El documento presenta 8 ejemplos de problemas de programación lineal con diferentes tipos de solución. El primer ejemplo es un problema acotado con solución óptima que busca maximizar la producción de dos productos químicos sujeto a restricciones en las materias primas disponibles. Los otros ejemplos incluyen problemas con solución múltiple, sin solución, o con infinitas soluciones y tratan temas como la producción de muebles, transporte y nutrición animal.

1. Investigación Operativa 2014
TAREA
FECHA: Lunes, 20 de Octubre del 2014
NOMBRE: Rosa Gavilanes B.
TEMA: “EJEMPLOS DE EJERCICIOS DE PROGRAMAIÓN LINEAL DE
ACUERDO A LOS TIPOS DE SOLUCIÓN POSIBLE”
Ejemplo 1.- ACOTADA CON SOLUCIÓN ÓPTIMA
RMC es una empresa pequeña que produce diversos productos químicos. En un
proceso de producción en particular se utilizan tres materia primas para elaborar
dos productos: un aditivo para combustible y una base disolvente. Para formar el
aditivo para combustible y la base de disolvente se mezcla tres materias primas,
según aparece en la siguiente tabla.
La producción de RMC está limitada por la disponibilidad de las tres materia
primas. Para el período de producción actual, RMC tiene disponibles las
cantidades siguientes de cada una de las materias primas.
El departamento de control de calidad ha analizado las cifras de producción,
asignando todos los costos correspondientes, y para ambos productos llegó a
precios que resultarán en una contribución a la utilidad de 40 dólares por tonelada
de aditivo para combustible producida y de 30 dólares por cada tonelada de base
disolvente producido. La administración de RMC, después de una análisis de la
demanda potencial, ha concluido que los precios establecidos asegurarán la venta
de todo el aditivo para combustible y de toda la base disolvente que se produzca.
1 Rosa Gavilanes B. Quinto Semestre CA.

2. Investigación Operativa 2014
El problema de RMC es determinar cuántas tonelada de cada producto deberá
producir para maximizar la contribución total de la utilidad.
MAXIMIZAR: 40 X1 + 30 X2
VARIABLES: X1.- toneladas de aditivo
X2.- toneladas de base disolvente
RESTRICCIONES:
0.4 X1 + 0.5 X2 ≤ 20
0 X1 + 0.2 X2 ≤ 5
0.6 X1 + 0.3 X2 ≤ 21
CONDICIÓN TÉCNICA.- X1, X2 ≥ 0
2 Rosa Gavilanes B. Quinto Semestre CA.

3. Investigación Operativa 2014
NOTA:
En color verde los puntos en los que se encuentra la solución.
En color rojo los puntos que no pertenecen a la región factible.
Z=1600 RA=1,3
VO RI= 2
X1=25
X2=20
COMPROBACIÓN
1) 0.4 X1 + 0.5 X2 ≤ 20
0.4 (25)+0,5 (20) ≤ 20
10 + 10 ≤ 20
20 ≤ 20
2) 0 X1 + 0.2 X2 ≤ 5
0,2 (20) ≤ 5
4 ≤ 5 Hay holgura 0.2 X2+H1= 5
3 Rosa Gavilanes B. Quinto Semestre CA.
0,2(20)+H1=5
H1=1
3) 0.6 X1 + 0.3 X2 ≤ 21
0,6(25)+0,3(20) ≤ 21
15 + 6 ≤ 21
21 ≤ 21
DISPONIBLE HOLGURA EXCEDENTE
MATERIA PRIMA 1 20
MATERIA PRIMA 2 5 1
MATERIA PRIMA 3 21
EJERCICIO 2.- ACOTADA CON SOLUCIÓN MÚLTIPLE (1)
Un fabricante de muebles produce 2 tipos de mesas: clásicas y modernas. Cada
mesa del modelo clásico requiere 4 horas de lijado y 3 horas de barnizado y deja
un beneficio de 200 euros. Cada mesa moderna necesita 3 horas de lijado y 4 de
barnizado y su beneficio es de 150 euros. Se dispone de 48 horas para lijado y 60

4. Investigación Operativa 2014
para barnizado. Si no deben fabricarse más de 9 mesas clásicas, ¿Cuál es la
producción que maximiza el beneficio?
MAXIMIZAR: 200 X1 + 150 X2
VARIABLES.- X1.- número de mesas del tipo clásico
X2.- número de mesas del tipo moderno
RESTRICCIONES
4 X1 + 3 X2 ≤ 48
3 X1 + 4 X2 ≤ 60
0 X1 + 1 X2 ≤ 9
CT X1, X2 ≥ 0
El problema tiene infinitas soluciones.
4 Rosa Gavilanes B. Quinto Semestre CA.

5. Investigación Operativa 2014
NOTA:
En color verde los puntos en los que se encuentra la solución.
En color rojo los puntos que no pertenecen a la región factible.
Z= 2400 RA= 1,3
VO RI= 2
5.25 ≤ X1 ≤ 12
0 ≤ X2 ≤ 9
COMPROBACIÓN
1) 4 X1 + 3 X2 ≤ 48
4(5.25)+3(9)≤48
21+27≤48
48≤48
2) 3 X1 + 4 X2 ≤ 60
3(5.25)+4(9)≤60
15.75+36≤60
51,75 ≤ 60 Existe Holgura 3 X1 + 4 X2 + H1= 60
5 Rosa Gavilanes B. Quinto Semestre CA.
3(5.25)+4(9)+H1 = 60
15.75+36+H1=60
H1=8,25
3) 0 X1 + 1 X2 ≤ 9
9 ≤ 9
DISPONIBLE HOLGURA EXCEDENTE
HORAS DE LIJADO 48
HORAS DE BARNIZADO 60 8,25
EJERCICIO 3.- NO ACOTADO CON SOLUCIÓN
Una empresa de transportes tiene dos tipos de camiones, los del tipo A con un
espacio refrigerado de 20 m3 y un espacio no refrigerado de 40 m3. Los del tipo B,
con igual cubicaje total, al 50% de refrigerado y no refrigerado. La contratan para
el transporte de 3 000 m3 de producto que necesita refrigeración y 4 000 m3 de
otro que no la necesita. El coste por kilómetro de un camión del tipo A es de 30 € y

6. Investigación Operativa 2014
el B de 40 €. ¿Cuántos camiones de cada tipo han de utilizarse para que el coste
total sea mínimo?
MINIMIZAR: 30 X1 + 40 X2
VARIABLES.- X1.- número de camiones tipo A
X2.- número de camiones tipo B
RESTRICCIONES
20 X1 + 30 X2 ≥ 3000
40 X1 + 30 X2 ≥ 4000
CT X1, X2 ≥ 0
El problema no está acotado pero como se trata de un problema de minimización
es posible encontrar una solución.
6 Rosa Gavilanes B. Quinto Semestre CA.

7. Investigación Operativa 2014
NOTA:
En color verde los puntos en los que se encuentra la solución.
En color rojo los puntos que no pertenecen a la región factible.
Z= 4180 RA= 1,2
7 Rosa Gavilanes B. Quinto Semestre CA.
RI= ninguna
VO
X1=50
X2=67
COMPROBACIÓN
1) 20 X1 + 30 X2 ≥ 3000
20(50)+30(67) ≥ 3000
1000+2010 ≥ 3000
3010 ≥ 3000 Existe Excedente 20 X1 + 30 X2 –H1 = 3000
20(50)+30(67) –H1= 3000
1000+2010 –H1= 3000
H1= 10
2) 40 X1 + 30 X2 ≥ 4000
40(50)+30(67) ≥ 4000
2000+2010≥4000
4010≥4000 Existe Excedente 40 X1 + 30 X2-H2= 4000
40(50)+30(67)-H2= 4000
2000+2010-H2=4000
H2=10

8. Investigación Operativa 2014
DISPONIBLE HOLGURA EXCEDENTE
ESPACIO REFRIGERADO 3000 10
ESPACIO NO
REFRIGERADO 4000 10
EJERCICIO 4.- NO ACOTADO SIN SOLUCIÓN
Maximizar Z= 3 X1 + 4 X2, sujeta a las restricciones siguientes:
X1 ≤ x2
X1 + X2 ≥ 2
MAXIMIZAR: 3 X1 + 4 X2
RESTRICCIONES
1 X1 -1 X2 = 0
1 X1 + 1 X2 ≥ 2
CT X1, X2 ≥ 0
El problema no está acotado.
8 Rosa Gavilanes B. Quinto Semestre CA.

9. Investigación Operativa 2014
NOTA:
En color verde los puntos en los que se encuentra la solución.
En color rojo los puntos que no pertenecen a la región factible.
No tiene solución
EJERCICIO 5.- NO ACOTADA CON MÚLTIPLES SOLUCIONES
Un ganadero debe suministrar un mínimo de 30 mg de vitamina A y de 35 mg de
tipo B por kg de pienso a sus animales. Dispone de dos clases de pienso R y S,
cuyos contenidos en mg de las vitaminas A y B por kg de pienso vienen dados en
por la tabla:
R S
A 6 6
B 5 10
El pienso R vale 0,24 €/kg y el S, 0,48 €/kg.
¿Cuántos kg de cada clase debe mezclar para suministrar el pienso de coste
mínimo? Y ¿Cuál es ese coste?
MINIMIZAR: 0.24 X1 + 0.48 X2
VARIABLES.- X1.- Pienso R
X2.- Pienso S
RESTRICCIONES
6 X1 + 6 X2 ≥ 30
5 X1 + 10 X2 ≥ 35
CT X1, X2 ≥ 0
9 Rosa Gavilanes B. Quinto Semestre CA.

10. Investigación Operativa 2014
El problema no está acotado pero como se trata de un problema de minimización
es posible encontrar una solución.
El problema tiene infinitas soluciones.
NOTA:
En color verde los puntos en los que se encuentra la solución.
En color rojo los puntos que no pertenecen a la región factible.
Este problema tiene 2 soluciones, donde:
Z=1.68 RA= 1,2
VO RI= ninguna
10 Rosa Gavilanes B. Quinto Semestre CA.

11. Investigación Operativa 2014
3 ≤ X1 ≤ 7
0 ≤ X2 ≤ 2
COMPROBACIÓN
1) 6 X1 + 6 X2 ≥ 30
6(3) +6 (2) ≥ 30
18 + 12 ≥ 30
30 ≥ 30
2) 5 X1 + 10 X2 ≥ 35
5(3) + 10 (2) ≥ 35
15 + 20 ≥ 35
DISPONIBLE HOLGURA EXCEDENTE
VITAMINA A 30
VITAMINA B 35
EJERCICIO 6.- CON SOLUCIÓN NO FACTIBLE O SIN SOLUCIÓN
Maximizar la función Z = f(x,y) = 3x + 8y sujeta a las restricciones
x + y ≥ 6
x + y ≤ 2
MAXIMIZAR: 3 X1 + 8 X2
RESTRICCIONES
1 X1 + 1 X2 ≥ 6
1 X1 + 1 X2 ≤ 2
CT X1, X2 ≥ 0
El problema no tiene solución.
11 Rosa Gavilanes B. Quinto Semestre CA.

12. Investigación Operativa 2014
NOTA:
En color verde los puntos en los que se encuentra la solución.
En color rojo los puntos que no pertenecen a la región factible.
EJERCICIO 7.- ACOTADA CON INFINITAS SOLUCIONES (2)
Minimizar Z= X1 + X2 , sujeta a las restricciones siguientes:
X1 + X2 ≥ 10
4X1 + 3X2 ≤ 60
MINIMIZAR: 1 X1 + 1 X2
12 Rosa Gavilanes B. Quinto Semestre CA.

13. Investigación Operativa 2014
RESTRICCIONES
1 X1 + 1 X2 ≥ 10
4 X1 + 3 X2 ≤ 60
CT X1, X2 ≥ 0
El problema tiene infinitas soluciones.
NOTA:
En color verde los puntos en los que se encuentra la solución.
En color rojo los puntos que no pertenecen a la región factible.
Z= 10 RA= 1
VO RI= 2
13 Rosa Gavilanes B. Quinto Semestre CA.

14. Investigación Operativa 2014
0 ≤ X1 ≤ 10
0 ≤ X2 ≤ 10
COMPROBACIÓN
1) 1 X1 + 1 X2 ≥ 10
0 + 10 ≥ 10
10 ≥ 10
2) 4 X1 + 3 X2 ≤ 60
4(0) + 3(10) ≤ 60
30 ≤ 60 Existe holgura 4 X1 + 3 X2+H1= 60
4(0) + 3(10)+H1 = 60
14 Rosa Gavilanes B. Quinto Semestre CA.
H1 = 30
DISPONIBLE HOLGURA EXCEDENTE
RESTRICIÓN 1 10
RESTRICCIÓN 2 60 30
EJERCICIO 8.- ACOTADA CON MÚLTIPLES SOLUCIONES (3)
Una fábrica produce ordenadores e impresoras. Cada ordenador lleva 3 horas de
montaje y cada impresora 2 horas. El número de ordenadores debe superar por lo
menos en 3 al número de impresoras. Si en cada ordenador se gana 30 € y en
cada impresora 20 €.
Halla cuántos ordenadores e impresoras deben fabricarse durante 24 horas para
que con su venta se obtenga un beneficio máximo.
MAXIMIZAR: 30 X1 + 20 X2
VARIABLES. X1.- número de ordenadores
X2.- número de impresoras
RESTRICCIONES
3 X1 + 2 X2 ≤ 24
1 X1 -1 X2 ≥ 3
CT X1, X2 ≥ 0

15. Investigación Operativa 2014
El problema tiene infinitas soluciones.
NOTA:
En color verde los puntos en los que se encuentra la solución.
En color rojo los puntos que no pertenecen a la región factible.
Z= 240 RA= 1,2
VO RI= ninguna
6 ≤ X1 ≤ 8
0 ≤ X2 ≤ 3
COMPROBACIÓN
15 Rosa Gavilanes B. Quinto Semestre CA.

16. Investigación Operativa 2014
1) 3 X1 + 2 X2 ≤ 24
3(6) + 2 (3) ≤ 24
18 + 6 ≤ 24
24 ≤ 24
2) 1 X1 -1 X2 ≥ 3
6 – 3 ≥ 3
3 ≥ 3
DISPONIBLE HOLGURA EXCEDENTE
HORAS DE MONTAJE 24
16 Rosa Gavilanes B. Quinto Semestre CA.