Este documento define el arcocoseno hiperbólico, su gráfica y su fórmula explícita. Explica que el arcocoseno hiperbólico es la función inversa del coseno hiperbólico, con dominio en [1, +∞) y codominio en [0, +∞). Deriva la fórmula explícita arccosh x = log x + x2 - 1 a través de despejar la ecuación cosh y = x.

1. Arcocoseno hiperbólico.
Definición, fórmula y
gráfica.
José de Jesús García Ruvalcaba
UABC

2. Coseno hiperbólico.
• Recordemos que el coseno hiperbólico es la componente par de la
función exponencial:
cosh 𝑥 =
𝑒 𝑥 + 𝑒−𝑥
2

3. Gráfica del coseno
hiperbólico.
Su imagen es:
𝑖𝑚 cosh = [1, +∞)
Restringimos el contradominio a ese
intervalo.
Es una función par, por lo tanto no puede
ser inyectiva. Restringimos su dominio a
[0, +∞)

4. Gráfica del coseno
hiperbólico, ya restringido.
cosh: [0, +∞) → [1, +∞)
Su inversa es:
arccosh: [1, +∞) → [0, +∞)

5. Gráfica del arcocoseno
hiperbólico.
arccosh: [1, +∞) → [0, +∞)

6. Fórmula explícita para el arcocoseno
hiperbólico.
• Sea 𝑦 = arccosh 𝑥
• Esto implica que 𝑥 ∈ [1, +∞) y que 𝑦 ∈ [0, ∞)
• Con desigualdades
𝑥 ≥ 1
𝑦 ≥ 0

7. Fórmula explícita para el arcocoseno
hiperbólico.
• Sea 𝑦 = arccosh 𝑥
𝑥 = cosh 𝑦
𝑥 =
𝑒 𝑦
+ 𝑒−𝑦
2
• Hay que despejar 𝑦.

8. Continuación.
𝑥 =
𝑒 𝑦
+ 𝑒−𝑦
2
2𝑥 = 𝑒 𝑦 + 𝑒−𝑦
0 = 𝑒 𝑦 − 2𝑥 + 𝑒−𝑦
𝑒 𝑦 − 2𝑥 + 𝑒−𝑦 = 0
𝑒2𝑦 − 2𝑥𝑒 𝑦 + 1 = 0

9. Continuación.
𝑒2𝑦 − 2𝑥𝑒 𝑦 + 1 = 0
𝑒 𝑦 =
− −2𝑥 ± −2𝑥 2 − 4 1 1
2 1
𝑒 𝑦
=
2𝑥 ± 4𝑥2 − 4
2

10. Continuación.
𝑒 𝑦
=
2𝑥 ± 4𝑥2 − 4
2
𝑒 𝑦
=
2𝑥 ± 4 𝑥2 − 1
2
𝑒 𝑦
=
2𝑥 ± 2 𝑥2 − 1
2
𝑒 𝑦
= 𝑥 ± 𝑥2 − 1

11. Desigualdades necesarias.
• Utilizando que 𝑥 ≥ 1, se llega a:
𝑥 + 𝑥2 − 1 ≥ 1
𝑥 − 𝑥2 − 1 ≤ 1
• Utilizando que 𝑦 ≥ 0, obtenemos:
𝑒 𝑦 ≥ 1
• Por lo tanto,
𝑒 𝑦
= 𝑥 + 𝑥2 − 1

12. Conclusión.
𝑒 𝑦
= 𝑥 + 𝑥2 − 1
𝑦 = log 𝑥 + 𝑥2 − 1
arccosh 𝑥 = log 𝑥 + 𝑥2 − 1
𝑥 ∈ [1, +∞)

13. Resumen
arccosh: [1, +∞) → [0, +∞)
arccosh 𝑥 = log 𝑥 + 𝑥2 − 1