 n


Bs
a
ño
CvB Q E

 kB AB

T
n eB


 0.03
J
m s
 C

 1
 m
2

500C 40C

n 0.02
 m

3.9Bs
10
6
kJ








3600 s
1h







24h
dia







340dia
a
ño








CvB
79.05
nB

Bs
a
ño

El costo total será:
c) El costo total será:
El aislante mas económico es "A" CTA=27.039Bs/año
33. El aislamiento térmico de un horno cúbico de dimensiones exteriores de 1*1*1 
m deberá ser
construido utilizando placas de 1” se espesor de aislante, lana de vidrio k=0.04 
C
m
W º
/ , cuyo
precio es de 8.7 
2
/m
Sus , el costo de mano de obra es de 1 
2
/m
Sus y mantenimiento es de 0.3
 
2
/m
Sus . Las temperaturas de trabajo están fijadas en 400ºC y 50ºC en la cara interna y externa
respectivamente. El aislante tiene una vida útil de 5 años para un trabajo de 24 horas al día y 300
días al año. El horno es calentando eléctricamente cuyo costo es de 0.059 
kWh
us /
$ . ¿Cuál es el
numero de capas de aislante que UD. Colocaría?
El área total de transferencia
El costo total unitario
El costo fijo
El calor transferido
El costo variable
CTB CfB CvB

 CTB 2.66 nB

79.05
nB


Bs
a
ño
n
CTB
d
d
0

79.05

nB
2
2.666

 0
 nB 5.4449
 etecB nB eais

 5 0.02

 0.1m

CTA 1.733 8

105.401
8

 CTA 27.039

Bs
a
ño
CTB 2.66 5

79.05
5

 CTB 29.11

Bs
a
ño
400ºC
50ºC
aislante
n
1’’
w 1m

Tw1 400C

eaisl 1in

Tw2 50C

klvid 0.04
W
m C


a 5a
ños

24
hr
dia
Cu 8.7
Sus
m
2

300
dia
a
ño
Cmo 1
Sus
m
2

0.059
Sus
kW hr

Cm 0.3
Sus
m
2

Atr 6 w
2

 Atr 6 m
2

CuT Cu Cmo
 Cm

 CuT 10
Sus
m
2

Cf
n CuT
 Atr

a
 Cf 12 n

Sus
a
ño


Q
Atr klvid

n eaisl

Tw1 Tw2

 

 Q
3307.08
n
W

Cv Q E

 Cv
3307.08 W
n
0.059Sus
kW hr

 24

hr
1dia
300dia
1a
ño


58.5354
n
Sus
a
ño



El costo total
El número de capas optimo
El costo total será
El área el espesor técnico económico
34. Calcular el calor trasferido a través de una pared de un horno de 9´´, cuya temperatura interna y
externa de las paredes son 980ºC y 198ºC respectivamente. La pared tiene una conductividad de
0.667  
C
m
W º
/ . Se adiciona a la pared externa 0.3”de un aislante k=0.04 
C
m
W º
/ que reduce la
perdida de calor en un 20%. Si el costo del aislante es de 1.37$us/pie cuadrado instalado. Que
tiempo será necesario para pagar el aislamiento. Tomar una operación del horno de 24 horas al día
y 175 días al año, el costo de la energía es de 0.23$us el millón de kJ.
DATOS:
CALCULAR:
a) (tiempo para pagar)
El calor sin aislante es :
El calor con aislante es :
El costo fijo es:
Costo variable
Para calcular el tiempo a pagar:
Entonces
CT Cv Cf

 CT
58.5354
n
12 n



Sus
a
ño
n
CT
d
d
0
 n
58.5354
12
 n 2.2086
 n 2
 capas
CT
58.5354
n
12 n








 CT 53.2677

Sus
a
ño
eopt n eaisl

 eopt 0.0508 m

Aais 1m
2

L 9in

T1 980C
 T2 198C

kpared 0.667
W
m C


%perd 20%

CU 1.37
Sus
ft
2

Q1 kpared Aais

T1 T2

L

 Q1 2281.6885 W

Q2 0.8 Q1

 Q2 1825.3508 W

Cf
CU Aais

a

14.74655 1

a

14.74655
a

Sus
a
ño
CV Qaurrado
 Q1 Q2

 456.337
 W
Sus
a
ño
CV 456.337
J
s

0.23Sus
10
6
kJ








3600 s

1hr







24hr
dia







175dia
a
ño







 1.5869

CF CV

14.74655
a
1.5868
 a
14.74655
1.5869
 9.292a
ños


35. Calcular el espesor más económico para aislar una tubería de 200. 
mm de diámetro interior y
36.5 
mm de espesor, que conduce vapor a 300ºC, empleando aislante de amianto (k=0.053
 
C
m
W º
/ ), el material aislante estará protegido con chapa de aluminio de 0.6 
mm de espesor y
el conducto esta en un ambiente a una temperatura promedio de 20ºC. A continuación se
muestran los costos estimados para la instalación del aislante:
Espesor del aislante
 
mm
Costo del material
aislante
 
m
/
$
Costo del aluminio
 
m
/
$
Costo de mano de obra
 
m
/
$
50 2274 1035 1380
60 2762 1107 1476
75 3249 1179 1572
90 4383 1269 1692
100 5460 1360 1810
El costo de la producción de vapor es de 1.5 
$ por cada 4118 
kJ y el ciclo de trabajo es de 7920
 
año
horas / . Se estima que los coeficientes del lado del vapor y en la superficie exterior estarán en el
orden de los 349 y 11.63 
C
m
W º
/ 2
respectivamente. La vida útil del aislante es aproximadamente 5
años.
DATOS:
El calor:
El área interna del tubo
El área interna del aislante
El área media del aislante
El flujo de calor:
El costo variable
El costo fijo
dt 200mm
 ka 0.053
W
m C

 h1 349
W
m
2
C

 a 5.yr

et 36.5mm

T2 20C
 h2 11.63
W
m
2
C

 Lt 1m

T1 300C

Q
T1 T2

1
h1 Ain

eais
kais Am


1
h2 Aex



Ain  L
 dt

 Ain 0.1436 m
2

Ainais  Lt
 dt 2 et


 

 Ainais 0.8577 m
2

Aex  L
 dt 2 et

 2 eais


 


Am
2 
 L
 eais

ln 1
2 eais

dt 2 et










Q
T1 T2

1
h1  L
 dt

 

eais
kais1 2 
 L

( )

ln 1
2 eais

dt 2 et











1
h2  L
 dt 2 et

 2 eais


 


 




Cv Q E

 E
1J
1s
1.5Sus
4118 10
3
J

3600s
1hr

7920hr
yr

 E 10.3856
Sus
yr

Cf
Cu Ainais

a


a) Para el espesor de:
El costo unitario
El espesor más económico es el aislante que tiene como espesor de 90mm
36. En una instalación de compresión de una industria 3000 
hr
kg / de vapor saturado a 10 
Bar
(Tsat=179ºC) circula por un tubo de acero k=40 
C
m
W º
/ de 2” de diámetro externo y 0.2” de
espesor y tiene una longitud de 72 
m . El aislamiento de la línea de vapor debido a las
condiciones del local es sustituido anualmente. Se sabe que la instalación trabaja 5000 horas por
año y la temperatura externa del aislante debe ser mantenida a 30ºC tomando la previsión del
cambio de aislante en el momento, se tiene en existencia en el mercado solamente dos tipos de
aislante : a) Lana de vidrio en capas de 3” de espesor y 80 
cm de longitud k=0.04  
C
m
W º
/ y un
costo de 10 
Sus la capa b) Lana mineral en capas de 2” de espesor y 90 
cm de longitud,
k=0.025 
C
m
W º
/ y un costo de 13 
Sus la capa. El costo de energía es 1kJ=0.001672$us
calcular: El aislante mas adecuado y el numero de capas a ser comprado Nota: las capas de
aislante tienen un ancho requerido para envolver el tubo.
DATOS:
El área media logarítmica del tubo
eais 50mm
 Cmat 2274
Sus
m
 Cal 1035
Sus
m
 Cmh 1380
Sus
m

Cu Cmat Cal
 Cmh

 Cu 4689
Sus
m

Cf
Cu Ainais

a
 Cf 804.3087
Sus
a
ño

Q50
T1 T2

1
h1  L
 dt

 

eais
kais L
 2 
 L

( )

ln 1
2 eais

dt 2 et











1
h2  L
 dt 2 et

 2 eais


 


 




Q50 260.62 W

Cv Q50 10.3856
( )

 Cv 2706.695
Sus
a
ño

eais(mm) Cu(Sus/m) Cf(Sus/año) Q(W) Cv(Sus/año) Ct(Sus/año)
50 4689 804,3087 260.62 2706,69 3510,9987
60 5345 916,833 207 2150,866 3067,699
75 6000 1029,18 151,6348 1574,8185 2603,9985
90 7344 1259,72 115,4 1198,5013 2458,2213
100 8630 1480,312 98,031 1018,1176 2498,4296
etub
eais
a 1.a
ño
 ktub 40
W
m C


Ltub 72m
 etub 0.2in

de 2in

di de 2 etub


 di 0.0406 m

Amed
 Ltub
 de di

 

ln
de
di






 Amed 10.2989 m
2


Aislante A)
Área media logarítmica del aislante
Aislante B) El área enésima del aislante
La transferencia de calor es:
Costo variable
PARA EL AISLANTE A)
El costo variable para el aislante A)
kaislA 0.04
W
m C


eaislA 3in

Amaisl
2 
 n
 Ltub
 eaisl

ln 1
2 n
 eais

de







 m
2
CuA 10
Sus
m
2

kaislB 0.025
W
m C

 An  Ltub
 de 2 eaisl
 n 1

( )



 


 m
2
eaislB 2in

CuB 13
Sus
m
2

Q
T
etub
Amed ktub

n eais

Amaisl kaisl



T
etub
Amed ktub

1
2 
 Ltub
 kaisl

ln 1
2 n
 eais

de









 W
Cv Q
J
s






0.001672 Sus
1 kJ








3600 s
1 h








5000 h

1 a
ño








 Q 30.096


Sus
a
ño
QA
T1 T2

etub
Amed ktub

1
2 
 Ltub
 kaislA

ln 1
2 nA
 eaisA

de










179 30

1.2331 10
5

 0.05526 ln 1 3 n


( )



CvA
179 30

1.2331 10
5

 0.05526 ln 1 3 n


( )


30.096


4484.304
1.2331 10
5

 0.05526 ln 1 3 n


( )



Sus
a
ño
CfA
CuA A n
( )

a

10 
 Ltub

1
de 2 eaislA
 n 1

( )



 


 2261.94671 0.0508 0.1524 n 1

( )


[ ]


Sus
a
ño
n Q(W) Cv(Sus/año) Cf(Sus/año) Cfac(Sus/año) CT(Sus/año)
1 1944,68843 58527,343 114,906892 114,906892 58642,2499
2 1385,48812 41697,6504 459,627569 574,534462 42272,1848
3 1170,89409 35239,2285 804,348247 1378,88271 36618,1112
4 1051,13576 31634,9819 1149,06892 2527,95163 34162,9335
5 972,42247 29266,027 1493,7896 4021,7412 33287,768
6 915,671965 27558,0635 1838,51028 5860,25151 33418,315
7 872,246162 26251,1205 2183,23095 8043,48247 34294,6029

PARA EL AISLANTE B)
El costo variable para el aislante B)
El aislante mas económico es B) lana mineral con 5 capas
37. Un horno semiesférico esta construido con ladrillo refractario cuyo radio externo es 0.5m se aísla
con un material k=0.04 
C
m
W º
/ de 2.54 
cm de espesor cuyo costo unitario es de 4200.
 
2
/m
Sus Hallar el espesor optimo técnico económico si el horno es calentado eléctricamente
con un costo de 0.68 
kWh
us /
$ el aislamiento tiene un tiempo de vida de 5 años, el trabajo del
horno es de 24 horas al día y 300 días al año, la temperatura externa del ladrillo es 400ºC y la
externa del aislante tiene que ser tal que no sea un peligro para los trabajadores.
No es peligroso
El área interna del aislante
El área enésima de una semiesfera
QB
T1 T2

etub
Amed ktub

1
2 
 Ltub
 kaislB

ln 1
2 nA
 eaisB

de










179 30

1.2331 10
5

 0.08842 ln 1 3 n


( )



CvB
179 30

1.2331 10
5

 0.08842 ln 1 3 n


( )


30.096


4484.304
1.2331 10
5

 0.08842 ln 1 3 n


( )



Sus
a
ño
CfB
CuB A n
( )

a

13 
 Ltub

1
de 2 eaislB
 n 1

( )



 


 2940.53072 0.0508 0.1016 n 1

( )


[ ]


Sus
a
ño
1 1215,44865 36580,1424 149,378961 149,378961 36729,5214
2 865,928135 26060,9732 448,136882 597,515842 26658,489
3 731,802294 22024,3218 746,894803 1344,41065 23368,7325
4 656,951564 19771,6143 1045,65272 2390,06337 22161,6776
5 607,7549 18290,99 1344,411 3734,474 22025,47
6 572,285352 17223,5 1643,16857 5377,64258 22601,1425
7 545,143947 16406,6522 1941,92649 7319,56907 23726,2213
r0 0.5m

eais 2.54cm

kais 0.04
W
m C


Cu 4200
Sus
m
2

T1 400C

T2 50C

Aiais 2 
 ro
2

m
2
A1 2 
 r0
2


A2 2 
 r0 eais

 2

 Aiais 2 
 ro n eais


 2
 m
2
A3 2 
 r0 2eais

 2


.
Amaisl Aiais Aeais

 2 
 ro
2
n ro
 eais








An 2 
 r0 n 1

( )eais


 

2



El espesor óptimo es:
Q
T
n eais

kais Amaisl


T1 T2

 2
 
 kais
 ro
2
n ro
 eais







n eais

 87.96459
9.84252
n
0.5









W
Cv Q
k W
 hr

k hr








0.68Sus
k W
 hr








24hr
dia







300dia
a
ño







 4.896 Q


Sus
a
ño
Cf
Cu A n
( )

a

Cu
a
2
 
 r0 n 1

( ) eais



 

2

 5277.87566 0.5 n 1

( ) 0.0254


[ ]
2


1 909,775531 4454,261 1319,46892 1319,46892 5773,72992
2 476,87891 2334,7992 1456,932 2776,4009 5111,2001
3 332,58004 1628,31188 1601,2053 4377,60624 6005,91812
4 260,430604 1275,06824 1752,28871 6129,89495 7404,96319
eopt n eais

 2 0.0254

 0.0508 m


38. Un horno semiesférico esta construido con ladrillo refractario cuyo radio externo es 0.5m se aísla
con un material k=0.04 
C
m
W º
/ de 2.54 
cm de espesor cuyo costo unitario es de 4200. 
2
/m
Sus
Hallar el espesor optimo técnico económico si el horno es calentado eléctricamente con un costo de
0.68 
kWh
us /
$ el aislamiento tiene un tiempo de vida de 5 años, el trabajo del horno es de 24
horas al día y 300 días al año, la temperatura externa del ladrillo es 400ºC y la externa del aislante
tiene que ser tal que no sea un peligro para los trabajadores.
DATOS:
CALCULAR:
Q (W)?
Perímetro de la aleta
La relación "m": Longitud corregida:
El área de cada aleta es:
El rendimiento de la aleta
El calor para cada aleta
El calor para el total de las aletas
39. De una pared sobre sale una varilla de cobre larga y delgada de k=200 
C
m
W º
/ y diámetro de 0.5
 
lg
p . El extremo de la varilla que esta en contacto con la pared se mantiene a 358ºC. La
superficie lateral disipa calor por convección al aire que se encuentra a 25ºC cuyo coeficiente de
transferencia de calor es 15 
C
m
W º
/ 2
determinar a) Distribución de temperatura b) La tasa de
flujo de calor que disipa desde la varilla hacia el aire que rodea. c) Que largo deben tener las
varillas para suponer longitud infinita. DATOS:
SUPERFICIES ALETADAS

T
h
n 8
 Tw 340K

L 40mm

T 300K

t 0.4mm

hamb 8
W
m
2
K

H 3mm

k 175
W
m K


At t H

 At 1.2 10
6

 m
2

P 2 H t

( )

 P 0.0068 m

Lc L
t
2

 Lc 0.0402 m

m1
hamb P

k At

 m1 16.095
1
m

Aal 2 H
 Lc
 2 L
 t


 Aal 2.732 10
4

 m
2


tanh m1 Lc

 
m1 Lc

  0.8804

Qalt  Aal
 hamb
 Tw T

 

 Qalt 0.077 W

Qtalt n Qalt

 Qtalt 0.6158 W


T
h


L
D
T1
T1 358C

k 200
W
m C


T1 25C

D 0.5in

h 15
W
m
2
C



La constante m
El modelo matemático de la distribución de temperatura en una aleta
Una de las soluciones es:
Por condición de frontera
Por otra condición (varilla larga)
a) La distribución de temperatura
b)
c)
P  D

 P 0.0399 m

At

4
D
2

 At 1.2668 10
4

 m
2

ma
h P

k At

 ma 4.8603
1
m

2
x
 x
( )
d
d
2
ma
2
 x
( )

 0
  x
( ) T x
( ) T1



 x
( ) T x
( ) T1

 C1 e
ma x

 C2 e
ma
 x



 T x
( ) C1 e
ma x

 C2 e
ma
 x


 T1


1
2
1
1
*
0
2
*
0
1
1
0
)
( *
* 


 





 T
C
C
T
e
C
e
C
T
T a
a m
m
X
X

x 
 T 
( ) T1

1
*
2
*
1
)
( *
* 




 


 T
e
C
e
C
T
T a
a m
m
X
X  
C1 e
ma 


C2
e
ma 

 0
 C1 0

C2 T1 T1


T x
( ) T1 T1

 e
ma
 x

 T1

 x 0m 0.1m
 2m


0 0.5 1 1.5 2
0
100
200
300
400
T x
( )
x
Q h P
 k
 At
 T1 T1

 

 Q 41.0044 W


tanh ma Lc

  0.99
 L
tanh 0.99
( )
1

ma
 L 0.5445 m


40. Una barra de acero hexagonal k=40 
C
m
W º
/ es de 3 
cm de lado y 23 
cm de longitud esta
siendo probado para futuras aplicaciones como aleta. La base de la barra de acero se mantiene a
90ºC El otro extremo esta completamente aislado. Aire se hace circular perpendicularmente al eje
de la barra a una velocidad de 5 
s
m/ a una temperatura de 27ºC con un coeficiente de
convección de 20  
C
m
W º
/ 2
. El calor específico del acero es de 0.56  
C
kg
kJ º
/ calcular: a) La
distribución de temperatura b) La eficiencia de la barra y c) El flujo de calor a través de las
paredes laterales de la barra.
DATOS:
El perímetro de la aleta
El área transversal es:
El área de la aleta
a)
b)
41. En un proceso químico la transferencia calorífica de una superficie al agua se aumenta mediante
cierto numero de aletas finas de aluminio k=204 
C
m
W º
/ cada uno con espesor de 2 
mm y una
longitud de 50 
mm se cubre a la aleta metálica con una capa de plástico k=0.5 
C
m
W º
/ de 0.1
 
mm de espesor, para impedir la ionización del agua los extremos de las aletas están encajados
en una superficie aislada la temperatura de la base en la aleta es de 80ºC, la temperatura media
del agua es de 20ºC y un coeficiente de transferencia de calor entre el agua y el revestimiento de
plástico es de 0.2 
C
m
W º
/ 2
. Determinar a) La distribución de temperatura en la aleta b) La
temperatura en la extremidad de la aleta c) La eficiencia de la aleta d) El calor de transferencia.
DATOS:

T
h
a
L
k 40
W
m C


T 27C

a 3cm
 h 20
W
m
2
C


L 23cm

Tw 90C

P 6 a

 P 0.18 m

at
3
2
a
2
 3

 at 0.0023 m
2

mh
h P

k at

 mh 6.204
1
m

Aal P L

 Aal 0.0414 m
2


tanh L mh

 
L mh

  0.6244

Qdis  Aal
 h
 Tw T

 

 Qdis 32.5735 W

eis 0.1mm
 H 1m

k 204
W
m C


Tw 80C

t 2mm

T 20C

L 50mm

ham 0.2 10
3

W
m
2
C


kis 0.5
W
m C



Aplicamos la analogía eléctrica
Equivalencia
El área transversal de la aleta
La constante
Modelo matemático de la distribución de temperatura en una aleta
Por otra condición (extremo adiabático)
a) La distribución de temperatura
b)
c)
d)
1
hT
eais
kais
1
ham

 hmod
1
eis
kis
1
ham

 hmod 192.30769
W
m
2
C



Atra H t

 Atra 0.002 m
2


Pv 2 t H

( )

 Pv 2.004 m

mv
hmod Pv

k Atra

 mv 30.7339
1
m

2
x
 x
( )
d
d
2
mv
2
 x
( )

 0
  x
( ) T x
( ) T1



 x
( ) T x
( ) T

 C1 e
mv x

 C2 e
mv
 x



 T x
( ) C1 e
mv x

 C2 e
mv
 x


 T


w
X
X T
T 
0
)
(  C1 C2
 Tw T


0



L
X
x
T
C2
Tw T

e
2
 mv
 L

1

 C2 57.3469 C

C1 C2 e
2
 mv
 L



C1
Tw T

e
2
 mv
 L

1

e
2
 mv
 L



C1 2.6531 C

T x
( ) C1 e
mv x
( )

 C2 e
mv
 x


 T







 x 0m 0.005m
 0.05m


0 0.02 0.04 0.06
40
50
60
70
80
T x
( )
x
x L
 T x
( ) 44.6696 C

v
tanh mv L

 
mv L

 v 0.5932

Qvr hmod Pv
 k
 Atra
 Tw T

 
 tan mv L

 

 Qvr 2.2053 10
4
 W



42. Una varilla de diámetro D=25 
mm y conductividad térmica k=60 
C
m
W º
/ sobresale
normalmente de la pared de un horno que esta a 200ºC y esta cubierta de un aislante de espesor
200 
mm . La varilla esta soldada a la pared del horno y se usa como soporte para cargar cables
de instrumentación. Para evitar que se dañen los cables, la temperatura de la varilla en la
superficie expuesta, To debe mantenerse por debajo de un limite de operación especifico
Tmax=100ºC. La temperatura del aire ambiental es 25ºC, y el coeficiente de convección es h=15
 
C
m
W º
/ 2
. a) Derive la expresión de temperatura. b) Calcular el flujo de calor.
DATOS:
El área transversal de la varilla
El calor transferido por conducción de la varilla será:
La constante
Modelo matemático de la distribución de temperatura en una aleta
Por otra condición (extremo adiabático)
hr

T
Lais Lv
T1w
T2w
Kv
1
aislante
Dv 25mm
 T2w 100C

T1 25C

kv 60
W
m C


hr 15
W
m
2
C


T1w 200C

Lv 0.3m

Laisl 200mm

Atv

4
Dv
2

 Atv 4.9087 10
4

 m
2

Qkv
Atv kv

Laisl
T1w T2w

 

 Qkv 14.7262 W


Pv  Dv

 Pv 0.0785 m

mr
hr Pv

kv Atv

 mr 6.3246
1
m

2
x
 x
( )
d
d
2
mr
2
 x
( )

 0
  x
( ) T x
( ) T1



 x
( ) T x
( ) T1

 C1 e
mr x

 C2 e
mr
 x



 T x
( ) C1 e
mr x

 C2 e
mr
 x


 T1


w
X
X T
T 2
0
)
( 

C1 e
mr Laisl

 C2 e
mr Laisl


 T2w T1


0



Lv
X
x
T
 
C1 0
 C2 T2w T1

 e
mr Laisl




a) La distribución de temperatura será:
b) El calor transferido por la aleta
43. Un tubo de acero k=45.  
C
m
W º
/ de 2” de diámetro exterior mediante la superficie de la pared
exterior a 100ºC se propone aumentar la rapidez de transferencia de calor por medio de la adición
de 12 aletas longitudinales de 2.5 
mm de espesor y 20 
mm de longitud a la superficie exterior
del tubo. El aire circundante se encuentra a 25ºC y el coeficiente de transferencia de de calor es de
25 
C
m
W º
/ 2
calcular el incremento de calor.
DATOS:
El área de transferencia de
calor sin aletas
El calor transferido sin aletas
Longitud corregida
El área de las aletas
T1 x1
  T1w
Qkv
kv Atv

x1


 x1 0m 0.1mm
 0.2m


T2 x2
  T2w T1

 e
mr Laisl x2

 

 T1







 x2 0.2m 0.21m
 0.7m


0 0.2 0.4 0.6 0.8
0
50
100
150
200
T1 x1
 
T2 x2
 
x1 x2

Qah hr Pv
 kv
 Atv
 T2w T1

 
 tanh mr Lv

 

 Qah 13.356 W


T
h
L
t
ta 2.5mm

ka 45
W
m C


La 20mm

de 2in

T1 25C

Tw 100C

ha 25
W
m
2
C


Na 12

Ha 1m

Atra  de
 Ha

 Atra 0.1596 m
2

Qsa Atra ha
 Tw T1

 

 Qsa 299.2367 W

Lce La
ta
2

 Lce 0.0213 m

Aa Na 2
 Ha
 Lce

 Aa 0.51 m
2


El área libre de aletas
El área total
La relación
El rendimiento al área ponderada
El calor transferido por las aletas
El calor transferido por la superficie
libre de aletas
El calor transferido total
Otro método para el calor transferido
44. A la superficie exterior de un tubo de 32 
mm de diámetro exterior se fijan aletas longitudinales de
sección transversal rectangular. El tubo y las aletas tienen una conductividad de 200 
C
m
W º
/ las
aletas tienen un espesor de 3 
mm y 6.6 
mm de longitud. La relación de superficie de aletas a la
superficie total de transferencia de calor es del 70% los coeficientes de transferencia de calor de
los fluidos interior y exterior son hi=49  
C
m
W º
/ 2
y he=4.9  
C
m
W º
/ 2
. Determinar el flujo de calor
por metro de longitud de tubo cuando la diferencia de temperatura entre los fluidos interior y
exterior es de 90ºC (Despreciar la resistencia del tubo).
Longitud corregida
Ala  de
 Ha
 Na ta
 Ha


 Ala 0.1296 m
2

ATa Aa Ala

 ATa 0.6396 m
2

At1 Ha ta

 At1 0.0025 m
2

Pa 2 Ha ta

 

 Pa 2.005 m

mal
ha Pa

ka At1

 mal 21.1082
1
m

a
tanh mal Lce

 
mal Lce

 a 0.9379

'a 1
Aa
ATa
1 a

 


 'a 0.9505

Qa a Aa
 ha
 Tw T1

 

 Qa 896.8913 W

QLa Ala ha
 Tw T1

 

 QLa 242.9867 W

QTT Qa QLa

 QTT 1139.878 W

QaT 'a ATa
 ha Tw T1

 

 QaT 1139.878 W

%Q
QaT Qsa

Qsa
 %Q 280.92854 %


H
L
t
T 90C
 Lf 6.6mm
 he 4.9
W
m
2
C


d 32mm
 Aa
AT
0.7

Hf 1m

kf 200
W
m C


hi 49
W
m
2
C


tf 3mm

Lc Lf
tf
2

 Lc 0.0081 m


El área de las aletas
El área libre de aletas
El área total
El número de aletas
El área interna
El área total
La relación
El rendimiento referido al área global externa
El calor transferido
45. Se considera un tubo calefactor de 2” de diámetro interior y 1/8” de espesor donde circula agua por el
interior y el tubo es de cobre k=380 
C
m
W º
/ se propone aumentar la transferencia de calor entre el
agua y el medio ambiente (Ti-Te=100ºC) para el cual se propone aumentar aletas de cobre en el tubo
solo en el interior, solo en el exterior, en ambos lados. Las aletas son longitudinales y rectangulares de
1.27 
mm de espesor, 10 
mm de longitud y espaciados 12.7 
mm entre centros. ¿Cuál es el
porcentaje de aumento de transferencia de calor que se puede lograr poniendo en la tubería con aletas
en a) Lado del agua b) Lado de aire c) Ambos lados de la tubería?. Se pueden tomar los coeficientes
del lado del aire y del agua a 11.39 y 255.15  
C
m
W º
/ 2
respectivamente.
La aleta
DATOS:
Longitud corregida
he
hi
t
L Aa N 2
 H
 Lc


Ala  d
 Hf
 N tf
 Hf



AT Aa Ala


Aa
0.7

N
0.7 
 d
 Hf

2 0.3
 Lc
 Hf
 0.7tf Hf


 N 10.1109

N 10

Ala  d
 Hf
 N tf
 Hf


 Ala 0.0705 m
2

Ai  d
 Hf

 Ai 0.1005 m
2

Aa N 2
 Hf
 Lc

 Aa 0.162 m
2

AT Aa Ala

 AT 0.2325 m
2

Pf 2 Hf tf

 

 Pf 2.006 m

Atf Hf tf

 Atf 0.003 m
2

mf
he Pf

kf Atf

 mf 4.0475
1
m

f
tanh mf Lc

 
mf Lc

 f 0.9996

'f 1
Aa
AT
1 f

 


 'f 0.9998

Qf
T
1
hi Ai

1
'f AT
 he

 Qf 83.2658 W

di 2in
 t 1.27 mm

L 10mm

et
1
8
in


Lc L
t
2

 Lc 0.0106 m

H 1m

de di 2 et



de 0.0571 m


El área interna y externa sin aletas
El calor transferido sin aletas
a) Aletas en el interior del tubo (agua)
Para el número de aletas en el interior
Área de las aletas interiores:
Área libre de aletas interior
El área total de transferencia de calor interno
Entonces la constante:
La eficiencia de la aleta interior:
Eficiencia ponderada al área interior
El calor transferido con aletas internas
b) Aletas en el exterior del tubo (aire)
Para # aletas en el exterior
Área de las aletas exteriores
Área libre de aletas "exterior"
S 12.7 mm

P 2 H t

( )

 P 2.0025 m

T 100C

k 380
W
m C


hag 255.15
W
m
2
C

 hair 11.39
W
m
2
C

 At t H

 At 0.00127 m
2

Ai  di
 H

 Ai 0.1596 m
2

Ae  de
 H

 Ae 0.1795 m
2

Qsa
T
1
hag Ai

1
hair Ae


 Qsa 194.7195 W

L
t
hi
he
ni S
  di


ni
 di

S
 ni 12.5664
 ni 13

Aai ni 2
 H
 Lc

 Aai 0.2765 m
2

ALai  di
 H
 ni t
 H


 ALai 0.1431 m
2

Ati Aai ALai

 Ati 0.4196 m
2

mi
hag P

k At

 mi 32.5383
1
m

i
tanh mi Lc

 
mi Lc

 i 0.9619

'i 1
Aai
Ati
1 i

 


 'i 0.9749

Qai
T
1
'i Ati
 hag

1
hair Ae


 Qai 200.5686 W

he
hi
t
L
ne S
  de


ne
 de

S
 ne 14.1372
 ne 14

Aae ne 2
 H
 Lc

 Aae 0.2978 m
2

ALae  de
 H
 ne t
 H


 ALae 0.1618 m
2


El área total de transferencia de
calor externo
Entonces la constante ¨m¨ en las aletas
exteriores
La eficiencia de la aleta exterior
Eficiencia ponderada al área exterior
El calor transferido con aletas externas
c) El calor transferido con aletas internas y externas
a)
b)
c)
46. Un calentador de aire consiste en un tubo de acero (20 
C
m
W º
/ ), con radios interno y externo
r1=13 
mm y r2=16 
mm , respectivamente y ocho aletas longitudinales fabricadas integralmente,
cada una de espesor t =3  
mm . Las aletas se extienden a un tubo concéntrico, que tiene radio
r3=40 
mm y aislado en la superficie externa. Agua a temperatura i
T =90ºC fluye a través del
tubo interno, mientras que aire 0

T =25ºC fluye a través de la región anular formada por el tubo
concéntrico más grande. a) Si hi=5000 y ho=200 ¿Cuál es la transferencia de calor por unidad de
longitud? DATOS:
Ate Aae ALae

 Ate 0.4595 m
2

me
hair P

k At

 me 6.8748
1
m

e
tanh me Lc

 
me Lc

 e 0.9982

'e 1
Aae
Ate
1 e

 


 'e 0.9988

Qae
T
1
Ai hag

1
'e Ate
 hair


 Qae 463.3276 W

he
t
L
L
t
hi
Qaie
T
1
'i Ati
 hag

1
'e Ate
 hair



Qaie 497.8759 W

Q i
Qai Qsa

Qsa
 Q i 3.0039 %


Q e
Qae Qsa

Qsa
 Q e 137.9462 %


Q ie
Qaie Qsa

Qsa
 Q ie 155.6888 %


i
T
hi
0

T
ho
r1
r2
r3
kn 20
W
m C

 Ti 90C

r1 13mm
 To 25C

r2 16 mm

hi 5000
W
m
2
C


r3 40mm

t 3mm
 ho 200
W
m
2
C


Hi 1m

Ln r3 r2

 Ln 0.024 m

n 8


El área interna
El área media del tubo
El área de la aleta
El área libre de la aleta
El área total de transferencia de
calor
Entonces la constante "m" en las aletas
exteriores
La eficiencia de la aleta
Eficiencia al área ponderada
El calor transferido con aletas externas
47. Se calienta agua sumergiendo tubos de cobre con pared delgada de 50 
mm de diámetro en un
tanque y haciendo pasar gases calientes de combustión (Tg=750K) a través de los tubos. Para
reforzar la transferencia de calor al agua, se insertan en cada tubo cuatro aletas rectas de sección
transversal uniforme, para formar una cruz. Las aletas tienen un espesor de 5 
mm y también
están fabricadas de cobre (k=400 
C
m
W º
/ ). Si la temperatura de la superficie de tubo es
Ts=350K y el coeficiente de convección del lado del gas es hg=30 
C
m
W º
/ 2
, ¿Cuál es la
transferencia de calor al agua por metro de longitud del tubo?
DATOS:
La longitud de la aleta
Ai 2 r1
 Hi

 Ai 0.0817 m
2

Am
2 
 Hi
 r2 r1

( )

ln
r2
r1






 Am 0.0908 m
2

Pn 2 Hi t

( )

 Pn 2.006 m

At Hi t

 At 0.003 m
2

An 2 n
 Hi
 Ln

 An 0.384 m
2

ALa 2 r2
 Hi
 n t
 Hi


 ALa 0.0765 m
2

Atn An ALa

 Atn 0.4605 m
2

mn
ho Pn

k n At

 mn 81.772
1
m

al
tanh mn Ln

 
mn Ln

 al 0.4898

'al 1
An
Atn
1 al

 


 'al 0.5746

Qa
Ti To

1
Ai hi

r2 r1

Am kn


1
'al Atn
 ho


 Qa 2826.601 W

H
D
hg
Tg
Ts
t
Dg 50mm
 Hg 1m

Tg 750K

Ts 350K

tg 5mm

hg 30
W
m
2
K


kt 400
W
m K


Lg
Dg tg

2
 Lg 0.0225 m


Área libre de aletas
El calor transferido del área
libre de aletas
Área de las aletas
Entonces la constante m
La eficiencia de la aleta
El calor transferido por las aletas
Otro método
El calor total será:
ALa  Dg
 Hg
 4 tg
 Hg


 ALa 0.1371 m
2

Qla ALa hg
 Tg Ts

 

 Qla 1644.9556 W


Aag 4 2
 Hg
 Lg

 Aag 0.18 m
2

Pal 2 Hg tg

 

 Pal 2.01 m

Aat tg Hg

 Aat 0.005 m
2

mg
hg Pal

kt Aat

 mg 5.4909
1
m

g
tanh mg Lg

 
mg Lg

 g 99.4943 %


Qal g Aag
 hg
 Tg Ts

 

 Qal 2149.077 W

Qal1 4 hg Pal
 kt
 Aat
 tanh mg Lg

 
 Tg Ts

 

 Qal1 2159.8224 W

Qt Qla Qal1

 Qt 3804.778 W


FLUJO BIDIMENSIONAL
48. Un conducto hueco de sección transversal cuadrada de dimensiones internas de 10*10 
cm esta
construido con ladrillo de k=0.21 
C
m
W º
/ con un espesor de 10 
cm . En condiciones de equilibrio
la temperatura interna y externa es de 300ºC y 30ºC respectivamente. Estimar la perdida de calor a
través del conducto.
DATOS:
En el nodo 1
En el nodo 2
En el nodo 3
La solución de las tres ecuaciones es:
El calor que entra en la pared
El calor que sale de la pared
49. Hallar el flujo de calor de una chimenea cuyo interior fluye gases de combustión de tal manera que
en el interior tiene 371ºC y la superficie exterior esta a 38ºC las dimensiones de la chimenea es de
60*30 
cm y el espesor es de 30 
cm esta construido de ladrillo de conductividad k=1.2 
C
m
W º
/ .
DATOS:
El área
1
2
3
300ºC
30ºC
2
5cm
10cm
10cm
Tw1 300C

Tw2 30C

kL 0.21
W
m C


x 5cm
 x y

30 300
 2 T2

 4 T1

 0

T1 30
 T1
 T3
 4 T2

 0

2 30
 2 T2

 4 T3

 0

T1 153.75 C
 T2 142.5C
 T3 86.25C

QZe 8kL
Tw1 T1

 
2
Tw1 T2

 








 QZe 387.45
W
m


QZs 8kL
T1 Tw2

 
2
T2 Tw2

 
 T3 Tw2

 








 QZs 387.45
W
m


1
2
3
371ºC
38ºC
2
15cm
60cm
4
5 6 5
30cm
T1w 371C
 kc 1.2
W
m C


T2w 38C

y 15cm

Q
n
k A

T
x









A x y


Q
Z
n
k T

( )



Analizando en el nodo 1
Resolviendo estas ecuaciones se tiene:
El calor que entra al conducto
El calor que sale del conducto
50. Una chimenea de sección cuadrada de 20 
cm *20 
cm esta construida con ladrillo k=0.81 
C
m
W º
/
de 10 
cm de espesor, los gases de la chimenea mantiene la temperatura interior de la chimenea a
280ºC el exterior esta compuesto a un ambiente cuya temperatura es de 23ºC y un coeficiente de
convección de 10 
C
m
W º
/ 2
. Encontrar el flujo de calor a través de la chimenea.
DATOS:
Nodo 1
Nodo 5
Nodo 2
Nodo 6
Nodo 3
Nodo 4 Nodo 7
2 T2
 38
 371
 4 T1

 0

T1 190.69 C

T1 371
 38
 T3
 4 T2

 0

T2 176.88 C

T2 T4
 2 38

 4 T3

 0

T3 107.84 C

T4 178.48 C

T3 T5
 371
 38
 4 T4

 0

T5 197.06 C

T4 T6
 371
 38
 4 T5

 0

T6 200.72 C

2 T5
 371
 38
 4 T6

 0

QZi 4kc
T1w T1

2
T1w T2

 
 T1w T4

 
 T1w T5

 

T1w T6

2








 QZi 3532.2
W
m


QZe 4kc
T1 T2w

2
T2 T2w

 
 2 T3 T2w

 
 T4 T2w

 
 T5 T2w

 

T6 T2w

2









QZe 3531.864
W
m


1
2
3
280ºC
2

T
h
4
5
6
7
w 10cm

k 0.81
W
m C


Tw1 280C

T 23C

h 10
W
m
2
C


2 T2
 280
 T4
 4 T1

 0

2 T2
 T4
 T6

2 h
 w

k
T

 2
h w

k
2







 T5

 0

T1 T5
 T3
 280
 4 T2

 0

2 T3
 T5
 T7

2 h
 w

k
T

 2
h w

k
2







 T6

 0

2 T6
 2 T2

 4 T3

 0

T6 T6

2 h
 w

k
T

 2
h w

k
1







 T7

 0

2 T1
 2 T5


2 h
 w

k
T

 2
h w

k
2







 T4

 0


Resolviendo estas ecuaciones
El calor que entra en la pared
El calor que sale de la pared
51. Determine el flujo de calor por unidad de profundidad en el segmento circular de la figura siguiente.
Supóngase que la conductividad térmica del material es de 0.7 
C
m
W º
/ . Una de las superficies es
isotérmica y las otras se encuentran a 100ºC y 25ºC.
DATOS:
Por balance de energía
Condiciones
Para estado estable Su solución Por condiciones de frontera
T1 172.702 C
 T3 112.0C
 T5 81.919 C
 T7 40.607 C

T2 161.566 C
 T4 87.497 C
 T6 62.345 C

QeZ k
Tw1 T1

2
Tw1
 T2








 QeZ 139.38723
W
m


QsZ k
T1 T4

2
T2 T5

 
 T3 T6

 









QsZ 139.24265
W
m


k 0.7
W
m C

 r1 50cm

r2 54cm

T2 100C

Lw 1m

T1 25C

Eentra Egenerada
 Esale
 Ealmacenada

Eentra Q
 Egenerada 0
 Esale Q

Q
d
d
d


 Ealmacenada m Cp
 T


Q Q

Q
d
d
d








 m Cp
 T

 T
dT
d
 r  r1

V r Lw
 r1
 d


Q k
 A

dT
dx

 k
 r
 Lw

dT
r1 d



m  V



k
 r
 Lw

dT
r1 d








d
d
d







  V
 Cp

dT
d

  r Lw
 r1
 d

 
 Cp

dT
d


1
r1
2 
k

T
d
d













d
d
  Cp

dT
d



k

T
d
d













d
d
0
 T
C1
k

 C2

 C2 T1
 C1
k

T2 T1

( )


T
T2 T1

( )


 T2


dT
d
T2 T1

( )


Q k
 A

dT
r1 d


 k
r1 r2

( ) Lw

 r1

 T1 T2

( )

 Q k
r1 r2

( ) Lw

 r1

 T1 T2

( )

 Q 1.3369 W



CONDUCCIÓN EN RÉGIMEN TRANSITORIO
52. Se tiene una placa de 10 
cm de espesor a una temperatura uniforme de 20ºC que se introduce en un
medio a 100ºC adquiriendo instantáneamente esta temperatura. Determinar mediante técnicas
numéricas el tiempo necesario para qué el plano medio den la pieza alcance una temperatura de
60ºC.
DATOS:
En la ecuación general de la conducción para coordenadas rectangulares y sin generación
53. Se hace pasar repentinamente una corriente eléctrica de 5 amperios por un conductor eléctrico de
cobre de 1 
mm de diámetro con una temperatura ambiente de 25ºC. Calcule la temperatura de la
superficie del conductor a los 40 
s suponiendo que el coeficiente de transferencia de calor es de
25 
C
m
W º
/ 2
. Las propiedades del conductor son: k=386 
C
m
W º
/ , c=383 
C
kg
J º
/ y  =8950
 
3
/m
kg e
 =1.8E-8  
m
*
 .
DATOS:
El número de Biot
Balance de energía en el volumen de control
....1 )
T1
T2
T1
T
dX dX
T1 20C
 X
10cm
2

T2 100C

 6 10
6


m
2
s

T 60C

 
2
x
T
d
d
2 1
 
T
d
d








2
x
T
d
d
2 Ta 2T
 Tb

X
2
 T1 Ta
 Tb


Ta 2T
 Tb

X
2
T1 T

X
2

1
 
T
d
d








T1
T
T
1
T1 T





d
0


2 

X
2





d

 
ln
T2 T

T2 T1







2 
 

X
2
 
X
2
2
 ln
T2 T

T2 T1








  144.40566 s

d
L
h

T
T
I=5A
k 386
W
m C


I 5A

d 1mm
 Cp 383
J
kg C


T 25C

 8950
kg
m
3

t 40s

h 25
W
m
2
C

 e 1.8 10
8

  m


Bi
h
d
2







k
 Bi 3.23834 10
5


 Bi 0.1

Eentra Egenerado
 Esale
 Ealmacenado



0 g V

 A h
 T T

 

 m Cp

dT
dt

  T T


d
dt
dT
dt


g V
 h A
 

  V
 Cp

dT
dt


d
dt
h A

 V
 Cp




g
 Cp

 0


La solución general La solución particular
La solución total
Por condiciones de frontera
La generación de energía por unidad de volumen
54. Una esfera de aluminio k=239 
C
m
W º
/ Cp=902 
C
kg
J º
/ y  =2700 
3
/m
kg con un peso de 6
 
kg y una temperatura inicial de 250ºC, se sumerge bruscamente en un fluido a 25ºC. El
coeficiente de transferencia de calor por convección es 49 
C
m
W º
/ 2
. Estime el tiempo requerido
para enfriar el aluminio a 85ºC
DATOS:
El volumen de la esfera El radio de la esfera
Analizamos el número de Biot
La longitud característica para una esfera
Entonces se aplica el método de
resistencia despreciable
g C1 e
h
 A

 Cp
 V

t


 p C2 C3 t



T g p

 C1 e
h
 A

 Cp
 V

t

 C2
 C3 t



 o
( ) 0
 C3 0
 C2
g V

h A

 C1
g V

h A


 T T


g V

h A

g V

h A

e
h
 A

 Cp
 V

t




g V

h A

1 e
h
 A

 Cp
 V

t










V
A

4
d
2
 L

 d
 h


d
4


g
I
2
e


4
d
2







2
 g 7.29513 10
5

W
m
3



T T
g d

4 h

1 e
4
 h

 Cp
 d

t










 T 30.02396 C


T
h
r
 2700
kg
m
3
 he 49
W
m
2
C


me 6kg

ke 239
W
m C


T 25C

Ti 250C

Cp 902
J
kg C


Tf 85C

Ve
me

 Ve 0.00222 m
3

 r
3
3 Ve

4 

 r 0.08095 m

Bi
he r

ke
 Bi 0.0166

Bi 0.1
 Lc
r
3
 Lc 0.02698 m


Entonces el número de Biot será:
La difusividad térmica es: El número de Fourrier
La variación de la temperatura en función del tiempo
El tiempo que tardará en llegar a la temperatura "Tf" es:
55. Un alambre de diámetro D=1 
mm se sumerge en un baño de aceite de temperatura 25ºC. El
alambre tiene una resistencia eléctrica por unidad de longitud de R=0.01 
m
/
 . Si fluye una
corriente de I=100 Amperios por el alambre y el coeficiente de convección es h=500 
C
m
W º
/ 2
¿Cuál es la temperatura de estado estable del alambre? Del tiempo que se aplica la corriente,
¿Cuánto tiempo tarda el alambre en alcanzar una temperatura que esta a 1ºC de distancia del
valor de estado estable? Las propiedades del alambre son c=500 
C
kg
J º
/ y  =8000 
3
/m
kg
k=20 
C
m
W º
/
Datos:
Analizamos el número de Biot:
Por balance térmico
Sin considerar la transferencia de calor por radiación y cambio de temperatura en el alambre
Bi
he Lc

ke
 Bi 0.00553


ke
 Cp

  9.81358 10
5


m
2
s
 Fo
 

Lc
2

Tf T

Ti T

e
Bi
 Fo



Lc
2

Bi 

ln
Tf T

Ti T








  1772.70783 s

h
I
d
Rl
T.8
RL 0.01

m

d 1mm
 T 25C

h 500
W
m
2
C

 I 100A

 8000
kg
m
3

cp 500
J
kg C


k 20
W
m C


Bi h
d
( )
4k

 Bi 0.00625
 0.00625 0.1

 
 d
 h
 T T

 
 I
2
RL

 T T
I
2
RL

 d
 h


 T 88.66198 C

Egenerado Esale
 Ealmacenado

T T 1C

 T 87.66198 C

I
2
RL
  d
 h
 T T

 

  cp
 At

dT
d


Ti 25C

dT
d
I
2
RL

 cp

 d
2

4







4 h

 cp
 d

T T

 



 T T

I
2
RL

 d
 h


Ti T

I
2
RL

 d
 h


e
4
 h

d 
 cp






d
 
 cp

 
4 h

ln
T T

I
2
RL

 d
 h


Ti T

I
2
RL

 d
 h

















 8.30717 s


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