Este documento presenta información sobre funciones goniométricas. Explica que una función goniométrica relaciona un ángulo variable con otras variables como la abscisa y la ordenada. Se define que cuando el ángulo varía, también varían la abscisa y la ordenada, por lo que estas últimas dependen del ángulo. Luego se muestra que las razones formadas entre la abscisa, ordenada y radio son constantes e independientes de la posición del punto, a pesar de que este determine el valor de dichas variables.

2. RECURSO DIDÁCTICO
Presentación Desarrollada por:
Martín Miranda Riart
mmriart@hotmail.com

4. Contenido de la Presentación:
o Función (Ir..)
o Función Goniométrica (Ir..)
o Función Trigonométrica (Ir..)
o Circunferencia Trigonométrica (Ir..)
o Variación de Signos (Ir..)
o Rango de Valores (Ir..)
o Breve Análisis de las Funciones:
o Seno (Ir..)
o Coseno (Ir..)
o Tangente (Ir..)

6. Por tanto, una “función” implica: una conexión, una correspondencia, un
enlace, vínculo o nexo.. entre dos variables
Es una relación entre dos variables
Si se llama a una función “f” y a dos variables “X” e “Y”, entonces…
La notación de dicha función “f” sería: 𝑓: 𝑋 → 𝑌
Que se lee: [ f es una función “de X a Y” ]
o también: [ f es una función “entre X e Y” ]
¿Qué es una Función?
La función “f” indicaría que la variable “X” está relacionada con la variable “Y”

7. Sino de una Relación donde:
Y
¿Qué es una Función?
Pero tampoco se trata de cualquier relación o correspondencia…
X
El valor de la segunda variable “Y”
depende del valor de la primera variable “X”
YX “X” da valor a “Y”
“Y” depende de “X”

8. Entonces si “X” contiene figuras geométricas e “Y” contiene cantidad de lados:
¿Qué es una Función?
Y dicha Relación o Dependencia es de tal manera que:
Como a cada figura
geométrica corresponde un
único número de lados…
A cada valor de la primera variable “X” se le asocia un único
valor de la segunda variable “Y”
YXƒ:
3
4
5
YX

9. Entonces si “X” contiene figuras geométricas e “Y” contiene cantidad de lados:
¿Qué es una Función?
Y dicha Relación o Dependencia es de tal manera que:
Se puede decir que:
La Cantidad de lados está en
“función” de la Figura
Geométrica
A cada valor de la primera variable “X” se le asocia un único
valor de la segunda variable “Y”
YXƒ:
3
4
5
YX
Porque a cada elemento de
“X” se le asocia un único
elemento de “Y”

10. A cada valor de la primera variable “X” se le asocia un único
valor de la segunda variable “Y”
Tomando otro ejemplo.. La relación de las Raíces Cuadradas y sus Resultados:
¿Qué es una Función?
Entonces como:
Como a cada raíz cuadrada
corresponde uno o dos
resultados…
A cada valor de la primera variable “X” se le asocia UN ÚNICO
valor de la segunda variable “Y”
YXƒ:
2
3
4
YX
4
9
-3
16

11. YXƒ:
Tomando otro ejemplo.. La relación de las Raíces Cuadradas y sus Resultados:
¿Qué es una Función?
Entonces como:
NO se puede decir que
el resultado es “función” de la
raíz cuadrada
A cada valor de la primera variable “X” se le asocia UN ÚNICO
valor de la segunda variable “Y”
¡No es Función!
2
3
4
YX
Porque a cada elemento de
“X” NO se le asocia UN
ÚNICO elemento de “Y”
4
9
-3
16

12. ¿Qué es una Función?
Volviendo a la Función “f” que relaciona “X” e “Y” se identifica que:
YXƒ:
3
4
5
YX
La cantidad variable que representa la función se llama
“Variable Dependiente” o “Imagen”
“X” es la:
“Variable
Independiente”
o
“el Argumento”
porque le da
valor a “Y”
“Y” es la:
“Variable
Dependiente”
o
“Imagen”
porque recibe
valor de “X”
La cantidad variable de la cual depende la función se llama
“Variable Independiente” o “Argumento”

13. Ejemplo de Función:
El Área “A” de un Círculo se halla multiplicando
el cuadrado de su Radio “r” por π:
El área del círculo es “función” de su radio, porque depende
del valor del radio. Notación: A = ƒ(r)
A = π.r2
Entonces se podría decir que:
para que cambie el Área “A”… debe cambiar primeramente el
Radio “r”
ya que π es Constante
Área del Círculo “A”
Radio “r”

14. Ejemplo de Función:
El Área “A” de un Círculo se halla multiplicando
el cuadrado de su Radio “r” por π:
El área del círculo es “función” de su radio, porque depende
del valor del radio. Notación: A = ƒ(r)
A = π.r2
Entonces se podría decir que:
para que cambie el Área “A”… debe cambiar primeramente el
Radio “r”
ya que π es Constante
A cada cambio del Radio
corresponde un cambio en el Área
Por tanto:
el radio es la “variable
Independiente” y el área es la
“variable Dependiente”

16. ¿Qué es una Función Goniométrica?
Como en griego “gonon” significa “ángulo”… se puede deducir que una
Función Goniométrica, tendrá algún “ángulo” involucrado
Y efectivamente, las Funciones Goniométricas son aquellas
funciones (o relaciones) en que la Variable Independiente es
un Ángulo
Teniendo en cuenta la semirrecta OX
(eje positivo X del plano cartesiano), y
a partir de ella…
se considera un ángulo α (alfa)
determinado por la semirrecta OX’

17. ¿Qué es una Función Goniométrica?
Como en griego “gonon” significa “ángulo”… se puede deducir que una
Función Goniométrica, tendrá algún “ángulo” involucrado
Y efectivamente, las Funciones Goniométricas son aquellas
funciones (o relaciones) en que la Variable Independiente es
un Ángulo
Teniendo en cuenta la semirrecta OX
(eje positivo X del plano cartesiano), y
a partir de ella…
se considera un ángulo α (alfa)
determinado por la semirrecta OX’
Si la semirrecta OX’ es móvil y gira
sobre el punto de origen O; el ángulo
α (alfa) será variable

18. ¿Qué es una Función Goniométrica?
Si sobre la semirrecta móvil OX’ se toma un punto “P” cualquiera
y se traza el segmento PQ perpendicular a la recta OX que contiene el lado-
origen del ángulo α (alfa)
Se tendría lo siguiente:
Punto “P” sobre OX’
Segmento PQ ⊥ a OX

19. ¿Qué es una Función Goniométrica?
Si sobre la semirrecta móvil OX’ se toma un punto “P” cualquiera
y se traza el segmento PQ perpendicular a la recta OX que contiene el lado-
origen del ángulo α (alfa)
Y por tanto, quedan determinados los siguientes tres segmentos notables:
OP representado por “r” y se llama
“radio”
OQ representado por “x” y se llama
“abscisa”
PQ representado por “y” y se llama
“ordenada”

20. ¿Qué es una Función Goniométrica?
Si la semirrecta móvil OX’ gira alrededor del origen (Punto O):
El ángulo α (alfa) varía
Varían también la abscisa “x” y la ordenada “y”
Pero el radio “r” permanece constante
OP representado por “r” y se llama
“radio”
OQ representado por “x” y se llama
“abscisa”
PQ representado por “y” y se llama
“ordenada”
Entonces se puede decir que:
Cuando el ángulo varía, también
varían la “Abscisa” y la “Ordenada”
Y por tanto:
La “Abscisa” y la “Ordenada” están en
Función del Ángulo α
O que: La “Abscisa” y la “Ordenada”
dependen del ángulo α (variable
independiente)

21. Ejemplo de Función Goniométrica:
Con la Abscisa, Ordenada y el Radio, se pueden formar únicamente las
siguientes seis diferentes razones (proporciones o cocientes):
𝒚
𝒓
;
𝒙
𝒓
;
𝒚
𝒙
;
𝒙
𝒚
;
𝒓
𝒙
;
𝒓
𝒚
El radio “r” no cambia de valor... Se
mantiene constante durante el giro de
OX’ alrededor del punto de origen “O”
Estas razones son Funciones dependientes del ángulo α, ya que al variar el
ángulo varían también “X” e “Y”
Y si varían “X” e “Y”, cambian también
las razones en que ellas figuran

22. Ejemplo de Función Goniométrica:
Aunque es el Punto “P” (sobre la semirrecta móvil OX’) el que determina la
longitud del radio, de la abscisa y de la ordenada
Las razones establecidas son Independientes de la posición del punto “P”
Lo cual significa que las razones
establecidas son constantes a pesar
de variar la longitud del radio, abscisa
y ordenada; o la posición del punto “P”
𝒚
𝒓
;
𝒙
𝒓
;
𝒚
𝒙
;
𝒙
𝒚
;
𝒓
𝒙
;
𝒓
𝒚

23. Ejemplo de Función Goniométrica:
Aunque es el Punto “P” (sobre la semirrecta móvil OX’) el que determina la
longitud del radio, de la abscisa y de la ordenada
Las razones establecidas son Independientes de la posición del punto “P”
Considerando diferentes posiciones
del punto “P” sobre la semirrecta OX’
como “P1”, “P” y “P2”
𝒚
𝒓
;
𝒙
𝒓
;
𝒚
𝒙
;
𝒙
𝒚
;
𝒓
𝒙
;
𝒓
𝒚
Y trazando las perpendiculares al eje
X a partir de los puntos “P1”, “P” y “P2”
La demostración de que al cambiar las
longitudes del radio, la abscisa y la
ordenada, no varían las razones
establecidas, es la siguiente:

24. Ejemplo de Función Goniométrica:
Aunque es el Punto “P” (sobre la semirrecta móvil OX’) el que determina la
longitud del radio, de la abscisa y de la ordenada
Las razones establecidas son Independientes de la posición del punto “P”
La abscisa, ordenada y radio
correspondiente a cada uno de los
puntos, forman triángulos rectángulos:
𝒚
𝒓
;
𝒙
𝒓
;
𝒚
𝒙
;
𝒙
𝒚
;
𝒓
𝒙
;
𝒓
𝒚
desde “P2”  el triángulo ⊿P2Q2O
desde “P”  el triángulo ⊿PQO
desde “P1”  el triángulo ⊿P1Q1O

25. Ejemplo de Función Goniométrica:
Aunque es el Punto “P” (sobre la semirrecta móvil OX’) el que determina la
longitud del radio, de la abscisa y de la ordenada
Las razones establecidas son Independientes de la posición del punto “P”
Y como los ángulos rectos miden lo
mismo y el ángulo α es común a los
tres triángulos, entonces los ángulos
restantes deben ser complementarios
del ángulo α y por tanto medir lo
mismo: 90 - α
𝒚
𝒓
;
𝒙
𝒓
;
𝒚
𝒙
;
𝒙
𝒚
;
𝒓
𝒙
;
𝒓
𝒚
O también, como las ordenadas son
todas perpendiculares al eje X, son
paralelas entre sí, y forman “ángulos
correspondientes iguales” con la
semirrecta OX’ que contiene los radios
abscisas = x
ordenadas = y

26. Ejemplo de Función Goniométrica:
Aunque es el Punto “P” (sobre la semirrecta móvil OX’) el que determina la
longitud del radio, de la abscisa y de la ordenada
Las razones establecidas son Independientes de la posición del punto “P”
𝒚
𝒓
;
𝒙
𝒓
;
𝒚
𝒙
;
𝒙
𝒚
;
𝒓
𝒙
;
𝒓
𝒚
Y entonces por tener los tres ángulos
iguales, los tres triángulos formados
son Semejantes
También se pudo haber demostrado la
semejanza de los tres triángulos mediante
el Teorema de Tales que expresa que:
Si en un triángulo se traza una línea
paralela a cualquiera de sus lados, se
obtiene un triángulo que es semejante al
triángulo dadoabscisas = x
ordenadas = y

27. Ejemplo de Función Goniométrica:
Aunque es el Punto “P” (sobre la semirrecta móvil OX’) el que determina la
longitud del radio, de la abscisa y de la ordenada
Las razones establecidas son Independientes de la posición del punto “P”
𝒚
𝒓
;
𝒙
𝒓
;
𝒚
𝒙
;
𝒙
𝒚
;
𝒓
𝒙
;
𝒓
𝒚
Y por ser triángulos Semejantes sus
lados homólogos (o correspondientes)
son Proporcionales, y entonces:
𝒚
𝒓
=
𝑷 𝟏 𝑸 𝟏
𝑶𝑷 𝟏
=
𝑷𝑸
𝑶𝑷
=
𝑷 𝟐 𝑸 𝟐
𝑶𝑷 𝟐
𝒙
𝒓
=
𝑶𝑸 𝟏
𝑶𝑷 𝟏
=
𝑶𝑸
𝑶𝑷
=
𝑶𝑸 𝟐
𝑶𝑷 𝟐
𝒚
𝒙
=
𝑷 𝟏 𝑸 𝟏
𝑶𝑸 𝟏
=
𝑷𝑸
𝑶𝑸
=
𝑷 𝟐 𝑸 𝟐
𝑶𝑸 𝟐
… etc.
abscisas = x
ordenadas = y

28. Ejemplo de Función Goniométrica:
Por tanto, se puede decir que las razones que se pueden formar
con la abscisa, la ordenada y el radio:
Son funciones que dependen únicamente de la amplitud del ángulo y no de las
longitudes de los segmentos determinados por la ubicación del punto “P”
𝒚
𝒓
;
𝒙
𝒓
;
𝒚
𝒙
;
𝒙
𝒚
;
𝒓
𝒙
;
𝒓
𝒚
Entonces se puede concluir que
dichas razones, por depender
exclusivamente del ángulo α son:
FUNCIONES
GONIOMÉTRICAS
abscisas = x
ordenadas = y

29. Gráfico Funciones Goniométricas:
𝒚
𝒓
;
𝒙
𝒓
;
𝒚
𝒙
;
𝒙
𝒚
;
𝒓
𝒙
;
𝒓
𝒚

31. Función Trigonométrica:
Las Funciones Trigonométricas constituyen un caso particular de
Funciones Goniométricas:
Y se corresponden con cada una de las seis razones posibles
determinadas por el Radio, la Abscisa y la Ordenada:
𝒚
𝒓
;
𝒙
𝒓
;
𝒚
𝒙
;
𝒙
𝒚
;
𝒓
𝒙
;
𝒓
𝒚
Recibiendo cada una de las razones
un nombre particular:

32. Función Trigonométrica:
Las Funciones Trigonométricas constituyen un caso particular de
Funciones Goniométricas:
Y se corresponden con cada una de las seis razones posibles
determinadas por el Radio, la Abscisa y la Ordenada:
𝒚
𝒓
;
𝒙
𝒓
;
𝒚
𝒙
;
𝒙
𝒚
;
𝒓
𝒙
;
𝒓
𝒚
Recibiendo cada una de las razones
un nombre particular:
Función SENO
sen α  “Seno de Alfa”
sen α =
𝑦
𝑟
=
𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎
𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜
Y por definición:

33. Función Trigonométrica:
Las Funciones Trigonométricas constituyen un caso particular de
Funciones Goniométricas:
Y se corresponden con cada una de las seis razones posibles
determinadas por el Radio, la Abscisa y la Ordenada:
𝒚
𝒓
;
𝒙
𝒓
;
𝒚
𝒙
;
𝒙
𝒚
;
𝒓
𝒙
;
𝒓
𝒚
Recibiendo cada una de las razones
un nombre particular:
Función COSENO
cos α  “Coseno de Alfa”
cos α =
𝑥
𝑟
=
𝑎𝑏𝑠𝑐𝑖𝑠𝑎
𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜
Y por definición:

34. Función Trigonométrica:
Las Funciones Trigonométricas constituyen un caso particular de
Funciones Goniométricas:
Y se corresponden con cada una de las seis razones posibles
determinadas por el Radio, la Abscisa y la Ordenada:
𝒚
𝒓
;
𝒙
𝒓
;
𝒚
𝒙
;
𝒙
𝒚
;
𝒓
𝒙
;
𝒓
𝒚
Recibiendo cada una de las razones
un nombre particular:
Función TANGENTE
tg α  “Tangente de Alfa”
tg α =
𝑦
𝑥
=
𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎
𝑎𝑏𝑠𝑐𝑖𝑠𝑎
Y por definición:

35. Función Trigonométrica:
Las Funciones Trigonométricas constituyen un caso particular de
Funciones Goniométricas:
Y se corresponden con cada una de las seis razones posibles
determinadas por el Radio, la Abscisa y la Ordenada:
𝒚
𝒓
;
𝒙
𝒓
;
𝒚
𝒙
;
𝒙
𝒚
;
𝒓
𝒙
;
𝒓
𝒚
Recibiendo cada una de las razones
un nombre particular:
Función COTANGENTE
cotg α  “Cotangente de Alfa”
cotg α =
𝑥
𝑦
=
𝑎𝑏𝑠𝑐𝑖𝑠𝑎
𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎
Y por definición:

36. Función Trigonométrica:
Las Funciones Trigonométricas constituyen un caso particular de
Funciones Goniométricas:
Y se corresponden con cada una de las seis razones posibles
determinadas por el Radio, la Abscisa y la Ordenada:
𝒚
𝒓
;
𝒙
𝒓
;
𝒚
𝒙
;
𝒙
𝒚
;
𝒓
𝒙
;
𝒓
𝒚
Recibiendo cada una de las razones
un nombre particular:
Función SECANTE
sec α  “Secante de Alfa”
sec α =
𝑟
𝑥
=
𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜
𝑎𝑏𝑠𝑐𝑖𝑠𝑎
Y por definición:

37. Función Trigonométrica:
Las Funciones Trigonométricas constituyen un caso particular de
Funciones Goniométricas:
Y se corresponden con cada una de las seis razones posibles
determinadas por el Radio, la Abscisa y la Ordenada:
𝒚
𝒓
;
𝒙
𝒓
;
𝒚
𝒙
;
𝒙
𝒚
;
𝒓
𝒙
;
𝒓
𝒚
Recibiendo cada una de las razones
un nombre particular:
Función COSECANTE
cosec α  “Cosecante de Alfa”
cosec α =
𝑟
𝑦
=
𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜
𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎
Y por definición:

38. Función Trigonométrica:
Las Funciones Trigonométricas son “números abstractos” que
relacionan la abscisa, la ordenada y el radio
Se podría deducir que sus nombres derivan de los gráficos que
dichas funciones producen respectivamente
A cada ángulo corresponde un único
valor determinado para cada una de
sus funciones trigonométricas…
Independientemente:
 de la longitud del radio adoptado

39. Función Trigonométrica:
Las Funciones Trigonométricas son “números abstractos” que
relacionan la abscisa, la ordenada y el radio
Se podría deducir que sus nombres derivan de los gráficos que
dichas funciones producen respectivamente
A cada ángulo corresponde un único
valor determinado para cada una de
sus funciones trigonométricas…
Independientemente:
 y, del lado del ángulo que se elija
para definirlo
 de la longitud del radio adoptado

40. Función Trigonométrica:
Y por tanto, resulta que: dado un ángulo α…
A cada ángulo corresponde un único
valor determinado para cada una de
sus funciones trigonométricas…
Independientemente:
 y, del lado del ángulo que se elija
para definirlo
 de la longitud del radio adoptado
el valor de “sen α” es único
el valor de “cos α” es único
el valor de “tg α” es único… etc.

42. Circunferencia Trigonométrica:
Es la circunferencia de centro en el punto Origen “O”, cuyo radio
“r” se adopta como unidad de medida (o sea que “r” = 1)
y cuya semirrecta generadora de ángulos se considera con el origen en el
centro de la circunferencia, punto “O”
Haciendo girar dicha semirrecta en el
sentido positivo adoptado, quedará
determinado un ángulo central α

43. Circunferencia Trigonométrica:
Es la circunferencia de centro en el punto Origen “O”, cuyo radio
“r” se adopta como unidad de medida (o sea que “r” = 1)
Entonces como r = 1
sen α =
𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎
𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜
=
𝑃𝑄
𝑟
= 𝑃𝑄
sen α = medida de 𝑃𝑄
cos α =
𝑎𝑏𝑠𝑐𝑖𝑠𝑎
𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜
=
𝑂𝑄
𝑟
= 𝑂𝑄
cos α = medida de 𝑂𝑄

44. Circunferencia Trigonométrica:
Es la circunferencia de centro en el punto Origen “O”, cuyo radio
“r” se adopta como unidad de medida (o sea que “r” = 1)
Además, si por la intersección de la semirrecta origen con la circunferencia,
punto “T”, se traza una perpendicular a
OX, cortará a OX’ en el punto “M”

45. Circunferencia Trigonométrica:
Es la circunferencia de centro en el punto Origen “O”, cuyo radio
“r” se adopta como unidad de medida (o sea que “r” = 1)
Además, si por la intersección de la semirrecta origen con la circunferencia,
punto “T”, se traza una perpendicular a
OX, cortará a OX’ en el punto “M”
Determinándose los triángulos
rectángulos semejantes ⊿OQP y
⊿OTM con los respectivos lados
homólogos proporcionales

46. Circunferencia Trigonométrica:
Es la circunferencia de centro en el punto Origen “O”, cuyo radio
“r” se adopta como unidad de medida (o sea que “r” = 1)
Además, si por la intersección de la semirrecta origen con la circunferencia,
𝑃𝑄
𝑂𝑄
=
𝑀𝑇
𝑂𝑇
punto “T”, se traza una perpendicular a
OX, cortará a OX’ en el punto “M”
Determinándose los triángulos
rectángulos semejantes ⊿OQP y
⊿OTM con los respectivos lados
homólogos proporcionales

47. Circunferencia Trigonométrica:
Es la circunferencia de centro en el punto Origen “O”, cuyo radio
“r” se adopta como unidad de medida (o sea que “r” = 1)
pero
𝑃𝑄
𝑂𝑄
=
𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎
𝑎𝑏𝑠𝑐𝑖𝑠𝑎
= tg α
𝑃𝑄
𝑂𝑄
=
𝑀𝑇
𝑂𝑇
luego tg α =
𝑀𝑇
𝑂𝑇
; y como 𝑂𝑇 = r = 1
tg α = medida de 𝑀𝑇

48. Circunferencia Trigonométrica:
Es la circunferencia de centro en el punto Origen “O”, cuyo radio
“r” se adopta como unidad de medida (o sea que “r” = 1)
tg α = medida de 𝑀𝑇
sen α = medida de 𝑃𝑄
cos α = medida de 𝑂𝑄

49. Circunferencia Trigonométrica:
Es la circunferencia de centro en el punto Origen “O”, cuyo radio
“r” se adopta como unidad de medida (o sea que “r” = 1)
tg α = medida de 𝑀𝑇
sen α = medida de 𝑃𝑄
cos α = medida de 𝑂𝑄
La importancia de la circunferencia trigonométrica es la posibilidad de igualar la Abscisa
con el Coseno y la Ordenada con el Seno, para simplificar cálculos y demostraciones

50. Observaciones:
Cuando Aumenta el ángulo α, a partir de 0º: ↑ Aumenta el Seno
↑ Aumenta la Tangente
↓ Disminuye el Coseno
A mayor ángulo α del primer cuadrante corresponden:
↑ Mayor Seno y ↑ Mayor Tangente
“Función Decreciente”
Sin embargo, a mayor ángulo α del primer
cuadrante corresponde:
↓ Menor Coseno
Razón por la cual es llamada:
“Funciones Crecientes”
Razón por la cual son llamadas:

51. Observaciones:
Los segmentos que representan el Seno y el Coseno, a lo sumo pueden ser
iguales al radio “r”
Y por tanto, el máximo valor
al que tiende es +∞ y el
mínimo -∞
El segmento que representa la
Tangente es un punto cuando el
ángulo es 0º y luego crece
indefinidamente tanto positiva como
negativamente
Y por tanto, el máximo valor
que alcanzan es 1 y el
mínimo es -1

53. Variación de Signos:
Los signos de la Abscisa y la Ordenada dependen del cuadrante donde se
encuentre el ángulo que las determinan
Se consideran Negativas cuando
tienen el sentido opuesto que las
de los ángulos agudos (del primer
cuadrante)
Se generaliza que:
El Radio, que es constante, se
considera siempre positivo
La Abscisa y la Ordenada, que son
variables:
Se consideran Positivas cuando
tienen el mismo sentido que la
abscisa y ordenada de los ángulos
agudos, es decir, del primer
cuadrante
Observación: los signos de la Abscisa y la
Ordenada coinciden con los signos de las
coordenadas cartesianas de los puntos del
cuadrante correspondiente. P(x,y)

54. Variación de Signos:
Por definición: sen α =
𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎
𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜
pero el Radio se considera siempre
positivo; entonces el signo del Seno
está dado por el de la Ordenada
Por definición: cos α =
𝑎𝑏𝑠𝑐𝑖𝑠𝑎
𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜
pero el Radio se considera siempre
positivo; entonces el signo del Coseno
está dado por el de la Abscisa
Por definición: tg α =
𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎
𝑎𝑏𝑠𝑐𝑖𝑠𝑎
entonces el signo de la Tangente
depende de si la Abscisa y la
Ordenada tienen o no igual signo
respectivamente

56. Rango de Valores:
Si se considera un ángulo α y se determinan el Radio, la Abscisa y la
Ordenada correspondientes
Como en todo triángulo rectángulo la
hipotenusa es mayor que cualquiera
de los catetos, resulta que:
que ocurrirá únicamente cuando el ángulo
sea igual a 0º; 90º; 180º; 270º; etc.
Queda formado un triángulo rectángulo que tiene:
por Catetos a la Abscisa y a la Ordenada
y, por Hipotenusa al Radio
𝒙 < 𝒓 (en valor absoluto)
𝒚 < 𝒓 (en valor absoluto)
Sin embargo, habrá casos especiales
en que:
𝒙 = 𝒓 (en valor absoluto)
𝒚 = 𝒓 (en valor absoluto)

57. Rango de Valores:
Si se considera un ángulo α y se determinan el Radio, la Abscisa y la
Ordenada correspondientes
Entonces, puede decirse que siempre:
Queda formado un triángulo rectángulo que tiene:
por Catetos a la Abscisa y a la Ordenada
y, por Hipotenusa al Radio
𝒙 ≤ 𝒓 (en valor absoluto)
𝒚 ≤ 𝒓 (en valor absoluto)
Y por último, como un cateto puede
ser mayor, igual o menor que el otro,
se tiene que:
𝒙 ≤ 𝒚 (en valor absoluto), o
𝒙 > 𝒚 (en valor absoluto)

59. Breve Análisis: SENO
Teniendo en cuenta que:
Por tanto, el valor absoluto del Seno
de un ángulo nunca podrá ser mayor
que la unidad
Si se dividen ambos miembros entre “r” se tiene que:
Es decir, que el valor máximo de la
función Seno es +1 y el valor mínimo
es -1, pudiendo tomar todos los
valores intermedios
𝒚 ≤ 𝒓 (en valor absoluto)
𝒚
𝒓
≤ 𝟏 (en valor absoluto)
Y como: 𝒔𝒆𝒏 ∝ ≤ 𝟏
𝒚
𝒓
= 𝒔𝒆𝒏 ∝
O sea, que la función Seno puede
tomar únicamente valores
comprendidos entre -1 y 1

60. Breve Análisis: SENO
Considerando la circunferencia trigonométrica, se puede observar el segmento
representativo de la función Seno y teniendo en cuenta el signo en cada
cuadrante, se deduce:
Primer Cuadrante:
• Sen 0º = 0
• Cuando aumenta el ángulo aumenta el
Seno (hasta 90º)
• Sen 90º = 1 (máximo valor); Seno =
Radio
Segundo Cuadrante:
• Seno decrece desde 1 hasta 0
Tercer Cuadrante:
• Seno negativo
• Decrece de 0 a -1
• Seno 270º = -1 (mínimo valor); Seno =
Radio (en valor absoluto)
Cuarto Cuadrante:
• Seno negativo
• Crece de -1 a 0
𝒔𝒆𝒏 ∝ ≤ 𝟏
Cada vez que la semirrecta generatriz realice
otro giro, la función Seno toma los mismos
valores
La función Seno queda definida para cualquier
ángulo; y su “dominio” o “campo de
definición” es el conjunto de todos los valores
angulares
Dado un ángulo cualquiera α si se le suma 2π o
un número positivo y exacto de giros “k”, se
obtienen ángulos de la forma (α + 2.π.k) cuyos
senos son iguales a los de α, es decir:
sen α = sen (α + 2.π.k)
Por tanto, el seno es una función “periódica”,
de período igual a 2π, que significa que los
valores de la función seno se repiten
sistemáticamente cada vez que el ángulo varía
en 2π

61. Breve Análisis: SENO
Si sobre los ejes cartesianos ortogonales se trazan:
las longitudes de arco expresadas en radianes, sobre la Abscisa
y los valores correspondientes a la función Seno, sobre la Ordenada
Los valores de la Función Seno se repiten
indefinidamente para incrementos de
abscisas iguales a ± 2.π y esos valores
están comprendidos entre +1 y -1
Se obtiene la curva “Sinusoide” que
representa a la Función Seno

63. Breve Análisis: COSENO
Teniendo en cuenta que:
Por tanto, el valor absoluto del
Coseno de un ángulo nunca podrá ser
mayor que la unidad
Si se dividen ambos miembros entre “r” se tiene que:
Es decir, que el valor máximo de la
función Coseno es +1 y el valor
mínimo es -1, pudiendo tomar todos
los valores intermedios
𝒙 ≤ 𝒓 (en valor absoluto)
𝒙
𝒓
≤ 𝟏 (en valor absoluto)
Y como: 𝒄𝒐𝒔 ∝ ≤ 𝟏
𝒙
𝒓
= 𝒄𝒐𝒔 ∝
O sea, que la función Coseno puede
tomar únicamente valores
comprendidos entre -1 y 1

64. Breve Análisis: COSENO
Considerando la circunferencia trigonométrica, se puede observar el segmento
representativo de la función Coseno y teniendo en cuenta el signo en cada
cuadrante, se deduce:
𝒄𝒐𝒔 ∝ ≤ 𝟏
Primer Cuadrante:
• Cos 0º = 1 (máximo valor); Coseno =
Radio
• Cuando aumenta el ángulo disminuye el
Coseno (hasta 90º); Cos 90º = 0
Segundo Cuadrante:
• Coseno negativo
• Coseno decrece desde 0 a -1
• Cos 180º = -1 (mínimo valor); Coseno =
Radio (en valor absoluto)
Tercer Cuadrante:
• Coseno negativo
• Crece de -1 a 0
Cuarto Cuadrante:
• Coseno positivo
• Crece de 0 a 1
Cada vez que la semirrecta generatriz realice
otro giro, la función Coseno toma los mismos
valores
La función Coseno queda definida para
cualquier ángulo; y su “dominio” o “campo de
definición” es el conjunto de todos los valores
angulares
Dado un ángulo cualquiera α si se le suma 2π o
un número positivo y exacto de giros “k”, se
obtienen ángulos de la forma (α + 2.π.k) cuyos
Cosenos son iguales a los de α, es decir:
cos α = cos (α + 2.π.k)
Por tanto, el coseno es una función “periódica”,
de período igual a 2π, que significa que los
valores de la función Coseno se repiten
sistemáticamente cada vez que el ángulo varía
en 2π

65. Breve Análisis: COSENO
Si sobre los ejes cartesianos ortogonales se trazan:
las longitudes de arco expresadas en radianes, sobre la Abscisa
y los valores correspondientes a la función Coseno, sobre la Ordenada
Los valores de la Función Coseno se
repiten indefinidamente para incrementos
de abscisas iguales a ± 2.π y esos valores
están comprendidos entre +1 y -1
Se obtiene la curva “Cosinusoide”
que representa a la Función Coseno

67. Breve Análisis: TANGENTE
Teniendo en cuenta que:
Por tanto, el valor absoluto de la
Tangente de un ángulo podrá variar de
0 a ∞
Dividiendo ambos entre “x” se tiene que:
Cuando el denominador “x” es igual a
0, es decir, cuando el ángulo es 90º o
270º, la función Tangente tiende a ∞
𝑡𝑔 ∝
≤
>
1Y como:
𝒚
𝒙
= 𝒕𝒈 ∝
O sea, que la función Tangente puede
tomar cualquier valor positivo o
negativo e incluso el cero [-∞;+∞]
𝒙 ≤ 𝒚 o, 𝒙 > 𝒚 (en valor absoluto)
1 ≤ 𝒚
𝒙
o, 1 > 𝒚
𝒙
(en valor absoluto)

68. Breve Análisis: TANGENTE
Primer Cuadrante:
• Tg 0º = 0
• Cuando aumenta el ángulo aumenta la
Tangente, y a medida que se aproxima a
90º alcanza valores infinitamente
grandes
Segundo Cuadrante:
• Tangente negativa
• Tangente crece desde - ∞ a 0
• Tg 180º = 0
• Toma valores opuestos al 1er. cuadrante
Tercer Cuadrante:
• Tangente positiva
• Toma valores iguales al 1er. cuadrante
Cuarto Cuadrante:
• Tangente negativa
• Toma valores iguales al 2do. cuadrante
Considerando la circunferencia trigonométrica, se puede observar el segmento
representativo de la función Tangente y teniendo en cuenta el signo en cada
cuadrante, se deduce:
Cada vez que la semirrecta generatriz realice
medio giro, la función Tangente toma los
mismos valores
Como tg ∝ =
𝑦
𝑥
; para ∝ = 90º (arco
𝜋
2
) y para ∝
= 270º (arco
3𝜋
2
) resulta x = 0; por tanto la
Tangente no está definida y quedan excluidos
del “dominio” de la función los arcos
𝜋
2
;
3𝜋
2
y
todos los congruentes
Dado un ángulo cualquiera α si se le suma π o
un número positivo y exacto de veces π, se
obtienen ángulos de la forma (α + π.k) cuyas
Tangentes son iguales a las de α, es decir:
tg α = tg (α + π.k)
Por tanto, la Tangente es una función
“periódica”, de período igual a π, que significa
que los valores de la Tangente se repiten cada
vez que el ángulo varía en π
𝑡𝑔 ∝
≤
>
1

69. Breve Análisis: TANGENTE
Si sobre los ejes cartesianos ortogonales
se trazan:
las longitudes de arco expresadas en
radianes, sobre la Abscisa
y los valores correspondientes a la función
Tangente, sobre la Ordenada
Los valores de la Función Tangente se
repiten indefinidamente para incrementos
de abscisas iguales a ± π y esos valores
están comprendidos entre -∞ y +∞
Se obtiene la curva “Tangente”
que representa a la Función
Tangente

70. Fin de la Presentación
La presentación “Funciones Trigonométricas” se encuentra disponible en:
www.sectormatematica.cl/ppt.htm
O puede ser descargada directamente utilizando el código QR:

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