Teoría de errores, gráficos y ajuste de parámetros

. Teoría de errores, gráficos y ajuste de parámetros.
Apuntes desarrollados por Miguel Bustamante
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Apuntes de Errores, gráficos y ajuste
de parámetros.
Profesor Miguel Bustamante S
2020

Prólogo
Querido lector, estudiante o profesor: Quisiera expresar algunas palabras para
presentar este apunte: El laboratorio de Física es una sección importante en el estudio de la
ciencias Físicas. En el laboratorio se prueban las las leyes de la Física, su validez mediante
experiencias diseñadas para tales propósitos.
Para comprobar las leyes de la Física, se necesita usar ciertas herramientas tanto en
el manejo de datos como de gráficos. Este apunte entrega las herramientas básicas para el
desarrollo del laboratorio y de un criterio de aceptación o refutación.
Estimado lector, este apunte pretende ser un aporte para el laboratorio de Física u
otro laboratorio, pero como toda obra puede ser mejorada. Es por eso que pido su colaboración
para perfeccionar el contenido, agregar, como quitar; al igual que su opinión. Esta puede ser
entregada a través del correo electrónico mikel271@aol.com
Sin otro particular,
Miguel Bustamante S.
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INDICE
Sumario
APUNTES DE ERRORES, GRÁFICOS Y AJUSTE DE PARÁMETROS.................................................1
INTRODUCCIÓN AL LABORATORIO DE FÍSICA...................................................................................4
SISTEMA DE MEDIDA....................................................................................................................................9
DISTRIBUCIÓN NORMAL O DE GAUSS.....................................................................................................................16
ALGEBRA DE ERRORES..............................................................................................................................18
ERRORES ASOCIADO A FUNCIONES..........................................................................................................................21
CRITERIO DE APROXIMACIÓN................................................................................................................................23
Relación no lineal.......................................................................................................................................28
CALCULO DE LOS PARÁMETROS DE LA RECTA Y=MX+N............................................................................................29
1.-Método gráfico.......................................................................................................................................30
2.-Método de los promedios.......................................................................................................................30
3.-Método de los Mínimos cuadrados........................................................................................................31
Gráficos no lineales...................................................................................................................................35
CALCULO DE AJUSTE DE CURVAS A CONJUNTOS DE DATOS..........................................................................................37
FUNCIÓN SOLVER.................................................................................................................................................44
Ejercicios de errores gráficos:...................................................................................................................47
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Introducción al laboratorio de Física.
Uno de los aspectos más importantes de las ciencias experimentales, es el hecho que una
teoría puede y debe ser contrastado con la naturaleza. ¿A qué se debe que las ciencias
experimentales deban ser contrastados con el entorno natural? Para entender este punto es
necesario saber, ¿Qué es Ciencia?
Desde el punto de vista epistemológico, la palabra “ciencia” que tiene su origen en el latín,
significa “saber”. Hoy en día, esta definición no es válida. La Ciencia experimental quiere dar una
explicación racional y lógica al entorno que rodea al hombre. Esto es, explicar con modelos
matemáticos los fenómenos que se observan en la naturaleza. Esta arrogancia, parte del supuesto
escrito por Galileo, que el “Lenguaje de la naturaleza, son las Matemáticas”. La mejor prueba de
esta afirmación es ver el avance que ha sufrido la ciencia y la tecnología desde esa fecha hasta la
actual. Los modelos teóricos, como el de las elipses de las órbitas de los planetas sirven para
visualizar en la mente humana un fenómeno y tratar de comprendelo.
Si no existen modelos, se debe buscar las relaciones entre variables que son medibles para
visualizar el fenómeno y generar un modelo. Un ejemplo lo constituyó el estudio de las órbitas
planetarias. En un principio, los griegos, atribuían poderes sobrehumanos a seres que podían
viajar en el firmamento como eran los “vagabundos” (Los planetas). Aristóteles propuso la
hipótesis que la Tierra estaba en el centro de un firmamento, y que todo giraba en torno a ella: La
Luna, Los planetas. Las estrellas estaban en un firmamento estable e incorruptible ya que los
dioses vivían allá. Cómo las matemáticas tienen la característica de una ciencia exacta, aplicaron
las matemáticas a la descripción de los fenómenos celeste, no así a los terrestre, ya que la vida en
la tierra era imperfecta y no se podía aplicar algo perfecto a la imperfección. Es así, que sobre la
base de racionamiento filosófico se enfrentaron los problemas. Además los griegos eran reacios a
la comprobación empírica, ya que suponían que el racionamiento bastaba para dilucidar la verdad
detrás del fenómeno. Por esto que este periodo básicamente se crearon modelos pero no se
probaron su veracidad.
PTolomeo tomó las ideas de Aristóteles, que además se ajustaba muy bien a las sagradas
escrituras explicando los fenómenos celestes: Podían predecir la aparición y posición de los
planetas que se ven a simple vista. Sin embargo, no todo lo explicaba correctamente. Los
vagabundos tenían movimientos erráticos: En un momento avanzaban y luego retrocedían. Para
dar explicación de este fenómeno, PTolomeo (en su obra “almagesto”) debió introducir a las
órbitas circulares de los planetas unos “epiciclos”. Estos epiciclos, adicionales al modelo original,
en que cada cuerpo orbitaba en pequeños círculos en torno a la órbita circular, de este.
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Este modelo de “Universo” se aceptó por un tiempo. Los epiciclos no pudieron ser explicado.
En 1543 el astrónomo Nicolás Copérnico publicó “De revolutionibus orbium celestium” (Sobre las
revoluciones de los cuerpos celestes). Planteó un nuevo modelo de sistema solar.
El modelo de Copérnico establecía que la Tierra giraba sobre sí misma una vez al día, y que una
vez al año daba una vuelta completa alrededor del Sol. Además afirmaba que la Tierra, en su
movimiento rotatorio, se inclinaba sobre su eje (como un trompo). Sin embargo, aún mantenía
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algunos principios de la antigua cosmología, como la idea de las esferas dentro de las cuales se
encontraban los planetas y la esfera exterior donde estaban inmóviles las estrellas (firmamento).
Por otra parte, esta teoría heliocéntrica tenía la ventaja de poder explicar los cambios diarios y
anuales del Sol y las estrellas, así como el aparente movimiento retrógrado de Marte, Júpiter y
Saturno, y la razón por la que Venus y Mercurio nunca se alejaban más allá de una distancia
determinada del Sol. Esta teoría también sostenía que la esfera exterior de las estrellas fijas era
estacionaria.
Una de las aportaciones de la teoría de Copérnico era el nuevo orden de alineación de los
planetas según sus periodos de rotación. A diferencia de la teoría de PTolomeo, Copérnico vio
que cuanto mayor era el radio de la órbita de un planeta, más tiempo tardaba en dar una vuelta
completa alrededor del Sol. Pero en el siglo XVI, la idea de que la Tierra se movía no era fácil de
aceptar y aunque parte de su teoría fue admitida, la base principal fue rechazada.1
Tycho Brahe (profesor de Johannes Keppler) nunca aceptó totalmente el sistema
copernicano del Universo y buscó una fórmula de compromiso entre éste y el antiguo sistema de
PTolomeo. El sistema de Brahe presuponía que los cinco planetas conocidos giraban alrededor
del Sol, el cual, junto con los planetas, daba una vuelta alrededor de la Tierra una vez al año. La
esfera de las estrellas giraba una vez al día alrededor de la Tierra inmóvil.
Aunque la teoría de Brahe sobre el movimiento planetario era defectuosa, los datos que acumuló
durante toda su vida desempeñaron un papel fundamental en el desarrollo de la descripción
correcta del movimiento planetario. Johannes Kepler, que fue ayudante de Brahe desde 1600
hasta la muerte de éste en 1601, utilizó los datos de Brahe como ayuda para la formulación de
sus tres leyes sobre el movimiento de los planetas (véase Leyes de Kepler).2
Fue Johannes
Keppler, con los datos de Tycho que pudo idear un modelo de sistema solar. Esto lo sintetizó en
sus tres leyes:
1.-Los planetas describen órbitas elípticas y el sol ocupa uno de los focos de la elipse.
2.-El planeta recorre áreas iguales en tiempo iguales de barrido.
3.-Las distancia del eje mayor al cubo es proporcional al periodo del planeta a la segunda
potencia.
Estas tres leyes dan un modelo matemático de las órbitas de los planetas y una buena
aproximación a la realidad. Las órbitas de los planetas se asemejan a una elipse, pero no son una
elipse. Pero, ¿ por qué se asemejan tanto a una elipse? La respuesta a esta pregunta la dio Isaac
1
"Copérnico, Nicolás", Enciclopedia Microsoft® Encarta® 97 © 1993-
1996 Microsoft Corporation. Reservados todos los derechos.
2
"Brahe, Tycho", Enciclopedia Microsoft® Encarta® 97 © 1993-1996
Microsoft Corporation. Reservados todos los derechos.
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Newton. Los trabajos de investigación empírica de Galielo (Caída libre, cuerpo acelerando,
péndulo, astronomía) mas los trabajos de Johannes Keppler le dieron la plataforma a Newton de
elaborar una “Teoría” que fue publicada en la obra “Principios matemáticos de la filosofía natural”.
La hipótesis de Newton fue afirmar que los fenómenos terrestres como celestes se deben a la
acción de una misma fuerza: La Fuerza de Gravedad, (“Teoría gravitacional”). Para poder
resolver los problemas, tuvo que inventar nuevas matemáticas: El cálculo diferencial. Al resolver
el problema de un cuerpo muy másico en torno a uno menos másico (problema de dos cuerpos), la
solución de la órbita que se obtiene es una elipse, ó parábola ó hipérbole ó circunferencia
(secciones cónicas). Sin embargo el problema los tres cuerpos no tiene solución, sólo
aproximaciones. Esto afirma que el hecho que las órbitas de los planetas se asemejen a una
elipse. Sin embargo, los planetas son nueve. El problema de tres cuerpos no tiene solución,
menos el de nueve planetas.
Por mediciones más cuidadosas de la órbita de mercurio. se comprobó que la teoría
Gravitacional no daba cuenta de un hecho observable: la precesión del eje mayor de la órbita de
mercurio. Sólo una nueva teoría, sobre la base de nuevas hipótesis pudo explicar este observable:
La Teoría de la Relatividad General. Esta teoría aun se sigue vigente y se está probando.
Esto muestra el cambio en los modelos sobre la naturaleza, por mediciones de fenómenos o
por relaciones entre variables que sirven para dilucidar esta dependencia.
En el laboratorio, no es un evento repetitivo donde se debe llenar una tabla de valores y ver
que los resultados se asemejan a lo esperado. Es eso y más. Es encontrar relaciones y dilucidar
y/o comprobar modelos y/o teorías que rigen los fenómenos. Contrastar la naturaleza con el
pensamiento lógico y deductivo.
El laboratorio pretender dar herramientas de análisis experimental, para comprender los
fenómenos que se estudian dentro de los márgenes de error que se comenten. No todo lo que está
escrito en los libros es fácil de comprobar y ni de montar experimentalmente. Medir la aceleración
de gravedad con dos cifras decimales seguras en mas complicado de lo que se cree.
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Planetas principales
Notas: Una distancia de 1 unidad astronómica (UA) equivale a unos 150 millones de km. Un
círculo tiene una excentricidad de 0,0 y una parábola 1,0. La inclinación de una órbita
planetaria se mide con respecto al plano de la órbita de la Tierra. La masa de la Tierra es de
5,98 x 1027 g, su radio medio es de 6.371 km y su campo magnético es de 0,31 gauss. La
rotación de Venus (*) es retrógrada; los periodos de rotación de Júpiter (†) y Saturno (**)
varían con la latitud, pero la rotación del interior se puede medir observando la radioemisión y
se refleja aquí.
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Sistema de medida
En las ciencias experimentales, se debe actuar con los fenómenos a los cuales se estudia y
conocer la dependencia de las variables involucradas. El problema está es saber si mis resultados
obtenidos son los mismos o distintos de los resultados de otro experimentador. Para poder
comparar dos medidas del mismo fenómeno, es distinto tiempo y espacio, se debe llegar a un
acuerdo en relación de tener una referencia acordada y que todas las medidas estén basadas en
esta referencia. Esta referencia se llama patrón.
Se definió así, un patrón para la longitud, para la masa, la fuerza, el tiempo, luminiscencia.
Todas posibles de comparar. Con esta definición de patrón podemos definir que es medir.
Medir: “Comparar cuantas veces cabe una la magnitud con respecto al patrón”
Entonces debemos estar de acuerdo en los patrones. En la conferencia de 1960 se
definieron los patrones para seis unidades fundamentales y dos unidades complementarias; en
1971 se añadió una séptima unidad fundamental, el mol. A continuación se definen las unidades
bases del sistema de Unidades:
1 Metro: El metro es el largo del paso de la luz en el vacío durante un intervalo de tiempo de
1/299792458 de un segundo
1 Kilogramo: Se define al fijar el valor numérico de la constante de Planck h, como 6.626 070
15 x 10-34
expresado en J·s (julios por segundo), unidad igual a kg·m²·s-1.
1 segundo: El segundo es la duración de 9192631770 periodos de radiación correspondiente a
la transición entre dos estado hiperfinos del estado basal del átomo Cs133
1 Ampere: El Ampere es la corriente constante el cual, mantenido en dos conductores
paralelos de largo infinito, de sección circular despreciable y puesta a un metro en el vacío,
producirán una fuerza igual a 2x10-7
newton por metros de largo
1 Kelvin: El Kelvin, unidad termodinámica de temperatura, es la fracción 1/273.16 de la
temperatura termodinámica del punto triple del agua.
1 Mole: El mole es la cantidad de sustancia de un sistema como muchas entidades
elementales como hay átomos en 0.012 Kilogramos de carbono 12. Cuando el mol es usado, las
entidades elementales deben ser especificadas y pueden ser: átomos, moléculas, iones,
electrones, otras partículas o grupo de tales partículas.
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La siguiente tabla presenta la simbología usado para identificar estas unidades:
Tabla 1: Unidades del Sistema MKS
Cantidad Física Nombre de la Unidad (SI) Símbolo de la Unidad (SI)
Largo Metro m
masa Kilogramo kg
tiempo Segundo s
Corriente eléctrica Amperios A
Temperatura termodinámica Kelvin K
Cantidad de Sustancia mole mol
Intensidad Luminica candela cd
Existe además unidades derivadas con nombres especiales y símbolos. Esta se presenta en
la siguiente tabla:
Tabla 2: Unidades derivadas
Cantidad Física Nombre en el SI Símbolo en el SI Expresión en el
sistema SI, en
unidades bases
Frecuencia3
Hertz Hz s-1
Fuerza Newton N mkgrs-2
Presión Pascal Pa Nm-2
=m-1
kgs-2
Energía, Trabajo,
Calor
Joule J Nm=m 2
kg s -2
Potencia, flujo radiante Watt W Js-1
=m2
kgr s-3
Carga eléctrica Coulomb C As
Potencial eléctrico,
fuerza electromotriz
Volt V JC-1
Resistencia eléctrica Ohm  VA-1
Conductancia Eléctrica Siemens S -1
Densidad de flujo
magnético
Tesla T Vsm-2
Flujo magnético Weber Wb Vs
Inductancia Henry H VA-1
s
Temperatura Celcius4
Grados celcius ºC K
Flujo lumínico Lumen lm cd sr
Iluminancia Lux lx cd sr m-2
Actividad Becquerel Bq s-1
Dosis absorbida
(radiación)
Gray Gy J kg -1
Dosis equivalente Sievert Sv J kg-1
Angulo planar Radianes rad 1
Angulo sólido Steradian sr 1
Como se ve en la tabla2 todas las unidades se definen a partir de las básicas. Así, un
amstrong (1 A) en el sistema internacional equivale a 10-12
m. Existe varios sistemas de unidades,
3
Para frecuencia radial y para velocidad angular la unidad rad s-1
, o simplemente s-1
, es usada y simplificada a
Hz. La unidad Hz deberá ser usada para frecuencias de ciclos por segundo.
4
La temperatura celcius está definido por la ecuación:
Tc/ºC=T/K-273.15
El sistema internacional, los intervalos de la temperatura celcius es el grado celcius, ºC, el cual es igual al
intervalo de a temperatura Kelvin. K.
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pero en general se trabaja con el sistema Internacional (SI). Todas las unidades restantes la puede
ver en las tablas anexas a este capítulo.
Existe además una convención respecto a los prefijos del Sistema Internacional. Estos se
resumen en la siguiente tabla
Tabla 3: Prefijo del sistema internacional
Factor Prefijo Símbolo Factor Prefijo símbolo
1024
yotta Y 10-1
deci d
1021
zetta Z 10-2
centi c
1018
exa E 10-3
mili m
1015
peta P 10-6
micro 
1012
Tera T 10-9
nano n
108
giga G 10-12
pico p
106
mega M 10-15
femto f
103
kilo k 10-18
atto a
102
hecto h 10-21
zepto z
101
deka da 10-24
yocto y
Estos prefijos se usan antes de la unidad. Un ejemplo es:
1 cm3
= 10-6
m3
= 1 m3
Es importante tener presente el valor de algunas constantes físicas en el sistema Internacional
de Unidades. Estas constantes, símbolos y valor se presentan en la siguiente tabla:
Tabla 4: Valores de constante en el sistema Internacional
Cantidad Física Nombre de constante símbolo Valor y unidades en el
SI
Masa Masa del electrón me me9.1095x10-31
kg
Carga Carga elemental e e1.6022x10-19
C
Acción Constante de Plank/2 h 1.0546x10-34
Js
Largo bohr a0 5.2918x10-11
m
Energía hartree Eh 4.3598x10-18
J
Velocidad luz c 2.99792458x108
m/s
Masa Unidad de masa
unificada uma
u 1.66540x10-27
kgr
Masa protón mp 1.672623x10-27
kg
Masa neutrón mn 1.674929x10-27
kg
Constante Constante
Gravitacional
G 6.6726x10-11 Nm2
/kg2
Constante Constante de los
Gases ideales
R 8.31451 J/mol*K
Constante Boltzmann k 1.380658x10-23
J/K
Existen además otras unidades muy usadas pero no del sistema Internacional, como la
caloría. La equivalencia entre caloría y Joule es la siguiente:
1 cal (termodinámica)=4.184 J
Si necesita conocer mas equivalencias puede ver en el apéndice.
En la siguiente tabla de conversaciones se entrega las equivalencia entre las unidades de
longitud, Masa, Tiempo, Volumen, ángulo, Rapidez, Fuerza, Energía, Presión y potencia
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Longitud
1 m= 100 cm = 106
m = 109
nm = 3.281 ft =39..7 in
1 km = 1000 m = 0.6214 mi
1 cm = 0.3937 in
1 ft = 30.48 cm
1 yd = 91.44 cm
1 mi = 5280 ft = 1.609 km
1 A = 10 –10
m = 10-8
cm = 10 -1
nm
1 milla náutica = 6080 ft
1 año luz = 9.461 x1015
m
Area
1 cm2
= 0.155 in2
1 m2
= 104 cm2
=10.76 ft2
1 in2
= 6.452 cm2
1 ft2
= 144 in2
=0.0929 m2
Volumen
1 litro = 1000 cm3
=10-3
m3
= 0.03531 ft3
=61.02 in3
1 ft3
= 0.02832 m3
=28.32 litros = 7.1477 galones
1 galón = 3.788 litros
Tiempo
1 min = 60 s
1 h = 3600 s
1 d (dia)= 86400 s
1 año = 365.24 d = 3.156x 107 s
Angulo
1 rad = 57.30°=180°/
1° = 0.01745 rad = /180 rad
1 revolución = 360°= 2 rad
1 rev/min (rpm)= 0.1047 rad/s
Rapidez
1m/s = 3.281 ft/s
1 ft/s = 0.3048 m/s
1 mi/min = 60 mi/h = 88ft/s
1 km/h = 0.2778 m/s =0.6214 mi/h
1 mi/h = 1.466 ft/s = 0.4470 m/s = 1.609 km/h
1 estadio5
/quicena=1.662x10-4
m/s
Aceleración
1 m/s2
= 100 cn/s2
= 3.281 ft/s2
1 cm/s2
=0.01 m/s2
=0.03281 ft/s2
1 ft/s2
= 0.3048 m/s2
=30.48 cm/s2
1 mi/h s = 1.467 ft/s2
Masa
1 kg= 1000 g = 0.0685 slug
1 g = 6.85x10-5
slug
1 slug =14.59 kg
1 u = 1.661 x10-27
kg
1 kg tiene un peso de 2.205 lb cuando g=9.80 m/s2
. El peso es P=mg y es una fuerza
5
Estadio: medida de 201 m
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Fuerza
1 N = 105
din =0.2248 lb
1 lb = 4.448 N =4.448 x105
din
Presión
1 Pa = 1 N/m2
= 1.451x10-4 lb/in2
=0.209 lb/ft2
1 bar = 105
Pa
1 lb/in2
=6891 Pa
1 lb/ft2
=47.85 Pa
1 atm = 1.013x105
Pa =1.013 bar =14.7 ln/in2
=2117 lb/ft2
1 mm de Hg = 1 torr =133.3 Pa
Energía
1 J= 107
erg=0.239 cal
1 cal = 4.186 J
1 ft lb= 1.356 J
1 Btu ) 1055 J = 252 cal = 778 ft lb
1 eV =1.602 x10-19
J
1 Kwh=3.600x106
J
Equivalencia de masa y energía (E=mc2
)
1 kg <-> 8.988x1016
J
1 u <-> 931.5 MeV
1 eV <-> 1.074x10-9
u
Potencia
1 W = 1 J/s
1 hp = 746 W = 550 ft lb/s
1 Btu/h = 0.293 W
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Teoría de Errores
Cuando se informa los resultados de un experimento, la información numérica debe ir
acompañado de un error, o incentidumbre asociado al valor informado. Supongamos que
queremos medir el diámetro de un lápiz. Tomamos una regla y leemos la siguiente lectura del
instrumento:
3.2 cm
Midamos el mismo diámetro pero con el pie de metro. La lectura que se lee del instrumento es:
3.197 cm
Observe como un mismo objeto, con instrumento distinto, da diferentes resultados. Se observa
una cantidad distinta de números (decimales). En este ejemplo, una cifra coincide. La medición del
pie de metro tiene mas decimales que el obtenido por la regla. El pie de metro entrega mas
información que la regla, tiene mas cifras como resultados. Pero, ¿Porqué? Esto es debido a que
los instrumentos tienen distinta precisión. Precisión: El número de dígitos que un instrumento
puede asegurar en la medida.. Según esta definición el pie de metro tiene mayor precisión. Sin
embargo, un instrumento puede ser preciso, pero no exacto. Exactitud: Se dice que un
instrumento es más exacto en la medida que se acerque al valor real. Entonces para que un
instrumento de buena calidad debe ser exacto y preciso.
Experimentalmente un instrumento nunca va dar el valor real, aunque puede tener una muy
buena precisión y exactitud. Suponiendo que un instrumento tenga buena exactitud, existe un
rango en la medición en que contiene el valor real
En el diagrama, el límite del objeto está entre dos graduaciones del instrumento. De la lectura
directa, nos damos cuenta que una línea está mas cerca, pero no sabemos que tan cerca. Así,
decimos que existe un intervalo de incerteza. Todo instrumento tiene esta región donde no
podemos asegurar que lectura corresponde. Un instrumento es mas preciso que otro, cuando esta
incerteza es menor.
Para expresar esta incerteza hablaremos de un error asociado al instrumento.Así, definiamos el
error instrumental como:
Error Instrumental: Es la mitad de la mínima medida que puede asegurar.
Así, una regla que está graduada en milímetros tiene un error asociado de 0.5 mm.
La notación de una lectura con error es de la siguiente, forma
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Intervalo de incerteza

aa
donde a es la lectura del instrumento y a es el error asociado.
Si medimos con la regla graduada en milímetros el grosor de un lápiz, la lectura es:
a=0.60 cm
y el error asociado es a=0.05 cm.
Luego, se anota como:
(0.600.05)cm
Esta notación nos dice que el valor real está contenido entre 0.65 cm y 0.55 cm. A a lo
llamaremos error absoluto a cualquier error asociado a un valor. En el ejemplo el error absoluto
es de 0.05 cm.
Definamos el error relativo como el cociente entre el error asociado a la lectura y la lectura.
En el ejemplo, el error relativo es de:
a/a=0.083
Este tipo de error es muy útil. Nos da información de que tan grande es el error con respecto
a la lectura. Este es un buen criterio para tener en cuenta cuando queremos tener resultados
no mayores que cierta variación. Definamos un error complementario al anterior, error
porcentual: Es el error relativo multiplicado por 100.
Este error nos da información del tanto por ciento de error respecto a la lectura. Es equivalente
al error relativo. Calculemos el error porcentual en el ejemplo.
a/a*100=8.33%
Supongamos por un instante que conocemos una medida real de un objeto. Medimos el objeto
varias veces y nos da una lectura distinta del real. Obviamente estamos cometiendo un error. Este
tipo de error que se presenta repetitivamente se llama error sistemático. Este tipo de error
depende mucho del diseño experimental y del procedimiento para obtener los resultados.
Es necesario minimizar este error, previendo todos errores sistemáticos que pueden interferir en
la lectura, como la descalibración del instrumento, las mediciones no se tomaron a la temperatura
adecuada.
Se nos pide obtener el tiempo de caída de un objeto desde un metro de altura. Usaremos
para este propósito un cronómetro graduado hasta la centésima de segundo (el instrumento puede
asegurar dos decimales)
Procedemos a medir el tiempo dando los siguientes valores:
Datos de tiempos obtenidos de la caída
T=(0.56,0.52,0.52,0.54,0.53,0.51,0.50,0.52,0.53,0.51,0.52,0.53,0.54,0.58,0.52,0.51)
Como se observa de los datos, no existe un único valor para la medida, aunque el cronómetro
esté graduado en centésima de segundos.
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Estos errores se deben a factores difíciles de controlar, como es el tiempo de reacción humano
Calculemos el histograma de los datos en intervalos de 0.01.
Como observamos en el gráfico, no existe un único valor. La dispersión de los datos es mayor que
el error del instrumento. No podemos asociar el error instrumenta ala medición.¿Qué valor debo
tomar como verdadero? y ¿qué error le asocio?
He aquí que debemos usar cierto modelos estadísticos: La distribución normal y la distribución
de Poisson.
Distribución Normal o de Gauss
Supongamos que obtenemos un gran número de medidas de un determinado evento (100 datos)
En el histograma se observa una dispersión en torno a un número (Figura 1).
Claramente, se ve en el gráfico un número de veces de medidas que predomina y una dispersión.
Se observa una distribución equilibrada de las medidas en torno al máximo de frecuencias.
Cuando la distribución corresponde a una normal, tomamos como la medida el promedio de los
valores como el representante de toda la muestra. En este caso, el valor es:
m=
∑
i
if (i)
∑
i
f (i)
=3.04625
Si suponemos una distribución del tipo normal, la desviación estándar nos da información del
intervalo en donde está contenido el 70% de los valores. Calculemos la desviación estándar de
esta muestra.
s=
√ 1
N
∑i
(x̄−xi)
2
=2.212
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Gratifiquemos la distribución normal sobre la distribución de los datos.
La distribución normal está dada por:
N (t )=50∗e
−
(m−t )2
2 s
La distribución ajustada obedece bien a la distribución de puntos. El valor medio de este conjunto
de datos es:
t=3.0  2.2
El error absoluto está dado por 2.2. El error relativo en este caso es:
s
m
=0.733
Obviamente, según lo discutido anteriormente, el error que se tiene es muy grande. Es necesario
mejorar la forma de obtener los datos para poder disminuir la dispersión, que hace que aumente el
error
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Figura 1. Histograma de distribución de los datos.

Algebra de Errores
Uno de los aspectos importantes en el tratamiento de los errores, es saber como debemos
operar aritmeticamente. Supongamos que queremos conocer el largo de un objeto, y no se puede
medir de una sola, ves, sino en dos tramos. Obviamente, la suma de las lecturas corresponde al
largo del objeto. Sin embargo, al usar mas de una ves el instrumento, el error se acumula. Esto se
debe a que la incerteza de cada medida se suma con la medida siguiente. Al restar dos medidas,
los errores no se restan, se suman; se dice que los errores se propagan , la incerteza crece. Por
tanto es ilógico pensar que si un instrumento tiene un error de a, al restar va generar un error
menor que del propio instrumento. Cada ves que haga una operación con errores, el error
resultante de la operación debió haber crecido con respecto a los errores relativos anteriores.
Definamos las operaciones de los errores:
Sean aa y bb, lecturas con sus errores (Tipo 1).
 Suma
(aa) +( bb)=(a+b) (a+b)
 Resta
(aa) -( bb)=(a-b) (a+b)
Nótese que los errores se suman y las lecturas de las medidas se restan.
 Multiplicación
(aa) *( bb)=(a*b) (a*b(a/a+b/b))
Fíjese, que el error es el producto de la suma de errores relativos con el producto a*b
 División
(aa)/( bb)=(a/b) (a/b(a/a+b/b))
con b0. Nuevamente, el error asociado a la división es el producto de la suma de los
errores relativos con el resultado de la división.
Existen también otro criterio operaciones de errores con el álgebra (Tipo 2).
Si tenemos dos mediciones (aa) y( bb) , las operaciones se definen de la forma
• Suma a±Δa+b±Δb=a+b±√Δa
2
+Δb
2
• Resta a±Δa−b±Δb=a−b±√Δa2
+Δb2
• Multiplicación (a±Δa)(b±Δb)=ab±ab
√(
Δa
a
)
2
+(
Δb
b
)
2
• División a±Δa
b±Δb
=
a
b
±
a
b √(
Δa
a
)
2
+(
Δb
b
)
2
, con b≠0.
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Algebra de errores Tipo 2
a Δa
1 0,1
b Δb
2 0,05
Operación Resultado Error Error Relativo Error Porcentual
a+b 3 0,1030776406 0,03435921355
A-b -1 0,1030776406 0,10307764064
a*b 2 0,2061552813 0,10307764064
a/b 0,5 0,0515388203 0,10307764064
3,44 %
10,31 %
10,31 %
10,31 %
Algebra de errores Tipo 1
a Δa
1 0,1
b Δb
2 0,05
Operación Resultado Error Error Relativo Error Porcentual
a+b 3 0,15 0,05
A-b -1 0,15 0,15
a*b 2 0,25 0,125
a/b 0,5 0,0625 0,125
5,00 %
15,00 %
12,50 %
12,50 %

Errores asociado a funciones
Esto define las operaciones básicas en el álgebra de los errores. Sin embargo, ¿qué haríamos
si tenemos que evaluar una función con una cifra que tiene un error? Supongamos que tenemos
una función f(x), analítica y una medida aa. Al evaluar la función nos quedará:
f(aa)
Y esto, ¿qué quiere decir? En realidad esto es solo una notación. Para señalar que la evaluación
de la función debe llevar un error asociado. Entonces, ¿cómo calculamos el error?
En términos experimentales, podemos pensar que a es pequeño comparado con a. Si es así,
podemos hacer una expansión de Taylor de la función f(x), en torno al punto a y usando un
diferencial a. La expresión nos queda como:
f(aa)=f(a) a|f’(a)|
No se expandió con mas términos, debido a que los términos superiores de la serie son pequeños
en relación al primero. El error asociado a la función en el punto f(aa) es af’(a) (f’(a), es la
derivada en el punto en a).
Veamos un ejemplo:
Sea f(x)=x3
. Se quiere evaluar en el punto 1.20.2.
f(1.20.2)=1.23
0.2*3*(1.2)2
=1.7280.864=1.70.96
Sea f(x)=sin(x). Evaluemos en el punto 1.20.2
f(1.2 0.2)=sin(1.2 0.2)=sin(1.2)+0.2*cos(1.2)=0.02 0.02
En el caso de una función de varias variables, el error asociado a tal cantidad se asocia de la
siguiente forma: El error de la función f(x1,x2,x3,..,xn) será
Δ f =∑Δ xi|
∂ f
∂ xi
|
Esta fórmula es consecuencia de la expansión de Taylor hasta un primer orden de una función de
varias variables.
Veamos un ejemplo:
Sea f(x,y)=x2
sin(y), evaluado en el punto (x,y)=(2.00.2,3.140.05)
f(2.00.2,3.140.05)=2.02
*sin(3.14)(0.2*2*2.0*sin(3.14)+0.05*2.02
|cos(3.14)|)
f(2.00.2,3.140.05)=0.006370.2=0.00.2*
En caso de las constantes numéricas, estas no llevan error para efectos del calculo. Sólo se
recomienda que se tomen dos dígitos mas que el primer dígito afectado por el error. Por ejemplo,
multipliquemos 2.010.03 por . En este caso,  se toma con los siguientes dígitos 3.1416. Al
multiplicar por una constante se multiplica la lectura y el error:
3.1416*2.013.1416*0.03=6.3146160.094248=6.310.09*
6
Criterio de aproximación. Ver siguiente página
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x Δx
rad 2 ± 1
F(x) F(x) ΔF Error Relativo Error Porcentual
cos( 2 ± 1 )= -0,4161 ± 0,4546 1,0925
sin( 2 ± 2 )= 0,9093 ± 0,2081 0,2288
tan( 2 ± 1 )= -2,1850 ± 1,2015 0,5499
exp( 2 ± 2 )= 7,3891 ± 14,7781 2,0000
ln( 2 ± 1 )= 0,6931 ± 0,2500 0,3607
log( 2 ± 2 )= 0,3010 ± 0,2500 0,8305
raiz( 2 ± 1 )= 1,4142 ± 0,1768 0,1250
109,25 %
22,88 %
54,99 %
200,00 %
36,07 %
83,05 %
12,50 %

Criterio de Aproximación
En el calculo con errores, vemos que los errores asociado afectan a una cifra dentro de la
lectura. Veamos en un ejemplo:
Se tiene la siguiente medición
3.0120.002 pies
Nótese que el error 0.002 afecta sólo al 2 de la cifra, las restantes se dicen que son seguras, se
dicen que son las cifras significativas. La variabilidad va estar en la cifra que afecta el error (desde
3.010 a 3.014).
Supongamos ahora, que efectuamos un cálculo y se obtiene el siguiente resultado:
3.01141160.0007687
Tal como está escrito la cifra y su error, no corresponde. El número que está afectado en la
cifra es el 4. Los decimales restantes (1,1 y el 6) no contribuyen las cifras significativas. Del
mismo modo los decimales de mas allá del 7 en el error, tampoco contribuye a la cifra, es mas
estas cifras no contribuyen a la interpretación. Entonces, el criterio usado, es aproximar la medida
hasta el número que esta afectado por el error: En este caso el 4. Si el número siguiente del cuatro
está cercano a cambiar el dígito (5 a) el cuatro se aproxima a 5, en caso contrario, el 4 sobrevive.
En el ejemplo, el decimal siguiente es 1. Luego, la cifra es 3.0114. el error se aproxima hasta el
primer decimal distinto de cero. En este caso el 7. El número siguiente está mas cercano a 9; el
error se aproxima a 8. La cifra queda:
3.01140.0008
En el caso que cualquiera de las dos cifras termine en cinco, se plica el siguiente criterio:
 Si el número anterior al cinco es par, se redondea a la cifra siguiente (45 a 50)
 Si el número anterior es impar, se redondea a la cifra anterior (35 a 30)
La fundamentación es que existe una igual probabilidad de número pares e impares anteriores
al digito 5. (Obviamente el error debe afectar a la cifra anterior al 5). Entonces, subirá una cantidad
igual a la que bajará.
3.150.1=3.00.1 (Impar)
3.250.1=3.30.1 (Par)
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Presentación Gráfica
Uno de los aspectos importantes de una discusión de los resultados es vislumbrar la relación
que existe entre las variables. Un método de encontrar la relación empírica de estas variables es
por medio de un gráfico. Se confeccionan gráficos que permitan la visualizar directamente
tendencias que siguen dichas variables y, por medio de un tratamiento matemático, obtener la ley
o ecuación que las relaciona.
Confección de un gráfico
Para elaborar un gráfico es necesario tener presente los siguientes aspectos:
1. Se deben seleccionar las escalas de los ejes es decir, se gradúan en intervalos de tal
manera que se ocupe la hoja o parte de ella, evitando que la gráfica quede reducida a
una pequeña porción de esta.
2. En el extremo final de cada eje se coloca el símbolo o nombre de la magnitud física
representada y el factor que podría amplificar las unidades de medida
correspondientes.
3. En el eje vertical va siempre la variable dependiente y en el horizontal, la
independiente.
4. Todo gráfica debe llevar un título claro, breve y con una referencia a la tabla de la que
provienen los datos. Junto al gráfico, no deben ir, ni cálculos, ni tablas, ni fórmulas.
5. Los puntos que representan los datos deben ser notorios. Estos pueden ser
simbolizados por puntos negros (), cruces (), u otros símbolos (). En algunas
circunstancias, estos puntos deben ir con los errores para mostrar la relevancia de los
errores en la interpretación de los resultados.
6. La unión de los puntos se hacen por medio de una curva suave y continua (sin
cambios repentinos de pendientes) que se adapte lo mejor posible al conjunto de
puntos.
Observemos un gráfico de este tipo.
Nótese la disposición de los da la curva teórica.
Las graduaciones son muy importantes, permiten ver el rango de los datos. Nótese, no se
trazan líneas desde las ordenadas (x) y las coordenadas (y) al punto.
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Veamos un gráfico en donde los errores están graficados:
Cómo vemos en el gráfico, los errores son bastante apreciables. Se pueden trazar varios
tipos de curva que representen al conjunto de puntos y que están dentro de los errores.
Búsqueda de la relación funcional entre variables
Uno de los propósitos de confeccionar un gráfico de datos experimentales es para
encontrar la relación que existe entre dos variables. Es necesario partir de ciertos
supuestos:
 Dicha relación funcional existe
 Dicha relación se manifiesta en los datos experimentales obtenidos
 Dicha relación puede ser llevada, a través de manipulación matemática, a una relación
lineal que nos permitirá obtener los parámetros de la relación funcional buscada (Este
proceso se llama rectificación).
Los dos primeros supuestos son necesarios para que tenga sentido nuestro análisis, el
tercero es más discutible y se aceptará en lo que sigue, pues se cumple para la mayoría de
las experiencias que estudiaremos.
Para hallar la relación debemos proceder de la siguiente forma:
1. Primero se mide y se confecciona una tabla de datos.
2. Se procede a graficar los datos obtenidos. El comportamiento del conjunto de puntos puede
representar:
2.1. Una relación lineal (Una recta)
2.2. Una relación no lineal (Una curva)
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3. En el caso en que la relación obtenida sea una relación no lineal, se rectifica hasta obtener
una relación lineal (línea recta) entre las variables. Rectificar es el proceso de llevar una
relación no lineal a una lineal , operando el dominio y/o el conjunto imagen.
4. Sabemos ahora que la relación que muestra la gráfica es una recta y por tanto podemos
calcular las constantes o parámetros de dicha recta y encontrar la ecuación.
5. Se interpreta el valor de las constantes encontradas en términos de la física del problema.
6. Invertir el proceso de rectificación a fin de expresar la variable dependiente en términos de las
independientes.
Veamos un ejemplo explicado en los puntos previos
Relación Lineal:
Supongamos que obtenemos el siguiente conjunto
de datos de un experimento
Tabla 5: Flujo de agua a través de un tubo
Gradiente de Presión
(N m-3
)
Velocidad promedio
(mm seg –1
)
7.8 35
15.6 65
23.4 78
31.3 126
39.0 142
46.9 171
54.7 194
Elaboremos un gráfico con estos datos:
Cómo observamos, el conjunto de
puntos tiene una tendencia de comportamiento lineal
(una línea recta). Entonces se deben calcular los valores
de los parámetros de la recta Y(x)=mx+n, donde m y n
son los parámetros.
Relación no lineal
Tenemos el siguiente conjunto de datos de Voltaje de
una ampolleta en función de la corriente
Tabla 6: Voltaje de una ampolleta en función
de la corriente
Voltaje Ampere
0 0
0.25 5
1.00 10
2.25 15
4.00 20
6.25 25
8.56 30
Cómo se ve en el gráfico Voltaje v/s corriente, es una relación no lineal. Debemos llevar la
relación entre los puntos a una relación lineal. En este caso, por conocimiento previo, podemos
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elevar al cuadrado los valores de la corriente I, y graficar el voltaje v/s la corriente al cuadrado.
Esto genera una línea recta. También se puede graficar la raíz cuadrada del voltaje v/s corriente.
Estas son forma de llevar una relación no lineal a una lineal. Enseguida el problema se basa
en poder calcular los parámetros m y n de la ecuación de la recta. Este procedimiento lo
estudiaremos enseguida.
Calculo de los parámetros de la Recta Y=mx+n
Cómo sabemos existen las relaciones lineales, que se rigen por la ecuación Y=mx+n. el
problema es conocer los valores de m y n a partir de los datos experimentales. Para este propósito
existen tres métodos básicos
1. El método gráfico
2. El método de los promedios
3. El método de la regresión lineal o mínimos cuadrados.
Todos estos métodos buscan conocer los valores de m y n. Sin embargo, los valores de
estos presentan variaciones dependiendo del procedimiento empleado. Veamos un
ejemplo:
Supongamos que tenemos la siguiente tabla de valores:
Tabla 7: Temperatura del agua en función del tiempo, al calentarse en la llama.
Tiempo (seg) Temperatura (ºC)
1.0 20.0
1.5 22.5
2.0 25.0
3.0 30.0
5.0 40.0
6.0 44.8
7.0 51.0
El gráfico1 que se obtiene es:
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Grafico 1

Cómo se observa en el gráfico tiene un comportamiento lineal. La ecuación en este caso es:
T=mt+n, donde T es la temperatura y t, el tiempo. Calculemos los valores de m y n por los distintos
métodos:
1.-Método gráfico
El método gráfico depende fuertemente de la apreciación del observador. En el método, se traza
“la mejor recta “ que represente al conjunto de puntos. Una vez trazada la recta, se leen dos
pares de puntos, que sean distante uno del otro y se procede a calcular la pendiente m.
Sea el punto A=(1.0,20.0) y el punto B=(4,35). La pendiente está dado por:
m=
y2− y1
x2−x1
=
(35−20)ºC
(4−1)seg
=5
ºC
seg
Nótese que la pendiente tiene unidades. Para calcular n, podemos tomar un A ó B u otro
punto de la recta y despejar n. Así, n queda con la expresión:
n= y−mx=35−5∗4=15ºC
Luego la ecuación que rige este comportamiento es:
T=5*t+15 (ºC)
2.-Método de los promedios
Esencialmente se resuelve un sistema de ecuaciones n variable con n ecuaciones. En este caso,
son dos la variables a conocer: m y n. Para generar los dos sistema de ecuaciones, podemos
agrupar los datos en dos conjuntos. Cada conjunto debe cumplir con la condición:
yi=mxi+m
Tomemos el primer grupo de ecuaciones:
20.0=m*1.0+n
22.5=1.5*m+n
25=2.0*m+n
La suma da:
67.5=4.5*m+3n
El segundo grupo:
40=5*m+n
44.8=6*m+n
51.0=7*m+n
La suma da:
135.8=18*m+3n
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Tenemos el sistema de ecuaciones:
67.5=4.5*m+3n
135.8=18*m+3n
Al restar las ecuaciones y despejar m, nos da un valor de m=5.059 ºC/seg. Y la constante
n=14.85 ºC. La ecuación de la recta queda de la forma:
T=5.059t+14.85 ºC
3.-Método de los Mínimos cuadrados.
Este es uno de los mejores métodos numéricos para encontrar las incógnitas de la recta,
en base de los datos. Este método se basa en la siguiente definición:
La mejor curva de ajuste de todas las curvas de aproximación a una serie de datos
experimentales es la que hace mínima la suma de los cuadrados de las desviaciones de la curva.
Definamos las desviaciones. Las anotamos como Di=yi-f(xi). Para una recta f(x)=mx+n.
Definamos una cantidad que es siempre mayor o igual a cero, S como:
S=∑
i=0
N
Di
2
donde N, es el número de pares de dato. La idea básica es hacer este número mínimo. Para esto
se minimiza con respecto a m y n, de tal modo que sea igual 0; esto es:
∂S
∂m
=0 y
∂ S
∂ n
=0
Despejando del sistema de ecuaciones los valores de m y n, obtenemos las siguientes
expresiones:
m=
(∑
i
xi )(∑
i
yi )−N (∑
i
xi yi )
D
y
donde D es igual a:
D=(∑
i
xi )2
−N (∑
i
xi
2
)
Con estos resultados podemos calcular los valores de m y n. En este caso nos da m=5.09
.0.06 ºC/seg. y n=14.80.3 ºC. Sin embargo, existe otro parámetro que entrega este método,
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que nos dice que tan buena es la recta con respecto al conjunto de puntos. Este parámetro se
llama el factor de correlación y lo anotaremos con la R. La expresión de R es:
R=m
σx
σ y
donde x y y están dados por las desviaciones estándares de cada variable. El módulo de R
siempre está contenido entre 0 y 1; pero se dice que una recta describe bien los puntos cuando R
es mayor que 0.9 (R>0.9). En el caso de la recta calculada con los datos nos dio: R=0.999595307.
Este método numérico está incorporado a la mayoría de las calculadoras científicas. En estas viene
bajo el nombre de LN (Linear Regreation) y entregan como resultados la pendiente, la constante y
el factor de correlación entre otros.
En una tabla resumen se presenta los resultados obtenidos por cada método:
Tabla 8 Resultados de pendiente y constante de la recta con los distintos métodos
Método Gráfico Promedio Mínimos cuadrados
M 5.00 5.06 5.09
N 15.0 14.85 14.80
. Cada método tiene una ventaja y una desventaja:
El método gráfico, se aplica básicamente para obtener un resultado rápido de una serie
de mediciones y probar que el procedimiento empleado está bien encaminado. Sin embargo, el
resultado que entrega, no es muy confiable numéricamente, ya que toma solo dos puntos del
conjunto.
El método de los promedios, es un mejor método que el anterior, ya que toma todos los
puntos de los datos obtenidos. Sin embargo, este método necesita de un conjunto de datos, que se
puedan agrupar (sobre 8) para lograr un resultado satisfactorio. Es un buen método, pero no
suficiente.
El método de los mínimos cuadrados (regresión lineal), es el mejor método de los tres.
Calcula los parámetros usando todos los puntos del conjunto de datos por un procedimiento en
donde encuentra la mejor recta posible. Los valores de m y n son los óptimos. Además, el
parámetro R nos indica que tan buena es esta recta para el conjunto. Cualquier conjunto se puede
ajustar una recta, aunque no se comporte como tal. Este índice diferencia este punto.
Veamos en un gráfico 2 las rectas calculadas y los datos.
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Cómo podemos observar, los ajustes siguen las tendencias de los datos. Esto debido a
que los resultados obtenidos están cercanos. En este ejemplo el conjunto de punto tenía un
comportamiento muy lineal.
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Grafico 2

Gráficos no lineales
Veamos fenómenos no lineales. Para encontrar la relación entre las variables en un gráfico no
lineal, debemos rectificar. Para rectificar debemos basarnos en parte en la experiencia personal en
el tratamiento de los datos y en la teoría del problema. Supongamos que tenemos la siguiente
tablas de datos de un experimento del estudio del periodo un péndulo simple con respecto de su
largo.
Tabla 9: Periodo v/s el largo de un péndulo simple
Periodo (seg) Largo (m)
0.238 0.02
0.634 0.10
0.777 0.15
0.898 0.20
1.00 0.25
1.10 0.30
1.27 0.40
1.42 0.50
Al graficar los datos de la tabla, se observa el siguiente comportamiento:
Este no es un comportamiento lineal. Sin embargo, queremos que al operar sobre los datos
(Periodo y/o largo) tenga una comportamiento lineal. Sabemos que la teoría del problema señala
que el periodo de un péndulo es: T =2π
√ l
g
[1], donde l es el largo del péndulo; g, la
aceleración de gravedad y T, el periodo. Según esta ecuación [1], si elevamos al cuadrado la
igualdad, obtenemos una relación lineal entre el cuadrado del péndulo y el largo de este. Esta
relación es: T 2
=4π2 l
g
. Observemos el nuevo gráfico 4.
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Grafico 3
L,Largo del péndulo
g

Observe el comportamiento es lineal. Es esta situación podemos aplicar los métodos de ajuste a
una recta. Sin embargo, no es el único proceso de rectificado. Supongamos que graficamos los
logaritmos de ambas variables.
Observe que también tiene un comportamiento lineal. Sin embargo, el rectificado se efectuó de
forma distinta. Ambos casos se pueden aplicar los métodos de ajuste de la recta, pero la diferencia
va a estar en la interpretación de los valores de la pendiente y la constante.
En el primer caso, la pendiente da un valor equivalente a: y la constante debiera
tener un valor de 0. Sin embrago, lo más probable es que sea distinto, por la dispersión de los
datos. Se debería esperar un valor Cercano.
En el segundo caso, al aplicar la función logaritmo a ambos lados de la ecuación nos da la
siguiente igualdad: Ln(T )=Ln(
2π
√ g
)+
1
2
ln(l )
En este caso el valor de la pendiente corresponde a m=½ y la constante a n=ln(2/g 0.5
).
Nótese que la información depende fuertemente de la forma de tratar los datos. Estos dos forma de
tratamiento no son las únicas formas; se pudo haber graficado periodo v/s la raíz cuadrada del
largo y obtener nuevamente una recta, pero cuya pendiente correspondería a 2/g 0.5
y n debiera
tener un valor próximo a cero.
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Grafico 5
Grafico 4

Calculo de ajuste de curvas a conjuntos de datos
En el laboratorio estudiamos un capítulo de gráfico donde se representa la relación
entre las variables experimentales. Como sabemos, existen varios métodos de ajuste de
recta. Dentro de estos métodos está ajuste de mínimos cuadrados. Las calculadoras
traen programados un conjunto de operaciones que permiten obtener el ajuste a las
curvas.
La primera en estudio, es una planilla excell ajuste del tipo Y=mx+n
1. Un peso se suspende del centro de una barra de acero apoyada en sus extremos; del
deflexión del centro se mide por medio de un indicador de alturas, cuyas lecturas se
indican por Y. Se obtienen los siguientes valores:
MASA (GR) Y M
0.0 1642
0.5 1483
1.0 1300
1.5 1140
2.0 948
2.5 781
3.0 590
3.5 426
4.0 263
4.5 77
A) Represente los puntos sobre una gráfica y trazar a ojo la mejor línea recta.
Hágase una estimación del error típico de la pendiente, colocando una regla
transparente a lo largo de los puntos y observando cuáles deben ser los
límites razonables de la posición de la recta.
B) Calcule la mejor recta (valor de pendiente y constante) su error por el método
de los mínimos cuadrados. Compare su resultado con el anterior.
La representación gráfica es del tipo XY. Este tipo de representación ubica el
punto XY en el espacio (plano). Los otro tipos de gràficos, no tienen representación real
en el eje X, por tanto, la presentación del gráfico es más bien cualitativa. El gráfico
siempre debe ir con título y describir claramente con que tabla está relacionado
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Tabla 1.1 Elongación vertical en función de la carga masa

En este momento prodeceremos a ajustar una recta al conjunto de datos, ya estos se
comportan como una recta.. Obviamente, como se observa en el gráfico de la figura 1, la
pendiente debiera ser negativa.
En la planilla de EXCEl, existe una función que dentro de la funciones estadísticas y
que se denomina pendiente: Se selecciona la coluna correspondiente a los datos Y, y la
columna de los datos de X. El resultados da:
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Figura 1. Grafico de elongación v/s carga de masa. Tabla 1,1

El resultado de la pendiente es m= -349,236364 microm/gr
Ahora debemos que calcular la constante n. Para eso se utiliza una función dentro de
las clasificadas es Intersecciòn.
Esta función calcula el valor de n de la ecuación de ajuste. El valor de la función es:
1650,78182 microm.
La ecuación de ajuste es: y= -349,236364x+ 1650,78182 microm. También la planilla excel
tiene una función que el parámetro de ajuste R pero su valor al cuadrado :coeficiente de
correlación
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Este número es: -0,99990656
La representación gráfica es:
Ajuste del tipo de funciones: Y=a+bx+c*f(x), donde f(x) es una función y c es el
coeficiente constante.
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Figura 2. Este es la representación de los datos con el ajuste.

Supongamos que tenemos un conjunto de datos que se presentan en la
siguiente tabla
X Y
1 6,469145
1,4 5,848504
1,5 5,680045
1,6 5,510172
1,7 5,340882
1,8 5,174169
1,9 5,011998
2 4,856290
2,1 4,708903
2,2 4,571609
2,3 4,446082
2,4 4,333875
2,5 4,236412
2,6 4,154966
2,7 4,090652
2,8 4,044413
La representación gráfica de estos datos es:
Sabiendo que la relación son del tipo Y=a+bx+cCOS(x).
Página 38
Figura 3. Representación gráfica de los datos de funciones no lineales

Para obtener los valores de a,b y c se obtienen de la siguiente forma: Se utiliza la función
estimación.lineal().
Se generan valores con columnas de valores de x y cos(x).
x cos(x)
1 0,54030231
1,4 0,16996714
1,5 0,0707372
1,6 -0,02919952
1,7 -0,12884449
1,8 -0,22720209
1,9 -0,32328957
2 -0,41614684
2,1 -0,5048461
2,2 -0,58850112
2,3 -0,66627602
2,4 -0,73739372
2,5 -0,80114362
2,6 -0,85688875
2,7 -0,90407214
2,8 -0,94222234
Se selecciona en X todos los valores asociado a x. También se debe utilizar la función
INDICE() para invocar el valor de salida de matriz (ver ayuda de estimación lineal) El gráfico que
se obtiene es:
Página 39

El ajuste arroja los siguientes resultados:
c= 2,17429505
b= 0,39480598
a= 5,18180798
Recuerde que la función son F(x)=a+b*x+c*cos(x).
También existen otros programas como openoffice y gnuplot (Manual Gnuplot). Estos
programas gratuitos. En particular, gnuplot tiene un poder de despliegue de mejor desde
el aspecto científico.
Observe el gráfico siguiente:
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
0 5 10 15 20 25
T
e
m
p
e
r
a
t
u
r
a
(
º
C
)
Tiempo (Horas)
Grafico de temperatura v/s Tiempo
Página 40

Nótese los errores graficados en el eje Y.
Vamos a ajustar una función del tipo Y=asin(bt). Esto se realiza con la función fit.
El gráfico con ajuste se observa como:
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
0 5 10 15 20 25
T
e
m
p
e
r
a
t
u
r
a
(
º
C
)
Tiempo (Horas)
Grafico de temperatura v/s Tiempo
El resultado del ajuste da:
A = 1.0504 +/- 0.00515 (0.4903%)
B = 0.262197 +/- 0.0003268 (0.1247%)
Este un resultado esperado y bien presentado, tiene los errores asociados: porcentual y
absoluto.
Función solver.
Dentro de las planillas de cálculo, existe una operación solver. Esta operación busca el
mínimo o máximo de un funcional, es decir de una función que tiene varios parámetros a
ajustar. A partir de una semilla, busca cuales son los parámetros que maximicen o
minimicen el funcional. Este también se puede aplicar al ajuste de parámetros de modo
que el error entre el dato real y el ajuste sea mínimo.
Supongamos que tenemos la función Y ( x) =Ax
n
. Los datos de la función Y(x) se
van a comparar con los valores del ajuste.
Se muestran los datos de (x,Y) experimentales. Asumiendo el valor inicial para el ajuste
de n =4, y a=2, se obtiene la siguiente tabla.
Página 41
X Y Yajuste DeltaY
0 0 0 0
1 3 4 1
2 12 128 116
3 27 972 945
4 48 4096 4048
5 75 12500 12425
6 108 31104 30996
7 147 67228 67081
8 192 131072 130880

DeltaY, representa la diferencia entre el Y experimental y el Yajuste. La suma de las
diferencia debe ser mínimo. Para eso debemos variar los valores de a y n de modo que la
suma de la diferencia debe ser mínimo.
Según la tabla, la suma de los absolutos de las diferencias es 246492.
Al invocar solver en la planilla, se obtiene un caja de dialogo como
Página 42
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0
20000
40000
60000
80000
100000
120000
140000
Curva y ajuste por solver
Y
Yajuste

La celda objetivo es la celda, que en este caso debe tener un valor mínimo. En este la
suma de las diferencias debe ser mínimo. Para minimizar el valor, se debe elegir la opción
mínimo. La opción de cambiar las celdas, es la selección de los valores de los
parámetros que cambian para minimizar la diferencia. Las condiciones limitantes son las
condiciones o límites en que son válidos los parámetros.
Se presionar solucionar y buscará los parámetros para minimizar. El valor de a da
2.999999 y n=2.000001.
Las dos curvas están superpuestas, por el ajuste. Este tipo de procedimiento depende
de los valores iniciales. Es por eso es necesario probar los valores iniciales si converge.
Página 43
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0
50
100
150
200
250
Curva y ajuste por solver
Y
Yajuste

Ejercicios de errores gráficos:
2. En los siguientes ejemplos , Z es una función dada de las cantidades A,B,C,... medidas
independiente. Calcular el valor de Z, con su error típico Z a partir de los valores dados de
AA, B  B, ...
a) Z(A)=A2
, A=251
b) Z=A-2B, A=1003, B=452
c) Z=A/B(C2
+B2
), A=0.1000.0003, B=1.000.05, C=50.00.5, D=1008
3. Las cuatro mediciones más precisas de c, velocidad de la luz) dadas son:
299 793.1 m/seg
299 793.0 m/seg
299792.85 m/seg
299 792.50 m/seg
299 792.45 m/seg
Calcule el valor promedio y el error típico.
4. Una barra rectangular de latón de masa M tiene dimensiones a,b,c. El momento de inercia I
con respecto a un eje a un eje por el centro de la cara ab y perpendicular a a es :
I=
M
12
(a2
+b2
)
Se hacen las mediciones y se obtienen los siguientes valores:
M=135.00.1 gr.
a= 801 mm
b= 10 1 mm
c= 20.000.001 mm
¿Cuál es el error porcentual típico en: a) La densidad, b) momento de inercia?
5. Un peso se suspende del centro de una barra de acero apoyada en sus extremos; del
deflexión del centro se mide por medio de un indicador de alturas, cuyas lecturas se indican
por Y. Se obtienen los siguientes valores:
MASA (GR) Y M
0.0 1642
0.5 1483
1.0 1300
1.5 1140
2.0 948
2.5 781
3.0 590
3.5 426
4.0 263
4.5 77
C) Represente los puntos sobre una gráfica y trazar a ojo la mejor línea recta. Hágase una
estimación del error típico de la pendiente, colocando una regla transparente a lo
Página 44

largo de los puntos y observando cuáles deben ser los límites razonables de la
posición de la recta.
D) Calcule la mejor recta (valor de pendiente y constante) su error por el método de los
mínimos cuadrados. Compare su resultado con el anterior.
6. A continuación se da una tabla de datos de radios de la órbitas de los planetas y su respectivo
periodo.
Planetas Radio orbital (m) Periodo
Mercurio 5.79E7 8.80E1 días
Venus 1.084E8 2.25E2 días
Tierra 1.50E8 3.65E2 días
Marte 2.28E8 6.87E2 días
Júpiter 7.78E8 1.19E1 años
Saturno 1.43E9 2.95E01 años
Urano 2.87E9 8.40E1 años
Neptuno 4.50E9 1.65E2 años
Plutón 5.90E9 2.48E2 años
Grafique el periodo v/s el radio orbital. ¿Que observa? Esta relación no es parabólica. Encuentre la
relación entre las variables. Consulte los libros y busque “Leyes de Keppler”.
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Teoría de errores, gráficos y ajuste de parámetros

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