Respuesta en el Tiempo.pptx

INGENIERÍA DE CONTROL
RESPUESTA EN EL TIEMPO
JOSEPH ADRIÁN DE ANDA FANG

RESPUESTA EN EL TIEMPO
 La respuesta en el tiempo de un sistema de control consta de dos partes: la
respuesta transitoria y la respuesta en estado estacionario.
Es la parte de la
respuesta de un
sistema que se
presenta cuando hay
un cambio en la
entrada y desaparece
después de un breve
intervalo.
Es la respuesta que
permanece después
de que desaparecen
todos los transitorios.
Régimen Permanente.

SEÑALES DE PRUEBA TÍPICAS
 Las señales de prueba que se usan regularmente son funciones escalón,
rampa, parábola, impulso, etc. Con estas señales de prueba, es posible realizar
con facilidad análisis matemáticos y experimentales de sistemas de control, ya
que las señales son funciones del tiempo muy simples.

SISTEMAS DE ORDEN
 Para estudiar el transitorio en los sistemas, se clasifican de acuerdo
al orden del polinomio que los describen:
 Sistemas de Primer Orden:
1
𝑠+2
 Sistemas de Segundo Orden:
10
𝑠2+2𝑠+5
 Sistemas de Tercer Orden:
20
𝑠3+2𝑠2+4𝑠+6
 Existen sistemas de mayor orden pero solo veremos sistemas de primer
y segundo orden

ANALISIS DE LA RESPUESTA
TRANSITORIA DE SISTEMA DE
PRIMER ORDEN

MODELADO Y RESPUESTA DE LOS SISTEMA DE PRIMER ORDEN
 Lo primero que debemos de conocer de los Sistemas de Control de 1er Orden
son sus modelos matemáticos (F.T.) generales que los describen.
𝐶 𝑠
𝑅 𝑠
=
𝐾𝐺
𝜏𝑠 + 1
 La respuesta transitoria está caracterizada por el orden del sistema no por su
naturaleza. Esto es, los sistemas de 1er. Orden, por ejemplo, tendrán una
respuesta característica independientemente que sean eléctricos, mecánicos o
hidráulicos.

CARACTERÍSTICAS DE LOS SISTEMAS DE CONTROL DE 1ER. ORDEN
1. Todos presenta una respuesta de forma exponencial creciente o decreciente si son excitados
con una entrada de tipo escalón, independientemente de la naturaleza del sistema.
2. No presenta oscilaciones ni sobrepasos.
3. El transitorio dura cinco veces la constante de tiempo, Transitorio = 𝜏s = 5t
4. Para encontrar la respuesta transitoria de manera gráfica, podemos hacer uso de los
porcentajes constantes y el valor final de la salida. C(t)final = KGR1, donde KG es la cte de
ganancia y R1 es la magnitud del escalón.
Nota: Esto es solamente para la Entrada Escalón.
t C(t)
0 0
𝜏 63%
2𝜏 86%
3𝜏 95%
4𝜏 985
5𝜏 99%

PROCEDIMIENTO PARA OBTENER LA RESPUESTA TRANSITORIA DE SISTEMA
DE PRIMER ORDEN EN ECUACIÓN Y GRAFICA (ESCALÓN)
 Despejar la entrada de la función de transferencia
𝐶 𝑠
𝑅 𝑠
=
𝐾𝐺
𝜏𝑠+1
C s =
1
𝜏𝑠+1
𝑅1
𝑠
C s =
𝑅1
𝑠(𝜏𝑠 + 1)
 Aplicar Fracciones Parciales a la ecuación de salida
C s =
𝑅1
𝑠(𝜏𝑠 + 1)
=
𝐴
𝑠
+
𝐵
𝜏𝑠 + 1
KG=1

𝐴 = [
𝑅1
𝜏𝑠 + 1
]𝑠=0=
𝑅1
𝜏(0) + 1
= 𝑹𝟏
𝐵 = [
𝑅1
𝑠
]𝑠=−1/𝜏=
𝑅1
−
1
𝜏
= −𝑹𝟏𝝉
 Sustituir los coeficientes en la ecuación de salida
C s =
𝑅1
𝑠(𝜏𝑠 + 1)
=
𝑅1
𝑠
−
𝑅1𝜏
𝜏𝑠 + 1
 Obtener la Transformada Inversa de Laplace de la ecuación de salida
c 𝑡 = ℒ−1
𝐶 𝑠
c 𝑡 = ℒ−1
𝑅1
𝑠
− ℒ−1
𝑅1𝜏
𝜏𝑠 + 1
c 𝑡 = ℒ−1
𝑅1
𝑠
−
𝑅1𝜏
𝜏
ℒ−1
1
𝑠 +
1
𝜏
c 𝑡 = 𝑅1 − 𝑅1𝑒−
𝜏
𝑡 = 𝑹𝟏(𝟏 − 𝒆−
𝒕
𝝉)
Debemos de despejar el
numerador y el termino 𝜏 para
poder obtener una formula
directa de ℒ−1

𝒄 𝒕 = 𝑹𝟏(𝟏 − 𝒆−
𝒕
𝝉)
Si t=0
𝑐 𝑡 = 1 1 − 𝑒−
𝑡
𝜏 = 1 1 − 𝑒0
= 1 1 − 1 = 1 0 = 0
Si t=𝜏
𝑐 𝑡 = 1 1 − 𝑒−
𝜏
𝜏 = 1 1 − 𝑒1
= 1 1 − 0.3678 = 1 0.6322 = 0.6322
Si t=2𝜏
𝑐 𝑡 = 1 1 − 𝑒−
2𝜏
𝜏 = 1 1 − 𝑒2 = 1 1 − 0.1353 = 1 0.8647 = 0.8647
Si t=3𝜏
𝑐 𝑡 = 1 1 − 𝑒−
3𝜏
𝜏 = 1 1 − 𝑒3
= 1 1 − 0.0497 = 1 0.9503 = 0.9503
Si t=4𝜏
𝑐 𝑡 = 1 1 − 𝑒−
4𝜏
𝜏 = 1 1 − 𝑒4
= 1 1 − 0.0183 = 1 0.9817 = 0.9817
Si t=5𝜏
𝑐 𝑡 = 1 1 − 𝑒−
5𝜏
𝜏 = 1 1 − 𝑒5
= 1 1 − 0.0067 = 1 0.9933 = 0.9933
Para graficar la respuesta
transitoria debemos de aplicar
la formula 5 veces
t c(t)
0 0
𝜏 0.6322
2𝜏 0.8647
3𝜏 0.9503
4𝜏 0.9817
5𝜏 0.9933
Tabulando

Podemos darnos cuenta
que mientras mas
pequeña sea 𝜏 mas rápida
es su respuesta

EJEMPLO
Obtener la respuesta transitoria (ecuación y grafica) para el siguiente
circuito RC
Datos:
ei= 10 V
R= 10KΩ
C= 10uF
Funciones de Transferencia
𝐸𝑜(𝑠)
𝐸𝑖(𝑠)
=
1
𝑅𝐶𝑠 + 1
𝐼(𝑠)
𝐸𝑖(𝑠)
=
𝐶𝑠
𝑅𝐶𝑠 + 1
𝐸𝑅(𝑠)
𝐸𝑖(𝑠)
=
𝑅𝐶𝑠
𝑅𝐶𝑠 + 1

Primero hay que definir varios parámetros para empezar a resolver el problema
Entrada Escalón: 10𝑉 =
10
𝑠
Valores de Kg y 𝜏
1
𝑅𝐶𝑠+1
=
𝐾𝐺
𝜏𝑠+1
𝐾𝐺 = 1 𝜏 = 10𝑋103Ω 10𝑋10−6𝑢𝐹 = 0.1𝑠𝑒𝑔
 Despejar la entrada de la función de transferencia
𝐸𝑜(𝑠)
𝐸𝑖(𝑠)
=
1
𝑅𝐶𝑠 + 1
𝐸𝑜 𝑠 =
1
0.1𝑠 + 1
10
𝑠
𝐸𝑜 𝑠 =
10
𝑠(0.1𝑠 + 1)
 Aplicar fracciones parciales la ecuación de salida
𝐸𝑜 𝑠 =
10
𝑠(0.1𝑠 + 1)
=
𝐴
𝑠
+
𝐵
0.1𝑠 + 1
𝐴 =
10
0.1𝑠 + 1 𝑠=0
=
10
0.1(0) + 1
=
10
1
= 𝟏𝟎
𝐵 =
10
𝑠 𝑠=−
1
0.1=−10
=
10
−10
= −𝟏

𝐸𝑜 𝑠 =
10
s
−
1
𝑠 0.1 + 1
 Obtener la transformada inversa de Laplace de la ecuación de salida
𝑒𝑜 𝑡 = ℒ−1
{𝐸𝑜 𝑠 }
10
s
ℒ−1 −
1
𝑠 0.1 + 1
10
s
−ℒ−1
1
𝑠 0.1 + 1
10
s
−
1
0.1
ℒ−1
1
𝑠 + 1
𝑒𝑜 𝑡 = 10 − 10(𝑒−10𝑡)
𝒆𝒐 𝒕 = 𝟏𝟎(𝟏 − 𝒆−𝟏𝟎𝒕)

𝒄 𝒕 = 𝟏𝟎(𝟏 − 𝒆−𝟏𝟎𝒕)
Si t=0
𝑐 𝑡 = 10 1 − 𝑒−10(0) = 1 1 − 𝑒0 = 1 1 − 1 = 1 0 = 0
Si t=𝜏
𝑐 𝑡 = 1 1 − 𝑒−10(0.1) = 1 1 − 𝑒−1 = 6.32
Si t=2𝜏
𝑐 𝑡 = 1 1 − 𝑒−10(0.2) = 1 1 − 𝑒−2 = 8.64
Si t=3𝜏
𝑐 𝑡 = 1 1 − 𝑒−10(0.3) = 1 1 − 𝑒3 = 9.5
Si t=4𝜏
𝑐 𝑡 = 1 1 − 𝑒−10(0.4)
= 1 1 − 𝑒4
= 9.81
Si t=5𝜏
𝑐 𝑡 = 1 1 − 𝑒−10(0.5) = 1 1 − 𝑒5 = 9.93
t c(t)
0 0
𝜏 6.32
2𝜏 8.64
3𝜏 95.0
4𝜏 9.81
5𝜏 9.93

ANALISIS DE LA RESPUESTA
TRANSITORIA DE SISTEMA DE
SEGUNDO ORDEN

MODELADO Y RESPUESTA DE LOS SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN
 La función de transferencia de lazo cerrado en relación de amortiguamiento ζ y frecuencia
natural no amortiguada ωn es:
𝐶 𝑠
𝑅 𝑠
=
𝜔𝑛
2
𝑠2 + 2𝜁𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛
2
 La respuesta en el tiempo dependerá de del factor de amortiguamiento y la frecuencia
natural:
 Si ζ = 0 los polos de lazo cerrado son imaginarios, el sistema se denomina sin amortiguamiento y su
respuesta tiene oscilaciones mantenidas.
 Si 0 <ζ <1 los polos de lazo cerrado son complejos conjugados, el sistema se denomina
subamortiguado y su respuesta es oscilatoria.
 Si ζ =1 los polos de lazo cerrado son reales e iguales, el sistema se denomina críticamente
amortiguado y su respuesta es exponencial.
 Si ζ >1 los polos de lazo cerrado son reales y diferentes, el sistema se denomina sobreamortiguado y
su respuesta transitoria es exponencial.

RESPUESTA TÍPICA DE UN SISTEMA SUBAMORTIGUADO
1. Tiempo de retardo, td: el tiempo de retardo es el tiempo
requerido para que la respuesta alcance la primera vez la
mitad del valor final.
2. Tiempo de subida, tr: el tiempo de subida es el tiempo
requerido para que la respuesta pase del 10 al 90%, del 5
al 95% o del 0 al 100% de su valor final. Para sistemas
subamortiguados de segundo orden, por lo general se usa
el tiempo de subida de 0 a 100%.
3. Tiempo pico, tp: el tiempo pico es el tiempo requerido
para que la respuesta alcance el primer pico de
sobreelongación.
4. Sobreelongación máxima (%), Mp: la máxima
sobreelongación es el máximo valor del pico de la curva
de respuesta, medido a partir de la unidad.
5. Tiempo de asentamiento, ts: El tiempo de asentamiento es
el tiempo que se requiere para que la curva de respuesta
alcance un rango alrededor del valor final del tamaño
especificado por el porcentaje absoluto del valor final (por

PARAMETROS PARA SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN

 Tiempo de levantamiento, tr
𝒕𝒓 =
𝝅−𝜷
𝝎𝒅
𝜁𝜔𝑛 = 𝜎 𝜔𝑑 = 𝜔𝑛 1 − 𝜁2 𝛽 = 𝑡𝑎𝑛−1 𝜔𝑑
𝜎
 Tiempo pico, tp
𝒕𝒑 =
𝝅
𝝎𝒅
 Sobreelongacion máxima, Mp%
𝑴𝒑 = 𝒆−(
𝝈
𝝎𝒅
)𝝅
𝒙𝟏𝟎𝟎
 Tiempo de asentamiento, ts
𝒕𝒔 =
𝟒
𝝈
𝑪𝒓𝒊𝒕𝒆𝒓𝒊𝒐 𝒅𝒆 𝟐%
𝒕𝒔 =
𝟑
𝝈
𝑪𝒓𝒊𝒕𝒆𝒓𝒊𝒐 𝒅𝒆 𝟓%

 # picos
#𝒑𝒊𝒄𝒐𝒔 =
𝒕𝒔
𝒕𝒑 𝒆𝒏𝒕𝒆𝒓𝒐
 c(t) Final, c(ts) y c(tmax)
𝒄 𝒕 𝑭𝒊𝒏𝒂𝒍 = 𝑲𝑮 ∗ 𝑹𝟏
𝒄 𝒕𝒑 = 𝟏 + 𝒆 𝜁𝜔𝑛𝑡𝑝 𝒄 𝒕 𝑭𝒊𝒏𝒂𝒍
𝒄 𝒕 𝒎𝒂𝒙 = 𝒄(𝒕𝒔)
Dependiendo del numero
de picos se aplicara la
formula n veces

EJEMPLO #1
 Obtener la grafica de respuesta transitoria y los
parámetros de la siguiente función de transferencia
𝐾
𝑠2 + 2𝑠 + 𝐾

𝐾
𝑠2+2𝑠+𝐾
𝜔𝑛
2
𝑠2+2𝜁𝜔𝑛𝑠+𝜔𝑛
2
K=4
 Debemos de asociar los términos para resolver el problema
𝜔𝑛
2 = 4 𝜔𝑛 = 4 = 2
2𝜁𝜔𝑛 = 2 𝜁 =
2
2𝜔𝑛
=
2
2(2)
= 0.5
𝐾𝐺𝜔𝑛
2
= 4 𝐾𝐺 =
𝐾
𝜔𝑛
2 =
4
4
= 1
Respuesta Subamortiguada
0< 𝜁<1
0<0.5<1

 Calcular los parámetros del sistema de segundo orden
𝜔𝑑 = 𝜔𝑛 1 − 𝜁2
𝜔𝑑 = 2 1 − (0.5)2
𝝎𝒅 = 𝟏. 𝟕𝟑𝟐𝟎
𝜎 = 𝜁𝜔𝑛
𝜎 = (0.5)(2)
𝝈 = 𝟏
𝛽 = 𝑡𝑎𝑛−1
𝜔𝑑
𝜎
𝛽 = 𝑡𝑎𝑛−1 1.7320
1
= 𝟏. 𝟕𝟑𝟐𝟎
NOTA:
El resultado de beta esta en
grados por lo que debemos
de pasarlo a radianes

Tiempo Pico
𝒕𝒑 =
𝝅
𝝎𝒅
𝑡𝑝 =
𝜋
1.7320
𝒕𝒑 = 𝟏. 𝟖𝟏𝟑𝟖 𝒔
Sobreelongacion máxima
𝑴𝒑 = 𝒆−(
𝝈
𝝎𝒅
)𝝅
𝒙𝟏𝟎𝟎
𝑀𝑝 = 𝑒−(
1
1.7320
)𝜋
𝑥100
𝑴𝒑 = 𝟏𝟔. 𝟑𝟎%
Tiempo de Asentamiento
𝒕𝒔 =
𝟒
𝝈
𝒕𝒔 =
𝟑
𝝈
𝑡𝑠 =
4
1
= 𝟒𝒔 𝑪𝒓𝒊𝒕𝒆𝒓𝒊𝒐 𝒅𝒆 𝟐%
𝑡𝑠 =
3
1
= 𝟑𝒔 𝑪𝒓𝒊𝒕𝒆𝒓𝒊𝒐 𝒅𝒆 𝟓%
Tiempo de Subida
𝒕𝒓 =
𝝅−𝜷
𝝎𝒅
𝑡𝑟 =
𝜋 − 1.7320
1.7320
𝒕𝒓 = 𝟎. 𝟖𝟏𝟑𝟕 𝒔

 Aplicar la formula de respuesta en el tiempo de segundo orden
 # picos
𝒕𝒔
𝒕𝒑 𝒆𝒏𝒕𝒆𝒓𝒐
𝟒
𝟏. 𝟖𝟏 𝒆𝒏𝒕𝒆𝒓𝒐
= 𝟐. 𝟐
 c(t) Final, c(ts) y c(tmax)
𝒄 𝒕 𝑭𝒊𝒏𝒂𝒍 = 𝑲𝑮 ∗ 𝑹𝟏
𝒄 𝒕 𝑭𝒊𝒏𝒂𝒍 = 𝟏 ∗ 𝟓 = 𝟓
𝒄 𝒕𝒑 = 𝟏 + 𝒆 𝜁𝜔𝑛𝑡𝑠
𝒄 𝒕 𝑭𝒊𝒏𝒂𝒍
𝒄 𝒕𝒑 = 𝟏 + 𝒆 (0.5)(2) (1.81)
𝟓 = 𝟓. 𝟖𝟏
𝒄 𝟐𝒕𝒑 = 𝟏 + 𝒆 (0.5)(2) (3.62)
𝟓 = 𝟒. 𝟖𝟔
𝒄 𝒕 𝒎𝒂𝒙 = 𝒄 𝒕𝒑 = 𝟓. 𝟖𝟏

EJEMPLO #2
 Obtener los parámetros de tiempo de subida, tiempo de
asentamiento, tiempo pico y sobreelongación máxima del
siguiente sistema de segundo orden
𝟖𝟏
𝒔𝟐 + 𝟐𝒔 + 𝟖𝟏

81
𝑠2+2𝑠+81
𝜔𝑛
2
𝑠2+2𝜁𝜔𝑛𝑠+𝜔𝑛
2
 Debemos de asociar los términos para resolver el problema
𝜔𝑛
2
= 81 𝜔𝑛 = 81 = 9
2𝜁𝜔𝑛 = 2 𝜁 =
2
2𝜔𝑛
=
2
2(9)
= 0.111
Respuesta Subamortiguada
0< 𝜁<1
0<0.111<1

 Calcular los parámetros del sistema de segundo orden
𝜔𝑑 = 𝜔𝑛 1 − 𝜁2
𝜔𝑑 = 9 1 − (0.111)2
𝝎𝒅 = 𝟖. 𝟗𝟒𝟒
𝜎 = 𝜁𝜔𝑛
𝜎 = (0.111)(9)
𝝈 = 𝟎. 𝟗𝟗𝟗
𝛽 = 𝑡𝑎𝑛−1
𝜔𝑑
𝜎
𝛽 = 𝑡𝑎𝑛−1 8.944
0.999
= 83.661 = 𝟏. 𝟒𝟔𝟎
NOTA:
El resultado de beta esta en
grados por lo que debemos
de pasarlo a radianes

Tiempo de Subida
𝒕𝒓 =
𝝅−𝜷
𝝎𝒅
𝑡𝑟 =
𝜋 − 1.460
8.944
𝒕𝒓 = 𝟎. 𝟏𝟖𝟖𝟎 𝒔
Tiempo Pico
𝒕𝒑 =
𝝅
𝝎𝒅
𝑡𝑝 =
𝜋
8.944
𝒕𝒑 = 𝟎. 𝟑𝟓𝟏 𝒔
Sobreelongacion máxima
𝑴𝒑 = 𝒆−(
𝝈
𝝎𝒅
)𝝅
𝒙𝟏𝟎𝟎
𝑀𝑝 = 𝑒−(
0.999
8.944
)𝜋
𝑥100
𝑴𝒑 = 𝟕𝟎. 𝟒𝟎𝟓%
Tiempo de Asentamiento
𝒕𝒔 =
𝟒
𝝈
𝒕𝒔 =
𝟑
𝝈
𝑡𝑠 =
4
0.999
= 𝟒. 𝟎𝟎𝟒𝒔 𝑪𝒓𝒊𝒕𝒆𝒓𝒊𝒐 𝒅𝒆 𝟐%
𝑡𝑠 =
3
0.999
= 𝟑. 𝟎𝟎𝟑𝒔 𝑪𝒓𝒊𝒕𝒆𝒓𝒊𝒐 𝒅𝒆 𝟓%

EJEMPLO #3
 Considere el sistema de la figura. Determine el valor de k de modo
que la relación de amortiguamiento ζ sea de 0.5. Luego obtenga el
tiempo de crecimiento tr , el tiempo pico tp , el sobreimpulso
máximo %Mp y el tiempo de establecimiento ts.

EJERCICIOS DE PRACTICA
 Sistema de Primer Orden
Obtener la respuesta tanto en ecuación como grafica del siguiente circuito eléctrico por medio
de estas funciones de transferencia
𝐼(𝑠)
𝐸𝑖(𝑠)
=
𝐶𝑠
𝑅𝐶𝑠+1
𝐸𝑅(𝑠)
𝐸𝑖(𝑠)
=
𝑅𝐶𝑠
𝑅𝐶𝑠+1
 Sistema de Segundo Orden
Obtener los parámetros de tiempo de subida, tiempo de asentamiento, tiempo pico y
sobreelongación máxima del siguiente sistema de segundo orden
𝟐𝟓
𝒔𝟐+𝟐𝒔+𝟐𝟓
𝟏𝟐𝟏
𝒔𝟐+𝟏𝟎𝒔+𝟏𝟐𝟏
𝟔𝟎
𝒔𝟐+𝟑𝒔+𝟔𝟎

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