Este documento presenta un código en wxMaxima y Gnuplot para calcular la trayectoria de un objeto en presencia de viscosidad. El código permite calcular el alcance del proyectil en función de la constante de viscosidad β y el ángulo de elevación. Los resultados muestran que a mayor valor de β, el alcance disminuye y el ángulo para alcance máximo también cambia, tomando valores menores. El alcance máximo disminuye rápidamente con el incremento de la viscosidad β.

1. Calculo de Alcance horizontal de proyectil
bal´ıstico en presencia de viscocidad, por medio
del programa wxmaxima
Miguel Bustamante S.
March 22, 2020
Abstract
Se presenta un c´odigo en el ambiente de wxm´axima y gnuplot para
el calculo de la trayectoria de un objeto en presencia de la viscocidad.
Adem´as del c´aclulo de la trayectoria, con funciones del programa, se puede
calcular el alncande del proyectil en funci´on de la constante viscosa β,
como del ´angulo de elevaci´on.
Keywords— movimiento del proyectil,medio viscoso, wxmaxima, gnuplot, al-
cance
1 Introducci´on
Desde la F´ısica de Arsit´oteles, la descripci´on del movimiento ha sido siempre una
inquietud. La primera propuesta para describir el movimiento, depende de la masa de
este, y que adem`as de la velocidad. Cuando se da un impulso a un objeto, este se agota
y cae hacia el centro de la Tierra. Aplicado a un proyectil , el objeto alcanza cierta
altura y “cae”. (Figura 1 ).[5, 2]. Galielo estudi´o el movimiento del proyectil, descarto
que la F´ısica de Arist´oteles era la correcta. Demostr´o que los cuerpos, independiente
de la masa acelera con la misma taza en la superficie de la Tierra [5].
Este movimiento es de importancia hist´orica, debido a las aplicaciones b´elicas
durante la historia de la humanidad. La descripci´on del movimiento es clave para
saber donde va a impactar un proyectil del tipo bal´ısitico. Sin emabvrgo, al observa
el movimiento de proyectiles, la masa, o superficie produce un “arrastre” en el medio,
que es un movimiento que describe es del tipo de la figura 1.
El efecto de arrastre sobre el cuerpo,es debido a la fuerza que depende de la veloci-
dad. Esta fuerza es inversa a la direcci´on de la velocidad , por un factor β ,conocida
como la constante de viscosidad y proporcional a la magnitud de la velocidad.
f = −βv
1.1 Ecuaci´on de proyectiles
Basado en el descubrimiento de Galileo, “en la superficie de la Tierra, todos los objetos
aceleran a la misma raz´on, independiente de su masa”, se pudo dar con las ecuaciones
que describe el movimiento de un proyectil. B´asicamente, es la composici´on de dos
movimientos: en el eje horizontal , con velocidad constante, y en el vertical con acel-
eraci´on de gravedad constante anotado como g=9.8 m/s2
.
La ecuaci´on de posici´on viene dado por las ecuaciones (Ecuaci´on 1)
1

2. Figure 1: Tantaglia-1606-Par´abola
Figure 2: Representaci´on de la trayectoria de proyectil
x(t) = v0cos(θ)t (1)
y(t) = −1
2
gt2
+ v0sin(θ)t
A partir de las ecuaciones 1, se puede deducir el alcance del proyectil, es decir, la
distancia horizontal donde impacta el proyectil [4].
R =
v2
0
g
sin(2θ) (2)
La ecuaci´on 2 tiene un m´aximo cuando θ = π/4, para luego disminuir el alcance;
es decir, el alcance m´aximo de un proyectil ocurre a un ´angulo de π/4 y la distancia
es
v2
0
g
Este resultado corresponde cuando el proyectil se mueve bajo la acci´on de la fuerza
de gravedad, cerca de la superficie de la Tierra. En la afirmaci´on de Galileo, “todos los
cuerpos aceleran de la misma forma en la superficie de la Tierra”, se puede verificar
con una papel desplegado y una roca. Al hacer el expermento, la piedra cae mas r´apido
2

3. que el papel. La afirmaci´on de Galileo es v´alida cuando no hay un medio en donde se
mueve el proyectil. El efecto del aire, como de un fluido, se puede modelar por medio
de una fuerza del tipo viscoso, (f = −βv), y esto efeco cambia el comportamiento del
proyectil, como tambi´en del alcance.
1.2 Movimiento en un fluido
Para obteber la ecuaci´on de movimiento dentro de un fluido visocoso, debemos aplicar
la segunda ley de Newton
−βv − mg = ma (3)
La ecuaci´on 3, tiene como soluci´on
x(t) =
m
β
v0cos(θ)(1 − e
−β
m
t
) (4)
y(t) = −
mg
β
t +
m
β
v0sin(θ) +
mg
β
(1 − e
−β
m
t
) (5)
Como condici´on de alcance, la posici´on vertical y(t) y por tanto la ecuaci´on 5 se
iguala a cero
y(t) = −
mg
β
t +
m
β
v0sin(θ) +
mg
β
(1 − e
−β
m
t
) = 0
La ecuaci´on anterior, no se puede resolver anal´ıticamente, s´olo num´ericamente para
encontrar el valor de t que satisface la condici´on con valores m, β, g, θ, v0 conocidos
[3].
2 Implementaci´on
En el programa wxmaxima [1] se implementa los c´alculo para resolver en forma recur-
siva. Funciones como find root , makelist, lmax se aplican para encontrar la trayectoria,
el alcance en funci´on de β y crear la superficie en gnuplot de tres variables: ´angulo, β
y alcance.(ver programa )6).
(a) fig1 (b) fig2
Figure 3: Trayectoria con viscosidad
3

4. 3 Resultados
Como se observa, la diferencia de las trayectoria se debe al valor diferente de las
viscosidad (Figura 3). En una represetaci´on 3D de estas variables, se observa que la
forma de la trayectoria va cambiando con respecto a la visoosidad (Figura 4).
Figure 4: Represtaci´on de la superficie entre alcande, angulo y viscosidad
Se aprecia que el m´aximo de la curva va cambiando dependiendo del valor de β.
En una representaci´on del alcance m´aximo en funci´on de la visocisdad β, se observa
un decaimiento r´apido en relaci´on con la visocidad (Figura 5).
Figure 5: Alcance m´aximo en funci´on de la viscosidad β
4 Discusi´on
Como vemos, por medio del programa wxmaxima, podemo calcular y relacionar el
alcance del proyectil en funci´on del valor de viscosidad β, Entre mayor el factor β
disminuye el alncace, como tambi´en el `angulo de elevaci`on para un alcance m`aximo.
ADem´as, con los valores de β podemos conocer la trayectoria del objeto.
4

5. References
[1] wxMaxima.
[2] El estudio de las trayectorias de los proyectiles con anterioridad a galileo. Agosto
2018.
[3] Ferdinand P. Beer, Ferdinand P.; Johnstons, E. Russell; Mazurek, David F.; Eisen-
berg, Elliot R; Beer. Mecanica Vectorial Para Ingenieros, 2010.
[4] Revert´e, editor. (William F. Riley, Leroy D. Sturges) Ingenier´ıa MEC ´ANICA.pdf.
Buenos Aires.
[5] Wikipedia contributors. Theory of impetus — Wikipedia, the free encyclopedia,
2020. [Online; accessed 23-February-2020].
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6. 5 Programa
Figure 6: programa
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7. Figure 7: programa
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