Revista educación las américas volumen 3 2016

EDUCACIÓN
las AMÉRICAS
REVISTA
NÚMERO 3 - AÑO 2016

Educación Las Américas
Número 3 · Año 2016

Revista Educación Las Américas
© Facultad de Educación, Universidad de Las Américas
Número 3, año 2016
ISSN: 0719-7128
Directora editorial
Dr.a
Juana Puga
Editores responsables
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Juana Puga
Mag. (c) Gonzalo Astorga
Comité editorial UDLA
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Dr. César García
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(c) Myriam Avellaneda (U. Distrital Francisco José de Caldas,
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Revisión de textos, corrección de pruebas y maquetación
Mag. (c) Gonzalo Astorga
Diseño de portada
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Educación Las Américas Número 3 · Año 2016
Contenidos
Presentación
Iván Esteban Pérez Vera, Ángela Silva Salse
Una propuesta para la apropiación del concepto de función con base en la modelación de fenóme-
nos enmarcado en el método STEM de enseñanza

Iván Esteban Pérez Vera, Carol Sepúlveda Herrera
Focos de reflexión para fortalecer prácticas en aula de docentes de matemática en formación
Denisse Guzmán Guzmán, Luis Vega Bahamondes
Modelación matemática escolar como proceso de enseñanza de la función lineal. Aplicación en
variados contextos y diversos sistemas de representación
Caroline Salazar, Nezah Fuentes, Maribel Ñanco, Marcela Agurto
Propuesta de enseñanza del álgebra escolar: resolución de sistemas de ecuaciones lineales con
dos incógnitas
Eduardo Carrasco
Lo experiencial, lo operacional y lo perceptivo en las interpretaciones gráficas cartesianas
Alberto Rodríguez
“En el principio fue el verbo…”. Proyecto didáctico: creación de una radio escolar dedicada a la
naturaleza
César García Álvarez
El mundo de la Odisea
1
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17
29
37
53
69

Educación Las Américas Número 3 · Año 2016
Presentación
Para la Facultad de Educación, para Escuela de Pedagogía en Lengua Castellana y Literatura y para los
editores, es muy satisfactorio ver cómo la revista Educación Las Américas se va consolidando y va conquis-
tando su espacio. Aquí presentamos el tercer número de esta revista, y quienes estamos involucrados en la
tarea de darle vida seguimos buscando perfilar su propósito y su lugar.
De este modo, con el objeto de garantizar que Educación Las Américas sea representativa de las diez ca-
rreras y de los dos institutos que conforman la Facultad de Educación de nuestra universidad, una sección
de cada número de la revista gravitará en torno a alguna de las disciplinas que imparten estas escuelas e insti-
tutos, y será fruto del trabajo conjunto de uno de ellos con los editores y la Escuela de Pedagogía en Lengua
Castellana y Literatura, responsable de esta publicación.
No obstante, somos conscientes de que la educación no se agota en nuestra facultad ni en nuestra uni-
versidad. Educación Las Américas estará siempre abierta a acoger nuevas voces, chilenas o extranjeras, ve-
nidas de universidades, de colegios o de otras instituciones. Solo ese concierto de voces diversas le permitirá
crecer y seguir viva. Tampoco quiere, nuestra revista, comprometerse a estar encasillada a perpetuidad en un
formato. Si ha de ser fruto del diálogo entre voces provenientes de distintas carreras y disciplinas, debe pre-
servar su libertad de movimiento. Así entonces, en cada número, a los artículos que den cuenta de una dis-
ciplina los acompañarán otros de procedencia diversa, pero capaces, como los primeros, de cobijarse bajo el
amplio paraguas de la educación.
Gran parte de los artículos del tercer número de la revista Educación Las Américas están destinados a re-
flexionar sobre las tendencias en el proceso de enseñanza-aprendizaje de la matemática el colegio y en edu-
cación superior. Estos artículos fueron aportados por la Escuela de Pedagogía en Matemática y Estadística, y
por el Instituto de Matemática, Física y Estadística de Universidad de Las Américas. Asimismo, en este nú-
mero se publica un artículo sobre el mundo de la Odisea, y el primer artículo de autor extranjero que reci-
be nuestra revista. Este último artículo presenta un proyecto que busca, a través de la enseñanza de la lengua
castellana y de la creación de una radio escolar dedicada a la naturaleza, “transmutar la tradicional enseñan-
za fragmentada en parcelas casi independientes en una enseñanza capaz de relacionar unas asignaturas con
otras en busca de un sentido superior”.
Agradecemos a los autores de cada uno de los artículos su aporte a este tercer número de Educación Las
Américas.
Juana Puga Larraín
Directora de Escuela
Pedagogía en Lengua Castellana y Literatura

Educación Las Américas, 3, 1-10 Una propuesta para la apropiación... / I. Pérez; A. Silva
11
Una propuesta para la apropiación del
concepto de función con base en la
modelación de fenómenos enmarcado en
el método STEM de enseñanza
Iván Esteban Pérez Vera*
Ángela Silva Salse**
*
Magíster en Educación Matemática, Universidad de los Lagos. Académico de Pedagogía en Matemática y
Estadística, Universidad de las Américas. Correo electrónico: ivan.perez@udla.cl.
**
Doctora en Educación y Democracia, Universidad de Barcelona. Coordinadora de Investigación, Facultad
de Educación, Universidad de las Américas. Correo electrónico: asilvas@udla.cl.
Resumen
Con base en la integración de las ciencias que establece el método STEM, se propone una secuencia
que transita por el diseño de un vehículo impulsado por energía generada por un globo al liberar el aire,
una fase experimental en la que se realizan ajustes al vehículo y se pone en ejecución su funcionamiento.
Posteriormente, con la ayuda de grabaciones realizadas con las cámaras de teléfonos celulares, se realiza un
análisis y recolección de datos, en particular el tiempo contra la distancia recorrida, se grafican los puntos
obtenidos en el plano cartesiano y se reflexiona sobre qué tipo de función es la que puede llegar a representar
de mejor forma el fenómeno. Partiendo de la reflexión sobre el fenómeno experimental, se modela tomando
como base una función lineal, tanto en los modelos gráficos como en el algebraico. Se analizan los resultados
obtenidos y se presentan conclusiones sobre la experiencia.
Palabras clave: STEM, modelación, representaciones.
A Proposal for the Appropriation of the Function Concept Based on the Modelling
of Phenomena within the Framework of the STEM Teaching Method

2
1 Antecedentes
En este trabajo se presenta una propuesta para la apropiación del concepto de función con base en la
modelación de fenómenos enmarcado en el método STEM de enseñanza. En nuestro caso se incorporan tres
elementos que se deben triangular: tabulación, generación de gráficos y establecimiento de la función.
A partir de esta experiencia se busca el logro de un aprendizaje profundo entendido, como señala Bi-
ggs (2006): “(…) abordar la tarea de forma adecuada y significativa, de manera que el estudiante trate de uti-
lizar las actividades cognitivas más apropiadas para desarrollarla” (p. 35).
De esto surge de la necesidad de investigar en la propia docencia—con la finalidad, según Latorre (2003),
de mejorarla—, lo que en términos globales contribuye a generar investigación en educación para crear cam-
bios, revisar el conocimiento y lograr una mejor educación (Ibernón, 2002).
¿Por qué es necesario desarrollar una investigación de la propia docencia? Porque, como señalan Bruba-
cher, Case y Reagan (2000), los docentes deben generar la toma de decisiones docentes de forma racional y
evaluando alternativas. Por ello, cobra cada vez más relevancia construir un conocimiento basado en la in-
vestigación, y es eso lo que se desarrolla en la asignatura de Cálculo I.
Para ello entenderemos la modelación a partir del concepto descrito por Arrieta y Díaz (2015), quienes la
describen como una práctica de articulación de dos entes para actuar sobre uno de ellos —lo modelado— a
partir del otro —el modelo—.
En cuanto a la experiencia en sí misma, tomaremos lo que establecen Ferreira y Rodríguez (2011) en un
estudio sobre las estrategias de enseñanza de la tercera ley de Newton, quienes la señalan como uno de los
conceptos que se presenta con mayor frecuencia en el estudio de la física y el movimiento: en su forma fuer-
te se establece que, cuando un cuerpo aplica una fuerza sobre otro, este último reacciona con una fuerza de
igual magnitud y dirección, pero con sentido opuesto. Ante lo expuesto anteriormente se establece la nece-
sidad de modelar un fenómeno de movimiento asociado a la tercera ley de Newton, dar sentido al modelo
gráfico generado desde del fenómeno y la articulación con el modelo algebraico, tomando como base una
representación tabular.
Abstract
BasedontheintegrationofsciencesestablishedbytheSTEMmethod,asequenceisproposedthatincludes
the design of vehicle propelled by energy generated by a balloon after air release – an experimental phase
during which some adjustments are performed to the vehicle and executes its functioning. Subsequently,
with the help of cellphone recordings, an analysis and collection of data are performed (particularly the
time vs distance covered), the points obtained are plotted on the Cartesian plane, and it is considered
what function type represents the best that phenomenon. Starting by the reflection on the experimental
phenomenon, a linear function is modelled, in both graphic and algebraic models. The results are analyzed
and the conclusions on the experience are presented.
Keywords: STEM, modelling, representations.

3
Sobre los gráficos en la educación escolar, Díaz y Pérez-Vera (2016) manifiestan que las gráficas son curri-
cularmente abordadas en el penúltimo nivel de primaria en el eje temático denominado álgebra y funciones,
pero sin asociarlas explícitamente al concepto de función. Solo a partir del último nivel de primaria aparece
el concepto de función descrito y ejemplificado con gráficas cartesianas como una forma de responder a los
comportamientos de las curvas asociadas sin que estas den sentido a un fenómeno, por lo que se transforma
en una representación de sí misma.
Por tanto, debemos considerar que la experiencia en la matemática escolar presenta otras lógicas y no se
encuentra asociada al triángulo descrito con anterioridad.
Finalmente, debemos comprender la importancia de STEM. Según Schulz (2016), en relación con los
nuevos desafíos educativos, los currículos para enseñanza básica y media hablan de concentrarse en prácti-
cas y habilidades para aprender a construir modelos, tanto físicos, biológicos, computacionales como mate-
máticos; plantean integrar las ciencias y dejar de aprenderlas por separado, lo que se denomina STEM (la sigla
en inglés de science, technology, engineering and mathematics —ciencia, tecnología, ingeniería y matemáti-
cas—), e integrarlas con humanidades y artes. En suma, se trata de dejar de ver las asignaturas como compar-
timentos estancos.
2 Problemática y objetivos
Esta experiencia pretende evidenciar la apropiación del concepto de función con base en la construcción
de este por medio de la experimentación.
Adicionalmente se busca generar oportunidades de aprendizaje (Facultad de Educación PUC; CEP-
PE-UC; UMCE; Fundación Chile, 2015) en el ámbito disciplinar para los estudiantes de formación docente
inicial, con el fin de que ellos puedan establecer un modelo de acción que permita incorporar las prácticas
de modelación escolar al método STEM de aprendizaje. Es decir, que no solo se acerquen a la disciplina des-
de lo teórico, sino que incorporen prácticas que les permitan lograr un conocimiento didáctico del conteni-
do (Shulman, 2005).
3 Antecedentes metodológicos
3.1 Diseño de la experiencia
El diseño de esta experiencia se construye sobre la base de STEM, y se plantea una experiencia de mode-
lación de un fenómeno que involucre el desplazamiento de un vehículo impulsado por la energía generada
por el vaciado del aire de un globo.
A nivel docente se estudian las distintas necesidades que pueden surgir en el aula y se decide reproducir

4
de forma integral todo el proceso, iniciando desde la construcción misma del vehículo. Esto se realiza bajo
una doble mirada: docente ayudante, como observadores participantes, y un externo, que solo revisa las evi-
dencias.
Se propone un modelo secuenciado de acción con base en este método, incorporando el proceso de mo-
delación matemática. Este modelo busca construir desde la experimentación hasta llegar a construir diversos
tipos de representaciones del fenómeno.
En la fase de experimentación (el fenómeno, lo modelado) se involucran cuatro etapas: construcción del
vehículo, verificación y ajuste de su funcionamiento, experimentación y grabación.
En la fase de modelo se pasa por el modelo tabular, el modelo gráfico, hasta llegar al modelo algebraico
(este proceso se ha creado de forma arbitraria entendiendo que se debe sostener una triangulación del fenó-
meno a partir de los tres), como se puede apreciar en la figura 1.
Figura 1. Modelo de acción STEM-Modelación
3.2 Diseño de la investigación: estudio de caso (cualitativo)
La experiencia anterior se investigará según el diseño de un estudio de caso a través de la metodología
cualitativa, con una recopilación de evidencias sustentada en la observación. Para ser más específicos, se rea-
lizará un estudio de caso único el que se entiende como “(...) un determinado fenómeno ubicado en tiempo
y espacio” (Neiman y Quaranta, 2006: 217).
¿Por qué realizar un estudio de caso? Desde la perspectiva teórica, Sandín (2003) justifica el estudio de
casos principalmente porque el tipo de análisis apunta al conocimiento de formas de pensamiento, cuestión
que tiene un carácter individual y comprensivo del que se espera generar teoría. Esta metodología presupo-
ne que el conocimiento es esencialmente un producto social que se extiende o cambia continuamente de la
misma manera que cambia la realidad concreta y no está separado de la práctica.
Desde una concepción práctica, corresponde a la metodología que permite resolver de mejor forma el
problema.

5
3.2.1 Actores
Esta actividad se enmarca en un estudio de caso y aborda un caso de análisis compuesto por nueve estu-
diantes de la carrera de Pedagogía en Matemática y Estadística de la Universidad de las Américas (sede Provi-
dencia, Santiago) que cursan la asignatura de Cálculo I. El docente a cargo fue Iván Pérez, quien, junto con
su ayudante Caroline Salazar, diseñó la experiencia y recoge las evidencias que son analizadas en esta inves-
tigación.
3.2.2 Proceso de observación
Para los fines que se persiguen, la observación corresponde al proceso que permite obtener mayor in-
formación. Esta es definida por Bravo (1984) como la inspección y estudio realizado por el investigador, me-
diante el empleo de sus propios sentidos, con o sin ayuda de aparatos técnicos, de las cosas o hechos de inte-
rés social, tal como son o tienen lugar espontáneamente.
Van Dalen y Meyer (1981) consideran que la observación desempeña un papel muy importante en toda
investigación porque le proporciona uno de sus elementos fundamentales: los hechos.
4 Experimentación
4.1 Etapa 1: construcción del vehículo
Se establece como etapa 1 la construcción del vehículo por parte de los estudiantes, se trabaja con los ma-
teriales necesarios ya dispuestos por el docente que ejecuta la intervención, quien ha diseñado un modelo
inicial del vehículo que ha de servir como guía inicial para que cada estudiante construya el propio.
Figura 2. Estudiantes construyendo su vehículo

6
4.2 Etapa 2: verificación y ajustes
En la segunda etapa se realizan pruebas con el vehículo, se verifica que todo funciona correctamente o se
evalúa si es necesario realizar ajustes o, en definitiva, si es necesario iniciar una nueva construcción. Esta eta-
pa debe realizarse hasta que el estudiante logre y sienta que tu vehículo cumple con las condiciones necesa-
rias para funcionar. Es posible que algunos estudiantes se estanquen, por lo que se hace necesaria la guía e
intervención del profesor. Algunos de los ajustes que se presentan con mayor frecuencia tienen que ver con
la ubicación del globo en la estructura del vehículo, la alineación de las ruedas u otro factor que interfiera en
la liberación del aire por parte del globo, lo que finalmente provoca que el vehículo no se desplace.
4.3 Etapa 3: experimentación
La etapa tres consiste en la realización del experimento: el vehículo diseñado debe desplazarse sobre una
superficie graduada que permitirá identificar la relación entre la distancia recorrida y el tiempo de desplaza-
miento.
4.4 Etapa 4: grabación
En esta etapa se realiza la grabación del desplazamiento, con el fin de poder recopilar la mayor cantidad
de información posible (fig. 4). Para ello, los estudiantes utilizan sus teléfonos celulares, los que además per-
miten cronometrar el desplazamiento realizado por el vehículo. Por recomendación de la docente, en esta
etapa el trabajo se realiza en parejas, para que un estudiante pueda ejecutar el experimento y el otro, grabar.
Inicialmente no todas las grabaciones de los experimentos fueron de calidad, por lo que, en general, fue ne-
cesario realizar varias sesiones de grabación hasta llegar a un resultado deseable.
Figura 3. Vehículo finalizado

7
Figura 4. Identificación del movimiento del vehículo
Figura 5. Análisis de la grabación
4.5 Etapa 5: análisis de la grabación
En la etapa cinco se analiza el fenómeno desde la grabación, se realizan tabulaciones tiempo distancia,
con lo que se genera el modelo tabular que se presenta como el primer registro del fenómeno (fig. 5).
4.6 Etapa 6: gráfica de datos
Se grafican los puntos obtenidos en el plano cartesiano y se discute qué curva los representa de mejor for-
ma; se realizan trazos que se aproximan en mayor o menor medida a los puntos obtenidos (fig. 6).

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4.7 Etapa 7: Análisis de la función
De forma grupal se analizan los gráficos obtenidos y se discute sobre funciones estudiadas con anteriori-
dad (función lineal, función cuadrática, función raíz cuadrada, entre otras); de igual forma, los estudiantes
proponen realizar un análisis de la función por tramos.
4.8 Etapa 8: construcción del modelo algebraico
En esta etapa, los estudiantes deciden representar el movimiento construyendo una función lineal. La
estrategia utilizada de forma general fue la selección de dos puntos y el trazado de la recta que pasa por estos.
Figura 7. Modelo algebraico, estudiante 1
Figura 6. Gráfica de curvas y trazos

9
5 Conclusiones
La oportunidad de los estudiantes de trabajar bajo el método STEM de aprendizaje brindó la posibilidad
de incorporar diversas aristas generalmente no asociadas a la matemática escolar; conjugar conceptos de tec-
nologías, física y ciencias naturales bajo un mismo objetivo permitió dar enfoques tradicionalmente ajenos
al análisis realizado en la actividad matemática.
Desde la modelación se logra que los estudiantes generen la articulación del fenómeno y diversos mo-
delos (tabular, gráfico y algebraico), siempre analizando el experimento realizado al generar las diversas re-
presentaciones. El modelo y lo modelado cobran un sentido que se fortalece cada vez que se reproduce la si-
tuación experimental, que, si bien se propone en un sentido establecido, permite avanzar en la construcción
esperada.
La gráfica cartesiana que se construye sobre la base del modelo tabular permitió a los estudiantes signifi-
car el sentido de esta, siendo capaces de visualizar el movimiento en la curva generada e identificar en la gráfi-
ca los distintos momentos de la experimentación. Los estudiantes analizan el comportamiento del fenóme-
no y son capaces de tomar decisiones en cuanto a la función que describe el comportamiento del fenómeno.
Sobre la base de un constante análisis, tanto del fenómeno como de sus diversas representaciones, los
estudiantes van construyendo diversas nociones que convergen con distinta fuerza en el concepto de fun-
ción, la que se entiende no como una representación que actúa sobre sí misma, sino que adquiere un signi-
ficado conceptual mayor al ser su construcción el producto de una experimentación; es decir, que no se tra-
ta solo de una agrupación de símbolos que se pueden operar: se trata de un fenómeno representado en otro
lenguaje.
Figura 8. Modelo algebraico, estudiante 2

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Referencias bibliográficas
Biggs, J. (2006). Calidad del aprendizaje universitario. Madrid: Narcea.
Brubacher, J., Case, C. y Reagan, T. (2000). Cómo ser un docente reflexivo. La construcción de una
cultura de indagación en las escuelas. Barcelona: Gedisa.
Díaz Quezada, V., y Pérez Vera, I. (2016). “Uso de gráficas en una situación de modelación del mo-
vimiento en matemática en la enseñanza secundaria en Chile”. PARADIGMA, 37(1), 161-180.
Facultad de Educación (PUC; CEPPE-UC; UMCE; Fundación Chile. (2015). Mejor pedagogía.
Recuperado el 4 de noviembre de 2016, de Proyecto FONDEF D11|1109: http://www.mejorpeda-
gogia.cl/desafio.html
Ferreira, J. y Rodríguez, R. (2011). “Efectividad de las actividades experimentales demostrativas
como estrategia de enseñanza para la comprensión conceptual de la tercera ley de Newton en los es-
tudiantes de fundamentos de Física del IPC”. Revista de investigación, 35(73), 4-24.
Ibernón, F. (2002). La investigación educativa como herramienta de formación del profesorado. Re-
flexión y experiencias de investigación educativa. Barcelona: Grao.
Latorre, A. (2003). La investigación-acción. Conocer y cambiar la práctica educativa. Barcelona: Grao.
Neiman, G. y Quaranta, G. (2006). “Los estudios de caso en la investigación sociológica”. En I. V.
(coordinadora), Estrategias de investigación cualitativa (pp. 213-237). Barcelona: Gedisa.
Papert, S. y Harel, I. (2002). Situar el construccionismo. Alajuela (Costa Rica): INCAE.
Schulz, R. A. (2016). “STEM y Modelamiento Matemático”. Cuadernos de Investigación y Formación
en Educación Matemática, 15, 291-317.
Shulman, L. (2005). “Conocimiento y Enseñanza: Fundamentos de la Nueva Reforma” (Knowledge
and Teaching: foundations of the New Reform). Profesorado. Revista de Curriculum y Formación
del profesorado, 9(2), 1-30.

Educación Las Américas, 3, 11-16 Focos de reflexión... / I. Pérez; C. Sepúlveda
1111
Focos de reflexión para fortalecer
prácticas en aula de docentes de
matemática en formación
Iván Esteban Pérez Vera*
Carol Sepúlveda Herrera**
*
Magíster en Educación Matemática, Universidad de los Lagos. Académico de Pedagogía en Matemática y
Estadística, Universidad de las Américas. Correo electrónico: ivan.perez@udla.cl.
**
Supervisora de prácticas de la carrera de Pedagogía en Matemática y Estadística. Coordinadora IMFE,
Campus La Florida. Magíster en Educación Matemática. Correo electrónico: csepulvedah@udla.cl.
Resumen
En este trabajo se reportan reflexiones de docentes de Matemática en formación sobre su propia práctica
de aula con base en ciertos focos establecidos. Contextualizada en una asignatura semestral de Práctica
Profesional en el último año de carrera, se espera que a través de la reflexión los docentes en formación sean
críticos de sus prácticas desde su formación inicial con el fin de proyectar esta dinámica en su futura labor.
Las reflexiones tendrán su foco en distintos temas relacionados que influirán en su futuro trabajo académico.
La implementación exploratoria corresponde a un estudio de casos compuesto por ocho estudiantes.
Palabras clave: formación, focos, reflexión, prácticas.
Abstract
This work presents considerations of trainee mathematics teachers on their own practice based on some
established focuses. Within the framework of a six-monthly subject about Professional Practice during the
final year of the course, it is expected that trainee teachers think critically about their practice from the be-
ginning of their education, for projecting this dynamic in their future work. The thinking process will be
Reflection Focuses to Reinforce Classroom Practices of Trainee Mathematics
Teachers

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focused on several related topics that will influence on their future academic work. The exploratory imple-
mentation corresponds to a case study composed by eight students.
Keywords: education, focuses, thinking, practice.
1 Antecedentes y problemática
En Chile, la formación inicial de profesores de Matemática establece distintas aristas que se deben desa-
rrollar con los estudiantes (Felmer, 2009). Entre ellas están las prácticas pedagógicas de aula, que se encuen-
tran distribuidas de forma gradual durante la carrera; el proceso se cierra con una práctica de aula final, que
curricularmente está ubicada en el último año.
Según señala Perrenoud, “formar a un practicante reflexivo es, ante todo, formar a un profesional capaz
de dominar su propia evolución, construyendo competencias y saberes nuevos o más precisos a partir de lo
que da adquirido y de la experiencia” (Perrenoud, 2004, p. 23).
Las reflexiones de los docentes en formación pueden ser desde la práctica disciplinaria, didáctica o peda-
gógica y se pueden observar tanto dentro como fuera del aula con el fin de mejorar, identificando las varia-
bles involucradas y su influencia en los resultados.
Así también se vuelve relevante lo señalado por Talaferro (2006), para quien la reflexión no debe ser un
acto aislado por cada docente en formación; que, si bien es una práctica personal, ya que la realiza sobre su
propia práctica, es conveniente que la comparta con sus pares, de manera que existan varias miradas sobre la
experiencia y se formulen varias preguntas que amplíen las dimensiones de la reflexión.
2 Objetivo
Se busca que los docentes de Matemática en formación reflexionen sobre su propia práctica, compartan
con sus pares las experiencias vividas en el aula y generen una retroalimentación grupal para fortalecer la re-
flexión individual.
En particular, en este trabajo se reportarán los focos, la escuela y su entorno, y el modelo del profesor, los
que corresponden a los primeros focos trabajados en las sesiones grupales del curso.
3 Metodología
Se utilizará el estudio de casos (cualitativo) que, según Sandín (2003), es el tipo de análisis que apunta al
conocimiento de formas de pensamiento, cuestión que tiene un carácter individual y comprensivo del que

13
se espera generar teoría. Para esto, en las instancias de reflexión semanal se entregarán diversos focos en los
que deberán centrar su mirada durante su permanencia en los establecimientos educativos. Algunos de es-
tos focos son la escuela y su entorno, modelo del profesor, la relación maestro y aprendizaje, discurso mate-
mático escolar y el contrato didáctico.
4 Muestra
La implementación exploratoria, en el marco de un estudio de caso, aborda un caso de análisis compues-
to por ocho estudiantes de Pedagogía en Matemática y Estadística de la Universidad de las Américas del cam-
pus Providencia, que cursan la asignatura de Práctica Profesional, de duración semestral.
Los estudiantes serán asignados a establecimientos educacionales de Santiago de Chile, a los que debe-
rán dedicar 23 horas semanales en labores de aula y tareas administrativas asociadas a su labor. Los cursos en
los que intervendrán serán desde 7.o
básico (primaria) hasta 4.o
medio (secundaria). Una vez por semana, los
estudiantes se reúnen con el académico supervisor, quien será el encargado de generar espacios de reflexión,
resolverá inquietudes generando cuestionamientos y replanteamientos de su futura labor docente en el aula.
Las reflexiones de los estudiantes se registrarán a través de un portafolio digital, en el que semanalmente in-
corporarán la respectiva reflexión, que será discutida en los espacios antes señalados.
5 Experimentación y análisis de datos obtenidos
5.1 Primer foco de reflexión: la escuela y su entorno
El primer foco que se trabajará con los estudiantes corresponde a la separación entre la escuela y su en-
torno. Para ello, se entrega a los estudiantes el artículo Una perspectiva de la modelación desde una mirada
socioepistemológica (Arrieta y Díaz, 2015) con el fin de desarrollar la discusión y reflexión sobre ese tema. En
este artículo, los autores presentan a través de un ejemplo la separación que establece un estudiante entre lo
que vive en su escuela y en su vida cotidiana, y proponen la modelación como puente a este problema. Se
solicita a los estudiantes que reflexionen sobre este tema durante esa semana en sus prácticas profesionales o
las de su entorno, para luego compartir las experiencias en la sesión de reflexión semanal del curso, como se
muestra en la figura 1.
En su reflexión, el estudiante 1 señala que su profesora guía no realiza actividades relacionadas con algún
contexto en el aula; es más, menciona que, en su práctica, lo que más realiza con los estudiantes son ejercicios
más bien algorítmicos. Así, desde su reflexión permite encontrar una característica que debiese desarrollar en
su propia práctica en su futura labor docente, que es la de darle sentido a lo que se enseña.
Por otro lado, el estudiante 2 señala que su docente guía sí realiza dicha conexión entre la vida cotidiana

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y la escuela, lo que le permitió dar a conocer que, por lo visto, los estudiantes entendieron gracias a esta for-
ma de presentar el contenido. Todo esto lleva a reflexionar también que, desde su práctica, el profesor debie-
se tener la capacidad de presentar esta relación al momento de trabajar con sus estudiantes.
Figura 1. Reflexión, estudiante 1
5.2 Segundo foco de reflexión: modelo del profesor
Para reflexionar con respecto a este segundo foco, se presenta a los estudiantes la lectura de Docencia en
matemáticas: hacia un modelo del profesor desde la perspectiva de la socioepistemología (Lezama y Maris-
cal, 2008). En este artículo, los autores, interesados en conocer las experiencias o los problemas que enfren-
tan los docentes personalmente o bien como colectivo, desarrollan y aplican entrevistas libres a distintos do-
centes que les permitirán interpretar y categorizar según su marco teórico los factores que dificultan su labor
docente. Frente a estas dificultades declaradas por los autores, algunas reflexiones realizadas por los estudian-
tes en su labor como practicante se muestran en la figura 3.
La estudiante 1 es capaz de reconocer en su docente guía algunas de las dificultades planteadas por los au-
tores, como es la dificultad que tienen los profesores de perder el control en la sala de clases bajo un nuevo
enfoque educativo, que es ser un facilitador del aprendizaje y, de ese modo, poder evidenciar un nuevo ele-
mento para considerar en su futura labor como docente.
El estudiante 2 logra reconocer en su docente la capacidad de innovar, pero al mismo tiempo reflexiona
sobre otra dificultad que enfrenta el docente ante esa innovación: el tiempo para desarrollar las clases.

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6 Conclusiones
En ambos casos se puede ver que según el foco planteado realizan la reflexión desde su docente guía,
para luego llegar a caracterizar nuevos elementos que debiesen presentar en su futura función de docentes
en aula, como realizar actividades contextuales para sus estudiantes y su aprendizaje, y así también ser capa-
ces de innovar en el aula, con las dificultades que esto implique.
Si bien no nos es posible asegurar que las reflexiones adquiridas se convertirán en una práctica que de-
sarrollará durante su labor como profesor, sí podemos declarar que durante su práctica profesional logra-
mos desarrollar a un estudiante más reflexivo de su propia práctica, de la de su entorno, de sus compañeros
y sus profesores guías.
Finalmente, como repercusión de esta experiencia se aspira a que los futuros docentes de Matemáti-
ca, cuando ya se encuentren en ejercicio de la profesión, sean capaces de reflexionar sobre su propia prácti-
ca como un hábito del “ser docente” y generar una actitud crítica hacia los procesos de enseñanza y apren-
dizaje que ha de liderar.

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Arrieta, J. y Díaz, L. (2015). “Una perspectiva de la modelación desde la socioepistemología”. Revis-
ta latinoamericana de investigación en matemática educativa, 18(1), 19-48.
Cantoral, R. (2013). Teoría socioepistemológica de la Matemática Educativa. Estudios sobre construc-
ción social del conocimiento (1.a ed.). Barcelona: Editorial Gedisa S. A.
Felmer, P. (2009). “Estándares para la formación de profesores de Matemática de enseñanza media”.
Colección Digital Eudoxus, 1(5).
Lezama, J. y Mariscal, E. (2008). Docencia en Matemáticas: Hacia un modelo del profesor desde la
perspectiva de la socioepistemología.
Perrenoud, P. (2004). Desarrollar la práctica reflexiva en el oficio de enseñar: profesionalización y ra-
zón pedagógica (vol. 1). Barcelona: Graó.
Tallaferro, D. (2006). “La formación para la práctica reflexiva en las prácticas profesionales docen-
tes”. Educere, 10(33), 269-273.
Sandín, M. (2003). Investigación cualitativa en educación: fundamentos y tradiciones. McGraw-Hill In-
teramericana de España.

Educación Las Américas, 3, 17-28 Modelación... / D. Guzmán; L. Vega
17
Modelación matemática escolar como
proceso de enseñanza de la función
lineal. Aplicación en variados contextos y
diversos sistemas de representación
Denisse Guzmán Guzmán*
Luis Vega Bahamondes**
*
Egresada de Pedagogía en Matemática y Estadística, Universidad de las Américas, Campus Providencia.
Correo electrónico: denisseguzmang@gmail.com.
**
Egresado de Pedagogía en Matemática y Estadística, Universidad de las Américas, Campus Providencia.
Correo electrónico: luisvegab@live.cl.
Resumen
Actualmente, una de las habilidades a las que se les da más énfasis es la modelación, tanto en el currícu-
lum como en la utilización de esta como una herramienta de mejora del proceso de enseñanza-aprendizaje.
Por eso, esta investigación se basa en una secuencia didáctica llevada al aula, donde se hizo pasar a un grupo
de estudiantes por un proceso de modelación de una situación cotidiana utilizando la función lineal vista
desde diversos sistemas de representación. Todo esto enmarcado en la metodología de la ingeniería didácti-
ca, con el fin de obtener conclusiones sobre cómo la modelación afecta el proceso y permite lograr un proce-
so de enseñanza-aprendizaje más eficaz.
Palabras clave: modelación, función lineal, representaciones, secuencia didáctica.
Abstract
Today, one the skills where more emphasis is placed on is modelling, both in the curriculum and in the
use of it as a tool to improve the teaching-learning process. For this reason, this research is based on a didac-
tic sequence applied in the classroom, where a group of students were asked to model a quotidian situation
School Mathematics Modelling as a Teaching Process of Linear Function.
Application within Several Frameworks and Diverse Representation Systems

18
1 Antecedentes y problemática
En las aulas es común tener conflictos al momento de enseñar la función lineal debido a su grado de abs-
tracción y a cómo los docentes logran abordar este contenido, ya sea de manera eficaz o no para el proceso
de enseñanza-aprendizaje. Además, sabemos que, como docentes, la enseñanza en las aulas ya no es solo del
contenido, sino que también debemos incluir el desarrollo de las habilidades y las actitudes. Por eso, el fin
de esta investigación es ver cómo con la utilización de la modelación como herramienta del proceso de ense-
ñanza aprendizaje y el uso de diversos tipos de representación se logra un proceso más eficaz cuando se ense-
ña la función lineal como modelo de un fenómeno cotidiano en diversos contextos.
2 Preguntas de investigación y objetivos
Para poder orientar esta investigación se plantea la siguiente interrogante: ¿es posible mejorar el proce-
so de enseñanza aprendizaje de la función lineal utilizando la modelación como metodología de enseñanza
y sus distintas representaciones para su aprehensión? Es esta pregunta la que enmarca los objetivos especí-
ficos de esta investigación, donde se destaca la realización de un análisis, histórico, curricular y didáctico de
la función lineal y la modelación, con el fin de diseñar una secuencia didáctica y poder aplicarla en el siste-
ma escolar y, así, analizar posteriormente los resultados y beneficios de la utilización de la modelación al mo-
mento de enseñar la función lineal.
3 Antecedentes teóricos
Esta investigación se fundamenta en la propuesta y definición de modelación de Bassanazi y Biemben-
gut (1997), quienes la ven como una herramienta que permite mejorar el proceso de enseñanza-aprendiza-
je para poder comprender con más profundidad un fenómeno cotidiano. Este proceso de modelación está
basado en ciertos pasos que deben seguir los estudiantes para poder construir el aprendizaje; entre estos se
destaca elegir el tema, investigar sobre este, realizarse preguntas, elaborar problemas de interés común, sis-
tematizar y utilizar las estructuras matemáticas previas para dar solución a los problemas, interpretar y, fi-
by using the linear function from several representation systems. All this within the framework of metho-
dology of didactic engineering, with a view to obtain conclusions on how modelling affects the process and
allows to achieve a more efficient teaching-learning process.
Keywords: modelling, linear function, representations, didactic sequence.

19
nalmente, validar los modelos de forma colectiva. Otra arista de esta investigación son los sistemas de repre-
sentación semiótica de Reymond Duval (1998). Es con esta teoría que se pretende lograr la aprehensión del
objeto, con sus distintas representaciones, en distintos registros. Desde aquí, Duval reconoce tres activida-
des: la formación, que es la creación de una representación del objeto; el tratamiento, que es la habilidad de
transformar el objeto dentro del mismo registro; y la conversión, que consiste en transformar el objeto con
el fin de hacer una representación en otro registro. Con esto, el estudiante logra desarrollar la idea del objeto,
su utilización y lo comprende de mejor manera según su tipo de aprendizaje. Díaz y Pérez (2016) manifies-
tan que las gráficas son curricularmente abordadas en el penúltimo nivel de primaria en el eje temático de-
nominado álgebra y funciones, pero sin asociarlas explícitamente al concepto de función.
4 Análisis epistemológico
El desarrollo de la función lineal en el tiempo se inició con la representación gráfica de Nicolás Oresme
en el siglo XIV, quien utilizó la función lineal con el fin de analizar la velocidad, pero esto solamente de for-
ma gráfica. Luego con Descartes en 1637 y el comienzo de la geometría analítica, se estableció que toda gráfi-
ca estaba sujeta a una fórmula que la represente y viceversa. Además de esto, Descartes fue el primero en re-
presentar una variable independiente como x y una dependiente como y. Pero no fue hasta el siglo XVII que
Fermat estableciera lo que hoy llamamos la forma principal de la función lineal y = mx + b, utilizando longi-
tudes como demostración, desde un triángulo. Por otro lado, está la epistemología desde la modelación, ya
que, a pesar de que la modelación en el sistema escolar —por ejemplo— es relativamente nuevo, esta habili-
dad se ha encontrado dentro de la matemática desde sus inicios: desde que Tales (IV a. C.) intentara medir la
pirámide de Keops con trazos proporcionales, la matematización de situaciones cotidianas, poder darle ex-
plicación a lo que nos rodea, es algo habitual. Con el paso del tiempo solo han variado sus distintos signifi-
cados, pero su fin siempre es el mismo: lograr entregar estructuras matemáticas que permitan comprender
situaciones cotidianas, es decir, matematizar situaciones de la vida diaria.
5 Análisis didáctico
Podemos separar el análisis didáctico en tres aristas: análisis curricular, texto escolar y formal.
5.1 Curricular
La función lineal se encuentra presente en dos cursos: según la actualización del año 2016, este conteni-
do se enseña en 8.o
básico, y el aprendizaje esperado consiste en comprender la función lineal por medio de

20
la utilización de tablas, reglas entre x e y, y la modelación de situaciones de la vida cotidiana. Dentro de los
programas antiguos, podemos encontrar la función lineal en 1.o
medio: aquí, los aprendizajes esperados nos
hablan de poder diferenciar la función lineal y afín, organizar pares ordenados, reconocer esta función como
un caso de proporción directa y general gráficos.
5.2 Texto escolar
En cuanto a los textos escolares —tomando como base el texto escolar de Editorial SM, Matemática 1.o
medio 2016—, hay una estructuración por pasos donde los estudiantes, mediante un experimento —Ley de
Hooke—, logran modelar utilizando la función lineal, identificando la relación de dependencia, modelan-
do la situación, construyendo tablas, estableciendo pares ordenados y graficándolos, para finalmente insti-
tucionalizar el contenido.
5.3 Texto formal
Finalmente, en lo que se refiere a la formalidad, la función lineal como objeto matemático tiene caracte-
rísticas muy particulares. La definición que guía este trabajo es la del texto de Serge Lang, Cálculo 1:
“Uno de los tipos más fundamentales de función es aquel cuya gráfica representa una lineal rec-
ta. Ya hemos visto que la grafía de la función f (x) = x es una línea recta. Si notamos f(x) = 2x, en-
tonces la recta sube mucho más rápidamente y aún más para, por ejemplo, f(x) = 3x. La gráfica
de la función f(x) = 10 000x nos parecería casi vertical. En general, si a es un número positivo, en-
tonces la gráfica de la función f(x) = ax representará una línea recta. Aquí se define como función
lineal solo a las rectas que tienen como coeficiente de posición el 0”. (Lang, Cálculo 1)
6 Propuesta de secuencia
La secuencia tiene como fin poder enseñar la función lineal y está constituida de dos partes. En la prime-
ra, los alumnos podrán crear un modelo desde una situación dada, cotidiana, y podrán llevar este modelo a
una forma algebraica, gráfica, pictórica y tabular, siempre en relación con el fenómeno. Por esto, la secuen-
cia se enmarca primero que todo en una situación:
“María es una dueña de casa de la comuna de Puente Alto. María tiene un nieto llamado Pedro,
quien durante toda la semana ha estado pidiendo que le haga una tartaleta de manzana. Ma-
ría tiene pensado darle en el gusto a su nieto. A pocas cuadras de su casa, los días viernes, se ubica

21
una feria, donde ella compra las frutas y verduras para la semana. Llegado ese día, María se di-
rige a la feria, donde encuentra un puesto con manzanas a muy bajo precio con el siguiente cartel”.
Desde este fenómeno se comienza la actividad, partiendo por reconocer las variables y determinar cuál
es la relación o dependencia entre ellas para que puedan asociar la función lineal con la proporción directa y
así poder crear aprendizajes significativos. Luego de esto, la situación nos da pie para poder hacer cálculos y
comenzar a crear el modelo que represente esta situación. Primero se les pide poder realizar una representa-
ción pictórica de la situación (fig. 1):
Figura 1. Actividad 4: secuencia didáctica
Luego, con esta misma representación, deben poder realizar una tabla de pares ordenados, con el fin de
llevarlos a una gráfica y desarrollar diversas representaciones. Posteriormente se les hará tres preguntas, con
el fin de que puedan encontrar la función lineal de la forma algebraica para luego utilizarla para resolver más
preguntas: 1) “¿Cómo varía el costo total de cada compra según la cantidad de kilos de manzana? ¿Qué se
puede observar respecto a la variación en el total de las distintas compras? Justifica tu respuesta”; 2) “María
se pregunta si existirá una forma de calcular el costo total de cualquier cantidad de kilos de manzanas. Supo-
niendo que los kilos de manzana son m kilos, ¿cómo calcularíamos su costo? Justifica tu respuesta”; 3) “Y si
asociamos la letra x al número de kilos de manzana que se compran e y al costo de la compra, ¿cómo queda-
ría esta fórmula?”. Finalmente, el segundo ítem invita al alumno a crear él mismo una situación cotidiana
que se pueda ajustar a una tabla de pares ordenados con el fin de establecer preguntas, un gráfico y una for-
ma algebraica para el modelo. Con esto, se pretende que los alumnos puedan desarrollar el contenido y ha-
cerlo más suyo. Así, logran el proceso de modelación.

22
7 Experimentación y análisis del conjunto de datos recolectados
La experimentación se realizó en el Colegio Santiago Pudahuel, con treinta y nueve alumnos pertene-
cientes a segundo medio; se organizaron 13 grupos de 3 estudiantes para realizar la secuencia propuesta. Para
analizar el conjunto de los datos recolectados se desglosará la matriz pregunta por pregunta identificando las
posibles dificultades. En la pregunta cuatro se apreció que todos lograron lo que se les estaba solicitando en
la pregunta, pero cabe destacar estos dos grupos A, de la figura 2, y B, de la figura 3, que superaron nuestras
expectativas; sin embargo, lo que más llama la atención es que se puede decir que fácilmente el grupo B tie-
ne mayor nivel cognitivo que el grupo A, ya que el grupo A al agregar el signo + hace llamado a lo simbóli-
co; en cambio, el grupo B sabe que está trabajando con dinero de verdad y asume que no es necesario agre-
gar el signo de adición para tener la cantidad necesaria a pagar.
Figura 2. Evidencia de la pregunta 4, grupo A
Figura 3. Evidencia de la pregunta 4, grupo B

23
En el ítem II, pregunta 1, entra en juego la creatividad de los estudiantes, quienes, en su mayoría, cum-
plieron con lo solicitado y se adaptaron a los valores de la tabla sugerida; no obstante, al menos dos de los
grupos no tuvieron la creatividad suficiente para abordar el problema, ya que, como se puede ver en la figu-
ra 4 del grupo E, los estudiantes fuerzan el problema:
Figura 5. Evidencia de la pregunta 1, grupo F
A continuación, se presentarán dos evidencias de los logros obtenidos en esta pregunta del ítem II. Se
hace referencia al nivel cognitivo que tiene el grupo F (fig. 5) con respecto al nivel cognitivo del grupo G (fig.
6), ya que, como se puede apreciar, el grupo F tiene un nivel cognitivo mayor que el del grupo G: los estu-
diantes del grupo F hacen referencia a la relación 1:3 sin ser evidenciado en la tabla sugerida, mientras que el
grupo G hace la relación 2:6 con lo evidenciado:
Figura 4. Evidencia de la pregunta 1, grupo E

24
Nuevamente al momento de modelar la función lineal en el plano cartesiano se encontraron 5 dificulta-
des ontogenéticas, ya que los estudiantes no ubicaron bien las variables en el eje cartesiano, como lo eviden-
cia el grupo H (fig. 7).
Figura 6. Evidencia de la pregunta 1, grupo G
Figura 7. Evidencia de la pregunta 3, grupo H
Por otra parte, llama la atención que hayan hecho el gráfico en barras sabiendo que la gráfica es una línea;
se entiende que el grupo no tiene suficiente nivel cognitivo al momento de expresar lo solicitado. No obs-
tante, cabe destacar que el grupo D presenta un mayor nivel cognitivo, ya que indica que es una proporción
directa, como muestra la figura 8. Así, logra asociar contenidos previos y genera aprendizajes significativos.

25
Figura 9. Evidencia de la pregunta 4
Figura 8. Evidencia de la pregunta 3, grupo D
En la pregunta 4 del ítem II, todos cumplieron con el objetivo de armar interrogantes con respecto a sus
enunciados; salvo un grupo, que fue considerado en la dificultad ontogénica, ya que no tiene la noción com-
pleta del concepto valor absoluto y comete un error de cálculo al momento de responder su primera interro-
gante creada por sí mismos, como se puede evidenciar en la figura 9:

26
8 La confrontación de los análisis a priori y a posteriori
El objetivo mayor de esta investigación era poder avalar que la metodología de la modelación matemá-
tica unida con el registro de representaciones semióticas podría mejorar el proceso de enseñanza aprendiza-
je con el contenido de función lineal. Desde el punto de vista de la aplicación que se hizo es posible mejorar
el proceso, ya que los resultados fueron positivos; sin embargo, es claro que los alumnos aún no adquieren
bien el contenido, por lo que se debe trabajar aún más en las clases futuras. Esto debe realizarse con la misma
metodología, ya que así los estudiantes descubren el conocimiento en vez de solo recibirlo, lo aprenden de
una mejor manera, se logra motivarlos y se vuelve algo propio de ellos. Gracias a eso, luego podrán manipu-
lar y utilizar el conocimiento en sucesos cotidianos y reconocerán instantes en la vida en los cuales puedan
utilizar este objeto matemático. Además, se vieron desarrolladas bastantes habilidades, en especial la visua-
lización, el cambio de registro, la aplicación, la resolución de problemas y la modelación, las que son habili-
dades que en el aula deben estar presentes en la asignatura de matemática según los profesores y hasta el cu-
rrículum. Todo esto podemos verlo reflejado en los resultados expuestos en la matriz y en la recibida de los
alumnos. Además de poder enseñarlo de forma eficaz, también se logró superar todo obstáculo que pudie-
ra generar el trabajo con un solo registro y tener una clase expositiva, en general, una secuencia didáctica que
fuera eficaz y lograra captar la atención e incentivar la participación de todos los alumnos. No se tuvo la cla-
se expositiva, si no que ellos fueron partícipes de su aprendizaje y lograron desarrollar una actividad mucho
más autónoma.

27
Arrieta J. y Díaz L. (2015). “Una perspectiva de la modelación desde la socioepistemología. RELI-
ME, 18(1), pp. 19-48.
Bassanezi R. y Biembengut M. (1997) “Modelación matemática: Una antigua forma de investiga-
ción-un nuevo método de enseñanza”. Revista Didáctica de las Matemáticas, 32.
Díaz, V. y Pérez, I. (2016). “Uso de gráficas en una situación de modelación del movimiento en mate-
mática en la enseñanza secundaria en Chile”. PARADIGMA, 37(1), 161-180.
Lozano, M.; Haye E.; Montenegro F. y Córdoba, L. (2013). “Dificultades de los alumnos para
articular representaciones gráficas y algebraicas de funciones lineales y cuadráticas”. I Congreso de
Educación Matemática de América Central y el Caribe. 6-8 de noviembre de 2013, Santo Domin-
go, República Dominicana.
Ministerio de Educación. (2013). Bases curriculares de 7.o
a 2.o
medio.
— (2016). Programas de Matemática de 7.o
. Disponible en: http://www.curriculumenlineamineduc.
cl/605/articles-30013_recurso_17_09.pdf
Oviedo, L. y Kanashiro, A. (2012). “Los registros de representación en matemática”. Revista Aula
Universitaria, pp. 29-36.
Roldán, E. (2013). El aprendizaje de la función lineal, propuesta didáctica para estudiantes de 8.o
y 9.o
grado de educación básica. Tesis de Magister en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales, Uni-
versidad Nacional de Colombia, Facultad de ciencias, Bogotá, Colombia.
Serge, L. y Aleu, H. (1976). Cálculo II.
Texto escolar 2016, Matemática 1.o
Medio. Chile: Editorial SM, p. 136.

28

Educación Las Américas, 3, 29-36 Propuesta de enseñanza... / C. Salazar et al.
29
Propuesta de enseñanza del álgebra
escolar: resolución de sistemas de
ecuaciones lineales con dos incógnitas
Caroline Salazar, Nezah Fuentes*
Maribel Ñanco, Marcela Agurto*
*
Estudiantes de Pedagogía en Matemática y Estadística, Universidad de las Américas, Chile.
Resumen
Este trabajo gira en torno a la problemática que tienen los estudiantes al resolver sistemas de ecuaciones
lineales con dos incógnitas aplicando diversos métodos de resolución. En cuanto a la interpretación y uso
dado a los valores obtenidos, se identifica que las ecuaciones lineales por sí solas se transforman en obstácu-
lo, ya que impiden la comprensión de lo antes mencionado. Para salvar este obstáculo, para resolver siste-
mas de ecuaciones se propone la teoría de representaciones semióticas de Raymond Duval, ya que se suelen
pasar por alto las complicaciones de la operación de conversión de registros sin asociar los elementos que se
relacionan.
Palabras clave: propuesta didáctica, pensamiento algebraico, escolar.
Abstract
This article deals with the students problematic when solving systems of linear equations with two va-
riables by applying different resolution methods. Concerning the interpretation and use of the obtained
results, it is identified that linear equations by themselves become an obstacle, because they make difficult
the comprehension of the foregoing. To overcome this obstacle, for the resolution of equation systems, the
Raymond Duval’s theory of semiotic representations is proposed, because the complications of the register
conversion operation are overlooked, without associating the related elements.
Keywords: didactic proposal, algebraic thought, school-related.
Teaching Proposal of School Algebra: Resolution of Linear Equation Systems with
Two Variables

30
1 Introducción
A la conversión de un registro en otro se le otorga una importancia insustancial; sin embargo, se ha do-
cumentado que, en el álgebra lineal, la conversión entre registros desempeña un papel central en el apren-
dizaje, y las conversiones que involucran al registro simbólico resultan de mayor dificultad. Tomando en
cuenta documentos de apoyo relacionados con el tema de este trabajo, se consideran ciertos aspectos para el
diseño de una secuencia didáctica que busca que el estudiante se apropie del conocimiento. Para lograr este
objetivo, se propone que el alumno trabaje diferentes registros: natural, gráfico, algebraico y aplicación. A su
vez, la estrategia principal es que el conocimiento se obtenga por descubrimiento guiado.
Desde nuestra perspectiva pensamos que es importante utilizar diferentes situaciones que involucren el
contenido y creemos que existen diferentes medios para adquirir un conocimiento; también consideramos
que involucrar más de un medio enriquece el aprendizaje significativo y, aunque el proceso algebraico ha te-
nido prioridad en los últimos años, es bien sabido que por sí solo no es suficiente, por lo menos en lo que
se refiere a la enseñanza-aprendizaje. Con esto no se quiere decir que debamos dejar a un lado lo algorítmi-
co: se trata más bien de que el alumno interactúe con los diferentes lenguajes matemáticos para así construir
su propio saber matemático. Con estas situaciones didácticas se espera favorecer el aprendizaje significativo,
con el propósito de incidir positivamente en la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas.
2 Antecedentes del origen y evolución del concepto matemático
El análisis o investigación de un objeto es necesario para el desarrollo de situaciones que lo involucren
y, por lo tanto, es de gran importancia saber su evolución histórica, ya que muestra los diversos obstáculos
en el desenvolvimiento del objeto. El estudio histórico de igual manera da pautas sobre las construcciones
de los algoritmos que hoy son enseñados generalmente sin justificación. Realizando un recorrido por la cro-
nología, los primeros rudimentos de lo que hoy conocemos como sistemas de ecuaciones —según un estu-
dio realizado en el Instituto Tecnológico de Monterrey, Métodos numéricos y álgebra lineal: Los sistemas de
ecuaciones lineales (NGJ/vo6, serie CB00851)— fueron ya resueltos por los babilonios, quienes llamaban a
las incógnitas con palabras como ‘longitud’, ‘anchura’, ‘área’ o ‘volumen’, sin que tuvieran relación con pro-
blemas de medida. Un ejemplo tomado de una tablilla babilónica (Colette, 1986) plantea la resolución de un
sistema de ecuaciones en los siguientes términos:
¼ anchura + longitud = 7 manos
longitud + anchura = 10 manos
Para resolverlo comienzan asignando el valor 5 a una mano y observaban que la solución podía ser: an-
chura = 20, longitud = 30. Para comprobarlo utilizaban un método parecido al de eliminación. En nuestra
notación es:
y + 4x = 28
y + x = 10

31
Restando la segunda de la primera, se obtiene 3x = 18, es decir, x = 6 e y = 4.
En el recorrido donde se analiza el objeto matemático en cuestión aparecen otros documentos descritos
brevemente en el artículo Historia y desarrollo de los sistemas de ecuaciones lineales (Ramírez, 2013), donde
se habla nuevamente de los babilonios y de otras etnias que han hecho su aporte o se han involucrado en el
trabajo y desarrollo de los sistemas de ecuaciones.
El mayor número de documentos de los babilonios corresponde al periodo comprendido entre los años
600 a. C. y 300 d. C. Ellos casi no les prestaron atención a las ecuaciones lineales, quizás por considerarlas de-
masiado elementales, y trabajaron más los sistemas de ecuaciones lineales y las ecuaciones de segundo grado
(Ramírez, 2013). Los egipcios nos dejaron en sus papiros (sobre todo en el de Rhind —1650 a. C.— y el de
Moscú —1850 a. C.—) una multitud de problemas matemáticos resueltos. La mayoría de ellos son de tipo
aritmético y respondían a situaciones concretas de la vida diaria; sin embargo, encontramos algunos que po-
demos clasificar como algebraicos, pues no se refiere a ningún objeto concreto. En estos, de una forma retó-
rica, obtenían una solución realizando operaciones con los datos de forma análoga a como hoy resolvemos
dichas ecuaciones (Ramírez, 2013). Los matemáticos griegos no tuvieron problemas con las ecuaciones linea-
les y, exceptuando a Diofanto (250 d. C.), no se dedicaron mucho al álgebra, pues su preocupación era mayor
por la geometría. Sobre la vida de Diofanto aparece en los siglos V o VI un epigrama algebraico que constitu-
ye una ecuación lineal. Los griegos también resolvían algunos sistemas de ecuaciones, pero utilizando méto-
dos geométricos. Thymaridas (400 a. C.) había encontrado una fórmula para resolver un determinado siste-
ma de ecuaciones con n incógnitas. Diofanto resuelve también problemas en los que aparecían sistemas de
ecuaciones, pero transformándolos en una ecuación lineal (Ramírez, 2013). Diofanto solo aceptaba las solu-
ciones positivas, pues lo que buscaba era resolver problemas y no ecuaciones. Utilizó ya un álgebra sincopa-
da como hemos señalado anteriormente. Sin embargo, unas de las dificultades que encontramos en la reso-
lución de ecuaciones por Diofanto es que carece de un método general y utiliza en cada problema métodos
a veces excesivamente ingeniosos (Ramírez, 2013).
3 Dificultades en el aprendizaje del objeto a enseñar
Obstáculo n.o
1: ecuaciones lineales
En el artículo de Mabel Panizza (1999) se encuentran las siguientes evidencias:
Clasificación: epistemológico, ya que con base en la definición del objeto matemático surgen los erro-
res en los estudiantes.
Evidencias: todos los estudiantes entrevistados resolvieron los sistemas propuestos correctamente. El
primer sistema que se les presentó fue:
4x = 3y + 8
x + y = 2, cuya solución es el par 2,0.
Ellos explicaron que un par de números es la solución del sistema si verifica cada una de las ecuaciones.

32
Sin embargo, cuando les preguntamos si la solución del sistema que ellos habían obtenido era una solución
de la ecuación 4x = 3y + 8 —considerada esta aislada del sistema—, ellos dijeron que no.
(E= entrevistadora; R= Rodolfo; D= Daniel)
Entrevista:
E: —¿Este par (el 2,0, solución del sistema) es solución de esta ecuación?
R: —No, de las dos.
D: —De las dos juntas, porque es un sistema.
E: —Ajá. Y ustedes, antes, ¿cómo habían hecho para saber que el 5,4 es solución de la de arri-
ba?
R: —Reemplazando.
E: —Y quieren probar si el 2,0 es solución de la de arriba.
D: —No va a dar.
Todo ocurre como si los estudiantes pensaran que, en tanto el par 2,0 fue una solución obtenida ma-
nipulando las dos ecuaciones, no podría seguir siendo solución cuando desapareciera una de las ecuaciones
que intervino en el proceso de obtención.
Frente a una explicación del entrevistador, Daniel y Rodolfo parecen aceptar finalmente que el par 2,0
es solución de la primera ecuación. Sin embargo, esta aceptación es solo transitoria: cuando se los enfrenta
a un nuevo sistema de ecuaciones en el que sigue apareciendo la ecuación 4x = 3y + 8 y se les pregunta si el
par 2,0 es solución de esta, ellos dicen que no, “porque ya no está esta ecuación” (x + y = 2, la segunda ecua-
ción del primer sistema tratado).
Este resultado mostraría que, desde la perspectiva de los chicos, la ecuación con dos variables en un siste-
ma es un objeto diferente de una ecuación con dos variables.
Desde ese punto de vista, no tiene por qué haber relación entre la solución de la ecuación obtenida a par-
tir del sistema y la solución de la ecuación aislada de este.
Evidentemente, este hecho refuta el supuesto en el cual nos habíamos apoyado para pretender provocar
desequilibrio en los alumnos al introducir una nueva solución de la ecuación “de la mano” de un sistema.
(Panizza, Sessa, y Sadovsky; 1999).
4 Justificación de la propuesta
Una ecuación puede contener una, dos o más incógnitas, es decir, varios números distintos que se com-
plementan, pero se sabe que a las incógnitas se les puede designar diversos valores y estas pueden tener infi-
nitas soluciones. Cuando se forma un sistema de ecuaciones, es decir, dos o más ecuaciones, los valores satis-

33
facen las mismas incógnitas y, por lo tanto, el sistema puede tener una solución o no tener solución (sistema
de ecuación no compatible). Para el estudiante, a veces es un obstáculo poder comprender que, por una par-
te, una ecuación con dos incógnitas posee infinitas soluciones y, por otra, dentro de un sistema de ecuacio-
nes también forma parte de las soluciones por cada ecuación. Al proponer esta actividad se quiere obtener
varios objetivos por ítems y en progreso. Primero, cuando se comienza en el ítem 1, se los ayuda con los va-
lores que puede tener x, donde el par ordenado que obtengan como resultado lo podrán utilizar a medida
que vayan avanzando en la guía.
También se quiere que los estudiantes, antes de llegar al registro algebraico y gráfico, puedan observar
—en el plano cartesiano que ellos mismos confeccionarán— las soluciones que pueden seguir siendo más
de las que logran sacar al reemplazar los valores de x. En el siguiente ítem ya se introduce el concepto de sis-
tema de ecuaciones, al contener las ecuaciones del ítem 1 con otras (figura 1), que son pares ordenados ya sa-
cados de los primeros ítems. Se les solicita responder respecto de la presentación y destacar la intersección
que se ha generado. Este ítem otorgaría el paso a la institucionalización del concepto. En el ítem 2 (figura 2),
se quiere lograr que ellos también comprendan que existen sistemas de ecuaciones no compatibles, es decir,
que no poseen un par ordenado en común al comparar una ecuación que satisface dos sistemas diferentes.
Se ve que uno de los sistemas tiene solución, y el otro, no. Por última instancia se les pregunta a los estudian-
tes por el/los par/es ordenado/s que consideren que posee/n una solución con la ayuda del anexo 1 (méto-
do de sustitución).
Figura 1. Ítem 1, propuesta didáctica

34
5 Conclusiones
Los sistemas de ecuaciones lineales son una operación que busca una solución que compartan las ecua-
ciones bajo todos los criterios que este sistema pueda tomar. No obstante, aquello provoca una confusión
en las soluciones de la ecuación lineal con dos incógnitas, ya que el resultado del sistema se considera como
lo antes mencionado y no se logra identificar que aquellos valores (resultado de x e y) son un par de la solu-
ción del sistema con dos incógnitas. Sin embargo, la propuesta de enseñanza diseñada para aquella dificultad
toma en consideración que el problema proviene desde la identificación de la ecuación lineal con dos incóg-
nitas (sus soluciones particulares), y se comienza por cubrir aquello realizando ejercicios de identificación de
soluciones. Otra dificultad que se presenta en esta operación son las transformaciones que se realizan en los
distintos tipos de registros, es decir, no se logra hacer una conversión entre ellos, lo que dificulta aún más el
tratamiento que se debe realizar en la transformación. No se logra realizar la conversión entre el lenguaje na-
tural al algebraico y del algebraico al gráfico, donde una de las causas identificadas es que los textos escolares
y algunos profesores no realizan estas transformaciones en la enseñanza de los sistemas de ecuaciones, sino
que se enfocan solo en los métodos de resolución, lo que corresponde al tratamiento del registro algebraico.
También no existe conciencia de que este contenido corresponde a la introducción al álgebra lineal, y se en-
seña solo como un contenido de álgebra I.
Figura 2. Ítem 2, propuesta didáctica

35
Colette, J. (1986). Historia de las matemáticas (2.a
ed.). México: Siglo XXI editores.
De Herrero. (2004). “Sistemas de ecuaciones lineales: una secuencia didáctica”. Relime. Revista Lati-
noamericana de Investigación en Matemática Educativa, 7(1), pp. 49 78.
Instituto Tecnológico de Monterrey. (2004). Métodos numéricos y álgebra lineal. Sistemas de
ecuaciones lineales.
— Métodos numéricos y álgebra lineal: Los sistemas de ecuaciones lineales (NGJ/vo6, serie CB00851)
MINEDUC (2011). Programas de Matemática de 7.0
básico y 2.o
medio. Actualización 2009. Chile.
— (2012). Programas de Matemática de 5.o
y 6.o
básico. Actualización 2012. Chile.
Panizza, Sessa y Sadovsky. (1999). “La ecuación lineal con dos variables”, en Enseñanza de las cien-
cias, 17, pp. 453-461.
Ramírez, U. (2013). Historia y desarrollo de los sistemas de ecuaciones lineales.
Sistema de ecuaciones algebraicas. (2015). Wikipedia, La enciclopedia libre. [Fecha de consul-
ta: 16 de septiembre de 2015].
Sistema de ecuaciones lineales. (2015). Wikipedia, La enciclopedia libre. [Fecha de consulta: 16
de septiembre de 2015].
Zañartu, Arrigrandi y Ramos. (2013). Texto del estudiante 2.o
medio (4.a
ed., p. 272). Santiago:
Santillana del Pacifico.

36

Educación Las Américas, 3, 37-52 Lo experiencial, lo operacional... / E. Carrasco
37
Lo experiencial, lo operacional y lo
perceptivo en las interpretaciones
gráficas cartesianas
Eduardo Carrasco*
*
U. Metropolitana de Ciencias de la Educación, Chile. Correo electrónico: eduardo.carrasco@umce.cl.
Resumen
Este trabajo presenta un resultado de investigación sobre el proceso de interpretación y construcción
de gráficos cartesianos. En un marco socioepistemológico, este trabajo se centra en la actividad de las
matemáticas de los estudiantes de alrededor de quince años de edad. Definimos el espacio epistémico de
la figuración como un espacio de relaciones entre la figura, el fenómeno y el estudiante. En este espacio,
el estudiante construye conocimiento cuando significa elementos gráficos como aspecto fenomenal. Esta
herramienta teórica hace posible una caracterización sistémica de la actividad estudiantil desde el aspecto
operativo, perceptual y experiencial de su cognición. De las respuestas de una prueba se muestran elementos
que concurren para hacer significados en el alumno que interpretaban una gráfica estadística.
Palabras clave: vsualización gráfica, variación, socioepistemología.
Abstract
This paper presents research results about the process of interpretation and construction of Cartesian's
graphs. In a socio-epistemological framework, this work focuses in mathematics' activity of students around
fifteen years old. We define the epistemic space of figuration as a space of relations between figure, pheno-
menon and student. In this space, the student builds knowledge when he signifies graphics elements as phe-
nomenon's aspects. This theoretical tool makes possible a systemic characterization of the student’s activity
from the operational, perceptual and experiential aspect of his cognition. Test's answers show elements that
come together to create meanings in the student that interpreted a statistics graph.
Experimental, Operational and Perceptive Aspects on Interpreting Cartesian
Graphs

38
1 Introducción
El pensamiento variacional tiene en su desarrollo el uso de figuras como un elemento central de la acti-
vidad matemática (Carrasco, 2015). Hilbert señalaba, por ejemplo, que “las figuras geométricas son fórmulas
gráficas y ningún matemático puede prescindir de ellas” (1900). Por su parte, Cantoral y Farfán (1998) mues-
tran que, para acceder al pensamiento variacional, se precisa, entre otras cosas, del manejo de un universo
de formas gráficas extenso y rico en significados por parte del que aprende. Sin embargo, los elementos de
la gráfica cartesiana, al ser esta una herramienta matemática, refieren a significados específicos que han sido
construidos con laboriosidad por la comunidad matemática. De modo más preciso, en Occidente inicia su
construcción alrededor del siglo XIII, con el trabajo de Oresme, y se reconoce su forma y sentido actual en el
trabajo de Weiestrass a finales del siglo XIX.
Además, podemos entender las gráficas cartesianas como una figura de lo que varía, que permite hacer
ostensible a la mirada el comportamiento de aspectos de un fenómeno que no necesariamente son visibles.
Esto muestra a la gráfica cartesiana en su complejidad toda vez que es una herramienta matemática y a la vez
un dibujo. Esta complejidad se revela en los diversos obstáculos que encuentran los estudiantes para su uso
como herramienta y las diversas aproximaciones al estudio didáctico de las gráficas (Janvier, 1989; Sherin,
2000; Dolores, Alarcón y Albarran, 2002; Di Sessa, 2004; Carrasco, 2006; Miranda, Radford y Guzmán,
2007; Parnafes, 2010; English, 2012; Roth 2013). Particularmente, el estudio TERCE (2015) muestra que solo
el 8 % de los estudiantes chilenos pudo interpretar los datos obtenidos de un gráfico para realizar un proce-
dimiento aritmético con dichos datos y solo el 36 % de los estudiantes pudo leer correctamente un dato del
gráfico esbozando un procedimiento adecuado para resolver la situación, aunque sin lograrlo. Es decir, la es-
cuela no está promoviendo la construcción de la gráfica como una herramienta para entender aquello que
varía, problemática en que se enmarca este trabajo.
En general, la gráfica cartesiana es entendida como un conjunto de símbolos que, al ser interpretados,
se constituyen en signos-vehículos que enlazan unos significados de las cosas del mundo interno del sujeto
con cosas del mundo externo (Presmeg, 2008). En esta perspectiva, basada en la semiótica de Pierce, las ma-
temáticas tendrán un carácter abstracto, principalmente simbólico, configurando un mundo virtual según
Sfard (2000). La gráfica cartesiana se constituye entonces en un sistema propio de símbolos, y el estudio de
su construcción e interpretación debe indagar en los sistemas particulares de significados asociados, supe-
rando su focalización en el signo matemático que, despojado de una relación con una realidad fenoménica,
queda “atrapado” en el mundo virtual configurado por el lenguaje matemático (Janvier, 1987). Sin embar-
go, Cherin (2000) declara que una mirada basada en los signos implica aceptar que su significado es atempo-
ral y se mantiene objetivo y constante, sin considerar cambios culturales o la misma evolución de las ideas.
Hecho que no se corrobora en los resultados de Roth y Bowen (2003), quienes, al abordar el estudio de la
gráfica en la actividad matemática de profesionales, muestran cómo ante una gráfica del comportamiento
de una máquina, tanto el técnico que trabaja con ella como el ingeniero significan elementos diferentes res-
Keywords: didactic proposal, algebraic thought, school-related.

39
pecto del fenómeno. Y en un diálogo de ambos logran reconstruir el fenómeno e intervenir. Es decir, los sig-
nos de la gráfica no solo son ideas matemáticas, sino que dependen de quien la interpreta. Sin embargo, es-
tas aproximaciones se enmarcan en entender a la gráfica como signos que posibilitan re presentar el mundo
en la cognición. Signos que pueden ser socialmente construidos, pero que se constituyen en registros de re-
presentación de aquella realidad fuera del sujeto, conformando aproximaciones representacionistas del co-
nocer (Carrasco, Díaz y Buendía, 2014).
La perspectiva representacionista de aquello que se conoce ha ido cambiando en torno a las ciencias cog-
nitivas (Varela, 1989). En particular, desde la visión autopoiética de lo vivo propuesta por Varela y Matura-
na (1994), se entiende el acto cognitivo como un acto encarnado, donde la construcción de una nueva idea
surge en el acoplamiento estructural de quien conoce ante lo que se vive. Así, toda idea es la emergencia de
un estado de nuestra cognición que está estructuralmente acoplado con aquello que toca vivir. Luego, un
estudiante ante cada vivencia enactará, podrá en acción aquel mundo que ha construido en el acoplamiento
ininterrumpido con lo otro, los otros y las situaciones específicas que ha vivido (Varela 2000).
Lo anterior hace necesaria la construcción de una mirada nueva a la actividad de construcción e inter-
pretación de una gráfica cartesiana, que entienda a esta no como un signo que re-presenta el mundo, sino
como una herramienta que permite la actividad del estudiante para conocer, predecir e intervenir en aque-
llo que varía. Luego, este articulo presenta elementos cognitivos que concurren a la interpretación de estu-
diantes de gráficas cartesianas de variación desde una mirada enactiva que asume a la gráfica en su dualidad
de herramienta matemática y de dibujo de aquello que varía.
2 Elementos teóricos
2.1 El espacio epistémico de figuración
Los estudiantes se encuentran en el aula con los docentes y el saber, realizando actividades para construir
su saber matemático. Cuando abordan la construcción de una figura de aquello que varía, se hacen presentes
formas de conocer y de actuar que ellos han construido con base en su estructura biológica, dotada de auto-
nomía operacional e inserta en un sistema biológico y sociocultural. Según Correa (2011), cada uno de estos
subsistemas —el biológico y el sociocultural— ha tenido una evolución particular y es parte constituyente
y esencial de sus procesos de construcción de saberes. Suscribiendo una perspectiva enactiva (Varela, 2000)
de la actividad cognitiva, se entiende el acto de conocer a partir de una mente encarnada que tiene una his-
toria de acoplamiento estructural con aquello que le toca vivir (Reid y Mgombelo, 2015). Esto implica dejar
de mirar a la gráfica (o a toda imagen de la realidad) como una re-presentación de un mundo dado, para en-
tender que tanto la imagen como el mundo emergen en la cognición codefiniéndose de modo retroactivo.
Luego, la visualización de aquello que vivimos ocurre en el ciclo de retroalimentación de la acción y la per-
cepción, conformando una percepción guiada, configurada, desde aquello que se conoce.
El acto de conocer aquello que se vive se da a partir del proceso denominado enacción. Este proceso se

40
constituye al emerger estados particulares de redes neuronales, los cuales son puestos en acción según code-
finiciones retroactivas entre los esquemas enactados y la actividad involucrada. De este modo, cuando los
estudiantes figuran, se da la enacción de aquellos conjuntos de ideas con base en la historia ininterrumpida
de coordinaciones con los entornos, con los otros, con los que ha vivido, así como con los otros que concu-
rren en el momento del aula. Desde esta perspectiva, en Carrasco, Díaz y Buendía (2014) se define el espa-
cio epistémico de figuración (esquema 1). Este es entendido como un espacio de actividad en el cual el suje-
to articula figura y fenómeno con el objeto de conocer qué y cómo varía. Es un espacio epistémico en cuanto
el estudiante conoce a partir de los mundos que enacta y que le posibilitan la emergencia de significaciones,
prácticas, herramientas y argumentos para abordar la situación problemática; espacio que es a la vez opera-
cional, perceptual y experiencial.
Figura 1. Espacio epistémico de figuración
Dado el interés de este estudio por determinar aquello que concurre a configurar la actividad de figu-
rar e interpretar figuraciones de variación de los estudiantes y determinar lo que concurre para constituir a
la gráfica cartesiana en herramienta de su actividad matemática, la mirada se orienta hacia la deconstrucción
de prácticas, entendidas estas como “modos de operación o esquemas de acción socialmente compartidos”
(De Certau, 2000, p. X�I). Estas prácticas son reconocibles en la acción de sujetos que forman un espacio so-
cial particular en el cual se dan acciones que conminan a quienes no suscriben tales esquemas de acción so-
cialmente compartidos a incorporarlos en su actividad. De este modo, la práctica de figuración se constitu-
ye como un hecho social en el sentido de Durkheim (2001), el cual, inserto en el aula, configura una práctica
socioescolar de figuración.

41
2.2 Las gráficas cartesianas como herramienta de figuración
Trabajos que suscriben una naturaleza de construcción social para el conocimiento concurren en consi-
derar la actividad humana como elemento central en la construcción de saber matemático. A partir de estos
marcos se avanza, desde una significación de la gráfica cartesiana como objeto, a considerarla como una he-
rramienta para la actividad matemática de modelación de fenómenos de variación. Bowen, Roth y McGinn
(1999) avanzaron en considerar la graficación como un conjunto de prácticas de representación, producción,
lectura e incluso crítica de gráficas. Prácticas que son de naturaleza social, y en ellas deben estar consideras
las prácticas comunes de cada grupo social involucrado, sus preocupaciones y necesidades, el tipo de herra-
mientas en un sentido amplio y los significados que emergen en su utilización.
En cuanto al marco socioepistemológico, por su parte, Cordero, Cen y Suárez (2010) proponen la grafi-
cación como una práctica institucional que permanece y se desarrolla en la escuela a través de los diferentes
elementos del discurso matemático escolar. La herramienta condiciona la práctica y esta condiciona la herra-
mienta. Esto permite el desarrollo del razonamiento y de la argumentación a través de justificaciones funcio-
nales más centradas en lo que es de utilidad al grupo humano en cuestión. Buendía (2012) establece una epis-
temología de prácticas para las gráficas, es decir, determina prácticas sociales que están a la base del uso de las
gráficas en calidad de herramientas para la matemática. Avanza en determinar usos que realizan los profeso-
res de las gráficas. Por ejemplo, al identificar en la gráfica figuras geométricas, los profesores construyen argu-
mentaciones de cálculo de áreas para determinar velocidades, a diferencia de un uso más tradicional que im-
plica encontrar valores específicos de las curvas que promueve argumentos más analíticos.
En este trabajo, la mirada a la gráfica cartesiana se amplía al entenderla no solo como una herramienta
matemática, sino que se busca entenderla también en su calidad de dibujo que, como tal, narra algo especí-
fico de un fenómeno de variación. De este modo, el estudiante, al trabajar en la interpretación de gráficas,
constituye el espacio epistémico de figuración como el espacio de actividad, conformado por el fenómeno,
la figura y el sujeto que conoce, que posibilita significar elementos del fenómeno en la figura y viceversa. En
él, una figura, cartesiana o no, es articulada con el fenómeno que se estudia, lo que permite entender a este
último en términos de las relaciones espaciales (geométricas o perceptivas) de la figura construida y, del mis-
mo modo, la figura es significada desde las magnitudes estudiadas. Si analizamos, por ejemplo, la obra de
Newton, podemos apreciar cómo articula una curva, entendida como la traza de un punto que es movido
por dos segmentos coordenados, los cuales son significados como la medida de magnitud de tiempo y dis-
tancia. Esto permite entender el fenómeno de desplazamiento de una partícula en términos de las relaciones
geométricas que el dibujo presenta y, desde ahí, construir las relaciones algebraicas a las cuales aplica su mé-
todo de fluxiones. Se configura, por tanto, una práctica de figuración de fenómenos de variación (Carras-
co, Díaz, y Buendía, 2014). Así, la práctica de figuración será entendida como aquella actividad socialmente
compartida de construcción e interpretación de figuras (cartesianas o no) en términos de aspectos (ostensi-
bles o no) del fenómeno de interés.

42
3 Metodología
Se aplica una prueba escrita a estudiantes de 3.er año medio de una escuela de nivel socioeconómico me-
dio bajo. La prueba plantea situaciones de interpretación de dos gráficas de variación obtenidas de sitios web
públicos. La primera gráfica (a y b) es un histograma que muestra datos referentes a resultados de la PSU
(Prueba de Selección Universitaria) que rinde todo estudiante que desea ingresar a universidades públicas
chilenas en el área de matemáticas, según publicaciones oficiales de los años 2004 y 2009, presentados según
la dependencia de las escuelas (municipal, subvencionada y particular) e intervalos de puntaje. La gráfica (c)
es un gráfico de líneas que muestra el número de diagnósticos de casos de sida en Chile por género entre los
años 1984 y 2000.
a
b
c
(a) y (b) Departamento de Evaluación, Medición y Re-
gistro Educacional; (c) Ministerio de Salud, Chile, 2001

43
Las preguntas en ambos apartados del cuestionario son amplias y se centran en aspectos variacionales y
predictivos en las gráficas de PSU y respecto de las tendencias en las gráficas de sida. Con ello, se busca que
sus textualidades revelen aspectos del gráfico que se consideren relevantes en cuanto a la predicción de situa-
ciones respecto de la tendencia, la comparación de situaciones y generalizaciones de la información presen-
tada.
La interpretación se llevó a cabo mediante la tabulación de las respuestas de los estudiantes. En una pri-
mera lectura se seleccionaron y clasificaron frases específicas de cada respuesta, y se agruparon por similitud
de sentido. En un segundo momento se interpretó el conjunto de frases y luego se realizó su análisis textual
determinando categorías de análisis a partir de codificaciones abiertas.
En el análisis de estas interpretaciones, se caracterizaron aspectos operacionales, perceptuales y experien-
ciales que concurren a la interpretación del fenómeno a partir de las gráficas estudiadas, lo que muestra la
pertinencia del espacio epistémico de figuración. Los resultados, entonces, se presentan en torno a estas ca-
tegorías. Dado que no se recolectaron las gráficas intervenidas por los estudiantes, no se pudo realizar un
análisis de las figuras, por lo que nos centramos en el análisis del discurso de las respuestas dadas a los cues-
tionarios.
4 Análisis de resultados
4.1 Lo operacional en la interpretación
Estudiante Textualidades destacadas
E2
“En los (colegios) particulares entre el año 2004 entre el (puntaje de
la prueba PSU ubicado en) 200-459, 450-599 y el 600-849 estaban ya altos,
pero en el 2009 en el 200-459 y el 450-599 ha bajado”
“en cambio en el 600-849 en el 2004 ya era mayor y siguió subiendo
en el 2009, en el subvencionado en el año 2004 ya era alto en cambio, en el
2009 unos se han mantenido y otros han bajado mucho.
E4 “200-449: En el año 2009 en el particular bajó el 10%, los subvencio-
nados subieron un 30% y los municipales un 40%.”.
Tabla 1. Redución de variables
Se propone a los estudiantes que comparen los resultados de la PSU entre 2004 y 2009 (gráficos a y b).
Para ello, los estudiantes reducen la mirada a una variable en los dos momentos temporales mostrados en
las gráficas. Las textualidades muestran descripciones que van fijando las otras variables en un valor especí-

44
fico. El estudiante E2 fija la dependencia y sobre ella compara el cambio de cada intervalo de puntaje entre
los años 2004 y 2009.
Las comparaciones que se realizan son de carácter cualitativo: frases como “bajó el 10 %” o “los (colegios)
subvencionados subieron” dotan a la gráfica de verticalidad, permitiendo cuantificaciones intensivas (Ruiz y
Valdemoros, 2006). Por su parte, frases como “ya era mayor” y “siguió subiendo” dan cuenta de una signifi-
cación de continuidad en la variación de la variable, aun cuando refiera a un fenómeno discreto, pero persis-
tente en el tiempo. Así, los valores graficados son interpretados desde la temporalidad de la evolución de un
fenómeno, como es la Prueba de Selección Universitaria, que es un hito constante en la educación chilena.
E7
PSU año 2004: Los colegios particulares, el 10% de los alumnos obtu-
vieron un puntaje de 200 puntos, subiendo el 45% de los alumnos entre los
450-599 puntos, se mantuvieron, a diferencia de PSU del 2009, los cuales
fueron aumentando el puntaje de poco encontrándose la mayor cantidad
de alumnos en los 600 puntos.
E13
Los municipales del 2004 en 200-449 no alcanzaban a pasar el 40%.
Los particulares no alcanzaron el 60% en el 2004 en 600-849.
Los resultados del 2009 en compararon a los del 2004 muestran una
disminución en el porcentaje de alumnos de colegios particulares en lo-
grar de 200 a 449 puntos en la PSU
E17
En la siguiente escala muestra una disminución en los alumnos de
colegios particulares en alcanzar de 450 a 599pts., así también de co-
legios subvencionados en la misma escala de puntaje y también de los
alumnos de colegios municipales
Tabla 2. Primeras comparaciones
Las textualidades presentadas por los estudiantes E7, E13 y E17 muestran un segundo aspecto en las com-
paraciones. Diversos estudiantes refieren cambios porcentuales en sus descripciones. Se asume el año 2004
como referente, a partir del cual se realizan comparaciones del eje de las ordenadas (porcentaje de estudian-
tes) con el año 2009. Las textualidades se refieren a los valores del eje más que a un cálculo de deltas de in-
cremento. Hay en ellos una interpretación de los valores del eje en la que el porcentaje es una medida por sí
misma. En el cotidiano nacional, las tiendas comerciales anuncian comúnmente descuentos sin referirse al
valor inicial o al incremento o descuento. Del mismo modo, los estudiantes usan en sus textualidades la pa-
labra “aumento” o “sigue”, además de adjetivos, que hablan de una temporalidad en la manera de referirse a
la comparación en la cual no se requiere explicitar el inicio del intervalo, ya que solo basta con el valor final.

45
El estudiante E3 se refiere a dos puntos temporales; las interpretaciones de lo que varía las entiende como
aumento o disminución.
En síntesis, una práctica interpretativa evidenciada en las respuestas del cuestionario se estructura con
la constantificación de algunas variables presentes en la gráfica para solo comparar dos valores de una de las
variables en momentos temporales distintos. El contexto de una evaluación que se realiza de forma periódi-
ca en el país pareciera permitirles hablar de tendencia y no solo de comparación de los dos estados presenta-
dos en las gráficas.
Una segunda estrategia de análisis presentada en las respuestas de los estudiantes es la tabulación de da-
tos. Los estudiantes, como muestra la textualidad siguiente, generan listados respecto de las comparaciones
de variables que realizan.
Como se aprecia en la tabla 4, el estudiante E13 enlista diferentes comparaciones. En el caso de la esta-
dística de resultados PSU de variable discreta, las comparaciones las presenta con base en las diferentes cate-
gorías de las variables (en este caso, los intervalos de puntaje de la PSU). Para las gráficas de diagnósticos del
sida, de variable continua, el listado o tabulación queda determinado por aquellos puntos en que el cambio
es significativo a la percepción.
Por su parte, el estudiante E3 realiza una tabulación a partir de intervalos o puntos en los cuales el cam-
bio es significativo a la percepción de quien interpreta el gráfico. En el caso del estudiante E3, vemos que es-
tructura el listado por año. El hecho de que use valores porcentuales en sus descripciones en cada caso del
listado da cuenta nuevamente de la lectura superficial de los ejes y las unidades de medida. En el gráfico, la
variable dependiente está expresada en cantidad de casos, no en variación porcentual.
E3
Que en el gráfico del 2004 el índice de lo que estaba más alto dismi-
nuye en el 2009 y lo que estaba más bajo aumento en el 2009 o sea ocurre
todo lo contrario. Por ejemplo: en el ámbito particular el 2004 partió su-
biendo, sube y disminuye al final al igual que en el 2009.
En los municipales el 2004 permanece estable al principio luego de-
cae, en el 2009 permanece bajo que en 2004 y al final disminuye aún más
Tabla 3. Comparaciones

46
E3
En 1992, el hombre llegó al 20%, la mujer llegaba al 0%.
1993: El hombre 30% la mujer sigue igual.
1994: El hombre sigue igual, la mujer también.
1995: El hombre se acerca al 40%, la mujer sube de a poco
1996: El hombre llegó al 50%, mientras que la mujer se acer-
ca al 10%
1997: El hombre baja, la mujer sube
2001: El hombre sube a casi un 50% la mujer no llega al 10%.
E13
En el año 2004 en 200-449 los resultados de los particulares
eran más altos que en el año 2009.
Los subvencionados del 2004 en 200-449 estaban igualados en
porcentaje con el 2009. Los municipales del 2004 en 200-449 no al-
canzaban a pasar el 40%.
En el 2004 el particular, subvencionados y municipales fueron
altos en porcentajes que el 2009 en 450-599.
Los particulares no alcanzaron el 60% en el 2004 en 600-849.
Subvencionados y municipales en 600-849 estuvieron iguala-
dos en ambos años.
En los municipales el 2004 permanece estable al principio lue-
go decae, en el 2009 permanece bajo que en 2004 y al final dismi-
nuye aún más
Tabla 4. Tabulaciones

47
4.2 Lo perceptivo en la interpretación con gráficas
Las textualidades reseñan prácticamente un solo cambio en la gráfica, evidencia de cómo la pregnancia
perceptiva, es decir, la fuerza que una imagen tiene en la percepción para ser evocada, genera lo que se po-
dría llamar una regresión perceptiva a la curva. Esto es: interpretar ignorando los cambios pequeños en la
pendiente de la curva, lo que permite asociar la curva a formas más simples; en este caso, una línea recta sin
variación.
E4 En el año 1998 el hombre bajo su diagnóstico, en el años 1999 las mu-
jeres disminuyó su %.
E10
Bueno en lo visto anteriormente se ve una baja entre en unos años
que probablemente se encontraron lentos pero por otro lado también uno
no subido escalofriante que se llegó a perder el estado.
E13 Si en el hombre hay un quiebre en el año 1997 fue un quiebre muy
brusco.
E14 La tendencia en el hombre pocas veces se quebra y en cambio la mu-
jer se mantiene.
E15
Hombres: que en el año 1997 bajaron los diagnósticos de sida pero al
año siguiente comenzó a aumentar nuevamente. Mujeres: En el año 1999
bajaron los diagnósticos y no han subido hasta el año 2001.
E16 Se muestran quiebres porque en el caso del hombre aumentó y luego
bajó pero nuevamente subió.
E29 Si en el año 1998 disminuyó 450 personas con respecto con el año
1997 que eran 500 personas.
Tabla 5. Pregnancia perceptiva

48
Los quiebres de tendencia que reseñan los estudiantes, como respuesta a la pregunta cuatro, son pocos
y se reducen a aquellos puntos de variación mayor del número de casos como en el año 1997 para los hom-
bres: “Si en el hombre hay un quiebre en el año 1997 fue un quiebre muy brusco” (E13). Ello les lleva a se-
ñalar que “la tendencia en el hombre pocas veces se quiebra y en cambio la mujer se mantiene” (E14). El es-
tudiante 16 plantea tres quiebres en la tendencia del comportamiento de contagios de sida en los hombres:
“Se muestran quiebres porque en el caso del hombre aumentó y luego bajó pero nuevamente subió” (E16).
Toda descripción de cambios queda descrita solo desde los valores en el eje x, es decir los años. Es una mi-
rada cualitativa que en general solo se describe desde comparaciones intensivas.
4.3 Lo experiencial en la interpretación: el prejuicio y la tabla como argumentos
El tercer aspecto que se evidencia es el rol del gráfico y la información que proporciona en la toma de de-
cisiones o recomendaciones de los estudiantes. Al parecer, la interpretación del gráfico se hace desde el saber
experiencial respecto del contexto social de la información que proporciona. De este modo, las recomenda-
ciones que hacen se fundan en ideas previas más que en la interpretación de la información que el gráfico
presenta.
Por ejemplo, el estudiante 6 señala respecto de la educación municipal: “Una vez más el gráfico demues-
tra que la clase pobre es la menos aplicada para los estudios, aunque entre los 450-599 pts, ha tenido, un leve
incremento” (E6). El estudiante confirma con los números lo que su imaginario social suscribe: la clase po-
bre que estudia en las escuelas públicas no es buena para los estudios. El gráfico no es descrito sin contexto,
sino que es interpretado desde lo que su saber cotidiano le muestra. Del mismo modo, el estudiante 9 seña-
la: “En el 2004 los colegios subvencionado estuvieron mucho mejor en relación a los municipales, pero los
particulares ya se sabe que siempre van a tener mucho más puntaje que los demás ya que les enseñan mejor
que los demás”. En el acto de focalizar la mirada en una sola variable, elimina la educación particular, pues
ya sabe que esta tendrá mucho mayor puntaje.
De este modo, las interpretaciones de valores se dan desde imaginarios sociales. Las textualidades hablan
de una idea previa: los colegios municipales son peores o los estudiantes pobres son menos capaces de apren-
der. Para ellos, los resultados de los gráficos confirman esas ideas. Son prejuicios sociales, como lo muestran
las siguientes textualidades sobre el gráfico del sida:

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