A partir de princpios básicos, se da cuenta de un hecho observable en la práctica. El cambio de diámtero de la cañería es fundamental para mantener el caudal constante en la planta

1. Riego por goteo, desde del punto de vista de la
Física
Miguel Bustamante S.
∗1
1
Facultad de Ingeniería y Ciencias , LATEX Universidad Adolfo Ibañez
March 2, 2015
Abstract
En este artículo se presenta una visión simplicadadel riego por
goteo, y de los principios involucrados. A partir de la ecuación de
continuidad, y la ecuación de Bernoulli se deduce una relación entre el
diámetro y la distancia de la planta (estación).
Introducción
El riego por goteo es una aplicación en la agricultura de hoy [1]. El diseño de
la instalación está gobernado por las leyes de los uidos incompresibles, la
ecuación de conservación [3] como la conservación de la energía (Bernoulli,
[2]). Por medio de de las ecuaciones básicas se puede deducir la relación
entre el diámetro de las tuberías como las condiciones necesarias para la
instalación.
Figure 1: Representación de las plantas y el ángulo de elevación
∗
migue.bustamante@uai.cl
1

2. Vamos a suponer que cada planta tiene un ujo I, siendo la misma para
todas. Por la conservación del ujo de cada planta,
Aivi = I + Ai+1vi+1 (1)
denominamos que el ujo inicial es I0 = A0v0, donde se puede dedcuir de la
ecuación 1
Ii = Aivi = I0 − iI (2)
En el límite de la enésima N planta el ujo es I0 = (N −1)I. Suponiendo
una sección circular, el área
Ai = π
di
2
donde di es el diámetro del tubo.
Asumiendo que la velocidad es lenta, de modo que el efecto viscosidad es
despreciable. Aplicando la ecuación de Bernoulli
Pi +
1
2
ρv2
i + ρghi = K (3)
donde hi es la altura respecto de la horizontal de la planta, ρ es la densidad
del agua y Pi es la presión en la estación i.
Si la presión es la misma en todas las estaciones, es decir P = Pi, la
ecuación 3 se transfroma
1
2
ρv2
i + ρghi = K (4)
De la ecuación 2, podemos depejar
vi =
I0
Ai
− i
I
Ai
(5)
y reemplazando en la ecuación 4 obteniendo
di =
2
π
ρ
2
1
(K − Ditan(αi))
I0 − iI (6)
Caso 1
Asumamos que el ángulo de inclinación es 0o, es decir αi = 0 para todo los
i. En este caso, la expresión 6, se transforma en la expersión
Di = D2
0 − 4
I
vπ
i (7)
2

3. 0
2
4
6
8
10
0 10 20 30 40 50
Planta
Diámetro en función de la planta, con distintas razones
razón = 1
razón = 0.5
razón = 2
Figure 2: Gráco de diámetro en función de la planta
que es la expresión del diámetro según la estación i. Denamoz como razón
=I
v . Vamos a suponer que el diámetro inicial es D0 = 10, cuya gráca se
observa en la gura 2.
Cuando la razón es mayor, (que es mayor(cantidad de agua por plata
a una misma velocidad), baja la cantidad de plantas que puede abarcar, lo
cual era de esperarse, yabque el caudal inicial no alcanza para todos..
Si mantenemos la razón constante, pero variamos el diámetro inicial,
vemos que la razón = I
v0
(gura 3) es crucial para saber el total de plantas
que puede abarcar.
Todo esto asumiendo,que la presión es constante y que el terreno es hor-
izontal.
caso 2
Asumamos ahora que el ángulo αi = α, constante y que la distancia entre las
plantas también es constante Di = D. La altura desde el nivel cero, denido
viene dada por la expresión hi = iDtan(α) (el ángulo α puede ser negativo).
La expresión 6, con estas jueva restriciones tiene la forma
di =
2
π
ρ
2
1
(K − iDtan(α))
I0 − iI (8)
3

4. 0
10
20
30
40
50 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0
5
10
15
20
Diámetro en función de la planta, con distintas razones y diámetro inicial
razón =1
razón =2
razón =0.2
Plantas Diametro inicial
Figure 3: Diámtero en función del inicial y las estaciones
Pero acá K = K − Pi .En este caso, vamos a consuiderar que el uido se
mueve a una velocidad v muy pequeño, de modo que sea despreciable los
efectos de perdida de energía.
Pi + gρhi +
1
3
ρv2
i = P0 +
1
2
ρv2
0 = K (9)
En la ecuación 9, la estación 0 es el punto de entreda y de referencia de
altura (h0 = 0). Como suponemos que la velocidad vi es pequeña, podemos
aproximar la ecuación a un equilibrio hidroestático, es decir
Pi + ρghi ≈ P0 (10)
En esta aproximación, obtenemos que vi v0, constante, de cual deducimos
nuevamente la ecuación 7
Discusión
El resultado obtenido, 7, se deduce sobre la siguientes supuesto:
• La velocidad del uido es pequeña, cercana cero
• se conversa la energía, en un movimiento laminar sin fricción y/o vis-
cosidad
4

5. • La ecuación de continuidad de cumple, cuando se incluye el ujo I por
cada planta.
En el caso 1, al suponer que que las plantas están en una supercie
horizontal, la presión es la misma para todas, como la velocidad. En el caso
2, en una supercie inclinada, la presión cambia de acuerdo a la altura ( o
profundidad, dependiendo de las referencia) de la planta i. Esto implica que
cada valvula debe estar regulado de acuerdo a la presión correspondiente Pi,
ya que debemos mantener el ujo I en cada planta. Esta simplicación hace
complicadola instalación cuando las plantas están en terrenos con pendientes.
References
[1] Riego por goteo, November 2014. 00000 Page Version ID: 78157219.
[2] Ecuación de continuidad, January 2015. 00000 Page Version ID:
79711776.
[3] Principio de Bernoulli, February 2015. 00000 Page Version ID: 80126039.
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