2. E. D. DE BERNOULLI
A. DEFINICION:
También se conoce con el nombre de BERNQULLI y está representada por la
siguiente ecuación:
B. SOLUCIÓN:
Para resolver este tipo de ecuaciones (1), primero se transforma a una ecuación
diferencial lineal, mediante el procedimiento siguiente :
1º A la ecuación (1) se le multiplica por 𝒚−𝒏
, quedando de la siguiente forma:
2º A la ecuación (2) multiplicar por (𝟏 − 𝐧), quedando de la siguiente forma:
ING. LEODAN H. CONDORI QUISPE 2
𝒅𝒚
𝒅𝒙
+ 𝑷 𝒙 𝒚 = 𝑸 𝒙 𝒚 𝒏
; 𝒏 ≠ 𝟏 … … … … … … (𝟏)
𝒚−𝒏
𝒅𝒚
𝒅𝒙
+ 𝑷 𝒙 𝒚 𝟏−𝒏
= 𝑸 𝒙 … … … … … (𝟐)
𝟏 − 𝒏 𝒚−𝒏
𝒅𝒚
𝒅𝒙
+ 𝟏 − 𝒏 𝑷 𝒙 𝒚 𝟏−𝒏
= 𝟏 − 𝒏 𝑸 𝒙 … … (𝟑)
3. E. D. DE BERNOULLI
3º Realizar el siguiente cambio de variable en la ecuación (3):
4º Reemplazar la ecuación (4) en (3):
5º Resolver la ecuación diferencial aplicando la fórmula adecuada de E. D. Lineal
de 1er Orden:
ING. LEODAN H. CONDORI QUISPE 3
𝒛 = 𝒚 𝟏−𝒏
⇨
𝒅𝒛
𝒅𝒙
= 𝟏 − 𝒏 𝒚−𝒏
𝒅𝒚
𝒅𝒙
… … … . … … (𝟒)
𝒅𝒛
𝒅𝒙
+ 𝟏 − 𝒏 𝑷 𝒙 𝒛 = 𝟏 − 𝒏 𝑸 𝒙 … … (𝟑)
4. E. D. DE BERNOULLI
C. EJERCICIOS DE APLICACIÓN:
𝟏). 𝟐𝒙
𝒅𝒚
𝒅𝒙
+ 𝟐𝒚 = 𝒙𝒚 𝟑
SOLUCION
1º Expresar/adecuar a una E.D. de Bernoulli
⇨ 𝟐𝒙
𝒅𝒚
𝒅𝒙
+ 𝟐𝒚 = 𝒙𝒚 𝟑
(𝒅𝒊𝒗𝒊𝒅𝒊𝒓 𝒂 𝒍𝒂 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒑𝒐𝒓 "𝟐𝒙")
⇨
𝟐𝒙
𝟐𝒙
𝒅𝒚
𝒅𝒙
+
𝟐
𝟐𝒙
𝒚 =
𝒙
𝟐𝒙
𝒚 𝟑
⇨
𝒅𝒚
𝒅𝒙
+
𝟏
𝒙
𝒚 =
𝟏
𝟐
𝒚 𝟑
P(x) Q(x)
ING. LEODAN H. CONDORI QUISPE 4
𝒅𝒚
𝒅𝒙
+ 𝑷 𝒙 𝒚 = 𝑸 𝒙 𝒚 𝒏
n=3