Este documento presenta una guía de problemas sobre integrales de superficie, el teorema de Gauss y Stokes. Contiene 10 secciones con problemas relacionados al cálculo de áreas de superficies, integrales de superficie de campos escalares, aplicación del teorema de Gauss, y aplicación del teorema de Stokes a diferentes campos vectoriales y superficies.
En el presente documento se detallan la resolución paso a paso de diferentes problemas de física tanto a nivel de bachillerato, como a nivel universitario, los cuales son una recolección realizada por el autor.
Se realiza este material, para que sirva a docentes de física a seleccionar diferentes problemas y presentarlos a sus estudiantes y así facilitar aprendizajes y hacer partícipe al educando de formar su propio aprendizaje.
Los problemas no siguen un orden en específico, solo van detallados subtítulos para ubicar al lector.
En esta primera entrega de 100 problemas resueltos de física se abordan los siguientes contenidos:
Electricidad y electromagnetismo Temperatura y Calor Física Cuántica Movimiento Circular Uniforme
En este trabajo, sacamos a la luz algunas propiedades prácticamente desconocidas del triángulo de Pascal en referencia a ciertos productos internos curiosos como el producto escalar de las sucesiones paralelas y la multiplicación triangular, y a algunos productos externos importantes como el producto de ampliación dimensional, donde establecemos una forma práctica y sencilla de obtener los coeficientes de un polinomio de r elementos, elevado a una potencia m, a partir de los coeficientes de un polinomio de r-1 elementos elevado a la misma potencia m, aplicado a la cadena de coeficientes binomiales-trinomiales y tetranomiales, y su generalización dada por la propiedad extensiva del producto de ampliación dimensional. Adicionalmente, abordamos el producto de nivel incremental, que nos permite pasar de un plano ∆_k, a otro de un valor superior de k.
Contiene algunas integrales indefinidas, impropias y a la vez aplicaciones de las mismas.
También puedes visitar este link, en donde hay más aporte de integrales:
http://www.slideshare.net/Carlos_Aviles_Galeas/ejercicios-resueltos-de-integrales-indefinidas-63027082
Saludos!
La Historia de España, desde el Franquismo hasta nuestros días, resumida en 10 imágenes. Tarea realizada por Francisco Hidalgo para Historia de España de 2º de Bachillerato
En el presente documento se detallan la resolución paso a paso de diferentes problemas de física tanto a nivel de bachillerato, como a nivel universitario, los cuales son una recolección realizada por el autor.
Se realiza este material, para que sirva a docentes de física a seleccionar diferentes problemas y presentarlos a sus estudiantes y así facilitar aprendizajes y hacer partícipe al educando de formar su propio aprendizaje.
Los problemas no siguen un orden en específico, solo van detallados subtítulos para ubicar al lector.
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Module 1 - Mise en place des points nodaux GBIF I : Créez un dossier solide p...Alberto González-Talaván
Les dossiers de décision sont des outils très fréquemment utilisés pour présenter des propositions, défendre des positions, convaincre un public, etc.
Les points nodaux du GBIF peuvent tirer bénéfice de l’utilisation de ce cadre de travail, étant donné qu’il requiert un processus systématique de planification et d’esprit critique qui ne peut que porter ses fruits par la suite.
Dans ce module, nous utiliserons les dossiers de décision comme outils génériques. D’autres modules vous donneront un aperçu de la façon dont vos dossiers de décision peuvent être complétés avec un contenu approprié.
Cette présentation correspond au Module 1 de la session d’exercices pour points nodaux du GB20, organisé à Berlin (Allemagne) en octobre 2013.
J.Ignacio Fuster. Arquitecto
______________________
vam 10 arquitectura y paisaje
plaza alfonso el magnámino, 10,8. valencia 46003
www.vam10.com
Tel/Fax:963519780
El concepto trigonométrico de ángulo es fundamental en el estudio de la trigonometría. Un ángulo trigonométrico se genera con un radio que gira. Los radios OA y OB (figuras 1a, 1b y 1c) se consideran inicialmente coincidentes con OA. El radio OB gira hasta su posición final. Un ángulo y su magnitud son positivos si se generan con un radio que gira en el sentido contrario a las agujas del reloj, y negativo si la rotación es en el sentido de las agujas del reloj. Dos ángulos trigonométricos son iguales si sus rotaciones son de igual magnitud y en la misma dirección.
ROMPECABEZAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO OLIMPIADA DE PARÍS 2024. Por JAVIE...JAVIER SOLIS NOYOLA
El Mtro. JAVIER SOLIS NOYOLA crea y desarrolla el “ROMPECABEZAS DE ECUACIONES DE 1ER. GRADO OLIMPIADA DE PARÍS 2024”. Esta actividad de aprendizaje propone retos de cálculo algebraico mediante ecuaciones de 1er. grado, y viso-espacialidad, lo cual dará la oportunidad de formar un rompecabezas. La intención didáctica de esta actividad de aprendizaje es, promover los pensamientos lógicos (convergente) y creativo (divergente o lateral), mediante modelos mentales de: atención, memoria, imaginación, percepción (Geométrica y conceptual), perspicacia, inferencia, viso-espacialidad. Esta actividad de aprendizaje es de enfoques lúdico y transversal, ya que integra diversas áreas del conocimiento, entre ellas: matemático, artístico, lenguaje, historia, y las neurociencias.
Las capacidades sociomotrices son las que hacen posible que el individuo se pueda desenvolver socialmente de acuerdo a la actuación motriz propias de cada edad evolutiva del individuo; Martha Castañer las clasifica en: Interacción y comunicación, introyección, emoción y expresión, creatividad e imaginación.
Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3.pdfsandradianelly
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Instrucciones del procedimiento para la oferta y la gestión conjunta del proceso de admisión a los centros públicos de primer ciclo de educación infantil de Pamplona para el curso 2024-2025.
Friedrich Nietzsche. Presentación de 2 de Bachillerato.
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1. Matemática IV. Ciclo 02/2015 Sección: 03 Guía-Problemas Jonathan λGreen.
UNIVERSIDAD CENTROAMERICANA
“JOSÉ SIMEÓN CAÑAS”
MATEMATICA IV
SECCIÓN 03
CICLO 02-2015
“INTEGRALES DE SUPERFICIE, TEOREMA DE GAUSS Y STOKES”
Profesor: Ing. Eduardo Escapini Peñate
Jefe de Instructores: Jonathan Landaverde.
Instructores de Células: Silvania Aragón, David Alberto, Jorge Gómez, Sofía García,
Jorge Girón.
Área de una superficie.
1) Calcular las áreas de las siguientes superficies:
i) 𝑧 = 𝑥2
+ 𝑦2
, 0 ≤ 𝑧 ≤ 4. 𝑹𝒕𝒂:
𝝅
𝟔
(𝟏𝟕√𝟏𝟕 − 𝟏)
ii) 𝑦 = 𝑥2
+ 𝑧2
− 1, 0 ≤ 𝑦 ≤ 3. 𝑹𝒕𝒂:
𝝅
𝟔
(𝟏𝟕√𝟏𝟕 − 𝟓√𝟓)
iii) 𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2
= 𝑎2
, 𝑧 ≥ 0. 𝑹𝒕𝒂: 𝟐𝝅𝒂 𝟐
2) Hallar las áreas de las superficies siguientes:
a) El tronco del cono con ecuación 𝑧 = 𝑎√𝑥2 + 𝑦2 correspondiente a bases de
radios 𝑏, 𝑐 con 𝑏 < 𝑐. 𝑹𝒕𝒂: 𝝅√𝟏 + 𝒂 𝟐(𝒄 𝟐
− 𝒃 𝟐
)
b) La superficie esférica 𝑥2
+𝑦2
+ 𝑧2
= 9 limitada por el cilindro 𝑥2
+4𝑦2
=
9. 𝑹𝒕𝒂: 𝟏𝟐𝝅
3) Hallar el área del toro circular obtenido al girar una circunferencia de radio 𝑅
alrededor de un eje situado en el plano en el que se encuentra la circunferencia a
una distancia 𝑎 > 𝑅 de su centro. 𝑹𝒕𝒂: 𝟒𝝅 𝟐
𝒂𝑹
4) Calcule el área de la porción de superficie conica 𝑥2
+𝑦2
= 𝑧2
, situada por encima
del plano 𝑧 = 0 y limitada por la esfera 𝑥2
+𝑦2
+ 𝑧2
= 2𝑎𝑥. 𝑹𝒕𝒂: √𝟐𝝅
𝒂 𝟐
𝟒
5) Dado el recinto limitado por los planos 𝑧 = 𝑦 y 𝑧 = 0 y el cilindro 𝑥2
+𝑦2
= 𝑎2
.
Calcule el área de la porción de superficie cilindrica comprendida entre los dos
planos. 𝑹𝒕𝒂: 𝟒𝒂 𝟐
2. Matemática IV. Ciclo 02/2015 Sección: 03 Guía-Problemas Jonathan λGreen.
Integral de superficie de campos escalares.
1) Evaluar ∬ 𝑥𝑦𝑧 𝑑𝑠𝑆
, donde S es el triángulo de vértices (1,0,0), (0,2,0), (0,1,1).
𝑹𝒕𝒂:
√𝟔
𝟑𝟎
2) Evaluar ∬ 𝑧2
𝑑𝑠𝑆
, siendo S la frontera del cubo 𝑆 = [−1, 1] × [−1, 1] ×
[−1, 1]. 𝑹𝒕𝒂:
𝟒𝟎
𝟑
3) Calcular ∬ (𝑥2
+ 𝑦2)𝑑𝑠𝑆
, siendo S la superficie del cono 𝑧2
= 3(𝑥2
+ 𝑦2),
0 ≤ 𝑧 ≤ 3. 𝑹𝒕𝒂: 𝟗𝝅
4) Sea S la semiesfera 𝑥2
+𝑦2
+ 𝑧2
= 𝑎2
, 𝑧 ≥ 0. Hallar ∬ (𝑥2
+𝑦2
)𝑆
𝑑𝑠. 𝑹𝒕𝒂:
𝟒𝝅𝒂 𝟒
𝟑
5) Calcular ∬ (𝑥4
− 𝑦4
+ 𝑦2
𝑧2
− 𝑧2
𝑥2
+ 1)𝑑𝑠𝑆
, donde S es el cilindro 𝑥2
+𝑦2
= 2𝑥
que recorta una porción del cono 𝑥2
+𝑦2
= 𝑧2
. 𝑹𝒕𝒂: √𝟐𝝅
Teorema de Gauss.
1) Hallar ∬ ∇ ∙ 𝐹 𝑑𝑠𝑆
, donde S es el elipsoide 𝑥2
+ 𝑦2
+ 2𝑧2
= 10 y 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
𝑠𝑒𝑛(𝑥𝑦)𝑖 + 𝑒 𝑥
𝑗 − 𝑦𝑧𝑘. 𝑹𝒕𝒂: 𝟎
2) Sea V un sólido de volumen 13 unidades, limitado por la superficie cerrada S. Sea
𝑅(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘. Hallar ∮ 𝑅 ∙ 𝑑𝑠𝑆
. 𝑹𝒕𝒂: 𝟑𝟗
3) Se considera el campo vectorial 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑧𝑖 + 3𝑥𝑦𝑗 − 2𝑧𝑘 y la superficie S,
que es el contorno: 𝑉 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3
: 𝑥2
+𝑦2
≤ 1, 0 ≤ 𝑧 ≤ 3}. Calcular el flujo.
𝑹𝒕𝒂: −
𝟑𝝅
𝟐
4) Se considera el casquete del paraboloide S: 𝑧 = 4 − 𝑥2
− 𝑦2
, 𝑧 ≥ 0 y el campo
vectorial 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
𝑥
(𝑥2+𝑦2+𝑧2)
3
2
𝑖 +
𝑦
(𝑥2+𝑦2+𝑧2)
3
2
𝑗 +
𝑧
(𝑥2+𝑦2+𝑧2)
3
2
𝑘, Hallar el flujo de
F a través de S hacia el exterior del paraboloide. 𝑹𝒕𝒂: 𝟐𝝅
5) Sea 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑦𝑖 + 𝑧𝑗 + 𝑥𝑧𝑘. Evaluar ∬ 𝐹 ∙ 𝑁 𝑑𝑠𝑆
, para cada una de las
siguientes regiones S:
a) 𝑥2
+ 𝑦2
≤ 𝑧 ≤ 1. 𝑹𝒕𝒂: 𝟎
b) 𝑥2
+ 𝑦2
≤ 𝑧 ≤ 1, 𝑥 ≥ 0. 𝑹𝒕𝒂:
𝟒
𝟏𝟓
c) 𝑥2
+ 𝑦2
≤ 𝑧 ≤ 1, 𝑥 ≤ 0. 𝑹𝒕𝒂: −
𝟒
𝟏𝟓
3. Matemática IV. Ciclo 02/2015 Sección: 03 Guía-Problemas Jonathan λGreen.
6) Calcular ∬ 𝐹 ∙ 𝑁 𝑑𝑠𝑆
, donde 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 3𝑥𝑦2
𝑖 + 3𝑥2
𝑦𝑗 + 𝑧3
𝑘 y S es la esfera
cuyo radio es la unidad. 𝑹𝒕𝒂:
𝟏𝟐𝝅
𝟓
7) Evaluar ∬ 𝐹 ∙ 𝑁 𝑑𝑠𝑆
, donde 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑖 + 𝑗 + 𝑧(𝑥2
+ 𝑦2
)2
k y S es la superficie
del cilindro 𝑥2
+ 𝑦2
≤ 1, 0 ≤ 𝑧 ≤ 1. 𝑹𝒕𝒂:
𝝅
𝟑
8) Sea 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝑦𝑧𝑖 + (−𝑥 + 3𝑦 + 2)𝑗 + (𝑥2
+ 𝑧)𝑘. Calcular ∬ (∇ × 𝐹) ∙ 𝑁 𝑑𝑠𝑆
,
donde S es el cilindro 𝑥2
+ 𝑦2
≤ 𝑎2
, 0 ≤ 𝑧 ≤ 1.
a) Incluyendo las bases. 𝑹𝒕𝒂: 𝟎
b) Excluyendo las bases. 𝑹𝒕𝒂: 𝟐𝝅𝒂 𝟐
9) Halle el flujo del campo 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥3
𝑖 + 𝑦3
𝑗+𝑧3
𝑘 a través de la superficie del
cono 𝑥2
+ 𝑦2
= 𝑧2
, 𝑐𝑜𝑛 0 ≤ 𝑧 ≤ 𝐻.
a) Directamente. 𝑹𝒕𝒂:
𝟏
𝟏𝟎
𝝅𝑯 𝟓
b) Aplicando el Teorema de la Divergencia. 𝑹𝒕𝒂:
𝟏
𝟏𝟎
𝝅𝑯 𝟓
10) Calcule directamente y utilizando el teorema de la divergencia el flujo del campo
vectorial 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑧𝑖 − 𝑦2
𝑗 + 𝑥𝑧𝑘 a través de la superficie que limita el
cilindro 𝑥2
+ 𝑦2
≤ 𝑅2
, 0 ≤ 𝑧 ≤ 3. 𝑹𝒕𝒂:
𝟗
𝟐
𝝅𝑹 𝟐
Teorema de Stokes.
1) Calcular ∮ 2𝑦𝑑𝑥 + 3𝑥𝑑𝑦 − 𝑧2
𝑑𝑧𝑆
, siendo S la circunferencia de ecuaciones
paramétricas 𝑥 = 3 cos(𝛾) , 𝑦 = 3𝑠𝑒𝑛(𝛾), 𝑧 = 0, para 0 ≤ 𝛾 ≤ 2𝜋. 𝑹𝒕𝒂: 𝟗𝝅
2) Sea el triángulo de vértices (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1). Comprobar el Teorema de
Stokes para 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑦𝑧𝑖 + 𝑥𝑧𝑗 + 𝑥𝑦𝑘. 𝑹𝒕𝒂: 𝑪𝒐𝒎𝒑𝒓𝒖𝒆𝒃𝒆
3) Evaluar ∬ (∇ × 𝐹) ∙ 𝑑𝑆𝑆
, donde 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥2
+ 𝑦 − 4)𝑖 + 3𝑥𝑦𝑗 + (2𝑥𝑧 + 𝑧2)𝑘
y S es la superficie 𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2
= 16, 𝑧 ≥ 0.
a) Directamente. 𝑹𝒕𝒂: − 𝟏𝟔𝝅
b) Mediante el Teorema de Stokes. 𝑹𝒕𝒂: − 𝟏𝟔𝝅
4) Evaluar ∬ (∇ × 𝐹) ∙ 𝑑𝑆𝑆
, donde 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = [(𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘) × (𝑖 + 𝑗 + 𝑘)] y S es
la porción de la superficie esférica 𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2
= 1 tal que 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ≥ 1.
𝑹𝒕𝒂: −
𝟒𝝅
√𝟑
4. Matemática IV. Ciclo 02/2015 Sección: 03 Guía-Problemas Jonathan λGreen.
5) Calcule, aplicando el teorema de Stokes, la integral: ∫ (𝑦 − 1)𝑑𝑥 + 𝑧2
𝑑𝑦 + 𝑦𝑑𝑧𝐶
,
donde 𝐶: {
𝑥2
+ 𝑦2
=
𝑧2
2
𝑧 = 𝑦 + 1
. 𝑹𝒕𝒂: − √𝟐𝝅
6) Calcule, utilizando el teorema de Stokes, la integral curvilínea: ∫ (2𝑥 + 𝑦 −𝐶
𝑧)𝑑𝑥 + (2𝑥 + 𝑧)𝑑𝑦 + (2𝑥 − 𝑦 − 𝑧)𝑑𝑧, siendo C una parametrización de la curva
intersección de las superficies: 4𝑥2
+ 4𝑦2
+ 𝑧2
= 4 ˄ 2𝑥 − 𝑧 = 0. 𝑹𝒕𝒂:
𝟓𝝅
√𝟐
7) Calcule la integral ∫ 𝑦2
𝑑𝑥 + 𝑥𝑦𝑑𝑦 + 𝑥𝑧𝑑𝑧𝐶
, siendo C la curva intersección del
cilindro 𝑥2
+ 𝑦2
= 2𝑦 y el plano 𝑦 = 𝑧.
a) Directamente. 𝑹𝒕𝒂: 𝟎
b) Aplicando el teorema de Stokes. 𝑹𝒕𝒂: 𝟎
8) Calcule el trabajo realizado por la fuerza 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑦 − 𝑧)𝑖 + (𝑧 − 𝑥)𝑗 +
(𝑥 − 𝑦)𝑘, para trasladar un punto material sobre la curva cerrada C, siendo C una
parametrización de la curva dada por las ecuaciones: 𝐶: { 𝑥2
+ 𝑦2
= 4
𝑥 = 2 − 2𝑧
.Compruebe
el resultado utilizando el teorema de Stokes. 𝑹𝒕𝒂: − 𝟏𝟐𝝅
9) Calcule la integral ∫ 2𝑦𝑧2
𝑑𝑥 + 𝑥𝑧2
𝑑𝑦 + 3𝑥𝑦𝑧𝑑𝑧𝐶
, siendo C la curva intersección
de la esfera 𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2
= 4 y el paraboloide 𝑥2
+ 𝑦2
= 3𝑧.
a) Utilizando integral de línea.
b) Aplicando el teorema de Stokes. 𝑹𝒕𝒂: 𝑪𝒐𝒎𝒑𝒓𝒖𝒆𝒃𝒆
10) Halle el flujo del rotacional del campo 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑧𝑖 + 𝑦𝑧𝑗 − (𝑥2
+ 𝑦2
)𝑘, a
través de la porción de la superficie 𝑧 = arctan (
𝑦
𝑥
) que se halla dentro del cono
𝑥2
+ 𝑦2
= 𝑧2
, entre los planos 𝑧 = 0 𝑦 𝑧 = 3.
a) Directamente.
b) Utilizando el teorema de Stokes. 𝑹𝒕𝒂: 𝑪𝒐𝒎𝒑𝒓𝒖𝒆𝒃𝒆
Aplicaciones: flujo a través de una superficie.
1) Sea S la superficie cerrada formada por la semiesfera 𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2
= 1, 𝑧 ≥ 0 y su
base 𝑥2
+ 𝑦2
≤ 1, 𝑧 = 0. Sea también 𝐸(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝑥𝑖 + 2𝑦𝑗 + 2𝑧𝑘 un campo
eléctrico definido en ℝ3
. Hallar el flujo a través de S. 𝑹𝒕𝒂: 𝟒𝝅
2) Supongamos que el campo de velocidad de un fluido viene dado por 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
𝑖 + 𝑥𝑗 + 𝑧𝑘, medido en metros por segundo. Calcular cuántos metros cúbicos de
fluido por segundo cruzan la superficie descrita por 𝑥2
+ 𝑦2
+𝑧2
= 1, 𝑧 ≥ 0.
𝑹𝒕𝒂:
𝟐𝝅
𝟑
𝒎 𝟑
𝒔
5. Matemática IV. Ciclo 02/2015 Sección: 03 Guía-Problemas Jonathan λGreen.
3) Determine el flujo térmico que ocurre en el cilindro dado por la ecuación
𝑥2
+ 𝑦2
= 4, entre los planos 𝑧 = 1 ˄ 𝑧 = 4, si la temperatura del cuerpo en un
momento dado esta dada por 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧. 𝑹𝒕𝒂: − 𝟒𝟖𝝅
4) Determine el flujo de fluido hacia afuera (alejándose del eje z) del campo de
velocidades dado por 𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘 , si además se sabe que la
densidad de dicho fluido es 𝜌 = 𝑘, a través de la superficie del paraboloide
𝑧 = 𝑥2
+ 𝑦2
que se encuentra por debajo del plano 𝑧 = 1. 𝑹𝒕𝒂: −
𝟒𝒌𝝅
𝟑
5) Considere una carga puntual 𝑞, cuyo campo eléctrico está definido por 𝐸(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
𝑞
4𝜋𝜀𝑟2
(𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘), cuando la carga se encuentra concéntrica con la superficie
esférica. Determine el flujo eléctrico, hacia afuera, a través de la esfera de radio a.
𝑹𝒕𝒂:
𝒒
𝜺
Aplicaciones: circulación a través de una superficie.
1) Un fluido de densidad constante gira alrededor del eje z con velocidad 𝑉(𝑥, 𝑦) =
𝜔(−𝑦𝑖 + 𝑥𝑗), donde ω es una constante positiva llamada rapidez angular, muestre
que la circulación del campo de velocidades es: ∮ 𝑽 ∙ 𝒅𝒓 = 𝟐𝝅𝝎𝒓 𝟐
𝑪
2) Calcular el trabajo producido por la fuerza 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = −𝑦3
𝑖 + 𝑥3
𝑗 − 𝑧3
𝑘, sobre la
trayectoria recorrida en el sentido positivo, dada por la intersección de las
superficies 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑎 ˄ 𝑥2
+ 𝑦2
= 𝑎2
. 𝑹𝒕𝒂:
𝟔𝝅𝒂 𝟒
𝟒
3) Calcular y comprobar la circulación del campo de velocidades de un fluido dado
por 𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧) = arctan(𝑥2) 𝑖 + 3𝑥𝑗 + 𝑒3𝑧
tan(𝑧) 𝑘, a lo largo de la intersección de
la esfera 𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2
= 4 ˄ 𝑥2
+ 𝑦2
= 1, 𝑧 > 0. 𝑹𝒕𝒂: 𝟑𝝅
4) Sea el campo de fuerzas 𝐹(𝑥, 𝑦) = (2𝑥𝑦2
+ 𝑦)𝑖 + (2𝑥2
𝑦 +
𝑥2
2
+ 𝑥) 𝑗. Demostrar
que en cualquier camino cerrado simétrico con respecto al eje y, la circulación es
cero.