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ECUACIONES DIFERENCIALES CON BERNOULLI
El documento trata sobre las ecuaciones diferenciales de Bernoulli, proporcionando su definición y el procedimiento para resolverlas transformándolas en ecuaciones lineales. Incluye ejemplos detallados de aplicaciones prácticas y pasos necesarios para resolver ecuaciones específicas siguiendo el método de cambio de variable. Se mencionan fórmulas y técnicas asociadas al tema, con ilustraciones de cómo aplicar estos conceptos a diversas ecuaciones diferenciales.
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- 1. Capítulo II ECUACIONES DIFERENCIALES BERNOULLI ING.LEODAN H. CONDORI QUISPE
- 2. E. D. DEBERNOULLI A. DEFINICION: También se conoce con el nombre de BERNQULLI y está representada por la siguiente ecuación: B. SOLUCIÓN: Para resolver este tipo de ecuaciones (1), primero se transforma a una ecuación diferencial lineal, mediante el procedimiento siguiente : 1º A la ecuación (1) se le multiplica por 𝒚−𝒏 , quedando de la siguiente forma: 2º A la ecuación (2) multiplicar por (𝟏 − 𝐧), quedando de la siguiente forma: ING. LEODAN H. CONDORI QUISPE 2 𝒅𝒚 𝒅𝒙 + 𝑷 𝒙 𝒚 = 𝑸 𝒙 𝒚 𝒏 ; 𝒏 ≠ 𝟏 … … … … … … (𝟏) 𝒚−𝒏 𝒅𝒚 𝒅𝒙 + 𝑷 𝒙 𝒚 𝟏−𝒏 = 𝑸 𝒙 … … … … … (𝟐) 𝟏 − 𝒏 𝒚−𝒏 𝒅𝒚 𝒅𝒙 + 𝟏 − 𝒏 𝑷 𝒙 𝒚 𝟏−𝒏 = 𝟏 − 𝒏 𝑸 𝒙 … … (𝟑)
- 3. E. D. DEBERNOULLI 3º Realizar el siguiente cambio de variable en la ecuación (3): 4º Reemplazar la ecuación (4) en (3): 5º Resolver la ecuación diferencial aplicando la fórmula adecuada de E. D. Lineal de 1er Orden: ING. LEODAN H. CONDORI QUISPE 3 𝒛 = 𝒚 𝟏−𝒏 ⇨ 𝒅𝒛 𝒅𝒙 = 𝟏 − 𝒏 𝒚−𝒏 𝒅𝒚 𝒅𝒙 … … … . … … (𝟒) 𝒅𝒛 𝒅𝒙 + 𝟏 − 𝒏 𝑷 𝒙 𝒛 = 𝟏 − 𝒏 𝑸 𝒙 … … (𝟑)
- 4. E. D. DEBERNOULLI C. EJERCICIOS DE APLICACIÓN: 𝟏). 𝟐𝒙 𝒅𝒚 𝒅𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝒙𝒚 𝟑 SOLUCION 1º Expresar/adecuar a una E.D. de Bernoulli ⇨ 𝟐𝒙 𝒅𝒚 𝒅𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝒙𝒚 𝟑 (𝒅𝒊𝒗𝒊𝒅𝒊𝒓 𝒂 𝒍𝒂 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒑𝒐𝒓 "𝟐𝒙") ⇨ 𝟐𝒙 𝟐𝒙 𝒅𝒚 𝒅𝒙 + 𝟐 𝟐𝒙 𝒚 = 𝒙 𝟐𝒙 𝒚 𝟑 ⇨ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 + 𝟏 𝒙 𝒚 = 𝟏 𝟐 𝒚 𝟑 P(x) Q(x) ING. LEODAN H. CONDORI QUISPE 4 𝒅𝒚 𝒅𝒙 + 𝑷 𝒙 𝒚 = 𝑸 𝒙 𝒚 𝒏 n=3
- 5. E. D. DEBERNOULLI 2º Multiplicando a la ecuación por 𝒚−𝒏 𝒚−𝟑 , se tiene: ⇨ 𝒚−𝟑 𝒅𝒚 𝒅𝒙 + 𝟏 𝒙 𝒚−𝟑 . 𝒚 = 𝟏 𝟐 𝒚−𝟑 . 𝒚 𝟑 ⇨ 𝒚−𝟑 𝒅𝒚 𝒅𝒙 + 𝟏 𝒙 𝒚−𝟐 = 𝟏 𝟐 3º Multiplicando a la ecuación por 𝟏 − 𝒏 𝟏 − 𝟑 = −𝟐 , se tiene: ⇨ −𝟐 𝒚−𝟑 𝒅𝒚 𝒅𝒙 + −𝟐 𝟏 𝒙 𝒚−𝟐 = −𝟐 𝟏 𝟐 ⇨ −𝟐 𝒚−𝟑 𝒅𝒚 𝒅𝒙 − 𝟐 𝒙 𝒚−𝟐 = −𝟏 … … … … … … … … … … … … . (𝟏) 4º Cambiando variable 𝒛 = 𝒚 𝟏−𝒏 ⇨ 𝒛 = 𝒚 𝟏−𝟑 = 𝒚−𝟐 : ⇨ 𝒛 = 𝒚−𝟐 ⇨ 𝒅𝒛 𝒅𝒙 = −𝟐𝒚−𝟑 𝒅𝒚 𝒅𝒙 … … … … … … … … … … … … … … … … … … . . (𝟐) ING. LEODAN H. CONDORI QUISPE 5
- 6. E. D. DEBERNOULLI 5º Reemplazando (2) en (1) : ⇨ −𝟐 𝒚−𝟑 𝒅𝒚 𝒅𝒙 − 𝟐 𝒙 𝒚−𝟐 = −𝟏 ⇨ 𝒅𝒛 𝒅𝒙 − 𝟐 𝒙 𝒛 = −𝟏 P(x) Q(X) 6º Aplicando la fórmula adecuada, se tiene: ⇨ 𝐳 = 𝒆− 𝑷 𝒙 𝒅𝒙 𝒆 𝑷 𝒙 𝒅𝒙 . 𝑸 𝒙 𝒅𝒙 + 𝑪 ⇨ 𝐳 = 𝒆− − 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 𝒆 − 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 . −𝟏 𝒅𝒙 + 𝑪 ⇨ 𝐳 = 𝒆 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 𝒆− 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 . −𝟏 𝒅𝒙 + 𝑪 ING. LEODAN H. CONDORI QUISPE 6
- 7. E. D. DEBERNOULLI ⇨ 𝐳 = 𝒆 𝟐𝑳𝒏𝒙 𝒆−𝟐𝑳𝒏𝒙 . −𝟏 𝒅𝒙 + 𝑪 ⇨ 𝐳 = 𝒆 𝑳𝒏𝒙 𝟐 − 𝒆 𝑳𝒏𝒙−𝟐 𝒅𝒙 + 𝑪 (𝒂𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒏𝑳𝒏𝒙 = 𝑳𝒏𝒙 𝒏 ) ⇨ 𝐳 = 𝒙 𝟐 − 𝒙−𝟐 𝒅𝒙 + 𝑪 (𝒂𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒆 𝑳𝒏𝒙 = 𝒙) ⇨ 𝐳 = 𝒙 𝟐 − 𝒙−𝟏 −𝟏 + 𝑪 ⇨ 𝐳 = 𝒙 𝟐 𝒙−𝟏 + 𝑪 ⇨ 𝐳 = 𝒙−𝟏 𝒙 𝟐 + 𝑪𝒙 𝟐 ⇨ 𝒚−𝟐 = 𝒙 + 𝑪𝒙 𝟐 ING. LEODAN H. CONDORI QUISPE 7
- 8. E. D. DEBERNOULLI 𝟐). 𝟖𝒙𝒚′ − 𝒚 = 𝟏 𝒚 𝟑 𝒙 + 𝟏 SOLUCION 1º Expresar/adecuar a una E.D. de Bernoulli ⇨ 𝟖𝒙𝒚′ − 𝒚 = 𝟏 𝒚 𝟑 𝒙 + 𝟏 (𝒅𝒊𝒗𝒊𝒅𝒊𝒓 𝒂 𝒍𝒂 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒑𝒐𝒓 "𝟖𝒙") ⇨ 𝟖𝒙 𝟖𝒙 𝒚′ − 𝒚 𝟖𝒙 = 𝟏 (𝟖𝒙)𝒚 𝟑 𝒙 + 𝟏 ⇨ 𝒚′ − 𝟏 𝟖𝒙 𝒚 = 𝟏 𝟖𝒙 𝒙 + 𝟏 𝒚−𝟑 ⇨ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 − 𝟏 𝟖𝒙 𝒚 = 𝟏 𝟖𝒙 𝒙 + 𝟏 𝒚−𝟑 P(x) Q(x) ING. LEODAN H. CONDORI QUISPE 8 𝒅𝒚 𝒅𝒙 + 𝑷 𝒙 𝒚 = 𝑸 𝒙 𝒚 𝒏 n=-3
- 9. E. D. DEBERNOULLI 2º Multiplicando a la ecuación por 𝒚−𝒏 𝒚−(−𝟑) = 𝒚 𝟑 , se tiene: ⇨ 𝒚 𝟑 𝒅𝒚 𝒅𝒙 − 𝟏 𝟖𝒙 𝒚 𝟑 . 𝒚 = 𝟏 𝟖𝒙 𝒙 + 𝟏 𝒚 𝟑 . 𝒚−𝟑 ⇨ 𝒚 𝟑 𝒅𝒚 𝒅𝒙 − 𝟏 𝟖𝒙 𝒚 𝟒 = 𝟏 𝟖𝒙 𝒙 + 𝟏 3º Multiplicando a la ecuación por 𝟏 − 𝒏 𝟏 − (−𝟑) = 𝟒 , se tiene: ⇨ 𝟒𝒚 𝟑 𝒅𝒚 𝒅𝒙 − 𝟒 𝟏 𝟖𝒙 𝒚 𝟒 = 𝟒 𝟏 𝟖𝒙 𝒙 + 𝟏 ⇨ 𝟒𝒚 𝟑 𝒅𝒚 𝒅𝒙 − 𝟏 𝟐𝒙 𝒚 𝟒 = 𝟏 𝟐𝒙 𝒙 + 𝟏 … … … … … … . … … … … … . (𝟏) 4º Cambiando variable 𝒛 = 𝒚 𝟏−𝒏 ⇨ 𝒛 = 𝒚 𝟏−(−𝟑) = 𝒚 𝟒 : ⇨ 𝒛 = 𝒚 𝟒 ⇨ 𝒅𝒛 𝒅𝒙 = 𝟒𝒚 𝟑 𝒅𝒚 𝒅𝒙 … … … … … … … … … … … … … … … … … … . . (𝟐) ING. LEODAN H. CONDORI QUISPE 9
- 10. E. D. DEBERNOULLI 5º Reemplazando (2) en (1) : ⇨ 𝟒𝒚 𝟑 𝒅𝒚 𝒅𝒙 − 𝟏 𝟐𝒙 𝒚 𝟒 = 𝟏 𝟐𝒙 𝒙 + 𝟏 ⇨ 𝒅𝒛 𝒅𝒙 − 𝟏 𝟐𝒙 𝒛 = 𝟏 𝟐𝒙 𝒙 + 𝟏 P(x) Q(X) 6º Aplicando la fórmula adecuada, se tiene: ⇨ 𝐳 = 𝒆− 𝑷 𝒙 𝒅𝒙 𝒆 𝑷 𝒙 𝒅𝒙 . 𝑸 𝒙 𝒅𝒙 + 𝑪 ⇨ 𝐳 = 𝒆 − − 𝟏 𝟐𝒙 𝒅𝒙 𝒆 − 𝟏 𝟐𝒙 𝒅𝒙 . 𝟏 𝟐𝒙 𝒙 + 𝟏 𝒅𝒙 + 𝑪 ⇨ 𝐳 = 𝒆 𝟏 𝟐 𝒅𝒙 𝒙 𝒆− 𝟏 𝟐 𝒅𝒙 𝒙 𝟏 𝟐𝒙 𝒙 + 𝟏 𝒅𝒙 + 𝑪 ING. LEODAN H. CONDORI QUISPE 10
- 11. E. D. DEBERNOULLI ⇨ 𝐳 = 𝒆 𝟏 𝟐 𝒅𝒙 𝒙 𝒆− 𝟏 𝟐 𝒅𝒙 𝒙 𝟏 𝟐𝒙 𝒙 + 𝟏 𝒅𝒙 + 𝑪 ⇨ 𝐳 = 𝒆 𝟏 𝟐 𝑳𝒏𝒙 𝒆− 𝟏 𝟐 𝑳𝒏𝒙 𝟏 𝟐𝒙 𝒙 + 𝟏 𝒅𝒙 + 𝑪 ⇨ 𝐳 = 𝒆 𝑳𝒏𝒙 𝟏 𝟐 𝒆 𝑳𝒏𝒙− 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐𝒙 𝒙 + 𝟏 𝒅𝒙 + 𝑪 (𝒂𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒏𝑳𝒏𝒙 = 𝑳𝒏𝒙 𝒏 ) ⇨ 𝐳 = 𝒙 𝟏 𝟐 𝒙− 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐𝒙 𝒙 + 𝟏 𝒅𝒙 + 𝑪 (𝒂𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒆 𝑳𝒏𝒙 = 𝒙) ⇨ 𝐳 = 𝒙 𝟏 𝟐 𝒙− 𝟏 𝟐 𝟐𝒙 𝒙 + 𝟏 𝒅𝒙 + 𝑪 ⇨ 𝐳 = 𝒙 𝟏 𝟐 𝒙− 𝟑 𝟐 𝟐 𝒙 + 𝟏 𝒅𝒙 + 𝑪 ING. LEODAN H. CONDORI QUISPE 11
- 12. EJERCICIOS DE APLICACIÓNNº 2 𝟏). 𝒙𝒚′ = 𝟐 𝒚 − 𝒙𝒚 𝑹𝒑𝒕𝒂. 𝟏𝟔𝒙𝒚 = 𝒚 + 𝟒𝒙 − 𝒄𝒙 𝟐 𝟐 𝟐). 𝒙𝒄𝒐𝒔𝒆𝒄 𝒚 𝒙 − 𝒚 𝒅𝒙 + 𝒙𝒅𝒚 = 𝟎 𝑹𝒑𝒕𝒂. 𝑳𝒏𝒌𝒙 = 𝒄𝒐𝒔 𝒚 𝒙 𝟑). 𝟐 𝟐𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 𝒅𝒙 − 𝒙𝒚𝒅𝒚 = 𝟎 𝑹𝒑𝒕𝒂. 𝒙 𝟒 = 𝒄 𝟐 𝟒𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 𝟒). 𝒚𝒅𝒙 = 𝒙 + 𝒚 𝟐 − 𝒙 𝟐 𝒅𝒚 𝑹𝒑𝒕𝒂. 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒚 = 𝑳𝒏 𝒌𝒚 𝟓). 𝒚′ = 𝒚 𝟐𝒙 𝟑 𝒚 𝟑 𝒙 𝟐𝒙 𝟑 − 𝟑𝒚 𝟑 𝑹𝒑𝒕𝒂. 𝒚 𝟑 = 𝒄𝒙𝒆 − 𝟐𝒙 𝟑 𝟑𝒚 𝟑 Resuelva las siguientes E. D.: (Pág. 52-Pág. 57) ING. LEODAN H. CONDORI QUISPE 12