Este documento explica el método de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Describe que el método involucra calcular determinantes para determinar los valores de las incógnitas. Explica el procedimiento paso a paso usando un ejemplo de tres ecuaciones con tres incógnitas.

1. Regla de Cramer o método
por determinantes
G. Edgar Mata Ortiz

2. Sistemas de ecuaciones
lineales
Una ecuación lineal se caracteriza porque sus
incógnitas están elevadas a una potencia
unitaria.
No contiene funciones trascendentes como
logaritmo, seno o coseno, entre otras.
Un sistema de ecuaciones lineales consta de
dos o más ecuaciones, generalmente con el
mismo número de incógnitas.

3. Solución de un Sistemas de
ecuaciones lineales
La solución de un sistema de ecuaciones
lineales está formada por los valores de las
incógnitas que, al mismo tiempo, hacen
verdaderas a todas las ecuaciones que forman
el sistema.
Se puede comprobar si la solución obtenida es
correcta sustituyendo los valores obtenidos en
todas las ecuaciones: Si se obtienen
identidades, la solución es correcta.

4. Solución de un Sistemas de
ecuaciones lineales
No todos los sistemas de ecuaciones tiene
solución, y cuando la tienen, no siempre es
solución única.
Existen diferentes métodos de solución de
sistemas de ecuaciones lineales:
Método gráfico
Métodos algebraicos
Métodos lineales

5. Solución de un Sistemas de
ecuaciones lineales
A veces es preferible un método de solución,
en otras ocasiones no es posible emplear
algún método en particular, por ello, es
necesario conocer diferentes métodos y elegir
el que mejor responde a las necesidades
específicas de cada problema.
En este material estudiaremos el método de
Cramer o método por determinantes.
3
3
3
4
1 2
4
2
2− −
− −
−

6. Método de Cramer
El método de Cramer puede resultar laborioso,
pero tiene la ventaja de que es mecánico y
repetitivo, por lo que es relativamente fácil de
aprender y de automatizar con la ayuda de una
computadora.
3
3
3
4
1 2
4
2
2− −
− −
−
3
3
3
4
1 2
4
2
2− −
− −
−

7. Método de Cramer
Un ejemplo de resolución de un sistema de
dos ecuaciones con dos incógnitas por el
método de Cramer, automatizado con Excel se
encuentra en el siguiente enlace:
http://licmata-math.blogspot.mx/2012/10/metodo-de-cramer-determinantes-en-excel.html
- 3 + 2 x = + 2.00
- 2 + 5
y = + 1.00
Ecuación 1: - 3 x + 2 y = - 4 Dx = - 4 + 2 = - 20 - 2 = - 22
Ecuación 2: - 2 x + 5 y = + 1 + 1 + 5
Dy = - 3 - 4 = - 3 - 8 = - 11
- 2 + 1
Método de Cramer.
- 11
Sisyema de dos ecuaciones con
dos incógnitas.
DP = = - 15 + 4 =

8. Método de Cramer
La mejor forma de aprender estos métodos es
a partir de ejemplos.
En las siguientes diapositivas se irá
desarrollando el procedimiento, paso a paso,
para resolver un sistema de tres ecuaciones
con tres incógnitas por el método de Cramer o
por determinantes.

9. Ejemplo:
Resolver el sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas
+ 3 x1 - 6 x2 + 9 x3 = + 18
+ 2 x1 - 4 x2 + 5 x3 = + 11
- 3 x1 - 4 x2 + 6 x3 = + 17

10. Los coeficientes de las incógnitas se convierten
en el determinante principal del sistema.
Ejemplo:
Resolver el sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas
+ 3 x1 - 6 x2 + 9 x3 = + 18
+ 2 x1 - 4 x2 + 5 x3 = + 11
- 3 x1 - 4 x2 + 6 x3 = + 17
+ 3 - 6 + 9
DP = + 2 - 4 + 5
- 3 - 4 + 6

11. 2. Calcular el valor del DP
Existen varias formas de calcular el determinante
principal, una de ellas consiste en agregar, a la
derecha, las dos primeras columnas del mismo
determinante.
+ 3 - 6 + 9 + 3 - 6
DP = + 2 - 4 + 5 + 2 - 4
- 3 - 4 + 6 - 3 - 4

12. 2. Calcular el valor del DP
+ 3 - 6 + 9 + 3 - 6
DP = + 2 - 4 + 5 + 2 - 4
- 3 - 4 + 6 - 3 - 4
- 72 + 90 - 72
Ahora se multiplica, en diagonal, como se
muestra en la figura.

13. 2. Calcular el valor del DP
+ 3 - 6 + 9 + 3 - 6
DP = + 2 - 4 + 5 + 2 - 4
- 3 - 4 + 6 - 3 - 4
- 108 + 60 + 72
Nuevamente se multiplica en diagonal, y se
cambia el signo a los resultados.

14. 2. Calcular el valor del DP
+ 3 - 6 + 9 + 3 - 6
DP = + 2 - 4 + 5 + 2 - 4
- 3 - 4 + 6 - 3 - 4
- 108 + 60 + 72 - 72 + 90 - 72
DP = -30
Finalmente se suman algebraicamente los
seis resultados de las multiplicaciones.

15. 3. Determinante para x1 (Dx1)
+ 18 - 6 + 9
Dx1 = + 11 - 4 + 5
+ 17 - 4 + 6
El determinante para x1 es como el
determinante principal, pero se cambia la
primera columna, anotando en lugar de los
coeficientes, los términos independientes.
+ 3 x1 - 6 x2 + 9 x3 = + 18
+ 2 x1 - 4 x2 + 5 x3 = + 11
- 3 x1 - 4 x2 + 6 x3 = + 17

16. + 18 - 6 + 9 + 18 - 6
Dx1 = + 11 - 4 + 5 + 11 - 4
+ 17 - 4 + 6 + 17 - 4
4. Calcular el valor del Dx1
Se multiplican las 6 diagonales (no olvides cambiar los signos en tres de
ellas) y se suman los seis resultados anteriores
Dx1 =

17. 5. Determinante para x2 (Dx2)
Es como el determinante principal, pero se cambia la segunda columna,
anotando en lugar de los coeficientes, los términos independientes.
+ 3 + 18 + 9
Dx2 = + 2 + 11 + 5
- 3 + 17 + 6

18. +3 +18 +9 +3 +18
Dx2 = +2 +11 +5 +2 +11
- 3 +17 +6 - 3 +17
6. Calcular el valor del Dx2
Se multiplican las 6 diagonales (no olvides cambiar los signos en tres de
ellas) y se suman los seis resultados anteriores
Dx2 =

19. 7. Determinante para x3 (Dx3)
Es como el determinante principal, pero se cambia la tercera columna,
anotando en lugar de los coeficientes, los términos independientes.
+ 3 - 6 + 18
Dx3 = + 2 - 4 + 11
- 3 - 4 + 17

20. +3 - 6 +18 +3 - 6
Dx3 = +2 - 4 +11 +2 - 4
- 3 - 4 +17 - 3 - 4
8. Calcular el valor del Dx3
Se multiplican las 6 diagonales (no olvides cambiar los signos en tres de
ellas) y se suman los seis resultados anteriores
Dx3 =

21. Resultados de los
determinantes
DP = -30
Dx1 = +30
Dx2 = +60
Dx3 = -30
+ 3 - 6 + 9
DP = + 2 - 4 + 5
- 3 - 4 + 6
+ 18 - 6 + 9
Dx1 = + 11 - 4 + 5
+ 17 - 4 + 6
+ 3 + 18 + 9
Dx2 = + 2 + 11 + 5
- 3 + 17 + 6
+ 3 - 6 + 18
Dx3 = + 2 - 4 + 11
- 3 - 4 + 17

22. Valores de las incógnitas
Se obtienen dividiendo
cada determinante de
x1, x2 y x3 entre el
determinante principal:
1
1
2
2
3
3
x
P
x
P
x
P
D
x
D
D
x
D
D
x
D
=
=
=

23. Valores de las incógnitas
1
1
2
2
3
3
x
P
x
P
x
P
D
x
D
D
x
D
D
x
D
=
=
=
1 1
2 2
3 3
30
1
30
60
2
30
30
1
30
x x
x x
x x
=  = −
−
=  = −
−
−
=  = +
−

24. GRACIAS POR SU ATENCIÓN
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