matematica 4

1. Propiedades de la Transformada de Fourier
Demostraciones
W. Colmenares
Universidad Sim´on Bol´ıvar, Departamento de Procesos y Sistemas
Resumen
Algunas propiedades de la transformada de Fourier y sus demostraciones. Observe
que las Series de Fourier comparten la mayor´ıa de las propiedades de la Transfor-
mada de Fourier y que es f´acil extrapolar las propiedades de las Series a partir de
las de las transformadas.
1. Generalidades
En general, para una se˜nal x(t) su transformada de Fourier, que asumiremos
conocida, ser´a X(jω). Es decir:
F[x(t)] = X(jω) ´o F−1
[X(jω)] = x(t).
2. Linealidad
F[x(t) + y(t)] = X(jω) + Y (jω)
2.1. Demostraci´on
F[x(t)+y(t)] =
∞
−∞
(x(t)+y(t))e−jωt
dt =
∞
−∞
x(t)e−jωt
dt+
∞
−∞
y(t)e−jωt
dt = X(jω)+Y (jω)
Preprint submitted to PS2315 5 de junio de 2007

2. 3. Semejanza
F[X(t)] = 2πx(−jω).
3.1. Demostraci´on
Note que:
X(jω) =
∞
−∞
x(t)e−jωt
dt = y x(t) =
1
2π
∞
−∞
X(jω)ejωt
dω;
por lo que si reemplazamos jω por −t, y viceversa, en ambas expresiones,
recuperamos la otra por un factor de 2π.
4. Desplazamiento en el tiempo
F[x(t − t0)] = e−jωt0
X(jω)
4.1. Demostraci´on
x(t) =
1
2π
∞
−∞
X(jω)ejωt
dω ⇒ x(t − t0) =
1
2π
∞
−∞
X(jω)ejω(t−t0)
dω
luego
x(t − t0) =
1
2π
∞
−∞
e−jωt0
X(jω)
F[x(t−t0)]
ejωt
dω
5. Conjugaci´on y Simetr´ıa
F[x∗
(t)] = X∗
(−jω)
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3. 5.1. Demostraci´on

X(jω) =
∞
−∞
x(t)e−jωt
dt


∗
⇒ X∗
(jω) =
∞
−∞
x∗
(t)ejωt
dt
luego
X∗
(−jω) =
∞
−∞
x∗
(t)
F−1[X∗(−jω)]
e−jωt
dt
5.2. Corolario
En las se˜nales reales se cumple que x(t) = x∗
(t) luego
∞
−∞
x∗
(t)
F−1[X∗(−jω)]
e−jωt
dt =
∞
−∞
x(t)
F−1[X(jω)]
e−jωt
dt
por lo que: X∗
(−jω) = X(jω) ´o X∗
(jω) = X(−jω).
6. Transformada de la derivada
F[dx(t)
dt
] = jωX(jω)
6.1. Demostraci´on
d
dt

x(t)) =
1
2π
∞
−∞
X(jω)ejωt
dω

 ⇒
dx(t)
dt
=
∞
−∞
jωX(jω)
F[
dx(t)
dt
]
ejωt
dω
7. Transformada de la convoluci´on
F[x(t) ∗ y(t)] = X(jω)Y (jω)
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4. 7.1. Demostraci´on
F[x(t) ∗ y(t)] = F[
∞
−∞
x(τ)y(t − τ)dτ] =
∞
−∞
∞
−∞
x(τ)y(t − τ)dτe−jωt
dt
cambiando el orden de integraci´on resulta:
∞
−∞
x(τ)
∞
−∞
y(t − τ)e−jωt
dtdτ
haciendo λ = t − τ
∞
−∞
x(τ)e−jωτ
∞
−∞
y(λ)e−jωλ
dλdτ =
∞
−∞
x(τ)e−jωτ
Y (jω)dτ = X(jω)Y )jω)
8. Escalamiento
F[x(at)] = 1
|a|
X(jω
a
)
8.1. Demostraci´on
F[x(at)] =
∞
−∞
x(at)ejωt
dt =
1
|a|
∞
−∞
x(λ)ej jωλ
a dλ =
1
|a|
X(
jω
a
)
9. La transformada del escal´on
Para poder desarrollar la transformada de la integral, necesitamos hacer primero
la transformada del escal´on. Adem´as, aprovechando que se desarrolla la del
escal´on, desarrollaremos, por su similaridad, la de una constante.
Para hacer la transformada del escal´on u(t), observe que:
u(t) = l´ım
a→0
e−at
u(t); a > 0
y sabemos que:
F[e−at
u(t)] =
1
a + jω
=
a
a2 + ω2
−
jω
a2 + ω2
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5. El segundo t´ermino tiende a 1/jω cuando a → 0. Del primer t´ermino sabemos
que en ω = 0 est´a en 1/a y en ω = ±a est´a en 1/2a. Luego, a medida que
a → 0 la curva se acerca a cero para toda ω salvo en cero en la que tiende a
infinito. M´as a´un,
∞
−∞
a
a2 + ω2
dω = tan−1 ω
a
|∞
−∞ = π
y tenemos entonces, una funci´on que tiende a cero para toda ω salvo en cero
en la que tiende a infinito y adem´as su ´area es constante e independiente de
a, luego:
l´ım
a→0
a
a2 + ω2
= πδ(ω)
Por lo que:
F[u(t)] =
1
jω
+ πδ(ω)
10. La transformada de una constante
Observe que: 1 = l´ıma→0{e−at
u(t) + eat
u(−t)}
Como
F[e−at
u(t)] =
1
a + jω
entonces
F[eat
u(−t)] =
1
a − jω
y
F[e−at
u(t) + eat
u(−t)] =
2a
a2 + ω2
del ejercicio anterior sabemos que
l´ım
a→0
2a
a2 + ω2
= 2πδ(ω)
luego F[1] = F[l´ıma→0{e−at
u(t) + eat
u(−t)}] = 2πδ(ω)
11. La transformada de la integral
F[
t
−∞
x(t)dt] = F[x(t)∗u(t)] = X(jω)U(jω) = X(jω)(
1
jω
+πδ(ω)) =
X(jω)
jω
+πX(0)
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6. 12. El teorema de Parseval
La energ´ıa de una se˜nal medida en el dominio del tiempo o de la frecuencia
es la misma, i.e.,
∞
−∞
|x(t)|2
dt =
1
2π
∞
−∞
|X(jω)|2
dω
12.1. Demostraci´on
∞
−∞
x(t)x∗
(t)dt =
1
2π
∞
−∞
x(t)
∞
−∞
X∗
(jω)e−jωt
dωdt
cambiando el orden de integraci´on
1
2π
∞
−∞
X∗
(jω)
∞
−∞
x(t)e−jωt
dt
X(jω)
dω
a partir de donde es inmediato el resultado
13. Notas finales
Quedan algunas demostraciones, como multiplicaci´on en el tiempo o corrim-
iento en frecuencia, multiplicaci´on por t, etc. De f´acil extracci´on a trav´es de
la propiedad de semejanza. Dejamos que el lector interesado las trabaje.
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