CARACTERÍSTICAS DEL PLANO CARTESIANO UBICACIÓN DE PUNTOS ECUACIÓN IMPLÍCITA Y EXPLÍCITA DE LA RECTA RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES

2. EL PLANO CARTESIANO
El plano cartesiano consta de dos rectas numéricas
perpendiculares llamadas ejes de coordenadas que se
cortan en el cero. Al punto de corte de las dos rectas se le
llama origen y se suele denotar con la letra O.
La recta horizontal se llama eje x o de abscisas y la
vertical, eje y o de ordenadas.
Cada punto del plano viene determinado por dos números
llamados coordenadas:
• Coordenada x o abscisa:
Es el número del eje x que aparece en la misma vertical que
el punto.
Coincide con la distancia del punto al eje y.
• Coordenada y u ordenada.
Es el número del eje y que aparece a la misma altura que el
punto.
Coincide con la distancia del punto al eje x.
Así, cualquier punto P del plano podrá expresarse en la
forma P(x,y) donde x es su abscisa e y su ordenada.
O 𝐸𝑗𝑒 𝑥
𝐸𝑗𝑒 𝑦 𝑂𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠
𝐴𝑏𝑠𝑐𝑖𝑠𝑎
𝑃 ;
𝑥
𝑥
𝑦
𝑦

3. UBICAR PUNTOS EN EL PLANO CARTESIANO

4. Ubicación de puntos
Representa en el plano cartesiano cada uno de
los siguientes puntos:
𝐴 = 4,5 𝐵 = −1; 3 𝐶 = 0; 6
𝐷 = −2; −4 𝐸 = 7; 0 𝐹 = 0; −2
𝑃
𝑄
𝑅
𝑇
𝑈
𝑊
𝑍
Determinar las coordenadas de los puntos representados :
𝑉
P Q R S T U V W Z
; ; ; ; ; ; ; ; ;
𝑆
A

5. PUNTOS QUE CUMPLE UNA CONDICIÓN
• Todos los puntos cuyas coordenadas sumadas den 3
• simbólicamente: 𝑥 ; 𝑦 / 𝑥 + 𝑦 = 3
• Tabla de valores
• Teniendo en cuenta que en cada uno de los ejes
cartesianos se
encuentran todos los números reales , tendríamos
infinita
cantidad de puntos
• Los puntos cuya condición es 𝑥 ; 𝑦 / 𝑥 + 𝑦 = 3 son
puntos que pertenecen a una RECTA OBLICUA
𝒙 −𝟏 𝟎 𝟏 𝟐 𝟑 𝟒
𝒚 𝟒 𝟑 𝟐 𝟏 𝟎 −𝟏
𝒙 + 𝒚 𝟑 𝟑 𝟑 𝟑 𝟑 𝟑
𝒑𝒂𝒓 𝒐𝒓𝒅𝒆𝒏𝒂𝒅𝒐−𝟏; 𝟒 𝟎; 𝟑 𝟏; 𝟐 𝟐; 𝟏 𝟑; 𝟎 𝟒; −𝟏

6. RECTAS Y CONDICIÓN O ECUACIÓN QUE VERIFICAN SUS PUNTOS
𝑟3: 𝑥 ; 𝑦 / 2𝑥 − 𝑦 = 1 𝑟4: 𝑥 ; 𝑦 / 3𝑥 + 𝑦 = 4
Para identificar alguno de esos pares despejaremos la 𝑦 a la que
llamaremos variable dependiente ya que su valor se conocerá
dándole valores arbitrarios a 𝑥 o variable independiente
𝒙 𝒚 = 𝟐𝒙 − 𝟏
𝑟1 tiene todos los puntos a la misma distancia
respecto del eje 𝑥 o sea que mantiene constante el
valor de 𝑦
𝑟1; 𝑥 ; 𝑦 / 𝑦 = 4
𝑟2 tiene todos los puntos a la misma distancia del
eje 𝑦 o sea que mantiene constante el valor de 𝑥
𝑟; 𝑥 ; 𝑦 / 𝑥 = 7
𝑟1
𝑟2
𝒙 𝒚 = −𝟑𝒙 + 𝟒
CRECIENTE
DECRECIENTERECTA HORIZONTAL
RECTA VERTICAL
−𝟏 −𝟏
𝟎 𝟎
𝟐 𝟐
−3 2. (−1) − 1
−1
𝟑
RECTA OBLICUAS
2. (0) − 1
2. (.2) − 1
−3. −1 + 4𝟕
𝟒
−𝟐
−3. 0 + 4
−3. 2 + 4

7. ECUACIONES DE LAS RECTAS EN EL PLANO
Ecuación implícita de la recta
A𝑥 + 𝐵𝑦 = 𝐶
𝑆𝑖 𝐴 = 0
𝑦 =
𝐶
𝐵
𝑚 > 0
La Ecuación explícita
Rectas horizontales Rectas verticales
𝑆𝑖 𝐵 = 0
𝑥 =
𝐶
𝐴
Rectas oblicuas
𝑆𝑖 𝐵 ≠ 0 → 𝑦 =
−𝐴
𝐵
𝑥 +
𝐶
𝐵
→ 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏
𝑚 =
−𝐴
𝐵
, 𝑏 =
𝐶
𝐵 𝑚 < 0
𝑦 = 4
𝑦 = 1
𝑦 =-2
𝑦 = 0
𝑥 = −3
𝑥 = −1
𝑥 =
3
2
𝑦 = 𝑥 + 3
𝑦 = 2𝑥 − 1 𝑦 = −2𝑥 − 1
𝑦 = −
1
3
𝑥 − 1

8. GRAFICA DE UNA RECTA TABULANDO
• Dada la ECUACIÓN IMPLICITA despejar la ordenada (y) para obtener la ECUACIÓN EXPLICITA y
confeccionar una tabla
3𝑥 + 2𝑦 − 6 = 0
2𝑦 = 6 − 3x
2𝑦 = 6 − 3x
𝑦 =
6 − 3x
2
x 𝒚 =
𝟔 − 𝟑𝒙
𝟐
-2 6
𝟔 − 𝟑. (−𝟐)
𝟐
0 0
𝟔 − 𝟑. 𝟎
𝟐
2 3
𝟔 − 𝟑. 𝟐
𝟐
−2𝑥 − 𝑦 + 5 = 0
−𝑦 = −5 + 2𝑥
𝑦 = 5 − 2𝑥
x 𝒚 = 𝟓 − 𝟐𝒙
-1 7 𝟓 − 𝟐. (−𝟏)
0 5 𝟓 − 𝟐.0
2 1 𝟓 − 𝟐.2

9. ORDENADA Y ABSCISA AL ORIGEN y GRAFICA DE LA RECTA
• Se llama Ordenada al Origen (𝑦0) al valor de 𝑦 que le corresponde a 𝑥 = 0
• El par que pertenece a la recta y al eje y es de la forma (0 , 𝑦0)
• Se llama Abscisa al Origen (𝑥0) al valor de 𝑦 que le corresponde a 𝑦 = 0
• El par que pertenece a la recta y al eje x es de la forma (𝑥0 , 0)
𝑥 + 2𝑦 − 3 = 0
Ordenada al Origen
2𝑦 = 3 𝑦 =
3
2
Si y = 0 → 𝑥 + 2.0 − 3 = 0
Abscisa al Origen
𝑥 = 3
El punto del 𝑒𝑗𝑒 𝑦 que pertenece a la recta es 0,
3
2
Si x = 0 → 𝑥 + 2.0 − 3 = 0
El punto del 𝑒𝑗𝑒 𝑥 que pertenece a la recta es 3 .0

10. PENDIENTE DE UNA RECTA
Si se observan las rectas del primer grupo de
rectas podemos decir que tienen la misma
“inclinación o pendiente” mientras que en el
segundo tienen diferente inclinación o pendiente
También se habla de pendiente en las escaleras .
Cuando los escalone son más altos que anchos la
escalera tiene mayor mediante
De escaleras que suben , de escaleras que bajan

11. LA ECUACIÓN EXPLISITA DE LA RECTA
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏
tiene dos parámetros
𝑏: llamado “Ordenada al origen” 𝑚: llamado “Pendiente”
Ordenada al origen:
es el valor de y que le corresponde a 𝑥 = 0
entonces 𝑠𝑖 𝑥 = 0 𝑦 =
4
3
. 0 − 2
𝑦 = −2 → 0; −2
es el punto de la recta que se encuentra
sobre el eje de ordenadas
Pendiente:
es la razón entre la variación de 𝑦: ∆𝑦 y la
variación de 𝑥: ∆𝑥
𝑚 =
∆𝑦
∆𝑥
x y
3 2
6 6
9 10
En la tabla de valores de la
recta de pendiente 𝑚 =
4
3
se observar que cuando
𝑥 se incremente en 3
unidades 𝑦 aumenta 4
∆𝑥 = 3 ∆𝑦 = 4
∆𝑦 = 4
∆𝑥 = 3
Si la ecuación implícita de la resta es −4𝑥 + 3𝑦 entonces 𝑦 = (4𝑥 − 6):3
Y la ecuación explícita de la misma 𝑦 =
4
3
𝑥 − 2

12. Representación de la recta por ordenada al origen y
pendiente
𝑦 =
4
3
𝑥 − 2
• 𝑚 =
4
3
→
→
∆𝒚
∆𝒙
=
𝒗𝒂𝒓í𝒂 𝒆𝒏 𝟒 𝒖𝒏𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔 𝒆𝒏 𝒚
𝑣𝑎𝑟í𝑎 𝑒𝑛 3 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑥
• 𝑏 = −2 corta eje y en (0; −2)

13. Representación de la recta por ordenada al origen y
pendiente
𝑦 = −
1
2
𝑥 + 3
• 𝑚 = −
1
2
→
→
∆𝒚
∆𝒙
=
𝒗𝒂𝒓í𝒂 𝒆𝒏 − 𝟏 𝒖𝒏𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔 𝒆𝒏 𝒚
𝒗𝒂𝒓í𝒂 𝒆𝒏 𝟐 𝒖𝒏𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔 𝒆𝒏 𝒙
• 𝑏 = 3 corta eje y en (0; 3)
∆𝒚 = −𝟏
∆𝒙 = 𝟐

14. Representación de la recta por ordenada al origen y
pendiente
𝑦 = 3𝑥 − 1
• 𝑚 = 3 =
3
1
→
→
∆𝒚
∆𝒙
=
𝒗𝒂𝒓í𝒂 𝒆𝒏 𝟑 𝒖𝒏𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔 𝒆𝒏 𝒚
𝒗𝒂𝒓í𝒂 𝒆𝒏 𝟏 𝒖𝒏𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔 𝒆𝒏 𝒙
• 𝑏 = −1 corta eje y en (0; −1)
∆𝒚 = 𝟑
∆𝒙 = 𝟏

15. b
RECTAS EN EL PLANO CARTESIANO
Pendiente de una
recta y ordenada al origen
Rectas Paralelas
Forma general o
implícita
Forma explicita
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 = 𝐶
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏
Rectas Perpendicular
𝒚 = 𝟐𝒙 + 𝟑
𝒚 = 𝟐𝒙
𝒚 = 𝟐𝒙 − 𝟓
𝒚 = 𝟐𝒙 + 𝟏
𝒚 = −
𝟏
𝟐
𝒙 − 𝟓
𝑟1||𝑟2
𝑚1 = 𝑚2
𝑟1 ⊥ 𝑟2
𝑚1 = −
1
𝑚2
𝑚 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
𝑟 ∩ 𝑒𝑗𝑒𝑦
= (0; 𝑏)

16. Obtener la ecuación de una recta
• Ejemplo1:
Obtener la ecuación de la recta cuya pendiente es 3 y que corta al eje y en −2
• Ejemplo2:
Obtener la ecuación de la recta cuya pendiente es
5
4
que pasa por el punto 𝑃 = (−8; 1)
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 𝑚 = 3
𝑦 = 3𝑥 + 𝑏
𝑂. 𝑂: 𝑏 = −2
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏
𝑚 =
5
4
𝑦 =
5
4
𝑥 + 𝑏
𝑆𝑖 𝑥 = −8 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑦 = 1
𝑦 = 3𝑥 − 2
1 =
5
4
. (−8) + 𝑏
1 = −10 + 𝑏 → 𝑏 = 11
𝑦 =
5
4
𝑥 + 11
2da lectura
Lectura comprensiva

17. Obtener la ecuación de una recta
• Ejemplo3:
Obtener la ecuación de la recta que corta al eje y en 4 y que pasa por el punto 𝑃 = (3; 2)
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 𝑏 = 4
𝑦 = 𝑚𝑥 + 4
𝑠𝑖 𝑥 = 3 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑦 = 2
2 = 𝑚. 3 + 4
2 + 4 = 3𝑚
6 ∶ 3 = 𝑚
2 = 𝑚
𝑦 = 2𝑥 + 4

18. Obtener la ecuación de una recta
• Ejemplo4:
Obtener la ecuación de 𝑟1 sabiendo que es paralela a 𝑟2: 𝑦 = −
1
2
𝑥 + 3 y que pasa por (6;-1)
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 Si 𝑟1 ||𝑟2 → 𝑚1 = 𝑚2
𝑚 = −
1
2
𝑦 = −
1
2
𝑥 + 𝑏
𝑠𝑖 𝑥 = 6 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑦 = −1
−1 = −
1
2
. 6 + 𝑏
−1 = −3 + 𝑏
−1 + 3 = b
2 = 𝑏
𝑦 = −
1
2
𝑥 + 2
No olvides el
objetivo
Recuerda la teoría

19. Obtener la ecuación de una recta
• Ejemplo4:
Obtener la ecuación de 𝑟1 que sea perpendicular a 𝑟2: 𝑦 =
1
3
𝑥 − 1 y que pasa por (−2; 3)
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 Si 𝑟1 ⊥ 𝑟2 → 𝑚1 = −
1
𝑚2
𝑚2 =
1
3
→ 𝑚1 = −3
𝑦 = −3𝑥 + 𝑏
𝑠𝑖 𝑥 = −2 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑦 = 3
3 = −3. (−2) + 𝑏
3 = 6 + 𝑏
3 − 6 = b
−3 = 𝑏
𝑦 = −3𝑥 − 3
No olvides el
objetivo
Recuerda la teoría

20. Obtener la ecuación de una recta
• Ejemplo 6:
Obtener la ecuación de 𝑟1 determinada por los puntos 𝑃1 = ( 2 ; −1 ) y 𝑃1 = ( −1 ; 5 )
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 𝑚 =
∆𝑦
∆𝑥
(𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑦 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑥)
𝑚 =
𝑦1 − 𝑦2
𝑥1 − 𝑥2
𝑚 =
−
−
=
−6
3
𝑚 = −2
𝑦 = −2𝑥 + 𝑏
5 = −2. (−1) + 𝑏
5 = 2 + 𝑏
5 − 2 = 𝑏
3 = 𝑏
𝑦 = −2𝑥 + 3
No olvides el
objetivo
Recuerda la teoría
−1 5
2 −1

21. Graficar y comprobar que verifica la condiciones del
problema
• Ejemplo 1
𝑚 = 3
𝑂. 𝑂: 𝑏 = −2
𝑦 = 3𝑥 − 2
• Ejemplo 2 • Ejemplo 3
𝑚 =
5
4
𝑃 = −8: 1 ∈ 𝑟
𝑦 =
5
4
𝑥 + 11
𝑦 = 2𝑥 + 4
𝑏 = 4 𝑃 = 3: 2 ∈ 𝑟
∆𝒚 = 𝟑
∆𝒙 = 𝟏
∆𝒚 = 𝟓
∆𝒙 = 𝟏
∆𝒚 = 𝟐
∆𝒙 = 𝟏

22. Graficar y comprobar que verifica la condiciones del
problema
• Ejemplo 4
𝑦 = −
1
2
𝑥 + 2
• Ejemplo 7 • Ejemplo 6
𝑦 = −
2
3
𝑥 + 3
𝑦 = −2𝑥 +3
= 2: −1 𝑦 (−1; 5) ∈ 𝑟Si 𝑟1 ||𝑟2: 𝑦 = −
1
2
𝑥 + 3
6; −1 ∈ 𝑟1
∆𝒚 = −𝟏
∆𝒙 = 𝟐
Si 𝑟1 ⊥ 𝑟2: 𝑦 =
3
2
𝑥 − 1
−3; 5 ∈ 𝑟1
𝑟2
𝑟2
∆𝒚 = −𝟏
∆𝒙 = 𝟑