Guía de productos notables diseñada para estudiantes. Esta contiene la explicación (didáctica), ejercicios resueltos y ejercicios propuestos.

1. Unidad II
Prof. Johan Goyo
U. E. “Cecilia Mujica” Estudiantes
Unidad II
Productos Notables
La matemática y la astronomía tuvieron un gran avance con los científicos del
Islam, quienes hicieron grandes aportes en álgebra, geometría y trigonometría.
Esta es una ilustración persa del siglo XVI y en ella se observa a varios astrónomos
utilizando diversos instrumentos de medida y de observación como son: compás,
astrolabio, plomada, reloj de arena, escuadra y un globo terrestre, entre otros.
Imagen tomada de la serie de Fundación Polar – Matemática para Todos – Año de
publicación 2004. Fascículo 6.
Diciembre, 2010

2. 2 | P á g i n a
Matemática 2° Año Prof. Johan Goyo
Unidad II Productos Notables
I. PRODUCTOS NOTABLES
Se llama productos notables a ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado
puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin necesidad de efectuar o verificar la
multiplicación.
En algunos casos, el producto de dos polinomios tiene una forma especial, y es posible
conocer el resultado sin efectuar el producto. La generalización de estos resultados se conoce con
el nombre de productos notables.
Consideremos lo siguiente:
Vallas Publicitarias1
Unos de los instrumentos más utilizados por las empresas publicitarias para dar a conocer
un producto son las vallas éstas deben cumplir una serie de normas respecto a su ubicación y
tamaño, con la finalidad de no causar perturbaciones en el tráfico de vehículos, pero al mismo
tiempo las empresas de publicidad tratan de ubicarlas en sitios muy visibles y en un tamaño
grande, de modo que puedan
ser vistas fácilmente y llamen la
atención. Hay vallas de
diferentes tipos, algunas con
movimientos, algunas con luces,
entre otras. Generalmente,
estas vallas tienen forma rectangular; pueden ser cuadradas también. Por ejemplo, una valla
tamaño estándar mide 7,5 ݉ por 3,5 ݉.
Responde las siguientes interrogantes:
• Una empresa desea colocar una valla publicitaria de forma rectangular a partir de otra
valla que tiene forma cuadrada de lado ࢞. Si se aumenta el ancho en 2 ݉݁‫ݏ݋ݎݐ‬ y el largo
en 3 ݉, ¿cuál es el área de la valla?
• Para un aviso de refrescos se necesita una valla cuadrada. El publicista sugirió una
cuadrada de lado ࢞, pero el anunciante solicita que sea mucho más grande. El publicista
añadió 4 ݉ a cada lado. ¿Cuál es el área de la nueva valla?
• Una valla diseñada para el aviso de una marca de zapatos tiene una forma cuadrada de
lado ࢔. Sus medidas excedían las normas establecidas por la alcaldía, por lo cual la
empresa decidió restarle
ଷ
ସ
de metros a cada lado. ¿Cuál es el área de la valla?
1
Planteamiento tomado de Libro Matemática 8. Autores: Estrella Suárez Bracho, Darío Durán Cepeda. Editorial: Santillana. Pág. 157
Recuerda:
Área de un cuadrado:
El Área de un cuadrado es igual a ࡭ ൌ ࢒. ࢒ ൌ ࢒૛
Recuerda:
Área de un rectángulo:
El Área de un cuadrado es igual a ࡭ ൌ ࢈. ࢎ
࢒૛
࢒
࢒ ࢈. ࢎ
ܾ
݄

3. 3 | P á g i n a
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Unidad II Productos Notables
A. Cuadrado de una suma:
Considera un cuadrado cuyos lados miden ࢞ ൅ ࢇ, con ࢞ ൐ 0, ࢇ ൐ 0 , es decir, así:
Ahora, sí se divide dicho cuadrado en cuatros figuras, ࡾ૚, ࡾ૛, ࡾ૜ y ࡾ૝, así:
El área total de este cuadrado viene dada por la suma de las áreas de cada figura, esto es:
Por otro lado, tenemos:
Elevar al cuadrado ࢇ ൅ ࢈ equivale a multiplicar este binomio por sí mismo y tendremos:
ሺࢇ ൅ ࢈ሻ૛
ൌ ሺࢇ ൅ ࢈ሻሺࢇ ൅ ࢈ሻ ; o de manera similar, ሺࢇ ൅ ࢈ሻሺࢇ ൅ ࢈ሻ ൌ ሺࢇ ൅ ࢈ሻ૛
.
Efectuando este producto tenemos:
ܽ ൅ ܾ
ܽ ൅ ܾ
ܾܽ ൅ ܾଶ
ܽଶ
൅ ܾܽ
ܽଶ
൅ 2ܾܽ ൅ ܾଶ
࢞ ൅ ࢇ
࢞ ൅ ࢇ ‫ܣ‬ ൌ ሺ‫ݔ‬ ൅ ܽሻሺ‫ݔ‬ ൅ ܽሻ ൌ ሺ‫ݔ‬ ൅ ܽሻଶ
El área de este cuadrado viene dada por:
‫ܣ‬ ൌ ‫ܣ‬ଵ ൅ ‫ܣ‬ଶ ൅ ‫ܣ‬ଷ ൅ ‫ܣ‬ସ
ൌ ‫ݔ‬ଶ
൅ ‫ܽݔ‬ ൅ ܽ‫ݔ‬ ൅ ܽଶ
ൌ ‫ݔ‬ଶ
൅ 2ܽ‫ݔ‬ ൅ ܽଶ
Por lo tanto, ‫ܣ‬ ൌ ሺ‫ݔ‬ ൅ ܽሻଶ
ൌ ‫ݔ‬ଶ
൅ 2ܽ‫ݔ‬ ൅ ܽଶ
࢞ ࢇ
࢞
ࢇ
ܴଵ ܴଶ
ܴଷ ܴସ
Geométricamente:
El área del cuadrado ܴଵ es igual a ..……. ‫ܣ‬ଵ ൌ ‫ݔ‬ଶ
El área del rectángulo ܴଶ es igual a …….‫ܣ‬ଶ ൌ ‫. ݔ‬ ܽ
El área del rectángulo ܴଷ es igual a …….‫ܣ‬ଷ ൌ ܽ . ‫ݔ‬
El área del cuadrado ܴସ es igual a ……… ‫ܣ‬ସ ൌ ܽଶ
ࢇ૛ ࢇ
ࢇ
࢞
࢞ ࢞૛
࢞
ࢇࢇ . ࢞
࢞
ࢇ
࢞. ࢇ
O sea, ሺࢇ ൅ ࢈ሻ૛
ൌ ࢇ૛
൅ ૛ࢇ࢈ ൅ ࢈૛

4. 4 | P á g i n a
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Luego, enunciamos lo siguiente:
“El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera
cantidad más el duplo (doble) de la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de
la segunda cantidad”
De otra manera, con expresiones algebraicas de la forma: ሺ࢞ ൅ ࢇሻ૛
ൌ ࢞૛
൅ ૛ࢇ࢞ ൅ ࢇ૛
“El cuadrado de la suma de dos términos es igual al cuadrado del primer término
ሺ࢞૛ሻ más el doble producto del primer término por el segundo ሺ૛ࢇ࢞ሻ, más el cuadrado
del segundo término ሺࢇ૛ሻ”
Ejemplos:
1. Desarrollar ሺ࢞ ൅ ૝ሻ૛
:
Cuadrado del primer término ……………………………………………………………………. ࢞૛
Doble del primer término por el segundo …………………………….. ૛. ሺ࢞ሻ. ሺ૝ሻ ൌ ૡ࢞
Cuadrado del segundo término ………………………………………………………. ૝૛
ൌ ૚૟
Luego, ሺ࢞ ൅ ૝ሻ૛
ൌ ࢞૛
൅ ૛ሺ࢞ሻሺ૝ሻ ൅ ૝૛
ൌ ࢞૛
൅ ૡ࢞ ൅ ૚૟
O simplemente, ሺ࢞ ൅ ૝ሻ૛
ൌ ࢞૛
൅ ૡ࢞ ൅ ૚૟
2. Desarrollar ൫࢞૛
൅ ૚൯
૛
:
൫࢞૛
൅ ૚൯
૛
ൌ ൫࢞૛
൯
૛
൅ ૛൫࢞૛
൯ሺ૚ሻ ൅ ૚૛
ൌ ࢞૝
൅ ૛࢞૛
൅ ૚
3. Desarrollar ൫૝ࢇ ൅ ૞࢈૛
൯
૛
:
൫૝ࢇ ൅ ૞࢈૛
൯
૛
ൌ ሺ૝ࢇሻ૛
൅ ૛. ሺ૝ࢇሻ. ൫૞࢈૛
൯ ൅ ൫૞࢈૛
൯
૛
ൌ ૚૟ࢇ૛
൅ ૝૙ࢇ࢈૛
൅ ૛૞࢈૝
4. Efectuar ൫ૠࢇ࢞૝
൅ ૢ࢟૞
൯൫ૠࢇ࢞૝
൅ ૢ࢟૞
൯:
൫ૠࢇ࢞૝
൅ ૢ࢟૞
൯൫ૠࢇ࢞૝
൅ ૢ࢟૞
൯ ൌ ൫ૠࢇ࢞૝
൅ ૢ࢟૞
൯
૛
ൌ ૝ૢࢇ૛
࢞ૡ
൅ ૚૛૟ࢇ࢞૝
࢟૞
൅ ૡ૚࢟૚૙
5. Desarrollar ቀ
૚
૛
ࢠ૛
൅ ࢠ૜
ቁ
૛
:
ቀ
૚
૛
ࢠ૛
൅ ࢠ૜
ቁ
૛
ൌ ቀ
૚
૛
ࢠ૛
ቁ
૛
൅ ૛ .
૚
૛
ࢠ૛
. ࢠ૜
൅ ൫ࢠ૜
൯
૛
ൌ
૚
૝
ࢠ૝
൅ ࢠ૞
൅ ࢠ૟
൫૝ࢇ࢈૛൯
૛
ൌ ૝૛. ࢇ૛ . ൫࢈૛൯
૛
ൌ ૚૟ࢇ૛࢈૝
Recuerda:
Cuadrado de un monomio: Para elevar
un monomio al cuadrado se eleva su
coeficiente al cuadrado y se multiplica
el exponente de cada letra por 2.
Sea el monomio ૝ࢇ࢈૛

5. 5 | P á g i n a
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6. Desarrollar ቀ
૜
૝
࢞ ࢟૛
൅
૛
૜
࢟૜
ቁ
૛
:
ቀ
૜
૝
࢞ ࢟૛
൅
૛
૜
࢟૜
ቁ
૛
ൌ ቀ
૜
૝
࢞࢟૛
ቁ
૛
൅ ૛ .
૜
૝
࢞࢟૛
.
૛
૜
࢟૜
൅ ቀ
૛
૜
࢟૜
ቁ
૛
ൌ
ૢ
૚૟
࢞૛
࢟૝
൅ ࢞࢟૞
൅
૝
ૢ
࢟૟
Ejercicios A.1:
- Desarrollar las siguientes expresiones aplicando productos notables.
1. ሺ࢓ ൅ ૜ሻ૛
2. ሺ૞ ൅ ࢞ሻ૛
3. ൫૜ ൅ ૛࢞૛
൯
૛
4. ሺ૟ࢇ ൅ ࢈ሻ૛
5. ൫૜࢓૚૙
൅ ૛࢓૛
൯
૛
6. ሺૢ ൅ ૝࢓ሻ૛
7. ሺ࢞ ൅ ࢟ሻ૛
8. ൫૛࢞࢟ ൅ ࢟૛
൯
૛
9. ቀૠࢠ ൅
૚
ૠ
ࢠ૛
ቁ
૛
10. ቀ૞ࢇ૜
൅
૚
૛
ࢇቁ
૛
11. ሺ࢞ ൅ ࢎሻ૛
12. ൫ࢇ૛
࢞ ൅ ࢈࢟૛
൯
૛
13. ቀ࢞࢟ࢠ ൅
૛
૜
࢟ቁ
૛
14. ൫૜࢞࢓
൅ ૛࢞૛࢓
൯
૛
15. ቀ
࢞૛࢟
૛
൅
૚
૜
ቁ
૛
16. ቀ
૜
࢞૛ ൅
૛࢞૛࢟
ࢇ
ቁ
૛
17. ൫ࢇ࢞૛࢓
൅ ࢉ࢞૛࢓
൯
૛
18. ൫࢞ࢇା૚
൅ ࢞૛ࢇି૚
൯
૛
19. ቀ࢟ ൅
૚
૛
ቁ
૛
20. Calcula el producto notable: ሺെ࢞ െ ࢇሻ૛
.
¿Es igual a ሺ࢞ ൅ ࢇሻ૛
?¿Por qué? (Sug. Ver pág 7)
B. Cuadrado de una diferencia:
El cuadrado de una diferencia ሺܽ െ ܾሻଶ
se puede obtener efectuando el producto
ሺܽ െ ܾሻሺܽ െ ܾሻ. Efectuando este producto ሺܽ െ ܾሻሺܽ െ ܾሻ, tenemos:
ܽ െ ܾ
ܽ െ ܾ
െܾܽ ൅ ܾଶ
ܽଶ
െ ܾܽ
ܽଶ
െ 2ܾܽ ൅ ܾଶ
ሺࢇ ൅ ࢈ሻ࢔
് ࢇ࢔
൅ ࢈࢔
Importante:
Debemos recordar que la potenciación no es distributiva,
para la adición, es decir,
para potenciar un binomio la única forma de efectuar la
operación es multiplicarlo por sí mismo tantas veces como
unidades tenga el exponente.
O sea, ሺࢇ െ ࢈ሻ૛
ൌ ࢇ૛
െ ૛ࢇ࢈ ൅ ࢈૛

6. 6 | P á g i n a
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Unidad II Productos Notables
Ejemplos:
1. Desarrollar ሺ࢞ െ ૞ሻ૛
:
ሺ࢞ െ ૞ሻ૛
ൌ ࢞૛
െ ૛. ࢞. ૞ ൅ ૞૛
ൌ ࢞૛
െ ૚૙࢞ ൅ ૛૞
2. Desarrollar ሺ૜࢓ െ ૡሻ૛
:
ሺ૜࢓ െ ૡሻ૛
ൌ ሺ૜࢓ሻ૛
െ ૛ . ૜࢓ . ૡ ൅ ૡ૛
ൌ ૢ࢓૛
െ ૝ૡ࢓ ൅ ૟૝
3. Desarrollar ൫ࢇ૜
െ ࢈૜
൯
૛
:
൫ࢇ૜
െ ࢈૜
൯
૛
ൌ ൫ࢇ૜
൯
૛
െ ૛ . ࢇ૜
. ࢈૜
൅ ൫࢈૜
൯
૛
ൌ ࢇ૟
െ ૛ࢇ૜
࢈૜
൅ ࢈૟
4. Desarrollar ቀ
૚
૝
࢟ െ ૚૙࢟૜
ቁ
૛
:
ቀ
૚
૞
࢟ െ ૚૙࢟૜
ቁ
૛
ൌ
૚
૛૞
࢟૛
െ ૝࢟૝
൅ ૚૙૙࢟૟
5. Desarrollar ൫ࢇ࢈૛
െ ࢇ૛
࢈൯
૛
:
൫ࢇ࢈૛
െ ࢇ૛
࢈൯
૛
ൌ ࢇ૛
࢈૝
െ ૛ࢇ૜
࢈૜
൅ ࢇ૝
࢈૛
6. Desarrollar ൫૛࢞ૠ࢓
െ ࢞࢓
൯
૛
:
൫૛࢞ૠ࢓
െ ࢞࢓
൯
૛
ൌ ૝࢞૚૝࢓
െ ૝࢞ૡ࢓
൅ ࢞૛࢓
Ejercicios B.1:
- Desarrollar los siguientes cuadrados de binomios aplicando productos notables.
1. ሺࢇ െ ૜ሻ૛
2. ሺ࢞ െ ૠሻ૛
3. ሺૢ െ ࢇሻ૛
4. ሺ૛ࢇ െ ૜࢈ሻ૛
5. ቀ
૚
૟
࢞ െ ࢟ቁ
૛
Importante:
Hemos estudiado los siguientes casos ሺࢇ ൅ ࢈ሻ૛
y ሺࢇ െ ࢈ሻ૛
pero ¿como
hacemos en los siguientes casos?:
ሺെࢇ ൅ ࢈ሻ૛
y ሺെࢇ െ ࢈ሻ૛
En el caso de ሺെࢇ ൅ ࢈ሻ૛
cómo la adición es conmutativa podemos escribir
la expresión: ሺെࢇ ൅ ࢈ሻ૛
ൌ ሺ࢈ െ ࢇሻ૛
.
En el caso de ሺെࢇ െ ࢈ሻ૛
se considera el primer miembro como ሺെࢇሻ y el
segundo miembro como ሺെ࢈ሻ, es decir: ሺെࢇ െ ࢈ሻ૛
ൌ ሾሺെࢇሻ ൅ ሺെ࢈ሻሿ૛
.

7. 7 | P á g i n a
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6. ሺ૝ࢇ࢞ െ ૚ሻ૛
7. ൫૚ െ ࢞࢟૛
൯
૛
8. ൫࢞૜
െ ૚൯
૛
9. ቀ૛࢞࢟૛
െ
૝
࢞࢟૛ቁ
૛
10. ൫– ૚ ൅ ૚૙࢞૜
൯
૛
11. ቀ
ࢇ૛࢈૜
૛
െ
ࢇ૜࢈૛
૛
ቁ
૛
12. ൫૛࢞࢓
െ ࢞૜࢓
൯
૛
13. ൫ࢇ࢞૛࢓
െ ࢞࢓
൯
૛
14. ቀ– ૚ ൅
૚
࢟
ቁ
૛
15. ൫– ૚ െ ૛ࢇ૛
൯
૛
16. ¿Qué diferencia observas entre
ሺ࢞ െ ࢇሻ૛
y ࢞૛
െ ࢇ૛
?
C. Producto de una suma por una diferencia:
Sea el producto ሺࢇ ൅ ࢈ሻሺࢇ െ ࢈ሻ:
ܽ ൅ ܾ
ܽ െ ܾ
െܾܽ െ ܾଶ
ܽଶ
൅ ܾܽ
ܽଶ
െ ܾଶ
O sea, ሺࢇ ൅ ࢈ሻሺࢇ െ ࢈ሻ ൌ ሺࢇ െ ࢈ሻሺࢇ ൅ ࢈ሻ ൌ ࢇ૛
െ ࢈૛
Luego, enunciamos lo siguiente:
“El producto de la suma de dos términos por su diferencia es igual al cuadrado
del primer término menos el cuadrado del segundo”
Ejemplos:
1. Efectuar ሺ࢞ െ ૞ሻ . ሺ࢞ ൅ ૞ሻ:
ሺ࢞ െ ૞ሻ . ሺ࢞ ൅ ૞ሻ ൌ ࢞૛
െ ૞૛
ൌ ࢞૛
െ ૛૞
2. Efectuar ሺࢇ ൅ ࢞ሻ . ሺࢇ െ ࢞ሻ:
ሺࢇ ൅ ࢞ሻ . ሺࢇ െ ࢞ሻ ൌ ࢇ૛
െ ࢞૛
3. Efectuar ሺ૛ࢇ ൅ ૜࢈ሻ . ሺ૛ࢇ െ ૜࢈ሻ:
ሺ૛ࢇ ൅ ૜࢈ሻ . ሺ૛ࢇ െ ૜࢈ሻ ൌ ሺ૛ࢇሻ૛
െ ሺ૜࢈ሻ૛
ൌ ૝ࢇ૛
െ ૢ࢈૛
Adicional:
Demuestra: ¿Por qué? ሺࢇ െ ࢈ሻ૛ ൌ ሺ࢈ െ ࢇሻ૛
ሺ࢞ െ ૞ሻ . ሺ࢞ ൅ ૞ሻ ൌ ࢞૛
൅ ࢞૞ െ ૞࢞ െ ૞૛
Otra Manera:
ൌ ࢞૛
െ ૛૞
࢞૛ ൅ ࢞૞ െ ૞࢞ െ ૞૛
Como ࢞૞ ൌ ૞࢞

8. 8 | P á g i n a
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Unidad II Productos Notables
4. Efectuar ൫ࢇ૜
െ ૝࢈૛
൯ . ൫ࢇ૜
൅ ૝࢈૛
൯:
൫ࢇ૜
െ ૝࢈૛
൯ . ൫ࢇ૜
൅ ૝࢈૛
൯ ൌ ൫ࢇ૜
൯
૛
െ ൫૝࢈૛
൯
૛
ൌ ࢇ૟
െ ૚૟࢈૝
5. Efectuar ቀ
૜
૞
ࢠ૚૙
൅ ૛ࢠ૞
ቁ . ቀ
૜
૞
ࢠ૚૙
െ ૛ࢠ૞
ቁ:
ቀ
૜
૞
ࢠ૚૙
൅ ૛ࢠ૞
ቁ . ቀ
૜
૞
ࢠ૚૙
െ ૛ࢠ૞
ቁ ൌ ቀ
૜
૞
ࢠ૚૙
ቁ
૛
െ ൫૛ࢠ૞
൯
૛
ൌ
ૢ
૛૞
ࢠ૛૙
െ ૝ࢠ૚૙
6. Efectuar ൫࢞૛࢓
൅ ૜൯ . ൫࢞૛࢓
െ ૜൯:
൫࢞૛࢓
൅ ૜൯ . ൫࢞૛࢓
െ ૜൯ ൌ ൫࢞૛࢓
൯
૛
െ ሺ૜ሻ૛
ൌ ࢞૝࢓
െ ૢ
7. Efectuar ቀ
ૠ
૝ૢ
࢞ ൅
૜
ૢ
࢟ቁ . ቀ
ૠ
૝ૢ
࢞ െ
૜
ૢ
࢟ቁ:
En este caso las fracciones se pueden simplificar antes de desarrollar:
ૠ
૝ૢ
ൌ
૚
ૠ
y
૜
ૢ
ൌ
૚
૜
Luego, la expresión ቀ
૚
ૠ
࢞ ൅
૚
૜
࢟ቁ . ቀ
૚
ૠ
࢞ െ
૚
૜
࢟ቁ ൌ ቀ
૚
ૠ
࢞ቁ
૛
െ ቀ
૚
૜
࢟ቁ
૛
ൌ
૚
૝ૢ
࢞૛
െ
૚
ૢ
࢟૛
8. Efectuar ൫૞ࢇ૜
൅ ૜ࢇ૞
൯ . ൫૜ࢇ૞
െ ૞ࢇ૜
൯:
Obsérvese bien la expresión ൫૞ࢇ૜
൅ ૜ࢇ૞
൯ . ൫૜ࢇ૞
െ ૞ࢇ૜
൯ , nos damos cuenta que no posee la forma
ሺࢇ ൅ ࢈ሻሺࢇ െ ࢈ሻ, pero como el orden de los sumandos no altera la suma, ૞ࢇ૜
൅ ૜ࢇ૞
es lo mismo
૜ࢇ૞
൅ ૞ࢇ૜
. Por otro lado téngase presente que ૜ࢇ૞
െ ૞ࢇ૜
no es lo mismo ૞ࢇ૜
െ ૜ࢇ૞
.
Tenemos, ൫૜ࢇ૞
൅ ૞ࢇ૜
൯ . ൫૜ࢇ૞
െ ૞ࢇ૜
൯ ൌ ൫૜ࢇ૞
൯
૛
െ ൫૞ࢇ૜
൯
૛
ൌ ૢࢇ૚૙
െ ૛૞ࢇ૟
Importante:
Existen expresiones, que no se aplica el producto de la suma por la diferencia,
por ejemplo:
• ሺ૜࢞ ൅ ࢟ሻ . ሺ૜࢞૛
െ ࢟ሻ (1)
• ሺെ૚ ൅ ૛࢞૛ሻ . ሺ૚ െ ૛࢞૛ሻ (2)
En las expresiones anteriores, no podemos aplicar el producto notable, su
resolución es meramente una multiplicación de binomios.
Respuestas:
(1) ሺ૜࢞ ൅ ࢟ሻ . ሺ૜࢞૛
െ ࢟ሻ ൌ ૢ࢞૜
െ ૜࢞࢟ ൅ ૜࢞૛
࢟ െ ࢟૛
(2) ሺെ૚ ൅ ૛࢞૛ሻ . ሺ૚ െ ૛࢞૛ሻ ൌ െ૚ ൅ ૛࢞૛
൅ ૛࢞૛
െ ૝࢞૝
ൌ െ૚ ൅ ૝࢞૛
െ ૝࢞૝

9. 9 | P á g i n a
Matemática 2° Año Prof. Johan Goyo
Unidad II Productos Notables
Ejercicios C.1:
- Efectuar y escribir por simple inspección lo siguiente.
1. ሺ࢞ ൅ ࢟ሻ . ሺ࢞ െ ࢟ሻ
2. ሺ࢓ െ ࢔ሻ . ሺ࢓ ൅ ࢔ሻ
3. ሺ࢔ ൅ ૚ሻ . ሺ࢔ െ ૚ሻ
4. ሺࢇ െ ࢞ሻ . ሺ࢞ ൅ ࢇሻ
5. ൫࢞૛
൅ ࢇ૛
൯ . ൫࢞૛
െ ࢇ૛
൯
6. ሺ૛ࢇ െ ૚ሻ . ሺ૚ ൅ ૛ࢇሻ
7. ሺ࢞ െ ૚૙ሻ . ሺ࢞ ൅ ૚૙ሻ
8. ሺࢇ ൅ ࢈ሻ . ሺࢇ െ ࢈ሻ
9. ቀ
ࢇ
૜
െ
ࢇ࢈
૛
ቁ . ቀ
ࢇ
૜
൅
ࢇ࢈
૛
ቁ
10. ሺ࢓࢔࢖ ൅ ૚ሻ . ሺ࢓࢔࢖ െ ૚ሻ
11. ൫૟࢞૛
െ ࢓૛
࢞൯ . ൫૟࢞ ൅ ࢓૛
࢞൯
12. ൫െ૝࢞૛
൅ ࢟൯ . ൫૝࢞૛
൅ ࢟൯
13. ቀ
૛
૜
െ ૝ࢠቁ . ቀ
૛
૜
൅ ૝ࢠቁ
14. ቀ
૚૚
૜
࢞૛
࢟૛
൅
૚૝
૞૟
࢟ቁ . ቀ
૚૚
૜
࢞૛
࢟૛
െ
૚૝
૞૟
࢟ቁ
D. Producto de dos binomios con un término en común /
Producto de binomios de la forma ሺ࢞ ൅ ࢇሻሺ࢞ ൅ ࢈ሻ :
El producto de dos binomios con un término común es de la forma: ሺ࢞ ൅ ࢇሻ . ሺ࢞ ൅ ࢈ሻ
donde ࢇ y ࢈ son constantes.
Fíjate como se calculan los siguientes productos:
ሺ࢞ ൅ ૚ሻ . ሺ࢞ ൅ ૞ሻ ൌ ࢞૛
൅ ૞࢞ ൅ ࢞ ൅ ૞ ൌ ࢞૛
൅ ૟࢞ ൅ ૞
ሺ࢞ െ ૚૙ሻ . ሺ࢞ െ ૜ሻ ൌ ࢞૛
െ ૜࢞ െ ૚૙࢞ ൅ ૜૙ ൌ ࢞૛
െ ૚૜࢞ ൅ ૜૙
ሺࢠ ൅ ૛ሻ . ሺࢠ െ ૠሻ ൌ ࢠ૛
െ ૠࢠ ൅ ૛ࢠ െ ૚૝ ൌ ࢠ૛
െ ૞ࢠ െ ૚૝
Tenemos lo siguiente de lo observado y analizado, que:
El primer término es el cuadrado del término común.
El segundo término es igual a la suma de los términos constantes por el término común.
El tercer término es igual al producto de los términos no comunes.
De lo anterior generalizamos y enunciamos lo siguiente:
“El producto notable de dos binomios que tienen un término común es igual al cuadrado
del término común, más la suma algebraica de los términos no comunes multiplicados por el
término común, más el producto de los términos no comunes, es decir,
ሺ࢞ ൅ ࢇሻ . ሺ࢞ ൅ ࢈ሻ ൌ ࢞૛
൅ ሺࢇ ൅ ࢈ሻ. ࢞ ൅ ࢇ. ࢈ ”
Otra manera de realizarlo es como una mera multiplicación de polinomios:
Piensa:
Cabe preguntarse que se
observa, en cada uno de los
ejemplos. Piensa y analiza un
momento presta atención a
los detalles. Después de haber
pensado por un momento.
¿Qué observas?
࢞ ൅ ૚
࢞ െ ૞
ሺ࢞ ൅ ૚ሻሺ࢞ െ ૞ሻ ൌ ࢞૛
െ ૝࢞ െ ૞
െ૞࢞ െ ૞
࢞૛
൅ ࢞
࢞૛
െ ૝࢞ െ ૞
࢞ ൅ ‫܉‬
࢞ ൅ ࢈
ሺ࢞ ൅ ࢇሻሺ࢞ ൅ ࢈ሻ ൌ ࢞૛
൅ ሺࢇ ൅ ࢈ሻ࢞ ൅ ࢇ࢈
࢈࢞ ൅ ࢇ࢈
࢞૛
൅ ࢇ࢞
࢞૛
൅ ሺࢇ ൅ ࢈ሻ࢞ ൅ ࢇ࢈

10. 10 | P á g i n a
Matemática 2° Año Prof. Johan Goyo
Unidad II Productos Notables
Ejemplos:
1. Efectuar ሺ࢟ ൅ ૠሻ . ሺ࢟ െ ૛ሻ:
ሺ࢟ ൅ ૠሻ . ሺ࢟ െ ૛ሻ ൌ ࢟૛
൅ ሺૠ െ ૛ሻ࢟ ൅ ൫ૠ . ሺെ૛ሻ൯
ൌ ࢟૛
൅ ૞࢟ െ ૚૝
2. Efectuar ሺࢇ െ ૚૚ሻ . ሺࢇ െ ૢሻ:
ሺࢇ െ ૚૚ሻ . ሺࢇ െ ૢሻ ൌ ࢇ૛
൅ ሺെ૚૚ െ ૢሻࢇ ൅ ൫ሺെ૚૚ሻ. ሺെૢሻ൯
ൌ ࢇ૛
െ ૛૙ࢇ ൅ ૢૢ
3. Efectuar ൫࢞૛
൅ ૠ൯ . ൫࢞૛
൅ ૜൯:
൫࢞૛
൅ ૠ൯ . ൫࢞૛
൅ ૜൯ ൌ ൫࢞૛
൯
૛
൅ ሺૠ ൅ ૜ሻ࢞૛
൅ ሺૠ. ૜ሻ
ൌ ࢞૝
൅ ૚૙࢞૛
൅ ૛૚
4. Efectuar ൫࢓૜
െ ૞൯ . ൫࢓૜
൅ ૚൯:
൫࢓૜
െ ૞൯ . ൫࢓૜
൅ ૚൯ ൌ ൫࢓૜
൯
૛
൅ ሺെ૞ ൅ ૚ሻ࢓૜
൅ ൫ሺെ૞ሻ. ૚൯
ൌ ࢓૟
െ ૝࢓૜
െ ૞
5. Efectuar ቀࢇ െ
૜
૝
ቁ . ቀࢇ ൅
૝
૞
ቁ:
ቀࢇ െ
૜
૝
ቁ . ቀࢇ ൅
૝
૞
ቁ ൌ ࢇ૛
൅ ቀെ
૜
૝
൅
૝
૞
ቁ ࢇ ൅ ൬ቀെ
૜
૝
ቁ .
૝
૞
൰
ൌ ࢇ૛
൅
૚
૛૙
ࢇ െ
૜
૞
Ejercicios D.1:
- Efectuar y escribir por simple inspección lo siguiente.
1. ሺࢇ ൅ ૚ሻ . ሺࢇ ൅ ૛ሻ
2. ሺ࢞ ൅ ૛ሻ . ሺ࢞ െ ૜ሻ
3. ሺ࢓ െ ૟ሻ . ሺ࢓ െ ૞ሻ
4. ሺ࢞ ൅ ૠሻ . ሺ࢞ െ ૚ሻ
5. ሺ࢞ ൅ ૚ሻ . ሺ࢞ െ ૛ሻ
6. ሺ࢞ െ ૚ሻ . ሺ࢞ ൅ ૛ሻ
7. ൫ࢇ૛
൅ ૞൯ . ൫ࢇ૛
െ ૢ൯
8. ൫૛ ൅ ࢞૛
൯ . ൫െ૚ ൅ ࢞૛
൯
9. ൫࢞૚૙
െ ૚૙൯ . ൫࢞૚૙
െ ૚൯
10. ሺ࢈࢔
൅ ૛ሻ . ሺ࢈࢔
൅ ૜ሻ
11. ሺ૜࢞ െ ૝ሻ . ሺ૜࢞ െ ૚૙ሻ
12. ቀ૛࢞ െ
૞
૜
ቁ . ቀ૛࢞ െ
૝
૞
ቁ
13. ቀ૝࢞࢓
࢟ െ
૜
૝
ቁ . ቀ૝࢞࢓
࢟ ൅
૛
૞
ቁ
14. ቀ
࢖
૞
൅ ૞ቁ . ቀ
࢖
૞
െ ૛ቁ

11. 11 | P á g i n a
Matemática 2° Año Prof. Johan Goyo
Unidad II Productos Notables
E. Cubo de un binomio:
El cubo de una suma: es un producto notable de la forma ሺࢇ ൅ ࢈ሻ૜
.
Tendremos ሺࢇ ൅ ࢈ሻ૜
ൌ ሺࢇ ൅ ࢈ሻሺࢇ ൅ ࢈ሻሺࢇ ൅ ࢈ሻ ൌ ሺࢇ ൅ ࢈ሻ૛ሺࢇ ൅ ࢈ሻ
ൌ ൫ࢇ૛
൅ ૛ࢇ࢈ ൅ ࢈૛
൯ሺࢇ ൅ ࢈ሻ
Efectuando esta multiplicación, tenemos:
“El cubo de una suma de dos monomios es igual al cubo del primer término, más el triple
producto del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primer término por el
cuadrado del segundo, más el cubo del segundo término, es decir,
ሺࢇ ൅ ࢈ሻ૜
ൌ ‫܉‬૜
൅ ૜‫܉‬૛
‫܊‬ ൅ ૜‫܊܉‬૛
൅ ‫܊‬૜
”
Ejemplos:
1. Desarrollar ሺࢇ ൅ ૚ሻ૜
:
ሺࢇ ൅ ૚ሻ૜
ൌ ሺࢇሻ૜
൅ ૜ሺࢇሻ૛ሺ૚ሻ ൅ ૜ሺࢇሻሺ૚ሻ૛
൅ ሺ૚ሻ૜
ൌ ࢇ૜
൅ ૜ࢇ૛
൅ ૜ࢇ ൅ ૚
2. Desarrollar ሺ૝࢞ ൅ ૞ሻ૜
:
ሺ૝࢞ ൅ ૞ሻ૜
ൌ ሺ૝࢞ሻ૜
൅ ૜ሺ૝࢞ሻ૛ሺ૞ሻ ൅ ૜ሺ૝࢞ሻሺ૞ሻ૛
൅ ሺ૞ሻ૜
ൌ ૟૝࢞૜
൅ ૛૝૙࢞૛
൅ ૜૙૙࢞ ൅ ૚૛૞
3. Desarrollar ሺ࢓ ൅ ૛࢔ሻ૜
:
ሺ࢓ ൅ ૛࢔ሻ૜
ൌ ሺ࢓ሻ૜
൅ ૜ሺ࢓ሻ૛ሺ૛࢔ሻ ൅ ૜ሺ࢓ሻሺ૛࢔ሻ૛
൅ ሺ૛࢔ሻ૜
ൌ ࢓૜
൅ ૟࢓૛
࢔ ൅ ૚૛࢓࢔૛
൅ ૡ࢔૜
4. Desarrollar ൫ࢇ૜
൅ ࢈૜
൯
૜
:
൫ࢇ૜
൅ ࢈૜
൯
૜
ൌ ൫ࢇ૜
൯
૜
൅ ૜൫ࢇ૜
൯
૛
൫࢈૜
൯ ൅ ૜൫ࢇ૜
൯൫࢈૜
൯
૛
൅ ൫࢈૜
൯
૜
ൌ ࢇૢ
൅ ૜ࢇ૟
࢈૜
൅ ૜ࢇ૜
࢈૟
൅ ࢈ૢ
ሺࢇ ൅ ࢈ሻ૜
ൌ ࢇ૜
൅ ૜ࢇ૛
࢈ ൅ ૜ࢇ࢈૛
൅ ࢈૜
ࢇ૛
൅ ૛‫܊܉‬ ൅ ‫܊‬૛
ࢇ ൅ ࢈
ࢇ૛
࢈ ൅ ૛ࢇ࢈૛
൅ ࢈૜
ࢇ૜
൅ ૛ࢇ૛
࢈ ൅ ࢇ࢈૛
ࢇ૜
൅ ૜ࢇ૛
࢈ ൅ ૜ࢇ࢈૛
൅ ࢈૜
ሺࢇ ൅ ࢈ሻ૜
ൌ ࢇ૜
൅ ૜ࢇ૛
࢈ ൅ ૜ࢇ࢈૛
൅ ࢈૜
ࢇ૛
൅ ૛‫܊܉‬ ൅ ‫܊‬૛
ࢇ ൅ ࢈
ࢇ૜
൅ ૛ࢇ૛
࢈ ൅ ࢇ࢈૛
ࢇ૛
࢈ ൅ ૛ࢇ࢈૛
൅ ࢈૜
ࢇ૜
൅ ૜ࢇ૛
࢈ ൅ ૜ࢇ࢈૛
൅ ࢈૜

12. 12 | P á g i n a
Matemática 2° Año Prof. Johan Goyo
Unidad II Productos Notables
El cubo de una diferencia: es un producto notable de la forma ሺࢇ െ ࢈ሻ૜
.
Tendremos ሺࢇ െ ࢈ሻ૜
ൌ ሺࢇ െ ࢈ሻሺࢇ െ ࢈ሻሺࢇ െ ࢈ሻ ൌ ሺࢇ െ ࢈ሻ૛ሺࢇ െ ࢈ሻ
ൌ ൫ࢇ૛
െ ૛ࢇ࢈ ൅ ࢈૛
൯ሺࢇ െ ࢈ሻ
Efectuando esta multiplicación, tenemos:
Enunciamos de la siguiente manera:
“El cubo de una diferencia de dos términos es igual al cubo del primer término, menos el
triple producto del cuadrado del primer término por el segundo, más el triple del primer término
por el cuadrado del segundo término, menos el cubo del segundo término, es decir,
ሺࢇ െ ࢈ሻ૜
ൌ ‫܉‬૜
െ ૜‫܉‬૛
‫܊‬ ൅ ૜‫܊܉‬૛
െ ‫܊‬૜
”
Ejemplos:
1. Desarrollar ሺ࢞ െ ૛ሻ૜
:
ሺ࢞ െ ૛ሻ૜
ൌ ሺ࢞ሻ૜
െ ૜ሺ࢞ሻ૛ሺ૛ሻ ൅ ૜ሺ࢞ሻሺ૛ሻ૛
െ ሺ૛ሻ૜
ൌ ࢞૜
െ ૟࢞૛
൅ ૚૛࢞ െ ૡ
2. Desarrollar ሺ૜ࢠ െ ૚ሻ૜
:
ሺ૜ࢠ െ ૚ሻ૜
ൌ ሺ૜ࢠሻ૜
െ ૜ሺ૜ࢠሻ૛ሺ૚ሻ ൅ ૜ሺ૜ࢠሻሺ૚ሻ૛
െ ሺ૚ሻ૜
ൌ ૛ૠࢠ૜
െ ૛ૠࢠ૛
൅ ૢࢠ െ ૚
3. Desarrollar ሺ૛࢞ െ ૜࢟ሻ૜
:
ሺ૛࢞ െ ૜࢟ሻ૜
ൌ ሺ૛࢞ሻ૜
െ ૜ሺ૛࢞ሻ૛ሺ૜࢟ሻ ൅ ૜ሺ૛࢞ሻሺ૜࢟ሻ૛
െ ሺ૜࢟ሻ૜
ൌ ૡ࢞૜
െ ૜૟࢞૛
࢟ ൅ ૞૝࢞࢟૛
െ ૛ૠ࢟૜
4. Desarrollar ൫࢞૛
െ ૜࢟൯
૜
:
൫࢞૛
െ ૜࢟൯
૜
ൌ ൫࢞૛
൯
૜
െ ૜൫࢞૛
൯
૛
ሺ૜࢟ሻ ൅ ૜൫࢞૛
൯ሺ૜࢟ሻ૛
െ ሺ૜࢟ሻ૜
ൌ ࢞૟
െ ૢ࢞૝
࢟ ൅ ૛ૠ࢞૛
࢟૛
െ ૛ૠ࢟૜
5. Efectuar ቀ
૚
૚૙
࢞࢟ െ
૚૙
૜
࢟ቁ
૜
:
ሺࢇ െ ࢈ሻ૜
ൌ ࢇ૜
െ ૜ࢇ૛
࢈ ൅ ૜ࢇ࢈૛
െ ࢈૜
ࢇ૛
െ ૛‫܊܉‬ ൅ ‫܊‬૛
ࢇ െ ࢈
െ ࢇ૛
࢈ ൅ ૛ࢇ࢈૛
െ ࢈૜
ࢇ૜
െ ૛ࢇ૛
࢈ ൅ ࢇ࢈૛
ࢇ૜
െ ૜ࢇ૛
࢈ ൅ ૜ࢇ࢈૛
െ ࢈૜
ሺࢇ െ ࢈ሻ૜
ൌ ࢇ૜
െ ૜ࢇ૛
࢈ ൅ ૜ࢇ࢈૛
െ ࢈૜
ࢇ૛
െ ૛‫܊܉‬ ൅ ‫܊‬૛
ࢇ െ ࢈
ࢇ૜
െ ૛ࢇ૛
࢈ ൅ ࢇ࢈૛
െ ࢇ૛
࢈ ൅ ૛ࢇ࢈૛
െ ࢈૜
ࢇ૜
െ ૜ࢇ૛
࢈ ൅ ૜ࢇ࢈૛
െ ࢈૜

13. 13 | P á g i n a
Matemática 2° Año Prof. Johan Goyo
Unidad II Productos Notables
ቀ
૚
૚૙
࢞࢟ െ
૚૙
૜
࢟ቁ
૜
ൌ ቀ
૚
૚૙
࢞࢟ቁ
૜
െ ૜ ቀ
૚
૚૙
࢞࢟ቁ
૛
ቀ
૚૙
૜
࢟ቁ ൅ ૜ ቀ
૚
૚૙
࢞࢟ቁ ቀ
૚૙
૜
࢟ቁ
૛
െ ቀ
૚૙
૜
࢟ቁ
૜
ൌ
૚
૚૙૙૙
࢞૜
࢟૜
െ
૚
૚૙
࢞૛
࢟૜
൅
૚૙
૜
࢞࢟૜
െ
૚૙૙૙
૛ૠ
࢟૜
Ejercicios E.1:
- Desarrolla los siguientes productos notables.
1. ሺࢇ ൅ ૛ሻ૜
2. ሺ࢞ െ ૚ሻ૜
3. ሺ૛࢞ ൅ ࢟ሻ૜
4. ሺ૜ࢇ െ ૚ሻ૜
5. ሺ૚ െ ࢞ሻ૜
6. ሺ૚ ൅ ૜࢟ሻ૜
7. ቀ
࢞
૛
൅ ૛ቁ
૜
8. ൫ࢇ૛
െ ૛࢈൯
૜
9. ൫࢞૜
െ ࢟૜
൯
૜
10. ൫૛࢓૞
൅ ࢔૞
൯
૜
11. ሺെ૜ ൅ ૛࢟ሻ૜
12. ሺ૚૙࢞࢟ െ ૞࢞ሻ૜
13. ൫૛ࢇ࢈૛
൅ ૠ࢟൯
૜
14. Calcula el producto de ሺ૜ െ ૞ሻ૜
a través de dos métodos:
a) Haciendo la resta primero y elevando al cubo el resultado.
b) Aplicando el producto notable cubo de una diferencia y luego sumando los resultados obtenidos.
c) Luego de haber resuelto lo anterior, responde: ¿Cómo son los resultados de a) y b)?
15. ¿Es ሺ࢞ െ ࢇሻ૜
ൌ ሺࢇ െ ࢞ሻ૜
? Justifica tu respuesta.
F. Misceláneos:
Los Productos notables se pueden combinar con las operaciones de adición, sustracción y
multiplicación.
Por ejemplo:
࡭ሺ࢞ሻ ൌ ሺ࢞ ൅ ૚ሻ . ሺ࢞ െ ૚ሻ െ ሺ࢞ ൅ ૚ሻ૛
൅ ሺ࢞ െ ૚ሻ૛
െ ሺ࢞ െ ૞ሻ . ሺ࢞ ൅ ૚ሻ
Antes de efectuar las operaciones reconocer que productos notables, aparecen en la
expresión.
ሺ࢞ ൅ ૚ሻ . ሺ࢞ െ ૚ሻ ………………… la suma por la diferencia
ሺ࢞ ൅ ૚ሻ૛
…………………..……….. cuadrado de una suma
ሺ࢞ െ ૚ሻ૛
……………………………. cuadrado de una diferencia
ሺ࢞ െ ૞ሻ . ሺ࢞ ൅ ૚ሻ ………………... producto de dos binomios con un término común
Luego, desarrollar cada producto notable por separado:
ሺ࢞ ൅ ૚ሻ . ሺ࢞ െ ૚ሻ ൌ ࢞૛
െ ૚૛
ൌ ࢞૛
െ ૚
ሺ࢞ ൅ ૚ሻ૛
ൌ ࢞૛
൅ ૛ሺ࢞ሻሺ૚ሻ ൅ ૚૛
ൌ ࢞૛
൅ ૛࢞ ൅ ૚
ሺ࢞ െ ૚ሻ૛
ൌ ࢞૛
െ ૛ሺ࢞ሻሺ૚ሻ ൅ ૚૛
ൌ ࢞૛
െ ૛࢞ ൅ ૚
ሺ࢞ െ ૞ሻ . ሺ࢞ ൅ ૚ሻ ൌ ࢞૛
൅ ሺെ૞ ൅ ૚ሻ࢞ ൅ ൫ሺെ૞ሻ. ૚൯ ൌ ࢞૛
െ ૝࢞ െ ૞
Adicional: Piensa: Si ࢇ ൌ ࢈ ൅ ૜
¿Cuánto vale ሺࢇ െ ࢈ሻ૜?

14. 14 | P á g i n a
Matemática 2° Año Prof. Johan Goyo
Unidad II Productos Notables
Se sustituye en ࡭ሺ࢞ሻ el desarrollo de cada producto notable. Cada resultado entre
paréntesis: ࡭ሺ࢞ሻ ൌ ൫࢞૛
െ ૚൯ െ ൫࢞૛
൅ ૛࢞ ൅ ૚൯ ൅ ൫࢞૛
െ ૛࢞ ൅ ૚൯ െ ൫࢞૛
െ ૝࢞ െ ૞൯
Se eliminan los paréntesis se suman términos semejantes y se obtiene el resultado:
࡭ሺ࢞ሻ ൌ ࢞૛
െ ૚ െ ࢞૛
െ ૛࢞ െ ૚ ൅ ࢞૛
െ ૛࢞ ൅ ૚ െ ࢞૛
൅ ૝࢞ ൅ ૞
࡭ሺ࢞ሻ ൌ ൫࢞૛
െ ࢞૛
൅ ࢞૛
െ ࢞૛
൯ ൅ ሺെ૛࢞ െ ૛࢞ ൅ ૝࢞ሻ ൅ ሺെ૚ െ ૚ ൅ ૚ ൅ ૞ሻ
࡭ሺ࢞ሻ ൌ ૙ ൅ ૙ ൅ ૝ ൌ ૝
Por ejemplo:
Resuelve la siguiente expresión: ሺ૛࢞ െ ࢟ሻ૜
൅ ሺ࢞ ൅ ૛࢟ሻ૜
െ ሺ࢞ ൅ ૛࢟ሻ . ሺ࢞ െ ૛࢟ሻ . ሺ࢞ ൅ ࢟ሻ y
simplifica el resultado:
Desarrollamos los productos notables por separado:
ሺ૛࢞ െ ࢟ሻ૜
ൌ ૡ࢞૜
െ ૚૛࢞૛
࢟ ൅ ૟࢞࢟૛
െ ࢟૜
ሺ࢞ ൅ ૛࢟ሻ૜
ൌ ࢞૜
൅ ૟࢞૛
࢟ ൅ ૚૛࢞࢟૛
൅ ૡ࢟૜
ሺ࢞ ൅ ૛࢟ሻ . ሺ࢞ െ ૛࢟ሻ ൌ ࢞૛
െ ૝࢟૛
Sustituimos los desarrollos de los productos notables en la expresión:
ሺ૛࢞ െ ࢟ሻ૜
൅ ሺ࢞ ൅ ૛࢟ሻ૜
െ ሺ࢞ ൅ ૛࢟ሻ . ሺ࢞ െ ૛࢟ሻ . ሺ࢞ ൅ ࢟ሻ
ൌ ൫ૡ࢞૜
െ ૚૛࢞૛
࢟ ൅ ૟࢞࢟૛
െ ࢟૜
൯ ൅ ൫࢞૜
൅ ૟࢞૛
࢟ ൅ ૚૛࢞࢟૛
൅ ૡ࢟૜
൯ െ ൫࢞૛
െ ૝࢟૛
൯ . ሺ࢞ ൅ ࢟ሻ
ൌ ૡ࢞૜
െ ૚૛࢞૛
࢟ ൅ ૟࢞࢟૛
െ ࢟૜
൅ ࢞૜
൅ ૟࢞૛
࢟ ൅ ૚૛࢞࢟૛
൅ ૡ࢟૜
െ ൫࢞૜
൅ ࢞૛
࢟ െ ૝࢟૛
࢞ െ ૝࢟૜
൯
ൌ ૡ࢞૜
െ ૚૛࢞૛
࢟ ൅ ૟࢞࢟૛
െ ࢟૜
൅ ࢞૜
൅ ૟࢞૛
࢟ ൅ ૚૛࢞࢟૛
൅ ૡ࢟૜
െ ࢞૜
െ ࢞૛
࢟ ൅ ૝࢟૛
࢞ ൅ ૝࢟૜
ൌ ሺૡ࢞૜
൅ ࢞૜
െ ࢞૜ሻ ൅ ሺെ૚૛࢞૛
࢟ ൅ ૟࢞૛
࢟ െ ࢞૛
࢟ሻ ൅ ሺ૟࢞࢟૛
൅ ૚૛࢞࢟૛
൅ ૝࢟૛
࢞ሻ ൅ ሺെ࢟૜
൅ ૡ࢟૜
൅ ૝࢟૜ሻ
ൌ ૡ࢞૜
െ ૠ࢞૛
࢟ ൅ ૛૛࢞࢟૛
൅ ૚૚࢟૜
Por ejemplo:
¿Cuál es el desarrollo de ሺ࢞ ൅ ࢟ ൅ ࢠሻ૛
?
Para aplicar este producto notable, se agrupa ሺ࢞ ൅ ࢟ሻ y se considera como si fuera un solo
término, así: ሺ࢞ ൅ ࢟ ൅ ࢠሻ૛
ൌ ሾሺ࢞ ൅ ࢟ሻ ൅ ࢠሿ૛
. Luego, se aplica el producto notable del cuadrado
de una suma, donde el primer término es ࢞ ൅ ࢟ y el segundo término es ࢠ.
ሾሺ࢞ ൅ ࢟ሻ ൅ ࢠሿ૛
ൌ ሺ࢞ ൅ ࢟ሻ૛
൅ ૛ሺ࢞ ൅ ࢟ሻሺࢠሻ ൅ ሺࢠሻ૛
ൌ ࢞૛
൅ ૛࢞࢟ ൅ ࢟૛
൅ ૛ሺ࢞ ൅ ࢟ሻሺࢠሻ ൅ ሺࢠሻ૛
ൌ ࢞૛
൅ ૛࢞࢟ ൅ ࢟૛
൅ ૛࢞ࢠ ൅ ૛࢟ࢠ ൅ ࢠ૛
ൌ ࢞૛
൅ ࢟૛
൅ ࢠ૛
൅ ૛࢞࢟ ൅ ૛࢞ࢠ ൅ ૛࢟ࢠ

15. 15 | P á g i n a
Matemática 2° Año Prof. Johan Goyo
Unidad II Productos Notables
Ejercicios F.1:
- Resuelve las siguientes operaciones y simplifica el resultado.
1. ሺ૛࢞ ൅ ૞ሻ૛
൅ ૛ . ሺ૛࢞ ൅ ૞ሻ . ሺ૛࢞ െ ૞ሻ ൅ ሺ࢞ െ ૜ሻ૛
2. ൣሺ࢞ ൅ ૚ሻ૜
െ ሺ࢞ െ ૚ሻ૜
൧ . ሺ࢞ ൅ ૚ሻ . ሺ࢞ െ ૚ሻ
3. ሺࢠ ൅ ૚ሻ૝
4. ሺ૛࢞ ൅ ࢟ሻ . ሺ૛࢞ െ ࢟ሻ ൅ ሺ࢞ ൅ ૛࢟ሻ૛
െ ሺ࢞ െ ࢟ሻ૜
5. ሺ૛࢞ ൅ ૜࢟ െ ૝ࢠሻ . ሺ૛࢞ െ ૜࢟ ൅ ૝ࢠሻ
6. ሺ࢞ ൅ ࢟ ൅ ૚ሻሺ࢞ െ ࢟ െ ૚ሻ
7. ሺ૛࢞ ൅ ૜࢟ െ ૞ሻ૛
8. Efectuar ሺࢇ ൅ ࢈ ൅ ࢉሻ . ሺࢇ ൅ ࢈ െ ࢉሻ Incluir el resultado como fórmula en la hoja de resumen
9. Efectuar ሺࢇ ൅ ࢈ ൅ ࢉሻ . ሺࢇ െ ࢈ െ ࢉሻ Incluir el resultado como fórmula en la hoja de resumen
Lenguaje y Matemática:
Decir: “El cuadrado de una suma” es diferente a decir: “La suma de dos cuadrados”. En el primer
caso es ሺࢇ ൅ ࢈ሻ૛
y en el segundo ࢇ૛
൅ ࢈૛
.

16. 16 | P á g i n a
Matemática 2° Año Prof. Johan Goyo
Unidad II Productos Notables
G. Resumen:
Cuadrado de una suma:
ሺࢇ ൅ ࢈ሻ૛
ൌ ࢇ૛
൅ ૛ࢇ࢈ ൅ ࢈૛
Cuadrado de una diferencia:
ሺࢇ െ ࢈ሻ૛
ൌ ࢇ૛
െ ૛ࢇ࢈ ൅ ࢈૛
Producto de una suma por una diferencia
ሺࢇ ൅ ࢈ሻሺࢇ െ ࢈ሻ ൌ ሺࢇ െ ࢈ሻሺࢇ ൅ ࢈ሻ ൌ ࢇ૛
െ ࢈૛
Producto de dos binomios con un término en común /
Producto de binomios de la forma ሺ࢞ ൅ ࢇሻሺ࢞ ൅ ࢈ሻ :
ሺ࢞ ൅ ࢇሻ . ሺ࢞ ൅ ࢈ሻ ൌ ࢞૛
൅ ሺࢇ ൅ ࢈ሻ. ࢞ ൅ ࢇ. ࢈
Cubo de una suma:
ሺࢇ ൅ ࢈ሻ૜
ൌ ‫܉‬૜
൅ ૜‫܉‬૛
‫܊‬ ൅ ૜‫܊܉‬૛
൅ ‫܊‬૜
Cubo de una diferencia:
ሺࢇ െ ࢈ሻ૜
ൌ ‫܉‬૜
െ ૜‫܉‬૛
‫܊‬ ൅ ૜‫܊܉‬૛
െ ‫܊‬૜
Triángulo de Pascal
ሺࢇ ൅ ࢈ሻ૙
૚
ሺࢇ ൅ ࢈ሻ૚
૚ ૚
ሺࢇ ൅ ࢈ሻ૛
૚ ૛ ૚
ሺࢇ ൅ ࢈ሻ૜
૚ ૜ ૜ 1
ሺࢇ ൅ ࢈ሻ૝
૚ ૝ ૟ ૝ ૚
ሺࢇ ൅ ࢈ሻ૞
૚ ૞ ૚૙ ૚૙ ૞ ૚
ሺࢇ ൅ ࢈ሻ૟
૚ ૟ ૚૞ ૛૙ ૚૞ ૟ ૚
ሺࢇ ൅ ࢈ሻૠ
૚ ૠ ૛૚ ૜૞ ૜૞ ૛૚ ૠ ૚
ሺࢇ ൅ ࢈ሻૡ
• Completa el triángulo de Pascal para la fila 9.
Desarrollo de ሺࢇ ൅ ࢈ሻ૝
ൌ ࢇ૝
൅ ૝ࢇ૜
࢈ ൅ ૟ࢇ૛
࢈૛
൅ ૝ࢇ࢈૜
൅ ࢈૝
. Calcula ሺࢇ െ ࢈ሻ૝
y ሺࢇ ൅ ࢈ሻ૞
∗ ሺࢇ ൅ ࢈ሻ࢔
ൌ ࢇ࢔
൅ ࢔ࢇ࢔ି૚
࢈ ൅
࢔ሺ࢔ െ ૚ሻ
૛!
ࢇ࢔ି૛
࢈૛
൅
࢔ሺ࢔ െ ૚ሻሺ࢔ െ ૛ሻ
૜!
ࢇ࢔ି૜
࢈૜
൅ ⋯ ൅ ࢔ࢇ࢈࢔ି૚
൅ ࢈࢔
⋮
Blaise Pascal (1623-1662)
Matemático y Escritor francés

17. 17 | P á g i n a
Matemática 2° Año Prof. Johan Goyo
Unidad II Productos Notables
Respuestas a los ejercicios propuestos:
Ejercicios A.1:
1) ࢓૛
൅ ૟࢓ ൅ ૢ
2) ࢞૛
൅ ૚૙࢞ ൅ ૛૞
3) ૝࢞૝
൅ ૚૛࢞૛
൅ ૢ
4) ૜૟ࢇ૛
൅ ૚૛ࢇ࢈ ൅ ࢈૛
5) ૢ࢓૛૙
൅ ૚૛࢓૚૛
൅ ૝࢓૝
6) ૚૟࢓૛
൅ ૠ૛࢓ ൅ ૡ૚
7) ࢞૛
൅ ૛࢞࢟ ൅ ࢟૛
8) ૝࢞૛
࢟૛
൅ ૝࢞࢟૜
൅ ࢟૝
9) ૝ૢࢠ૛
൅ ૛ࢠ૜
൅
૚
૝ૢ
ࢠ૝
10) ૛૞ࢇ૟
൅ ૞ࢇ૝
൅
૚
૝
ࢇ૛
11) ࢞૛
൅ ૛࢞ࢎ ൅ ࢎ૛
12) ࢇ૝
࢞૛
൅ ૛ࢇ૛
࢞࢈࢟૛
൅ ࢈૛
࢟૝
13) ࢞૛
࢟૛
ࢠ૛
൅
૝
૜
࢞࢟૛
ࢠ ൅
૝
ૢ
࢟૛
14) ૢ࢞૛࢓
൅ ૚૛࢞૜࢓
൅ ૝࢞૝࢓
15)
࢞૝࢟૛
૝
൅
࢞૛࢟
૜
൅
૚
ૢ
;
૚
૝
࢞૝
࢟૛
൅
૚
૜
࢞૛
࢟ ൅
૚
ૢ
16)
ૢ
࢞૝ ൅
૚૛࢟
ࢇ
൅
૝࢞૝࢟૛
ࢇ૛
17) ࢇ૛
࢞૝࢓
൅ ૛ࢇࢉ࢞૝࢓
൅ ࢉ૛
࢞૝࢓
18) ࢞૛ࢇା૛
൅ ૛࢞૜ࢇ
൅ ࢞૝ࢇି૛
19) ࢟૛
൅ ࢟ ൅
૚
૝
20) Es igual sabiendo que:
∗∗∗∗ ሺെ࢞ െ ࢇሻ૛
ൌ ሾሺെ࢞ሻ ൅ ሺെࢇሻሿ૛
ൌ ࢞૛
൅ ૛ࢇ࢞ ൅ ࢇ૛
* ሺ࢞ ൅ ࢇሻ૛ ൌ ࢞૛ ൅ ૛ࢇ࢞ ൅ ࢇ૛
Ejercicios B.1:
1) ࢇ૛
െ ૟ࢇ ൅ ૢ
2) ࢞૛
െ ૚૝࢞ ൅ ૝ૢ
3) ૡ૚ െ ૚ૡࢇ ൅ ࢇ૛
4) ૝ࢇ૛
െ ૚૛ࢇ࢈ ൅ ૢ࢈૛
5)
૚
૜૟
࢞૛
െ
૚
૜
࢞࢟ ൅ ࢟૛
;
࢞૛
૜૟
െ
࢞࢟
૜
൅ ࢟૛
6) ૚૟ࢇ૛
࢞૛
െ ૡࢇ࢞ ൅ ૚
7) ૚ െ ૛࢞࢟૛
൅ ࢞૛
࢟૝
8) ࢞૟
െ ૛࢞૜
൅ ૚
9) ૝࢞૛
࢟૝
െ ૚૟ ൅
૚૟
࢞૛࢟૝
10) ૚૙૙࢞૟
െ ૛૙࢞૜
൅ ૚
11)
ࢇ૝࢈૟
૝
െ
ࢇ૞࢈૞
૛
൅
ࢇ૟࢈૝
૝
;
૚
૝
ࢇ૝
࢈૟
െ
૚
૛
ࢇ૞
࢈૞
൅
૚
૝
ࢇ૟
࢈૝
12) ૝࢞૛࢓
െ ૝࢞૝࢓
൅ ࢞૟࢓
13) ࢇ૛
࢞૝࢓
െ ૛ࢇ࢞૜࢓
൅ ࢞૛࢓
14)
૚
࢟૛ െ
૛
࢟
൅ ૚
15) ૚ ൅ ૝ࢇ૛
൅ ૝ࢇ૝
16) Son expresiones diferentes pues,
ሺ࢞ െ ࢇሻ૛
ൌ ࢞૛
െ ૛ࢇ࢞ ൅ ࢇ૛
y ࢞૛
െ ࢇ૛
le falta el término – ૛ࢇ࢞ y además, el
signo de ࢇ૛
es positivo
Ejercicios C.1:
1) ࢞૛
െ ࢟૛
2) ࢓૛
െ ࢔૛
3) ࢔૛
െ ૚
4) ࢇ૛
െ ࢞૛
5) ࢞૝
െ ࢇ૝
6) ૝ࢇ૛
െ ૚
7) ࢞૛
െ ૚૙૙
8) ࢇ૛
െ ࢈૛
9)
ࢇ૛
ૢ
െ
ࢇ૛࢈૛
૝
;
૚
ૢ
ࢇ૛
െ
૚
૝
ࢇ૛
࢈૛
Adicional:
Demuestra: ¿Por qué? ሺࢇ െ ࢈ሻ૛ ൌ ሺ࢈ െ ࢇሻ૛
ࢇ૛
െ ૛ࢇ࢈ ൅ ࢈૛
ൌ ࢈૛
െ ૛ࢇ࢈ ൅ ࢇ૛
ࢇ૛
െ ૛ࢇ࢈ ൅ ࢈૛
ൌ ࢇ૛
െ ૛ࢇ࢈ ൅ ࢈૛

18. 18 | P á g i n a
Matemática 2° Año Prof. Johan Goyo
Unidad II Productos Notables
10) ࢓૛
࢔૛
࢖૛
െ ૚
11) ૜૟࢞૜
൅ ૟࢓૛
࢞૜
െ ૟࢓૛
࢞૛
െ ࢓૝
࢞૛
12) ࢟૛
െ ૚૟࢞૝
; െ૚૟࢞૝
൅ ࢞૛
13)
૝
ૢ
െ ૚૟ࢠ૛
14)
૚૛૚
ૢ
࢞૝
࢟૝
െ
૚
૚૟
࢟૛
;
૚૛૚࢞૝࢟૝
ૢ
െ
࢟૛
૚૟
Ejercicios D.1:
1) ࢇ૛
൅ ૜ࢇ ൅ ૛
2) ࢞૛
െ ࢞ െ ૟
3) ࢓૛
െ ૚૚࢓ ൅ ૜૙
4) ࢞૛
൅ ૟࢞ െ ૠ
5) ࢞૛
െ ࢞ െ ૛
6) ࢞૛
൅ ࢞ െ ૛
7) ࢇ૝
െ ૝ࢇ૛
െ ૝૞
8) െ૛ ൅ ࢞૛
൅ ࢞૝
9) ࢞૛૙
െ ૚૚࢞૚૙
൅ ૚૙
10) ࢈૛࢔
൅ ૞࢈࢔
൅ ૟
11) ૢ࢞૛
െ ૝૛࢞ ൅ ૝૙
12) ૝࢞૛
െ
ૠ૝
૚૞
࢞ ൅
૝
૜
13) ૚૟࢞૛࢓
࢟૛
െ
ૠ
૞
࢞࢓
࢟ െ
૜
૚૙
14)
࢖૛
૛૞
൅
૜࢖
૞
െ ૚૙ ;
૚
૛૞
࢖૛
൅
૜
૞
࢖ െ ૚૙
Ejercicios E.1:
1) ࢇ૜
൅ ૟ࢇ૛
൅ ૚૛ࢇ ൅ ૡ
2) ࢞૜
െ ૜࢞૛
൅ ૜࢞ െ ૚
3) ૡ࢞૜
൅ ૚૛࢞૛
࢟ ൅ ૟࢞࢟૛
൅ ࢟૜
4) ૛ૠࢇ૜
െ ૛ૠࢇ૛
൅ ૢࢇ െ ૚
5) ૚ െ ૜࢞ ൅ ૜࢞૛
െ ࢞૜
6) ૚ ൅ ૢ࢟ ൅ ૛ૠ࢟૛
൅ ૛ૠ࢟૜
7)
࢞૜
ૡ
൅
૜
૛
࢞૛
൅ ૟࢞ ൅ ૡ
8) ࢇ૟
െ ૟ࢇ૝
࢈ ൅ ૚૛ࢇ૛
࢈૛
െ ૡ࢈૜
9) ࢞ૢ
െ ૜࢞૟
࢟૜
൅ ૜࢞૜
࢟૟
െ ࢟ૢ
10) ૡ࢓૚૞
൅ ૚૛࢓૚૙
࢔૞
൅ ૟࢓૞
࢔૚૙
൅ ࢔૚૞
11) െ૛ૠ ൅ ૞૝࢟ െ ૜૟࢟૛
൅ ૡ࢟૜
12) ૚૙૙૙࢞૜
࢟૜
െ ૚૞૙૙࢞૜
࢟૛
൅ ૠ૞૙࢞૜
࢟ െ ૚૛૞࢞૜
13) ૡࢇ૜
࢈૟
൅ ૡ૝ࢇ૛
࢈૝
࢟ ൅ ૛ૢ૝ࢇ࢈૛
࢟૛
൅ ૜૝૜࢟૜
14) Calcula el producto de ሺ૜ െ ૞ሻ૜
a través de dos métodos:
a) ሺ૜ െ ૞ሻ૜
ൌ ሺെ૛ሻ૜
ൌ െૡ
b) ሺ૜ െ ૞ሻ૜
ൌ ሺ૜ሻ૜
െ ૜ሺ૜ሻ૛
ሺ૞ሻ ൅ ૜ሺ૜ሻሺ૞ሻ૛
൅ ሺ૞ሻ૜
ൌ ૛ૠ െ ૚૜૞ ൅ ૛૛૞ െ ૚૛૞ ൌ ૛૞૛ െ ૛૟૙ ൌ െૡ
c) Iguales
15) No es igual ሺ࢞ െ ࢇሻ૜
ൌ ࢞૜
െ ૜࢞૛
ࢇ ൅ ૜࢞ࢇ૛
െ ࢇ૜
ሺࢇ െ ࢞ሻ૜
ൌ ࢇ૜
െ ૜ࢇ૛
࢞ ൅ ૜ࢇ࢞૛
െ ࢞૜
. ࡭࢙í, ሺ࢞ െ ࢇሻ૜
് ሺࢇ െ ࢞ሻ૜
(por el signo negativo).
Ejercicios F.1:
1) ૚૜࢞૛
൅ ૚૝࢞ െ ૚૟
2) ૟࢞૝
െ ૝࢞૛
െ ૛
3) ࢠ૝
൅ ૝ࢠ૜
൅ ૟ࢠ૛
൅ ૝ࢠ ൅ ૚
4) ૞࢞૛ ൅ ૜࢟૛ ൅ ૝࢞࢟ െ ࢞૜ ൅ ૜࢞૛࢟ െ ૜࢞࢟૛ ൅ ࢟૜
5) ૝࢞૛
െ ૢ࢟૛
൅ ૛૝࢟ࢠ െ ૚૟ࢠ૛
6) ࢞૛
െ ࢟૛
െ ૛࢟ െ ૚
7) ૝࢞૛ ൅ ૚૛࢞࢟ െ ૛૙࢞ ൅ ૢ࢟૛ െ ૜૙࢟ ൅ ૛૞
8) ࢇ૛
൅ ૛ࢇ࢈ ൅ ࢈૛
െ ࢉ૛
9) ࢇ૛
െ ࢈૛
െ ૛࢈ࢉ െ ࢉ૛
Adicional: Piensa: Si ࢇ ൌ ࢈ ൅ ૜ ¿Cuánto vale ሺࢇ െ ࢈ሻ૜?
Si ࢇ ൌ ࢈ ൅ ૜ → ࢇ െ ࢈ ൌ ૜ (*), como ሺࢇ െ ࢈ሻ૜
, sustituyendo de (*) entonces ሺ૜ሻ૜
ൌ ૛ૠ

19. 19 | P á g i n a
Matemática 2° Año Prof. Johan Goyo
Unidad II Productos Notables
Referencias Bibliográficas
Baldor, Aurelio. (1980). Álgebra. Madrid: Cultural Centroamericana.
Fundación Polar. (2004). Matemática para Todos. Fascículo 6. Caracas: Autor.
Suárez, Estrella; Durán, Darío. (2004). Matemática 8. Caracas: Santillana.
Ministerio de Educación. (1987). Programa de Estudio y Manual del Docente.
Diversificado. Matemática. Caracas: Autor.
MAPLESOFT. (2007). Programa MAPLE Versión 11. Waterloo Maple Inc.