La serie alternante converge si los valores absolutos de sus términos decrecen y el límite del término n-ésimo es cero. Esto se conoce como el criterio de Leibniz para series alternantes. Según este criterio, si para todos los números enteros positivos n, una serie alternante cumple que , entonces la serie es convergente. La demostración muestra que bajo esta hipótesis, las sucesiones de las sumas parciales de los términos pares y impares tienen el mismo límite, lo que implica la convergencia de la

1. Series Infinitas
Cleiver Escalona
CI:26199367
Matemática III
San Cristóbal, Agosto 2017

2. Teorema
si es una sucesión monótona decreciente con límite
0, la serie alternada
Converge.
Si S designa su suma y Su suma parcial n- sima, se tienen
las desigualdades.

3. SERIES
ALTERNANTES
ES UN TIPO DE SERIES INFINITAS QUE
CONSTA DE
TERMINOS POSITIVOS Y NEGATIVOS,
CUYOS
TERMINOS SON ALTERNADAMENTE ,
POSITIVOS Y NEGATIVOS .

4. Si para todos los números enteros positivos n,
entonces la series pueden ser con su primer término
Positivo:
Y con su primer número negativo:

5. EJEMPLOS
1) . Cuando su primer término es positivo:

6. 2) . Cuando su primer término es negativo:

7. Una serie alternante es convergente si los valores
absolutos
De sus términos decrecen y el límite n- esimo
término es cero.
Este criterio también se le conoce como el
Criterio de Leibniz para series alternantes
debido a que fue formulado por él en 1705.

8. TEOREMA DEL CRITERIO DE LAS
SERIES ALTERNANTES
Suponga que se tiene la serie alternante:
Para todos los números enteros positivos n.
Entonces la serie alternante es convergente.

9. DEMOSTRACION
Se tiene la serie alternante:
Consideramos la suma parcial:

10. Por hipótesis se tiene que:
Cada cantidad en la hipótesis es positiva :
También se puede escribir como :

11. Como , cada cantidad dentro de los paréntesis
es positiva. Por lo tanto:
Para cada número positivo n.
De (3) y (4) :
Para cada número positivo n.
De modo que la sucesión es monótona acotada entonces
ES CONVERGENTE.

12. Suponga que el límite de esta sucesión es , esto es:
entonces
como
Por hipótesis

13. 0entonces
entonces
Por lo tanto, la sucesión de sumas parciales de los términos
Pares y la sucesión de sumas de los términos impares
Tienen el mismo límite S.

14. Ahora demostrare que el
como
Para cualquier
/ Si

15. como
/si
Si N es el mayor de los números enteros
Entonces de reduce a que si entonces
Por lo tanto Es convergente.