El documento introduce el uso de matrices de rotación en Sagemath para calcular las coordenadas de un vector (rx, ry, rz) en un sistema de coordenadas rotado (OXYZ) a partir de las coordenadas del vector (ruvw) en un sistema de coordenadas original (OUVW) girado -60° alrededor del eje OZ. Se muestran los comandos de Sagemath para dibujar ambos sistemas de coordenadas y calcular la posición del vector después de la rotación.

1. Introducci´on a Sagemath y LATEX
Tarea 01: Fundamentos de Rob´otica 2014 - C´alculo de matrices de rotaci´on
Gustavo Rodrigo L´opez Mendoza
tavolopezmendoza@gmail.com
1 Res´umen
Se consigui´o resolver el ejercicio propuesto usando el programa
Sagemath, el ejercicio consiste en encontrar el vector rxyz que com-
parte la misma ubicaci´on espacial que el vector ruvw pero ambos
est´an descritos en sistemas de referencia distintos. El vector rxyz
esta en descrito en el sistema de coordenadas OXYZ mientras que el
vector ruvw esta descrito en el sistema OUVW, el sistema OUVW se
encuentra girado −60o alrededor del eje OZ con respecto al sistema
OXYZ. Adem´as se requiri´o que este documento fuera elaborado en
el programa LATEX.
2 Introducci´on
Para la realizaci´on de procesos automatizados es necesario una
gran y variada gama de conocimientos, ya sea, en el diseo del pro-
ceso como en la elaboraci´on de cada una de su partes. Una parte
fundamental de esto es la ubicaci´on espacial de los actuadores, es-
tos actuadores pueden rotar, trasladarse e incluso rotar y trasladarse
al mismo tiempo, por ello tiene que existir un lenguaje que co-
munique el movimiento de estos dispositivos y sus controladores.
Matem´aticamente estos movimientos se pueden representar con las
matrices de rotaci´on y las matrices de traslaci´on que es lo que vere-
mos en el presente documento, espec´ıficamente se usaran las matri-
ces de rotaci´on para determinar la posici´on final de un vector rotado
en torno a un eje que esta descrito en un eje de coordenadas distinto.
El detalle se presenta en las secciones posteriores.
3 Enunciado del ejercicio
El sistema OUVW se encuentra girado −60o alrededor del
eje OZ con respecto al sistema OXYZ. Calcular las coordenadas
(rx,ry,rz) del vector rxyz de coordenadas ruvw(-3,4,-11).
4 M´etodos
Como ya es sabido en este documento se utilizaran las matrices
de rotaci´on girando entorno al eje OZ en un angulo θ =-60o, este
procedimiento se realiza de la siguiente forma;
Usando el programa Sagemath dibujamos los sistemas OXYZ y
OUVW, usando las lineas de comando de la figura 1; resultando
el gr´afico representado en la figura 2, el sistema OXYZ es repre-
sentado por los vectores de color rojo, azul y verde respectivamente
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y los vectores de color caf´e, amarillo y verde representan al sistema
OUVW, el vectorruvw es representado por el vector de color verde
turquesa.
Figure 1. Comandos para la realizaci´on del gr´afico
Figure 2. Vista 1.
Las matrices de rotaci´on son una herramienta matem´atica que
permite determinar la posici´on de un vector en un sistema de coor-
denadas rotado en torno a un eje del sistemas original o viceversa.
Esto se obtiene de la siguiente forma:


px
py
pz

 = R∗


pu
pv
pw



2. Donde R es,
R =


ixiu ix jv ixkw
jyiu jy jv jykw
kziu kz jv kzkw


Esta matriz se divide en tres matrices b´asicas de rotaci´on, cada
una de ellas efectu´a la rotaci´on sobre un eje, esta rotaci´on se efectu´a
en grados de la siguiente forma:
Rotx(α) =


1 0 0
0 cos(α) −sin(α)
0 sin(α) cos(α)


Rotaci´on sobre el eje OX
Roty(φ) =


cos(φ) 0 sin(φ)
0 cos(α) −sin(α)
0 sin(α) cos(α)


Rotaci´on sobre el eje OX
Rotx(α) =


1 0 0
0 cos(α) −sin(α)
0 sin(α) cos(α)


Rotaci´on sobre el eje OX
5 Resultados
6 Conclusi´on
7 Discusiones