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- 1. Docente: Ing. Miriam Serrepe Ranno Sistema de números complejos para calcular sistemas de corriente alterna Integrantes Chávez Alvarado Frank Alexis Delgago Gonzales Daniel Alejandro Raico Moza Joel David Ramirez López Eduardo José MáquinasEléctricasII
- 2. Logro Al finalizar la sesión el estudiante entiende el uso de los números complejos para realizar cálculos en los circuitos de corriente alterna.
- 3. 1. Introducción 2. El plano complejo 3. Posición angular en el plano complejo 4. Formas rectangular y polar 5. Senoide 6. Fasores 7. Relaciones fasoriales de elementos de circuitos 8. Impedancia y admitancia 9. Combinaciones de impedancias 10. Ejercicios Contenido
- 4. 1. INTRODUCCIÓN Los números complejos permiten operar matemáticamente con cantidades fasoriales haciéndolos de gran utilidad para analizar circuitos de CA, ya que el sistema numérico complejo permite sumar, restar, multiplicar y dividir cantidades que tienen tanto magnitud como ángulo, como las ondas sinusoidales y otras cantidades en circuitos de CA.
- 5. 2. El plano complejo En el plano complejo al eje horizontal se le llama eje real, y al eje vertical se le denomina eje imaginario. En el eje imaginario se tiene el operador “j” para indicar que es número complejo, ya que si se usa la “i” como en matemática, se puede confundir con la corriente.
- 6. 3. Posición angular en el plano complejo El eje real positivo representa cero grados. Prosiguiendo en sentido contrario al de las manecillas del reloj, el eje j representa 90°, el eje real negativo representa 180°, el eje j negativo corresponde a 270°, y, tras una rotación completa de 360°, se regresa al eje real positivo. El plano está dividido en cuatro cuadrantes.
- 7. 4. Formas rectangular y polar Forma rectangular: Una cantidad fasorial se representa en forma rectangular mediante la suma algebraica del valor real (A) de la coordenada y del valor j (B) de la coordenada, quedando de la forma: 𝑨 + 𝒋𝑩. Algunos ejemplos de cantidades fasoriales son: 1 + 𝑗2, 5 − 𝑗3, − 4 + 𝑗4, 𝑦 − 2 − 𝑗6
- 8. 5. Formas rectangular y polar Forma Polar: Se compone de la magnitud fasorial (C) y la posición angular con respecto al eje real positivo (ϴ), quedando de la forma: C ∠ ±ϴ Algunos ejemplos: 2 ∠ 45°, 5 ∠ 120°, 4 ∠ 110°, 𝑦 8 ∠ 30°
- 9. 6. Senoide Señal que tiene la forma de la función seno o coseno. A la corriente senoidal se le llama comúnmente corriente alterna (ca) y se invierte a intervalos regulares y tiene valores alternadamente positivo y negativo
- 10. Senoide 𝑽𝒐𝒍𝒕𝒂𝒋𝒆 𝒔𝒆𝒍𝒐𝒊𝒏𝒂𝒍: v t = 𝑉 𝑚 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒: 𝑉 𝑚: 𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑛𝑜𝑖𝑑𝑒 𝜔: 𝐹𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑒𝑛 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠 𝜔𝑡: 𝐴𝑟𝑔𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑛𝑜𝑖𝑑𝑒 𝑷𝒆𝒓í𝒐𝒅𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒔𝒆𝒏𝒐𝒊𝒅𝒆: 𝑇 = 2𝜋 𝜔 𝑭𝒓𝒆𝒄𝒖𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒔𝒆𝒏𝒐𝒊𝒅𝒆: 𝑓 = 1 𝑇 𝑬𝒙𝒑𝒓𝒆𝒔𝒊ó𝒏 𝒈𝒆𝒏𝒆𝒓𝒂𝒍 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒔𝒆𝒏𝒐𝒊𝒅𝒆: 𝑣 𝑡 = 𝑉 𝑚 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 + 𝜙 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒: 𝜔𝑡 + 𝜙: 𝐴𝑟𝑔𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝜙: 𝐹𝑎𝑠𝑒
- 11. Senoide Se puede expresar en con senos y cosenos, por lo que debemos recordar que: También podemos realizar conversiones de seno a coseno y viceversa:
- 12. 7. Fasores Son números complejos que representas la amplitud y la fase de una senoide. Gracias a estos se puede analizar con mayor facilidad los circuitos de CA, esta idea surgió de Charles Steinmetz en 1893 Forma polar: 𝒁 = 𝒓∠𝝓 o 𝒁 = 𝒓 cos 𝝓 + 𝒋 sin 𝝓 Donde: 𝑟 = 𝑚𝑎𝑔𝑛𝑖𝑡𝑢𝑑 𝜙 = 𝑓𝑎𝑠𝑒. 𝑍 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑗𝑜. Forma exponencial: 𝒁 = 𝒓𝒆𝒋𝝓 Donde: 𝑟 = 𝑚𝑎𝑔𝑛𝑖𝑡𝑢𝑑 𝜙 = 𝑓𝑎𝑠𝑒. 𝑍 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑗𝑜. Forma rectangular: 𝒁 = 𝒙 + 𝒋𝒚 Donde: 𝑍 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑗𝑜. 𝑥 = 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑟𝑒𝑎𝑙. 𝑗 = −1 𝑦 = 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑖𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎.
- 13. Fasores Relación entre la forma polar y rectangular: 𝑟 = 𝑥2 + 𝑦2 𝜙 = tan−1 𝑦 𝑥 𝑥 = 𝑟 cos 𝜙 𝑦 = 𝑟 sin 𝜙
- 14. Operaciones: Fasores 𝑧1 − 𝑧2 = 𝑥1 − 𝑥2 + 𝑗 𝑦1 − 𝑦2 𝑧1𝑧2 = 𝑟1𝑟2∠𝜙1 + 𝜙2 𝑧1 𝑧2 = 𝑟1 𝑟2 ∠𝜙1 − 𝜙2 1 𝑧 = 1 𝑟 ∠ − 𝜙 𝑧 = 𝑟∠𝜙/2 𝑧∗ = 𝑥 − 𝑗𝑦 = 𝑟∠ − 𝜙 = 𝑟𝑒−𝑗𝜙 Resta: Multiplicación: División: Inverso: Raíz cuadrada: Conjugado complejo: 𝑧1 + 𝑧2 = 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑗 𝑦1 + 𝑦2 Suma:
- 15. Para obtener el fasor correspondiente a una senoide, primero se expresamos la senoide en la forma de coseno para escribirla como la parte real de un número complejo. Después se elimina el factor de tiempo y nos queda el fasor correspondiente a la senoide. Fasores Transformación senoide-fasor Representación en el dominio temporal Representación en el dominio fasorial 𝑉 𝑚 cos 𝜔𝑡 + 𝜙 𝑉 𝑚∠𝜙 𝑉 𝑚 sin 𝜔𝑡 + 𝜙 𝑉 𝑚∠𝜙 − 90° 𝐼𝑚 cos 𝜔𝑡 + 𝜃 𝐼𝑚∠𝜙 𝐼𝑚 sin 𝜔𝑡 + 𝜃 𝐼𝑚∠𝜙 − 90°
- 16. 8. Relaciones fasoriales de elementos de circuitos Para resistencias: Para inductores: Para capacitores: V = RI Donde: V: Voltaje fasorial R: Resistencia I: Corriente fasorial 𝑽 = 𝑗𝜔𝐿𝑰 Donde: V: Voltaje fasorial L: Inductancia I: Corriente fasorial 𝑽 = 𝑰 𝑗𝜔𝐶 Donde: V: Voltaje fasorial C: Capacitancia I: Corriente fasorial
- 17. Relaciones fasoriales de elementos de circuitos Transformaciones para cada elemento del circuito del dominio temporal al dominio fasorial:
- 18. 9. Impedancia y admitancia La impedancia Z de un circuito es la razón entre la tensión fasorial y la corriente fasorial, es decir Z = V/I, y la admitancia es la inversa de la impedancia, es decir Y = 1/Z Elemento Impedancia Admitancia R 𝑍 = 𝑅 𝑌 = 1 𝑅 L 𝑍 = 𝑗𝜔𝐿 𝑌 = 1 𝑗𝜔𝐿 C 𝑍 = 1 𝑗𝜔𝐶 𝑌 = 𝑗𝜔𝐶 𝑳𝒆𝒚 𝒅𝒆 𝑶𝒉𝒎 𝒇𝒂𝒔𝒐𝒓𝒊𝒂𝒍 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒄𝒖𝒂𝒍𝒒𝒖𝒊𝒆𝒓 𝒆𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐: 𝒁 = 𝑽 𝑰 𝒐 𝑽 = 𝒁𝑰
- 19. 9. Combinaciones de impedancias Para circuitos en serie: 𝒁𝒆𝒒 = 𝑽 𝑰 = 𝒁𝟏 +𝒁𝟐 + 𝒁𝟑 + ⋯ + 𝒁𝒏 = 𝟎 𝒁𝒆𝒒 = 𝒁𝟏 +𝒁𝟐 + 𝒁𝟑 + ⋯ + 𝒁𝒏 = 𝟎 Si n = 2 𝐼 = 𝑉 𝑍1 + 𝑍2 𝑃𝑒𝑟𝑜: 𝑉1 = 𝑍1𝐼 𝑦 𝑉2 = 𝑍2𝐼 𝑉1 = 𝑍1 𝑍1 + 𝑍2 𝑉 𝑉2 = 𝑍2 𝑍1 + 𝑍2 𝑉 Por lo que obtenemos la relación de divisor de tensión en el dominio fasorial.
- 20. Combinaciones de impedancias Para circuitos en paralelo: 𝟏 𝒁𝒆𝒒 = 𝑰 𝑽 = 𝟏 𝒁𝟏 + 𝟏 𝒁𝟐 + 𝟏 𝒁𝟑 + ⋯ + 𝟏 𝒁𝒏 𝒀𝒆𝒒 = 𝒀𝟏 +𝒀𝟐 + 𝒀𝟑 + ⋯ + 𝒀𝒏 = 𝟎 Si n = 2 𝑍𝑒𝑞 = 𝑍1𝑍2 𝑍1 + 𝑍2 𝑃𝑒𝑟𝑜: 𝑉 = 𝐼𝑍𝑒𝑞 = 𝐼1𝑍1 = 𝐼2𝑍2 𝐼1 = 𝐼2 𝑍1 + 𝑍2 𝐼 𝐼2 = 𝐼1 𝑍1 + 𝑍2 𝐼 Por lo que obtenemos la relación de divisor de corriente en el dominio fasorial.
- 21. 10.Ejercicio 1 𝑎) 𝑉 𝑚 = 50 𝑉 𝑺𝒂𝒃𝒆𝒎𝒐𝒔 𝒒𝒖𝒆: 𝑣 𝑡 = 𝑉 𝑚 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝜙 𝑇 = 2𝜋 𝜔 𝑓 = 1 𝑇 𝑏) 𝑇 = 2𝜋 30 = 0.21 𝑠 𝑐) 𝑓 = 1 0.21 = 4.76 𝐻𝑧 𝑑) 𝑣 0.001 = 50 𝑐𝑜𝑠 30 ∗ 0.001 𝑟𝑎𝑑 + 10° 𝑣 0.001 = 50 𝑐𝑜𝑠 0.03 𝑟𝑎𝑑 + 10° 𝑣 0.001 = 50 𝑐𝑜𝑠 11.72° 𝒗 𝟎. 𝟎𝟎𝟏 = 𝟒𝟖. 𝟗𝟔 𝑽
- 22. Ejercicio 2 a) Sol Pasando del dominio temporal al fasorial 𝑑𝑖 𝑑𝑡 → 𝑗𝜔𝑰 = j2𝑰 𝑖(𝑡) → 𝑰 4 cos 2𝑡 − 45° → 4∠ − 45° Reescribiendo y despejando I: 2(𝑗2𝑰) + 3𝑰 = 4∠ − 45° 𝑰(3 + 𝑗4) = 4∠ − 45° 𝑰 = 4∠ − 45° 3 + 𝑗4
- 23. 𝑃𝑎𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜 3 + 𝑗4 𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑝𝑜𝑙𝑎𝑟: 𝑟 = 32 + 42 = 5 𝜙 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 4 3 = 53.13° ⟹ 𝑰 = 4∠ − 45° 5∠ + 53° 𝐼 = 0.8∠ − 98° ⟹ 𝒊 𝒕 = 𝟎. 𝟖 𝐜𝐨𝐬(𝟐𝒕 − 𝟗𝟖°) b) Sol 𝑑𝑖 𝑑𝑡 → 𝑗𝜔𝑰 = j𝟓𝑰 𝑖(𝑡) → 𝑰 5 cos 5𝑡 + 22° → 5∠22° 𝑖 𝑑𝑡 → 𝑰 𝑗𝜔 Reescribiendo y despejando I: 10 𝑰 𝑗5 + 𝑗𝟓𝑰 + 𝟔𝑰 = 5∠22° 𝑰(−𝑗2 + 𝑗𝟓 + 𝟔) = 5∠22° 𝑰 = 4∠ − 45° 6 + 𝑗𝟑 𝑃𝑎𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜 6 + 𝑗3 𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑝𝑜𝑙𝑎𝑟: 𝑟 = 62 + 32 = 6.71 𝜙 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 3 6 = 26.56° ⟹ 𝑰 = 5∠22° 6.71∠ + 26.56° 𝐼 = 0.745∠ − 4.56° ⟹ 𝒊 𝒕 = 𝟎. 𝟕𝟒𝟓 𝐜𝐨𝐬(𝟓𝒕 − 𝟒. 𝟓𝟔°) Pasando del dominio temporal al fasorial
- 24. Ejercicio 3 Datos: 𝜔 = 1 𝑅1 = 1Ω 𝑅2 = 1Ω 𝐿 = 1𝐻 𝐶 = 1𝐹 Hallando las impedancias de los elementos: 1𝐻 → 𝑗𝜔𝐿 = 𝑗 1 1 = 𝑗 1𝐹 → 1 𝑗𝜔𝐶 = 1 𝑗(1)(1) = −𝑗 1Ω → 1
- 25. Hallando la impedancia equivalente del circuito 𝑍𝑅2 − 𝑍𝐿 = 𝑍1 = 1 + 𝑗 𝑍1 ∕∕ 𝑍𝐶 = 𝑍2 = 1 1+𝑗 + 1 −𝑗 −1 = 2 1+𝑗 𝑍2 − 𝑍𝑅1 = 𝑍𝑒𝑞 = 1 + 2 1+𝑗 = 𝟐 − 𝒋 La corriente fasorial total: 𝑰 = 𝑉 𝑠 𝑍 = 10 2 − 𝑗 La corriente fasorial del capacitor: 𝑰𝒄 = 1 + 𝑗 𝑰 El voltaje fasorial del capacitor: 𝑉 = −𝑗 1 + 𝑗 𝑰 = 1 − 𝑗 𝑰 = 1 − 𝑗 10 2 − 𝑗 𝑉 = 10 − 𝑗10 2 − 𝑗 ∗ 𝑃𝑎𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜 10 − 𝑗10 𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑝𝑜𝑙𝑎𝑟: 𝑟 = 102 + 102 = 14.14 𝜙 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 −10 10 = −45° ∗ 𝑃𝑎𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜 2 − 𝑗 𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑝𝑜𝑙𝑎𝑟: 𝑟 = 22 + 12 = 2.24 𝜙 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 −1 2 = −26.56°
- 26. 𝑉 = 10 − 𝑗10 2 − 𝑗 = 14.14∠45° 2.24∠26.56 𝑉 = 6.31∠ − 18.44° Pasando el voltaje de dominio fasorial a dominio temporal: 𝒗 𝒕 = 𝟔. 𝟑𝟏𝐜𝐨𝐬(𝒕 − 𝟏𝟖. 𝟒𝟒°)