Problemas e ideas sobre el azar sigma 16

1. REFERENCIAS HISTORICAS
¿Cuál es el origen de la teoría de la probabilidad y del azar? Si queremos rastrear el origen de la
teoría matemática de la probabilidad, encontraremos muchísimas dificultades.
El tránsito del juego a la teoría se produce seguramente al buscar regularidades en determinados
juegos de azar.
Las pruebas más antiguas de utilización de juegos de azar aparecen en las culturas egipcia y
griega. Unos XVIII siglos antes de J.C. ya se jugaba a un precioso juego llamado «perros y
chacales», que consta de un tablero en el que se colocaban unos punzones con cabeza de perro
o de chacal según sea el lanzamiento de unas tabas.
Hace más de 4.000 años en Irak se utilizaron unos dados en forma cúbica, de cerámica, y con una
ordenación de puntos algo distinta a la habitual:
Los juegos de azar desde siempre han sido muy populares, y en épocas y ocasiones perseguidos.
En Roma el juego alcanzó tal importancia e incidencia en la vida social que se llegó a prohibir en
determinadas ocasiones y épocas del año. En las primeras épocas del Cristianismo determinados
juegos de azar fueron reprobados y censurados. El rey Luis XI de Francia, en 1255, prohíbe los
juegos de azar y la fabricación de dados, e inclusive los pone al mismo nivel que la «frecuentación
de tabernas y la fornicación».
Curiosamente en algunas ocasiones el azar era asimilado a la voluntad de los dioses, así: «Las
vacantes importantes en la jerarquía sacerdotal se adjudicaban por sorteo».
Desde la antigüedad hasta el Renacimiento se juega sin interrupción a los juegos de azar (dados,
tabas, astrálagos, cartas, etc.). No hay apenas manuales sobre las reglas del juego, lo que hace
suponer que la gente conocía las reglas por tradición oral.
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Con la aparición de la imprenta comienzan a emerger tratados poco elaborados sobre
los diferentes juegos de moda. los primeros acercamientos serios a lo que más tarde se
llamaría: la Probabilidad, fueron de personajes como Tartaglia, Peverone, Galileo y G.
Cardano, este último autor escribe el primer tratado —Liber de Ludo Alae— medianamente
organizado, cuyo objetivo era el de calcular las diferentes posibilidades del lanzamiento de
varios dados. Al carecer de una simbología adecuada Cardano tenía que recurrir
constantemente a ejemplos concretos; a lo largo de todo el tratado no utiliza los teoremas
de unión e intersección sino que se sirve especialmente de dos métodos: recuento de las
distintas posibilidades y el concepto de ganancia media. El tratado de G. Cardano (1501-
1576) no se publicó hasta 1663, aunque fue escrito alrededor de 1564.
La mayoría de los historiadores coinciden en atribuir a Blas Pascal (1623-1662) y Pierre
Fermat (1601-1665) las bases sobre las que posteriormente se asientan la teoría de la
probabilidad. Pascal y Fermat se interesaron por este tema a raíz de unos problemas que les
había propuesto el caballero De Méré. (A propósito de dicho caballero escribía Pascal: «Es
muy inteligente, pero no es geómetra, y como sabéis, éste es un defecto muy grande, ...»).
Una de las cuestiones planteadas era la siguiente: Dos jugadores deciden interrumpir el
juego antes del término convenido; ¿cómo deberán repartirse las cantidades apostadas,
según el progreso de la partida, para que dicho reparto sea justo?
La solución a este problema fue escrita por Blas Pascal en una carta que remitió a Pierre
Fermat el 29 de julio de 1654, dice así:

«He aquí aproximadamente como lo hago para saber el valor de cada una de las
partidas cuando dos jugadores juegan, por ejemplo, en tres partidas, y cada uno ha puesto
en el juego 32 monedas. Su-pongamos que el primero tenga dos y el otro una; ahora
juegan una partida cuya suerte es que, si el primero la gana, gana todo el dinero que está
en juego, a saber, 64 monedas; si el otro la gana, son dos partidas contra dos partidas, y
por consiguiente, si quieren separarse, es preciso que retiren cada uno lo que han puesto,
a saber, 32 monedas cada uno. Considerad, señor, que si gana el primero, le pertenecen
64; si pierde, le pertenecen 32. Ahora bien, si no quieren arriesgar está partida y separarse
sin jugarla, el primero debe decir: "estoy seguro de tener 32 monedas, porque la pérdida
misma me las da; pero para las otras 32, quizá las tendré yo, quizás las tendréis vos; el
azar es igual repartamos, pues, estas 32 monedas, mitad por mitad, y me dais, además de
estos las 32 monedas que me corresponden con seguridad". Tendrá, pues, 48 monedas y
el otro 16».
Casi al unísono Fermat resolvió el problema por un método completamente distinto, lo cual
fue para Pascal muy estimulante. «Ya ve, escribió B. Pascal, que la verdad es la misma en
Toulouse que en París».
Pero veamos algunas de las cartas que se enviaron Blas Pascal y P. Fermat.
Pascal a Fermat (Martes, 27 de octubre de 1654)
«Señor,
Su última carta me ha satisfecho a la perfección. Admiro su método para los lotes,
tanto más porque lo comprendo bien; es enteramente suyo, no tiene nada en común con
el mío, y llega fácilmente al mismo resultado. Nuestra comprensión se ha establecido.
Pero Señor, si en esto he competido con Vd., debera buscar en otra .parte quien le siga
en sus intervenciones numéricas, cuyos enunciados me ha hecho Vd. el honor de
enviarme. Le confieso que esto me sobrepasa ampliamente; sólo soy capaz de admirarlas
y le suplico humildemente que dedique su primer momento libre a concluirlas. Todos
nuestros amigos las. vieron el sábado pasado y las apreciaron de todo corazón: no es fácil
soportar la espera de cosas tan bellas y deseables. Piense pues en ello, si le place y esté
Vd. seguro de que soy, etc.
PASCAL»
Fermat a Pascal (Sábado, 29 de agosto de 1654)

«Señor,
1. Nuestras espadas no dejan de cruzarse y estoy tan admirado como Vd. de que
nuestros pensamientos se ajusten tan exactamente que parece que hayan tomado una
misma ruta y recorrido el mismo, camino. Sus últimos Tratados sobre el Triángulo
Artimético y su aplicación son una auténtica prueba de ello; y si mis cálculos no me t
gañan, su onceaba consecuencia iba en la posta de París a Toulouse mientras que mi
proposición sobre los números figurados, que en efe, es la misma, iba de Toulouse a París.
No me asusta errar mientras haya encuentros como éstos, y estoy persuadido de que el
verdadero medio para evitar el error es el competir con Vd. Pero `si dijera más, la cosa se
convertiría en un cumplido y nosotros hemos borrado este enemigo de las conversaciones
dulces y amables.
Ahora me toca a mí entregarle algunas de mis invenciones numéricas; pero el fin del
parlamento aumenta mis ocupaciones y me atrevo a esperar de su bondad que me
ofrecerá un respiro justo y casi necesario.
2. No obstante responderé a su cuestión de los tres jugadores que juegan dos
partidas. Cuando el primero tiene una, y los otros no tienen una, su primera solución es la
verdadera, y la división del dinero de hacerse en 17, 5 y 5; la razón de ello es manifiesta y
se basa siempre en el mismo principio, las combinaciones muestran en primer lugar que el
primero tiene a su favor 17 azares iguales, mientras que cada uno de los otros (dos) no
tiene más que 5.
3. Por otra parte, no hay nada que en el porvenir no le comunique con toda franqueza.
Medite entretando, si lo juzga oportuno, esta proposición:
Las potencias cuadradas de 2, aumentadas en la unidad, son siempre números primos.
El cuadrado de 2, aumentado en la unidad, hace 5 que es número primo.
El cuadrado del cuadrado, hace 16, que, aumentado con la unida hace 17, número
primo.
El cuadrado de 16, hace 256, que, aumentado con la unidad, hace 257, número primo.
El cuadrado de 256 es 65.536 que, aumentado en la unidad, es 65.537, número primo.
Y así hasta el infinito.
Es una propiedad de cuya verdad le respondo. La demostración es muy dificultosa y le
confieso que todavía no he podido encontrarla por completo; no le propondría buscarla si
yo lo hubiera conseguido.
Esta proposición sirve para la invención de números que estén en una razón dada con
sus partes alícuotas, sobre lo cual he hecho descubrimientos considerables. Hablaremos
de ello en otra ocasión.
Soy, Señor, vuestro, etc.
FERMAT>>

A través de esta correspondencia había nacido una nueva ciencia, que tuvo la mala
suerte de coincidir en el tiempo con los «grandes descubrimientos» de la matemática.
Efectivamente el siglo XVII puede considerarse el siglo de oro: Nacimiento y desarrollo
del cálculo infinitesimal, teoría de la gravitación, desarrollo de la geometría analítica, etc.
En el año 1655 el joven Christian Huygens (1629-1695) entró en contacto con el
círculo intelectual de Pascal, Fermat, Roberval, etc. De estas inquietudes intelectuales
surgió un pequeño tratado, escrito en holandés —Van Rekeningh in Spelan van Geluk—
(el cálculo en los juegos de azar), posterior-mente se hizo una versión latina (De
Ratiociniis in Ludo Aleae). A lo largo del tratado se define de una manera definitiva y
rigurosa el concepto de esperanza matemática.
Se puede asegurar que la tríada: Pascal, Fermat y Huygens sentaron las bases
modernas de la teoría de la probabilidad, bases que fueron desarrolla-das a lo largo del
siglo XVIII.
La primera contribución teórica del siglo XVIII es el «Essay d'analyse sur les jeux du
hazard» de P.R. Montmort (París, 1708) que aporta numerosas precisiones teóricas del
problema en cuestión. En 1713 aparece la obra de Jacques Bernouilli «Ars
Conjectandi», obra póstuma, publicada por otro miembro de la familia —Nicolás
Bernouilli—. Este tratado es de enorme trascendencia: contiene importantes
contribuciones a todos los dominios de la teoría de las probabilidades, allí se encuentra
el célebre «teorema de Bernouilli» o ley de los grandes números, que a grandes rasgos
se puede enunciar así:

«Es muy poco probable que, si efectuamos un número suficiente-mente grande
de experimentos, la frecuencia de un acontecimiento se aparte notablemente de su
pobabilidad».
Este,teorema recibirá con Laplace (1749-1827) su forma definitiva y cuya verificación
experimental fue emprendida por G.L. Leclerc de BUFFON (1707-1788) y S.D. Poisson
(1781-1840) mostrando su excepcional importancia en el terreno de las aplicaciones.
En esta pequeña historia no hay que olvidar las contribuciones del célebre británico
Thomas Bayas (muerto en 1763), el cual se enfrentó con éxito al importante problema de
«la probabilidad de las causas» (esto es determinar la probabilidad de las causas por los
efectos observados). Para ejemplificarlo supongamos la siguiente situación:
«Tenemos dos cajas "A" y "B" que contienen bolas blancas y negras en la
siguiente proporción: En "A" hay 6 bolas blancas y 4 negras. En "B" hay 4 bolas
blancas y 6 negras. Una bola es sacada al azar de un caja y es blanca. ¿Cuál es la
probabilidad de que haya sido sacada de la caja "A"?»
Con Laplace la teoría de la probabilidad adquirió su «mayoría de edad» cobrando un
impulso que se ha ido acrecentando con el tiempo. Con 63 años

publica un enorme tratado titulado «Teoría analítica de las probabilidades». El avance de
Laplace fue tan grande que prácticamente lo que quedaba por realizar eran labores de
ordenación, precisión, rigor y crítica; labores que iniciaron ilustres matemáticos como
Legendre (1752-1883) y Gauss (1777-1855). No hay que olvidar en este pequeño resumen,
a un matemático que también aportó su granito de arena en este campo de la matemática,
nos referimos al matemático de origen francés Abraham de Moivre (1667-1754), muchos
historiadores le consideran el descubridor de la distribución normal. En el 1711 publicó en su
tratado «Philosphical Transactions» un estudio detallado sobre las denominadas leyes del
azar, siete años después amplió su trabajo e incluyó en un nuevo tratado, «Doctrine of
Chances», numerosos problemas y aplicaciones sobre: dados, juegos, anualidades de vida,
etc. Y por fin, en 1733, publicó en Londres un pequeño folleto en el que se incluía por vez
primera la distribución normal, que con una cierta injusticia se ha llamado Curva de Gauss en
lugar de Curva de Moivre.
A finales del siglo XIX el mundo de la probabilidad y del azar estaba muy abonado y
gracias a personajes como Borel (1871-1956), Pearson (1857-1936), Poincaré (1854-1912),
Galton (1822-1911), Markov, Tchebycheff (1821-1894) y Kolmogoroff, esta ciencia se fue
consolidando de una manera definitiva.

2. PROBLEMAS QUE HAN HECHO HISTORIA
1. Dos jugadores "A" y "B", apuestan uno contra otro la misma cantidad de dinero en un
juego en el que el ganador será aquel que primero gane tres partidas. Cuando el jugador "A"
gana la primera partida (el "B" no ha ganado todavía ninguna) el juego se suspende, se da
por terminado el juego. ¿Cómo repartirse el total del dinero, de una manera justa?
(Problema propuesto por el caballero de Meré y resuelto por
Blas Pascal y Pierre Fermat)
2. Un jugador italiano propuso a Galileo Galilei el siguiente problema:
«He observado que al tirar tres dados la suma 10 aparece con más frecuencia que
la 9, sin embargo, los casos favorables de suma 10 son {(1,3,6), (1,4,5), (2,2,6),
(2,3,5), (2,4,4) y (3,3,4)} mientras que los casos favorables de suma"9 son {(1,2,6),
(1,3,5), (1,4,4), (2,2,5), (2,3,4) y (3,3,3)} en los dos casos hay 6 eventos favorables.
¿Cómo es posible entonces que me salga más veces la suma 10 que la 9?
(Problema Propuesto a G. Galilei)
3. Si lanzamos un dado cuatro veces consecutivas. Parece que es más probable que salga un
6 que lo contrario. (Problema resuelto por Balise Pascal)
4. Si lanzamos dos dados veinticuatro veces es menos probable que salga un doble 6 que lo
contrario.
(Problema resuelto por Blaise Pascal)
5. Un jugador tiene la intención de lanzar ocho veces un dado, con el objetivo de conseguir
el número 1. El juego se interrumpe después de haber lanzado tres veces y no haber
conseguido el 1. ¿En qué proporción ha de ser compensado el jugador?
(Problema propuesto por Blaise Pascal)
6. El científico A. de Moivre planteó el siguiente problema:
«Calcular la probabilidad de obtener un número de puntos dado al lanzar a dados
que tienen cada uno "b" caras».
- (Problema propuesto por Abraham de Moivre)

7. El naturalista George L.L. Buffon decía:
«Si tenemos dividido un plano en franjas horizontales equidistantes (a una distancia "1'),
sobre el que lanzamos una aguja de longitud "L" (con L<I), la probabilidad de que la aguja
toque alguna de las rectas
2•L
paralelas es ___ I
(Problema propuesto por G.L.L. Buffón)
8. Tenemos 100 billetes numerados del 1 al 100. Se extraen tres al azar. Calcular la probabilidad
de:
a) Los tres billetes son números consecutivos.
b) Hay exactamente dos consecutivos (pero no tres).
c) No hay consecutivos.
(Problema propuesto por L. Euler)
9. 100 caballeros, cada uno con un sombrero, deciden ir a la ópera y al entrar dejan todos los
sombreros en el guardarropa. A la salida cada uno coge al azar un sombrero. ¿Cuál es la
probabilidad de que ni un sólo caballero reciba su sombrero?
(Problema propuesto por L. Euler)
10. El matemático polaco Banach llevaba siempre dos cajas de cerillas, una en cada bolsillo.
Cuando necesitaba fósforos cogía al azar de una de las dos cajas. Si cada una tiene exactamente
40 cerillas. ¿Cuál es la probabilidad de que en una de ellas se terminen los fósforos y en la otra
figuren exactamente 20 cerillas?
(Problema propuesto por Banach)
11. Consideremos todos los números de 5 cfras; son en total cien mil (el número cero se escribirá
00000). De este montón de cifras calcular cuántos hay que tienen las cinco cifras distintas, y,
posteriormente, 5, 4, 3, 2 ó 1 cifras diferentes.
(Problema propuesto por E. Borel)

3. INTRODUCCION A LA TEORIA DE LA PROBABILIDAD
3.1. DEFINICIONES: EXPERIMENTO ALEATORIO, ESPACIO MUESTRAL, SUCESOS, TIPOS
DE SUCESOS, VERIFICACION DE UN SUCESO
Denominamos «Experimento Aleatorio» a cualquier experiencia susceptible de ser
repetida a voluntad en condiciones análogas, con la condición de que el «resultado» de la
misma sea impredecible antes de cada repetición.
El conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio dado se
denomina «Espacio Muestral» y lo designaremos por la letra E.
Un «suceso» es un subconjunto del espacio muestral, y por tanto está asociado a un
experimento aleatorio.
Existen algunos sucesos especialmente importantes:
«Suceso Elemental» es el suceso más sencillo posible, verificando la propiedad de
que en cada «prueba» debe ocurrir uno de ellos y no pueden ocurrir dos a la vez.
Se llama «Suceso Seguro» al que ocurre con seguridad cada vez que se repita el
experimento. Por tanto, el suceso coincidirá con el espacio muestral.
Se llama «suceso imposible» al que no puede ocurrir nunca. Se le suele designar con
la letra 0.
Se dice que un Suceso se ha «Verificado» cuando al realizar el experimento aleatorio, el
resultado obtenidd es uno de los elementos de ese suceso.
3.2. OPERACIONES CON SUCESOS, ALGEBRA DE SUCESOS
Dos sucesos A y B son «iguales» cuando la ocurrencia de uno de ellos implica
necesariamente la del otro. Simbólicamente se suele escribir A = B.
Un suceso A se dice que está «incluido» en otro suceso B, si la ocurrencia de A implica
necesariamente la ocurrencia de B. Simbólicamente se suele escribir A c B.
En el conjunto de los sucesos asociados a un experimento aleatorio se definen tres
operaciones básicas, necesarias para poder avanzar en el mundo del azar.
SUCESO CONTRARIO. Dado un suceso A se llama «contrario de A» y se designa
por A (también por Ac
) al que cumple: A ocurre si y solo si no ocurre A.
UNION DE SUCESOS. Dados dos sucesos A y B, se llama «Unión de A y B» y se
designa por AUB al suceso que se verifica cuando se verifica A, B o ambos.

INTERSECCION DE SUCESOS. Dados dos sucesos A y B se llama
«Intersección de A y B» y se designa por AnB al suceso que se verifica
cuando se verifican, simultáneamente, A y B.
Dos Sucesos A y B se llaman «Incompatibles» si no pueden ocurrir a la vez. En
otras palabras si AnB = 0.
PROPIEDADES más importantes de las operaciones con sucesos:
Notas:
Es de constatar que varias de las propiedades anteriores son interdependientes
(se pueden deducir unas de otras), lo interesante a destacar es que ocurren, y
por el hecho de cumplirse tales propiedades, se dice que: «El conjunto de
sucesos, asociado a un experimento aleatorio recibe el nombre de "Algebra de
Sucesos" respecto a las operaciones U, n y complementario».
La formulación «conjuntística» muchas veces oculta con su ropaje exacto
yformalista la otra visión «informal», pero no menos interesante. Así la
propiedad: AUA = E se podría enunciar «Siempre ocurre un suceso o el suceso
contrario». Del mismo modo; ¿cuál sería «lo contrario de ocurrir dos sucesos a la
vez»?

Se llama «Espacio Completo de Sucesos» a cualquier conjunto de sucesos que
verifican dos propiedades:
a) La unión de todos ellos es el suceso seguro.
b) La intersección de dos cualesquiera es el suceso imposible. 3.3. DEFINICION
AXIOMATICA DE LA PROBABILIDAD. PROPIEDADES.
La definición que ahora daremos se debe al matemático ruso Kolmogoroff y de una
forma resumida dice lo siguiente:
Dado el espacio muestral E, asociado a un experimento aleatorio, y el álgebra de
sucesos. Se dice que una función P que asocia un número a cada suceso S es una
«función de probabilidad» si verifica:
[ésta es la ley de LAPLACE]
Nota: Esta última propiedad hace referencia a sucesos elementales «equiprobles».
Diremos que los sucesos elementales asociados a un experimento aleatorio son
«equiprobables», si su número es finito y todos tiene la misma probabilidad de ocurrir.

3.4. ASIGNACION DE PROBABILIDADES POR EL METODO DE LAPLACE
Es seguramente la primera definición conocida del concepto de probabilidad, se
la denomina también la definición clásica de la probabilidad, dice:
«La probabilidad de un suceso A es el cociente entre el número de casos
favorables de que ocurra el suceso A y el número de casos nnsihles»
Notas:
* Para poder aplicar esta fórmula es necesario que los sucesos elementales sean
equiprobables.
* Al decir casos posibles nos estamos refiriendo a todos los resultados del
experimento, es decir, a todos los elementos del espacio muestral.
3.5. LEYES DE LOS GRANDES NUMEROS. ASIGNACION DE
PROBABILIDADES
En la obra póstuma de Jacques Bernouilli, Ars Conjectandi, publicada en el
1713, aparece enunciada por primera vez una ley que se ha venido en llamar:
«teorema de Bernouilli» o «Ley empírica del azar» o también «primera ley de los
grandes números» y que dice así:
«Es muy poco probable que, si efectuamos, un número sufi-
cientemente grande de experimentos, la frecuencia de un aconte-
cimiento se aparte notablemente de su probabilidad».
[Primera ley de los grandes números]
Esta ley se puede enunciar de manera más precisa, en términos matemáticos,
no obstante lo fundamental a reseñar es que se encuentra en la base de la mayoría
de las aplicaciones prácticas para calcular probabilidades.
Otro enunciado equivalente es el siguiente:
«Cuando el número de realizaciones de un experimento aleatorio
crece mucho, la frecuencia relativa del suceso asociado se va acer-
cando cada vez más y más hacia un cierto valor. Este valor se llama
probabilidad del suceso».
[Primera ley de los grandes números]
Esta idea se puede transmitir de manera muy sencilla, veámoslo con un ejemplo.

Ejemplo:
Lanzamos un dado 240 veces, queremos estudiar cuantas veces sale el 3. Anotamos los
resultados en la tabla...
N.° de tiradas 6 12 24 48 72 96 108 144 168 204 240
N.° veces
que
l l 3
1 3 3 5 9 14 16 20 26 34 38
Frecuencia
Relativa
(experimental
)
0,16 0,25 0,125 0,104 0,125 0,146 0,15 0,14 0,155 0,166 0,159
Frecuencia Relativa [Teórica] = 6 = 0,1666...
Este gráfico nos indica claramente:
a) La curva [formada por trozos rectos, en este caso] se va acercando a un cierto valor.
b) A medida que aumenta el número de veces que realizamos el experimento aleatorio, las
oscilaciones de la curva van siendo cada vez más suaves.
Nota: Esta ley de los grandes números está conectada con el concepto de probabilidad a
posteriori, en efecto: cuando no es posible establecer la probabilidad a priori no tenemos más
opción que estimar la probabilidad del suceso, estudiando el valor límite al que se acercan las
frecuencias relativas. Las probabilidades obtenidas por este procedimiento se denominan proba-
bilidades «a posteriori».
Relacionada con esta primera ley, hay otra manifestación que se suele conocer como la
segunda ley de los grandes números, y que dice así:

«A medida que el número de realizaciones de un experimento aleatorio crece,
mayor tiende a ser el valor absoluto de la diferencia entre la frecuencia absoluta
experimental de un suceso y la frecuencia absoluta teórica (la esperada)».
[Segunda ley de los grandes números]
En el siguiente ejemplo se puede observar claramente esta segunda ley de los grandes
números.
Lanzamos una moneda al aire 1.000 veces y recogemos los resultados de las veces que ha
salido cara, en la siguiente tabla hemos ido anotando:
Número de lanzamientos 200 400 600 800 900 1.000
Frecuencia Experimental 108 214 284 380 429 477
Frecuencia Teórica 100 200 300 400 450 500
Diferencia en valor absoluto 8 14 16 20 21 23
Se observa claramente como en la última fila los números van siendo cada vez mayores, esto
es lo que dice justamente la segunda ley de los grandes números.
3.6. PROBABILIDAD CONDICIONAL. DEFINICION
La probabilidad de un suceso proporciona una información sobre «el grado de posibilidad» de la
verificación de dicho suceso. Algunas veces se recibe una información adicional que modifica el
conocimiento que se tiene de «ese grado de posibilidad» de verificación de dicho suceso. Esta
idea tiene que ver con un concepto muy importante en probabilidad, llamado: Probabilidad
condicionada. De una manera formal se define así:
«Sea A un cierto suceso de un determinado experimento aleatorio. Dado otro suceso B,
del mismo experimento aleatorio, se dice que B está condicionado por A y se denota B/A
al suceso que acontece cuando se presenta B, en el supuesto de que se verificaba A.
Por tanto:
3.6.1. Sucesos independientes
Si A y B son dos sucesos de un mismo experimento aleatorio, se considera que son
independientes, cuando uno de ellos no tiene ninguna influencia sobre el otro.
Se puede decir también: que A y B son independientes si se verifica una cualquiera de las tres
condiciones siquientes:

3.6.2. Teorema de la Multiplicación [Regla del producto]
Como consecuencia de la definición de la probabilidad condicionada, se quede proponer la
siguiente igualdad:
P(AnB) = P(B/A) P(A)
o también:
P(AnB) = P(A/B) P(B)
Dichos resultados se les conoce como el Teorema de la Multiplicación o también la «Regla del
Producto».
3.6.3. Teorema de la Probabilidad Total
Es a veces frecuente que un suceso B dependa de otros A, i=1,2, ..., n, incompatibles y tales
que unidos todos ellos dan lugar al suceso seguro ['Ni; i=1,2, ..., n, es un espacio Completo de
Sucesos].
Entonces se verifica que:
Esta igualdad se suele conocer como «El teorema de la Probabilidad Total».
3.6.4. Fórmula de Bayes
Si A;, i=1,2, ..., n, es un sistema completo de Sucesos y B es otro suceso, entonces:
Esta última fórmula se conoce como la Fórmula de Bayes.
Se suele decir que P(A,) son las probabilidades «a priori» de los sucesos A; y P(A;/B) sus
probabilidades «a posteriori», ya que se establecen después de realizada la experimentación,
representada por el acaecimiento del suceso B.
Estos conceptos de probabilidades «a priori» y «a posteriori» son muy importantes y conviene
aclararlas (ver sección 3.5).
Probabilidad «a priori» es la probabilidad que se establece atendiendo a consideraciones de
simetría, o regularidad de sucesos elementos.
Probabilidad «a posteriori» es la probabilidad obtenida como resultado de la observación
experimental de las frecuencias relativas de aparición de dicho suelo.

3.7. PROBABILIDAD GEOMETRICA por Fernando Fouz
La probabilidad geométrica puede considerarse como un apartado de la probabilidad. Se
caracteriza porque necesita la geometría plana o analítica, para realizar los cálculos de
probabilidades.
Su interés es grande en cualquier momento de la instrucción matemática. En la Enseñanza
Secundaria Obligatoria porque permite, a los alumnos y alumnas, conocer aspectos de las
conexiones matemáticas, entre la geometría plana y la probabilidad. En el Bachillerato, porque
permite recuperar y revisar ideas y conceptos de la geometría euclidiana, e introducir la conexión
entre la geometría analítica y la probabilidad.
Un problema de probabilidad geométrica debe plantearse siempre, a partir de una prueba o
experimento del mundo real, cuya conclusión (éxito) está relacionada con el azar, mediante un
ensayo único de la prueba y, cuyos resultados, puedan ser representados por puntos de un
espacio geométrico plano. Cuando esto ocurre, el espacio geométrico sustituye a la prueba real
pasando, de este modo, a un experimento o ensayo matemático señalando puntos en ese espacio.
La probabilidad geométrica no está tratada con gran amplitud en los libros. De los que
conocemos, suele aparecer bien en uno o dos capítulos de libros de recopilación de temas de
probabilidad, o en cuadernillos. La mayoría de los problemas, para introducir el azar, recurren a
situaciones de juego (dardos, tiro al blanco, etc.), a situaciones meteorológicas (rayo que cae,
copos de nieve, etc.), un bombardeo, o situaciones dinámicas (desplazamientos conformes a una
ecuación lineal).
A continuación vamos a plantear una serie de problemas sobre la probabilidad geométrica.
1.° Problema del bombardeo
Este problema suele tener varias formulaciones todas ellas, básicamente, sitúan un
determinado espacio (cuadrado, rectángulo, etc.) en el que existen uno o varios edificios. Sobre la
zona se lanza una bomba, y se fija una distancia máxima, desde cada edificio, en la que, si la
bomba cae, el edificio es destruido. A partir de esa información se trata de calcular las distintas
probabilidades de que se destruyan' uno, dos, ..., o ninguno de los edificios. En otros casos, en
vez de bombas, se lanzan paracaidistas y los edificios se sustituyen por árboles, sobre los que no
pueden caer. -
Una de las construcciones posibles es la siguiente. En un recinto cuadrado de 1 Km. de lado
se encuentran cuatro edificios situados, respectivamente, en cada vértice del cuadrado. Si
la bomba cae a una distancia de 1/3 de Km. de cualquier edificio, éste se destruirá.
Suponiendo que la

bomba cae aleatoriamente (bombas de gravedad, no teledirigidas) dentro del recinto
en cuestión. ¿Cuál es la probabilidad de que...
a) ninguno de los edificios sea destruido?
b) un solo edificio sea destruido?
c) más de un edificio sea destruido?
d) la bomba caiga «exactamente» a una distancia de 1/4 de Km. de un edificio?
Solución:
a) En este caso dibujamos el cuadrado y, desde cada vértices, trazamos cuadrantes
de circuferencia de radio 1/3 de Km. (Fig. 1). La superficie rayada (A) se corresponde con
la zona de éxito, por tanto:
b) En este caso, es fácil comprobar que se trata del suceso complementario del
anterior, ya que el área del resultado favorable es la superficie no rayada de la Fig. 1, por
tanto:
c) Este tercer caso es imposible ya que las zonas de destrucción de cada edificio no
se intersectan. Por tanto el área de resultado favorable es cero y la probabilidad será:
Probabilidad (C) = Probabilidad de destruir más de un edificio =

d) En esta situación la probabilidad vuelve a ser cero, ya que en este caso no existe
área, pues el espacio favorable es un cuadrante de circunferencia no de círculo, cuyo área,
es 0 ya que se trata de una línea. En la Fig. 2 se ve un dibujo de la situación.
Esta situación se da porque el problema señala que la distancia debe ser
«exactamente de 1/4 Km.», y no la circunscribe a una superficie.
Variaciones del problema:
2.° Modificar las distancias de influencia de las bombas para que el apartado c)
sea distinto de cero. Para ello basta con aumentarla p.e.:
3.° Se parte de conocer el valor de las probabilidades y se tiene que calcular las
distancias de los tres primeros casos. Se define por «x» la distancia máxima desde
cada edificio para la cual se destruye. Si se fija una probabilidad de 0.9 en cada
caso, ¿cuánto deberá valer «x» para que se cumpla esa probabilidad?
Respuestas: a) 0.54; b) 1.71; c) 2.
4.° Sustituir el recinto cuadrado por uno de forma de triángulo equilátero de lado
1 Km. y, el radio de acción de las bombas 1/3. La probabilidad de destruir un edificio
es en este caso de 0.40.
5.° Se dibuja un cuadrado ABCD de lado unidad (Fig. 3). Sobre uno de los lados
e. AB) se elige un punto cualquiera P, y se forma un nuevo cuadrilátero trapezoidal
APCD. ¿Cuál será la probabilidad que el área del trapecio sea mayor que
2/3?

Solución:
En el caso límite de que P casi coincida con A, la superficie del trapecio será casi 1/2 de la del
cuadrilátero, es decir, la superficie rayada deberá ser por tanto:
Más de 2/3 — 1/2 = 1/6 del total o, lo que es lo mismo, 1/3 de la mitad del cuadrado (triángulo
DBA). Como cualquier triángulo construido sobre la base AB con D, tiene siempre la misma
longitud de la altura (igual a la del lado BD), se cumplirá la condición del problema siempre que:
lo cual ocurre en 2/3 de los casos en los que se mueve el punto P por el lado AB.
6.° Un rectángulo ABCD (Fig. 4), tiene la longitud de la base AB = 10 Cm. y de altura AD =
8 cm. Se elige aleatoriamente un punto «P» de su interior, formándose el triángulo ABP.
¿Cuál es la probabilidad de que:
a) El área del triángulo sea mayor que 20 cm'.
b) El área esté comprendido entre 10 y 30 cm'.

Solución:
a) Como el triángulo y rectángulo tienen la misma base, el problema se reduce a comparar
la altura del triángulo con la del rectángulo, sin olvidar el factor 1/2 que interviene en ee
cálculo del
b) área (a) del triángulo.
Los problemas que vienen a continuación tiene como figura geométrica base la circunferencia.
Los problemas que se pueden plantear son diversos: dianas de dardos (dando puntos a cada
corona circular y calculando la probabilidad de distintas puntuaciones); elegir puntos (fijos y a
distancias regulares de una circunferencia) de manera que se forman determinadas figuras o
ángulos concretos. Para este último tipo de problemas, también se pueden elegir los puntos a
partir de los puntos de una trama cuadrada de puntos.
7.° En una circunferencia se elige un diámetro cualquiera MN. Aleatoriamente se elige
un tercer punto P, distinto de los dados inicialmente, sobre la circunferencia. ¿Cuál es la
probabilidad que
a) el ángulo PNM esté comprendido entre 45° y 0°
b) sea un ángulo NPM recto
c) esté comprendido entre 30° y 600
?
Solución:
La idea geométrica básica para resolver el problema es que, todo ángulo construido con su
vértice sobre un punto de la circunferencia y secante a ella -en otros dos puntos (llamado ángulo
inscrito), vale la mitad del arco que comprende. Algunas consecuencias, que de esto se derivan,
son por ejemplo,

8.° Sobre una circunferencia se sitúan cuatro puntos (A, B, C, D), de forma que
dividen a la circunferencia en cuatro arcos iguales. Se trata de hallar la probabilidad
de que se den las siguientes situaciones.
a) Escogiendo dos puntos al azar, el segmento que los una, sea un diámetro.
Sólo en dos casos es diámetro: AC o BC. Los casos posibles son las combinaciones de
cuatro elementos tomados de dos en dos, por tanto, 6
P = ? = 2/3 6
b) Lo mismo que el caso anterior pero no siendo diámetro. Es claro que
es el caso complementario del anterior, por tanto:
P = 6 = 2/3
c) Escogiendo tres puntos se forme un triángulo rectángulo. Esto ocurre
siempre, por tanto, la probabilidad será 1. Variaciones del problema anterior
9.° Se eligen seis puntos y se trata de construir, eligiendo tres al azar, un triángulo
rectángulo y, luego, uno equilátero.
Solución: a) P(triáng. rectáng.) = 2/5 b) P(triáng. equil.) = 1/10
10.° Si se eligen 12 puntos, el problema se abre mucho más, ya que aparece el
factor divisor 4, lo que permite la construcción de cuadrados. Dejamos el problema
abierto para que se puedan elegir situaciones diversas.

13.° Este problema se conoce con el nombre del problema de la feria. Consiste en un
juego en el que se tiran monedas sobre una trama cuadrada. Si la moneda cae
«exactamente» en el interior (sin tocar cualquier lado) de un cuadrado de la trama, el
jugador gana. Si, por el contrario, toca a cualquier lado pierde. Lógicamente la probabilidad de
ganar, dependerá del lado del cuadrado de la trama y del diámetro de las monedas. Con estos
datos el problema se puede enunciar de diversas formas:
a) Fijados «m» y «r», respectivamente, como lado del cuadrado y radio de la moneda, calcular
la probabilidad de ganar. Solución:
b) Suponiendo un valor para «m» o «r», y fijando la probabilidad (50%, 25%, etc.), calcular el
otro valor.
c) Cuál debe ser la relación entre «m
y r», para ganar o perder seguro. ¿Qué interpretación
tienen los resultados?
14.° En una cinta magnetofónica de una hora de duración dos personas graban una
conversación. La conversación se empieza a grabar cuando pasan 21 m., desde que la cinta
se pone en marcha, durando 8 m. Cuando se quiere oír la cinta, se borran accidentalmente
15 m. de la cinta, pero no se sabe en que momento o parte de la cinta. Se trata de calcular la
probabilidad de que:
a) La conversación entera se haya borrado.
b) Sólo alguna parte de ella.
c) Suponiendo que no se sabe exactamente el punto de inicio de la conversación, sólo que
comenzó en algún momento después de los 21 m. calcular la probabilidad que se haya borrado
enteramente.
a) Podemos recurrir a una representación gráfica:
Es importante entender por qué se han suprimido los últimos 15 m. El razonamiento lo dejamos
para el lector.

b) En el segundo caso podemos realizar una construcción como la anterior sólo que, en este
caso, los espacios son distintos. La solución es:
P = 23 = 0.51 45
c) Este tercer caso es más complicado, para resolverlo tenemos que introducir dos
variables: «x», que es el tiempo de comienzo del borrado e «y», que es el tiempo de comienzo de
la conversación. Estos tiempos estarán acotados en una región del espacio dado por el
rectángulo de la figura siguiente:
El rectángulo será de esta manera el espacio en el que sucede cualquier acontecimiento.
Pero los que nos interesan son los que el problema nos pide, es decir, aquellos en los que se
produce el borrado íntegro de la conversación. Por tanto debemos acotar el espacio donde esto
ocurre.
Para que se borre siempre tiene que ocurrir que:
x y
y x+7
Estas condiciones se convierten en la zona rayada de la siguiente figura:
Cuya área es aproximadamente de 192,5. Por tanto, la probabilidad será:
P _ 192,5
= 0,141 1.395

BIBLIOGRAFIA (Probabilidad Geométrica)
WODWARD, ERNEST; HOEHN, LARRY: «Probability in High School Geometry», en
Learning and Teaching Geometry, K-12, págs. 175-183. NCTM. 1987. Reston, VA.
DAHLKE, RICHARD; FAKLER, ROBERT: «Geometrical Probability», en Teaching Sta-
tistics and Probability, págs. 143-153. NCTM. 1981. Reston, VA.
DEPARTMENT OF MATHEMATICS AND COMPUTER SCIENCE, NORTH CAROLINE
SCHOOL OF SCIENCE AND MATHEMATICS. «Geometry Probability»: New topics for
Secondary School Mathematics, Materials and Software (contiene un diskete). NCTM.
1988. Reston, VA.
ALGUNOS PROBLEMAS DE PROBABILIDAD GEOMETRICA
1. Sobre una línea recta se seleccionan al azar dos puntos: a y b tales que: 0a-4 y 0b~3
Hallar la probabilidad de que la distancia entre a y b sea mayor que 3 unidades.
2. Dado un segmento cualquiera, lo dividimos en tres trozos, hallar la probabilidad de obtener
con los tres trozos un triángulo.
3. Un tren llega a una estación en un instante al azar del intervalo (0,30 [en minutos]) parando
5 minutos. Y, a la misma estación llega un autobús al azar, de manera independiente en el
mismo intervalo (0,30), parando 7 minutos. Determinar la probabilidad de que se encuentren el
tren y el autobús.
4. Se lanza una moneda de 1 cm. de radio sobre un papel cuadriculado (los cuadraditos son
de 2 cm. de lado).
¿Cuál es la probabilidad de que la moneda toque alguna de las líneas que forman la
cuadrícula?
5. De los seis vértices de un exágono regular inscrito en una circunferencia, se eligen tres al
azar. ¿Cuál es la probabilidad de que estos puntos formen...
a) Un triángulo equilátero
b) Un triángulo rectángulo?
6. En el esquema de puntos de la figura se eligen al azar, cuatro puntos, dos puntos de la fila
superior y dos de la inferior. ¿Cuál es la probabilidad de que
el ciiarlrilatern rieterminarin cea

3.8. PARADOJAS PROBABILISTICAS 1) Paradoja de J. Bertrand
El matemático J. Bertrand planteó el problema siguiente:
«Dado un círculo y una cuerda sobre él, tomada al azar. ¿Cuál es la probabilidad de
que la longitud de dicha cuerda sea mayor que el lado del triángulo equilátero inscrito en
el círculo?
1.«
SOLUCION
Si llamamos P a uno de los extremos de la cuerda y el otro
extremo (T) es elegido al azar sobre la circunferencia, para que se
verifique las condiciones del problema ha de suceder: que el extre-
mo T tiene que estar situado sobre el arco AB, siendo PAB el
triángulo equilátero inscrito. Pero
como AB=1/3 de la longitud de la circunferencia, entonces la
probabilidad pedida es igual a 1/3
2.«
SOLUCION
Debido a la simetría del problema podemos razonar del siguiente modo:
ABC es el triángulo equilátero inscrito en la circunferencia. M y
M' son simétricos respecto a 0 (centro de la circunferencia).
Además MO = MD. Para que se cumplan las condiciones del
problema se ha de verificar que el punto medio de la cuerda,
debe estar situado en el segmento MM'. Por tanto la
probabilidad pedida es
igual a.1/2

¿Estos razonamientos son correctos? Dice Jean-Louis Boursin al respecto
«Si nos preguntamos cuál de estas soluciones es la buena, res ponderemos que las
tres son correctas, pero que en realidad se refiere a tres problemas distintos; de un
modo más preciso, se refieren a tre: mecanismos diferentes de intervención del azar: el
enunciado del pro blema no es lo bastante explícito en cuanto a esto. Por otra parte, tic
sería imposible concebir unos dispositivos experimentales para hace intervenir el azar
según uno u otro de estos tres modos.
2) Dados paradójicos (Paradoja de Blyth)
La teoría de la probabilidad abunda en paradojas, que a veces ponen er un aprieto al «sentido
común». Una de ellas es la siguiente:
Consideremos cuatro dados A, B, C y D marcados así:
Ahora seleccionamos dos dados y los lanzamos, quien mayor puntua.
ción obtenga
gana. Así, por ejemplo, si los dados son A y B, la probabilidac de que A gane a B es 2/3. De igual
modo la probabilidad de que B gane a C es 2/3; la probabilidad de que C gane a D es igual a 2/3 y
por último D gana a A con probabilidad 2/3. [Para calcular estos resultados se puede seguir e
siguiente razonamiento, veámoslo con el último caso:

3) Paradoja de los dos perritos
Una señora tenía dos perritos, una amiga le preguntó: ¿Es macho alguno de los perritos?
Sí en efecto le contestó la señora. Otro amigo le preguntó: ¿Es macho el perrito blanco? Sí en
efecto le contestó la señora.
La pregunta que surge es: ¿Cuál es la probabilidad de que ambos perritos sean machos?
En el primer caso la probabilidad es igual a 1/3 mientras que en el segundo caso es igual a 1/2
¿Cómo es posible?
4) Paradoja de Simpson
Algunas veces pueden suceder cosas alarmantes en probabilidad:
«Una hipótesis puede ser ratificada en varios estudios independientes, pero
falseada en un estudio global».
Un ejemplo es la llamada paradoja de Simpson:
Sobre una mesa hay un sombrero blanco y otro sombrero rojo, que contienen dentro de
ellos bolas, el blanco tiene 5 bolas negras y 6 bolas blancas, y el sombrero rojo contiene 3
bolas negras y 4 bolas blancas. Encima de otra mesa hay otros dos sombreros, del mismo
modo: uno blanco y otro rojo, el blanco contiene 6 bolas negras y 3 blancas, y el rojo contiene
9 bolas negras y 5 bolas blancas.
Nos acercamos a la primera mesa con la intención de sacar una bola negra. ¿Debemos
sacar una bola del sombrero blanco del rojo? Obviamente del
blanco, pues la probabilidad es igual a 5/11 (en el sombrero blanco) y 3/7 (en el sombrero rojo).
Ahora nos acercamos a la segunda mesa, con el mismo propósito. Nuevamente es mejor
sacar una bola del sombrero blanco, pues la probabilidad
Es 6/9 (en el sombrero blanco) y 9/14 (en el sombrero rojo).Resumiendo: «En las dos mesas es
más conveniente introducir la mano en el sombrero blanco para conseguir el sacar una bola
negra».

Sin embargo, si juntamos las bolas que están en los sombreros blancos y hacemos lo propio
con las bolas que están en los sombreros rojos, llegamos a una nueva situación:
Sombrero Blanco = {11 bolas negras y 9 bolas blancas}
Sombrero Rojo = {12 bolas negras y 9 bolas blancas}
Y en esta situación es más fácil sacar una bola negra del sombrero rojo. ¿No te parece
paradójico?

5) Paradoja de San Petesburgo
Es seguramente la paradoja más famosa de la teoría de la probabilidad, propuesta por N.
Bernoulli en el año 1713, posteriormente Daniel Bernoulli, sobrino de Nicolás, lo estudió
ampliamente, dice así:
«Se lanza al aire una moneda hasta que salga cara. Si sale a la primera la banca
paga al jugador 1 moneda. Si sale por primera vez la cara a la segunda tirada, la
banca le paga 2 monedas. Si sale por primera vez la cara a la tercera tirada, la banca
le paga 4 monedas... ¿Cuál debería ser la apuesta del jugador a la banca de modo
que ni el jugador ni la banca tengan ventaja de ninguna clase por más que se
prolongue el juego?».
6) Paradoja de las Cajas [de J. Bertrand]
Hay 3 cajas idénticas exteriormente. La primera contiene 2 monedas de oro, la segunda 2
monedas de plata, y la tercera 1 de oro y 1 de plata. Introducimos la mano en una caja, al
azar, y sacamos una moneda que resulta ser de oro. ¿Cuál es la probabilidad de que la otra
moneda también sea de oro?
7) Continuación de la Paradoja de las Cajas [de J. Bertrand]
nalizando el caso anterior se puede llegar a concluir que la probabilidad
Ida es igual a 1/3 Si ahora quitamos una de las dos monedas de una caja cualquiera, se
llega a la sorprendente conclusión de que la probabilidad .:buscada es 1/2 ¿Cómo es posible
que con sólo suprimir una moneda suceda ésto? ¿Quizás los razonamientos estén
equivocados?

3.9. PROBLEMAS DE CONTEO; ASIGNACION DE PROBABILIDAD; ESPACIO
MUESTRAL. FUNCION DE PROBABILIDAD. ALGEBRA DE SUCESOS
1. Se extrae 1 carta de una baraja de 40 cartas. Probabilidad de que sea: a) un basto; b) un
rey, c) ni basto ni rey.
2. Se extraen dos cartas de una baraja de 40 cartas. Probabilidad de que una de ellas se el As
de copas, considerando: a) Se extraen a la vez. b) Se devuelve la primera carta al mazo de
cartas antes de sacar la segunda.
3. Una línea de autobuses de una universidad está servida por 10 autobuses: a) Probabilidad
de hacer el viaje de ida y vuelta en el mismo autobús. b) De hacerlo en distinto autobús.
4. En un grupo de 500 hombres y mujeres, unos hacen deporte y otros no, se tiene:
Eligiendo una persona al azar:
a) Probabilidad de que sea hombre.
b) Probabilidad de que haga deporte.
c) Probabilidad de que haga deporte y sea mujer.
5. Una espacio muestral S consta de 4 elementos {a,, a2, a3, a4}. Cuál de las siguientes
funciones define un espacio de probabilidad S.
6. Un dado está trucado, de modo que la probabilidad de obtener las distintas caras es
directamente proporcional a los números de éstas. Se pide: la probabilidad de cada una de las
caras.

7. Un dado está trucado, de modo que la probabilidad de obtener las distintas caras es
inversamente proporcional a los números de éstas. Se pide: la probabilidad de cada una de
las caras.
Hallar la probabilidad de un suceso, sabiendo que la suma de su cuadrado y la del cuadrado de la
probabilidad del suceso contrario es igual a 5/8
8. En un torneo de tenis juegan 5 personas: 3 mujeres y 2 hombres. Las personas del
mismo sexo tienen la misma probabilidad de ganar, pero cada hombre tiene el doble de
posibilidades de ganar que una mujer. Hallar la probabilidad de que:
a) el torneo le gane una mujer
b) el torneo le gana un hombre.
12. Escribir en los siguientes casos el espacio muestral. Se da la experiencia:
a) Lanzamiento de una moneda.
b) Lanzamiento de dos dados de distinto color.
c) En una reunión hay 4 personas, 2 no fuman. Se eligen al azar dos personas.
d) Una bolsa contiene 6 bolas numeradas del 1 al 6. Se extrae una bolsa se anota el
resultado y, sin devolverla, se extrae otra bola y se anota el resultado igualmente. Si
los números extraídos son x e y. Hallar el espacio muestral que verifique 2x + y < 13.
e) Lanzar una moneda y un dado.
f) Extraer dos cartas de la baraja española.
g) Extraer 5 piezas de una bolsa que contiene 5 tornillos distintos y 1 clavo.

13. Tres niñas y tres niños se sientan en fila. Hallar la probabilidad de que las tres niñas se sienten
juntas. Hallar la probabilidad de que los niños y las niñas estén alternados.
14. Se lanza un par de dados corrientes. Hallar la probabilidad de que la suma de los números sea
mayor que 4.
15. Se ha comprobado que en una ciudad el 60% lee el periódico A, el 50% lee el periódico B y el
20% lee ambos periódicos.
a) Calcula la probabilidad de que elegido al azar una persona, ésta lea alguno de los dos
periódicos.
b) Si hemos elegido una muestra de 500 personas. ¿Cuántos cabe esperar que lean alguno
de los dos periódicos?
16. Se lanza un dado 100 veces. La tabla siguiente nos detalla la aparición de los seis números.
a) Hallar la frecuencia experimental, a partir de este experimento de que aparezca el número
3. b) ¿Cuál es la frecuencia teórica?
17. Seis matrimonios se encuentran en una reunión.
a) Si se escogen 2 personas al azar. Hallar la probabilidad de que sea un matrimonio.
b) Si se escogen 4 personas al azar. Hallar la probabilidad de que sean dos matrimonios.
18. Un estudiante se presenta a un examen oral habiendo estudiado 4 temas de los 8 exigidos. El
examinador le propone sacar 3 temas al azar de dos maneras diferentes: sacar los tres temas a la
vez o con reposición. El estudiante aprueba si conoce al menos un tema entre los tres. ¿Cuál de
las dos formas le conviene?
19. Un jugador lanza 4 monedas y el otro 3. Si gana el que obtiene mayor número de caras,
obtener la probabilidad que cada uno tiene de ganar.

20. Se hace al azar una permutación de los números 1,2,3, ..., n. Calcular la probabilidad de
que:
a) Los números 1 y 2 aparezcan consecutivamente en dicha permutación.
b) Los números 1, 2, 3 y 4 aparezcan consecutivamente.
21. Marian y Nora son las finalistas de un torneo de ajedrez. Gana el torneo quien gane dos
partidas consecutivas o tres alternativas. Hallar el espacio muestral.
22. Un aficionado al juego de la ruleta tiene tiempo para jugar a la ruleta 5 veces a lo sumo.
Cada apuesta es de 1.000 ptas. Empieza con 1.000 ptas., y deja de jugar cuando pierda las
1.000 ptas., o cuando gane 3.000 ptas. Hallar la espacio muestral.
23. Si el espacio muestral es M = {a, b, c}. ¿Cuál de las siguientes aplicaciones define un
espacio de probabilidad?
24. Un alumno ha estudiado 10 de los 20 temas de que consta el programa de la asignatura. Si
se eligen al azar tres temas y aprueba si contesta bien a uno de ellos. ¿Cuál es la probabilidad
de aprobar?
25. En. el experimento aleatorio de lanzar un dado, se consideran los siguientes sucesos:
PROBABILIDAD CONDICIONADA. SUCESOS INDEPENDIENTES. TEOREMA DE LA
MULTIPLICACIÓN. FORMULA DE LA PROBABILIDAD TOTAL

26. Lanzamos un dado, el resultado es impar. ¿Cuál es la probabilidad de que sea el número 3?
27. Lanzamos dos dados, si la suma es 7. Hallar la probabilidad de que aparezca algún 4.
28. Se escogen al azar dos dígitos del 1 al 8. Si la suma es un múltiplo de 3. Hallar la probabilidad
de que ambos sean impares.
29. Se dispone de una bolsa que contiene 5 bolas blancas y 2 bolas negras. Se extraen
sucesivamente dos bolas, sin devolución. Se sabe además que la segunda bola es negra. ¿Cuál
es la probabilidad de que la primera sea blanca?
30. Una bolsa contiene 7 bolas blancas numeradas del 1 al 7 y 14 bolas negras numeradas del 1
al 14.
Extraemos una bola y resulta ser un número par. ¿Cuál es la probabilidad de que sea negra?
31. El 40% de los alumnos de COU son hombres. El 30% de los hombres fuma y el 35% de las
mujeres también. Elegimos una persona al azar y resulta ser fumadora. ¿Cuál es la probabilidad
de que sea un hombre?
32. En un instituto el 27% de los estudiantes suspendieron Lengua, el 42% suspendió Matemáticas
y el 10% suspendió las dos asignaturas. Se selecciona un estudiante al azar.
a) Si suspendió Lengua. ¿Cuál es la probabilidad de que también sus-pendió las
Matemáticas?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que suspenda una de las dos asignaturas?
33. Sean los sucesos A y B con:

35. Calcular P(B/A) en los siguientes casos:
a) A está incluido en B (AcB)
b) A y B son disjuntos (AnB = 0)
36. Consideremos el experimento aleatorio de sacar una carta de una baraja española. Y los
siguientes sucesos:
A = «sacar una copa»
B = «sacar un rey»
¿Estos sucesos son dependientes o independientes?
37. Consideremos el experimento de sacar bolas de una bolsa, que contiene 4 bolas rojas
numeradas del 1 al 4 y 5 bolas negras numeradas del 1 al 5. Analicemos los siguientes sucesos:
A = «extraer una bola de color rojo»
B = «extraer un número impar»
¿Serán independientes A y B?
38. Supongamos un suceso A, tal que 0 < P(A) < 1
a) ¿Serán independientes A y Á?
b) Si A y B son independientes. ¿Serán independientes A y _B?
39. Se considera el experimento de lanzar una moneda 3 veces. Estudiar la independencia de
los siguientes sucesos:
A = {la primera moneda sale cara}
B = {la segunda moneda sale cara}
C = {salen exactamente dos caras-consecutivas}
40. La probabilidad de acertar una diana, por parte de Ana, es de1/10 Por parte de Marta es de
1/5 ¿Cuál es la probabilidad de que una de las dos acierte en la diana?

41. En una urna tenemos 14 bolas, de las cuales 8 son blancas y las restantes negras. Sacamos
una bola y posteriormente otra, sin reponer la primera. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos
sean negras?
42. Dados los sucesos A, B y C demostrar que:
P(AnBnC) = P(A)•P(B/A)•P(C/AnB)
(Este resultado se conoce como el teorema de la multiplicación).
43. Extraemos de una baraja española tres cartas, sin reposición. ¿Cual es la probabilidad de
que la primera sea un basto y las dos restantes dos oros?
44. Lanzamos tres dados. Calcular la probabilidad de:
a) Obtener tres cuatros.
b) Obtener un tres, un dos y un tres (en ese orden).
c) Obtener dos seises y un cinco (en ese orden).
45. Una bolsa contiene 6 bolas negras y 4 blancas. Extraemos tres bolas. Hallar la probabilidad
de que sean del mismo color.
1
46. La probabilidad de que un hombre viva 15 años más es 1/4 La probabilidad de que su esposa
viva 15 años más es 1/3 Hallar la probabilidad de:
a) Ambos estén vivos dentro de 15 años.
b) Al menos uno de ellos viva dentro de 15 años.
c) No viva ninguno de los dos dentro de 15 años.
d) Solamente viva la esposa dentro de 15 años.
47. Un proyectil da en el blanco con una probabilidad de 0,4. a) Si lanzamos 5 proyectiles, ¿cuál
es la probabilidad de pegar en el blanco? b) ¿Cuántos proyectiles deberán dispararse para que
haya al menos un 85% de probabilidad de pegar en el blanco?
48. En una clase del instituto hay 25 alumnos. Calcular la probabilidad de coincidir en la fecha de
nacimiento (esto es, que coincidan el día de cumpleaños).
49. Una alumna de Medicina ha preparado 9 temas de los 13 de que consta el programa-de la
asignatura. Se eligen al azar tres temas. Cuál es la probabilidad de que:
a) Conteste exactamente dos de los tres temas.
b) Conteste dos temas bien por lo menos.

50. La probabilidad de que al llamar a la centralita de una Facultad el teléfono esté comunicando
es 0,3. La probabilidad de que la telefonista nos diga que la extensión pedida comunica es 0,2.
Hallar la probabilidad de que logremos comunicar con la extensión deseada.
51. Suponiendo que la riqueza es independiente del sexo, calcular:
a) Las probabilidades que faltan en la tabla:
b) La probabilidad de que sabiendo que una persona no es pobre, sea hombre.
c) La probabilidad de que una persona sea rica o mujer.
52. Un problema debe ser resuelto por tres alumnos. La probabilidad de que los resuelva el
primero es 1/2 la probabilidad de que lo resuelva el segundo
Es 1/3 el tercero 1/6 .Además, la probabilidad de que lo resuelva el segundo si se sabe que lo ha
resuelto el primero es 2/3
Probabilidad de que lo resuelvan el primero y el segundo.
a) Probar que siempre que el segundo alumno resuelve el problema también lo resuelve el
primero.
b) Sabiendo que siempre que los dos primeros resuelven el problema también lo hace el
tercero, calcular la probabilidad de que los tres resuelvan el problema.
PROBLEMAS RESUELTOS POR BAYES
54. En una reunión hay 150 personas; 35 son de la ciudad A y los restantes de la ciudad B. Se
sabe además que en A al 30% le gusta mucho la lectura, y en B el porcentaje es del 55%.
Elegimos al azar una persona, resulta que a ella le gusta mucho la lectura. ¿Cuál es la
probabilidad de que la persona -elegida sea de la ciudad A?

55. Hay tres urnas:
Urna A: 5 bolas rojas y 3 negras Urna B: 3 bolas
rojas y 6 negras Urna C: 4 bolas rojas y 7 negras
Se toma una urna al azar y se saca una bola. Si su color es rojo. ¿Cuál es la probabilidad de
que provenga de la urna C?
56. En un Instituto el 4% de los chicos tienen más de 180 cm. de estatura, el porcentaje de las
chicas es del 1%. Además el 58% del alumnado son mujeres. Se selecciona al azar un estudiante
y es más alto que 180 cm. ¿Cuál es la probabilidad que el estudiante sea mujer?
57. Se introducen al azar 4 bolas, pudiendo ser blancas y negras, en una bolsa y en proporción
desconocida. Se extrae una bola y resulta ser blanca. ¿Cuál es la probabilidad de que la bolsa
contenga 2 bolas blancas y 2 bolas negras?
58. Tres máquinas A, B y C fabrican respectivamente el 60%, 30% y 10% del número total de
artículos de una fábrica. Los porcentajes de desperfectos de producción son respectivamente el
2%, 3% y 4%. Seleccionando un artículo al azar resultó defectuoso. Hallar la probabilidad de que
el artículo lo haya producido la máquina C.
59. En una casa hay tres llaveros A, B y C. El primero con tres llaves, el segundo con cinco llaves
y el tercero con siete llaves, de las que solamente una de cada llavero abre la puerta del
camarote. Si la llave escogida es la correcta. ¿Cuál es la probabilidad de que pertenezca al
llavero A?
60. En una población animal hay una epidemia. El 16% de los machos y el 9% de las hembras
están enfermos. Hay triple número de machos que de hembras. Se elige al azar un individuo de
esta población.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que esté enfermo?
b) Si está enfermo. ¿Cuál es la probabilidad de que sea macho?
61. Un ratón huye de un gato, y se encuentra con una bifurcación de caminos A, B y C, teniendo
probabilidades de tomar cada uno de ellos: 0,3, 0,5 y 0,2. Además las probabilidades que tiene el
gato de atrapar al ratón son:
0,4 si el ratón ha huido por A
0,6 si el ratón ha huido por B
0,1 si al ratón ha huido por C
a) Calcular la probabilidad de que el gato cace el ratón.
b) Sabiendo que el gato ha cazado al ratón. ¿Qué probabilidades hay de que lo haya cazado
en el camino A?

SOLUCIONES

3.10. PROBLEMAS PROPUESTOS EN SELECTIVIDAD
1. En una clase el 40% aprueba filosofía y el 50% matemáticas. Además, la probabilidad de
aprobar la filosofía habiendo aprobado las matemáticas es 0,8. Probar que la mitad de la clase
suspende ambas asignaturas y calcular el porcentaje de alumnos que, teniendo aprobado la
filosofía, aprueba también las matemáticas.
(Alicante)
2. La probabilidad de nacimientos de niños varones en España es del 51,7%. Hallar la probabilidad
de que una familia de 5 hijos tenga:
a) Por lo menos una niña.
b) Por lo menos un niño.
Solución a) 0,963 b) 0,974.
(Extremadura)
3. El 6% de los coches de una determinada fábrica tienen defecto en el motor, el 8% tienen
defecto en la carrocería y el 2% tienen defecto en ambos.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un coche tenga al menos un defecto?
b) ¿Y la probabilidad de que no sea defectuoso?
Solución: a) 0,12 b) 0,88
(León)
4. Un examen de opción múltiple está compuesto por 8 preguntas, con cuatro respuestas posibles
cada una, de las cuales sólo una es correcta. Supóngase que uno de los estudiantes, que realiza
el examen, responde al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que conteste correctamente a 5 o más
preguntas? ¿Cuál es la probabilidad de que no acierte ninguna?
Solución: 0,027 b) (_3 )8 4
(Madrid)
5. Sean A y B dos sucesos con P(A) = 0,5; P(B) 0,3 y P(AnB) = 0,1. Calcular las probabilidades
siguientes: P(A/B); P(A/AnB); P(AnB/AUB) y P(A/ AUB)
(Madrid)
6. En un grupo de 10 alumnos de un centro educativo se ha comprobado que cada uno de ellos
falta a clase el 5% de los días. Calcular la probabilidad de que en un día determinado...
No se registre ninguna ausencia.
Falten a clase más de 5 alumnos.
No asista ningún alumno.
Falten a clase me s de 3 alumnos.
Solución: a) 0,952
b)m os de 0,00001
c) 0,0510
d) 0,989
(Sevilla)
7. Para efectuar una rifa se tienen dos urnas A y B, tal que cada una de ellas contiene 10 bolas
numeradas del 0 al 9.

Se extrae una bola de la urna A y se eliminan de la urna B las bolas que tienen una numeración
mayor que la bola extraída de la urna A. Seguidamente se extrae una bola de la urna B.
El número ganador se obtiene poniendo en el lugar de las decenas el número de la bola
extraída de la urna B yen el lugar de las unidades el número de la bola extraído de la urna A.
Hallar la probabilidad de que el número ganador sea el 48. Hallar la probabilidad
de que el número ganador sea el 17.
Solución: a) _1
b)_ 1
90 80
(Valladolid)
8.
Sean A, B y C, sucesos arbitrarios de un experimento aleatorio. Expresar mediante A, B y C el
suceso «ocurren exactamente dos sucesos de los A, B y C».
(Madrid)
9. Razonar la afirmación de que si la probabilidad de que ocurran dos sucesos es menor que
1/2, la suma de las probabilidades de ambos (por se- parado), no puede exceder de 3/2.
(Madrid)

10. Se lanza un dado repetidamente, y estamos interesados en el número de tiradas precisas para
obtener un 6 por primera vez. Se pide:
a) ¿Cuál es el espacio muestral?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el 6 se obtenga precisamente en la séptima tirada?
(Madrid)
11. Se lanzan simultáneamente tres dados. Calcular, razonadamente, la probabilidad de que el
total de puntos obtenidos sea un número primo menor que 10.
(Madrid)
12. Una urna, A, contiene 6 bolas blancas y 3 negras; otra urna, B, contiene 7 bolas blancas y 2
negras. Elegimos una urna al alzar y extraemos de ella dos bolas que resultan ser blancas. halla la
probabilidad de que la urna elegida haya sido la A.
(Valladolid)
13. Sean los sucesos A y B. Conocemos las probabilidades P(A) = 2/5, P(B) = 2/5 y P(AUB) = 3/4.
Determinar si son compatibles o incompatibles, dependientes o independientes.
(Madrid)
14. Una enciclopedia consta de ocho tomos, uno de los cuales es «Matemáticas». Calcular la
probabilidad de que al elegir dos tomos al azar resulte elegido el tomo «Matemáticas». ¿Y si
escogemos tres?
(La Laguna)
15. De una baraja de 40 cartas se toman cuatro cartas. Calcular la probabilidad de que las cuatro
sean de palos diferentes.
(Zaragoza)
16. Una urna contiene 8 bolas rojas, 3 verdes y 9 azules. Si se extraen tres bolas al azar, hallar la
probabilidad de que no haya ninguna bola azul. (Barcelona)
17. De un dado imperfecto se sabe que la probabilidad de obtener las disintas caras es
proporcional a la mitad de los números de éstas. Hallar la )robabilidad de obtener un número par.
(Valladolid)

18. Se lanzan dos dados al azar y se suman los valores de las dos caras obtenidas. Describir los
sucesos aleatorios asociados a este experimento. Calcular cual es la suma de mayor probabilidad
y obtenerla.
(Barcelona)
19. En una urna hay 4 monedas de una peseta y 3 de cinco pesetas. Se sacan al azar dos
monedas sucesivamente sin reemplazamiento. Se pide:
Describir el espacio ,rnuestral.
b) Calcular la probabilidad de que se obtengan 10 ptas. al sacar las dos monedas.
(Granada)
20. Los alumnos de cierto instituto están repartidos de la siguiente manera: 40% en primero de
BUP, 25% en segundo, 15% en tercero y el resto en COU. El porcentaje de aprobados de cada
uno está en el 30% para primero, el 40% para segundo, el 60% para tercero y el 70% para COU.
Elegido al azar un alumno de este centro, se pide:
1) ¿Cuál es la probabilidad de que haya aprobado?
2) ¿Y de que sea de tercero y haya suspendido?
(La Laguna)
21. Dos profesores comparten un número de teléfono. De las llamadas que llegan, 2/5 son para A
y 3/5 son para B. Sus ocupaciones docentes les alejan de este teléfono, de modo que A está fuera
el 50% del tiempo y B el 25%. Calcular la probabilidad de que no esté ninguno para responder el
teléfono y las probabilidades de estar presente el profesor cuando le llaman.
(Santiago de Compostela)
22. Hay 11 urnas numeradas del 2 al 12. La composición de las urnas es la siguiente:
Se tiran dos dados simultáneamente. Si la suma de puntos de-los dados es k, se hace una
extracción de la urna k. Si sale bola negra se termina el juego. Si sale bola blanca se vuelven a
tirar los dados y se repite el proceso. Se pide la probabilidad de poder hacer como mínimo tres
extracciones sucesivas.
(Barcelona)

3.11 COMO INTRODUCIR LA PROBABILIDAD EN BACHILLERATO por Juan Montero
Oliden
1.B. «Julio Caro Baroja» (Getxo 1)
1. Introducción - Los «porcentajes» - La Combinatoria - Fórmulas de probabilidad
Se intenta mostrar en este trabajo una de las formas en que se puede abordar el estudio de la
teoría de la Probabilidad en un nivel semejante al de los actuales cursos de C.O.U.
Se da una circunstancia que habrán observado muchos profesores; ciertos problemas de
probabilidad de un nivel medio de dificultad pueden ser re-sueltos por los alumnos sin gran ayuda
en los primeros pasos del estudio. Los mismos alumnos tienen menos facilidad para resolverlos
cuando tienen un bagaje de herramientas: álgebra de Boole, definición axiomática de la Pro-
babilidad, fórmulas de probabilidad condicionada, etc.
Quizá una de las razones que explican este hecho radica en la simplicidad que técnicamente
suelen tener tales problemas: basta con las herramientas de trabajo que el alumno adquiere años
antes de terminar la enseñanza Primaria (porcentajes, producto de números racionales,
«proporción de proporción», ...) para resolver correctamente la mayoría de los problemas, aún
complicados, que se presentan en el nivel de que hablamos. Sin embargo, incluso es normal que
algunos profesores sientan cierto temor a navegar por las pro-celosas aguas del mundo de la
Estadística.
Señalemos algunas posibles causas de esta aparente contradicción:
• Uno de los «vicios» que suelen arrastrar los alumnos es el empleo de la famosa «regla de
tres» que, a mi juicio, debería quedar desterrada de los estudios (cuando menos, al final de la
Primaria). Creo que es una de las razones de que compliquen las cosas en cuanto se habla de
«porcentajes», siendo así que es más simple y sobre todo productivo hablar de «composición de
una mezcla»
, que del número de litros de cada componente. El bagaje de conocimientos sobre el
tema debe reducirse a cosas tan simples como:
— Los 3/5 de una cantidad 'a' son 3/5 • a. — El 25% de una cantidad es
25/100 = 1/4 de la misma.
— Una cantidad parcial de 30 representa frente al total de 600 una pro-porción de 30/600 =
1/20 = 0,05 = 5/100 = un 5% de la misma.
— Si el precio de A supera un 35% al de B, se tiene PA = 1,35 • PB.
— 1/25 de «algo» es 1/25 = 4/100 = el 4% de él.

—Si mezclo leche con una pureza de un 60% con otra de un 80% en la misma proporción, la
pureza de la mezcla será 1/2 • 0,6 + 1/2 • 0,8 = 1/2 • (0,6 + 0,8) = 0,7 = 70/100 = 70%.
Si en la mezcla anterior pongo el doble de la más pura, la pureza de la nueva composición
será: 1/3 • 0,6 + 2/3 • 0,8 = 1/3 • (0,6 + 1,6) = 1/3 • 22/10 = 22/30 = 11/15 (11 partes de cada
15 de leche pura), o 22/30
7,333/10 = 73,33/100 = 73,33%.
Otro obstáculo de más entidad se refiere al marasmo de fórmulas de combinatoria con que
se suele obsequiar al alumno como aperitivo de la probabilidad. Tal como señalaba respecto a la
«regla tres», creo que todos los conocimientos de combinatoria que se deben exigir a un aspirante
a uni versitario, y con más razón a quien tiene otros objetivos, se deben reducir a unos pocos
aspectos:
con ello cualesquiera interesantes ejercicios que se quieran realizar sobre las propiedades del
«triángulo de Tartaglia», etc.; me limito a considerar aquellos conocimientos que creo necesarios
para la resolución de problemas de pro babilidad).
Una cierta destreza para «contar fichas» del tipo:
sabiendo que las casillas se pueden rellenar con un cierto número de elementos que constituyen
un resultado «parcial» de cierto hecho global que se está estudiando, tales como los resultados
posibles al lanzar un dado si se considera el lanzamiento de 5 dados, o los códigos de los
destinatarios reales de cada carta que porta un «mensajero», representando las casillas los bu-
zones de los destinatarios.
En algunos otros casos, cuando no exista una «simetría» completa de los datos a contar,
puede ser un buen recurso el empleo de los «diagramas de árbol», tal cómo puede ocurrir en el
problema anterior de las cartas si queremos averiguar, por ejemplo, de cuántas formas se pueden
repartir sin que ninguna llegue a su destino correcto. Aún en este caso, conviene buscar una forma
de «agrupar» los resultados de modo que no sea preciso más que el desarrollo de algunos
subloques del diagrama.
Por último, se puede hacer una observación general sobre las fórmulas de los conjuntos de
sucesos y de la teoría de la Probabilidad: en el nivel al que nos referimos, la utilización de las
fórmulas indicadas con un cierto grado de formalización, se puede considerar, en todo caso, como
un objetivo a conseguir al final del período de trabajo, favorecido precisamente por la re- solución
de divérsos problemas de probabilidad; seguramente es un error, por ser muy pocos los alumnos
capaces de ello, el pretender que utilicen las fórmulas de combinatoria, de las álgebras de Boole y
de la teoría de la Probabilidad como herramienta de trabajo. Parece más razonable favorecer de
un modo especial en este tema el desarrollo de esa gran capacidad que es el sentido común,
haciendo uso tan sólo de las técnicas básicas de cálculo que aprendieron hace ya unos cuantos
años.

Pasamos ya a enunciar algunos problemas que pueden ser resueltos con ayuda mínima por
cualquier alumno medio sin haber oído hablar nunca antes de combinatoria ni de probabilidad,
haciendo hincapié en la traducción de las fórmulas de cálculo al lenguaje formal. Debemos señalar
que los problemas enunciados son completamente habituales, y resultarán conocidos para el
lector. No se trata en este caso de buscar ejercicios con ninguna característica especial, salvo la
de poder servir como breve ilustración de la variedad de cuestiones que pueden abordarse con
conocimientos mínimos de probabilidad, y de las diversas técnicas de trabajo que pueden
emplearse para resolverlas.
2. Enunciado de algunos problemas introductorios
1) Los bidones
Se rellena una garrafa de aceite, tomando un tercio del primer bidón,
y dos tercios del segundo. ¿Cuál es la composición de la garrafa? Si
su capacidad es de 500 litros. ¿Qué cantidad de aceite de oliva y de
girasol tendremos?
Nota. El contenido de bidones y garrafa es una «mezcla», que se
supone homogénea.
Los números indican la probabilidad que tiene el ratón de
tomar cada camino, una vez situado en la bifurcación
previa, debido a las dificultades del mismo. ¿Cuántos ra-
tones conseguirán saciar su apetito?
El artilugio gira. Al detenerse se introduce la mano y se extrae una
bola, que puede ser oscura (negra) o clara (blanca). ¿Qué probabili-
dad hay de extraer oscura? ¿Y clara?
Nota. Hay dos cavidades incomunicables: las bolas no pueden
cambiar de cavidad.

4) Las aficiones
El Aula de Cultura de cierto Ayuntamiento decide realizar una encuesta para conocer las
aficiones de sus vecinos. Entre otros datos resulta: el 60% de ellos van al cine con cierta
regularidad; tan sólo el 30% de los ciudadanos leen un libro de vez en cuando, y hay un 21% que
suelen hacer ambas cosas. ¿Son posibles estos datos, A partir de los datos anteriores obtener
algunos otros datos numéricos relativos a las dos aficiones reseñadas. ¿Se puede afirmar que en
ese municipio la/lectura y el cine son aficiones «independientes»?
5) El cartero
Un cartero de una pequeña zona rural hace todos los días un recorrido para entregar cuatro
cartas con destinos fijos. Si las entrega al azar (pero una por destinatario) ¿cuántos días llegará a
su destino al menos una de las cartas?
6) El torneo
Popov y Filipov juegan un torneo que ganará el primero que venza cinco partidas. Ayer se jugó
la primera, que ganó Filipov. Si ambos son igual de hábiles en el juego del ajedrez, ¿qué
probabilidad tiene cada uno de ganar el torneo? (Se excluyen las «tablas» para facilitar las cosas).
3. Hacia un lenguaje probabilístico
3.1. Analogías de cálculo
En el problema los bidones conviene sustituir el esquema gráfico inicial por los siguientes, que
apuntan más claramente la solución:
lo que nos permite, además, introducir
naturalmente los conceptos de suceso, suceso
contrario, intersección de suceso, y sobre todo, el
de espacio completo de sucesos asociado a dos
sucesos cualesquiera que puedan ocurrir en un
experimento.
Examinemos ahora la solución de los tres primeros problemas que, como se indicó, puede ser
obtenida sin mayor dificultad por los alumnos:

La completa analogía de los cálculos sugiere dos temas de trabajo. Por una parte, la
búsqueda de un lenguaje común a los ejemplos estudiados y a otros similares; y por otro,
precisar lo mejor que se pueda el concepto utilizado al escribir 'P( ---)' (el concepto de
probabilidad).
3.2. Aspectos básicos en un problema de probabilidad
En los problemas de probabilidad se pueden distinguir siempre los siguientes aspectos:
— Se habla de un «experimento aleatorio» (debe poder repetirse en condiciones
idénticas, siendo impredecible el resultado antes de cada re-petición).
— Existe el «espacio muestral», conjunto de los resultados más sencillos que son
posibles cada vez que se realiza el experimento (en algunos
casos puede ser irrelevante la consideración del mismo, como ocurre en el primer
problema).

—En cada problema se estudia un aspecto concreto del experimento. Su descripción se
realiza en base a la consideración de ciertos sucesos (circunstancias que pueden ocurrir o
no en cada realización de la experiencia), y resulta crucial la consideración del «espacio
completo de sucesos» obtenido al clasificar el espacio muestral en una serie de sucesos
derivados de los anteriores, antendiendo a las distintas modalidades o valores que se pu
den dar en la experiencia que se estudia.
—El problema consiste el cálculo de las «probabilidades» de algunos de los sucesos
asociados a la experiencia. Dependiendo de lo que interese en cada situación concreta,
podemos interpretar de diversas formas el término de probabilidad de un suceso
determinado:
Proporción de sucesos elementales que lo componen.
Frecuencia teórica de ocurrencia del suceso, es decir la proporción de veces en que
cabe esperar que ocurra el suceso al repetir un gran número de veces la experiencia.
Interpretación conjuntista, válida para cualquiera de las interpretaciones anteriores, donde
cada suceso es un conjunto de puntos de plano incluido en otro cuya área es una unidad;
el área del mismo coincide con su probabilidad.
Por ejemplo, se tiene:

3.3. Suma y producto de probabilidades. La probabilidad condicionada
En los cálculos antes reseñados aparece la suma de dos productos. Se deben señalar aquí
dos procesos que aparecen habitualmente en el cálculo de la probabilidad de un suceso: en
primer lugar si un suceso puede ocurrir de varias formas se debe descomponer el mismo en
otros sucesos más sencillos. En lenguaje de sucesos, se expresa un suceso como unión de
varios sucesos incompatibles, lo que se traduce en términos probabilísticos a calcular su
probabilidad como suma de las probalidades de los otros.
Por otra parte, si un suceso es compuesto, esto es, hace falta que ocurran varios otros para
que ocurra él, se puede considerar el suceso como intersección de otros, lo que en términos de
probabilidad equivale a un producto de probabilidades. Examinemos esto último con más
detalle, utilizando las interpretaciones de probabilidad señaladas más arriba:
Si queremos calcular la proporción de ratones que llegarán al queso «superior», debemos
aplicar dos «filtros» (proporción de proporción): 2/5 de la población de ratones que realicen la
experiencia pasará por el camino izquierdo y, de ellos, 1/3 llegarán al queso. (Razonamientos
similares en los otros problemas). Es así razonable designar el suceso: «ratones que se comen
el queso superior» mediante las dos notaciones: 'no, que se refieren al mismo suceso pero
referido a distinto espacio muestral, en el primer caso a todos los ratones que realizan la
experiencia, en el segundo tan sólo a aquellos que han tomado el camino izquierdo en la primera
bifurcación. La traducción a probabilidades es inmediata: se tiene (D(InQ) = P(I)•P(Q/I), o si se
quiere: P(Q/l) = P(InQ)/P(1), lo que además justifica la notación '/' empleada, así como los
nombres de Q/l: suceso Q «condicionado» a 1, y P(Q/I): probabilidad de Q condicionada a 1.
Aparecen así de un modo natural fórmulas como las siguientes, que el alumno debe saber
escribir a partir del enunciado en lenguaje más o menos coloquial de algunas relaciones
observadas en el estudio de un experimento:
Q = (Qnl) u (Qnl)
P(Q) = P(Qnl) + Non') P(Q) = P(I)•P(Q/I) +
P(1)•P(Q/Í)
4. Otros aspectos de la probabilidad
4.1. El problema «las aficiones»
La identificación de experimento, espacio muestral, sucesos básicos (Cine y Lectura), así
como el espacio completo de sucesos asociado, tienen correspondencia completa con la
realizada en los problemas anteriores. La diferencia básica reside entre los datos iniciales en un
caso y otro, así como en el tipo de cuestiones que pueden tener interés, debido al significado
concreto del enunciado:

A la hora de plantear cuestiones a resolver hay dos tipos bien diferentes:
a) Aquellas que se pueden contestar utilizando simplemente sumas y resta, pues se reducen a
establecer próbabilidades para los distintos conjuntos que se obtienen al unir los del espacio
completo de sucesos: {CnL, CnL, CnL, CfL} (seguramente en este problema está
especialmente indicado el esquema conjuntista para identificar los nombres de los sucesos
anteriores, así como las cuestiones a plantear):
¿Cuántos tienen alguna afición?
¿Cuántos no tienen ninguna?
¿Y leen pero no van al cine?
¿Y ven cine pero no leen?
b) Por otra están aquellas otras que implican la consideración de un mismo suceso con distintos
referentes. Es un buen momento para introducir el concepto de «sucesos dependientes e
independientes». Por ejemplo: la afición de la lectura es mayor en todo el municipio o entre
aquellos que van al cine? Se puede insistir en la equivalencia, como «conjuntos» de los sucesos
CnL y UC, yen que sus probabilidades nos indican el «peso» del suceso respecto al conjunto de
la población o a un segmento de la misma.
4.2. La regla de Laplace - Técnicas de recuento
Tomemos ahora el problema de «El cartero». Conviene resolverlo primero para tres cartas,
aunque aquí nos limitamos al de cuatro. Nos encontramos con un problema puro de
clasificación del espacio muestral (conjunto de repartos posibles, sean 'n'), para determinar el
espacio completo de sucesos, donde cada suceso estará constituido por aquellos repartos con
un número definido de cartas entregadas correctamente. Supuesto que todos los repartos son
igualmente probables, la probabilidad de cada uno de ellos será 1/n, y para los diferentes
sucesos se podrá aplicar la «fórmula de Laplace». Más que ante un problema de probabilidad,
nos encontramos ante uno de «conteo»; se trata sobre todo de desarrollar destrezas con esta
finalidad. Veamos:
N.° de casos-posibles:
Si las casillas representan buzones en el orden de reparto, es obvio que e número de repartos
distintos es 4.
3.
2.
1 = 4! = 24.

Clasificación de los mismos a efectos de poder resolver cualquier problema relativo al
número de aciertos (se asignan números a las cartas según cuál sea su destinatario):-
Como criterios de clasificación se han seguido los siguientes:
En primer lugar, según el número de aciertos (cartas entregadas a su destinatario). No
hay aquí ninguna «simetría» aparente entre los distintos casos. Hay que elaborar cada
uno.
Una vez fijado el número de aciertos, se eligen de todas las formas posibles los
destinatarios que recibirán carta correcta (es un problema elemental de números
combinatorios). Sí tenemos ahora una simplificación. Bastará con construir los repartos
que corresponden a una de las elecciones y luego multiplicar por el número de las
mismas.
Por último, hemos recurrido, en el caso de 0 aciertos, para simplificar el recuento, a
agrupar los repartos según cuál sea la carta que llega al primer buzónn (la 2, la 3 ó la 4),
construyendo hasta el final todos los posibles repartos que corresponden a uno de los
casos.
4.3. Las probabilidades «compuestas»
Por último, tratemos «El torneo». De nuevo nos encontramos con un problema de
clasificación, aunque con más probabilidades que el anterior de ser sistematizado. Esto último
se basa en la posibilidad de representar cada posible desarrollo del torneo en la forma (-, -, .., -
), donde cada elemento ha de ser sustituido por F o P (según quién gane la partida
correspondiente). Es claro que además, el que gane la última partida debe ser el que gane el
torneo.
Aquí el espacio completo de sucesos que se considera se reduce a dos sucesos contrarios:
ganar el torneo Filipov o ganarlo Popov.

Conviene otra vez plantearse primero problemas algo más sencillos, a fin de perfilar alguna
estrategia válida de clasificación.
—Supongamos que el torneo se lo adjudica el primero que gane tres partidas: mediante un
diagrama en árbol representamos fácilmente los posibles desarrollos del torneo (señalemos
que a Filipov le vale con ganar dos partidas, y que la última partida será siempre ganada por
el que se lleve a casa el título):
Vemos que el espacio muestral está formado por 10
posibles desarrollos del torneo, de los que 6
corresponden a triunfo de Filipov. Sin embargo, no es
válida aquí la fórmula de Laplace, puesto que los su-
cesos elementales no son equiprobables.
Examinemos con algo más de detalle esta
afirmación:
Tomemos, por ejemplo, el suceso S = (F, F). Es claro que siendo igual de hábiles ambos
contendientes la frecuencia teórica de ocurrencia será 1/2 • 1/ 2 (en la mitad de los torneos ganaría
Filipov la primera partida, y en la mitad de ellos ganaría también la segunda). Tenemos aquí dos
aspectos que con-viene señalar:
a) La probabilidad de que el torneo se desarrolle de una forma determinada no depende del
número de torneos posibles, sino del número de partidas necesarias para ese desarrollo.
b) Y lo que es más importante y general: la expresión de un suceso de modo semejante al
anterior (suceso compuesto), no es más que un modo más sencillo de escribir una intersección:
S = (F, F) = S,nS2, siendo S, = (F, ...) el suceso «Filipov gana la primera partida del torneo», y S2
= (-, F, ...) el suceso «Filipov gana la segunda partida del torneo». Se aplica aquí la regla del
producto de probabilidades (proporción de proporción): P(S,fS2) = P(S1)•P(S2/S1) = P(S,)•P(S2),
siendo cierta la última igualdad por el hecho de ser S, y S2 sucesos independientes. (Menudo lío si
se supone que no lo son).
Se tiene: P(ganar Filipov) = P(F,F) + P(F,P,F) + ... = 1/4 + 1/8 + ... = 11/ 16 = 68,75%
— Pasemos ya a estudiar el torneo inical (gana el primero que gane cinco partidas). - -
Cada uno de los sucesos básicos (gana el torneo Filipov o lo gana Popov) se descompone en
otros según el número de partidas qu dure el torneo, o que

gana el que pierde el torneo; esta clasificación es lógica y queda claramente sugerida en la
discusión anterior, así como por la previsible complejidad que adquiriría el árbol en este caso.
Por ejemplo la probabilidad del suceso «gana Filipov» se puede expresar en la forma:
P(gana el torneo Filipov) = P(Popov gana 0 partidas) + P(Popov gana 1 partida) + ... +
(Popov gana 4 partidas) =
Queda clara la ventaja que da ganar la primera partida!
Terminemos analizando, de forma semejante al caso de las cartas, los criterios de
clasificación del suceso base que se han seguido para llegar a la solución:
* En primer lugar, como ya queda dicho, se descompone el suceso «ganar Filipov» en
otra serie de sucesos caracterizados por el número de partidas que gana Popov al
finalizar.
* Cada uno de estos sucesos se compone de una serie de sucesos ele-mentales
(posibles desarrollos de una partida) que: a) tienen la misma probabilidad, por tener el
mismo número de partidas, y b) el número de tales sucesos es la solución de un
problema elemental de combinatoria: el número de posibles selecciones de los lugares
donde se colocan las partidas que gana Popov (excluyendo la última, que debe ganarla
Filipov).
4.4. Elección entre la «fórmula de Laplace» o la probabilidad producto
En muchos problemas cabe la posibilidad de elegir como método de trabajo entre ambas
opciones. Creo dos cosas: que existe una injustificada tradición en la enseñanza de elegir el
primero de los métodos, y que habitual-mente resulta más ventajoso y menos «peligroso»
para el alumno (en cuanto a la creación de «vicios» se refiere) la elección del segundo. Ello
es debido al menos a dos razones. En primer lugar, la mayoría de los problemas que admiten
desarrollo mediante recuento de casos posibles (número de sucesos elementales) y
favorables (número de sucesos elementales que componen el suceso que se estudia),
admiten otro paralelo y algo más simple a veces, con el método de la probabilidad
condicionada. Y además, hay ocasiones en las que es incorrecto el uso del método de
recuento por no ser equiprobables los sucesos elementales, lo que no siempre es algo fácil
de ver. Veamos algunos ejemplos entre los muchos que sería fácil exponer:

— Uno sencillo lo tenemos en el problema «El Lingo». El espacio muestral sería la unión de
conjuntos {(A,-)} U {(A,-)}, donde el primer guión puede ser sustituido por números del 1 al 9,
y el segundo por números del 1 al 7, lo que nos da un total de 16 sucesos elementales. Sin
embargo, no son equiprobables, pues el conjunto de los 9 primeros tiene la misma
probabilidad de ocurrir que el de los 7 últimos, así que la probabilidad de extraer una bola
concreta de la primera cavidad es de 1/2.
1/9, y no 1/16. Tal como vimos, toda esta
problemática desaparece abordando directamente el estudio desde la otra perspectiva.
—Cualquier problema de lanzamiento con dados, tan sólo puede ser re-suelto por la fórmula de
Laplace si se supone que al lanzar un dado las seis caras son equiprobables. Sin embargo,
un cambio mínimo en los cálculos, les permite seguir siendo válidos con el otro
planteamiento.
5. Conclusión
Poco que decir. La probabilidad es difícil para el alumno. Quizá de todas las materias que se
ven en las Matemáticas de Secundaria es aquélla que requiere con más fuerza el desarrollo de
«técnicas de trabajo», y bien diversas, más que la aplicación de «mecánicas de cálculo».
Así que los profesores debemos procurar no complicar las cosas forzando el empleo de un
recetario de fórmulas que por sí mismas no dicen nada ni ayudan al planteamiento de los
problemas, y buscar, como siempre, los campos de trabajo más atractivos para el alumno pero sin
olvidar que de forma especial en este terreno podemos ayudar a desarrollar ese sentido práctico y
a la vez profundo que bucea directamente en el núcleo de cada nuevo problema para buscar la
solución por el método más rápido, potente y fácil de generalizar.

AZAR: ERRORES, INTUICIONES Y APRENDIZAJE
por Félix Alayo
Entre los años 1978 y 1981 David R. Creen (1) realizó el que probablemente sea el mayor
estudio realizado hasta la fecha sobre las ideas de los adolescentes sobre la probabilidad. Para
ello pasó a 3.000 alumnos ingleses de 11 a 16 años un test cuyos resultados son realmente
impactantes. Así nos lo parecieron a quienes en el curso 89-90 (2) trabajábamos en Bilbao en un
seminario sobre azar y probabilidad en la etapa 12-16. Sin dudar de la corrección del test, lo cierto
es que algunos de esos resultados eran tan sorprendentes que surgieron dudas sobre si nuestros
alumnos cometerían los mismos errores y con la misma frecuencia. Decidimos, por lo tanto, pasar
el test a unos 300 alumnos de 1.° y 2.° ,de BUP, FP y REM de los cuatro centros en los que
trabajábamos. No creo necesario decir que, efectivamente, los resultados fueron muy similares.
Estas son algunas de las dificultades de nuestros alumnos:
EL LENGUAJE DEL AZAR
Existe una gran confusión entre términos relacionados con el azar y la probabilidad:
«A continuación tienes cinco frases: 1. No puede
suceder
2 No sucede muy a menudo
3. Sucede bastante a menudo
4. Sucede casi siempre
5. Sucede siempre
Coloca al lado de las siguientes palabras el número de la frase que tenga el mismo
significado. Puedes repetir los números:
A. Muy probable
B. Improbable
C. Probable
D. No muy probable».
Un 33% de nuestros alumnos identificaba «muy probable» con «sucede siempre» y un 81%
«
improbable» con «no puede suceder». En el lenguaje
(1) David R. Green. »
Probability concepts in 11-16 year old pupils».
(2) F. Alayo, A. Arregui, B. Arrien, C. Baquerizo, M. Múgica, F. Porra, I. Redondo. -Un
test de probabilidad». Sigma n.° 6. Marzo 90.

coloquial los términos posible y probable se utilizan con frecuencia de forma indistinta y
expresiones como «es muy posible», «poco posible», «bastante posible», «posiblemente» son de
uso común. Hasta tal punto son comunes que por ejemplo el «Diccionario ideológico de la lengua
castellana» de Julio Casares recoge estas acepciones:
* Posibilidad: calidad de posible / aquello que hace que una cosa sea posible / probabilidad / ...
* Imposible: no posible / sumamente difícil ...
Esta ambigüedad, si bien no representa ningún problema en la vida diaria, puede ser origen de
algunas dificultades en matemáticas donde se exige un uso muy preciso del lenguaje.
ASIGNACION DE PROBABILIDAD EN CASOS ELEMENTALES
«En una clase hay 13 chicos y 16 chicas. Se escribe el nombre de cada uno en un trozo
de papel y luego se recoge uno sin mirar. ¿Qué es más probable?
A. Que salga el nombre de un chico
B. Que salga el nombre de una chica
C. Son igual de probables
D. No lo sé».
Tan sólo un 73%-53% (*) considera más probable obtener un nombre de chica. En 25%-42%
prescinde del diferente número de chicos y chicas de la clase y considera que son igual de
probables.
«¿Qué número es más difícil de obtener al lanzar un dado?».
El 67%-75% considera que todos son igual de difíciles, mientras que el resto muestra una
tendencia a considerar el 6, el 1 y el 5 como más difíciles que los demás. Parece razonable buscar
la razón a esta tendencia en la experiencia en juegos como el parchís o los dados en los que el
jugador desea o necesita un resultado concreto, resultado que sólo se obtiene en 1/6 de los casos
y que por lo tanto resulta difícil de obtener. Al ser preguntado por los resultados difíciles, uno hace
un rápido balance mental de su experiencia y encuentra que lo que le ha sido difícil en general es
conseguir un 6, un 1 o un 5, los resultados que con más frecuencia esperamos. No hay que
descartar interpretaciones erróneas de la pregunta o esa visión pesimista de la existencia de
quienes opinan que «el que quieres que salga es el número más difícil».
(*) Salvo indicación expresa, el primer dato corresponde a los resultados obtenidos en Bilbao y
el segundo a los obtenidos por D.R. Green.

PROPORCIONALIDAD
a) La bolsa A tiene 3 bolas negras y 1 blanca. A
b) La bolsa B tiene 2 bolas negras y 1 blanca. B
Para ganar un premio, hay que sacar (sin mirar) una bola negra de una de las dos bolsas.
¿Con qué bolsas es más fácil ganar?
A. Con la bolsa A
B. Con la bolsa B
C. Con las dos igual
D. No lo sé
b) La bolsa C contiene 5 bolas negras y 2 blancas.
La bolsa D contiene 5 bolas negras y 3 blancas.
¿De cuál es más probable extraer una bola negra?
A. De la bolsa C
B. De la bolsa D
C. De las dos igual
D. No lo sé
d) Otras dos bolsas con bolas blancas y negras.
La bolsa G tiene 12 negras y 4 blancas.
La bolsa H tiene 20 negras y 10 blancas.
¿Qué bolsa ofrece más posibilidades de extraer una bola negra?
A. La bolsa G
B. La bolsa H
C. La dos igual
D. No lo sé
d) Otras dos bolsas:
La bolsa J tiene 3 bolas negras y 1 blanca.
La bolsa K tiene 6 bolas negras y 2 blancas.
¿De qué bolsa es más fácil sacar Una bola negra?
A. De la bolsa J
B. De la bolsa K
C. De las dos,igual
D. No lo sé
Mientras resultan válidas las estrategias de recuento, los porcentajes de acierto son elevados:
* En la bolsa A hay más bolas negras que en la B (84-88% de acierto).
* En la bolsa C hay menos bolas blancas que en la D (75-67%).

Los porcentajes se reducen drásticamente cuando es necesario poner en juego un modelo de
proporcionalidad:
* La proporción de bolas negras es mayor en G que en H (57-57%), y es la misma en J que en
K (37-33%).
La idea de proporcionalidad, fundamental para el desarrollo de los conceptos básicos de
probabilidad (y no sólo de ella; en aritmética, álgegra o geometría es también un elemento clave),
no parece que sea bien comprendida por muchos alumnos y habrá que prestarle una especial
atención en el diseño de la instrucción. -

En el primer caso, sólo 50-52% considera que es igual de fácil en ambas ruletas. En el
segundo, el 57-56% elige el disco azul. Estas elecciones exigen un razonamiento basado en
áreas. El resto de los alumnos buscan su respuesta recontando el número de regiones en que
aparecen el 1 y el 2, o bien estudiando la conveniencia de que las regiones sean o no
contiguas...
Supongamos que dejamos caer muchas canicas por los canales del dibujo. Describe lo que
crees que ocurrirá:
Las respuestas correctas oscilan entre el 47-42% del apartado (b) hasta el 61-67% del (c). La
situación, muy fuertemente emparentada con los diagramas en árbol, parece ser muy poco
comprendida, llegando a una situación extrema en la siguiente pregunta del test, que sólo es
contestada correctamente por el 1-7% de los encuestados.
Se pone un robot en un laberinto. En cada bifurcación es igual de probable que el robot vaya
por un camino o por otro. Al final de cada camino hay una trampa. ¿En cuál de las trampas es
más probable que acabe el robot, o son todas igual de probables?

Resulta difícil definir las razones de este fracaso. En cualquier caso se aprecia una tendencia
a pensar que las canicas tenderán a irse hacia los canales del extremo en (a) y a considerar
determinante (en uno u otro sentido) la falta de simetría en (b). A algunos alumnos les resulta muy
difícil sustraerse al detalle de la situación ,
y razonan que si en la primera bifurcación una bola se
va hacia la derecha, tras el tramo inclinado rebotará en la pared opuesta y será más fácil que en
la siguiente bifurcación vaya hacia la izquierda. Otros por su parte, tienen dificultades para
contemplar un modelo teórico; consideran las canicas de una en una y concluyen que no se
puede saber lo que ocurrirá, puesto que cada una puede hacer cosas diferentes. En el caso del
robot, la opinión mayoritaria (61-60%) dice que todas las trampas son igual de probables,
mientras un 20% opina que el robot continuará su camino hasta las trampas más alejadas (5 a 8).
REGULARIDADES E INDEPENDENCIA
Un fuerte núcleo de dificultades en el estudio de lo aleatorio está relacionado con la tendencia
a observar pautas o regularidades en lo aleatorio:
El suelo de un patio tiene 16 secciones cuadradas. Comienza a nevar. Al principio sólo caen
unos pocos de nieve; después de un rato han caído más.
¿Cuál de estos conjuntos de dibujos muestra mejor lo que esperarías ver?
A. El conjunto A
B. El conjunto B
C. El conjunto C
D. Los conjuntos B y C
E. Todos son igual de probables.

Problemas e ideas sobre el azar sigma 16

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