PENSAMIENTO ALEATORIO

1. ELABORADO POR:
DIEGO ALEJANDRO MUÑOZ LÒPEZ
MIGUEL ANGEL AGUDELO GARCIA.

2. La Edad media termina históricamente en el año1453 con la
caída de Constantinopla por parte de los otomanes, dando
paso a la etapa conocida como renacimiento, la cual se
destacó por la actividad mercantil, industrial, artística,
arquitectónica, intelectual y científica, entre otras. En
esta época surge una nueva relación del hombre con la
naturaleza, que va unida a una concepción ideal y realista
de la ciencia. La matemática se va a convertir en la
principal ayuda de un arte y una sociedad que se
preocupan incesantemente en fundamentar racionalmente
su ideal de belleza.
A partir de esta etapa con el avance en las matemáticas y
la filosofía, se empieza a dar una explicación coherente a
muchos fenómenos que no seguían un patrón
determinístico, sino aleatorio. Es el caso de todos los
fenómenos relativos a la probabilidad de los sucesos
concretados en ese tiempo.

3. Uno de los primeros problemas dedicados a
contabilizar el número de posibles resultados al
lanzar un dado varias veces podemos encontrarlo
aún en la Edad Media, en el poema De Vetula de
Richard de Fournival (1200-1250) donde afirma
correctamente que si se lanzan tres dados hay
216 combinaciones posibles y calcula
acertadamente los diferentes valores para la
suma de los tres dados. Aunque ahora puede
parecer una cuestión trivial, en aquella época no
lo era, y otros autores se equivocaron al intentar
resolverla, generalmente porque no tenían en
cuenta las posibles permutaciones de una misma
combinación.

4. Fue Girolamo Cardano (1501-1576) quien
escribió la primera obra importante
relacionada con el cálculo de probabilidades
en los juegos de azar. Fue en 1565 y se
llamaba Libro de los juegos de azar. Además
Cardano se había ocupado anteriormente
del problema del reparto de apuestas y en
1539 llegó a la conclusión de que la solución
de Pacioli era incorrecta porque al considerar
tan sólo el número de juegos ganados por
cada equipo, no contaba cuántos juegos debían
ganar para hacerse con el premio.

5. Niccolo Tartaglia (1499–1557), también intentó
resolver este problema y en 1556
publicó un libro en el que descartaba la solución
dada por Pacioli y daba su propio
solución: si un equipo ha ganado a puntos y el
otro b, se juega a n puntos y el premio
total es P, las ganancias deberían repartirse de
la forma:
(P/2)±P[(a-b)/n] siendo la cantidad mayor para
el
equipo que tenga más victorias.

6. Pero el problema más importante relativo a los juegos de azar era el conocido como
“problema del reparto de apuestas” que distribuía las ganancias entre jugadores
cuando
la partida se interrumpía antes de finalizar. Este problema fue abordado por Luca
Pacioli (1445-1517) quien en 1487 propuso estos dos problemas particulares: un juego
en el que el premio es de 22 ducados que consiste en alcanzar 60 puntos se interrumpe
cuando un equipo lleva 50 puntos y el otro 30; y tres arqueros que compiten por un
premio de 6 ducados lanzan flechas hasta que uno de ellos haga 6 dianas, siendo
interrumpidos cuando el primero de ellos lleva 4 dianas, el segundo 3 y el tercero 2.
¿Cómo deben repartirse los premios entre los contendientes? Pacioli propuso que el
premio debería ser repartido en función de las victorias obtenidas anteriormente: así,
el
premio del primer problema se dividía en 60×5/8 ducados para el primer equipo y en
360×3/8 para el segundo; para el problema de los arqueros, el premio se dividía en la
proporción 4/9, 3/9 y 2/9. Como más tarde se pondría de manifiesto, esta solución
obtenida por Pacioli es incorrecta.

7. Cierto día del año 1654, Blaise Pascal (1623 - 1662) matemático francés, hacía un
viaje en compañía de un jugador más o menos profesional conocido como el caballero
de Meré, quien era una persona apasionada por todo lo relacionado con el juego de los
dados y las cartas, siendo además un hombre noble e ilustrado.
Este caballero creía que había encontrado una "falsedad" en los números al analizar
el juego de los dados, observando que el comportamiento de los dados era diferente
cuando se utilizaba un dado que cuando se empleaban dos dados. La "falsedad" partía
simplemente de una comparación errónea entre las probabilidades de sacar un seis con
un solo dado o de sacar un seis con dos dados. Para el caballero debía existir una
relación proporcional entre el número de jugadas necesarias para conseguir el efecto
deseado en uno y otro caso. El problema estaba en que el citado caballero no tuvo en
cuenta que en el segundo caso estaba analizando una probabilidad compuesta en donde
las distintas probabilidades se deben calcular multiplicativamente.
Este y otros problemas planteados por el caballero a Pascal sobre cuestiones
relacionadas con diferentes juegos de azar, dieron origen a una correspondencia entre
el propio Pascal y algunos de sus amigos matemáticos, sobre todo con Pierre de Fermat
(1601-1665) de Toulouse, abogado de profesión, pero gran amante de las matemáticas.
Esta correspondencia constituye el origen de la teoria moderna de la probabilidad.

8. Teorema de la Suma:
Pascal dio a entender implícitamente que sabía cómo calcular los casos
favorables
de un suceso A si conocía los casos favorables de unos Aj disjuntos cuya
unión es A (es
decir, si los Aj son una partición de A). Jacob Bernoulli también fue
consciente de ello,
y fue más lejos al darse cuenta de que la probabilidad de la unión no es la
suma de las
probabilidades si los sucesos no son disjuntos, aunque no supo dar la razón.
No fue ninguno de ellos quien formuló finalmente el teorema de la suma de
la
probabilidades, sino el reverendo inglés Thomas Bayes (1702–1761), cuyo
trabajo fue
leído póstumamente, en 1763. En esta obra, Bayes da la primera definición
rigurosa y
explícita de sucesos disjuntos y enunció la fórmula ahora conocida:
P(A ∪B) = P (A) + P(B)− P(A∩B)

9. Al igual que el teorema anterior, el teorema de la multiplicación de
probabilidades
era conocido por casi todos los matemáticos anteriores a través de
resultados
particulares. No obstante, fue Abraham De Moivre el primero que lo
enunció
rigurosamente. De Moivre fue un hugonote francés que debido a su
religión se ausentó
de Francia y vivió como refugiado en Inglaterra. Allí publicó su obra
The doctrine of
chances (Doctrina de las Probabilidades) en 1711.
, la probabilidad de las
ocurrencias de todos los sucesos es igual al producto de todas las
probabilidades” Esto
es:
P( ) = P( ) P( | )…….P( | A1∩ A2∩∩ An..... A1A2A1AnA1 1.... ∩ ∩
An− )

10. El trabajo de De Moivre fue seguido y difundido
en la mayoría de los círculos
científicos importantes de Europa y fue el
británico Thomas Bayes, probablemente
alumno de De Moivre en Londres, quien
extendió el trabajo del francés y expresó la
probabilidad condicional en función de la
probabilidad de la intersección:
P(A/B)= [P(B/A) P(A)] / P(B)

11. A partir, fundamentalmente, de Laplace las dos disciplinas más importantes dentro
de la teoría de la probabilidad, que eran el cálculo de probabilidades y la estadística se
fusionaron de manera que el cálculo de probabilidades se convirtió en el andamiaje
matemático de la estadística. Toda la base matemática que permitió desarrollar la
teoría
de probabilidades está extraída del análisis combinatorio, una disciplina iniciada por
Leibniz y Jacob Bernoulli. Posteriormente con el paso del tiempo fue introduciendo la
teoría de límites disminuyendo el peso que tenía el análisis combinatorio.
Esta fue sólo la primera de las modernizaciones que sufriría la probabilidad el el
siglo XIX. Otra de las más importantes fue la que llevó a cabo el matemático alemán
Karl Friedrich Gauss (1777-1855), que desarrolló la teoría de errores conjuntamente
con Bessel y Laplace, llegando a establecer el método de mínimos cuadrados como el
procedimiento más elemental para resolver los problemas de la teoría de errores.
Gauss
y Laplace, independientemente aplicaron conceptos probabilísticos al análisis de los
errores de medida de las observaciones físicas y astronómicas. De hecho, científicos
consagrados de la época como Maxwell, Boltzmann y Gibbs aplicaron la probabilidad
en su obra "Mecánica Estadística".