Este documento describe la transformada de Laplace y sus propiedades. La transformada de Laplace convierte una función del tiempo en una función compleja, y su transformada inversa convierte la función compleja de vuelta a la función del tiempo original. Algunas propiedades clave incluyen que es lineal, traslada funciones en el tiempo o escala, y su transformada inversa puede usarse para integrar o derivar funciones. La transformada de Laplace es útil para analizar sistemas dinámicos lineales.

1. Material de Consulta
Mgr. Elizabeth Catheline Mejía Narro

2. Es un tipo de transformada integral frecuentemente
usada para la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias. La
transformada de Laplace de una función f(t) definida para todos los
números positivos t≥ 90 , es la función
F(s)=lt{𝑓(𝑡)} 𝑠 0
∞
= ∫ 𝑒−𝑠𝑡
𝑓 𝑡 𝑑𝑡
siempre y cuando la integral esté definida. Cuando f(t) es una
distribución con una singularidad en 0, la definición es
F(s)=l{ 𝑒→
𝑜
𝑓(𝑡)} = lim ∫0
∞
𝑒 −𝑠𝑡 𝑓 𝑡 𝑑𝑡.
Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se
refiere a la versión unilateral. También existe la transformada de
Laplace bilateral, que se define como sigue
𝐵 −∞
𝐹 𝑠 = 𝑙 {𝑓(𝑡)} = ∫
∞ 𝑒 −𝑠𝑡 𝑓 𝑡 𝑑𝑡. La transformada de Laplace F(s)
típicamente existe para todos los números reales s > a, donde a es una
constante que depende del comportamiento de crecimiento de . es

3. En matemática, la transformada
inversa de Laplace de una función
F(s) es la función f(t) que cumple
con la propiedad 𝑙{𝑓(𝑡)} = 𝐹 𝑠 ,
donde 𝑙 es la transformada de
Laplace.
La transformada de Laplace junto
con la transformada inversa de
Laplace tienen un número de
propiedades que las hacen útiles
para el análisis de sistema
dinámicos lineales.

4. PROPIEDAD LINEAL: Si 𝑐1 y 𝑐2 son constantes
arbitrarias y 𝑓1 𝑠 y 𝑓2(𝑠) son las transformadas
de Laplace de 𝑓1(𝑡) y 𝑓2(𝑡), entonces,
1[𝐹1 𝑠 +𝐹2(𝑠)]
𝑙− = 𝑐1. 𝑙 −1[𝐹1(𝑆)]+
𝑐2. 𝑙 −1[𝐹2(𝑠)]=𝑐1
.f1(t)+𝑐2. F2(t) También se aplica para mas de dos
funciones.
PRIMERA PROPIEDAD DE TRASLACION: Si
l−1[𝐹(𝑠)]=𝑓(𝑡), entonces l−1[𝐹(𝑠−𝑎)]=𝑒𝑎𝑡.𝑓(𝑡)
SEGUNDA PROPIEDAD DE TRALACION: si
l−1[𝐹(𝑠)]=𝑓(𝑡),entonces
𝑓 𝑡 − 𝑎 𝑡 > 𝑎
l−1[𝑒−𝑎 𝑠
. 𝐹(𝑠)]={
0 𝑡 > 𝑎

5. PROPIEDAD DEL CAMBIO DE ESCALA: l−1[𝐹(𝑠)]=𝑓(𝑡),
1
𝑘
1[𝐹(𝑘 . 𝑠)]= . 𝑓 𝑡
𝑘
entonces l− ( )
𝑠
Donde k representa una constante
TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE EN LAS
INTEGRALES: si l−1[𝐹(𝑠)]=𝑓(𝑡), entonces
l −1 [∫
∞ 𝐹 𝑢 𝑑𝑢 ]=𝒇(𝒕)
𝒕
TRANSFORMADAS INVERSA DE LAPLACE EN LAS
DERIVADAS: si l−1[𝐹(𝑠)]=𝑓(𝑡), entonces
l−
𝑑 𝑠
𝑛
𝑑𝑛
1[ 𝐹(𝑠)]=(−1)𝑛.𝑡𝑛 . 𝑓(𝑡)
MULTIPLICACION POR S^𝑵 : si l−1[𝐹(𝑠)]=𝑓(𝑡) y f (0)=0,
entonces l−1[𝑠 . 𝐹(𝑠)] = 𝑓´ 𝑡 por lo que multiplicando
por s produce el efecto de derivar f(t).
Si f(0)≠ 0, entonces l−1[𝐹(𝑠)−𝑓(0)]=𝑓´ 𝑡 o también
l−1[𝑠. 𝐹 𝑠 =𝑓´ 𝑡 −𝑓 0 .
𝛿 𝑡 donde𝛿(𝑡) representa la función
delta de dirac o la función de impulso unitario.

6.  DIVISION POR S: si l−1[𝐹(𝑠)]=𝑓(𝑡) entonces
𝑠 0
l−1 [𝐹(𝑠)
] = ∫
𝑡
𝑓 𝑢 𝑑𝑢 De manera que la división por
𝑠 (o multiplicación por 1/s) produce el efecto de
integrar entre 𝑓 𝑡 0 y 𝑡.
 PROPIEDAD DE CONVOLUCION: l−1[𝐹(𝑠)]=𝑓(𝑡) y
𝑙 −1 [𝐺(𝑠)] = 𝑔 𝑡 , entonces 𝑙 −1 [𝐹 𝑠 𝐺(𝑠)] =
0
𝑡
∫ 𝑓 𝑢 𝑔 𝑡 − 𝑢 𝑑𝑢 = 𝐹 ∗ 𝐺
La expresión 𝐹 ∗ 𝐺 se llama la convolución de F y
G, y este teorema se llama el teorema de
convolución o propiedad de convolución.

7. *1)|f (t)|< Mta-1en el intervalo 0≤ t ≤ t0 donde
M, a y t0 son algún número positivo.
*2) f (t) es una función exponencial de orden α
(cualquier número real) cuando t → ∞(esto es
|f(t) | < Neat para t > T donde N y T son números
positivos), y
*3) f (t) es una función continua o continua en
tramos (que tiene un número finito de
discontinuidades finitas) en cada intervalo to ≤ t
≤ T y to > 0
*Entonces F(s) existe para todo s >α. Estas
últimas restricciones en S no limita el uso de la
transformada ya que las restricciones son
condiciones suficientes para la existencia de la
transformada de Laplace.
*A partir de la definición de la transformada de
Laplace como una integral se tiene que si se
cumple con las condiciones de la existencia, la
transformada será única.