Programación lineal

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
QUINTO SEMESTRE “A”
UNIRESIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO
FACULTAD DE CIENCIAS POLITICAS Y ADMINSITRATIVAS
CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÌA
PROGRAMACIÓN LINEAL
EJERCICIOS EN CLASES
NOMBRE: JESSICA PÈREZ
DOCENTE: MARLON VILLA VILLA
2014- 2015

PROGRAMACIÓN LINEAL
GRÁFICADE DESIGUALDADES
 EJERCICIO N° 1
2X1 + 4X2 ≤ 12
X1 X2
0
6
3
0
1) Escojo un punto de ensayo. Recomendado: P(0,0)
2) Determino si el punto de ensayo satisface la desigualdad
RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO GRÁFICO
 EJERCICIO N° 3
Una compañía de auditores se especializa en preparar liquidaciones y auditorías
de Empresas.Tienen interés en saber cuántas auditorías y liquidaciones pueden
realizar mensualmente para maximizar sus ingresos. Se dispone de 800 horas
de trabajo directo y 320 horas para revisión. Una auditoría en promedio requiere

de 40 horas de trabajo directo y 10 horas de revisión, además aporta un ingreso
de $300. Una liquidación de impuesto requiere de 8 horas de trabajo directo y de
5 horas de revisión, produce un ingreso de $100. El máximo de liquidaciones
mensuales disponible es de 60.
LIQUIDACIONES AUDITORÍAS DISPONGO DE:
X1 X2
HORAS DE TRABAJO 8 40 800
HORAS DE REVISIÓN 5 10 320
UTILIDAD 100 300
FUNCIÓN OBJETIVO
MAXIMIZAR:
Z=100X1+300X2
S.a.
8X1+40X2 ≤ 800
5X1+10X2 ≤ 320
X1 ≤ 60
Cond. Téc. X1, X2 ≥ 0
8X1+40X2 = 800
X1 X2
0
100
20
0
8(0)+40(0) ≤ 800
0 ≤ 800 VERDADERO
5X1+10X2 = 320
X1 X2
0
64
32
0

5(0)+10(0) ≤ 320
0 ≤ 320 VERDADERO
X1 = 60
PUNTO X1 X2 Z
A 0 0 0
B 0 20 6000
C 40 12 7600
D 60 2 6600
E 60 0 6000
Para calcular los puntos C Y D por el método de eliminación

8X1+40X2 = 800
5X1+10X2 = 320 (-4)
8X1 + 40X2 = 800
-20X1 - 400X2 = -1280
-12X1 = - 480
X1 = 40
8(40) + 40X2 = 800
40X2 = 800 -320
X2 = 12
X1 = 60
5(60) + 10X2 = 320
10X2 = 320 – 300
X2 = 2
Solución Óptima (SO): Z =7600
Restricciones Activas (RA): 1,2
Restricciones Inactivas: (RI): 3
Variables Óptimas (VO): X1 = 40; X2 = 12

COMPROBACIÓN
1) 8 X1 + 40 X2 ≤ 800
8(40)+40(12) ≤ 800
320 + 480 ≤ 800
800 ≤ 800 Hay Equilibrio 8 X1 + 40 X2 + h1 = 800
8(40) + 40 (12) + h1 = 800
800 + h1 = 800
h1 = 0
2) 5 X1 + 10 X2 ≤ 320
5(40) + 10(12) ≤ 320
200 + 120 ≤ 320
320 ≤ 320 Hay equilibrio 5 X1 + 10 X2 + h2 = 320
5(40) + 10(12) + h2 = 320
200 + 120 + h2 = 320
h2 = 0
3) X1 ≤ 60
40 ≤ 60 Hay Holgura X1 + h3 = 60
40 + h3 = 60
h3 = 20
Entonces, para maximizar los ingresos se debe hacer 40 liquidaciones y 12 auditorías
para tener un ingreso de $7600.
Además existe una holgura de 20 liquidaciones respecto al límite máximo de
liquidaciones posibles en el mes.
CONCEPTOS:
Maximización: representa el punto más lejos del origen.
Minimización: representa el punto más cercano al origen.
Arco Convexo: Sector de posibles soluciones limitado por cada contorno de las
ecuaciones.
RESTRICCIONES ACTIVAS E INACTIVAS
Restricciones Activas.- aquellas rectas que son parte de la solución, se cumple la
igualdad al sustituir las variables.
Restricciones Inactivas.- aquellas rectas que no forman parte de la solución.
HOLGURAY EL EXCEDENTE
Variable de Holgura.- representa la cantidad de recursos no utilizados, para su cálculo
se la anota como +h en el miembro izquierdo de la desigualdad.
Variable de excedente.- representa la cantidad por encima de un nivel mínimo
requerido. Para su cálculo se la anota como -h en el miembro izquierdo de la
desigualdad.
Ambas variables deben cumplir con la condición de no negatividad; es decir deben ser
diferentes o mayores que cero.

 EJERCICIO N°4
Se va a organizar una planta de un taller de automóviles donde van a trabajar
electricistas y mecánicos. Por necesidades de mercado, es necesario que haya
mayor o igual número de mecánicos que de electricistas y que el número de
mecánicos no supere al doble que el de electricistas. En total hay disponibles
30 electricistas y 20 mecánicos. El beneficio de la Empresa por jornada es de
250 euros por electricista y 200 euros por mecánicos.
¿Cuántos trabajadores de cada clase deben elegirse para obtener el máximo
beneficio, y cuál es este?
FUNCIÓN OBJETIVO
MAX: Z= 200X1 + 250X2
VARIABLES:
X1= número de mecánicos
X2= número de electricistas
X1≥ X2
X1≤ 2X2
Lim. X2≤ 30
X1≤ 20
C.T X1, X2 ≥ 0
X1= X2 X1= 2X2 X2= 30 X1=20
0 ≥ 0 0 ≤ 2(0) 0 ≤ 30 0 ≤ 20
verdadero verdadero verdadero verdadero
PUNTOS X1 X2 Z
B 20 10 6500
C 20 20 9000
X1 X2
0
5
10
15
20
0
5
10
15
20
X1 X2
0
10
20
30
40
0
5
10
15
20

SOLUCIÓN ÓPTIMA
Z= 9000
V.O.
X1= 20
X2=20
RA=1, 4
RI= 2, 3
COMPROBACIÓN
1. X1≥ X2
20≥20 Hay equilibrio
2. X1≤ 2X2
20 ≤ 2(20)
20 ≤ 40 Hay holgura X1 + H1 = 2X2
20 + H1 = 2(20)
20 + H1 = 40
H1 = 40-20
H1 = 20
3. X2≤ 30
20 ≤ 30 Hay holgura X2 + H2 = 30
20 + H2 = 30
H2 = 10
4. X1≤20
20 ≤ 20 Hay equilibrio
PROFESIONALES DISPONIBLES HOLGURA EXCEDENTE
MECÁNICOS 20
ELECTRICISTAS 30 10

 EJERCICIO N°5
TIPOS DE SOLUCIONES
 Solución única
Función objetivo:
MIN: Z = 2X + 3Y
S.a. -3x+2y ≤ 6
x +y ≤ 10.5
-x+2y ≥ 4
C.T. X, Y ≥ 0
1) -3x+2y =6 2) X +y=10.5 3)-x+2y=4
0 ≤ 6 0 ≤ 105 0 ≥ 4
verdadero verdadero falso
X1 X2
0
-4
2
0
X1 X2
0
-2
3
0
X1 X2
0
10.5
10.5
0

PUNTOS X Y Z
A 0 2 6
SOLUCIÓN ÓPTIMA
Z=6
V.O.
X =0
Y= 2
RA=3
RI=1, 2
COMPROBACIÓN:
1) -3x+2y ≤ 6
-3(0)+2(2) ≤ 6
4 ≤ 6 Hay holgura -3(0)+2(2)+H1=6
4+H1=6
H1=3
2) x +y ≤ 10.5
0+2 ≤ 10.5
2 ≤ 10.5 Hay holgura (0)+2+H2=10.5
2+H2=10.5
H2=8.5
3) -x+2y ≥ 4
-0+2(2) ≥ 4
4 ≥4

 EJERCICIO N°5
 Solución múltiple
Función objetivo:
MAX: Z = 5/2X1 + X2
S.a.
3x1 + 5x2 ≤ 15
5x1 + 2x2 ≤ 10
C.T. x1; x2 ≥ 0
1) 3x1+5x2 ≤ 15 2)5X1 +2x2 ≤ 10
0 ≤ 15 0 ≤ 10
verdadero verdadero
SOLUCIÓN ÓPTIMA
Z=5
V.O
X1 =20/19
X2= 45/19
RA=1; 2
X1 X2
0
5
3
0
X1 X2
0
2
5
0

POSIBLES SOLUCIONES ÓPTIMAS
X1 Desde 20/19 Hasta 45/19
20/19 ≤ X1 ≤ 2
X2 0 ≤ X2 ≤ 45/19
Donde
Z = 5
Para calcular el Punto C
3x1+5x2 =15 (-2)
5X1 +2x2=10(5)
-6x1 - 10x2 =-30
25x1 +10x2 =50
19x1 0 =20
x1=20/19
3(20/19)+5x2 =15
60/19+5x2 =15
x2 =45/19
PUNTO C= (20/19; 45/19)
COMPROBACIÓN:
1) 3x1+5x2 ≤ 15
3(20/19)+5(45/19) ≤ 15
15 ≤ 15
2) 5X1 +2x2 ≤ 10
5(20/19)+2(45/19) ≤ 10
10 ≤10

 EJEMPLO N°7
 NO ACOTADO
Una de las variables de decisión puede asumir calores indefinidamente.
Función objetivo:
MAX: Z= 5000A + 4000B
S.a.
A+B≥5
A-3B≤0
30A+10B≥135
C.T. A; B ≥ 0
1) - A+B = 5 2) A-3B ≤ 0 3) 30A+10B = 135
A=3B
0 ≥ 5 0 ≤ 0 0 ≥ 135
Falso Verdad Falso
No acotada no hay solución
A B
0
5
5
0
A B
0
5
5
0

 EJERCICIO N° 8
Un frutero necesita 16 cajas de naranjas, 5 de plátanos y 20 de manzana. Dos
mayoristas pueden suministrarle para satisfacer sus necesidades, pero solo
venden la fruta en contenedores completos. El mayorista A envía en cada
contenedor 8 cajas de naranjas, 1 de plátanos y 2 de manzanas. El mayorista B
envía en cada contenedor 2 cajas de naranjas, 1 de plátanos y 7 de manzanas.
Sabiendo que el mayorista A se encuentra a 150 Km de distancia y el mayorista
B se encuentra a 300 Km, calcular cuántos contenedores habrá que comprar a
cada mayorista con objeto de ahorrar tiempo y dinero, reduciendo al mínimo la
distancia de lo solicitado.
FUNCIÓN OBJETIVO Z = 150A+ 300B
RESTRICCIONES
S.a.
8A + 2B ≥ 16
A + B ≥ 5
2A + 7B ≥ 20
C.T. A, B ≥ 0
1) 8A + 2B ≥ 16 2) A + B ≥ 5 3) 2A + 7B ≥ 20
0 ≥ 16 0 ≥ 5 0 ≥ 20
Falso Falso Falso
A B
0
2
8
0
A B
0
5
5
0
A B
10
0
0
2.86=3

PUNTOS X1 X2 Z
B 1 4 1350
C 3 2 1050
SOLUCIÓN OBJETIVO
Z= 1050
V.O.
A= 3
B= 2
RA= 2,3
RI= 1
COMPROBACIÓN
1. 8A +2B ≥ 16
8(3)+2(2) ≥ 16
24+4 ≥ 16
28 ≥ 16 Hay Excedente 8A +2B - H1 = 16
8(3)+2(2) - H1= 16
28 – H1 = 16
H1 = 12
2. A + B ≥ 5
3 + 2 ≥ 5
5 ≥ 5
3. 2A+7B ≥ 20
2(3)+7(2) ≥ 20
6+14 ≥ 20
20 ≥ 20
Este es un problema no acotado, pero si tiene solución.

 EJERCICIO N°9
 PROBLEMAS NO FACTIBLES
Tienen un conjunto factible vacío
FUNCIÓN OBJETIVO
MAX: Z= 3000E + 4000F
S.a.
E +F ≤ 5
E -3F ≤ 0
10E + 15F ≤ 150
20E + 10F ≤ 160
30E +10F ≥ 150
C.T. E,F ≥0
1.- E +F = 5 2.- E -3F = 0 3.- 10E + 15F = 150
0 ≤ 5 0 ≤ 0 0 ≤ 150
verdadero verdadero verdadero
4.- 20E + 10F = 160 5.- 30E +10F = 150
0 ≤ 160 0 ≥ 150
verdadero falso
E F
3
6
1
2
E F
0
5
5
0
E F
15
0
0
10
E F
0
8
16
0
E F
0
5
15
0

No tienen solución

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