Separata i ingeniería de los alimentos Víctor Terry Calderón

Mg Víctor Manuel Terry Calderón Página 1
Facultad de INGENIERIA EN INDUSTRIAS ALIMENTARIAS
INGENIERIA DE
ALIMENTOS I
Separata
Docente Responsable:
Mg Víctor Manuel Terry Calderón
Este material de Apoyo académico se
hace para uso exclusivo de los
estudiantes de la Universidad de Le
Cordon Bleu y en concordancia con lo
dispuesto por la legislación sobre los
derechos de autor: Decreto Legislativo
822.

APUNTES DE LA ASIGNATURA
INGENIERIA DE ALIMENTOS I
(Uso del Excel y Calculadora)
METODOS NUMERICOS
Análisis de Regresión, polinómicas
Derivadas
Integración.
Mg Víctor Terry Calderón

Programar ecuaciones
Se requiere en el ejercicio de la ingeniería programar y
graficar ecuaciones en una primera instancia para
observar el comportamiento de las mismas
Ejercicio:
Programar las siguientes ecuaciones usando la
calculadora y el Excel.
1.- 7 4,5y x  desde x: 2 hasta 15
2. 5.5 0.2y x  desde x: 1 hasta 0.2
3.
0.02
3.5 x
y e desde x: 0 hasta 15
4.
0.1
45. x
y e
 desde x: 0.5 hasta 6
5.
0.4
4.10 x
y  desde x: 0.2 hasta 10
6. 0.2
10000.10 x
y 
 desde x: 0 hasta 20
7. 1 0.2
x
y
x


desde x :5 hasta 20

8. . 0.025
14.5
1 4.2. x
y
e


desde x: 0 hasta 30

I EMPLEO DEL ANÁLISIS DE REGRESIÓN
(Método de los mínimos cuadrados)
CONCEPTOS Y ECUACIONES
La regresión se usa para denotar el proceso estadístico de encontrar la mejor
ecuación que pueda interpretar la relación entre dos variables (y=f(x)), predecir
valores por interpolación e extrapolación
1. El modelo lineal
 xBAy 
Donde el valor del intercepto es (A):
El valor de la pendiente (B)
El coeficiente de correlación (R)
2. Modelo de potencia
)(
10. xB
Ay 
Grafica de la curva en papel milimetrado
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
0 10 20 30 40
valoresdey
valores de x
Linea recta y = A + B (x)
  
   


 22
2
..
xxn
yxyx
A
  
 


 22
..
xxn
yxyxn
B
       
  



2222
..
.
yynxxn
yxxyn
R
A
B

Ecuacion linealizada:
)()log()log( xBAy 
3. Modelo logaritmico
B
xAy .
grafica de la curva en papel milimetrado
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0 5 10 15
valoresdey
valores de x
  
   


 22
2
log.log.
log
xxn
yxyx
A
  
 


 22
log.log.
xxn
yxyxn
B
       
  



2222
log)(log..
log.log
yynxxn
yxyxn
R

Ecuacion linealizada:
)(log)log()log( xBAy 
4. Modelo
xBA
y
.
1


0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0 5 10 15
valoresdey
valores de x
  
 


 22
log)(log
log.loglog.log
xxn
yxyxn
B
       
  



2222
log)(log.log)log(.
log.logloglog
yynxxn
yxyxn
R
  
   


 22
2
log)(log
log.loglog.)(log
log
xxn
yxyx
A

Ecuación Linealizada
BxA
y

1
Establecer las respectivas ecuaciones para encontrar A, B y R
5. Modelo
xBA
x
y
.

0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0 10 20 30
y
x
0
10
20
30
40
50
60
0 10 20 30
1/y
x

Linealizado 






x
AB
y
11
6. Modelo : y = A + B.Ln(x)
0.465
0.47
0.475
0.48
0.485
0.49
0.495
0.5
0 10 20 30
y
x
2
2.02
2.04
2.06
2.08
2.1
2.12
2.14
0 0.2 0.4 0.6
1/y
1/x

7.Modelo:
x
BAy .
Linealizar la función
Linealizados:      xBAy .logloglog 
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
0 1 2 3 4
y
Ln(x)
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
0 10 20 30
y
x

8. Modelo:
x
eBAy .
9. Modelo logístico  xk
f
ea
y
y .
.1 


0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
0 10 20 30
log(y)
x
0
2000000
4000000
6000000
8000000
10000000
12000000
0 2E+09 4E+09
y
EXP(x)

linealizado:    xbaLn
y
y
Ln
f








1
10.Modelo:    Bx
f
xB
eyeyy 
 1.
0
0
20
40
60
80
100
120
140
0 5 10 15
y
x
-4
-3
-2
-1
0
1
2
0 2 4 6 8 10
Ln((yf/y)-1)
x

Linealizado: xB
yy
yy
Ln
f
f
.
0











Y
x
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
0 20 40 60 80 100
Ln((y-yf)/(yo-yf))
x

CASO I. CUANDO NO EXISTE ECUACIÓN Y SE DEBE DETERMINAR UNA
ECUACIÓN EMPÍRICA A PARTIR DE DATOS EXPERIMENTALES.
Ejemplo 1 y = A +B x
La temperatura de un alimento esta variando durante una operación de calentamiento de
acuerdo a los siguientes valores experimentales:
t min T ºc
1 1
3 8,5
5 14,3
7 18,5
9 23,5
11 30,2
13 33,5
15 38,5
17 45,2
19 48,5
21 53,5
23 60,2
A
B
R
Graficar en Excel
Determinar su ecuación empírica de T =f(t)
Ecuación obtenida
Interpolación:
Describa la ecuación e interprete el problema
Ejemplo 2 y = A +B x
La temperatura de un alimento esta variando durante una operación de calentamiento de
acuerdo a los siguientes valores experimentales:
t min T ºc

1 75
3 71
5 68
7 63
9 59
11 52
13 48
15 44
17 41
19 38
21 33
23 31
A
B
R
Graficar en Excel
Determinar su ecuación empírica de T =f(t)
Ecuación obtenida
Interpolación
Ejemplo 3 y = A 10
B(x)
x y
1 1,5100
3 0,7803
5 0,4001
7 0,2084
9 0,1077
11 0,0601
13 0,0288

15 0,0133
17 0,0077
19 0,0030
21 0,0021
23 0,001
A
B
R
Graficar en Excel
Determinar la ecuación empírica de y = f(x)
Ecuación obtenida
Interpolación:
Ejemplo 4 y = A 10
B(x)
x y
1 2,971
3 4,9575
5 8,2723
7 13,803
9 23,033
11 38,433
13 64,13
15 107,01
17 178,56
19 297,95
21 497,16
23 829,57
A
B
R

Graficar en Excel
Ecuación obtenida
Interpolación:
Ejemplo 5 y = A x
B
X Y
1 41,2
3 51,324
5 56,845
7 60,802
9 63,936
11 66,554
13 68,815
15 70,813
17 72,608
19 74,242
21 75,743
23 77,133
A
B
R
Graficar en Excel
Ecuación obtenida

Interpolación:
Ejemplo 6 y = A x
B
X Y
1 40,3
3 32,350
5 29,209
7 27,308
9 25,969
11 24,947
13 24,128
15 23,447
17 22,867
19 22,364
21 21,921
23 21,526
A
B
R
Graficar en Excel
Determinar la ecuación empírica y = f(x)
Ecuación obtenida

Interpolación:
Ejemplo 7:
xBA
y
.
1


Linealizada es: BxA
y

1
X Y 1/Y
1 1,8868
3 1,6949
5 1,5385
7 1,4085
9 1,2987
11 1,2048
13 1,1236
15 1,0526
17 0,9901
19 0,9346
21 0,885
23 0,8403
A
B
R
Graficar en Excel
Encontrar la función y = f(x)
Ecuación obtenida
Interpolación:

Ejemplo 8 kt
ea
yf
y 


.1
Logística
Graficar la ecuación en el Excel
tiempo (t)
h Temperatura ºC






1
y
yf
Ln
0 35,8209
1 45,1804
2 55,3767
3 65,8489
4 75,9733
5 85,2050
6 93,1842
7 99,7680
8 104,9957
9 109,0213
10 112,0486
11 114,2849
12 115,9152
13 117,0923
14 117,9362
15 118,5382
16 118,9662
17 119,2696
18 119,4844
19 119,6362
20 119,7434
30 119,9922
50 120,0000
50 120,0000
60 120,0000
Yf =
A=
B=
R=

Determinar la ecuación
Interpolación:
Ejemplo 9    Bx
f
xB
eyeyy 
 1.
0
x y
0 15,42
1 11,42
2 8,46
3 6,27
4 4,64
5 3,44
6 2,55
7 1,89
8 1,40
9 1,04
10 0,77
11 0,57
12 0,42
13 0,31
14 0,23
15 0,17
16 0,13
17 0,09
18 0,07
19 0,05
20 0,04
yo=
yf=
A=
B=
R=








yfyo
yfy
Ln

Graficar la ecuación en el Excel
Interpolación:
Describa la ecuación e interprete
Ejemplo 10 y = A + B.Ln(x)
x y
2 9,78
3 14,04
4 17,06
5 19,40
6 21,31
7 22,93
8 24,33
9 25,57
10 26,68
A=
B=
C=
Graficar en Excel

Interpolación:
Ejemplo 11
x
BAy .
     xBAy .logloglog 
x y log(y)
1 3,94
3 6,15
5 9,61
7 15,02
9 23,47
11 36,67
13 57,30
15 89,53
17 139,89
19 218,58
21 341,52
23 533,63
25 833,80
27 1302,81
A=
B=
R=
Graficar en Excel
Interpolación:

CASO II. TOMA DE DECISION PARA DETERMINAR LA MEJOR ECUACION
Ejemplo 12
DETERMINAR LA MEJOR ECUACION DE ACUERDO AL PARAMETRO R (COEFICIENTE DE
REGRESION)
Para los siguientes datos:
x y
10 0.1
20 1.6
30 10.25
40 120.32
50 900.35
60 10000.23
BxAY  A
B
R
xB
eAy .
. 
 A
B
R
B
xAy . A
B
R
)(xLnAy  A
B
R
Escribir la ecuación

CASO III. DETERMINAR LA ECUACION CUANDO SE TIENE REPETICIONES PARA UN
MISMO TRATAMIENTO.
Ejemplo 13
REPETICIONES (YI) POR CADA VARIABLE INDEPENDIENTE (X); toma de decisiones.
X Y
1 4
1 4.5
1 3.9
2 10.5
2 11.3
2 9.4
3 19.3
3 18.4
3 20.4
4 40.2
4 39.7
4 38.2
5 60.2
5 59.9
5 61.8
xBAY .
xB
eAy .
. 

B
xAy .
Escriba la ecuación

CASO IV. CUANDO SE TIENE VARIOS TRATAMIENTOS, Y SE REQUIERE ENCONTRAR
UNA ECUACION DE LA FORMA y= f(x,z)
Ejemplo 14
ENCONTRAR LA ECUACION QUE INTERPRETA TODO EL FENOMENO.
Datos
Tiempo (t) Tratamiento 1
T= 100 ºC
Tratamiento 2
T= 110 ºC
Tratamiento 3
T = 120 ºC
Concentración C1 Concentración
C2
Concentración
C3
1 18 18 18
5 38 30 45
10 60 60 71
15 80 80 85
20 98 109 118
BxAy 
Bx
eAy .
B
Axy 
Organizar la tabla
Temperatura (T) Pendiente (B)
Determinar la ecuación y calcular una tabla para una temperatura de 115 ºC

LOS BIOENSAYOS
SE UTILIZAN PARA EVALUAR LA TOXICIDAD, QUE ES LA PROPIEDAD QUE TIENE UNA SUSTANCIA
O ELEMENTO COMPUESTO DE CAUSAR DAÑOS EN LA SALUD O LA MUERTE DE ORGANISMOS VIVO
DE LAS AR, A LA VIDA BIOLOGICA
OBJETIVO ESPECIFICO:
DETERMINAR LA CONCENTRACION DE UN RESIDUO QUE CAUSARIA LA MORTALIDAD DEL 50%
EN EL ORGANISMO DE PRUEBA EN 96 HORAS.
PARA LO CUAL SE INTRODUCEN PECES U OTROS ORGANISMOS, EN DIFERENTES ACUARIOS Y
CONCENTRACIONES DEL RESIDUO BAJO ESTUDIO Y SE OBSERVA SU SUPERVIVENCIA DE
24, 48 Y 96 HORAS,
EJEMPLO DETERMINAR LOS VALORES CL50, PARA 48 HORAS Y 96 HORAS CON LOS SIGUIENTES
RESULTADOS DEL BIOENSAYO
CONCENTRACION
DEL RESIDUO %
VOLUMEN
N0 DE
ANIMALES
DE PRUEBA
NUMERO Y
% DE
ANIMALES
MUERTOS
% VOLUMEN No 48 horas 96 horas
40 20 17 20
20 20 12 20
10 20 5 14
5 20 0 7
3 20 0 4
Para las 48
horas
% volumen Muertos %
40 17 85
20 12 60
10 5 30
5 0 0
3 0 0%

la ecuacion sera:
para M= 50 %, el % volumen del residual sera:
V= 16,1886741 %
Y el CL50
Realizar el cálculo para 96 horas
v = 4,6157e0,0251M
R² = 0,9973
CONC%RESIDUOS
%MORTALIDAD
CALCULO DEL CL50
M
eV 0251.0
.615.4
%18.1650 CL

CASO V. CUANDO SE CONOCE LA ECUACIÓN QUE CORRELACIONA LA
VARIABLE INDEPENDIENTE Y DE LA DEPENDIENTE, Y SE DEBE
DETERMINAR LAS CONSTANTES FÍSICAS O QUÍMICAS
Problema 1
El crecimiento de los microorganismos siguen una tendencia logarítmica de la forma
)(
. tk
o eNN 
donde N: es el número de microorganismos (ufc) después de un tiempo (t)
No: es el número inicial de microorganismos (ufc)
k: es la constante de velocidad de crecimiento tiempo
-1
La ecuación se representa también de la forma siguiente:
)(
3,2
010
t
k
NN 
y cuyo modelo matemático es:
Bx
Ay 10.
dado los siguientes valores experimentales determinar la constante de velocidad de crecimiento
(k)
t (min) N
1 17,783
5 177,83
9 1778,3
13 17783
17 177828
21 2E+06
25 2E+07
29 2E+08
A=
B=
R=

Problema
El crecimiento de microorganismos sigue una tendencia logarítmico de acuerdo a la
siguiente expresión, observar en el problema anterior
Los datos experimentales son los siguientes
Tiempo (t)h N1 ufc ; T1 = 30 ºC N2 ufc; T2:40 ºC
0 18 18
5 190 300
10 1500 3500
15 18000 40000
20 200000 500000
Construir el modelo matemático, que interprete el problema N = f (T,t)
Determinar dos tablas para 20 y 35 ºC.
La muerte Termica de los microorganismos siguen una tendencia logarítmica de
acuerdo a la siguiente expresión matemática.
tk
eNoN .
. 

Donde N: numero de u.f.c. en un tiempo (t)
No: numero inicial de u.f.c. en tiempo t=0
K: la constante de velocidad de destrucción térmica
Ensayo realizado a 120 ºC
Tiempo(t)min N (ufc)
0 1 000 000
4 300 000
6 50 000
8 9 000
10 100
12 5
Determine la constante (k) de velocidad de destrucción térmica.
Problema 2
Se tiene los siguientes datos referentes a una experiencia de penetración de azúcar en
una fruta, donde se mide la concentración de azúcar (c) g/100 g de fruta, en función del
tiempo (t) en horas. Se pide determinar la constante de
velocidad (k). y la primera derivada dC/dt
La ecuación que correlaciona las variables es:
 tk
f
ea
C
C 


.1
Los datos obtenidos son los siguientes
donde:
C: Concentración de azúcar en
el fruto g/100 g
Cf: concentración en el
equilibrio
k: Constante de velocidad
t: tiempo

Tiempo (t)
h
Concentración (C)
g/ 100 g
0 2
2 4.2
4 6.8
6 8.1
8 9.6
10 10.2
12 10.3
13 10.4
14 10.4
La penetración de sal en filetes de pescado puede medirse considerando la expresión
matemática
 tk
f
ea
C
C 


.1
Donde:
Cf: es la concentración de sal en el equilibrio
C : conentracion de sal en un tiempo tal como (t)
a : es una constante sin ningún valor físico químico
k: constante de velocidad de penetración de sal
t : tiempo
Evaluar la siguiente tabla de datos:
Tiempo (t) horas Concentración de sal %
0 2,5
4 12,5
8 24,6
12 31,2
16 32,3
20 32,6
24 33.8
Cf: 35%
Determine la constante de velocidad de penetración de sal

Problema 3
La velocidad de un barco (v) en nudos, esta en relación a su potencia (HP), teniendo los
siguientes datos experimentales:
La ecuación que relaciona esta variables es:
3
.vBAHP 
VELOCIDAD ( ) HP
5 290
7 560
9 1144
11 1810
12 2300
A=
B=
R=
Determine la ecuación
Si la velocidad del barco es de 10,5 nudos, determine la potencia requerida .
Si la potencia del barco es 1200, cual será la velocidad desarrollada.
Problema 4
Durante la fermentación de la glucosa a etanol, se tomaron los siguientes datos:
Ecuación
tk
o eCC .
. 

Tiempo (t) días Reducción del sustrato º Brix usando a S.
cereviseae.var elipsoide (C )
0 15
3 13
6 11.5
9 10.22
12 9.7
15 8.2
18 7.0
24 5.8

A=
B=
R=
Problema 5
Durante la fermentación alcohólica se genera ETOH en función del tiempo
Tiempo (t) días Etanol formado usando a S. cereviseae.var
elipsoide (C )
0 0
3 0
6 2.1
9 3.2
12 6.2
15 8.3
18 9.9
24 10.3
A=
B=
R=
Escriba la ecuacion
Problema 6
La calibración de un medidor de orificio da las siguientes lecturas mostradas en la tabla,
conociendo que el flujo a través de un orificio sigue la siguiente expresión:
n
RkV ..
donde:
V: velocidad del fluido , m/s
R: presión en mm de Hg
k , n son constantes
R V
30,3 3,42
58,0 4,25
75,5 5,31
93,5 5,83
137,5 7,02

148,0 7,30
261,1 10,05
A=
B=
R=
Determine la ecuación :
Determinar las constantes k y n
Problemas propuestos de análisis de regresión
Objetivos:
Identificar el problema para la aplicación de los siguientes objetivos
 Lineal izar expresiones matemáticas
 Dado una serie de puntos experimentales determinar la respectiva ecuación
 Teniendo la ecuación determinar las respectivas constantes físicas químicas.
 Efectuar pronósticos
Problema 1
Los prestamos warrants del Banco central en miles de millones están dados en la siguiente
tabla:
AÑO PRESTAMO
1990 25,3
1991 40,4
1992 42,6
1993 62,8
1994 94,1
1995 116,1
1996 140,7
Determine la respectiva ecuación Préstamo = f (año)
Para los años 1997 y 1999 cual será la tendencia
Problema 2
La gerencia de un fabrica trata de encontrar una medida de correlación entre los años de
servicio que tiene su maquinaria y el importe de de la facturas de reparaciones anuales a partir
de la siguiente información:
AÑO DE SERVICIO COSTO ANUAL DE
REPARACIÓN EN
MILES USA $
1 25,00
2 18,75
4 31,25

5 37,50
8 50,00
9 50,00
13 62,50
15 100,00
Problema 3
La serie cronológica nos indica la venta en millones de dólares:
AÑO VENTAS
1987 8,00
1988 10,4
1990 13,5
1991 17,6
1992 22,8
1993 29,3
1994 39,4
1995 50,5
1996 65,0
1997 84,1
1998 109,6
Determinar las siguientes ecuaciones: lineal, logarítmica y exponencial
Efectué las proyecciones para los siguientes 3 años.
Problema 4
La siguiente información sobre importaciones fue obtenida por una empresa, de donde el
gerente debe encontrar la correlación que existe entre las importaciones (I) USA $ y el año (A).
AÑO (A) IMPORTACIONES (I)
USA $ MILES
85 3,00
86 4,20
87 5,75
88 8,30
89 11,50
90 16,00
91 22,40
92 31,00
93 44,6
94 60,1
95 84,30
96 118,6
Su asesor le manifiesta que utilice la expresión:
x
BAy .

Problema 5
La siguiente tabla da los resultados de un experimento sobre la determinación del
alargamiento E, en pulgadas, de un alambre de acero destemplado cuyo diámetro es de
0,693 pulgadas, debido a una carga W, en libras.
W E
0 0,00
50 0,0130
100 0,0251
150 0,0387
200 0,0520
225 0,0589
250 0,0659
260 0,0689
Determine la respectiva ecuación matemática
Problema 6
Para medir el coeficiente de temperatura de un alambre de cobre de diámetro 0,9314 cm y de
longitud 77 cm, se hicieron las siguientes medidas, donde C, es la temperatura en grados
Celsius y r, es la resistencia en microhms.
C r
19,10 76,30
25,00 77,80
30,10 79,75
36,00 80,80
40,00 82,35
45,10 83,90
50,00 85,10
Determinar la respectiva ecuación
Problema 7
Los experimentos de concentración química (x) en iones de hidrógeno, es una función de la
concentración de iones de hidrógeno no disociados (y) en el HCl.
X Y
1,22 0,676
0,784 0,216
0,426 0,074
0,092 0,0085
0,047 0,00315
0,0096 0,00036
0,0049 0,00014
0,00098 0,000018
Determine la respectiva ecuación

Problema 8
La velocidad de un barco (v) en nudos, esta en relación a su potencia (HP), teniendo los
siguientes datos experimentales:
VELOCIDAD HP
5 290
7 560
9 1144
11 1810
12 2300
La ecuación que relaciona esta variables es:
3
.vBAHP 
Si la velocidad del barco es de 10,5 nudos, determine la potencia requerida .
Si la potencia del barco es 1200, cual será la velocidad desarrollada.
Problema 9
La potencia hidráulica (HP) proporcionada en el extremo de una tubería equivale a la potencia
entregada en el otro extremo (HPo) de la tubería, de acuerdo a los siguientes datos:
HP HPO
8 13
10 14
15 15,4
20 16,3
30 17,2
40 17,8
60 18,5
80 18,8
La ecuación que correlaciona estas dos variables es:
HPba
HP
HPo
.

Si la potencia aplicada es HP = 18, determine el valor de HPo
Si la potencia recibida es HPo = 17, determine el valor HP
Problema 10
La siguiente tabla nos muestra las alturas (H) en pulgadas y los pesos (W) en libras.
H W
70 155
63 150
72 180

60 135
66 156
70 168
74 178
65 160
62 132
67 145
65 139
68 152
Estimar el peso (W) de un estudiante de 63 pulgadas
Estimar la altura (H) de un estudiante cuyo peso es 168 libras
Problema 11
La siguiente tabla muestra los valores de la presión (P) lb/pulg2, de una masa dada de gas
correspondiente a diferentes valores de su volumen (V) en pulg
3
De acuerdo a la siguiente expresión
CVP 
.
V P
54,3 61,2
61,8 49,5
72,4 37,6
88,7 28,4
118,6 19,2
194,0 10,1
Determinar la presión del gas si tiene un volumen V = 75 pulg
3
Determine el volumen del gas si se encuentra a una P = 45 lb/pulg
2
Problema 12
La velocidad de un efluente que se vierte a un río sigue una expresión parabólica, donde (v)
m/min, es la velocidad y de (D) pies, es la profundidad del lecho del desagüe.
D v
0 3,195
0,1 3,229
0,2 3,2532
0,3 3,2611
0,4 3,2516
0,5 3,2282
0,6 3,1807
0,7 3,1266
0,8 3,0594
0,9 2,9759
Determine la ecuación respectiva

Problema 13
La solubilidad el cromato de potasio (s) g /100 g de solución, está relacionado con la
temperatura (T), en grados Celsius
T s
0 61,5
10 62,1
27,4 66,3
42,1 70,3
Determine su ecuación
Cuál será la solubilidad del cromato de potasio a una temperatura de 30 ºC
Problema 14
La concentración de ácido ascórbico (C %) varía durante el almacenamiento al aire libre, en
función del tiempo (t) min, de acuerdo a la siguiente tabla
t C %
0 100
1200 74,1
2340 59,1
3600 42,1
4140 40
7540 23,1
8100 15,7
Determinar la ecuación de la experiencia
Problema 15
La calibración de un medidor de orificio da las siguientes lecturas mostradas en la tabla,
conociendo que el flujo a través de un orificio sigue la siguiente expresión:
n
RkV ..
donde:
V: velocidad del fluido , m/s
R: presión en mm de Hg
k , n son constantes
R V
30,3 3,42
58,0 4,25
75,5 5,31
93,5 5,83
137,5 7,02
148,0 7,30
261,1 10,05
Determinar las constantes k y n

Problema 16
La relación peso – longitud en los peces tiene la siguiente expresión:
n
LcP .
donde:
P : peso en libras
L: longitud de peces en cm.
c, n. Valores constantes
L P
20 0,4
30 0,9
40 1,8
50 3,7
60 6,0
70 9,5
80 14
90 19
100 31
Problema 17
El coeficiente de transferencia de masa en un recipiente agitado se estima por la medida del
incremento de la concentración de soluto en el solvente (C), como una función del tiempo (t),
de acuerdo a la siguiente expresión:















 t
V
KA
CsC
.
.3,2
101.
Si la concentración de soluto Cs = 20%, el volumen del solvente es constante V= 60 pies
3
,
estimar el coeficiente de transferencia de masa (KA) y C es la concentración del soluto en el
solvente y t, tiempo.
t (min) C%
0 0
2 3
4 7
6 9
8 11
10 13
13 15
16 16
19 17

Problema 18
Una fabrica que usa maquinas herramientas produce anualmente un valor (K), en que a
medida que incrementa la cantidad de máquinas automáticas (M) aumenta el volumen de
producción de acuerdo a la siguiente tabla
M K
10 250000
15 280000
23 350000
22 440000
35 750000
50 1100000
55 1150000
78 1500000
95 1700000
130 2500000
Determinar la ecuación que correlaciona las dos variables ( k = f(M))
Problema 19
En una planta, en la línea de conservas produce conservas (Cn) de acuerdo a la cantidad de
operarios (OP) de acuerdo a los siguientes programas:
PROGRAMA OP CN
1 11 205
2 15 301
6 20 411
3 22 450
7 24 493
5 26 522
4 31 612
8 36 662
Estimar la producción para 40 y 60 operarios
Cuantos operarios se requiere para producir 500 cajas
DETERMINAR LA ECUACION QUE CORRELACIONES LAS RESPECTIVAS VARIABLES. X
, Y.
Problema 20
Los valores de acidez, expresado en % de ácido láctico, NNP expresado en % de nitrógeno y
pH , se da para muestra de residuos ensilados a 37 ºC
Determinar la respectiva ecuación, e intérprete los resultados.
Jurel
% de acido láctico

Día % de acido láctico
1 0.56
2 2.08
3 2.44
6 2.92
9 3.10
15 3.02
30 2.91
Boletín de investigación Instituto Tecnológico Pesquero Vol 8, 2007-2008
Problema 20a
Día NNP % de nitrógeno
1 0.13
2 0.59
3 1.73
6 1.66
9 1.69
15 1.83
30 1.93
Problema 20 b
Día pH
1 6.10
2 4.73
3 4.73
6 4.63
9 4.55
15 4.27
30 4.27
Problema 21
Contenido de cloruros % NaCl, en anchoveta grasa antes de adicionar aceite
Determine la ecuación e interprete los resultados.
Tiempo min % Na Cl a 7 ºC
5 1.84
10 1.98
15 2.51
20 2.33
25 2.80
30 2.81
35 2.80

Problema 21.a
5 1.62
10 1.80
15 1.90
20 2.22
25 2.34
30 2.36
35 2.39
Problema 22
Variación de los valores AGL%, VP (meq/kg de grasa) TBA mg de MDA/kg de pulpa.
AGL: ácidos grasos libres
VP: valor de los peróxidos
TBA: Acido tiobarbiturico
Anchoveta entera almacenada a -26 ºC
Determinar la ecuación empírica e su interpretación.
Valores de AGL%
Días AGL %
0 0.12
30 0.44
60 0.90
90 1.11
120 1.70
150 2.20
180 3.30
Problema 22.a
Valores de VP
Días VP
0 5.03
30 3.65
60 6.20
90 4.10
120 6.34
150 6.89
180 12.42

Problema 22.b
Valores de TBA
Días TBA
0 0.60
30 4.05
60 1.00
90 0.14
120 2.06
150 1.79
180 0.74
Problema 23
Evaluación sensorial de olor y sabor de muestras de hojuelas de pescado almacenadas a 10ºC
Apariencia Olor y sabor Textura
5 Olor y sabor muy agradable, leve sabor a
pescado
Muy crocante
4 Buen olor y sabor, ligeramente a pescado Crocante
3 Olor y sabor aceptable, a pescado cocido Poco crocante
2 Olor y sabor desagradable, no aceptable,
rancio
Blanda, no tiene crocantes
1 Olor y sabor muy desagradable rancio añejo Blanda no presenta crocantes
Tabla de evaluación de olor y sabor de muestra de hojuelas almacenadas a 10ºC
Días Muestra 1 Muestra 2 Muestra 3 Muestra 4
0 5 5 5 5
15 4,04 4.04 4.06 4.06
30 4,02 4.02 4.03 4.04
45 4 4,01 4.01 4.03
60 3,04 3,04 4.00 4.0
90 3,02 3.02 3.05 3.05
120 3 2.05 3.01 3.0
Determinar la ecuación e intérprete los resultados.
Problema 24
Valores de peróxido (mili-equiva de peróxido /kg de muestra) en hojuelas de pescado
almacenados a 10ºC
0 2.6 3.4 2.4 2.1
15 8.3 6.3 7.8 8.3

30 9. 7.4 9.4 10.6
45
60 10
90 6.7 11.3 10.3 11.7
120
Determine su ecuación e intérprete los resultados.
Problema 25
Contenido de humedad %, en muestras de hojuela de pescado
0 1.5 1.5 1.5 1.5
30 1.8 2 1.8 1.6
60 1.9 2.2 1.9 1.62
120 2.9 3.1 2.1 2.2
150 4.9 4.8 2.2 2.22
Determinar la ecuación e intérprete los resultados almacenados a 10ºC.
Problema 26. En una operación de biodegradación de un efluente orgánico se
contabilizo el caudal (Q) litros /hora, saliendo del bioreactor, conociendo que la carga
orgánica inicial fue de 6001 mg /l.
Tiempo
hora
Caudal (Q)
litro/h
Concentración
mg/l
1 4500 500
3 6500 561
5 4350 450
7 5321 325
9 4698 585
11 5331 625
13 4610 351
Determinar la ecuación que correlaciona el tiempo el flujo másico Flujo másico= Q.C
Problema 27 .Cada cierto periodo de tiempo (t) un indicador de consumo de petróleo (M,
gal/min), indica el flujo másico que se consume de petróleo. Estos valores han sido registrados
en la siguiente tabla:

Tiempo (h) Flujo másico gal/h
1 45,3
2 22,2
3 55,1
4 35,4
5 40,2
6 62,3
7 55,4
8 49,1
9 47,2
10 55,0
11 45,9
Determinar la ecuación del gasto acumulado en 11 horas
28. La evolución de producción de etanol en Brasil 1976 -85, millones de litros
año producción
76 555,9
77 664.
78 1470
79 2490
80 3396.5
81 3706.4
82 4280
83 5822.1
84 7864.2
85 9340
Determinar la ecuación de problema y cual será la proyección para el año 1990.
29. En una operación de biodegradación de un efluente orgánico se contabilizo el caudal
(Q) litros /hora, saliendo del bioreactor, conociendo que la carga orgánica inicial fue de
6001 mg /l.
Tiempo
hora
Caudal (Q)
litro/h
Concentración
mg/l
1 4500 500
3 6500 561
5 4350 450
7 5321 325
9 4698 585
11 5331 625
13 4610 351
Determinar la ecuación que correlaciona el tiempo el flujo masico Flujo masico= Q.C

30.Cada cierto periodo de tiempo (t) un indicador de consumo de petroleo (M, gal/min), indica
el flujo másico que se consume de petróleo. Estos valores han sido registrados en la siguiente
tabla:
1 45,3
2 22,2
3 55,1
4 35,4
5 40,2
6 62,3
7 55,4
8 49,1
9 47,2
10 55,0
11 45,9
Determinar la ecuación del gasto acumulado en 11 horas
LAS POLINOMICAS
La cuadrática
X Y
0 0
1 2
2 3
3 4,2
4 4,6
5 4,7
6 4,6
7 4,2
8 3
9 2
Use el Excel
Escriba la ecuacion

Interpolación
La Cubica
X Y
0 0
1 2
2 3
3 4,2
4 4,6
5 4,7
6 4,6
7 4,2
8 4
9 3,3
10 3
11 3
12 3
13 3
Graficar en Excel
Escribir la ecuación
Interpolar

Análisis de regresión multivariables
Ecuaciones multivariables
1 x = f(x1,x2) 2 variables
2 x=f(x1,x2,x3) 3 variables
3 x=f(x1,x2,x3,........x16) 16 variables
Seleccione Regresión
Ejemplo

para una función y=f(x1,x2)
x1 x2 y
3,00 8 1
6,00 16,4 2
9,00 23,5 3
10,10 30,5 4
15,23 61,4 5
Los resultados aparecen en otra hoja
Estadísticas de la regresión
Coeficiente de correlación
múltiple 0,98663867 Coeficiente de correlación multiple
Coeficiente de determinación
R^2 0,97345587
R^2 ajustado 0,94691175
Error típico 0,36430842
Observaciones 5
Coeficientes
La ecuación lineal
multiple
Intercepción
-
0,20391138
y= -0.203911+0.4622 x1 - 0.02866
x2
Variable X 1 0,46221122
Variable X 2
-
0,02866992

Otro ejemplo para 5 variables
x1 x2 x3 x4 x5 y
2,5 5,1 5,1 9,8 15,1 1
3,8 7,7 7,5 14,2 20,9 2
4,9 10,1 9,8 18,8 29,4 3
6,1 12,3
12,
5 20,1 32,4 4
8,7 15,1
14,
7 21,9 38,1 5
10,2 17,8
15,
4 25,9 40,2 6
Determinar la ecuación lineal múltiple
múltiple 1
múltiple
R^2 1
R^2 ajustado 65535
Error típico 0
Observaciones 6
Intercepción -0,9519651
Variable X 1 -0,3527364
Variable X 2
0,7265523
5
Variable X 3
-
0,0465185
1
Variable X 4
-
0,1182368
1
Variable X 5
0,0347254
4
La ecuación múltiple es:
         50347.041182.03046181.0272655.013527.09519.0 xxxxxx 

El resultado de un análisis sensorial
es:
Los ingredientes están en porcentaje
x1 x2 x3 x4
Ingrediente
1
Ingrediente
2
Ingrediente
3
Ingrediente
4 Calidad
4 0,1 0,3 5 8
5 0,1 0,3 5 7
4,5 0,05 0,35 6,1 6,3

múltiple 1
R^2 1
R^2 ajustado -4,6566E-10
Error típico 7,2236E-19
Observaciones 3
Coeficientes
Intercepción 3,1281632
Variable X 1 -1
Variable X 2 34,0075314
Variable X 3 43,9538647
Variable X 4
-
1,54301515
Otro
ejemplo
x1 x2 x3 x4
Ingrediente
1
Ingrediente
2
Ingrediente
3
Ingrediente
4 Calidad
4 0,1 0,3 5 8 Fila 1
5 0,1 0,3 5 7 Fila 2
4,5 0,05 0,35 6,1 6,3 Fila 3
Cual será la calidad del producto se se varia el ingrediente (x2) y los demás se mantienen constantes
en la fila 1
Se reemplaza los valores de la fila 1, x1,x3, y x4 que se mantienen contantes
siendo variable x2
quedando la ecuación
x2 calidad
0,05 6,313
0,06 6,653
0,07 6,993
0,08 7,333
       43.54.1395.43200.3411128.3 xxxxx 
       53.54.13.095.43200.3441128.3  xx
 234613.4 xx 

II DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA
El siguiente es un método para diferenciar numérica funciones que están definidas mediante
datos tabulados o curvas determinadas en forma experimental.
Utilizando el desarrollo de la serie de Taylor
  .................
!2
2
2
2
x
dx
yd
x
dx
dy
yxxy

 (1)
para la función xx 
  .................
!2
2
2
2
x
dx
yd
x
dx
dy
yxxy

 (2)
Utilizando solo los 3 miembros de las dos expresiones restamos
 
...
x
dx
dy
yxxy 
 
...
x
dx
dy
yxxy 
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
0 5 10 15 20 25
valoresdey
Valores de x
x+x x-x
x

    x
dx
dy
xxyxxy 





 2
despejando:
   
x
xxyxxy
dx
dy



2
La ecuación deducida se conoce como la primera aproximación por Diferencias centrales de
(dy/dx) para x, representada por la línea dibujada como tangente a la curva x, en la gráfica de
arriba.
Caso I: cuando existe una función
Por ejemplo , derivar la función y = 2.x
2
la primera derivada será: x
dx
dy
4
Tabulando las dos funciones se obtiene los siguientes valores:
x y = 2.x
2
x
dx
dy
4
1 1 4
2 8 8
3 18 12
4 32 16
Aplicando la ecuación de diferencias centrales se obtiene la siguiente expresión:
   
 005.0.2
005.0.2005.0.2
22


xx
dx
dy
Tabulando para los siguientes valores:

x    
 005.0.2
005.0.2005.0.2
22


xx
dx
dy
1 4
2 8
3 12
4 16
La misma que corresponde la tabla de deducción analítica de la primera derivada
Caso II: Cuando no existe la función
Ejemplo:
Los siguientes datos experimentales han sido clasificados en la siguiente tabla
Tiempo (t)
dias
Consumo
(c) kg
2 2,06090159
4 3,39785229
6 5,60211134
8 9,23632012
10 15,2281175
12 25,1069212
14 41,3943149
16 68,2476875
18 112,521414
20 185,516449
22 305,864915
24 504,285992
Grafica y análisis de regresión, para la determinación de la ecuación respectiva

Diferenciación numérica la función encontrada
   
t
ee
dt
dC tttt




.2
.25.1.25.1 25.025.0
y para un 05,0t , se obtiene los siguientes cálculos
TIEMPO(t)
dia






dt
dC
kg /dia
2 0,5152
4 0,8495
6 1,4006
8 2,3091
10 3,8071
12 6,2769
14 10,3488
16 17,0624
18 28,1311
20 46,3803
22 76,4682
24 126,0748
C = 1,25e0,25(t)
R2 = 1
0
100
200
300
400
500
600
0 10 20 30
Consumo(c)kg
tiempo (t) min
Grafica de los datos

PARA SER RESUELTO POR EXCEL.
Problema 1
Resolver la
dy
dy
, de la siguiente función, empleando el Excel, x=1, hasta x=14, con un
005,0t
 x
e
y 2,4
.2,31
62,15



Problema 2
Resolver la
dy
dy
, de la siguiente función, empleando el Excel, x=1, hasta x=14, con un
005,0t
   3
15.0325.045,12 xxy 
Problema 3
El consumo de petróleo Q (galones) por hora se refleja en la tabla siguiente.
TIEMPO (T) HR Q (GALONES
1 25
2 56
3 120
4 170
5 270
6 310
7 360
8 450
9 550
10 610
11 660
12 670
Calcular como varía
dt
dQ
en función del tiempo.
Problemas propuestos sobre diferenciación numérica
Resolver los siguientes ejercicios
Encontrar la derivada de las siguientes funciones empleando el método numérico, desde los
valores x = 1 a x =14, con intervalo de 2, para un 005,0t

1.
 x
ey 35.0
.25.4 

2.
 x
xy 23.0
.39,2
3.  x
e
y 2,4
.2,31
62,15



4.    3
15.0325.045,12 xxy 
5.    4
32.0025,0 xxy 
6.
 
 x
y 25.0
1012.2 

7.  xLny 235.041,36 
Resolver los siguientes problemas
8. Determinar la velocidad del movil (ds/dt), cuando recorre un espacio (s) en un
tiempo (t).
Tiempo (t),s Espacio (s),m
0,036 1
0,049 2
0,059 3
0,078 4
0,080 5
0,095 6
0,1032 7
0,110 8
0,130 9
9. El consumo de vapor en una fabrica (C), esta registrada en función del tiempo(t) y
se da en la tabla siguiente, debiendo determinarse la tasa de consumo (dC/dt) en
kg/h
Tiempo (t) h Consumo (c) kg
1 23
2 45
3 62
4 83
5 102
6 130
7 140
8 160

10. Determinar la variación de la temperatura con respecto al tiempo (dT/dt), de un
cuerpo que esta siendo sometido a una operación de calentamiento a temperatura
(T), en función al tiempo.
Tiempo (t) min Temperatura (T) ºC
1 18
2 25
3 38
4 55
5 70
6 91
7 105
8 120
11. Contenido de cloruros % NaCl, en anchoveta grasa antes de adicionar aceite
Determine la razón de cambio e interprete los resultados.
5 1.84
10 1.98
15 2.51
20 2.33
25 2.80
30 2.81
35 2.80
12. Contenido de cloruros % NaCl, en anchoveta grasa antes de adicionar aceite
Determine la razón de cambio e interprete los resultados.
5 1.62
10 1.80
15 1.90
20 2.22
25 2.34
30 2.36
35 2.39

13. Los siguientes ensayos representan la penetración de cloruro de sodio en filetes de
toyo
Tiempo
(t) h
Ensayo 1 (C1)
g/100 g
Ensayo 2 (C2)
g/100 g
Ensayo 3 (C3)
g/100 g
0 0,42 0,38 0,32
4 7,90 6,50 6,30
8 8,00 7,60 7,90
12 12,30 10,80 11,60
16 13,00 15,50 12,90
20 13,50 13,20 13,30
24 14,00 14,00 14,80
28 14,13 14,50 15,10
32 16,00 15,80 16,30
36 17,20 16,80 16,90
40 17,30 17,10 17,00
44 17,50 17,50 17,40
48 17,80 17,60 17,50
52 17,80 17,60 17,50
Determinar las respectivas ecuaciones para cada experiencia, y su respectiva velocidad de
penetración de sal en el filete de pescado 





dt
dC
14. El Contenido de humedad %, en muestras de hojuela de pescado
0 1.5 1.5 1.5 1.5
30 1.8 2 1.8 1.6
60 1.9 2.2 1.9 1.62
120 2.9 3.1 2.1 2.2
150 4.9 4.8 2.2 2.22
Determinar la taza de cambio de la humedad con respecto al tiempo de las hojuelas
dt
humedadd )(
. De cada una de las muestras e interprete sus resultados.
15 TENIENDO LAS ECUACIONES DEFINIDAS POR ANALISIS DE REGRESION EN LOS
CUATRO CASOS, DETERMINAR LA RESPECTIVAS CURVAS DE PRIMERA DERIVADA
dy/dx, PARA CADA PROBLEMA

III INTEGRACIÓN NUMERICA
LA REGLA DE SIMPSON
La regla de Simpson se utiliza para la integración de funciones, determinando el área
bajo la curva, asimismo se emplea para integrar valores de datos experimentales
provenientes de laboratorio, gabinete o unidad de producción.
La ecuación fundamental de Simpson
  


b
a
o yyy
x
dxxf 21.4
3
)(
Para 5 puntos
   43221 .4
3
.4
3
)( yyy
x
yyy
x
dxxf
b
a
o 




Luego
yo
y1
y2
x
x

  


b
a
o yyyyy
x
dxxf 4321 .4.2.4
3
)(
Para 7 puntos
     65443221 .4
3
.4
3
.4
3
)( yyy
x
yyy
x
yyy
x
dxxf
b
a
o 






  


b
a
o yyyyyyy
x
dxxf 654321 .4.2.4.2.4
3
)(
Para n puntos (ecuación general)
  

 
b
a
nno yyyyyyyyy
x
dxxf 1654321 .4........4.2.4.2.4
3
)(
CASO I. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES, UTILIZANDO LA ECUACIÓN
BASE DE SIMPSON
Integrar la siguiente función.
 
7
2
2
).3,65,4( dxxx
Empleando la ecuación base
Calculo del valor de incremento
bandasden
xx
x
inicialfinal
.0


5,2
2
27


x

)3,65,4( 3
xx 
Construcción de la tabla para la integración
x )3,65,4( 3
xx 
2 21,1
4,5 53,1
7 97,6
Aplicar la regla de Simpson
   
7
2
3
6,971,5341,21
3
5,2
)3,65,4( dxxx = 275,9166
Comprobando analíticamente
  
7
2
7
2
323
333,05,35,4)3,65,4( xxxdxxx =275,197
Utilizando mayores bandas o puntos se puede lograr una mejor aproximación del valor de la
integral
Por ejemplo integrar para 11 puntos la función del ejemplo anterior, 10 bandas.
5,0
10
27


x
Tabla de la función a integrar
X )3,65,4( 3
xx 
2 21,1
2,5 26,5
3 32,4
3,5 38,8
4 45,7
4,5 53,1
5 61
5,5 69,4
6 78,3
6,5 87,7
7 97,6

Aplicando la ecuación general se obtiene
       
7
2
6,977,874............8,3824,3245,26
3
5,0
).( dxxf = 275,197
CASO II. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES ENTRE LIMITES DIFERENTES
Por ejemplo considerando la función anterior integrar entre los siguientes limites:
 
5,5
3,1
2
).3,65,4( dxxx
Para tal fin debe construirse la curva integral y determinar su ecuación por análisis de
regresión, de la forma siguiente:
Usando para un 5,0x
X )3,65,4( 3
xx 
 214
3
yyy
x
A oi 


 iA
2 21,1
2,5 26,5
3 32,4 26,5833333 26,5833333
3,5 38,8
4 45,7 38,8833333 65,4666667
4,5 53,1
5 61 53,1833333 118,65
5,5 69,4
6 78,3 69,4833333 188,133333
6,5 87,7
7 97,6 87,7833333 275,916667
Organizar la tabla x ,  iA , de la forma siguiente:
X  iA
3 26,5833333
4 65,4666667
5 118,65
6 188,133333
7 275,916667

Grafica de la curva integral
Ejemplo: Calcular el área de un circulo cuyo radio es R =3 m, empleando el cálculo numerico.
El área del elemento es:
y = 8,15x2 - 19,367x + 11,733
R2 = 1
0
50
100
150
200
250
300
0 2 4 6 8
x
Grafica de la
curva integral
0
y
x
d
x
y
dx
y

3
0
.dxy

Por geometría analítica
Reemplazando
Integrar a 20 bandas 15,0
20
03


x
X 2
9( x
AI
 Ai 2  Ai
0 2
0.898 0.898 1.796
0.15 2.996
0.30 2.985
0.45 2.966
0.889 1.787 3.574
0.60 2.939
0.75 2.095
0.871 2.658 5.3160.90 2.862
1.05 2.810
0.842 3.500 71.20 2.750
1.35 2.679
0.803 4.303 8.6061.50 2.598
1.65 2.505
0.751 5.054 10.108
1.80 2.4
1.95 2.280
0.683 5.737 11.7472.10 2.142
2.25 1.984
0.594 6.331 12.6612.40
2.55 1.580
0.471 6.802 13.6042.70 1.308
2.85 0.937
0.253 7.055 14,1103.00 0
El área del cuadrante es : A = 7,055 m
2
222
yxR 
)( 22
xRy 
  
3
0
22
dxxR

La figura esta compuesta por 4 cuadrantes por lo tanto el área total (At) será:
At= 7,005 x 4 =28,22 m2
El área del circulo por geometría es :
    22
27,289. mRAt  
Cubicar el cilindro con R = 3,00 m y L = 9,00 m
Considerar 1 galón = 3,875 litros
Calculo de la equivalente del volumen en galones y la altura (x) del cilindro colocado en forma
horizontal
x 2  Ai
 
875,3
1000.LA
gal 
0
1.796
0.15
0.30 4171,35
0.45
3.574
0.60 8300,90
0.75
5.3160.90 12346,84
1.05
71.20 16258,06
1.35
8.6061.50 19988,13
1.65
10.108
1.80 23476,65
1.95
11.7472.10 26649,29
2.25
12.6612.40 29408,52
2.55
13.6042.70 31596,39
2.85
14,1103.00 32771,61
Análisis de regresión para encontrar una correspondencia entre la altura (x) y los galones, la
ecuación que se determino fue:
)(1015,3 02924,15
mGxx 
 (R=0,9976)

G Gal) x (m)
30000 2,4497277
28000 2,27188313
26000 2,09520943
24000 1,91978818
22000 1,74571398
20000 1,57309779
18000 1,40207175
16000 1,23279602
14000 1,065469
12000 0,90034332
10000 0,73775227
8000 0,57815736
6000 0,42224351
4000 0,27114456
2000 0,12716152
3 m

CASO III. CUANDO NO EXISTE FUNCIÓN, TENIENDO SOLO DATOS
EXPERIMENTALES
Una empresa de alimentos vierte al desague un caudal (Q) de efluente de acuerdo al siguiente
registro se pide determinar el volumen vertido por día
Tiempo (t)
h
Caudal vertido(Q)
m3
/h
4 25
6 32
8 15
10 29
12 32
14 14
16 18
18 16
20 18
22 26
24 42
Aplicar la regla de Simpson
Tiempo (t)
h
Caudal
vertido(Q)
m3
/h
 214
3
yyy
x
A oi 


 iA
4 25
6 32
8 15 112 112
10 29
12 32 108,666667 220,666667
14 14
16 18 70,6666667 291,333333
18 16
20 18 66,6666667 358
22 26
24 42 109,333333 467,333333
El volumen vertido de efluente al desague es V = 467,33 m
3

La gráfica de la curva integral
Tiempo (t)
h  iA
3 112,0
5 220,666667
7 291,333333
9 358,0
11 467,333333
V = 42,4(t) - 6,9333
R2 = 0,991
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
0 5 10 15
Volumen(V)m3
Tiempo (t) h
Grafica de la curva integral

La concentración del efluente expresado en mg/l se muestra en la siguiente tabla:
Tiempo (t)
h
Caudal vertido(Q)
m
3
/h
Concentración ( C )
mg/l
4 25 12350
6 32 15000
8 15 14890
10 29 9875
12 32 10298
14 14 14555
16 18 12880
18 16 13587
20 18 15280
22 26 16800
24 42 12798
Determinar la masa que se envia al desague y la concentración promedio ( C )
Solución:
t
(h)
Q
m3
/h
Q
l/h
C
mg/l
m
kg/h
Ai
 iA
4 25 25000 1235 30,88
6 32 32000 1500 48,00
8 15 15000 1489 22,34 163,473333 163,473333
10 29 29000 987,5 28,64
12 32 32000 1029,8 32,95 113,225733 276,699067
14 14 14000 1455,5 20,38
16 18 18000 1288 23,18 91,7637333 368,4628
18 16 16000 1358,7 21,74
20 18 18000 1528 27,50 91,7632 460,226
22 26 26000 1680 43,68
24 42 42000 1279,8 53,75 170,6504 630,8764
La masa que se envía al desagüe es 630,87 kg
La concentración promedio del efluente vertido :1,35 kg /m
3
Problemas propuestos
1. Integrar y determinar la curva integral 
10
x
x
dx
para 15 puntos
2. Integrar y determinar la curva integral  
3
0
3
1xx
dx
para 14 bandas

3. Integrar y determinar la curva integral   
10
2
34
3.6.7 dxxxx para 11 puntos
4. Integrar y determinar la curva integral   
4
0
6
34 dxxx para 13 puntos
5. Integrar y determinar la curva integral 
10
1
5,0
25,0
.75,2
dx
x
e x
para 12 bandas
6. Se tiene los siguientes valores que correlaciona el volumen (V) ft
3
/lb y la presión (p)
psia de acuerdo a la siguiente expresión:
 dVp.
La Información se encuentra en la siguiente tabla:
V p
2 68,7
4 31,3
6 19,7
8 14,3
10 11,3
Encontrar el trabajo efectuado por el embolo.
7. La velocidad (v) de un movil es esta dado en km/h , se a determinado cada cierto
periodo de tiempo (t), en minutos, determine el espacio recorrido y determine la
curva integral la información tabulada es la siguiente
Tiempo Velocidad
1 1,0064
3 1,00343
4 1,00435
6 1,00331
8 1,00233
10 1,00149
12 1,00078
8. El consumo de vapor (m, kg/h) por hora esta registrada en la siguiente tabla:
Tiempo Consumo de
vapor
2 325
4 560
6 450
8 468
10 275
12 825
14 320
16 316
18 345

Determinar la cantidad de vapor consumida, construya la curva integral y
determine el consumo de vapor entre la 7 horas y 15 horas.
9. Cada cierto periodo de tiempo (t) un indicador de consumo de petróleo (M,
gal/min), indica el flujo másico que se consume de petróleo. Estos valores han sido
registrados en la siguiente tabla:
1 45,3
2 22,2
3 55,1
4 35,4
5 40,2
6 62,3
7 55,4
8 49,1
9 47,2
10 55,0
11 45,9
Determine la cantidad de combustible consumido (galones), determine la curva
integral y cual será la cantidad de petróleo consumido entre las 6,5 horas y 9
horas.
CASO III: Cuando suceden reacciones químicas
Entrada tiempo (t) t+ t
Flujo másico (M/T) me
me + t
dt
dme
.
Salida Tiempo (t) t+ t
Flujo másico (M/T) ms
ms+ t
dt
dms
.
Acumulación tiempo (t) t+ t
Masa (M) M
M+ t
dt
dM
.
se mm
dt
dM

  dtmdtmM se
Entradas – Salidas = Acumulación

Ejemplo:
La planta de producción de lácteos vierte sus efluentes a un bioreactor donde reduce
su carga orgánica antes de ser vertido al desagüe de acuerdo a los siguientes
reportes:
Tiempo (t)
h
Entrada
concentración g/min
Salida
concentración
g/min
1 35,21 9,13
2 42,50 8,25
3 33,12 7,12
4 31,31 6,97
5 41,12 8,45
6 30,13 8,93
7 33,45 6,41
8 45,12 6,21
9 40,13 7,13
10 29,92 7,98
11 38,54 6,45
Las muestras han sido tomadas directamente de un sensor
a. Determine la masa que ingrese al bioreactor
b. Determine la masa que sale del bioreactor
c. Determine la masa que ha sido reducida
d. Determine el porcentaje de bioconversión
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
0 5 10 15
Concentracióng/min
tiempo (t) min
Entrada
Salida

Cálculo de la masa que ingresa al bioreactor
Tiempo (t)
hora
Entrada
g/min
Entrada
g/h Ai  Ai
1 35,21 2112,6
2 42,5 2550
3 33,12 1987,2 4766,6 4766,6
4 31,31 1878,6
5 41,12 2467,2 3989,6 8756,2
6 30,13 1807,8
7 33,45 2007 3901,8 12658
8 45,12 2707,2
9 40,13 2407,8 5081,2 17739,2
10 29,92 1795,2
11 38,54 2312,4 3967 21706,2
Calculo de masa que sale del bioreactor
Tiempo(t)
hora
Entrada
g/min
Entrada
g/h Ai  Ai
1 9,13 547,8
2 8,25 495
3 7,12 427,2 985 985
4 6,97 418,2
5 8,45 507 869 1854
6 8,93 535,8
7 6,41 384,6 1011,6 2865,6
8 6,21 372,6
9 7,13 427,8 767,6 3633,2
10 7,98 478,8
11 6,45 387 910 4543,2
a. Masa al ingreso: 21 706,2 g
b. Masa a la salida: 4 543,2 g
c. Masa reducida: 21 706,2 –4 543,2 = 17 163 g
d. Bioconversión (%B)
100
2,21706
17163
% xB 
% B = 79,06

Problemas propuestos
1. En una operación de biodegradación de un efluente orgánico se contabilizo el
caudal (Q) litros /hora, saliendo del bioreactor, conociendo que la carga orgánica
inicial fue de 6001 mg /l.
Tiempo
hora
Caudal (Q)
litro/h
Concentración
mg/l
1 4500 500
3 6500 561
5 4350 450
7 5321 325
9 4698 585
11 5331 625
13 4610 351
Determinar el volumen (V) en m3
, vertido al desagüe, la masa y concentración del
agente orgánico que se vierte al desagüe y él % de bioconversión
2. Un efluente orgánico conteniendo residuales de azúcar es tratado en un
bioreactor, contabilizando los siguientes datos:
Tiempo
(h)
Caudal
m3/s
Concentración
entrada
g/l
Concentración
salida
g/l
1 0,210 18 5
2 0,230 15 3,5
3 0,240 12 4,2
4 0,200 15 2,1
5 0,198 17 4,1
6 0,177 19 6,2
7 0,236 15 3,4
8 0,224 32 8,1
9 0,180 16 8,9
a. Determinar el volumen del efluente tratado
b. Cantidad de azúcar que ingresa y sale del bioreactor
c. Material que sé biodegrado
d. % de bioconversión
e. Concentración promedio del efluente que se vierte al desagüe
f. Determinar la cantidad de etanol formado en la bioconversión
2526126 COOHHCOHC 
3. Se tiene la siguiente información de salida de un efluente de una planta
procesadora de alimentos, hacia un desagüe publico. La medida del caudal se
efectúa cada hora, determinando el contenido de sólidos solubles orgánico
mediante sensores.

Tiempo
hora
Caudal (Q)
m3
/min
Concentración
mg/l
1 0,04 200
2 0,25 220
3 0,36 150
4 0,41 75
5 0,31 270
6 0,21 221
7 0,39 79
8 0,75 85
9 0,31 0,31
10 0,32 0,32
11 0,25 0,25
Determine el volumen del efluente que vierte al desagüe, la carga orgánica, y la
concentración promedio del mismo.
4. En un bioreactor se trata un efluente determinándose el flujo másico del agente
contaminante, obteniéndose los siguientes resultados:
Tiempo
hora
Flujo másico
entrada
kg/h
Flujo másico
salida
kg/h
1 45,6 18,3
2 32,5 10,9
3 55,3 12,3
4 53,8 8,25
5 45,9 9,13
6 62,4 8,53
7 44,8 7,23
8 46,8 10,90
9 49,6 11,3
Determinar la carga a la entrada y la salida del bioreactor, la carga orgánica se
biodegrada
Determinar la cantidad de material de entrada y salida
La cantidad de material biodegradado y su porcentaje de material biodegradado
.
En un bioreactor se ingresan dos flujos con diferentes cantidades de material orgánico, para ser
reducidos por bacterias. La información está en diagrama y tabla respectiva
Determinar el Volumen de cada efluente

La masa orgánica de entrada
La masa orgánica de salida
La masa orgánica reducida
El % de conversión
Concentración promedio de cada efluente

IV CALCULO DE RAICES DE POLINOMIOS
Método de Newton Rhapson
Este es uno de los métodos más eficientes para aproximar las soluciones de la ecuación
f(x)=0. Este método empieza con una aproximación inicial x0, la siguiente
aproximación x1 corresponde a la intersección con el eje de la recta tangente a la
gráfica Este proceso genera una sucesión denominada también cálculo iterativo cuya
expresión matemática es :
)(
)(
1
n
n
nn
xf
dx
d
xf
xx 
para todo valor n  0
Cuando el método de Newton converge se obtienen los resultados con relativa rapidez,
ya que para raíces no repetidas este método converge con orden 2, y el error es
proporcional al cuadrado del error anterior, Con lo que podríamos decir que en cada
iteración aproximadamente se duplica el número de dígitos correctos.
Por ejemplo encontrar la raiz real del siguiente polinomio
0322
 xx
de acuerdo al método se debe determinar la primera derivada
22)(  xxf
dx
d
aplicando la fórmula iterativa
22
322
1



n
nn
nn
x
xx
xx
para xn =2 1666,1
2)2(2
3)2(22
2
2
1 


nx

para xn = 1,166 006,1
2)166,1(2
3)166,1(2166,1
1666,1
2
1 


nx
para xn= 1,006 0000,1
2)006,1(2
3)006,1(2006,1
006,1
2
1 


nx
para xn= 1,0000 000,1
2)000,1(2
3)000,1(2000,1
000,1
2
1 


nx
Comprobando el valor de la raiz obtenida x=1, sustituyendo en la ecuación:
0322
 xx
  03121 22

PROBLEMAS PROPUESTOS
Encontrar las raíces de los siguientes polinomios
035.845.2
054
01669
034
02754368
08126
234
23
23
2
23
23






xxxx
xxx
xxx
xx
xxx
xxx

V ECUACIONES DIFERENCIALES
METODO DE RUNGE KUTTA
Sea la ecuación diferencial ),( yxf
dx
dy

Siendo su condición inicial 00 )( yxy 
Este método consiste en calcular los siguientes parámetros:
 
 3,.4
2
2
1
,
2
1
.3
1
2
1
,
2
1
.2
,.1
00
00
00
00
kyhxfhk
kyhxfhk
kyhxfhk
yxfhk
















Sustituyéndose en la ecuación:
   432221
6
1
0 kkkkyhxy o 
Ejemplo:
Resolver la siguiente ecuación diferencial:
La condición inicial es para x= 0 ; y =1
Calcular para un valor h = 0,1
Plantear las ecuaciones de los parámetros ki
  2
.1
2
1
yx
dx
dy

   
    0612,0311,001
2
1
1.04
0554,0
2
2
1
2
1.0
01
2
1
1.03
0551,0
2
1
1
2
1.0
01
2
1
1.02
05,0101
2
1
1.01
2
2
2
2
































































kk
k
k
k
k
k

Determinar el valor y(xo+h)
Aplicando la ecuación
     0554,10612,00554,020551,0205,0
6
1
1)1,0( y
Calcular para el siguiente valor: x =0,1 ; yo =1,0554 ; h =0,1
Determinar el valor y(xo+h) = y(0,1+0,1) = y(0,2)
Plantear las ecuaciones de los parámetros ki
Determinar el valor y(xo+h)
Aplicando la ecuación
     1236,107575,006822,0206782,020612,0
6
1
054,1)1,0( y
   432221
6
1
   432221
6
1
   
    07575,030554,11,01,01
2
1
1.04
06822,0
2
2
0554,1
2
1.0
1,01
2
1
1.03
06782,0
2
1
0554,1
2
1.0
1,01
2
1
1.02
06126,00554,11,01
2
1
1.01
2
2
2
2
































































kk
k
k
k
k
k

MÉTODO DE RUNGE - KUTTA
En la sección anterior se estableció que el método de Euler para resolver la ecuación
diferencial de primer orden
Y' = f(X, Y) (7)
con la condición inicial
Y(X0) = Y0 (8)
consiste en aplicar repetidamente la fórmula de recurrencia
Yn+1 = Yn + h f(Xn, Yn) donde n = 1, 2, 3, ... (9)
para determinar la solución de la ecuación diferencial en
X = X1, X2, X3, ...
Sustituyendo la función f(X,Y) dada en (7), en (9), se tiene que
Yn+1 = Yn + h Y'n (10)
expresión que indica que el método de Euler consiste gráficamente, en ir de un valor Yn
conocido de la solución de la ecuación diferencial (7) en un punto, al siguiente por
medio de la tangente T1 a la curva integral Y = Y(X) en el mismo punto de la solución
conocida, como se muestra en la siguiente figura.

De este planteamiento gráfico puede verse que una mejor aproximación a la solución de
la ecuación diferencial se obtendría si en vez de ir por la tangente T1 para determinar la
solución en el siguiente Punto Pivote, se utiliza una secante con pendiente igual al
promedio de pendientes de la curva integral en los puntos coordenados (Xn, Yn), (Xn+1,
Yn+1) en donde Xn+1 y Yn+1 pueden estimarse con el procedimiento normal de Euler,
como se muestra en la siguiente gráfica:
Con lo anterior se obtendría un método mejorado de Euler con error del orden de
definido por la expresión

(11)
en donde f(Xn+1, Yn+1) es el valor de la función f(X, Y) para:
X = Xn+1
Y = Yn + h f(Xn, Yn)
Observando las expresiones para resolver la ecuación diferencial, puede decirse que
ambas consisten en aplicar la fórmula de recurrencia
(12)
en donde
(13)
en el método de Euler y
(14)
en lo que
Y' = f(X, Y) (15)
en el método de Euler Mejorado.
Como se ve, estos métodos tienen los siguientes puntos en común:
1. Son métodos de un paso; para determinar Yn+1 se necesita conocer únicamente los
valores de Xn y Yn del punto anterior.
2. No requieren evaluar ninguna derivada, sino únicamente valores de la función f(X, Y).
Estas características dan origen a una gran variedad de métodos conocidos como de
Runge-Kutta. La diferencia entre ellos cosiste en la forma como se define la función
que aparece en la expresión (12).
La ventaja de los métodos de Runge-Kutta con respecto al uso de la serie de Taylor, que
es también un método de un paso, está expresado en el punto (2) anterior; es decir, los
métodos de Runge-Kutta requieren sólo de la función f(X, Y) y de ninguna derivada,
mientras que la serie de Taylor sí requiere de la evaluación de derivadas. Esto hace que,
en la práctica, la aplicación de los métodos de Runge-Kutta sean más simples que el uso
de la serie de Taylor.

Un método de Runge-Kutta para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de primer
orden con error del orden de , de uso tan frecuente que en la literatura sobre
métodos numéricos se le llama simplemente el Método de Runge-Kutta, se dará a
conocer sin demostrar y consiste en aplicar la ecuación de recurrencia (12) en donde la
función está dada por la expresión:
(16)
en el cual
(17)
La ecuación (16) se obtiene haciendo un promedio de las cuatro pendientes, k1, k2, k3 y
k4 a la curva integral, en forma semejante a como se procedió con las pendientes de las
tangentes T1 y T2 que dieron lugar a (11)
EJEMPLO
Resolver
aplicando el método de Runge-Kutta.
SOLUCIÓN
De la condición inicial del problema se tiene que X = 0, y Y = 1; además, h = 0.1.
Sustituyendo estos valores en (17) se obtiene:

Llevando estos valores a (16) y el resultante a (12) se obtiene que para X = 0.1 la
solución del problema es
Los valores de las ki para este punto obtenido de la solución, son:
luego
Continuando de la misma forma se obtiene la solución que se muestra en la siguiente
tabla:
X Y k1 k2 k3 k4
0.0 1.0000 0.5000 0.5516 0.5544 0.6127
0.1 1.0554 0.6126 0.6782 0.6823 0.7575
0.2 1.1236 0.7575 0.8431 0.8494 0.9494
0.3 1.2085 0.9492 1.0647 1.0745 1.2121
0.4 1.3158 1.2119 1.3735 1.3896 1.5872
0.5 1.4545 1.5868 1.8234 1.8517 2.1509
http://luda.azc.uam.mx/curso2/tema7/eqdif02.html#euler

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