Topografia en carreteras

TOPOGRAFÍA APLICADA A LA
CONSTRUCCIÓN DE CARRETERAS
En el estudio, elaboración y ejecución de
cualquier proyecto de Ingeniería de obras
que tengan como asiento la superficie de
la tierra, es necesario el uso de la
Topografía.

1º En la elaboración del área destinada
para la obra. Las características del
terreno son la guía del Arquitecto, para la
mejor distribución y ubicación de la
obra, en sus aspectos funcionales y
ornamentales; y del Ingeniero para conseguir la mayor rigidez, estabilidad y seguridad
de ésta. Se refiere al levantamiento topográfico de la zona.

2º En la Geometrización del proyecto, donde se vinculan en forma analítica, los
diferentes ejes de simetría de la obra, entre si mismo y con elementos fijos del terreno,
(puntos permanentes) con fines de su posterior replanteo.

3º En el replanteo, mediante el cual se ubican en el terreno las diferentes partes de la
obra, en las posiciones relativas señaladas en el proyecto.

Para la construcción de una carretera es necesario pasar por las siguientes etapas:
a) Planificación b) Anteproyecto c) Proyecto d)
Construcción.

Existen partes de estas etapas que sé logran con el auxilio de la Topografía, las
cuales son:
a) Estudio de las rutas b) Estudio del trazado c)
Anteproyecto d) Proyecto.

El Estudio de las rutas es el proceso preliminar de acopio de datos y reconocimiento
de campo, hecho con la finalidad de seleccionar la faja de estudio que reúna las
condiciones óptimas para el desenvolvimiento del trazado. En esta etapa se obtiene
información, se elaboran croquis, se efectúan los reconocimientos preliminares y se
evalúan las rutas.

El Estudio del trazado consiste en reconocer minuciosamente en el campo cada una de
las rutas seleccionadas. Así se obtiene información adicional sobre los tributos que
ofrecen cada una de estas rutas y se localizan en ellas la línea a las líneas
correspondientes a posibles trazados en la carretera.

En el Anteproyecto se fija en los planos la línea que mejor cumpla los requisitos
planimétricos y altimétricos impuestos a la vía. En esta etapa se elaboran planos por
medios aéreos o terrestres y se establece la línea tentativa del eje.

El Proyecto es el proceso de localización del eje de la vía, su replanteo del trazado y de
sus áreas adyacentes, establecimiento de los sistemas de drenaje, estimación de las
cantidades de obras a ejecutar y redacción de los informes y memorias que deben
acompañar a los planos.

Durante cada una de las etapas de la construcción de la vía, se toman en cuenta muchos
factores, entre los mismos se encuentra el Movimiento de Tierras, el cual es uno de los
más importantes, por el peso económico que tiene en el presupuesto. El movimiento de
tierra engloba todas aquellas actividades de excavación y relleno necesarias para la
construcción de la carretera.

El objetivo de este sitio es el de
explicar, tomando como base las
tres etapas señaladas, la aplicación
de la Topografía a la Construcción
de Carreteras, y para la cual se ha
dividido la misma en cinco
capítulos:

Capítulo I. Estudio de las Rutas

Capítulo II. Estudio del Trazado

Capítulo III. Anteproyectos de Carretera

Capítulo IV. Proyectos de Carreteras

Capítulo V. Movimiento de Tierras

CAPITULO 1

ESTUDIO DE LAS RUTAS

1.1. -GENERALIDADES.
La primera etapa en la elaboración de un proyecto vial consiste en el Estudio de
las Rutas.
Por Ruta se entiende la faja de terreno, de ancho variable, que se extiende entre
los puntos terminales e intermedios por donde la carretera debe obligatoriamente pasar,
y dentro de la cual podrá localizarse el trazado de la vía.
Como quiera que las rutas pueden ser numerosas, el estudio de las mismas tiene
como finalidad seleccionar aquella que reúna las condiciones óptimas para el
desenvolvimiento del trazado. El estudio es por consiguiente un proceso altamente
influenciado por los mismos factores que afectan el trazado, y abarca actividades que
van desde la obtención de la información relativa a dichos factores hasta la evaluación
de la ruta, pasando por los reconocimientos preliminares.
De las actividades que abarca el estudio de las rutas y donde de una u otra
manera se aplica la Topografía, se encuentran la elaboración de los croquis y los
reconocimientos preliminares.

1.2. -ELABORACIÓN DE LOS CROQUIS.
El estudio de las rutas se realiza, generalmente sobre un mapa de la región, los
cuales son una representación del terreno, obtenida por proyección sobre un plano, de
una parte de la superficie esférica de la Tierra. El relieve del terreno aparece
representado en los mapas por medio de las curvas de nivel, curvas que enlazan puntos
del terreno situados a la misma cota.
Los principales mapas que se utilizan en la elaboración del croquis de una vía
son editados en escalas 1:25000 y 1:100000.
Con los datos obtenidos de los mapas, el Ingeniero logra formarse una buena
idea de la región. Sobre ellos puede señalar los desniveles, los cursos de agua, las filas
montañosas, los cruces con otras vías, etc. También puede marcar en ellos, de las
informaciones recogidas a través del material de consulta que se ha reunido

previamente, los datos de población, zona de producción, intensidad de lluvias, tipos de
terrenos y formaciones geológicas, etc.
Además, deben indicarse con especial cuidado los controles primarios que guían
el alineamiento general de la vía y por los cuales ésta debe incuestionablemente pasar; y
los controles secundarios tales como caseríos, carreteras existentes, sitios de puentes,
zonas de terreno firme, cruce con otras vías, minas, bosques, etc.
De esta manera orientado el alineamiento general de la carretera y con los datos
adquiridos y anotados sobre los mapas, será posible señalar en ellos varias líneas o
croquis de la vía que determinarán fajas de terrenos de ancho variable o rutas, sobre los
cuales será posible ubicar el trazado de la carretera.

1.3. -RECONOCIMIENTOS PRELIMINARES.
Una vez elaborados los croquis empieza el trabajo de campo o reconocimiento
preliminar.
El reconocimiento es el examen general de las fajas o zonas de terreno que han
quedado determinados por los croquis. Su finalidad es la de descubrir las características
sobresalientes que hacen a una ruta superior de los demás: sirve también para obtener
datos complementarios de la región, tener una idea del posible costo de la construcción
de la carretera propuesta, anticipar los efectos potenciales de la carretera en el desarrollo
económico de los terrenos que atraviesa y estimar los efectos destructivos que pudiera
tener en el paisaje natural.
Con los datos obtenidos durante el reconocimiento preliminar y con la
información reunida con anterioridad a él, el Ingeniero se formará un criterio que le
permitirá seleccionar las rutas que ameritarán estudio topográfico.
El reconocimiento debe ser rápido y de carácter general y puede realizar
recorriendo la ruta a pie. El Ingeniero encargado del reconocimiento debe llevar consigo
los instrumentos adecuados para la determinación de las elevaciones relativas, la
obtención de rumbos y la medida de pendientes. Los barómetros aneroides, las brújulas
y los niveles de mano o clisímetros sirven perfectamente para el trabajo.

1.3.1. - BAROMETROS ANEROIDES.

Un método de nivelación bastante rápida aunque muy poco utilizado es aquel
que se basa en el uso del barómetro aneroide, el cual da las diferencias de nivel
partiendo de las medidas de la presión atmosférica en los puntos de que se trata.
La presión atmosférica se ejerce sobre la tapa de una caja cilíndrica cerrada, con
un vacío interior, cuyas deformaciones se amplifican y transmiten a una aguja
indicadora.

Tiene errores pequeños debido a los mecanismos y resortes, a pesar de ser de
metales diferentes para compensar variaciones de temperatura.
En la nivelación barométrica se utiliza el siguiente procedimiento de campo:
Primero, es necesario colocar el altímetro sobre un punto de cota conocida y ajustarlo
para que la lectura sea precisamente esta cota. Enseguida se lleva el instrumento a los
puntos cuyas cotas se desean conocer y en cada uno de ellos se registra la lectura
correspondiente y la hora en que ésta se efectuó. Normalmente, la presión atmosférica
varía en forma apreciable durante pequeños períodos del día, en vista de lo cual se usan
dos altímetros, uno se coloca en la primera estación (de cota conocida) y se toman
lecturas de referencia a intervalos regulares. A medida que avanzan los trabajos, se

anota cuidadosamente la hora de cada observación hecha con el
otro altímetro, en los demás puntos y de esta manera se corrigen
las lecturas de las alturas efectuadas en el mismo. La última
observación en el altímetro viajero deberá ser hecha en la
estación inicial como un medio de verificación.
Las alturas determinadas con un barómetro ordinario que
se lleva de un punto a otro pueden dar errores de varios metros.
Sin embargo, empleando barómetros extraordinariamente
sensibles y técnicas especiales, se pueden determinar alturas
con precisión de un metro o mayor.

1.3.2. -BRUJULAS.
Para la obtención de rumbos se utiliza la brújula, la cual es útil solamente para
levantamientos aproximados. Generalmente son instrumentos de mano. Pueden
apoyarse en un bastón o en una vara cualquiera.
Cuando se dirige una visual en determinada dirección, la aguja de la brújula
(cuando se suelta y queda en reposo) apunta siempre hacia el norte magnético y señala
el rumbo magnético en dicha dirección.
Respecto a la explicación científica de este hecho algunas teorías sugieren que se
debe al hierro que compone el núcleo de la tierra, mientras que otras la atribuyen a
corrientes eléctricas en la atmósfera debidas a la rotación terrestre. El hecho es que la
aguja señala el meridiano magnético. Los polos magnéticos norte y sur están situados
aproximadamente a 1.600 Km y 2.496 Km respectivamente, de los polos geográficos
verdaderos. Las líneas de fuerza magnética de la Tierra que alinean la aguja, tiran de
uno de los extremos de ésta y lo hacen quedar debajo de la posición horizontal. El
ángulo de esta inclinación magnética, varia de 0° en el Ecuador a 90° en los polos
magnéticos. Las brújulas fabricadas para trabajar en el hemisferio Norte traen un
contrapeso en la punta Sur para contrarrestar la atracción magnética en el sentido
vertical. Esto ayuda para identificar los puntos Norte y Sur.
El ángulo horizontal comprendido entre el meridiano magnético y el meridiano
geográfico verdadero se denomina Declinación Magnética.

1.3.3. -CLISIMETROS O ECLIMETROS.

Este instrumento es un nivel de mano que sirve tanto para la nivelación directa
como para medir los ángulos de las pendientes. Consiste en un tubo visor de sección
cuadrada y de 127 mm de largo, provisto de un tubo de extensión que lo alarga hasta
178 mm. El tubo de extensión tiene una mira de agujero con retículo horizontal en el
extremo del ocular.

Atornillado al tubo rectangular de mira, hay un semicírculo graduados en grados
y que se lee mediante un nonio, y un eje que atraviesa el arco, lleva un brazo con un
nivel de burbuja. Dentro del tubo hay un espejo bien pulido inclinado 45° con respecto a
la visual y que permite al observador ver simultáneamente al nivel en el espejo y un
punto distante en el retículo.
Para medir un ángulo de inclinación se coloca el nivel de manera que se vea la
burbuja en el espejo. Se inclina el tubo para observar la estación próxima y se mueve el
tornillo que controla en movimiento lento el nivel de burbuja hasta que se tiene la
imagen del nivel de burbuja en el centro de su posición, al lado derecho, y al lado
izquierdo el punto visado; de esta manera el nonio se habrá movido por el tornillo de
movimiento lento las graduaciones que dan el ángulo de inclinación con aproximación
de 10 minutos de arco.

De esta manera cuando se está haciendo el estudio de las rutas para la
construcción de una carretera, se pueden obtener las pendientes del terreno con la
exactitud necesaria en esta etapa.

Ing. Jesús Ordoñez

CAPITULO 2

ESTUDIO DEL TRAZADO
1.1. -GENERALIDADES.
El proceso de estudio del trazado de una carretera implica una búsqueda
contínua, una evaluación y selección de las posibles líneas que se pueden localizar en
cada una de las fajas de terreno que han quedado como merecedoras de un estudio más
detallado después de haber practicado los reconocimientos preliminares y la evaluación
de las rutas.
La finalidad de este estudio es la de establecer en dichas fajas la línea o líneas
correspondientes a posibles trazados de la carretera. Para ello es necesario llevar a
efecto un minucioso reconocimiento adicional sobre las rutas seleccionadas.
Dos enfoques posibles para efectuar los reconocimientos de campo; el aéreo y el
terrestre, utilizados por separado o conjuntamente.
El método terrestre es aconsejable cuando, después de haber llevado a término
los reconocimientos preliminares los posibles alineamientos del trazado han quedado
bien definidos; asimismo, cuando el ancho de la faja de derecho de vía es reducido y
cuando el uso de la tierra es escaso.
El método aéreo, en cambio, es preferible cuando durante dichos
reconocimientos no ha sido posible precisar los alineamientos del trazado; cuando el
terreno es muy accidentado y cuando el uso de la tierra, es muy intenso.
En última instancia, la selección del método a usar para el reconocimiento de
campo deberá basarse en un análisis comparativo de los costos que origine cada una de
las técnicas posibles y en la disponibilidad de tiempo acorde a las exigencias de cada
una de ellas.
En lo que sigue, se trata solamente el método terrestre, ya que el método
aereofotográfico no es materia de este sitio web.

2.2. - RECONOCIMIENTOS TOPOGRAFICOS TERRESTRES.
Los reconocimientos topográficos terrestres se realizan volviendo a recorrer cada
una de las fajas definidas por los croquis y consideradas como posibles después de
haber llevado a cabo los reconocimientos preliminares. Durante este recorrido se
obtiene información adicional sobre la ruta y se establece en ella una línea o poligonal
que constituye el trazado de la carretera, la cual debe seguir la dirección general de la
vía entre sus extremos, adaptándose a las características topográficas de la ruta
escogida.
Esta línea es una primera aproximación del eje de la futura vía y referidos a ella,
se anotan los datos que se obtienen durante el reconocimiento topográfico.

2.2.1. -POLIGONALES DE ESTUDIO.
Si todavía son varias las rutas por estudiar o si dentro de ellas hay posibilidades
de varios trazados, las poligonales de estudio deberán levantarse con rapidez y la
precisión exigida no será mucha, aunque sí la exactitud y veracidad de los datos.
De haberse reducido las alternativas a una sola, se podría proceder a estudiar en
ella la línea preliminar, la cuál si es la poligonal base.
A continuación se tratarán las poligonales de estudio para el caso de varias
alternativas.
La poligonal de estudio para los reconocimientos topográficos es una línea fácil
de llevar. Puede levantarse de distintas maneras, según el número de zonas a estudiar, la
rapidez y precisión requeridas, las características topográficas del terreno y la extensión
del proyecto.
La poligonal de estudio debe ser tal que recoja todos los detalles necesarios para
que revele claramente cual es la mejor línea o trazado. Generalmente, los lados de estas
poligonales se miden con cinta o por medio de la taquimetría, los rumbos se determinan
con brújula, las cotas con barómetro y las pendientes con nivel de mano o clisimetro.

2.2.1.1. - TAQUIMETRIA.
Por medio de la taquimetría se pueden medir indirectamente distancias
horizontales y diferencias de nivel. Se emplea este sistema cuando no se requiere gran
precisión o cuando las condiciones del terreno hacen difícil y poco preciso el empleo de
la cinta.

Para poder usar este método se requiere de un teodolito en cuyo retículo
podemos leer el hilo superior (s), el hilo medio (m) y el hilo inferior (i).

Para hacer un levantamiento empleando este sistema se procede al igual que en
los diferentes métodos de levantamiento de un terreno con teodolito y cinta, tan solo
que, en lugar de medir distancias, se toman las tres lecturas s, m e i, y el valor de
ángulo vertical. alfa

2.2.1.1.1. -FORMULAS PARA EL CALCULO DE LAS DISTANCIAS
HORIZONTALES (DH) Y VERTICALES (DV).

2.2.1.1.1.1. - CUANDO EL ANTEJO ESTA HORIZONTAL.

Donde generalmente T = 0 y S = 100

2.2.1.1.1.2. - CUANDO EL ANTEJO ESTA INCLINADO.

Generalmente las constantes T y S han sido determinadas por el fabricante y
vienen indicados en el estuche del aparato. En los aparatos modernos T = 0 y S=
100

2.2.1.1.2. - CALCULO DE COTAS.
Para el calculo de cotas, una vez conocida la DV, hay que tener en cuenta si el ángulo
vertical es positivo o negativo. Se conoce la cota A y se quiere determinar la cota B (ver
figuras). La altura del aparato (h) se puede determinar dando una "vista atrás" a un
punto de cota conocida o midiendo directamente la longitud "a", distancia del eje del
anteojo al punto A.

La cota B se calcula de la siguiente manera:

2.2.1.1.2.1. -SI EL ANGULO VERTICAL ES NEGATIVO.

2.2.1.1.2.2. -SI EL ANGULO VERTICAL ES POSITIVO.

2.3. -ESTUDIO DEL TRAZADO.
Entre dos o más puntos que van a unirse con una carretera pueden trazarse
numerosas líneas. El problema radica en seleccionar la que mejor satisfaga las
especificaciones técnicas que se hayan establecido.
Por eso, en esta fase, las características topográficas de la zona a explorar, la
naturaleza de los suelos y el drenaje son determinantes.
Como quiera que el método de estudio variará según se trate de terreno plano o
accidentado, se van a considerar por separado estas distintas topografías.

2.3.1. -TRAZADO POR TERRENO PLANO.
Se conceptúan como terreno plano aquellos cuya pendiente general, en el sentido
de avance de la vía, es considerablemente inferior a la pendiente máxima estipulada
para la vía y en donde el trazo de la línea recta puede constituir la solución de enlace
entre dos puntos.
Al trazar carreteras en terrenos planos, una vez determinados los puntos de
control t estacados en el terreno, el trabajo se reduce a enlazarlos con el mejor
alineamiento posible.
Si bien la línea recta aparenta ser la mejor solución para unir dos puntos en
terrenos planos, las exigencias de seguridad y de estética de la carretera desaconsejan
seriamente el uso de tangentes demasiado largas y modernamente aún en zonas planas
se utilizan los trazados curvilíneos y semicurvilíneos.

2.3.2. - TRAZADO POR TERRENO MONTAÑOSO.
En los terrenos montañosos, el unir dos puntos con una línea de pendiente
uniforme o de varios tramos de distintas pendientes uniformes es más interesante que el
enlace de ellos mediante una línea recta. De esta manera se obtiene un trazado que
ofrecerá mayores ventajas a los conductores de vehículos, siempre que no se sobrepasen
determinados valores en las pendientes.

En la figura el enlace de los puntos A y B con una línea recta es imposible,
pues, aunque se encuentran en la misma cota del terreno, la línea que los une pasa sobre
un profundo barranco. El enlace entre estos puntos deberá hacerse con una línea de
pendiente, pues no solo se trata de unir dos puntos sino también de vencer un fuerte
desnivel.

CAPITULO 3
ANTEPROYECTO DE CARRETERAS
3.1. - GENERALIDADES.

Después de haber hecho en la etapa de estudio del trazado un reconocimiento en el
campo de cada una de las rutas seleccionadas, y luego de hacer una evaluación de cada
una de las alternativas y seleccionar la que reúna mejores condiciones llegamos a la
etapa del anteproyecto donde se debe fijar en los planos la línea que represente la ruta
seleccionada y para tal fin hay que realizar un estudio topográfico de la misma a través
de una poligonal base.

3.2. - POLIGONAL BASE.

La poligonal base recibe este nombre debido a que servirá de apoyo para el futuro
replanteo de la obra.

El levantamiento de esta poligonal consiste en la medición de los ángulos y los lados, en
la nivelación de todos sus vértices y en la toma de las secciones transversales.

Estas poligonales son abiertas, por que comienzan y terminan en puntos diferentes, pero
deben tener controles en su trayectoria, según esto se pueden presentar dos casos:

a) Poligonales que comienzan y terminan en puntos de coordenadas conocidas, las
cuales tendrán control azimutal y métrico.

b) Poligonales que comienzan y terminan en puntos de coordenadas desconocidas, las
cuales tendrán control azimutal a través de acimutes determinados por medio de
observaciones solares y que se aconsejan realizar cada 5 kilómetros.

Los instrumentos utilizados en el levantamiento de esta poligonal deben garantizar la
precisión exigida, los mismos deben ser tales como teodolitos, niveles automáticos,
cinta métricas, estadía invar, etc.

3.2.1. - DETERMINACIÓN DEL AZIMUT DE UNA LINEA POR EL METODO DE
OBSERVACIÓN SOLAR.

3.2.1.1. - DEFINICIÓN.

El acimut de una línea, es el ángulo diedro formado por el plano meridiano que pasa por
el lugar del observador (A), y un plano que contiene la vertical del lugar y la línea que
se desea orientar.

En la figura:

AB: Línea que se desea orientar.

A: Ubicación del observador.

B: Señal, el otro punto que define la línea que se desea orientar

AN: Dirección norte, traza del plano del meridiano local que pasa por el observador
"A".

AØ: Acimut del Sol

AZAB : Acimut de la línea AB

: Angulo horizontal entre la línea que desea orientar (AB), y la visual al Sol.
Este método usado para determinar el acimut de una línea por altura del sol constituye
el más comúnmente aplicado en trabajos de topografía, y él consiste en hacer una serie
de punterías o bisecciones al Sol y a la señal.

3.2.1.2. - DATOS Y REQUISITOS NECESARIOS PARA LA OBSERVACIÓN
SOLAR.

Se deben presentar los siguientes datos:
1. - Hora y fecha de observación.
2. - Distancia Cenital o altura del Sol.
3. - Declinación del Sol.
4. - Angulo horizontal entre la línea a orientar y el Sol.
5. - Latitud y Longitud de la estación, la cual puede ser tomada directamente de una
carta geográfica, o bien, determinada expeditivamente con el Sol en el transcurso de la
observación misma, u obtenida a través de la utilización del Sistema de Posicionamiénto
Global o GPS.
6. - Temperatura.
7. - Presión atmosférica.
8. - Estado del cronómetro.
9. - Las observaciones deben ser limitadas entre los treinta (30°) y sesenta (60°) grados
de distancia cenital, lo cual ocurre generalmente entre las 8.00 horas hasta 10.00 horas y
desde las 14.5 horas hasta las 16.5 horas.

3.2.1.3. - FORMULISMO BASICO.
Con la altura media obtenida, la latitud de la estación y la declinación del Sol en el
instante correspondiente al término medio en el tiempo, el triángulo de posición
resultará fácil de resolver, y poder obtener así el acimut del Sol para el momento
considerado.
Este acimut solar obtenido, combinado con el ángulo horizontal medido, proporciona el
acimut deseado.

Del triángulo de posición PZS de la figura y aplicando el teorema del coseno al lado PS,
obtenemos:

Donde:

A : Acimut del Sol.
: Declinación del Sol.
Z: Distancia cenital.
: Latitud de la estación.

3.2.1.4. - PROCEDIMIENTO DE CAMPO.
1. - Centralización y verticalización del instrumento sobre la estación "A".
2. - Colocación de una señal (jalón, estadia. mireta, ficha, etc.), en la estación "B".
3. - En la estación "A", visualizando a "B" con el instrumento, colocación de la lectura
acimutal cerca de 00° 00´ 00", lectura y anotación del ángulo de salida. (Se supone ya
preparada la libreta de campo); lectura y anotación del Rumbo Magnético de la línea
"AB"; lectura y anotación de la Presión Barométrica y la Temperatura.
4. - Colocación de vidrios ahumados (acodados, etc.), en el anteojo para observar el sol.
(Posición Directa).
5. - Visualización del Sol por anteojo (los hilos del retículo deben estar completamente
nítidos, al igual que la imagen del Sol. Existen varios métodos entre los cuales uno de
los más utilizados es el método de la tangencia. Si se usa el método de la tangencia a los
bordes del Sol, se puede usar cualquier par de cuadrantes opuestos, pero se recomienda
el esquema ilustrado en la figura:

Como regla general se puede adoptar que: Los cuadrantes opuestos al movimiento del
Sol se tomarán para hacer la tangencia a los bordes del mismo.
Se usarán las voces características en Astronomía, como un acuerdo entre el observador
y el anotador, para una mejor coincidencia entre la tangencia al Sol, tomada por el
observador y la hora tomada por el anotador.
Estas voces son: ¡ preparado.....listo.....tic !

6. - Lectura y anotación (inmediatamente) de la hora (en hora, minutos y segundos):
luego lectura y anotación de los ángulos horizontal y vertical (antes se hace la
coincidencia del micrómetro y se cala el nivel del circulo vertical).

7. - Apunte de nuevo al Sol y se siguen los pasos 5 y 6. Para una mejor precisión en la
determinación del acimut, se recomienda, un intervalo de un minuto entre dos series en
distintas posiciones del anteojo, (como intervalos máximos se pueden aceptar dos y tres
minutos respectivamente). Se tomarán en esta posición directa tres punterías, para luego
invertir la posición del anteojo.

8. - Se continúa el proceso hasta completar tres punterías en posición inversa.

9. - Luego, en esta posición inversa y quitando el vidrio ahumado del anteojo, se
observa a la señal sobre la estación "B", Completando así una serie con los datos
suficientes para el cálculo del acimut de una línea.

3.2.1.5. - MINUTA DE CAMPO.
Las anotaciones en la libreta de campo, se deben realizar de la manera más amplia
posible, y siguiendo una misma forma acorde a las exigencias del organismo interesado.
La siguiente figura, muestra la forma indicada de llevar una libreta de campo:

POSICIO
OBJETO ANGULO ANGULO
N
CUADRAN HOR OBSERVACION
OBSERVAD HORIZONT VERTICA
TE ANTEOJ A ES
O AL L
O

Señal D

Sol D

Sol D

Sol D

Sol I

Sol I

Sol I

Señal I

OBSER.: _______________________ TEMPERATURA:__________
INST.:__________________
ANOTAD.: ____________ PRESION:___________ OBS. SOLAR No._______
FECHA: ________

3.2.1.6. - CALCULO Y REDUCCIÓN DE LAS OBSERVACIONES.
Una vez obtenidos los datos de campo, ellos deben ser verificados antes de proceder a
calcular el acimut solar.
Esta verificación se realiza mediante el ploteo sobre una cuadrícula de los valores de H
y V contra el tiempo, t, donde H y V representan los ángulos horizontales y verticales
respectivamente y t, los correspondientes tiempos de la observación. De estos gráficos
pueden determinarse las distintas correcciones que debidas a errores groseros pudieron
presentarse en las observaciones y las cuales debemos corregir.
Del ploteo obtenemos 4 rectas:
I) Horizontal - tiempo; posición directa.
II) Horizontal - tiempo; posición inversa.
III) Vertical - tiempo; posición directa.
IV)Vertical - tiempo; posición inversa

Las rectas I, II, III y IV deben ser paralelas entre sí. (ver ejemplo).
Una vez que se han ploteado H y V contra t y efectuadas las correcciones a que hubiere
lugar, pasamos a efectuar los cálculos que se precisan para una observación solar, a
saber:
Cálculo de la hora.
Cálculo de la distancia cenital.
Cálculo del ángulo horizontal.
Cálculo de la declinación del Sol.

CÁLCULO DE LA HORA:
De la minuta de observación se toma el promedio de las horas. Este valor debe ser
corregido por el estado del cronómetro.
A la hora corregida se le suma la longitud del lugar para obtener finalmente la hora en
GREENWICH correspondiente al instante de la observación. Este valor será luego
empleado en el cálculo de la declinación del Sol, conviene para los cálculos posteriores,
expresar en decimales la hora obtenida.

CÁLCULO DE LA DISTANCIA CENITAL:
Sea Zp, el promedio de los ángulos leídos, se hallará un valor Z, corregido por
refracción y paralaje, aplicando la siguiente expresión Z = Zp + R - P. Donde R es la
corrección por refracción y P es la corrección por paralaje.

CÁLCULO DEL ÁNGULO HORIZONTAL:
Sea Hp el ángulo horizontal promedio entre la línea a orientar y el Sol y sea Ho la

dirección promedio dirigida a la señal "B". El ángulo horizontal definitivo "H" se
obtiene según la siguiente expresión: H = Hp - Ho

CÁLCULO DE LA DECLINACIÓN DEL SOL:
Las efemérides traen este valor tabulado para las 0 horas de tiempo universal, y además
la variación por hora. (Actualmente existen programas de computarizados que
determinan este valor).
Para conocer la declinación del Sol, en el instante de la observación, se corrige el valor
de la declinación que trae la efeméride, por el valor que se obtiene al multiplicar el
número de horas transcurridas desde las 0 horas de tiempo universal, hasta el instante de
observación, por el factor de variación por hora de la declinación.

3.2.1.6.1. - CORRECCIONES.
3.2.1.6.1.1. -CORECCIÓN POR PARALAJE:

El triángulo esférico astronómico que resolvemos respecto a "Z", acimut, tiene su centro
en el centro de la tierra.
Pero nosotros estacionamos en "A" en la superficie de la Tierra la Distancia Cenital
medida deberá reducirse para obtener la Distancia Cenital correcta, que se medirá
estando el observador situado en el centro de la Tierra.

Luego la corrección por paralaje (P") viene dada por la expresión:

P" = 8.75",Sen Z´ P en segundos sexagesimales

Z´: Distancia cenital medida.

3.2.1.6.1.2. -CORECCIÓN POR REFRACCIÓN ASTRONOMICA.
El aire, como todas las materias que sienten la atracción de la gravedad, es pesado, y ese
peso produce como es sabido la presión atmosférica, que en circunstancias normales,
queda equilibrada por una columna de mercurio de 760 mm. de altura resultando por
ésta razón tanto más denso cuando más cerca esta de la superficie de la Tierra, es decir,
que las densidades varían inversamente proporcional a la altura, a mayor altura sobre la
superficie de la Tierra, menor será la densidad de las capas atmosféricas, se supone
además que la densidad es la misma en cada capa concéntrica y que su aumento varia
gradualmente de arriba abajo.
Esta propiedad hace que un rayo de luz proveniente de un astro cualquiera, antes de
llegar al observador, sufre una desviación en su trayectoria (según la Ley de Snell) lo
cual hace observar el objeto no sobre la dirección del mismo, sino sobre la tangente de
la "Curva de Refracción"

En la figura esta representada (con deliberada exageración) la superficie de la Tierra y
las capas concéntricas de la atmósfera conforme va aumentando la densidad.

Tomando en consideración de que hasta los 75° de distancia cenital se puede despreciar
la curvatura terrestre y por ende las capas atmosféricas se suponen planas y no esféricas,
y por aplicación sucesiva de la Ley de Snell resulta la siguiente expresión para él
calculo de la corrección por refracción para la distancia cenital:

R" = 60.2TgZo R en segundos sexagesimales

Zo: Distancia Cenital medida.

En la practica, las condiciones atmosféricas varían muy frecuentemente, lo cual obliga a
tomar la presión y la temperatura ambiente al comienzo, intermedio y al final de las
observaciones, con lo que la expresión anterior se transforma en la siguiente:

P: Presión atmosférica promedio expresada en centímetros de columna de mercurio.
T: Temperatura promedio expresada en grados Kelvin (°K)

El valor R esta tabulado en:
a)Solar Ephemerides and Surveying instruments Manual.
b)The Star almanac for Land Surveyors.

3.2.1.7. -EJEMPLO DE CALCULO.
Se presenta a continuación un ejemplo de calculo de observación solar, utilizando la
planilla elaborada en La Universidad del Zulia, Venezuela, para tal fin.

Dicha observación fue utilizada en Maracaibo, el día 29 de mayo de 1.975.
Estación teodolito: LUZ II
Estación visada: LUZ III
Instrumento utilizado: WILT T-2
Latitud de la estación: 10° 40´30".
Temperatura: 32°C
Presión Barométrica: 76 cms de hg.

3.3.
-

PRECISIÓN DE LOS LEVANTAMIENTOS TOPOGRAFICOS.
En Venezuela, de acuerdo a las especificaciones Generales para Estudios de Carreteras
para la poligonal base, las siguientes son las tolerancias permitidas, propias de una
poligonal de tercer orden.
Medidas horizontales:

Error de cierre lineal no mayor de: metros

Terreno ondulado: 0.025 metros

Siendo L la longitud de la línea en metros.

Angulos horizontales:

Desviación máxima de los rumbos astronómicos: 30"

Tolerancia entre rumbos astronómicos observados y calculados: 30"

segundos. Siendo "n" él numero de vértices.

3.4. -DIBUJO DE LOS PLANOS DE LA FAJA DE ESTUDIO.
Con los datos de la poligonal de precisión se van a confeccionar los planos de conjunto,
plantas, perfil longitudinal y secciones transversales.
El plano de conjunto, dibujado generalmente a escala 1:25000 ó 1:10000, permite
obtener la disposición adecuada de las láminas de planta sobre las cuales va a elaborarse
el anteproyecto. De esta manera, dentro de cada lámina deberá quedar dispuesta la
mayor longitud posible de la poligonal.

3.4.1. - DIBUJO DE LA PLANTA.
El dibujo de la planta se hace generalmente en láminas o en rollos de papel transparente
de 50 a 55 cms. de ancho y tan largos como sea posible usándose la escala 1:1000,
aunque en terrenos francamente llanos también se puede emplear la escala 1:2000.
En estos planos debe aparecer la poligonal base dibujada a escala, con los siguientes
datos: Número de cada vértice, ángulo en cada vértice y coordenadas de cada vértice.
Igualmente deben indicarse en líneas finas, pero visibles, las secciones transversales con
sus acotamientos respectivos, las curvas de nivel dibujadas de 2 en 2 metros en zonas
montañosas y onduladas, y de metro en metro en zonas llanas, destacando las curvas
correspondientes a las cotas que son múltiplo de diez.
En cada plano debe señalarse el norte astronómico y una cuadrícula de coordenadas

3.4.2. - DIBUJO DE PERFIL LONGITUDINAL.
Este se hace en papel milimetrado, en escalas 1:1000 horizontal y 1:100 vertical, o
1:2000 horizontal y 1:200 vertical. Esta relación de escala facilita la visualización de los
datos del perfil.
En estos planos se dibujará el perfil natural del terreno deducido de las curvas de nivel
de la planimetría, indicando todos los detalles importantes de la topografía del terreno,
quiebres del mismo, quebradas, ríos, rumbos obligados, etc.

3.4.3. -DIBUJO DE LAS SECCIONES TRANSVERSALES.
Los datos de las secciones transversales se utilizan para dibujar el perfil del terreno, en
dirección transversal a la poligonal base, y para dibujar las curvas de nivel en el plano
de planta.
Para el dibujo de los perfiles transversales se usan las escalas 1:100 ó 1:200.
En la lámina de papel milimetrado se señala un eje vertical y para cada sección se marca
un datum. Los datos de la sección transversal son dibujados a derecha e izquierda del
eje.

CAPITULO 4
PROYECTO DE CARRETERAS
4.1. - GENERALIDADES.
En los primeros tres capítulos fueron estudiados en detalle las tres etapas que
preceden a la realización de un proyecto de carreteras. Son éstas, el estudio de rutas, el
estudio del trazado y la ejecución del anteproyecto.
Conviene recordar que el estudio de las rutas fue el proceso preliminar de acopio
de datos y reconocimientos de campo, hecho con la finalidad de seleccionar la faja de
estudio que reuniese las condiciones óptimas para el desenvolvimiento del trazado. En
esta etapa se obtiene información, se elaboran croquis, se efectúan los reconocimientos
preliminares y se evalúan las rutas.
El estudio del trazado consistió en reconocer minuciosamente en el campo cada
una de las rutas seleccionadas. Así se obtiene información adicional sobre los atributos

que ofrece cada una de estas rutas y se localizan en ella la línea o las líneas
correspondientes a posibles trazados en la carretera.
Finalmente, en el anteproyecto se fijó en los planos la línea que mejor cumplía
los requisitos planimétricos y altimétricos impuestos a la vía. En esta etapa se elaboran
planos por medios aéreos o terrestres y se establece la línea trazada del eje.
Completadas estas tres etapas del trabajo, corresponde ahora realizar el llamado
proyecto de la carretera. Como tal, se entiende el proceso de localización del eje de la
vía, su replanteo en el terreno y referenciación, geometrización, análisis paisajístico del
trazado y de sus áreas adyacentes, establecimiento de los sistemas de drenaje,
estimación de las cantidades de obra a ejecutar y redacción de los informes y memorias
que deben acompañar a los planos.

4.2.- LOCALIZACIÓN DEL EJE DEFINITIVO DE LA CARRETERA.
En la etapa del anteproyecto quedó establecida una línea que define el eje
tentativo de la carretera de acuerdo a los requisitos planimétricos y altimétricos
impuestos a la carretera.
En la etapa de proyecto, dicha línea debe ser transferida al terreno a fin
comprobar su adaptación al mismo, y, si fuese necesario, poder efectuar pequeños
ajustes en los alineamientos y pendientes. Esta oportunidad se aprovecha para tomar los
volúmenes de tierra, para efectuar los levantamientos requeridos para el diseño de las
estructuras de drenaje, para establecer los detalles geométricos del proyecto, definir el
derecho de vía y dejar referenciado el trazado para la construcción.
El eje de la carretera en planta y perfil longitudinal está definido por una serie de
tramos rectos (tangentes y pendientes) conectadas por curvas. Antes de entrar a estudiar
en detalle el replanteo de la carretera es necesario analizar la geometría de las diferentes
curvas que como hemos dicho forman parte del eje de la carretera.

4.3.- GEOMETRIA DE LAS CURVAS CIRCULARES.
En su forma más simplificada, el alineamiento en planta de una carretera
consiste en una serie de tramos rectos (tangentes) conectadas por curvas circulares.

Las curvas circulares, son entonces, los arcos de círculo que forman la
proyección horizontal de las curvas empleadas para unir dos tangentes consecutivas.

4.3.1.- CLASIFICACIÓN Y ELEMENTOS DE LAS CURVAS CIRCULARES.
Cuando dos tangentes son enlazadas por una sola curva, ésta se llama curva
simple. Una curva simple puede doblar hacia la derecha o hacia la izquierda, recibiendo
entonces ese calificativo adicional.
Cuando dos ó más curvas circulares contiguas, de diferente radio, cruzan hacia
el mismo lado, reciben el nombre de curvas compuestas, en tanto que cuando cruzan en
sentido opuesto y tienen un punto de tangencia común, y siendo sus radios iguales o
diferentes, reciben el nombre de curvas revertidas.

ENLACE DE ALINEAMIENTOS RECTOS CON CURVAS CIRCULARES
SIMPLES

DIBUJO DE ENLACE DE ALINEAMIENTOS RECTOS CON CURVAS
COMPUESTAS Y REVERTIDAS

ELEMENTOS DE LA CURVA CIRCULAR SIMPLE

En una curva circular simple hay que distinguir los siguientes elementos:

Los puntos donde los alineamientos rectos (tangentes) son tangentes a la curva
se llama tangente de entrada T.E. (también TC) y tangente de salida T.S. (también CT)
respectivamente.
La intersección de las dos tangentes a la curva se designa punto de intersección
P.I; el ángulo de deflexión en el PI formado por la prolongación de una tangente y la
siguiente se designa con la letra “Delta” (también “Alfa”) y tiene por valor el ángulo al
centro subtendido por la curva.
El tramo de tangente entre el TE (ó TC) y el PI o entre y el TS (ó CT) se
denomina semitangente y se designa con la letra T.
El arco TE-CC-TS es la longitud de la curva, L.
La recta entre TE y TS es la cuerda larga CL.
CC es el punto medio de la curva. Siendo PI-CC la Externa E. La distancia
desde el CC a la cuerda larga es la Ordenada Media M.

DIBUJO DE CURVAS COMPUESTAS Y CURVAS REVERTIDAS

En las curvas circulares compuestas, además de los elementos acabados de
señalar hay que distinguir el punto de tangencia común; este punto se llama punto de
curvatura compuesta PCC.
En las curvas revertidas, el punto de contacto recibe el nombre de punto de
curvatura revertida PCR.

4.3.2.-CALCULO DE LOS ELEMENTOS DE LAS CURVAS CIRCULARES.

Los distintos elementos de una curva circular se pueden calcular según las
siguientes expresiones:

ELEMENTOS DE LAS CURVAS CIRCULARES SIMPLES

Semitangente: T = R.Tg(Delta/2)

Cuerda Larga: CL = 2.R.Sen(Delta/2)

Externa: E = R.{[Sec(Delta/2)-1]}

Ordenada Media: M = R.{1-[Cos(Delta/2)]}

Longitud: Lc = (Pi.R.Delta)/180

4.3.3.-REPLANTEO DE LAS CURVAS CIRCULARES HORIZONTALES.

4.3.3.1.- METODO DE COORDENADAS RECTANGULARES.

Este método ha cobrado particular importancia en estos últimos años debido a la
tendencia de aumentar considerablemente la longitud del radio de la curva para las
crecientes velocidades de diseño. Es un método particularmente útil cuando la curva es
bastante larga y el terreno lo suficientemente plano.
El método consiste en tomar como eje del sistema cartesiano una de las dos
tangentes (abscisa) y el radio en los puntos de tangencia TE y TS (ordenada).

DIBUJO DE METODO DE COORDENADAS RECTANGULARES

De la figura resulta que: Y = R – [/(R² - X²)] , es decir que para cada valor de
X se tendrá el correspondiente valor de Y.

4.3.3.1.1.-PROCEDIMIENTO DE CAMPO.
Se eligen segmentos de abscisa de igual longitud, los cuales se llevan
sucesivamente sobre la tangente principal, es decir a partir del punto de tangencia TE (o
TS) utilizando cinta métrica.

DIBUJO DE PROCEDIMIENTO DE CAMPO METODO COORDENADAS
RECTANGULARES

En cada punto que se va obteniendo se lleva una perpendicular (con teodolito,
escuadra, prisma, etc.) midiendo sobre esta, la ordenada correspondiente.
Este método presenta el inconveniente que la curva completa no se puede
replantear a partir de un solo punto, por ejemplo TE, debido a que llega un momento
que el valor de las abscisas X se hace mayor que el valor de la tangente principal y se
pierde la simetría de la curva. Para solucionar este problema se recomienda replantear la
mitad de la curva a partir de TE y la otra mitad a partir de TS.

4.3.3.2.- METODO DE COORDENADAS POLARES.
Es el método más usado en Venezuela, pues en condiciones favorables permite
el replanteo de la curva desde un solo punto.

Se basa en la siguiente propiedad de la circunferencia: "Angulos inscritos (o
seminscritos) en una circunferencia que abarcan arcos iguales, son también iguales entre
si e iguales a la mitad del ángulo del centro correspondiente.

DIBUJO METODO DE COORDENADAS POLARES

De la figura se ve que:

2* = l/Rc., de donde:

* = l/2.Rc

4.3.3.2.1.- PROCEDIMIENTO DE CAMPO.
El método consiste pues, en llevar en el punto de tangencia TE (o TS), y a partir
de la tangente principal TE-PI (o TS-PI), sucesivamente los ángulos *, 2*,3*,…los
puntos extremos de estas radiaciones (1, 2, 3, .......) que son los puntos de la curva,
deben comprender entre si longitudes iguales de arco.
En la practica esto se puede realizar de dos formas.
Con el aparato en TE gira el ángulo * y con la cinta se mide la cuerda
correspondiente TE-1.
Luego se gira nuevamente el ángulo * de modo que el ángulo total girado sea
2*
y se mide la cuerda TE-2 igual a dos veces TE-1. Después 3* y TE-3 igual a tres veces
TE-1, y así sucesivamente.

DIBUJO DE PRIMER METODO DE REPLANTEO

Evidentemente, al medir las cuerdas en lugar de medir a lo largo del arco, se está
cometiendo un error, que será tanto mayor cuanto mayor sea el arco, y el menor radio.
El error se hará sentir menos, si el replanteo se efectúa de la siguiente manera.
Con el aparato en TE gira el ángulo * y se mide la cuerda TE-1 (igual que el caso

anterior). Luego se gira 2*; pero ahora en vez de medir TE-2, igual a dos veces TE-1, se
avanza con la cinta hasta el punto 1 y se mide la que da 1-2 igual a TE-1. Después se
gira 3* se avanza hasta el punto 2 y se mide la cuerda 2-3, también igual a TE-1 y así
sucesivamente.

DIBUJO DEL SEGUNDO METODO DE REPLANTEO

4.3.3.2.1.1.-REPLANTEO DESDE CUALQUIER PUNTO INTERMEDIO DE LA
CURVA UTILIZANDO EL METODO DE COORDENADAS POLARES.
El replanteo de ángulo de deflexión se puede emplear desde cualquier punto
(estación) intermedio de la curva, una vez fijada la tangente en el mismo. Para ubicar la
tangente basta visar el punto de comienzo TE y girar un ángulo igual al que se gira en
TE para replantear el punto que se ocupa.

DIBUJO DE REPLANTEO DESDE CUALQUIER PUNTO

Sea S el punto intermedio. Si para obtener S a partir de SE TE giró el ángulo 3*,
este mismo ángulo debe girarse a partir de la visual S-TE para obtener la nueva
tangente, desde la cual se replantearán los demás puntos.
Este procedimiento tiene especial aplicación cuando las condiciones de
visibilidad son malas, no permitiendo el replanteo de la curva completa desde TE.

4.4.-GEOMETRIA DE LAS CURVAS DE TRANSICIÓN.
En un trazado donde sólo se emplean rectas y círculos, la curvatura pasa
bruscamente desde cero en la tangente hasta un valor finito y constante en la curva.
Esta discontinuidad de curvatura en el punto de unión de los alineamientos
rectos con las curvas circulares no puede aceptarse en un trazado racional, pues además
de ser incomoda para el conductor puede ser causa de accidentes debidos a la fuerza
centrifuga.
Por otra parte, para alcanzar en la curva circular el peralte (inclinación
transversal de la vía en las curvas) requerido a todo lo largo de ella, debe pasarse del

bombeo (inclinación transversal hacia ambos lados del eje de la vía en la recta) del
alineamiento recto a dicho peralte.
De estas consideraciones surge la necesidad de emplear un alineamiento de
transición entre los alineamientos rectos y curvos de una carretera, a través del cual la
curvatura pase gradualmente desde cero hasta el valor finito de la curva circular, a la
vez que la inclinación transversal de la calzada pase también paulatinamente desde el
bombeo al peralte.
En las carreteras modernas, la transición es un elemento de tanta importancia
como el círculo y la recta. Su uso se hace obligatorio para evitar ópticas de los bordes de
la vía, a las vez de la necesidad de adaptar el trazado a la configuración del terreno al
comportamiento usual que la mayoría de los conductores induce a su empleo.
Diversos procedimientos se han utilizado para efectuar la transición de la
curvatura entre los alineamientos rectos y circulares.
Es así que el enlace de dos alineamientos rectos se puede realizar mediante el
uso del arco de circulo de radio R precedido y seguido por una curva de transición de
radio variable, o utilizando las curvas de transición sin arco de círculos intermedios.
Cualquiera que sea el procedimiento que se seleccione para realizar la transición,
esta debe satisfacer los requerimientos exigidos por la dinámica del movimiento, la
maniobrabilidad del vehículo, el confort del conductor y la geometría del trazado.

4.4.1.- LA CLOTOIDE COMO CURVA DE TRANSICIÓN.
Numerosas curvas satisfacen los requerimientos de regulación citados, a través
de una variación uniforme de la curvatura deberá ser proporcional a algún elemento de
la curva de transición.
Entre las curvas de transición más frecuentemente empleadas pueden citarse la
espiral de Cornu o Clotoide, el óvalo, la lemniscata de Bernoulli, la parábola cúbica, etc.
De todas estas, la más ampliamente utilizada en carreteras es la Clotoide; su forma se
ajusta a la de la trayectoria recorrida por un vehículo que viaja a velocidad constante y
cuyo volante es accionado en forma uniforme.
La Clotoide fue analizada en el año de 1860 por Maxvon Leber, e introducida en
la práctica de la ingeniería por L. Oerly en el año 1937.

4.4.2.-CLASIFICACIÓN Y ELEMENTOS DE LA CLOTOIDE.
La Clotoide permite enlazar un alineamiento recto con otro circular, o viceversa;
dos alineamientos rectos ó dos alineamientos circulares de igual a contrario sentido.
En el primer caso, cuando el enlace entre el alineamiento recto y la curva , se
hace con una Clotoide, ésta recibe el nombre de Clotoide Simple.

DIBUJO DE CLOTOIDE SIMPLE

Si la curva circular entre las dos Clotoides, la de entrada y la de salida, se
elimina, se obtiene la Clotoide doble, Clotoide de Transición Total o Clotoide de
vértice.

DIBUJO DE CLOTOIDE DE VERTICE

Cuando dos arcos de circulo de sentido contrario, sin tangente intermedia,
conectan con dos arcos de Clotoide revertidas, resultan las Clotoides en S ó curvas de
inflexión.

DIBUJO DE CLOTOIDE EN S

En una Clotoide hay que distinguir los siguientes elementos, los cuales se
señalan en la figura:

CURVA CIRCULAR CON CLOTOIDES Y SUS ELEMENTOS

PI: Punto de intersección de las tangentes.
TE: Punto común de la tangente y la curva espiral.
ET: Punto común de la curva espiral y la tangente.
EC: Punto común de la curva espiral y la circular.
CE: Punto común de la curva circular y la espiral.
PC: Punto donde se desplaza el TE o TS de la curva circular.

Delta: Angulo de deflexión entre las tangentes.
Ø : Angulo de deflexión entre la tangente de entrada y la tangente en un punto
cualquiera de la Clotoide.
Øe : Angulo de deflexión entre las tangentes en los extremos de la curva espiral.
Delta c : Angulo que subtiene el arco EC-CE.
Rc : Radio de la curva circular.
R: Radio de la curvatura de la espiral en cualquiera de sus puntos.
le : Longitud de la espiral.
l : Longitud de la espiral desde el TE hasta un punto cualquiera de ella.
lc : Longitud de la curva circular.
Te : Tangente larga de la espiral.
Xc, Yc : Coordenadas del EC.
k,p : Coordenadas del PC de la curva circular.
Ee : Externa de la curva total.
np: Angulo de deflexión de un punto P de la Clotoite
V: Velocidad de proyecto.

4.4.3.- ECUACIONES DE LA CLOTOIDE.

1) Øe = (90.Le)/(¶.R)

2) Delta c = Delta- 2.Øe
(Delta es el ángulo Delta)
3) Xc = Le{1 - [(Øe)²/10] + [(Øe)4/216] + [(Øe)6/9360]} Øe: (radianes).

4) Yc = Le{[(Øe)/3] - [(Øe)5/1320]}

5) K = Xc - R.SenØe

6) P = Yc - R.(1 - CosØe)

7) Te = K + (R+P).Tg(Delta/2)

8) Ee = [(R+P)Sec (Delta/2)] - R

9) TL = Xc - Yc.CotØe

10) TC = Yc/(SenØe)

11) Le >= 30 m
12) Le>= 0.0522[(V3/R)] - 6.64.V.P R<500m V(km/h) Le(m) R(m)
P:Peralte (en decimal)
13) Xe = Le

14) Ye (Le)²/(6.R)

15) np= (Øp/3) - Cp

16) Cp = [0.528.(Øp)3]/104 Cp(´ en minutos) Ø (° en grados)

17) Xp = Lp(1 - Øp/10 + Ø4/216 - Ø6p/9360)

18) Yp = Lp( Øp/3 - Ø3p/42 + Ø5p/1320)

4.4.4.-LONGITUD MINIMA DE LA CLOTOIDE.
Como se dijo anteriormente, cuando un vehículo pasa de un alineamiento corto a
una curva aparece repentinamente una fuerza que afecta la seguridad de la marcha y
ocasiona molestias a los pasajeros, debido al empuje lateral repentino que se origina y
se hace sentir.
Para superar este inconveniente, además de usarse una transición de la curvatura,
su longitud debe ser adecuada para permitir al conductor de habilidad media circulando
a la velocidad de proyecto, disponer de tiempo suficiente para pasar de la alineación

recta a la curva sin ninguna dificultad es decir, para que la fuerza centrifuga aparezca de
una manera gradual.
Las normas venezolanas fijan los siguientes valores mínimos para la longitud de
la Clotoide:

Le>= 30 metros

Le>= 0.0522 (V3/Rc) - 6.64. V.P
Como lo expresan las formulas 11 y 12

4.4.5.-REPLANTEO DE LAS CURVAS EN ESPIRAL.
4.4.5.1.- REPLANTEO DE LOS PUNTOS PRINCIPALES DE LA ESPIRAL.
Los puntos TE y ET se ubican, colocando PI, llevados a partir de este sobre los
alineamientos la distancia TE-PI o vinculando la traza de la vía a la poligonal de
estudio.
En cuanto a los puntos EC y CE se pueden ubicar utilizando los siguientes
métodos:

4.4.5.1.1.-METODO DE LAS TANGENTES.
El método de las tangentes consiste en determinar las tangentes largas y corta de
la espiral, además del ángulo de deflexión entre las tangentes en los extremos de la
curva espiral. Para ello se utilizan las expresiones ya conocidas:

TL = X - Y CotØe TC = Y / SenØe Qe = Le/2.Rc

DIBUJO DE MÉTODOS DE TANGENTES

4.4.5.1.1.1.-PROCEDIMIENTO DE CAMPO
Desde el punto TE y sobre el alineamiento TE-PI, utilizando cinta métrica,
llevamos la distancia tangente larga (TL). Estacionamos en el nuevo punto con el
teodolito visamos a PI y llevamos el ángulo Øe, luego sobre este nuevo alineamiento

llevamos la tangente corta (CT). Así que ubicado el punto EC. De la misma manera
pero partiendo desde ET se puede replantear el punto CE.

4.4.5.1.2.-METODO DE COORDENADAS RECTANGULARES.
El método consiste en tomar como eje del sistema cartesiano una de las dos
tangentes (abscisa) y perpendicularmente el eje de las ordenadas.

DIBUJO METODO DE COORDENADAS RECTANGULARES

Para los puntos EC y CE las coordenadas rectangulares se pueden determinar
utilizando las siguientes expresiones:
Xe = Le Ye = (Le2)/6.Rc

4.4.5.1.2.1.PROCEDIMIENTO DE CAMPO.
Desde el punto TE y sobre el alineamiento TE-PI, utilizando cinta métrica,
llevamos la distancia Xe (abscisas) y perpendicularmente desde el nuevo punto se lleva
la distancia Ye (ordenadas). Así queda ubicado el punto EC.
De la misma manera pero partiendo desde ET se puede replantear el punto CE.

4.4.5.2.-REPLANTEO DE LOS PUNTOS INTERMEDIOS DE LA ESPIRAL.
4.4.5.2.1.-METODO DE COORDENADAS RECTANGULARES.
Para determinar las coordenadas rectangulares de un punto intermedio, se
utilizan las siguientes expresiones:

Øe = (90.Le)/(¶.Rc)

Øp = Øe.(Lp/Le)2

Xp = Lp.[1 - (Øp/10) + (Ø4p/216) - (Ø6p)/9360]

Yp = Lp.[(Øp/3) - (Ø3p)/42 + (Ø5p)/1320]

4.4.5.2.1.1.-PROCEDIMIENTO DE CAMPO.
Desde el punto TE (ó ET) y sobre el alineamiento TE-PI (ó ET-PI) utilizando
cinta métrica, llevamos las abscisas y perpendicularmente desde el nuevo punto
llevamos las ordenadas.

(DIBUJO DE REPLANTEO DE PUNTOS INTERMEDIOS POR
RECTANGULARES)

4.4.5.2.2.-METODO DE COORDENADAS POLARES.
Este método sirve para replantear toda la espiral desde una sola estación del
teodolito bien sea desde TE o ET. Utilizando las siguientes expresiones:

n = (Øp/3) - c c = [0.528.(Ø3p)/104] c en (´), Ø en (°)

Donde Øp es el ángulo entre la tangente principal y la tangente en un punto P y
se puede calcular utilizando la expresión:
Øp = Øe (Lp/Le)2

Donde Lp es igual a la longitud entre TE ó ET y el punto P. C es una corrección.

4.4.5.2.2.1.-PROCEDIMIENTO DE CAMPO.
Estacionados, con el teodolito en TE o ET, visamos el punto PI y giramos el
ángulo de deflexión. Sobre este nuevo alineamiento llevamos la cuerda que va a ser
igual a Lp. De esta manera replanteamos todos los puntos intermedios de la espiral, lo
cual se indica en la figura:

(DIBUJO DE REPLANTEO DE PUNTOS INTERMEDIOS POLARES)

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